4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 2
|
|
|
- Dagmar Říhová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 4EK311 Operačí výzkum 4. Distribučí úlohy LP část 2
2 4.1 Dopraví problém obecý model miimalizovat za podmíek: m z = c ij x ij i=1 j=1 j=1 m i=1 x ij = a i, i = 1, 2,, m x ij = b j, j = 1, 2,, x ij 0, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 16
3 4.2 KDP obecý model miimalizovat za podmíek: j=1 m i=1 z = m i=1 j=1 c ij y ij x ij a i, i = 1, 2,, m x ij = b j, j = 1, 2,, x ij Ky ij, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, x ij 0, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, y ij 0, celé, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 38
4 4.3 Obecý distribučí problém (ObDP) Je velmi podobý DP především svým MM Ekoomické modely se liší: v DP jde o rozděleí (distribuci) zdrojů, které se ijak eměí, pouze se převážejí v ObDP jde o rozděleí (distribuci) čiostí, jejichž realizací vzikají ové výrobky Cílem je takové rozděleí čiostí, které miimalizuje áklady Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 40
5 4.3 Příklad - zadáí Firma Kiha se zabývá tiskem kih. Ke své čiosti používá dva tiskařské stroje. Každý stroj může pracovat 100 hodi. Tiske dva typy kih (kihy pro děti a romáy pro dospělé). Dle smlouvy musí tiskára vytiskout 1500 kusů kih pro děti a 1500 kusů romáů pro dospělé. Cílem je zajistit tisk požadovaého možství kih s miimálími áklady. Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 41
6 4.3 Obecý distribučí problém (ObDP) Je dá: počet výrobích zařízeí m (idex i = 1, 2,, m) počet růzých druhů výrobků (idex j = 1, 2,, ) kapacity výrobích zařízeí a i požadovaá možství jedotlivých výrobků b j výkoostí koeficiety udávající výkoost i-tého zařízeí při výrobě j-tého druhu výrobku k ij cea (jedotkové áklady) za výrobu j-tého druhu výrobku a i-tém zařízeí c ij Na rozdíl od dopravího problému jsou kapacity a požadavky zadáy v růzých jedotkách Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 42
7 4.3 ObDP koeficiety modelu Výkoostí (k ij ) a ceové (c ij ) koeficiety mohou být dáy dvěma způsoby (podle toho se pak také volí proměá): Způsob 1 k ij - produktivita práce i tého zařízeí při výrobě j tého druhu výrobku Např. kolik výrobků vyrobí stroj za časovou jedotku [ks/hod] c ij - cea za časovou jedotku práce i tého zařízeí při výrobě výrobku j tého druhu Např. kolik stojí hodia práce daého stroje [Kč/hod] x ij - proměé udávají počet časových jedotek, po které i tý stroj vyrábí j tý výrobek Např. jak dlouho bude daý stroj vyrábět daý výrobek [hod] Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 43
8 4.3 Příklad - koeficiety modelu Výkoostí koeficiety (k ij ) Ceové koeficiety (c ij ) [ks/hod] Dětská Romá Stroj Stroj [Kč/hod] Dětská Romá Stroj Stroj Proměé (x ij ) počet hodi, po které i tý stroj vyrábí j tou kihu [hod] Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 44
9 4.3 Příklad řádková omezeí modelu Výkoostí koeficiety (k ij ) Proměé (x ij ) počet hodi, po které i tý stroj vyrábí j tou kihu [hod] Omezeí pro Stroj 1: Omezeí pro Stroj 2: Dětská Romá Kapacity Stroj 1 20 ks/hod 5 ks/hod 100 hod Stroj 2 10 ks/hod 20 ks/hod 100 hod Požadavky x 11 + x [hod] x 21 + x [hod] Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 45
10 4.3 ObDP řádková omezeí Proměé x ij udávají počet časových jedotek, po které i tý stroj vyrábí j tý výrobek Řádková omezeí se formulují stejě jako v DP: j=1 x ij a i, i = 1, 2,, m Na levé straě omezeí je skutečé čerpáí kapacity zdroje Na pravé straě je celková kapacita zdroje Jedotky vlevo i vpravo jsou stejé (apř. hodiy), přepočet eí třeba Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 46
