Přednáška 11 Od chaosu ke komplexitě všechnofyzika

Transkript

1 Pavel Cejnar Ústav částicové a jaderné fyziky MFF UK Přednáška Od chaosu ke komplexitě všechnofyzika Fyzika jako dobrodružství poznání MFF UK v Praze, letní semestr 05

2 Fyzika. druhu: kódování rot E roth B t D t j Maxwellovy rovnice div D divb 0

3 Fyzika. druhu: dekódování Henri Poincaré (854-9) ) ( 3 ) ( i j i j i j j i r r r r m G r }, {,,3 j i problém 3 těles

4 ) Klasický chaos ) Komplexita 3) Kvantový chaos-nechaos

5 (Ne)integrabilní systémy Učebnice klasické mechaniky si všímají především tzv. integrabilních systémů (např. matematické kyvadlo, harmonický oscilátor nebo Keplerův systém), ale naprostá většina skutečných systémů integrabilní není! p / ml f= f= Hamiltonovy rovnice H p q q (, ) p H p q p (, ) q vyjadřují tok po nadploše E=const ve fázovém prostoru (pro f = nadplocha 3D). Integrabilita: Systém s f stupni volnosti má f integrálů pohybu I, I I f v involuci : { I i, I j } = 0. Trajektorie int.systému ve fáz.prostoru leží na nadplochách topologicky ekvivalentních torům Pro f = integrabilita vyžaduje existenci dodatečného integrálu pohybu Pro f = jsou všechny systémy integrabilní tory = kružnice

6 (Ne)integrabilní systémy Učebnice klasické mechaniky si všímají především tzv. integrabilních systémů (např. matematické kyvadlo, harmonický oscilátor nebo Keplerův systém), ale naprostá většina skutečných systémů integrabilní není! Hamiltonovy rovnice zachovávají objem buňky fázového prostoru představují tok nestlačitelné kapaliny. Tvar buňky fázového prostoru se ale může stávat velmi Hamiltonovy rovnice H p q q (, ) p komplikovaným => možnost chaotických řešení vykazujících exponenciální citlivost k počátečním podmínkám efekt motýlího křídla H p q p (, ) q vyjadřují tok po nadploše E=const ve fázovém prostoru (pro f = nadplocha 3D). t t t = exponenciální vzdalování některých trajektorií

7 Problém 3 těles Existence chaotických řešení znamená faktický pád klasického determinismu zformulovaného v roce 84 Laplacem Příklad chaotického rozptylu 3 těles: Henri Poincaré (854-9) Pierre-Simon Laplace (749 87) Intelekt, jenž by v jistém okamžiku znal všechny síly, které uvedly přírodu do pohybu, a polohy všech věcí, z nichž se příroda skládá, by v jediné formuli obsáhl pohyby největších těles vesmíru i pohyby těch nejmenších atomů; pro takový intelekt by nic nebylo nejisté a před jeho očima by se zpřítomňovala budoucnost stejně jako minulost P. Hut, J.N. Bahcall, Astrophys. J. 68, 39 (983)

8 Problém 3 těles z historie V roce 885 vyhlašuje švédský & norský král Oscar II. u příležitosti svých 60. narozenin vědeckou soutěž (ceny: zlatá medaile a 500 zlatých korun) s cílem nalezení obecného analytického řešení (ve formě konvergující řady) dynamiky systému mnoha těles v nebeské mechanice. Henri Poincaré V roce888 se do soutěže přihlašuje Henri Poincaré (34 let) prací (854-9) nazvanou O problému tří těles a rovnicích dynamiky. Komise soutěže (Karl Weierstrass, Charles Hermite, Gösta Mittag-Leffler) jej vyhlašuje vítězem (i když plné řešení zadaného problému nepředložil). Když má být jeho 60 stránková práce publikována, editor upozorňuje na určité nejasnosti. Po dlouhém mlčení nachází Poincaré fatální chybu. Stahuje mezitím již vytištěné vydání práce a v roce 890 publikuje novou práci v rozsahu 70 stránek na vlastní náklady >500 korun (také zlatá medaile mu byla později ukradena). Její výsledky odhalují do té doby převážně skrytou bohatost a složitost řešení dynamických rovnic klasické mechaniky a ukazují jejich nestabilitu. Nová práce pokládá základy pozdějšího studia chaosu a komplexity ve fyzice i mimo ni

