Numerická řešení stochastické diferenciální rovnice
|
|
- Hynek Čermák
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘKÁ PRÁCE Štěpán Masák Numerická řešení stochastické diferenciální rovnice Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Jakub taněk, Ph.D., Ústav technické matematiky a Centrum pro jakost a spolehlivost výroby, Fakulta strojní, ČVUT v Praze tudijní program: Matematika, obecná matematika 2010
2 Chtěl bych poděkovat svému vedoucímu, RNDr. Jakubu taňkovi, Ph.D., za zajímavé téma, za jeho ochotu a za praktické rady. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. ouhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne Štěpán Masák 2
3 Obsah 1 Používané pojmy 6 2 Itôův integrál a stochastický diferenciál Konstrukce Itôova integrálu tochastická diferenciální rovnice Numerické metody řešení DR Odvození numerických metod Vybrané numerické metody Eulerova metoda Metody prediktor-korektor Newtonovy metody Aplikace vybraných metod 18 Literatura 23 3
4 Název práce: Numerická řešení stochastické diferenciální rovnice Autor: Štěpán Masák Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Jakub taněk, Ph.D., Ústav technické matematiky a Centrum pro jakost a spolehlivost výroby, Fakulta strojní, ČVUT v Praze vedoucího: stanekj@karlin.mff.cuni.cz Abstrakt: V předložené práci se zabýváme stochastickými diferenciálními rovnicemi a jejich numerickým řešením. Nejprve předvedeme konstrukci Itôova integrálu, který použijeme ke zformulování stochastické diferenciální rovnice. Pak uvedeme podmínky pro existenci a jednoznačnost jejího řešení. Dále ukážeme, jak se odvozují numerické metody pomocí Itôova vzorce. Uvedeme a stručně popíšeme několik vybraných metod. Tyto metody potom aplikujeme na konkrétní příklad. Klíčová slova: stochastická diferenciální rovnice, Itôův integrál, numerické metody Title: Numerical solutions of a stochastic differential equation Author: Štěpán Masák Department: Department of Probability and Mathematical tatistics upervisor: RNDr. Jakub taněk, Ph.D., Department of Technical Mathematics and The Center of Quality and Reliability, Faculty of Mechanical Engineering, CTU in Prague upervisor s address: stanekj@karlin.mff.cuni.cz Abstract: In the present work we deal with stochastic differential equations and their numerical solution. First we present the construction of Itô s integral, which we use to formulate the stochastic differential equation. Then we present conditions for the existence and uniqueness of its solution. Furthermore, we show how to derive numerical methods using Itô s formula. We introduce and briefly describe a few selected methods. Then we apply these methods to a concrete example. Keywords: stochastic differential equation, Itô integral, numerical methods 4
5 Úvod tochastické diferenciální rovnice (DR) se používají při modelování dynamických jevů, v nichž hraje roli náhoda. Za první počiny v této oblasti lze považovat pokusy o matematický model Brownova pohybu z přelomu 19. a 20. století. Ale až stochastický integrál, který definoval v roce 1944 japonský matematik Kiyoshi Itô, a s ním spojený Itôův kalkulus umožnil formulovat a řešit skutečné stochastické diferenciální rovnice. Ty od té doby našly uplatnění v mnoha oborech od fyziky přes biologii až po modelování cen akcií ve finanční matematice.