11 4.3 Příklad sloupcová omezeí modelu Výkoostí koeficiety (k ij ) Dětská Romá Kapacity Stroj 1 20 ks/hod 5 ks/hod 100 hod Stroj 2 10 ks/hod 20 ks/hod 100 hod Požadavky Proměé (x ij ) počet hodi, po které i tý stroj vyrábí j tou kihu [hod] Omezeí pro Dětské kihy: 20x x 21 = 1500 [ks] Omezeí pro Romáy pro dospělé: 5x x 22 = 1500 [ks] Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 47
12 4.3 ObDP sloupcová omezeí Sloupcová omezeí zabezpečují splěí požadavků: m i=1 kde k ij je koeficiet výkoosti k ij x ij = b j, j = 1, 2,, ks hod hod = ks Proměé x ij jsou v tomto modelu vyjádřey v časových jedotkách Pravá straa sloupcového omezeí b j vyjadřuje požadavek a možství výrobku, tj. možství apř. v kusech, kg apod. Koeficiet výkoosti umoží přepočet a shodé jedotky Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 48
13 4.3 ObDP účelová fukce Účelovou fukci většiou miimalizujeme stejě jako u DP: z = Kč = m i=1 j=1 c ij x ij Na rozdíl od DP eí možo určit před výpočtem, zda je problém vyrovaý ebo e Kč hod hod Vlastí omezeí proto a rozdíl od DP eformulujeme všecha jako rovice, ale podle EM volíme buď v řádkových ebo sloupcových omezeích erovice Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 49
14 4.3 ObDP obecý model miimalizovat za podmíek: m z = c ij x ij i=1 j=1 j=1 m i=1 x ij a i, i = 1, 2,, m k ij x ij = b j, j = 1, 2,, x ij 0, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 50
15 x 11 = 75 x 22 = ObDP optimálí řešeí Stroj 1 bude 75 hodi tiskout dětské kihy Stroj 2 bude 75 hodi tiskout romáy x 12 = x 21 = 0 Stroj 1 ebude tiskout žádé romáy a stroj 2 žádé dětské kihy x 3 = x 4 = 25 Na každém stroji zbude 25 volých hodi y 1 = y 2 = 0 Vytiske se přesě 1500 kih každého druhu 75 hod 20 ks = 1500 [ks] hod z = 4500 Miimálí áklady čií 4500 Kč 10 Kč 75 hod + 50 Kč 75 hod = 4500 [Kč] hod hod Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 51
16 4.3 ObDP koeficiety modelu 2 Výkoostí (k ij ) a ceové (c ij ) koeficiety mohou být dáy dvěma způsoby (podle toho se pak také volí proměá): Způsob 2 k ij - spotřeba kapacity zdroje a jedu jedotku výrobku j tého druhu vyrobeého a i tém zařízeí Např. jak dlouho trvá trvá výroba jedoho výrobku a daém stroji [hod/ks]) c ij - cea za jedotku výrobku j tého druhu vyrobeého a i tém zařízeí Např. kolik stojí jede výrobek [Kč/ks] x ij - počet jedotek j tého výrobku vyrobeých i tým zařízeím Např. kolik výrobků vyrobí daý stroj [ks] Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 52
17 4.3 ObDP obecý model 2 miimalizovat za podmíek: m z = c ij x ij i=1 j=1 j=1 m i=1 k ij x ij a i, i = 1, 2,, m x ij = b j, j = 1, 2,, x ij 0, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 59
18 4.4 Přiřazovací problém (PP) Jedá se o vzájemě jedozačé přiřazeí dvojice jedotek ze dvou skupi (párováí) Např. může jít o auta a garáže, stavby a rypadla, pracovíci a pracoví místa apod. Toto přiřazeí má přiést co ejvyšší efekt Můžeme miimalizovat ujetou vzdáleost, áklady, maximalizovat pracoví výko apod. Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 60
19 4.4 Příklad - zadáí Nově otevřeý obchodí dům testoval ve zkušebím provozu výkoost pracovích skupi prodavačů a jedotlivých odděleích (v procetech průměré tržby viz tabulku) Určete, jak rozmístit skupiy pracovíků a jedotlivá odděleí tak, aby celková výkoost (měřeá v % tržby) byla maximálí Tržba [%] Potraviy Porcelá Textil Pracoví skupia č Pracoví skupia č Pracoví skupia č Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 61
20 4.4 Přiřazovací problém (PP) Předpokládáme, že obě skupiy mají stejý počet prvků Pokud emají, lze jedu ze skupi doplit fiktivími jedotkami Řeší se speciálími metodami pro bivaletí úlohy ebo heuristickými metodami, které dávají přibližé výsledky (maďarská metoda, metoda větví a mezí) Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 62
