Přednáška 10. Kroucení prutů

Transkript

1 Přednáška 1 Kroucení prutů 1) Kroucení prutu s kruhovým průřezem ) Volné kroucení prutu s průřezem a) Masivním b) Tenkostěnným otevřeným, střed smyku c) Tenkostěnným uzavřeným ) Ohybové (vázané) kroucení 4) Příklady Copyright (c) 11 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1. or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at 1

2 Příklady konstrukcí namáhaných kroucením

3 Rovnoměrné kroucení kruhové tyče Původní poloha bodu y =r cos z =r sin x x x = L x y z Nová poloha bodu po natočení průřezu cos a y + v =r cos (a +ϕ x )=r cos a r ϕ x sin a r ϕ x +! sin a z + w=r sin( a+ ϕx )=r sin a+ r ϕ x cos a r ϕ x! Posuny bodu pokud jx << 1 y v=r cos( a+ ϕ x ) r cos a r ϕx sin a= z ϕ x w=r sin( a+ ϕx ) r sin a r ϕ x cos a= y ϕx y a a+jx z r z+w y+v z

4 Rovnoměrné kroucení kruhové tyče Pole posunů u ( x, y, z )= v ( x, y, z )= z j x ( x ) w( x, y, z)= y j x ( x) Rovnoměrné kroucení x j x ( x )= Δ j L dj θ= dx... Poměrné (relativní) zkroucení [rad/m] Pole deformací j x ( x) u v Δj γ xy = + = z = z = z θ y x dx L j x ( x) Δj w u γ xz = + = y = y =yθ x z dx L v w γ yz = + = j x ( x)+ j x ( x)= z y V rovině yz nedochází ke smykovým deformacím. 4

5 Rovnoměrné kroucení kruhové tyče napětí max =G R Pole napětí Smykové čáry (izolinie napětí) xy x, y, z =G xy = G z y xz x, y, z =G xz =G y, max =G R T σ =Aσ A [ τ,xy τ, xz [ τ xy cos a+ τ xz sin a τ xy sin a +cos xz sin a τ, xy, xz ][ ][ τ 1 = cos a sin a τ xy sin a cos a τ xz τ xy ][ xs = xz ' xy '= ] τ xz 1 cos a sin a = sin a cos a τ xy cos a + τ xz sin a τ xy sin a +cos xz sin a Rotace tenzoru napětí zde funguje stejně jako rotace vektoru napětí. R z ] y xy = xs sin xz = xs cos y a z r s xs =G r z 5

6 Vztah smykových napětí a kroutícího momentu Nenulové složky napětí xy x, y, z = G z xz x, y, z =G y x y z M x = xz y xy z da A M x = G y G z da=g y z da A A Polární moment setrvačnosti průřezu xy da xz da I p = y z da= r da=i y I z A A M x =G I p Tuhost kruhového průřezu v kroucení Poměrné (relativní) zkroucení prutu 6

7 Základní rovnice krouceného prutu [ ( )] d jx(x) d GI p + m x ( x)= dx dx Natočení jx(x) d jx(x) θ x ( x)= dx Zkroucení θx(x) d j x ( x) M x ( x)=gi p dx M x ( x)=gi p θ x ( x) Vnější zatížení mx(x) dm x x mx x = dx Moment (x) Napětí τxy, τxz 7

8 Příklad rovnoměrné kroucení kruhové tyče Určete průběh smykového napětí a průběh natočení 8 knm x Ø, m G=8 GPa L= m + 8 knm πr =1,571e-4 m 4 4 M x ( x) θ x ( x)= =6,7e-4 rad/m GI p + L + 1,7e rad jx I p =I y + I z = d jx(x) θ x ( x)= dx 6,7e 4 rad/m θx 4 j x ( x )= θ x ( x) dx =6,7e-4 x + C 1 j x ( L)=Δ j = 6,7e-4=1,7e- rad τ max =5,9 MPa y τ max =5,9 MPa j x ()= z τ max =G θ x ( x) R=5,9 MPa 8