[1] Jelikož tyto rovnice v mnoha případech nedokážeme řešit analyticky, je potřeba studovat možnosti jejich numerického řešení. Metody používané pro řešení deterministických diferenciálních rovnic při aplikaci na rovnice stochastické nevykazují příliš dobré výsledky, potřebujeme tedy hledat metody nové, efektivnější. V této práci nejprve předvedeme konstrukci Itôova integrálu, který následně použijeme při formulování stochastické diferenciální rovnice. Dále uvedeme podmínky pro existenci a jednoznačnost řešení této rovnice. Poté ukážeme, jakým způsobem se vytváří numerické metody pro řešení DR. Několik těchto metod popíšeme a v poslední kapitole předvedeme jejich použití na konkrétním příkladě. Cílem práce je seznámit čtenáře s pojmem stochastické diferenciální rovnice a ilustrovat možnosti jejího numerického řešení. Přepokládá se pouze základní znalost teorie pravděpodobnosti a matematické analýzy. 5
6 Kapitola 1 Používané pojmy V této kapitole uvedeme definice některých pojmů, které budeme dále v textu používat. Začneme definicí náhodného procesu, který pro nás představuje funkci, jejíž hodnoty závisí na náhodě. Definice 1. Nechť (Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor, T R. Potom rodina náhodných veličin {X t, t T } na prostoru (Ω, A, P ) se nazývá náhodný proces. Na náhodný proces lze také nahlížet jako na funkci dvou proměnných X : T Ω R (t, ω) X(t, ω) := X t (ω). Proměnná t má často význam času, budeme ji tak také nazývat. Pro pevné ω nazýváme funkci t X(t, ω) trajektorií procesu. Dále definujeme jeden důležitý náhodný proces Wienerův proces který se často používá jako zdroj nejistoty ve stochastických modelech. Definice 2. Wienerovým procesem nazýváme náhodný proces {W t, t 0} splňující podmínky: i) W 0 = 0 s.j. a {W t, t 0} má spojité všechny trajektorie. ii) Pro libovolná 0 t 1 < t 2 < < t n jsou přírůstky W t1, W t2 W t1, W t3 W t2,..., W tn W tn 1 nezávislé náhodné veličiny. iii) Pro libovolné 0 s < t mají přírůstky W t W s normální rozdělení se střední hodnotou 0 a rozptylem t s. 6
7 Poznámka. Wienerův proces se také často nazývá Brownův pohyb, neboť skutečně jde o matematický model fyzikálního Brownova pohybu. Jednou z vlastností Wienerova procesu, která komplikuje konstrukci stochastického integrálu, je, že jeho trajektorie mají na libovolném intervalu skoro jistě nekonečnou totální variaci. Připomeňme zde její definici. Definice 3. Totální variace reálné funkce f na intervalu [a, b] je číslo Va b f = sup { n i=1 f(x i) f(x i 1 ) ; D = {a = x 0 < < x n = b} je dělení [a, b]}. Dále definujeme pojmy filtrace a adaptovaný proces, které budeme používat při konstrukci Itôova integrálu. Definice 4. Nechť (Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor, T R. ystém σ-algeber {F t, t T } takový, že t T je F t A a s, t T, s < t je F s F t se nazývá filtrace. Definice 5. Nechť {F t, t T } je filtrace. Náhodný proces f(t, ω) : T Ω R nazveme F t -adaptovaný, pokud pro každé t T je funkce ω f(t, ω) F t -měřitelná. Připomeňme ještě konvergenci v L 2. Definice 6. Nechť X n, n N, X jsou reálné náhodné veličiny takové, že X n L 2, n N, X L 2. Říkáme, že posloupnost {X n } n=1 konverguje k X v L 2, jestliže E X n X 2 0, n. Na závěr definujeme podmíněnou střední hodnotu, pojem, který použijeme při charakterizaci Newtonovy metody. Definice 7. Nechť (Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor, F A σ-algebra. Podmíněnou střední hodnotou náhodné veličiny X L 1 (Ω, A, P ) za podmínky F rozumíme jakoukoliv náhodnou veličinu Y L 1 (Ω, F, P F ) takovou, že X dp = Y dp B F. Tyto veličiny označujeme symbolem E[X F]. B Poznámka. Veličina E[X F] je určena jednoznačně P F -skoro jistě. B 7
