Reprezentace holomorfní funkce Laurentovou řadou
|
|
- Vratislav Toman
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 98
2 Kapitola 5 Reprezentace holomorfní funkce Laurentovou řadou Úvod V předchozí kapitole jsme viděli, že každou holomorfní funkci je možné lokálně rozvést v mocninnou řadu. Tento rozvoj umožňuje efektivní popis holomorfní funkce i její numerický výpočet. Omezující je ovšem skutečnost, že mocninná řada konverguje vždy v kruhu. Z toho vyplývá, že na množinách, které nejsou kruhy, není možno holomorfní funkce globálně vyjádřit jako součet jediné mocninné řady. K důležitým příkladům takovýchto množin patří např. kruh s vyjmutým středem odpovídající situaci, kdy je funkce holomorfní na okolí daného bodu s výjimkou bodu samotného. Podívejme se na následující funkci f(z)= z. Tato funkce je holomorfní v množině C \ {}. Standardní rozvoj funkce f v mocninnou řadusestředemvpočátkuje z =+z+ z2 + +z n +, z <. Geometrická řada na pravé straně konverguje právě když z <. Tím jsme získali rozvoj pouzevjednotkovémkruhusestředemvpočátku.funkce f jeovšemholomorfníina vnějšku jednotkového kruhu {z C z > }, tedy za hranicí konvergence dané mocninné řady.zdejižnenímožnovyjádřit fjakosoučetmocninnéřadysestředemvnule.kdyby totižtakovářadaexistovala,muselabykonvergovativz=.tojevšaknemožné,neboť fnemávlastnílimituvbodě. Nadruhéstraně,vzdáme-lisepožadavkumít f pouzevetvarumocninnéřady,je možnopro z >psát z = z = (+ z z z + z ) 2+ = z z 2 = 99 n= zn, z >.
3 00 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU Vidíme tedy, že funkci f je možno vyjádřit pomocí řady, která obsahuje záporné mocniny z. Jakmile připustíme záporné mocniny dostáváme nový typ řady, který umožní rozvoje na takovýchoblastech sdírami jakojenapříkladmezikruží. 2 Laurentovy řady Definice 5.. Řada tvaru (5.) a n (z z 0 ) n = a 2 (z z 0 ) 2+ a z z 0 + a 0 + a (z z 0 )+a 2 (z z 0 ) 2 +, senazýválaurentovařadasestředemvbodě z 0 akoeficienty a n, n Z.Řada a n (z z 0 ) n se nazývá regulární část Laurentovy řady, řada se nazývá hlavní část Laurentovy řady. a n (z z 0 ) n Řada(5.) konverguje v daném bodě z C, konverguje-li současně v tomto bodě její hlavní i regulární část. Její součet je přitom definován jako součet regulární a hlavní části, tj. a n (z z 0 ) n = a n (z z 0 ) n + a n (z z 0 ) n. n= Stejná terminologie se týká absolutní konvergence a konvergence stejnoměrné. Obor konvergence Laurentovy řady je průnikem oborů konvergence její hlavní a regulárníčásti,coždáváinávodnajehonalezení. Příklad 5.. Zjistíme obor konvergence Laurentovy řady Podíváme se nejdříve na regulární část 2 n (z ) n. 2 n (z ) n. Jedná se obyčejnou mocninnou řadu. Ze vztahu(4.6) ve Větě 4.2 je její poloměr konvergence R= lim n n =2. 2 n
4 2. LAURENTOVY ŘADY 0 Na hranici U(; 2) kruhu konvergence regulární část nekonverguje v žádném bodě, neboť vtěchtobodechje2 n z n =,tudížčlenyřadynekonvergujíknule. Nyní se podíváme na hlavní část. Nejprve provedeme záměnu sčítacího indexu n = m: 2 n (z ) n = m= 2 m (z ) m. Tutořadupomocísubstituce u= z převedemenamocninnouřadu 2 m u m. m= Její poloměr konvergence je 2. Hlavní část tedy konverguje absolutně pro z <2 tj. z > 2. Jdeovnějšekkruhusestředemvbodě z=apoloměrem 2.Stejnějakovpředchozím případě můžeme ukázat, že na hranici tohoto kruhu řada nekonverguje v žádném bodě. Závěrem tedy máme, že obor konvergence je mezikruží se středem v bodě, vnitřním poloměrem /2 a vnějším poloměrem 2, tj. množina { z C }. 2 < z <2 Postup v předchozím příkladě je zcela obecný. Regulární část Laurentovy řady je mocninná řada s jistým poloměrem konvergence R. Z Kapitoly 4 víme, že tato řada konverguje absolutněvotevřenémkruhu {z C z z 0 < R}adivergujevevšechbodechmnožiny {z C z z 0 > R}.HlavníčástLaurentovyřady(5.)nenířadamocninná,lzeji nicméně na mocninnou řadu převést pomocí substituce Dostaneme tak řadu u= z z 0. a n u n. n= Nechť K je poloměr konvergence této mocninné řady a položíme r= K. (Opětpokládáme 0 =, =0.)Pakhlavníčástkonvergujeabsolutněprovšechna z splňujícínerovnost z z 0 < K tj. z z 0 > r.