9 Problém 3 těles zjednodušení Redukovaný problém 3 těles: m m, m 0 & ( x, y, z) ( x, y,0) 0 3 Vyřeším pohyb těles + (rotace kolem těžiště) a hledám pohyb tělesa 3 v rotující soustavě v gravitačním poli těles + tj. se započtením => problém se stupni volnosti odstředivé & Coriolisovy síly L, L, L 3, L 4, L 5 Lagrangeovy body L 4 m m L 3 L R.Moeckel L m m L 3 Země-Měsíc: μ=0.05 Vhodnou volbou jednotek lze dosáhnout: x & x a za předpokladu kruhového pohybu + nabývají dynamické rovnice tvaru: x y y x x U (nestabilní rovnováha tělesa 3) y x y U U, kde: ( x ) y ( x ) y Existuje integrál pohybu (Jacobiho energie): E ( x y ) U( x, y Odvození: viz např. )

10 Problém 3 těles vizualizace Poincarého mapa: Poincaré vynalezl způsob vizualizace dynamiky obecného systému pomocí zobrazení opakovaných průchodů trajektorií řezem fázového prostoru ( stroboskopické zobrazení, návratová mapa ). Pro konzervativní (E=const) systém se stupni volnosti je mapa -rozměrná Všechny trajektorie leží na 3D nadploše E=const ve 4D fázovém prostoru x x y 0 Každý bod řezu protíná právě trajektorie (díky zachování E) Pokud by existoval. integrál pohybu, body patřící stejným trajektoriím by v rovině řezu ležely na křivkách průsečících řezu s tory (integrabilní systém) Pokud. integrál pohybu neexistuje, může řez vypadat třeba i takto:

11 Problém 3 těles vizualizace Země - Měsíc μ=0.05 E.59 EL Pavel Stránský x rovina řezu: y=0 směr průchodu x

12 Vznik chaosu je úchvatný! Proces vzniku chaosu při narušení integrabilního systému je fascinující a na jeho pochopení pracují generace matematiků kanonická poruchová teorie, KAM teorie symbolická dynamika, diskrétní mapy ergodická teorie stabilita diferenciálních rovnic George Birkhoff ( ) Andrej Kolmogorov ( ) disipativní systémy, atraktory proudění, turbulence Vladimir Arnold (937-00) Jürgen Moser (98-999)

13 Vznik chaosu je úchvatný! Proces vzniku chaosu při narušení integrabilního systému je fascinující a na jeho pochopení pracují generace matematiků ) ) Kolmogorov-Arnold-Moserův (KAM) teorém (954,63,6): racionální tory umírají nejdřív, silně iracionální tory přežívají nejdéle D: m const m m,, poměr frekvencí podél obou kružnic toru zlatý řez má nejpomaleji konvergující řadu tory s tímto (nebo obdobným) poměrem frekvencí přežijí nejdéle, m m >0 podmínka pro přežití toru (konstanta je úměrná síle poruchy) m m dolní mez m horní mez m Aproximace iracionálního čísla racionálním zlomkem m

14 Vznik chaosu je úchvatný! Proces vzniku chaosu při narušení integrabilního systému je fascinující a na jeho pochopení pracují generace matematiků ) ) ) Kolmogorov-Arnold-Moserův (KAM) teorém (954,63,6): racionální tory umírají nejdřív, silně iracionální tory přežívají nejdéle D: m const m,,, m m m ) Poincaré-Birkhoffův teorém (9,35): zánikem toru vzniká n periodických orbit, n z nich je stabilních, n nestabilních >0 Simulace M. Macek (ilustrativní příklad) P. Cejnar, P. Stránský, AIP Conf.Proc.575(04)3