21 4.4 Přiřazovací problém (PP) Jsou dáy: Jedotky prví skupiy () A i, i = 1, 2,, Jedotky druhé skupiy () B j, j = 1, 2,, Ceové koeficiety c ij určující ceu přiřazeí každé dvojice jedotek A i a B j Proměé x ij určující, zda i tá jedotka z prví skupiy bude přiřazea j té jedotce ze skupiy druhé (A i k B j ) Proměé x ij jsou bivaletí, mohou abývat pouze dvou hodot ula (0) ebo jeda (1) Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 63
22 4.4 Příklad matematický model maximalizovat za podmíek: c ij O1 O2 O3 P P P z = 101x x x 33 x 11 + x 12 + x 13 = 1 x 21 + x 22 + x 23 = 1 x 31 + x 32 + x 33 = 1 x 11 + x 21 + x 31 = 1 x 12 + x 22 + x 32 = 1 x 13 + x 23 + x 33 = 1 x ij O1 O2 O3 P1 x 11 x 12 x 13 P2 x 21 x 22 x 23 P3 x 31 x 32 x 33 x ij 0,1, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3 Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 64
23 4.4 PP formulace MM Hodoty proměých x ij jsou omezey jedozačým přiřazeím jedotek prví skupiy jedotkám druhé skupiy a aopak Počet těchto omezeí je tedy + = 2 pro jedotky prví skupiy A i (řádková omezeí) j=1 x ij = 1, i = 1, 2,, pro jedotky druhé skupiy B j (sloupcová omezeí) i=1 x ij = 1, j = 1, 2,, Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 65
24 4.4 PP formulace MM Podmíky ezáporosti a bivalece: Podmíky ezáporosti jsou díky bivaleci splěy automaticky x ij = 1, pokud je A i přiřazeo k B j, i = 1, 2,,, j = 1, 2,, 0, pokud eí A i přiřazeo k B j, Účelová fukce: maximalizovat (mi) z = z = c 11 x 11 + c 12 x c x i=1 j=1 c ij x ij Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 66
25 4.4 PP obecý model Maximalizovat (miimalizovat) z = za podmíek: j=1 i=1 i=1 j=1 c ij x ij x ij = 1, i = 1, 2,, x ij = 1, j = 1, 2,, x ij 0,1, i = 1, 2,,, j = 1, 2,, Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 67
26 4.4 Příklad přípusté řešeí c ij O1 O2 O3 P P P B j A i c ij x ij O 1 O 2 O 3 a i P P b j Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 68
27 4.4 Příklad optimálí řešeí Řešeí v předchozí tabulce je eje přípusté, ale i optimálí. Prví pracoví skupia (P1) bude umístěa v odděleí potravi (O1) Druhá skupia (P2) v odděleí textilu (O3) Třetí (P3) v odděleí porceláu (O2) Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 69
28 4.5 Okruží dopraví problém (OkDP) Historický ázev tohoto typu úlohy LP je problém obchodího cestujícího (aglicky Travellig Salesma Problem TSP): obchodí cestující má vyjít z místa M1 obejít staoveý počet míst tak, aby do každého jedou vešel a jedou z ěj vyšel cestu musí absolvovat ajedou celková délka cesty musí být miimálí Na rozdíl od DP ejde o určeí přepravovaých možství, ale o staoveí dopraví cesty Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 70
29 4.5 Okruží dopraví problém (OkDP) Je dá: Počet míst Výchozí místo cesty M 1 Ostatí místa M 2, M 3,, M Ceové koeficiety c ij určující vzdáleost mezi místy M i a M j Proměé x ij určují, zda z i tého místa povede přímá cesta do j tého místa (z M i se jde přímo do M j ) Proměé x ij jsou bivaletí, mohou abývat pouze dvou hodot ula (0) ebo jeda (1) Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 71
30 4.5 Okruží dopraví problém (OkDP) Podmíky ezáporosti a bivalece: Podmíky ezáporosti jsou díky bivaleci splěy automaticky x ij = 1, pokud z M i vede cesta přímo do M j, 0, pokud z M i evede cesta přímo do M j, i = 1, 2,,, j = 1, 2,, Úkolem je ajít ejkratší cestu, která vychází z M 1, zahruje všecha ostatí místa a vrací se do M 1 v jediém okruhu Cesta se tedy esmí skládat ze dvou ebo více samostatých okruhů Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 72
31 Kralupy 4.5 Příklad - zadáí 24 Mělík 26 Problém bakovího lupiče Bradýs Praha Kolí Beešov 61 Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 73