5 02 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU Vbodechmnožiny {z C z z 0 < r}hlavníčástdiverguje.číslo rbudemenazývat poloměr konvergence hlavní části Laurentovy řady. Celkově tedy máme, že Laurentova řada(5.) konverguje absolutně v každém bodě množiny a nekonverguje v žádném bodě množiny {z C r < z z 0 < R} {z C z z 0 < r} {z C z z 0 > R}. Kvůli pohodlí si pro množiny vznikající jako obory absolutní konvergence Laurentových řad zavedeme značení P(z 0 ;r,r)={z C r < z z 0 < R}, kde0 r,r.vzávislostinamožnýchhodnotách rarjemnožina P(z 0 ;r,r)buď mezikružísestředemvbodě z 0 apoloměry ra R(0 < r < R)nebokruhbezsvéhostředu (r=0<r)nebovnějšekkruhu(r >0,R= )nebo C \ {z 0 }(r=0,r= )nebo prázdná množina(r R). Závěr této úvahy shrneme ve větě o konvergenci Laurentových řad, která je zobecněním Věty 4.2. Věta5.. Nechť a n(z z 0 ) n jelaurentovařada.je-li Rpoloměrkonvergence regulární části a r poloměr konvergence hlavní části, pak Laurentova řada konveguje absolutně na množine P(z 0 ;r,r) a stejnoměrně na každém mezikruží P(z 0 ;, 2), kde 0 < r < < 2 < R,vizobr.5..Je-li r R,pakLaurentovařadadivergujevkaždém boděmimouzávěrmnožiny P(z 0 ;r,r). Poznámka5.. ObsahemVěty5.jeskutečnost,žemnožina P(z 0 ;r,r)jemaximální otevřenou množinou, na které konverguje Laurentova řada absolutně. Budeme ji nazývat mezikruží konvergence Laurentovy řady. Vyšetřování řady na hranici této množiny je obecně komplikované. Pro naše účely však postačí stanovit parametry r a R. VedruhéčástiVěty5.jepředpoklad r Rdůležitý.Je-litotiž r = R,paksice P(z 0 ;r,r)=,nicméněsemůžestát,ženakružnici {z C z z 0 =r=r}laurentova řada v nějakém bodě konverguje.(viz cvičení.(c).) Důkaz. Jediné, co ještě vyžaduje argument, je stejnoměrná konvergence Laurentovy řady. Znamená stejnoměrnou konvergenci hlavní i regulární části. Víme již, že regulární část konvergujestejnoměrněnakaždémkruhu {z C z z 0 < 2},kde 2 < R. Podívejme se tedy na hlavní část (5.2) a n (z z 0 ) n = n= a n (z z 0 ) n. Pro z z 0 > > rplatíodhad (5.3) a n (z z 0 ) n < a n. n
6 2. LAURENTOVY ŘADY 03 Podle Weierstrassova kritéria(věta 4.) bude hlavní část konvergovat stejnoměrně, jestliže zaručíme, aby a n <. n n= Nechť zležínakružnici {z C z z 0 = }.Tatokružniceječástíoblastiabsolutní konvergence řady(5.2). Proto řada(5.2) konveguje absolutně i pro naše zvolené z, což přesně znamená, že a n <. n Tím je důkaz ukončen. n= Laurentova řada je řadou funkcí, její součet jetedykomplexnífunkce.věta5.říká,žetuto funkci je možno na určitých mezikružích stejnoměrně aproximovat polynomy v proměnných z z 0 a z z 0.Tytopolynomyjsounauvažovaných mezikružích holomorfní funkce. Protože podle Věty 4.7 je stejnoměrná limita holomorfních funkcí opět funkce holomorfní, je součet Laurentovy řady holomorfní funkce na mezikružíkonvergence P(z 0 ;r,r),(r < R).Důležitájeiopačnáotázka.Jemožnokaždoufunkci holomorfní na daném mezikruží o středu z 0 vyjádřit jako součet Laurentovy řady o tomtéž středu? Prozradíme, že odpověď je kladná. Im z 0 2 r Obr. 5.. K jejímu odvození však budeme potřebovat následující modifikaci Cauchyova integrálního vzorce pro mezikruží. Věta 5.2. (Cauchyův integrální vzorec pro mezikruží) Nechť f je funkce holomorfní na otevřené množině obsahující mezikruží Pakprovšechna z P(z 0 ;r,r)platí (5.4) f(z)= 2πj P(z 0 ;r,r), kde0 < r < R <. C 2 w z dw C w z dw, kde C a C 2 jsoukladněorientovanékružnicesestředemvbodě z 0 apoloměry rar. Důkaz. Zvolmepevněbod z P(z 0 ;r,r)aopišmekolemněhokladněorientovanou kružnici K ležící vmezikruží P(z 0 ;r,r). Kružnice C,C 2 a K spojímeorientovanými úsečkamitak,jakjetonaznačenonaobr.5.2a).tímsekružnice K rozpadnenadva orientovanéoblouky K a K 2.DefinujmedáleuzavřenoukřivkuΓskládajícísezoblouků kružnic C,C 2,K,K 2 aspojujícíchúseček(vizschématickézobrazenínaobr.5.2(a)): Γ=L K M ( C 2 ) ( M) K 2 ( L) C. R Re
7 04 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU C 2 C z 0 L K 2 K M r z 0 C R (a) Obr Funkce (proměnné w)jeholomorfnívmezikruží,zekteréhojsmeodstranilikruh w z ohraničený kružnicí K. Podle Cauchyovy věty platí 0= w z dw= (5.5) Γ = L M = K w z dw+ w z dw+ w z dw+ K K 2 C w z dw+ w z dw w z dw M L C 2 w z dw w z dw+ w z dw. C 2 C (b) w z dw w z dw= Uvážíme-li, že podle Cauchyova integrálního vzorce(3.9) je w z dw=2πjf(z), je rovnost(5.5) už požadovanou identitou f(z)= 2πj w z dw K C 2 C w z dw. Nyní se dostáváme k nejdůležitější větě teorie Laurentových řad. Věta5.3.Nechť f jefunkceholomorfnínamezikruží P(z 0 ;r,r),kde0 r < R. Pakexistujíkoeficienty a n C, n Z,že f(z)= a n (z z 0 ) n