15 Vznik chaosu Člověk je ohromen složitostí tohoto obrázku, který se zde ani neodvažuji nakreslit Proces vzniku chaosu při narušení integrabilního systému je fascinující a na jeho pochopení pracují generace matematiků ) ) 3) Simulace C.Simó (ilustrativní příklad) A. Chenciner: Seminaire Poincaré XVI(0)45 ) Kolmogorov-Arnold-Moserův (KAM) teorém (954,63,6): racionální tory umírají nejdřív, silně iracionální tory přežívají nejdéle D: m const m,,, m m m ) Poincaré-Birkhoffův teorém (9,35): zánikem toru vzniká n periodických orbit, n z nich je stabilních, n nestabilních 3) Heteroklinická změť (890): stabilní a nestabilní nadplochy kolem nestabilní orbity vytvářejí komplikovaný propletenec >0

16 Modelování chaosu Geometrický model atomového jádra (schematický popis jaderných vibrací) H px py 0 M 3 A( x y ) B( x 3y x) C( x y Hénon-Heilesův model 0 (schematický popis pohybu hvězd kolem centra galaxie) ) Potenciál pro A= 0.84, B,C,M= y Vysoká variabilita chování při změnách parametrů a energie: Poincarého mapy pro řez y=0 x E=4.4 A=.6, B,C,M= E=3 A= 0.84, B,C,M= E=.4 x x

17 Modelování chaosu Geometrický model atomového jádra (schematický popis jaderných vibrací) H px py 0 M 3 A( x y ) B( x 3y x) C( x y Hénon-Heilesův model 0 (schematický popis pohybu hvězd kolem centra galaxie) ) Potenciál pro A= 0.84, B,C,M= y P h y s i c a Magia Maxima E=4.4 A=.6, B,C,M= E=3 A= 0.84, B,C,M= E=.4 x

18 Modelování chaosu Geometrický model atomového jádra (schematický popis jaderných vibrací) H px py 0 M 3 A( x y ) B( x 3y x) C( x y Hénon-Heilesův model 0 (schematický popis pohybu hvězd kolem centra galaxie) ) f reg ( E) reg tot ( E) ( E) [0,] objem regulární části nadplochy E celkový (f -)-dim.objem nadplochy E A=, C,M= E=0 (energie lokálního maxima pro x,y=0) B= y 0 x integrabilní limita částečná regularita P. Stránský, M. Kurian, P. Cejnar, Phys. Rev. C 74 (006) P. Cejnar, P. Stránský, Phys. Rev. Lett. 93 (004) 050 Pavel Stránský x

19 Vláda chaosu Pro plně chaotické systémy platí ergodická teorie: Každá trajektorie po dostatečně dlouhém čase projde libovolně blízkým okolím všech bodů na dané energetické nadploše fázového prostoru všechny trajektorie jsou v podstatě ekvivalentní fyzikální veličiny sice podléhají nepředvídatelným fluktuacím, ale jejich střední hodnoty se dají dobře odhadnout integrací veličiny po energetické nadploše statistická předvídatelnost není tak hrozná G. Birkhoff 93 J. von Neumann 93 T lim dt Op( t), q( t) O O dpdq ( EH( p, q) ) T čas fázový T prostor ( E) 0 tot O( p, q) celkový (f -)-dimenzionální objem energetické nadplochy

20 ) Klasický chaos ) Komplexita 3) Kvantový chaos-nechaos

21 Fraktály Geometrické útvary, jejichž struktura je stejně Im c složitá při každé volbě škály +i Re c + N Fraktální dimenze D Pokrytí objektu d-dim mřížkou o straně L Předpoklad objem lin.rozmer d L L pro L 0 L počet obsahujících objekt X i X D L počet podél jedné strany objektu ln ln N N Dln X L ln C X L D Mandelbrotova množina hodnoty c, pro něž je komplexní posloupnost z n+ =(z n ) +c omezená