32 4.5 Okruží dopraví problém (OkDP) Jedá se v celé své podstatě o přiřazovací problém Z každého města M i je potřeba odjet (řádková omezeí) x ij M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 j=1 x ij = 1, i = 1, 2,, Do každého města M j je třeba vjet (sloupcová omezeí) i=1 x ij = 1, j = 1, 2,, M 1 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 x 16 M 2 x 21 x 22 x 23 x 24 x 25 x 26 M 3 x 31 x 32 x 33 x 34 x 35 x 36 M 4 x 41 x 42 x 43 x 44 x 45 x 46 M 5 x 51 x 52 x 53 x 54 x 55 x 56 M 6 x 61 x 62 x 63 x 64 x 65 x 66 Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 74
33 4.5 OkDP okruhy v řešeí M 1 M 5 M 3 M 4 M 2 M 6 M 1 Řešeí v tabulce obsahuje jediý okruh Je tedy přípusté x ij M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 1 1 M 2 1 M 3 1 M 4 1 M 5 1 M 6 1 Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 75
34 4.5 OkDP okruhy v řešeí M 1 M 3 M 2 M 4 M 1 M 5 M 6 M 5 Řešeí v tabulce obsahuje dva dílčí okruhy Neí tedy přípusté x ij M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 1 1 M 2 1 M 3 1 M 4 1 M 5 1 M 6 1 Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 76
35 4.5 OkDP okruhy v řešeí (Ati)smyčkové podmíky: zamezují vytvořeí většího možství okruhů δ i δ j + x ij 1, i = 1, 2,,, j = 2, 3,, Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 77
36 4.5 Příklad okruhy δ i δ j + x ij 1 δ 1 δ x 13 5 δ 2 δ x 24 5 δ 3 δ x 32 5 x ij M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 1 1 M 2 1 M 3 1 M 4 1 M 5 1 M 6 1 δ 5 δ x 56 5 δ 6 δ x 65 5 δ 5 δ δ 6 δ Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 78
37 4.5 OkDP obecý model Miimalizovat z = za podmíek: j=1 i=1 i=1 j=1 c ij x ij x ij = 1, i = 1, 2,, x ij = 1, j = 1, 2,, α i α j + x ij 1, i = 1, 2,,, j = 2, 3,, x ij 0,1, i = 1, 2,,, j = 1, 2,, Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 79
38 4.5 OkDP řešeí modelu Vzhledem k tomu, že proměé modelu jsou bivaletí, eí vhodé použít simplexovou metodu Problém obchodího cestujícího řešíme jedou z variat metody větví a mezí Je také možé využít k jeho řešeí metod zámých z teorie grafů a sítí Města, která mají být avštívea, jsou uzly grafu Cesty mezi imi jsou hray grafu Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 80
39 Kralupy 4.5 Příklad - řešeí 24 Mělík 26 Problém bakovího lupiče Praha Beešov Kolí Bradýs Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D z = 244 Kr Mě Pr Br Be Ko δ i Kralupy Mělík Praha Bradýs Beešov Kolí
40 4.6 Úloha o pokrytí (ÚoP) Jde o jedu z variat přiřazovacího problému Je třeba rozhodout o umístěí K obslužých staic (hasičská staice, prví pomoc atd.) Území působosti těchto staic je rozděleo do obvodů ( > K) Každý obvod je obsluhová jedou staicí Je třeba určit, do kterých obvodů bude umístěa určitá obslužá staice Současě je třeba určit území působosti této staice Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 82
41 4.6 Příklad - zadáí Ve dvou z šesti městských obvodů O1, O2,..., O6 se má postavit staice rychlé pomoci a určit, které obvody budou mít zřízeé staice a starosti V tabulce je: průměrý čas, který potřebuje staice zřízeá v obvodě O i pro příjezd k pacietovi v obvodě O j (v miutách) průměrá frekvece zásahů rychlé pomoci v jedotlivých obvodech Cílem je avrhout, kde zřídit staice a které obvody jim přiřadit tak, aby celková průměrá doba obsluhy byla miimálí Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 83
42 4.6 Příklad - zadáí Obvody O 1 O 2 O 3 O 4 O 5 O 6 O O O O O O Četosti Obvody Staice O 1 y 1 O 2 y 2 O 3 y 3 O 4 y 4 O 5 y 5 O 6 y 6 Celkem 2 Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 84