8 2. LAURENTOVY ŘADY 05 provšechna z P(z 0 ;r,r).přitomkoeficientytétolaurentovyřadyjsouurčenyjednoznačně a platí (5.6) a n = 2πj (w z 0 ) n+dw, n Z, C kde Cjelibovolnákladněorientovanájednoducháuzavřenákřivkaležícívmezikruží P(z 0 ;r,r) amajícíbod z 0 vesvévnitřníoblasti(vizobr.5.2(b)). Důkaz. Vprvnífáziukážeme,žefunkce fjesoučetnějakélaurentovyřady.bezújmy naobecnostilzepředpokládat,že z 0 =0,neboťposunutímcelésituacesevyšetřované vlastnostinezmění.zvolmesinyníkladněorientovanékružnice C = {z C z = }, C 2 = {z C z = 2},propoloměry r < < 2 < Rabod z P(0;, 2).Podle Cauchyova vzorce pro mezikruží je (5.7) f(z)= 2πj C 2 w z dw C w z dw. Podívejmeseteďnafunkci(proměnné w) w z namnožině C.Prokaždé w C je w = < z.tonásvedekmyšlencerozvéstvýraz vgeometrickou řadu w z skvocientem w z.máme (5.8) w z = z( w z )= z = wn z n+. w z = z w n z n = Mámeřaduvzniklouvrovnosti(5.8)integrovatpodélkřivky C.Zatímúčelembychom rádi prohodili pořadí integrálu a sumy. K tomu je ovšem zapotřebí ověřit stejnoměrnou konvergencipříslušnéřadyna C.Funkce f mánamnožině C maximum,řekněme M. Je tedy možno odhadnout wn z n+ M w n n z n+= M z n+, w C. Protože z <mářada wn z n+na C konvergentníčíselnoumajorantu M n z n+ apodleweierstrassovakritéria(věta4.)jetedystejnoměrněkonvergentnína C.Integrací(5.8)přeskřivku C takzískáme (5.9) C w z dw= C wn ( ) z n+dw= w n dw C z n+.
9 06 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU Tento typ řady má tvar hlavní části nějaké Laurentovy řady. Jak to vypadá s integrálem podélkřivky C 2?Pro w C 2 je w = 2 > z. Postupbudeprotoanalogickýjakovýše,pouzestímrozdílem,ževýraz w z napíšeme jako geometrickou řadu s kvocientem z/w: w z = w( z w )= w z n w n= zn w n+. Zcelastejněseověří,žepřiintegracipodél C 2 můžemezaměnitpořadíintegracea sumy, a tak nakonec dostaneme (5.0) C 2 w z dw= ( C 2 ) w n+ z n. Dosazením(5.9) a(5.0) do(5.7) máme (5.) f(z)= 2πj w n dw z n++ 2πj C C 2 z n. w n+ To dokazuje existenci rozvoje nějakou v Laurentovu řadu. Zbývá odvodit integrální vyjádření koeficientů Laurentova rozvoje a tím i jeho jednoznačnost.vímejiž,žeexistujíkoeficienty a n C, n Ztakové,že f(z)= a n (z z 0 ) n na P(z 0 ;r,r).zvolmekřivku CsvlastnostmiuvedenýmiveVětě5.3.Provšechna w C platí a k (w z 0 ) k = a po vynásobení výrazem k= (w z 0 ) n+(propevnězvolené n Z)máme k= a k (w z 0 ) k n = (w z 0 ) n+. Díky stejnoměrné konvergenci Laurentovy řady můžeme integrovat řadu vlevo člen po členuazískattak (5.2) k= a k C (w z 0 ) k n dw= C (w z 0 ) n+dw
10 2. LAURENTOVY ŘADY 07 Klíčovýmpozorovánímjenynískutečnost,žeintegrál C (w z 0) m jerovennulevyjma případu m=.je-li m 0,jeintegrovanáfunkceholomorfnínacelékomplexnírovině. Podle Cauchyovy věty je integrál nulový. Je-li m < 0, užijeme zobecněný Cauchyův integrální vzorec(4.28) pro konstantní funkci f(z) =. Dostaneme tak, že vyšetřovaný integráljenenulovýpouzepro m= ajehohodnotaje2πj.řadanalevéstraněrovnosti (5.2)mátedynejvýšejedennenulovýčlenatoproindex k=n.rovnice(5.2)setak redukuje na vztah 2πj a n = (w z 0 ) n+dw, což dává integrální vyjádření koeficientů a ukončuje důkaz. C Poznámka 5.2. Laurentova řada ve Větě 5.3 se nazývá Laurentovou řadou funkce f vmezikruží P(z 0 ;r,r). Jednoznačnost koeficientů v Laurentově rozvoji implikuje, že funkci holomorfní v P(z 0 ;r,r)jemožno zakódovat doposloupnostikoeficientů(a n )jejíholaurentovarozvoje. To také znamená, že pro Laurentovy řady se stejným součtem jsou odpovídající koeficienty stejné. Přesněji, rovnost a n (z z 0 ) n = b n (z z 0 ) n najistémotevřenémmezikružíimplikuje a n = b n provšechna n Z.Tentoprincipbudeme často využívat. Příklad5.2.NaleznemeLaurentovuřaduostředu z 0 =0funkce f(z)= (z 2)(z 3) voblasti P(0;2,3)avyužijmejikvýpočtuintegrálů f(z) dza f(z)z 0 dz, z0 C C kde C je kladně orientovaná kružnice zadaná vztahem z = 5/2. Funkce f jeholomorfnívevšechbodech Ckroměbodů2a3.Jetedyholomorfní v mezikruží P(0; 2, 3) a úloha má řešení. Při hledání Laurentova rozvoje racionální funkce se standardně využívá rozkladu na parciální zlomky. V našem případě je f(z)= z 3 z 2. U jednotlivých zlomků využijeme součtu geometrické řady. Dostaneme tak z 3 = 3 z 2 = z z 3 2 z = = z n 3 n+ pro z <3, 2 n z n+= 2 n z n pro z >2.