8 Kapitola 2 Itôův integrál a stochastický diferenciál 2.1 Konstrukce Itôova integrálu Před tím, než budeme moci formulovat stochastické diferenciální rovnice, je třeba definovat stochastický integrál. To lze udělat více způsoby. Dnes jsou nejpoužívanější stochastické integrály Itôův a tratonovičův. V této práci budeme uvažovat Itôův integrál T f(t, ω) dw t (ω), kde f je nějaký náhodný proces a W t je Wienerův proces. Nyní tento integrál zavedeme. Při jeho konstrukci vycházíme z knihy [2]. Jelikož trajektorie Wienerova procesu mají skoro jistě nekonečnou totální variaci, je třeba tento integrál definovat jinak, než jako běžný tieltjesův integrál. Definujeme jej pouze pro speciální třídu procesů pro takové, jejichž hodnota v čase s závisí pouze na hodnotách procesu W t do času s. Odtud pramení důležitá vlastnost Itôova interálu, že se nedívá do budoucnosti. Matematicky tuto vlastnost vyjádříme pomocí měřitelnosti: Definice 8. Nechť W t (ω) je Wienerův proces. Pak označíme F t σ-algebru generovanou náhodnými veličinami {W s, 0 s t}, tj. nejmenší σ-algebru obsahující všechny množiny tvaru {ω; W t1 (ω) B 1,..., W tn (ω) B n }, kde n N, 0 t k t a B k B(R) je borelovská množina pro k = 1,..., n. 8
9 σ-algebru F t si můžeme představovat jako množinu informací, které máme o procesu W t k dispozici v čase t. Fakt, že je nějaká veličina X t F t -měřitelná pak znamená, že v čase t již z těchto dostupných informací dokážeme určit její hodnotu. Náhodný proces je tedy F t -adaptovaný, když jeho hodnota v libovolném čase t závisí pouze na hodnotách procesu W s do času t. F t -adaptované jsou například procesy W t t nebo W t/2, zatímco proces W 2t F t -adaptovaný není. Nyní můžeme definovat třídu funkcí, pro které budeme definovat Itôův integrál na intervalu (, T ). Definice 9. Označíme V(, T ) třídu funkcí takových, že f(t, ω) : [0, ) Ω R i) (t, ω) f(t, ω) je B A-měřitelná, kde B je borelovská σ-algebra na [0, ). ii) f(t, ω) je F t -adaptovaný proces. [ T ] iii) E f(t, ω) 2 dt <. Nyní definujeme pro funkce f V(, T ) Itôův integrál T f(t, ω) dw t (ω). Postupujeme tak, že nejprve definujeme Itôův integrál pro jednoduché funkce, funkci f pak aproximujeme posloupností těchto jednoduchých funkcí a integrál z f definujeme jako limitu jejich integrálů. Funkci φ V(, T ) nazýváme jednoduchou, pokud má tvar n 1 φ(t, ω) = e j (ω) I [tj,t j+1 )(t), (2.1) j=0 kde e j (ω) je F tj -měřitelná náhodná veličina pro j = 0,..., n 1 a = t 0 < t 1 < < t n = T je nějaké dělení intervalu [, T ]. 9
10 Definice 10. Pro jednoduchou funkci φ(t, ω) ve tvaru (2.1) definujeme Itôův integrál od do T jako T n 1 φ(t, ω) dw t (ω) = e j (ω) [W tj+1 (ω) W tj (ω)]. j=0 Nyní ukážeme, jak lze pro libovolnou funkci f V(, T ) setrojit posloupnost jednoduchých funkcí {φ n } n=1, které ji vhodně aproximují. Budeme k tomu potřebovat následující lemma, které lze i s důkazem nalézt v knize [2] (Lemma 3.1.5, str. 26). Lemma 1 (Itôova izometrie). Nechť φ(t, ω) je omezená a jednoduchá. Pak [ ( T ) 2 ] [ T ] E φ(t, ω) dw t (ω) = E φ(t, ω) 2 dt. (2.2) Posloupnost {φ n } n=1 sestrojíme jako v [2], ve třech krocích: Tvrzení 2. Nechť g V(, T ) je omezená a spojitá v t pro každé ω. Pak existuje posloupnost jednoduchých funkcí {φ n } n=1 taková, že [ T ] E (g φ n ) 2 dt 0, n. Důkaz. Pro n N označme d = T n a položme n 1 φ n (t, ω) = g( + jd, ω) I [+jd,+(j+1)d) (t). j=0 Pak φ n je jednoduchá, neboť g V(, T ). Dále pro každé ω T (g φ n ) 2 dt 0, n, neboť g je spojitá v t pro každé ω. Jelikož je g omezená, můžeme podle Lebesgueovy věty zaměnit limitu a integrál, z čehož již plyne tvrzení. Tvrzení 3. Nechť h V(, T ) je omezená. Pak existuje posloupnost {g n } n=1 V(, T ) taková, že g n jsou omezené a spojité v t pro každé ω a platí [ T ] E (h g n ) 2 dt 0, n. 10