9 Deplanace průřezu Při kroucení obecně ztrácejí průřezy rovinnost (neplatí pro rotačně symetrické průřezy, tj. kruh a mezikruží) Deplanace = ztráta rovinnosti průřezu Pole posunutí s uvážením funkce deplanace y(y,z) u ( y, z)=θ ( x) y( y, z) Původní rovina průřezu před zkroucením. Funkce deplanace pro obdélníkový průřez, x, m. Řešení pomocí Laplaceovy rovnice y( y, z ) y( y, z) + = y z 9

10 Volné kroucení obecného prutu Volné kroucení prutu nastává, pokud není bráněno deplanaci Při známé deplanační funkci lze vyjádřit složky napětí y y τ xy =G θ z, τ xz =G θ +y y z Kroutící moment ( ) ( ) M x = xz y xy z da=g A A y z y z da z y Ik M x =G I k Tuhost průřezu ve volném kroucení Moment tuhosti průřezu ve volném kroucení Poměrné (relativní) zkroucení prutu 1

11 Volné kroucení masivního průřezu Přibližné řešení pro masivní průřez obecného tvaru A4 Ik 4I p τmax je nutné určit přímo z deplanační funkce Přesné řešení pro obdélník z Laplaceovy rovnice xy h>b xz = max xz = max max b<h 9 b h b h 19b Ik= 1 5 h n=,1,... n 1 h 1 tanh 5 b n 1 11

12 Volné kroucení úzkého obdélníka Ponecháme první člen sumy a za předpokladu b<<h I k b h 19 b πh b h b 1 5 tanh = 1,6 b h π h ( ) ( ) Smykové napětí je ve směru b rozloženo přibližně lineárně τ max = b Ik xy h Pozn. Napětí τxy a τxz je určeno z deplanační funkce. Výsledný moment od smykového napětí τxz dává přesně polovinu momentu. Druhou polovinu momentu tvoří malé napětí τxy, které ovšem působí na velkém rameni. max xz = max b 1

13 Volné kroucení otevřeného tenkostěnného průřezu Otevřený tenkostěnný průřez Střednice průřezu mm h=1 mm h5= mm 175 mm 5 d=d4=5 5 d1=5 h1=175 h4=1 d5=5 h=175 d=5 5 mm Moment tuhosti v kroucení je součtem momentů tuhosti z jednotlivých větví 1 Ik h n max = max Ik Největší smykové napětí vzniká v nejtlustší větvi! 1

14 Příklad tenkostěnný otevřený průřez Pro tenkostěnný průřez z předešlé stránky určete rozložení napětí a vzájemné natočení koncových průřezů. M x =1,95 knm, G=8,77 GPa Prut je délky m. 1,5 I k = d h= (,175+,1+,5)=,e-5 m 4 n 1,95e- τ max = dmax =,5=19,4 MPa Ik,e-5 Rozložení napětí po tloušťce střednic 1,95 1 θ= = =4,81e- m GI k 8,77e+6,e-5 τmax=19,4 MPa τmax=19,4 MPa m Δ j = θ dx= 4,81e- =1,44e- rad =,8 o 14

15 Příklad tenkostěnný otevřený průřez Simulace kroucení pomocí metody konečných prvků (kvadratické prostorové prvky brick). Díky vetknutí prutu je bráněno volné deplanaci. Vzájemné natočení krajních průřezu vychází o % menší, tj.,655o. Konzola délky m. Deformace zvětšeny 5x. Deplanace průřezu ve m od vetknutí. Deformace zvětšeny 5x. Posuny u udány v metrech. Smyková napětí. 15

16 Střed smyku Střed smyku je statický střed výslednic smykových napětí. Pokud zatížení prochází středem smyku (nikoliv těžištěm!), průřez není namáhán kroucením. τ xy Zde nevniká kroucení, neboť zatížení prochází středem smyku Cs. + τ xz + Vz Vz Cs V1 V h a V1 τ xy 16

17 Střed smyku na tenkostěnných průřezech U symetrických průřezů leží Cs na ose symetrie Uložení dřevěné stropnice na U profil Dochází ke kroucení U profilu, i když reakce prochází těžištěm. Varianta bez kroucení U profilu. Dřevená stropnice T Vz Dřevená stropnice T Cs Vz 17