43 4.6 Úloha o pokrytí (ÚoP) Je dá: počet obvodů (míst) O 1, O 2, O 3,, O obvody území K počet obslužých staic (K < ) c ij ceové koeficiety určující průměrou dobu potřebou k obsloužeí obvodu O j obslužou staicí z obvodu O i (apř. doba dojezdu), i = 1, 2,,, j = 1, 2,, f j průměré frekvece služeb potřebých v obvodě O j, j = 1, 2,, Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 85
44 4.6 Úloha o pokrytí (ÚoP) - proměé V úloze se vyskytují dva typy bivaletích proměých: y i 0,1 x ij 0,1 i = 1, 2,,, j = 1, 2,, Obvody O 1 O 2 O 3 O 4 O 5 O 6 O 1 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 x 16 O 2 x 21 x 22 x 23 x 24 x 25 x 26 O 3 x 31 x 32 x 33 x 34 x 35 x 36 O 4 x 41 x 42 x 43 x 44 x 45 x 46 O 5 x 51 x 52 x 53 x 54 x 55 x 56 O 6 x 61 x 62 x 63 x 64 x 65 x 66 y i udává, zda v obvodě O i bude či ebude vystavěa staice x ij udává, zda staice v obvodě O i bude či ebude obsluhovat obvod O j Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 86 Obvody Staice O 1 y 1 O 2 y 2 O 3 y 3 O 4 y 4 O 5 y 5 O 6 y 6 Celkem 2
45 Sloupcová omezeí: 4.6 ÚoP formulace MM Hodoty proměých y i jsou omezey celkovým počtem staic, které je třeba postavit (jedo omezeí): i=1 y i = K Každý obvod musí být ěkým obsluhová ( sloupcových omezeí) i=1 x ij = 1, j = 1, 2,, Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 87
46 4.6 ÚoP formulace MM Řádková omezeí: Pokud v obvodě O i eí vybudováa staice (y i = 0), emůže obvod ikoho obsluhovat. j=1 x ij = 0 Pokud v obvodě O i je vybudováa staice (y i = 1), může obsluhovat maximálě obvodů. j=1 x ij, i = 1, 2,, Obě omezeí lze zapsat jedou podmíkou: j=1 x ij y i, i = 1, 2,, Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 88
47 4.6 ÚoP formulace MM Zpřísěí: každá vybudovaá staice musí obsluhovat alespoň jede obvod. Vybudujeme-li K staic (a každá musí obsloužit alespoň jede obvod), zbývá přiřadit zbylých K obvodů. Každá staice tedy může obsluhovat těchto K obvodů a te původí jede, tj. maximálě K + 1 obvod j=1 x ij ( K + 1)y i, i = 1, 2,, Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 89
48 Účelová fukce: 4.6 ÚoP formulace MM miimalizovat celkovou průměrou dobu obsluhy a území: Doba jedé obsluhy obvodu O j staicí z obvodu O i je c ij x ij Frekvece f j udává, kolikrát k této obsluze průměrě dojde Celková doba obsluhy obvodu O j staicí z obvodu O i je tedy c ij x ij f j Miimalizovat z = i=1 j=1 c ij x ij f j Obvody O 1 O 2 O 3 O 4 O 5 O 6 O O O O O O Četosti Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 90
49 4.6 ÚoP obecý model Miimalizovat za podmíek: j=1 i=1 z = i=1 j=1 c ij x ij f j x ij = 1, j = 1, 2,, x ij ( K + 1)y i, i = 1, 2,, i=1 y i = K, x ij 0,1, i = 1, 2,,, j = 1, 2,, y i 0,1, i = 1, 2,, Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 91
50 4.6 Příklad - řešeí Obvody O 1 O 2 O 3 O 4 O 5 O 6 O O O O O O Obvody Staice O 1 0 O 2 0 O 3 0 O 4 1 O 5 0 O 6 1 Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 92
51 4.6 Příklad optimálí řešeí Řešeí v předchozí tabulce je eje přípusté, ale i optimálí. Jeda staice rychlé pomoci bude umístěa v obvodu O 4 Bude obsluhovat obvody O 1, O 4, O 5 Druhá staice rychlé pomoci bude umístěa v obvodu O 6 bude obsluhovat obvody O 2, O 3, O 6 Pláovaé zásahy budou trvat přibližě 1488 miut Průměrá doba zásahu je odtud 7,09 miut Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 93
52 Detaily k předášce: skripta, kapitola 3 (kap. 3, 3.1 a 3.2) KONEC Mgr. Sekičková Jaa, Ph.D. 94
4EK212 Kvantitativní management 4. Speciální úlohy lineárního programování
4EK212 Kvatitativí maagemet 4. Speciálí úlohy lieárího programováí 3. Typické úlohy LP Úlohy výrobího pláováí (alokace zdrojů) Úlohy fiačího pláováí (optimalizace portfolia) Směšovací problémy Nutričí
4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování
4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování 4. Typické úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Směšovací problémy
MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254
Evropský sociálí fod Praha & EU: Ivestujeme do vaší budoucosti Teto materiál vzikl díky Operačímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254 Maažerské kvatitativí metody II - předáška č.1 - Dyamické
OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN
Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,
Deskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
Odhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL
Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,
Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).
STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,
8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor
8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě
Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n
Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky
I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené
I. Výpočet čisté současé hodoty upraveé Příklad 1 Projekt a výrobu laserových lamp pro dermatologii vyžaduje ivestici 4,2 mil. Kč. Předpokládají se rovoměré peěží příjmy po zdaěí ve výši 1,2 mil. Kč ročě
Vícekanálové čekací systémy
Vícekaálové čekací systémy taice obsluhy sestává z ěkolika kaálů obsluhy, racujících aralelě a avzájem ezávisle. Vstuy i výstuy systému mají oissoovský charakter. Jedotky vstuující do systému obsadí ejrve
6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN
Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha
Pojem času ve finančním rozhodování podniku
Pojem času ve fiačím rozhodováí podiku 1.1. Výzam faktoru času a základí metody jeho vyjádřeí Fiačí rozhodováí podiku je ovlivěo časem. Peěží prostředky získaé des mají větší hodotu ež tytéž peíze získaé
2. Finanční rozhodování firmy (řízení investic a inovací)
2. Fiačí rozhodováí firmy (řízeí ivestic a iovací) - fiačí rozhodováí je podmožiou fiačího řízeí (domiatí) - kompoety = složky: výběr optimálí variaty zdrojů fiacováí užití získaých prostředků uvážeí vlivu
STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson
STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,
Komplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF
Úloha číského listooše ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Uvažujme situaci, kdy exstuje ějaký výchozí uzel a další uzly spojeé hraami (může jít o cesty, ulice
4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ
4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/
Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a Státím rozpočtem ČR IoBio CZ..07/2.2.00/28.008 Připravil: Ig. Vlastimil Vala, CSc. Metody zkoumáí ekoomických jevů Kapitola straa 3 Metoda Z řeckého
Závislost slovních znaků
Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví
8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
Lineární programování
Lieárí programováí Adjugovaý problém lieárího programováí V případě řešeí problému lieárího programováí LP ma{ c T : A b 0} získáváme výchozí přípustou jedotkovou bázi u doplňkových proměých a za předpokladu
10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR
Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo
Metodický postup pro určení úspor primární energie
Metodický postup pro určeí úspor primárí eergie Parí protitlaká turbía ORGRZ, a.s., DIVIZ PLNÉ CHNIKY A CHMI HUDCOVA 76, 657 97 BRNO, POŠ. PŘIHR. 97, BRNO 2 z.č. Obsah abulka hodot vstupujících do výpočtu...3
veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
TOKY V GRAFU MAXIMÁLNÍ TOK SÍTÍ, MINIMALIZACE NÁKLADŮ SPOJENÝCH S DANOU HODNOTOU TOKU, FIXNÍ NÁKLADY, PŘEPRAVNÍ (TRANSHIPMENT) PROBLÉM.