11 Důkaz. Nechť h(t, ω) M pro každé (t, ω). Nechť ψ n, n N jsou spojité nezáporné funkce takové, že i) ψ n (x) = 0 pro x 0 a x 1 n a ii) ψ n dx = 1. Položme g n (t, ω) = t 0 h(s, ω)ψ n (t s) ds. Pak g n je spojitá v t pro každé ω a g n (t, ω) M pro každé (t, ω). Dále jde dokázat (viz [2], tep 2., str. 27), že g n V(, T ) a že pro každé ω T (h g n ) 2 dt 0, n. Odtud opět z Lebesgueovy věty plyne tvrzení. Tvrzení 4. Nechť f V(, T ). Pak existuje posloupnost {h n } n=1 V(, T ) taková, že h n jsou omezené a platí [ T ] E (f h n ) 2 dt 0, n. Důkaz. Položme n, když f(t, ω) < n, h n (t, ω) = f(t, ω), když n f(t, ω) n, n, když n < f(t, ω). Pak z Lebesgueovy věty plyne tvrzení. Podle tvrzení 2-4 sestrojíme posloupnost jednoduchých funkcí {φ n } n=1 takovou, že [ T ] E (f φ n ) 2 dt 0, n. Tuto posloupnost nyní využijeme k definici Itôova integrálu. 11
12 Definice 11 (Itôův integrál). Nechť f V(, T ). Pak Itôův integrál z f od do T definujeme jako T T f(t, ω) dw t (ω) = lim φ n (t, ω) dw t (ω) (limita v L 2 ) (2.3) n kde {φ n } n=1 je posloupnost jednoduchých funkcí takových, že [ T ] lim n (f(t, ω) φ n (t, ω)) 2 dt = 0. (2.4) { } T Limita v (2.3) existuje, neboť posloupnost n(t, ω) dw t (ω) je n=1 podle Itôovy izometrie (2.2) Cauchyovská v L 2, kdykoli {φ n } n=1 splňuje podmínku (2.4). Z Itôovy izometrie také plyne, že tato limita nezáleží na volbě posloupnosti {φ n } n= tochastická diferenciální rovnice Nyní již můžeme zformulovat (obyčejnou) stochastickou diferenciální rovnici. Ta má tvar dx t = b(t, X t ) dt + σ(t, X t ) dw t, (2.5) kde b a σ jsou borelovské funkce z [0, ) R do R a W t je Wienerův proces. Za řešení této rovnice (v Itôově smyslu) považujeme jakýkoliv náhodný proces {X t, t 0}, pro který platí X t = X 0 + kde X 0 je náhodná veličina. t 0 b(s, X s ) ds + t Poznámka. Obvykle se také vyžaduje podmínka t 0 b(s, X s ) + σ(s, X s ) 2 ds < 0 σ(s, X s ) dw s, s.j., aby měl výraz na pravé straně smysl (viz [3], Definice 4.1.1, str. 160). Abychom mohli rovnici (2.5) úspěšně numericky řešit, je třeba, aby měla právě jedno řešení. Postačující podmínku pro existenci a jednoznačnost řešení nám dává následující věta, kterou lze i s důkazem najít v knize [2] (Věta 5.2.1, str. 68). 12
13 Věta 5. Nechť je T > 0 a b, σ : [0, T ] R R jsou měřitelné funkce splňující b(t, x) + σ(t, x) C(1 + x ); x R, t [0, T ] (2.6) pro nějakou konstantu C a b(t, x) b(t, y) + σ(t, x) σ(t, y) D x y ; x, y R, t [0, T ] (2.7) pro nějakou konstantu D. Nechť Z je náhodná veličina nezávislá na σ-algebře F generované náhodnými veličinami W t, t 0 taková, že E [ Z 2] <. Pak má stochastická diferenciální rovnice dx t = b(t, X t ) dt + σ(t, X t ) dw t, 0 t T, X 0 = Z právě jedno řešení X t (ω) spojité v t takové, že X t (ω) je adaptované na filtraci Ft Z generovanou náhodnými veličinami Z a W s, s t a [ T ] E X t 2 dt <. 0 Podmínka (2.6) zajišťuje, že řešení neexploduje, tj. že X t (ω) nediverguje k v konečném čase. Podmínka (2.7) zajišťuje, že se řešení nevětví a je jednoznačné. 13