22 Celulární automaty C.a. = pravidelný systém buněk (obvykle D mříž), z nichž každá může nabývat diskrétní množiny stavů, např. {, }. C.a. se vyvíjí podle jistých lokálních pravidel v diskrétním čase t = 0,,,3 Navzdory jednoduchosti svých pravidel c.a. vytvářejí velmi složité struktury Sandpile modely popisují procesy podobné sesouvání hromádek písku: B ij Bij Bij 4 kl B kl počet zrnek v buňce (i,j) rozdíl vůči sousedním buňkám Dynamika: pokud ΔB ij B c (kritická hodnota) pak proveď: 4, B B B B B B ij ij 5 c původní buňka kl kl 5 sousední buňky Z historie: 940s: Stanislaw Ulam, John von Neumann: návrh a analýza prvních celulárních automatů 970: John Conway: model The Game of Life 987: Per Bak, Chao Tang, Kurt Wiesenfeld: semenný článek Self-Organized Criticality 00: Stephen Wolfram: kniha A New Kind of Science c periodická struktura ( gun ) generovaná v modelu Game of Life C.Rocchini (Wikipedia)

23 Celulární automaty Rovnoměrné přihazování zrnek do náhodných buněk. Při překročení kritického gradientu rozdělení zrnek dochází ke kaskádovitému přerozdělování. Vzniklé laviny vykazují škálovou invarianci a vznikají při nich fraktální útvary! Time t=6 Time t=8 Time t=3 Sandpile modely viz např. M.J. Aschwanden, Astronomy & Astrophysics 539 (0); arxiv:.4859 Nafitovaná fraktální dimenze: (teoretická předpověď: D = 3/) D lavina #68: vybrané momentky počátek laviny

24 Celulární automaty Škálová invariance v akci: celulární automat se samovolně vyvine do stavu, kdy jakkoli malý podnět může způsobit lavinu libovolné velikosti. Pravděpodobnosti výskytu lavin o rozloze S a s dobou trvání T je určena mocninnými závislostmi: self-organized criticality (samosezorganizovavší kritikalita ) Per Bak, Chao Tang, Kurt Wiesenfeld, Phys. Rev. A 38, 364 (988) P P P( t) T S T ( S) S. 57 S P T R.V. Solé: Phase Transitions (0) S T zemětřesení lesní požáry USA kritický Isingův model Slope -.0 s D.L. Turcotte, Rep. Prog. Phys. 6 (999) 377 S (km )

25 Škálová invariance Nezávislost na škále (byť jen v konečném rozsahu hodnot ) vykazuje řada reálných jevů! Benfordův zákon Namátkou: Sesuvy půdy, laviny Sluneční erupce Evoluce & extinkce druhů Války, nehody, katastrofy Burzovní obchody Difuze, turbulence Srdeční, mozková aktivita Lingvistika, DNA R.V. Solé: Phase Transitions (0) Wienerův proces (ideální Brownův pohyb) zdroj: Wikipedia P( x) Škálově invariantní rozdělení x hodnot x nějaké sledované veličiny vede k nerovnoměrnému rozdělení zastoupení první platné cifry: P( dx) log0( dx) log0 Že se tímto zákonem řídí mnoho odlišných souborů čísel si všiml astronom S. Newcomb v r.88. V r.938 fyzik Frank Benford jeho platnost ověřil na 0 9 souborech čísel (délky 335 řek, velikost 359 amer.obcí, hodnoty 04 fyzikálních konstant, 800 molekulárních vah, 5000 položek matematické příručky, 308 čísel z Reader's Digest, adresy 34 osob v American Men of Science..) d x zdroj: Wikipedia zemětřesení lesní požáry USA kritický Isingův model Slope -.0 s D.L. Turcotte, Rep. Prog. Phys. 6 (999) 377 S (km )

26 Logistické mapy Schematický model pro vývoj populace inspirovaný Verhulstovou rovnicí z roku 838. Relativní populace n. generace: populace (n+).generace: N / N [0, ] max x x n f ( x ) n n n n r x parametr, jenž zásadním způsobem ovlivňuje evoluci r =3.74 x 0 = ( x ) r [0,4] x n x n pro r > 4 posloupnost x n opouští povolený interval Pierre François Verhulst (804 49) x n x n zdroj: WolframMathWorld zdroj: Wikipedia