TOKY V GRAFU MAXIMÁLNÍ TOK SÍTÍ, MINIMALIZACE NÁKLADŮ SPOJENÝCH S DANOU HODNOTOU TOKU, FIXNÍ NÁKLADY, PŘEPRAVNÍ (TRANSHIPMENT) PROBLÉM. Graf je útvar, terý je možo zázorit obrázem v roviě pomocí bodů (uzly
Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus
Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová
8.1.2 Vzorec pro n-tý člen
8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým
Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d
Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá
VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ
Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti
PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)
Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím
VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,
Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Téma III..3, pracoví list 3 Techická měřeí v MS Ecel Průměry a četosti, odchylky změřeých hodot. Ig. Jiří Chobot
8.1.2 Vzorec pro n-tý člen
8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají
Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc
Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se
2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE
STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů
Úvod do lineárního programování
Úvod do lieárího programováí ) Defiice úlohy Jedá se o optimalizaí problémy které jsou popsáy soustavou lieárích rovic a erovic. Kritéria optimalizace jsou rovž lieárí. Promé v této úloze abývají reálých
TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH
ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav
je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
Prorážka DOC. ING. PAVEL HÁNEK, CSC. Uvedené materiály jsou doplňkem přednášek předmětu 154GP10
Prorážka DOC. ING. PAVEL HÁNEK, CSC. Uvedeé materiály jsou doplňkem předášek předmětu 154GP10 014 HLAVNÍ PROJEKČNÍ PRVKY Směr pokud možo volit přímý tuel. U siličích t. miimálí poloměr 300 m, u železičích
PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B)
Přijímací řízeí pro akademický rok 24/5 a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata B) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím
IAJCE Přednáška č. 12
Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích
9.1.12 Permutace s opakováním
9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I
8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím
Příloha č. 7 Dodatku ke Smlouvě o službách Systém měření kvality Služeb
Příloha č. 7 Dodatku ke Smlouvě o službách Systém měřeí kvality Služeb Dodavatel a Objedatel se dohodli a ahrazeí Přílohy C - Systém měřeí kvality Služeb Obchodích podmíek Smlouvy o službách touto Přílohou
Základní požadavky a pravidla měření
Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu
Analýza a zpracování signálů. 4. Diskrétní systémy,výpočet impulsní odezvy, konvoluce, korelace
Aalýza a zpracováí sigálů 4. Diskrétí systémy,výpočet impulsí odezvy, kovoluce, korelace Diskrétí systémy Diskrétí sytém - zpracovává časově diskrétí vstupí sigál ] a produkuje časově diskrétí výstupí
Vytápění BT01 TZB II - cvičení
CZ..07/2.2.00/28.030 Středoevropské cetrum pro vytvářeí a realizaci iovovaých techicko-ekoomických studijích programů Vytápěí BT0 TZB II - cvičeí Zadáí Pro vytápěé místosti vašeho objektu avrhěte otopá
2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.
0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace
Sekvenční logické obvody(lso)
Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách
Metodický postup pro určení úspor primární energie
Metodický postup pro určeí úspor primárí eergie ORGRZ, a.s., DIVIZ PLNÉ CHNIKY A CHMI HUDCOVA 76, 657 97 BRNO, POŠ. PŘIHR. 97, BRNO 2 z.č. 2 Obsah abulka hodot vstupujících do výpočtu...4 2 Staoveí možství
L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.