11 08 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU Závěrem máme f(z)= 2 n z n z n 3 n+ pro2 < z <3. Získaná Laurentova řada má tedy nenulovou hlavní i regulární část. U prvního z částečných zlomků z 3, z 2 jsmenalezlivyjádřenípomocímocninnéřadyaudruhéhopomocí řady se zápornými mocninami. Tento výsledek je možno odhadnout předem. Funkce z 3 je totiž holomorfní v kruhu {z C z < 3} obsahujícím dané mezikruží. Její Laurentova řada bude proto pouze obyčejná mocninná řada. Naproti tomu funkce z 2 jeholomorfní vmnožině {z C z >2},cožjedoplněkkruhu,aprotozdemusímehledatLaurentův rozvoj obsahující záporné mocniny. Máme-li k dispozici Laurentovu řadu můžeme okamžitě nalézt oba zadané integrály, které souvisí s koeficienty Laurentova rozvoje. Z integrálního vyjádření plynepro n=9an=,že C C a n = 2πj C f(z) z n+dz f(z) z 0 dz= a 9 2πj= 2πj 3 0 f(z)z 0 dz= a 2πj= 2 πj. VzávěrutétočástisezmínímeoLaurentověřaděsestředem z=. Definice 5.2. Řada a n z n= +a 2z 2 + a z+ a 0 + a z + a 2 z 2+, kde a n C, n Z,senazýváLaurentovouřadousestředemvbodě (nebotakés nevlastnímstředem)akoeficienty a n.část a n z n, ( resp. ) a n z n se nazývá regulární část Laurentovy řady,(resp. hlavní část Laurentovy řady). Řada s nevlastním středem je vlastně jenom jinak zorganizovanou Laurentovou řadou sestředemvbodě0.narozdílodstředuvevlastnímboděobsahujehlavníčástnezáporné mocniny a regulární část mocniny záporné. Na první pohled to vypadá jako uměle zavedený pojem. Skutečně nepřináší žádnou novou informaci o Laurentově řadě, nicméně výhodnost této konvence se ukáže posléze.
12 3. CVIČENÍ 09 Příklad 5.3. Nalezněme Laurentův rozvoj se středem v bodě funkce f(z)=z 2 e z. Příklad vede na použití mocninného rozvoje exponenciální funkce v počátku. z 2 e z = z 2 = z 2 + z+ n!z n= z2 + z+ n=2 n!z n 2= (n+2)! zn, z >0. (Vposlednímkrokujsmeprovedlizměnusčítacíhoindexu n n+2.)tedy a 2 = a =, a n =, pro n 0. (n+2)! DanýLaurentůvrozvojmákonečnouhlavníčást z 2 + zanekonečnouregulárníčást (n+2)! z n= 2! + 3! z + 4! z 2+ 3 Cvičení Úloha: Stanovte obor konvergence Laurentovy řady 2 n z n + 3 n z n. Řešení:Všimnemesi,žehlavníiregulárníčástjsougeometrickéřadyskvocienty 2z a 3z. Hlavní část tedy konverguje právě, když 2z < tj. z > 2. Pro absolutní konvergenci regulární části je nutná a postačující podmínka 3z < tj. z < 3. Vidíme tedy, že obory konvergence se neprotnou a tedy obor konvergence zadané řady je prázdná množina. Úloha: Stanovte obor konvergence Laurentovy řady 2 n2 (z ) n.
13 0 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU Řešení: Podívejme se nejdříve na regulární část 2 n2 (z ) n. Použijeme odmocninového kritéria absolutní konvergence R = lim n = lim n 2 n2 n 2, tj. R=. Regulární část konverguje v celé komplexní rovině. Konvergence hlavní části je ekvivalentní konvergenci řady n= 2 n2 (z ) n= u n, kde u= 2 n2 z. n= Opětovným použitím odmocninového kritéria dostáváme n lim = lim n 2 n2 n 2. Hlavníčásttedykonvergujeprovšechna u C,tj.provšechna z.oboremkonvergence zadanéřadyjecelákomplexnírovinavyjmabodu,formálně P(;0, ). Rozmyslete si, že komplexní rovina bez bodu je maximální množina konvergence Laurentovy řady s nenulovou hlavní částí! Úloha: Vyšetřete konvergenci Laurentovy řady 3 n + (z j)n. Řešení:Použitímpodílovéhokritériaproregulárníčást 3 n + (z j)n máme lim n 3 n+ + 3 n + 3 n + = lim n 3 n+ + = lim +3 n n 3+3 n= 3. Regulární část tedy konverguje absolutně pro z j < 3. Pro hlavní část přepsanou do tvaru 3 n +(z j) n= 3 n + un, kde u= z j, n= je limita v podílovém kritériu lim n n= 3 n + 3 n + Tatočástkonvergujeabsolutněpro u <,tj. z j >.Oborkonvergencezadanéřady je mezikruží P(j;,3)={z C < z j <3}. =.