27 Logistické mapy Atraktor: množina hodnot x n, do nichž se systém vyvíjí při n z libovolné poč. hodnoty x 0 (tyto hodnoty se pro velká n budou opakovat v periodických cyklech) x * x x f ( x ) n n n n r x x ( x ) x x a c d r n r 3.5 n r 3.8 n b r 3. n r 0 = atraktor 0 r =3 perioda= r = perioda=4 r 3 = r = perioda= r lim n r perioda=8 n r r n n n Feigenbaumova konstanta ostrovy regularity soběpodobné struktury a Fraktální dimenze atraktoru v bodě r je D = Základy modelu - viz např.: r b c d

28 x 0 x 0 Bernoulliova mapa Lineární kongruenční rovnice: x x x n n (mod) V binárním zápisu je tato transformace vyjádřena jako ciferný posun (doleva o jedno místo): () () (3) (4) 0 bn bn bn b 0 3 () () (3) (4) n n 0. bn bn bn bn 4 () ( ) (3) ( 4) b () ( ) (3) ( 4) n bn bn bn b n b n b n b n () (3) (4) (5) () (3) (4) (5) 0 bn bn bn bn xn 0. bn bn bn bn cifra lokalizuje bod v levé/pravé ½ intervalu [0,]. cifra daného ½-intervalu 3. cifra daného ¼-intervalu... 0 levá ½ (k) b n pravá ½ 0 ¼ ½ ¾ Bernoulliova transformace generuje chaotické trajektorie! Např. sekvence vycházející z těchto počátečních bodů jsou ve 4. kroku v opačných ½-intervalech:

29 Algoritmická komplexita n Složitost K(B n n ) binární sekvence bi B i délky n je rovna minimální bitové délce počítačového programu schopného tuto sekvenci vygenerovat n n Pro jednoduché sekvence: K( B ) log n např. for i= to n print n n Pro složité sekvence: K(B ) n výčet elementů: print { b, b,, b n } Složitost nekonečné sekvence: K( B K( B ) lim n n n ) 0 jednoduché sekvence 0 složité Maximálně složité sekvence jsou z praktického hlediska zcela náhodné! Pozn.: teorie algoritmické složitosti viz A. Kolmogorov, G. Chaitin, R. Solomonov (970s); fyzikální důsledky J. Ford (& G.Mantica), Physics Today 983, p.40 & Am. J. Phys. 60 (99) 086 Bernoulliova mapa generuje maximálně složité sekvence Klasická mechanika generuje maximálně složité sekvence fázový prostor Dim = 6N #i 0 Rozdělení fázového prostoru na očíslované buňky. Sledujeme sekvenci buněk #i 0,#i,, #i k, kterými prochází trajektorie z definovaného počátečního bodu t #i k

30 ) Klasický chaos ) Komplexita 3) Kvantový chaos-nechaos

31 Kvantová evoluce je unitární! Vývoj stavového vektoru je lineární a zachovává skalární součiny: Změna počáteční podmínky: nový stavový vektor (0) (0) porucha (infinitesimální koeficient δ ) (0) původní stavový vektor Dim ~ exp N ( t) i ˆ ( t) e Ht (0) vývoj nového vektoru: e ( t) Rozdíl řešení: ˆ ( t) i i Ht (0) e Ht (0) ˆ ( t) ( t) ( t) ( t) d ( t) ( t) Kvantová mechanika je algoritmicky jednoduchá (sic )!!! Hilbertův prostor Vzdálenost řešení Aproximace stavového vektoru v čase 0 na dané úrovni přesnosti umožňuje predikce pro libovolné časy t na stejné úrovni přesnosti! ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) t 0 se nemění! t

32 Kvantově-klasická korespondence S linearitou kvantové evoluce (bez měření) ožívá myšlenka Laplaceova démona. Predikce pro libovolné časy lze provést na kvantové úrovni fázový prostor Dim = 6N a pak přejít na klasickou úroveň pomocí klasické limity QM t kvantování systému a evoluce pro zvolený semiklasický počáteční stav (např. vlnový balík) Hilbertův prostor Dim ~ exp N To má ale háček klasická limita ħ 0 t