Petr Šedivý Šedivá matematika
LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími
Mod(x) = 2, Med(x) = = 2
Pracoví list č.. Při zjišťováí počtu ezletilých dětí ve třiceti vybraých rodiách byly získáy tyto výsledky:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. Uspořádejte získaé údaje do tabulky rozděleí četostí a vyjádřete
Nalezení výchozího základního řešení. Je řešení optimální? ne Změna řešení
Sipleová etoda: - patří ezi uiverzálí etody řešeí úloh lieárího prograováí. - de o etodu iteračí, t. k optiálíu řešeí dospíváe postupě, krok za kroke. - výpočetí algoritus se v každé iteraci rozpadá do
3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
OVMT Přesnost měření a teorie chyb
Přesost měřeí a teorie chyb Základí pojmy Naměřeé údaje ejsou ikdy absolutě přesé, protože skutečé podmíky pro měřeí se odlišují od ideálích. Při každém měřeí vzikají odchylky od správých hodot chyby.
8.2.7 Geometrická posloupnost
87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob
Matematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 1
4EK311 Operační výzkum 4. Distribuční úlohy LP část 1 4. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování (plánování
Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007
Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46
Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1
Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky
1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
( )! ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Variace, permutace, kombiace, kombiačí čísla, vlastosti, užití faktoriál, počítáí s faktoriály, variace s opakováím.. Upravte a urči podmíky: a)!! 6! b)!! 6! 9! c)!!!!. Řešte rovici: a) 4 b) 0 c) emá řešeí
Statistika pro metrologii
Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
13 Popisná statistika
13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický
4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností
4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.
Teorie odhadů 2 Teorie odhadů... 3 Odhad parametrů... 4
Metody odhadováí parametrů. Metoda mometů. Maximálě věrohodé odhady. Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková
Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují
Posouzení struktury strojní sestavy pomocí teorie hromadných obsluh
Projekt zpracová s podporou FRVŠ. Posouzeí struktury strojí sestavy pomocí teorie hromadých obsluh 1 Základí údaje Ve stavebí praxi se velmi často vyskytuje požadavek rychle a objektivě posoudit strukturu
II. METODICKÉ PŘÍKLADY SESTAVENÍ VÝKAZU PAP
Istituce i zazameaé operace jsou fiktiví. Ukázkové případy - sezam Případ Vykazující účetí Vykázaé Části I až XIII Straa jedotka (zkráceě až 3) A Půjčka od baky Město, v roce +1, T2 v roce +1, T7, T8,
I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené
I. Výpočet čisté současé hodoty upraveé Příklad 1 Projekt a výrobu laserových lamp pro dermatologii vyžaduje ivestici 4,2 mil. Kč. Předpokládají se rovoměré peěží příjmy po zdaěí ve výši 1,2 mil. Kč ročě
Užití binomické věty
9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +
je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
pravděpodobnostn podobnostní jazykový model
Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky
1. K o m b i n a t o r i k a
. K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují
Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti
8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:
12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
Infrastruktura kolejové dopravy
06 Ifrastruktura kolejové dopravy u k á š T ý f a ČUT F, Ústav dopravích systémů (K6) Aotace: Téma č. Geometrické parametry železičí koleje geometrické a kostrukčí uspořádáí železičí koleje převýšeí koleje
Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)
Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím
MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.
OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá
1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE
ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí rovoměrosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů
Instalační manuál inels Home Control
OBSAH 1) Úvod... 3 2) Kofigurace chytré krabičky... 3 3) Nahráí aplikace do TV... 3 4) Nastaveí IP adresy do TV... 4 5) Nastaveí chytré krabičky pomocí SmartTV aplikace... 4 5.1) Půdorys (floorpla)...
3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.
3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchylky a tolerace ve výstavbě. 3.1 Úvod o měřeí obecě 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí 3.2.1 Omyly a hrubé chyby 3.2.2 Systematcké chyby 3.2.3 Náhodé chyby 3.3 Výpočet
2,3 ČTYŘI STANDARDNÍ METODY I, ČTYŘI STANDARDNÍ METODY II
2,3 ČTYŘI STADARDÍ METODY I, ČTYŘI STADARDÍ METODY II 1.1.1 Statické metody a) ARR - Average Rate of Retur průměrý ročí čistý zisk (po zdaěí) ARR *100 % ( 20 ) ivestic do projektu V čitateli výrazu ( 20