14 3. CVIČENÍ (Na hranici tohoto mezikruží řada nekonverguje neboť členy řady nekonvergují k nule.) Úloha:Prozadanépoloměry0<r<R< nalezněte Laurentovyřady,které konvergují právě v následujících množinách (a) {z C z < R} (b) {z C z > r} (c) {z C r < z < R}. Řešení: Ve všech případech musíme volit nekonečnou řadu. Budeme ji však hledat jako co nejjednodušší, tedy jako řadu geometrickou. (a) Podmínce vyhovíme mocninnou řadou c n z n, kterákonvergujeprávěkdyž cz = c z <.Ekvivalentně, z < c.volbou c= R tak dostaneme řadu, jejíž obor konvergence je právě zadaná množina. To odpovídá řadě R nzn. (b) V tomto případě se pokusíme nalézt hlavní část Laurentovy řady ve tvaru c n z n, tedyvetvarugeometrickéřadyskvocientem cz.podmínkakonvergencedá cz < tj. z > c. Požadovanýoborkonvergencetedyzískámenapříkladvolbou c= r.tímmámeřadu z n r n. (c) Na základě výsledků v předchozích částech je možno zvolit Laurentovu řadu z n r n+ R nzn. Úloha: Nalezněte Laurentův rozvoj funkce f(z)= z a, a
15 2 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU sestředemvboděatovevšechmožnýchoblastech. Řešení:ZadanáfunkcejeholomorfnívC \ {a}.vúvahutedypřicházejídvěoblasti: kruhsestředemvboděapoloměrem a avnějšektohotokruhu.naobr.5.3jsou označenyjako P a P 2. a P 2 P Obr Podívejme se na první případ. Funkci upravíme následujícím způsobem: z a = z + a = a Pro z < a jesplněnapodmínka z a <, které využijeme k rozvoji v geometrickou řadu Máme tedy rozvoj a z a += a f(z)= (z ) n (a ) n+. z a +. (z ) n (a ) n. Nynísebudemezabývatpřípadem z > a.vtétooblastiplatí a z <, proto využijeme následujících algebraických úprav a rozvoje v geometrickou řadu: z a = z + a = z + a z = z (a ) n (a ) n (z ) n= (z ) n+= (a ) n (z ) n.
16 3. CVIČENÍ 3 Na P 2 máfunkcerozvoj f(z)= (a ) n+(z )n. Úloha: Nalezněte Laurentův rozvoj o středu z = funkce voblasti {z C z > 2}. f(z)= (z j) 2 Řešení: Funkce f je holomorfní v zadané množině, která je vnějškem kruhu se středem vboděapoloměrem 2.Očekávámeprotorozvojdozápornýchmocninčlenu z.bod jležínahranicitétooblasti.nejdříverozvinemepro z {z C z > 2}funkci z j = z + j = z + j z = ( ) n ( j)n = z (z ) n+, z > 2. ( ) n( j)n (z ) n= Vzniklou identitu budeme derivovat podle proměnné z. Vzhledem k tomu, že Laurentova řadakonvergujestejnoměrněnakaždéomezenéuzavřenémnožiněobsaženévp(; 2, ) můžeme Laurentův rozvoj derivovat člen po členu. Tím dostáváme Závěrem, (z j) 2= ( ) n ( j) n ( n ) (z ) n+2. (z j) 2= ( ) n ( j) n n+ (z ) n+2= = 2 ( ) n+ ( j) n 2 (n+)(z ) n. Tento příklad ukazuje obecnou početní metodu rozvoje racionální funkce v Laurentovu řadu. Nejdříve danou racionální funkci rozložíme na parciální zlomky typu A (z a) k. Poté rozvineme funkci A z a
17 4 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU v geometrickou řadu a výsledek k krát derivujeme. Kombinací rozvojů parciálních zlomků pak získáme konečný výsledek. Úloha: Nalezněte první čtyři členy Laurentova rozvoje funkce prooblast {z C 0 < z <}. f(z)= e z z(z 2 +) Řešení:Zezadáníplyne,žestředhledanéřadyjevz 0 =0.Využijemestandardního rozvoje a nalezneme též rozvoj funkce z(z 2 +) = z e z =+z+ z2 2! + z3 3! + z(z 2 +) v P(0;0,). +z 2= z ( ) n z 2n = = z z+ z3 z 5 +. ( ) n z 2n = Tedy f(z)= ) ( ) (+z+ z2 2 + z3 6 + z z+ z3 z 5 +. Laurentovy řady můžeme násobit stejně jako polynomy. V součinu na pravé straně předchozírovnostitedydostávámenejnižšímocninu z apovynásobení f(z)= z + 2 z 5 6 z2 +. Úloha: Nalezněte několik prvních členů Laurentova rozvoje funkce f(z) = cotg z v prstencovém okolí bodu 0. Řešení:Funkcecotg z jeholomorfnívckroměbodů kπ,kde k Z.Maximální prstencové okolí nuly, ve kterém můžeme rozvinout cotg z v Laurentovu řadu je tedy P(0; 0, π). Pro hledaný rozvoj použijeme algoritmu dělení nekonečných polynomů cotg z=(cos z):(sin z)= ) ) ( z2 2! + z4 4! z6 6! + : (z z3 3! + z5 5! z7 7! +.