14 Kapitola 3 Numerické metody řešení DR V této kapitole čerpáme z knihy [3]. Budeme uvažovat stochastickou diferenciální rovnici dx t = b(t, X t ) dt + σ(t, X t ) dw t s danou počáteční podmínkou X 0 na daném (deterministickém) intervalu [0, T ]. 3.1 Odvození numerických metod Základním nástrojem pro odvozování numerických metod jsou Itôovy-Taylorovy rozvoje. Abychom je mohli zformulovat v přehledné formě, označme b 0 = b, b 1 = σ, Wt 0 = t, Wt 1 = W t a definujme parciální diferenciální operátory L 0 = + b(t, x) t x σ(t, x)2 2 x, 2 L 1 =σ(t, x) x. Dále zformulujeme bez důkazu klíčové tvrzení ([3], Lemma 5.3.1, str. 241). Lemma 6 (Itôův vzorec v integrálním tvaru). Nechť proces X t je řešením rovnice dx t = b(t, X t ) dt + σ(t, X t ) dw t. Nechť V C 2 ([0, ) R), 0 t 0 t T. Pak platí V (t, X t ) = V (t 0, X t0 ) + t t 0 L 0 V (s, X s ) ds + 14 t t 0 L 1 V (s, X s ) dw s. (3.1)
15 Nyní opakovaným použitím vzorce (3.1) získáme Itôovy-Taylorovy rozvoje procesu X t. Nejprve položíme V (t, x) = x a dostaneme X t = X t0 + t t 0 b(s, X s ) ds + t t 0 σ(s, X s ) dw s = X t0 + 1 j=0 t t 0 b j (s, X s ) dw j s. Jsou-li funkce b j dostatečně hladké, můžeme použít vzorec (3.1) na V = b j, čímž dostaneme 1 t 1 t s X t = X t0 + b j (t 0, X t0 ) dws j + L k b j (u, X u ) dwu k dws j. j=0 t 0 } {{ } přírůstek Eulerovy metody Dále pro V = L k b j dostáváme X t = X t j,k,l=0 1 t b j (t 0, X t0 ) j,k=0 t 0 t 0 } {{ } zbytek 1 L k b j (t 0, X t0 ) t s dws j + dwu k dws j j=0 t 0 j,k=0 t 0 t 0 }{{} přírůstek Taylorovy metody 2. řádu t s u t 0 t 0 t 0 L l L k b j (z, X z ) dwzdw l u k dws j. } {{ } zbytek Podobně můžeme pokračovat dále a získat rozvoje vyšších řádů. (Není ovšem třeba rozvíjet vždy všechny členy najednou.) Zanedbáním zbytků dostáváme Taylorovy metody. Z nich se pomocí různých substitucí odvozují metody další. 3.2 Vybrané numerické metody Na závěr této kapitoly uvedeme několik numerických metod vybraných z knihy [3]. Vyhýbáme se při tom metodám vyšších řádů, které sice mají vyšší řád konvergence, ale vyžadují generování násobných stochastických integrálů. Numerickým řešením rozumíme posloupnost Y 0,..., Y n aproximací veličin X t0,..., X tn, kde 0 = t 0 t 1 t N = T je dělení intervalu [0, T ], Y 0 = X 0. Označíme velikosti kroků n = t n+1 t n a přírůstky Wienerova procesu W n = W tn+1 W tn pro n = 0,..., N 1. 15
16 Poznámka. Z definice Wienerova procesu vyplývá, že W n jsou nezávislé náhodné veličiny s normálním rozdělením se třední hodnotou 0 a rozptylem n Eulerova metoda Nejjednodušší numerickou metodou je explicitní Eulerova metoda, kterou studoval G. Maruyama již v roce Někdy je proto nazývána též Eulerova- Maruyamova. Je dána předpisem Y n+1 = Y n + b(t n, Y n ) n + σ(t n, Y n ) W n (3.2) Vidíme tedy, že jde o prostou adaptaci deterministické Eulerovy metody. Mezi její výhody patří její jednoduchost, je také dobře prozkoumaná. Nevýhodou je nízký řád konvergence a nízká numerická stabilita Metody prediktor-korektor Cílem metod prediktor-korektor je dosáhnout podobné stability, jakou mají implicitní metody, avšak bez nutnosti řešit nelineární algebraické rovnice, které při použití implicitních metod vyvstávají. Příkladem metody prediktor-korektor je explicitní lichoběžníková metoda daná předpisem Y n+1 = Y n + 1 ( b(tn+1, Y E 2 n+1) + b(t n, Y n ) ) n + σ(t n, Y n ) W n, (3.3) kde Yn+1 E je prediktor vypočítaný pomocí explicitní Eulerovy metody Newtonovy metody V této části čerpáme také z [4]. N. Newton zavedl v roce 1986 koncept asymptoticky efektivních, FN T -měřitelných metod, kde F T N = σ{w tn, n = 0,..., N} je σ-algebra generovaná veličinami W t0,..., W tn. Definice 12. FN T -měřitelnou metodu {Y n, n = 0,..., N} nazýváme asymptoticky efektivní podle p-tého středu, právě když E [ X T Y N p ] F T N = 0 s.j. nebo pro každou jinou FN T -měřitelnou metodu {Y n, n = 0,..., N} platí E [ X T Y N p ] F T lim inf N N + E [ X T Y N p ] 1 s.j. F T N 16