33 Kvantově-klasická korespondence Korespondence mezi klasickou a kvantovou mechanikou (pro semiklasické počáteční stavy) na velmi dlouhé časové škále zaniká L Ehrenfestův čas t E tchaos ln Heisenbergův čas fázový prostor Dim = 6N Interakce systému s prostředím zpravidla nástup kvantového režimu oddaluje (tím víc, čím větší je prostředí) ale vesmír jako celek (je-li to izolovaný kvantový systém) by měl být nechaotický! Hilbertův prostor Dim ~ exp N Q kvantové fluktuace ničí jemná vlákna ve fázovém prostoru nastupuje kvantový režim E t t H E 3N kvantová buňka klasická limita ħ 0 t

34 Kvantový chaos Energie Regularita/chaoticita klasické dynamiky má zásadní vliv na vzájemné korelace mezi hladinami kvantových spekter Např. rozdělení normalizovaných vzdáleností mezi sousedními hladinami E n3 E n E n E n s E E střední energ.vzdálenost v dané oblasti spektra Fenomén odpuzování hladin v chaotických systémech There is no quantum chaos in the sense of exponential sensitivity to initial conditions, but there are several novel quantum phenomena which reflect the presence of classical chaos. The study of these phenomena is quantum chaology. Michael Berry (*94) regulární biliár Poissonovo rozdělení s P( s) e chaotický biliár T-symetrický případ Wignerovo rozdělení P( s) 4 se s absence korelací mezi hladinami silné korelace mezi hladinami A.Bäcker (007)

35 Kvantový chaos Energie Regularita/chaoticita klasické dynamiky má zásadní vliv na vzájemné korelace mezi hladinami kvantových spekter Např. rozdělení normalizovaných vzdáleností mezi sousedními hladinami E n3 E n E n E n s E E střední energ.vzdálenost v dané oblasti spektra Fenomén odpuzování hladin v chaotických systémech There is no quantum chaos in the sense of exponential sensitivity to initial conditions, but there are several novel quantum phenomena which reflect the presence of classical chaos. The study of these phenomena is quantum chaology. Michael Berry (*94) regulární biliár Poissonovo rozdělení s P( s) e P( s) 4 s e 3 s chaotický biliár T-symetrický případ Wignerovo rozdělení P( s) 4 se s absence korelací mezi hladinami silné korelace mezi hladinami A.Bäcker (007)

36 Kvantový chaos Korelace ve spektrech chaotických systémů mají univerzální charakter a jsou popsány teorií náhodných matic dá se aplikovat v různých fyzikálních systémech 56 Gd Spektrum atomového jádra Elastomechanické módy nepravidelného krystalu Si (experiment) Neutrální atomy Hf, Ta, W, Re, Os, Ir (exp.data) Rosenzweig, Porter (960) energie po absorpci neutronu Ellegaard et al. (996) Vzdálenost jaderných rezonancí (76 experimentálních hodnot) Niels Bohr (936) Eugene Wigner (955) Oriol Bohigas et al. (98) Wigner Atom H v silném mg.poli (num. výpočet) Wintgen, Friedrich (987)

37 Kvantový chaos Korelace ve spektrech chaotických systémů mají univerzální charakter a jsou popsány teorií náhodných matic přesah do mnoha oblastí daleko mimo fyziku Vzdálenost vlastních hodnot autokorelačních matic EEG signálu Cuernavaca Vzdálenost autobusů MHD (v Mexiku) Puebla Šeba (003) Šeba et al. (000) Vzdál. vl.hodnot korel. matic pro různé meteorologické veličiny Santhanam et al. (00) Vzdál. vl.hodnot korel.matic pro fluktuace cen akcií Plerou et al. (00) Vzdál.vl.hod.korel.matic pro posunutí molekul v proteinech Potestio et al. (009)

38 Vesmír možná není chaotický ale i tak je krásný! kvantový svět??? klasický svět Četba: Linda E. Reichl: The Transition to Chaos: Conservative Classical Systems and Quantum Manifestations (Springer, 004) A. Lesne, M. Leguës: Scale Invariance: From Phase Transitions to Turbulence (Springer 0)