18 3. CVIČENÍ 5 Máme tak, ) ( z2 2 + z4 24 z : ) ( z2 6 + z4 20 z z2 3 + z4 30 z ) ( z2 3 + z4 8 z z z (z z3 )=z 6 + z5 20 z Dalším pokračování v dělení(například za pomoci počítače) máme (5.3) cotg z = z z 3 z3 45 2z5 945 z z z3 z3 45 Úloha:Nalezněterozvojefunkce f(z)=zsin z vlaurentovyřadysestředyvbodech 0a.Stanovtevoboupřípadechkoeficienty a 2 a a 0. Řešení: Pro střed v počátku máme zsin z = z =+ ( ) n (2n+)! z 2n+= ( ) n ( 2n+)! z2n. ( ) n (2n+)! z 2n Todává a 2 = 6, a 0=0.Prostředvnekonečnupoužijemestejnéhorozvoje Odtud a 2 =0,a 0 =!. zsin z = ( ) n (2n+)! z 2n. Úloha: Pomocí rozvoje v Laurentovu řadu nalezněte následující integrály 2z+ I = (z 2 dz + z 2)z00 C I 2 = C (2z+)z 00 z 2 + z 2 dz,
19 6 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU kde Cjekladněorientovanájednoducháuzavřenákřivkaležícívmezikruží P(0;,2)a obsahující bod 0 ve svém vnitřku. Řešení:ZintegrálníhovztahuprokoeficientyLaurentovarozvojeplyne I =2πja 99, I 2 =2πja 0,kde a 99 a a 0 jsoukoeficientyvlaurentověrozvojifunkce f(z)= 2z+ z 2 + z 2 vmezikruží < z <2.Rozklademnačástečnézlomkymáme Rozvojem v řady pak dostáváme Tedy což dává z+2 = 2 z = z + z 2 z 2z+ z 2 + z 2 = z+2 + z. = ( ) n zn 2 2 n= ( ) n zn 2n+, z <2. = zn+, z >. 2z+ z 2 + z 2 = z n + ( ) n zn 2 n+ < z <2, I =2πj 2 00= 2 99πj I 2 =2πja 0 =2πj. Před poslední úlohou se zmíníme o souvislosti Laurentovy a Fourierovy řady. Nechť funkce f(t)jetvaru f(t)=r(cos t,sin t), kde R: R 2 Rjeracionálnífunkcevedvouproměnných,tj.podíldvoupolynomůdvou proměnných. Předpokládáme, že f(t) je definována pro všechna t 0, 2π. Nalezneme metodu výpočtu Fourierovy řady funkce f pomocí Laurentova rozvoje vhodné komplexní funkce.využijemeeulerovuidentitu e jt =cos t+jsin t,t R,zekteréplyne,žepro z= e jt platí cos t= z+ z 2 sint= z z 2j = z2 + 2z = z2 2jz. Definujeme tedy komplexní funkci ( z f(z)=r 2 ) +, z2. 2z 2jz
20 3. CVIČENÍ 7 Dostali jsme tím racionální funkci komplexní proměnné, pro kterou platí f(e jt )=R(cos t,sin t), t R. Jinýmislovy, fnabývávodpovídajícíchbodechnajednotkovékružnici Chodnotu f(t). Funkce fprotomusíbýtholomorfnívjistémmezikružíobsahujícím C.Rozviňmevtomto mezikružífunkci fvlaurentovuřadusestředemvpočátku: Dosazením z= e jt máme f(z)= R(cos t,sin t)= a n z n. a n e jnt, t R. Vidímetedy,žekoeficientyLaurentovarozvojefunkce f jsousoučasněkoeficientykomplexní Fourierovy řady funkce f. Tato metoda umožňuje často pohodlnější výpočet než je výpočetkoeficientů a n pomocíintegrálníhovzorce. Úloha: Pomocí Laurentovy řady nalezněte Fourierovu řadu funkce f(t)= 2+cos t. Řešení: Funkce f(t) vyhovuje předpokladům předešlé úlohy. Spočítáme si nejdříve f(z)= 2+ z2 + 2z = 2z z 2 +4z+. Funkce f(z)jeracionálnífunkcedefinovanávšudekroměbodů z = 2+ 3az 2 = 2 3.BudemehledatLaurentůvrozvojfunkce vmezikružíobsahujícíjednotkový kruh,tedyvoblastidanénerovnicemi z =2 3 < z < z 2 =2+ 3.Rozkladne částečné zlomky má tvar f(z)= A + B, z z z z 2 kde, po krátkém výpočtu A= , B= Laurentovy rozvoje parciálních zlomků jsou A z z = A z z = A z z n z n+, z > z
21 8 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU Platí tedy kde B = B z z z 2 z 2 z 2 = B z 2 f(z)=a z n z n 2 z n z n+ B z n z2 n+ = = B a 0 = B z 2 = 3, z n z n+ 2, z < z 2. a n z n, z < z < z 2, apro n a n = B z n+ 2 = ( 2 3) n+= 3 ( 2 3) n, a n = Az n = ( 2+ 3) n = 3 ( 2+ 3) n. Všimněme si jedné důležité vlastnosti koeficientů a n = a n n=,2,... (Stačí rozšířit zlomek ( 2 3) nvýrazem( 2+ 3) n!)tentovztahjeobecnouzákonitostí, která plyne ze skutečnosti, že pro koeficienty komplexního Fourierova rozvoje reální funkceplatí a n = a n.znamenáto,ževždypostačístanovitpouzeregulárníčástdaného rozvoje.vrátímesenyníkfunkci f(t). f(t)= f(e jt )= = a 0 + 2a n cos nt. n= Po dosazení numerických hodnot a n e njt = a 0 + n= a n (e njt + e njt )= n= f(t)= + 2 ( 2+ 3) n cos nt Nalezněte obor konvergence následujících Laurentových řad (a) (b) (c) +e nzn e n (z 2j) n z n n 2 z n+ n 2
22 3. CVIČENÍ 9 2. NalezněteLaurentovuřadukteráa)konvergujeprávěvmezikruží P(0,,2)b)konvergujeprávěvuzavřenémmezikruží P(0,,2). 3. Nalezněte Laurentovy rozvoje zadaných funkcí v uvedených oblastech (a) z 2 +2z 8 v P( 2,2,4), 3z (b) (2z )(2 z) v P(0,0, 2 ) 3z (c) (2z )(2 z) v P(0, 2,2) 3z (d) v P(0,2, ) (2z )(2 z) (e) 3zsin πz z+5 vmaximálnímmezikružísestředem z 0= 5 z 2 2z+5 (f) (z 2)(z 2 +) v P(0,,2) (g) (z 2 +) 2 v P(j,0,2) z (h) (z 2 4)(z 2 pro < z <2 ) z (ch) sin,pro z >. z (i) e z z+2, z0 =,pro z >2 (j) cos z2 4z (z 2) 2,pro z 2 >0. 4. RozhodnětezdalzedanéfunkcerozvéstvLaurentovyřadysestředem z 0 vmezikruží P(z 0,0, ). (a) cos z, z 0=0 (b)cos z, z 0= (c) tgh z, z 0= (d)ln z, z 0 = (e) Ln z, z 0 =. 5. Rozviňtefunkci f(z)= z +z3a)vmocninouřadusnezápornýmimocninami z,b) v Laurentovu řadu se zápornými mocninami z. Určete obory konvergence! 6. Rozviňtefunkci f(z)=ln z+j vlaurentovuřadusestředemvbodě vmaximální možné oblasti! z j 7. NalezněteprvnítřičlenyLaurentovarozvojefunkce f(z)= π sin πz sestředemvbodě 0 a určete oblast konvergence této řady!