17 Poznámka. Používáme zde podmíněnou střední hodnotu z definice 7. Jednou z asymptoticky efektivních metod (pro p = 2) je efektivní Rungeova-Kuttova metoda, kterou lze použít pouze pro autonomní rovnice, tj. rovnice, jejichž koeficienty b a σ nezávisí na čase. Lze tedy psát b(t, X t ) = b(x t ), σ(t, X t ) = σ(x t ). Tato metoda je dána předpisem Y n+1 = Y n (k0 1 + k 0 0) n (37k k k 1 3) W n (8k1 0 + k 1 1 9k 1 2) 3 n, (3.4) kde k0 0 = b(y n ), k0 1 = σ(y n ) ( k1 0 = b(y n + k0 0 n + k0 W 1 n ), k1 1 = σ Y n 2 3 k1 0( W n + ) 3 n ) ( k2 1 = σ Y n k1 0(3 W n + ) 3 n ) ( k3 1 = σ Y n k0 0 n (k1 1 k0) W 1 n 10 ) 27 k1 1 3 n. Výhodou této metody je vyšší řád konvergence bez použití vícenásobných stochastických integrálů. 17
18 Kapitola 4 Aplikace vybraných metod V této kapitole ukážeme použití vybraných numerických metod k řešení lineární rovnice dx t = µx t dt + σx t dw t (4.1) s počáteční podmínkou X 0 = 1 a parametry µ = 1, σ = 0,6 na intervalu [0, 2]. Používáme k tomu prostředí Wolfram Mathematica 7.0. Všechny zdrojové kódy se nachází na přiloženém CD. Rovnice (4.1) má duležitou roli ve finanční matematice. Používá se k modelování cen akcií, je na ní založen Blackův-cholesův vzorec pro oceňování opcí. Analytické řešení této rovnice je známé, je jím proces X t = X 0 exp {(µ σ2 2 ) t + σw t }, (4.2) který se nazývá geometrický Brownův pohyb. Podívejme se nejprve na několik trajektorií vygenerovaných jednotlivými metodami. Velikost kroku volíme 0,01, stejně tak i v dalších simulacích. Na obrázku 4.1 vidíme stejné tři trajektorie generované postupně Eulerovo metodou (3.2), metodou prediktor-korektor (3.3) a Newtonovo metodou (3.4) a přesné řešení podle vzorce (4.2). Všechny grafy jsou si velice podobné, podívejme se proto detailněji na jednu z trajektoríí. Na obrázku 4.2 je jedna z trajektoríí generovaná všemi třemi metodami a přesné řešení. Můžeme si všimnout, že Newtonova metoda na obrázku není vidět. Je to způsobeno tím, že je překryta přesným řešením. Její odchylka od přesného řešení nepřesahuje 0,017. To není případ pouze této trajektorie, Newtonova metoda je obecně znatelně přesnější než zbývající dvě metody. Cenou za její přesnost je vyšší výpočetní náročnost. 18
19 Obrázek 4.1: tejné tři trajektore generované postupně Eulerovo metodou, metodou prediktor-korektor a Newtonovo metodou a přesné řešení. 19
20 Eulerova metoda prediktor korektor Newtonova metoda presne reseni 5 Obrázek 4.2: Jedna trajektorie generovaná všemi metodami a přesné řešení. Když vygenerujeme větší množství trajektorií, můžeme s jejich pomocí odhadnout střední hodnotu řešení. Na obrázku 4.3 vidíme srovnání výběrového průměru postupně z 10, 100, a trajektorií s teoretickou střední hodnotou EX t = e t. Jelikož jsou výsledky všech metod podobné, uvádíme pouze řešení Newtonovo metodou. Můžeme se také podívat na rozdělení řešení v nějakém daném čase t. Veličina X t má lognormální rozdělení LN ( ln X 0 + (µ 1 2 σ2 )t, σ 2 t ). Na obrázku 4.4 vidíme porovnání histogramu z hodnot vygenerovaných Newtonovo metodou a teoretické hustoty v čase t = 2. Na obrázku 4.5 jsou zachyceny empirická a teoretická distribuční funkce. 20
21 Obrázek 4.3: Průměr postupně z 10, 100, a trajektorií (modře) a teoretická střední hodnota (červeně) Obrázek 4.4: Histogram a teoretická hustota v čase t = 2. 21