18 Volné kroucení uzavřeného tenkostěnného průřezu Smykový tok je konstantní podél střednice průřezu, smykové napětí je rozloženo rovnoměrně po tloušťce Uzavřený tenkostěnný průřez Střednice průřezu : s dx 1 s1 dx= t xs= 1 s1 = s 1 s 1 dx d (s) dx s s x Smykový tok t xs t xs t xs s dx x = Smykové napětí t xs xs xs xs t xs xs = s Největší napětí vzniká v nejtenší části! 18

19 Volné kroucení uzavřeného tenkostěnného průřezu Příspěvek segmentu střednice číslo n ke kroutícímu momentu s F n= τ xs d n hn=t xs hn T n hn F n ρn =t xs hn ρn =t xs Ω n Fn Ωn Dvojnásobná plocha opsaná průvodičem Celkový kroutící moment M x = F n n=t xs n n n =h n n n M x =t xs =t xs s ds 1. Bredtův vzorec 19

20 Volné kroucení uzavřeného tenkostěnného průřezu = plocha = plocha Z deplanační funkce uzavřeného průřezu lze odvodit. Bredtův vzorec = GI k Ik= Ω ds d (s ). Bredtův vzorec Moment tuhosti ve volném kroucení GIk Torzní tuhost průřezu. U uzavřených průřezů řádově převyšuje torzní tuhost průřezů otevřených (při podobných tvarech průřezů).

21 Příklad porovnání průřezů stejných ploch v kroucení,9 m,8 m, m Porovnejte Ik, θ, Δj, τmax. Délka prutu m, = knm, G=15 GPa.,5 m Úzký obdélník b h b Ik= 1,6 h (, m Masivní průřez A=,4 m ) I k =e-6 m 4,1 m,9 m Uzavřený tenkostěnný průřez A=,4 m A=,4 m A4 I k 4 I p Ω=,5 =,15 m I p =, =66,7e-6 m 1 ds 4,5 = d(s),4 =5 θ= =6,5e-4 rad/m GI k θ= =8,e-4 rad/m GI k 4 Ω Ik= =65e-6 m dds(s ) θ= =,e-4 rad/m GI k Δ j x =θ L=1,5e- rad τ max b=4,69 MPa Ik Δ j x =θ L=1,67e- rad 9 τ max =1,69 MPa b h Δ j x =θ L=,64e- rad t xs τ max = = =,6 MPa d min Ω d min I k =4e-6 m 4 1

22 Příklad porovnejte Ik, τmax následujících průřezů max max max R R R d=,1 R d=,1 R Kruhová trubka Kruhová tyč Rozříznutá trubka R I k =I p = 4 π( R 4 (,9 R )4 ) I k =I p= π R4 I k =I p,4 R 1 1 I k = π R d= π,1 R4 π R4 I k =,1 max = M R= x Ip R τ max = M R=5,8 x Ip πr τ max = M d= x,1 R Ik Ik τ max =15 πr

23 Ohybové (vázané) kroucení K ohybovému kroucení dochází, pokud průřezy nemohou volně deplanovat. Vznikají sekundární napětí σx, τxy, τxz. Tyto sekundární napětí jsou významé pro tenkostěnné průřezy, zejména otevřené. Možné příčiny omezení deplanace x Vetknutí Změna průřezu Osamělý kroutící moment Ohybové kroucení nastává v inženýrské praxi velmi často, volné kroucení naopak zřídka.

24 Otázky 1. Kterých šest složek napětí a deformace je nulových při volném kroucení?. Co označuje deplanační funkce?. Které průřezy nikdy nedeplanují, u kterých je deplanace naopak význačná? 4. Jaký je vztah mezi deplanační funkcí a momentem tuhosti ve volném kroucení? 5. Napište moment tuhosti ve volném kroucení pro masivní průřez, tenký obdélník, otevřený tenkostěnný průřez a tenkostěnný uzavřený průřez. 6. Učiňte totéž pro maximální smykové napětí. 7. Ve kterých částech tenkostěnných otevřených a uzavřených průřezů vzniká největší smykové napětí? 8. Které typy průřezů mají nejmenší moment tuhosti ve volném kroucení? 9. Co je ohybové (vázané) kroucení a za jakých podmínek vzniká? Vytvořeno /11 v OpenOffice., Ubuntu 1.4, Vít Šmilauer, ČVUT 4