23 20 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU 8. Ukažte,žefunkceholomorfnívmezikruží P(0,r,R), r < R,jesoučtem f= f + f 2, kde f jeholomorfnípro z < Raf 2 jeholomorfnípro z > r! a n 9. Ukažte,žeřada z nkonvergujevjistémokolínekonečnaprávětehdykdyžexistují konstanty M 0,c >0tak,že a n Mc n provšechna n Nechť fjefunkceholomorfnívmezikruží P(0,r,R),r < R,prokterouplatí f(z)=f( z)provšechna z P(0,r,R). Charakterizujte funkci f pomocí koeficientů v jejím Laurentově rozvoji!. Předpokládejme,žefunkce fjeholomorfnívp(0,r,r), r < R.Nechť f(z) M provšechna z P(0,r,R). Odvoďtenásledujícíodhadprokoeficienty(a n )Laurentovarozvoje f(z)= a nz n : ( M a n min r n, M ) R n provšechna n Z. 2. Pomocí rozvoje v Laurentovu řadu spočtěte následující integrály z n (+z 2 dz,n Z,kde Cjejednoducháuzavřeníkřivkaležícívoblasti ) C a) z >b) z <,kterámánuluvesvévnitřníoblasti. 3. Předpokládejme,že f jefunkceholomorfnívoblasti C \ {0}.Ukažte, žeplatí-li f(2z)=f(z)provšechna z 0je fkonstantnífunkce. 4. Pomocí Laurentových rozvojů nalezněte Fourierovy řady následujících periodických funkcí (a) f(x)= 2sin x 5 4cos x 2cos x (b) f(x)= 5 4cos x qsinx (c) f(x)= 2qcos x+q2, q < q 2 (d) f(x)= 2qcos x+q2, q < qcos x (e) f(x)= 2qcos x+q2, q < (f) f(x)=ln( 2qcos x+q 2 ), q <!
24 3. CVIČENÍ 2 5. Besselovyfunkce J n, n Z,jsoudefinoványjakokoeficient a n (b)vlaurentově rozvoji funkce f(z)=e 2 b(z z) sestředemvbodě0.vyjádřete J n (b)pomocínekonečnéřady. Výsledky..a) P(0,,),b) c)konvergujepro z =. e z n z n 2.a) z n+ 2 nb) n 2 z n+ n 2 2 n ( 3.a) ) ( ) n 2 n (z+2) n n+(z+2)n b) 2 n z n z n + 2 n c) d) 2 n zn ( 2 n 2 n ) z n e)3 ( ) n 52n+ (2n+)!(z+5) 2n 5 f)2 ( ) n z 2n z n 2 n+ n= (2n+)!(z+5) 2n+, z+5 0 ( ) n 52n+ g) 4(z j) 2 j 4(z j) + (n+3)j n (z j) n 2 n+4 h) 3 z 2n+ z 2n+ 2 4 n n= sin(+n π 2 ch) ) n!(z ) n i) e ( 2z ) +6z + j)cos ( ) k 2 k 2 2k+ (2k)!(z 2) 4k+sin (2k+)!(z 2) 4k+2 k=0 4.a)ano,b)anoc)ned)nec)ne 5.a) ( ) n z 3n+, z < b) ( ) n z3n+2, z > k=0
25 22 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU 6. k= 2j( ) k (2k )z2k, z > 7. z + π2 z+ 7π4 360 z3 +,vp(0,0,). 9. Použijte odhad integrálu v integrálním vyjádření koeficientů Laurentovy řady! 0. a 2n+ =0provšechna n C.VyužijtejednoznačnostkoeficientůLaurentovyřady!. Použijte integrálního vyjádření koeficientů! 2.a)2πj( ) n 2 je-li nliché,0jinak b)2πj( ) n+ 2 je-li nliché,0jinak. 3. Využijte jednoznačnosti koeficientů v Laurentově rozvoji! sin(n+)x 4.a) 2 n+ cos(n+)x c) 2 n+ q n sin nx n= d)+2 e) q n cos nx q n cos nx f) 2 n= q n cos nx n (Nejdříve spočtěte Laurentovu řadu derivace pomocné funkce!) ( ) b 2k+n 5. J n (b)= (n+k)! k! ( )k.(využijtepravidlapropočítánísoučinuřad!) 2 k=0
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
Více15. Nulové body a póly. Věta. Je-li funkce f : G holomorfní v oblasti G a f(z 0 ) 0 pro z 0 G, pak
5. Nulové body a póly Věta. Je-li funkce f holomorfní v oblasti G C, a f(z 0 ) 0 pro bod z 0 G, pak existuje okolí U(z 0 ) bodu z 0 takové, že f(z) 0 pro z U(z 0 ). Definice: Je-li funkce f holomorfní
VíceJednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je
74 Příloha A Funkce Γ(z) Úvod Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je nesporně funkce Γ(z). Její důležitost se vyrovná exponenciální funkci i funkcím goniometrickým.
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
Více%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% POJMY, JEJICHŽ ZNALOST SE OČEKÁVÁ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% POJMY, JEJICHŽ ZNALOST SE OČEKÁVÁ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% množina komplexních čísel algebraický zápis komplexního
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
VíceUrčete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je
Více11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
VíceZ transformace. Definice. Z transformací komplexní posloupnosti f = { } f n z n, (1)
Z transformace Definice Z transformací komplexní posloupnosti f = { roumíme funkci F ( definovanou vtahem F ( = n, ( pokud řada vpravo konverguje aspoň v jednom bodě 0 C Náev Z transformace budeme také
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI
ŘADY KOMPLEXNÍH FUNKÍ V kapitole si ukážeme, že holomorfní funkce a mocninné řady skoro jedno jsou. Někomu... OBENÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných
Vícesin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.
Použití mocniných řad Nejprve si ukážeme dvě jednoduchá použití Taylorových řad. Příklad Spočtěte následující limitu: ( ) sin(x) lim. x x ( ) Najdeme lim sin(x) x x pomocí mocninné řady pro funkci sin(x)
VíceNechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
Více13. přednáška 13. ledna k B(z k) = lim. A(z) = M(z) m 1. z m.
13. přednáška 13. ledna 2010 Důkaz. M = n=0 a nz n a N = n=0 b nz n tedy buďte dvě mocninné řady, které se jako funkce shodují svými hodnotami na nějaké prosté posloupnosti bodů z k C konvergující k nule.
VíceTo je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
Vícef konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce
1. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Abelovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce spojitá na [a, b) a funkce g : [a, b) R je na [a, b) spojitá
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
VíceLEKCE10-RAD Otázky
Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá
Vícef(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0
KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE LEKE34-KIN auchyova obecná auchyova auchyův vzorec vičení KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Na konci kapitoly o derivaci je uvedena souvislost existence derivace s potenciálním polem. Existuje
VíceNalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
Více7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace Verze 20. července 2017 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické praxe i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce, výpočet limity, vyšetřování průběhu funkce
Vícef (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.
8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce
VíceLimita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
Více1 Nulové body holomorfní funkce
Nulové body holomorfní funkce Bod naýváme nulový bod funkce f), jestliže f ) =. Je-li funkce f) holomorfní v bodě, pak le funkci f) v jistém okolí bodu rovinout v Taylorovu řadu: f) = n= a n ) n, a n =
VíceDiferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011
Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
VíceKomplexní analýza. Reziduová věta a její aplikace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace / Motivace Mějme
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE SPECIÁLNÍ ELEMENTÁRNÍ FUNKCE
ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE Všechny základní reálné funkce reálné proměnné, s kterými jste se seznámili na začátku tohoto kurzu, lze rozšířit i na komplexní funkce komplexní proměnné. U některých je rozšíření
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceKonvergence kuncova/
Konvergence http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Příklady.. 3. 3 + d Konverguje - u je funkce spojitá, u srovnáme s /. e d Konverguje - na intervalu [, ] je funkce spojitá, na intervalu
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3
Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme
VíceMatematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3
Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
Více7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo
7B. Výpočet it L Hospitalovo pravidlo V prai často potřebujeme určit itu výrazů, které vzniknou operacemi nebo složením několika spojitých funkcí. Většinou pomohou pravidla typu ita součtu násobku, součinu,
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
VíceNyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje
VíceMetody výpočtu limit funkcí a posloupností
Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008 1 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceNekonečné číselné řady. January 21, 2015
Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VícePříklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5
Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceMatematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
VíceVI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
VíceMezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,
Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VícePřednáška 6, 7. listopadu 2014
Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující
VíceKomplexní analýza. Fourierovy řady. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Fourierovy řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVU v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 1 / 20 Úvod Často se setkáváme s periodickými
VíceMichal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62
Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria
VíceFunkcionální řady. January 13, 2016
Funkcionální řady January 13, 216 f 1 + f 2 + f 3 +... + f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine
Více16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VíceDefinice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe
Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O
Vícea n (z z 0 ) n, z C, (1) n=0
Mocniné řady Nechť 0, a 0, a, a 2,... jsou konečná komplexní čísla. Pak řadu funkcí a n ( 0 ) n, C, () naýváme mocninou řadou. Číslo 0 koeficienty mocniné řady. Onačme dále: se naývá střed mocniné řady,
Vícedx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
Více1 Extrémy funkcí - slovní úlohy
1 Extrémy funkcí - slovní úlohy Příklad 1.1. Součet dvou kladných reálných čísel je a. Určete 1. Minimální hodnotu součtu jejich n-tých mocnin.. Maximální hodnotu součinu jejich n-tých mocnin. Řešení.
VíceMATEMATIKA B 2. Integrální počet 1
metodický list č. 1 Integrální počet 1 V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými definicemi, větami a výpočetními metodami užívanými v části matematiky obecně známé jako integrální počet
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
Více17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
VíceI. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
Více1 Integrální počet. 1.1 Neurčitý integrál. 1.2 Metody výpočtů neurčitých integrálů
Integrální počet. Neurčitý integrál Neurčitým integrálem k dané funkci f() nazýváme takovou funkci F (), pro kterou platí, že f() = F (). Neboli integrálem funkce f() je taková funkce F (), ze které bychom
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceF (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
VícePříklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceSPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu
Více= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
Více[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.
Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,
Více