22 empiricka d.f. teoreticka d.f. Obrázek 4.5: Empirická a teoretická distribuční funkce v čase t = 2. Z provedených simulací vidíme, že numerické metody jistě najdou uplatnění jak při aproximaci jednotlivých trajektorií, tak při odhadování různých charakteristik řešení. Zejména Newtonova metoda se ukázala být velmi přesná. 22
23 Literatura [1] Jarrow R. Protter P.: A short history of stochastic integration and mathematical finance the early years, , IM Lecture Notes Monograph, 2004, vol. 45, s [2] Øksendal B.: tochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, 6th edition, pringer, Berlin, [3] churz H.: Numerical Analysis of tochastic Differential Equations Without Tears, In Handbook of tochastic Analysis and Applications, edited by Kannan D. Lakshmikantham V., Marcel Dekker, New York, [4] Newton N.J.: Asymptotically Efficient Runge-Kutta Methods for a Class of Itô and tratonovich Equations, IAM Journal on Applied Mathematics, April 1991, vol. 51, no. 2, s
Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy
Oceňování finančních derivátů ve spojitém čase Václav Kozmík Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy 4. 10. 2010 Úvod Stochastický kalkulus Wienerův proces stochastické procesy Itoovo lemma změna
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceNumerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceStochastické diferenciální rovnice
KDM MFF UK, Praha Aplikace matematiky pro učitele 15.11.2011 Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací Model pro nemoc s rychlým šířením a krátkou dobou léčby. Příkladem takovéto
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceDiferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)
Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceDISERTAČNÍ PRÁCE k získání akademického titulu Doktor (Ph. D.)
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ DISERTAČNÍ PRÁCE k získání akademického titulu Doktor (Ph. D.) ve studijním oboru MATEMATICKÉ INŽENÝRSTVÍ RNDr. Edita Kolářová Stochastické diferenciální
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceDrsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb
Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
VíceRelativní Eulerova funkce
MUNDUS SYMBOLICUS 25 (2017) Relativní Eulerova funkce J. Nečas Abstract. The article deals with the sequence of ratios between values of the Euler function of the natural number n and that number n. Klíčová
Vícemetody jsou proto často jedinou možností jak danou diferenciální rovnicivyřešit.
7. ODR počáteční úlohy Průvodce studiem Jen velmi málo diferenciálních rovnic, které se vyskytují při popisu praktických úloh, se dářešit exaktně, a i když dokážeme najít vzorce popisující analytickéřešení,
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 21 Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 2 / 21 Řešíme následující úlohu: differencovatelnou funkci f : R R známe jen v konečném počtu bodů x 0,
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
VíceStudijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební ROVNICE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc.
Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební České vysoké učení technické OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Lektorovali: RNDr. Milan Kočandrle, CSc.,
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
VíceOptimální řízení pro geometrický Brownův pohyb
1/39 Optimální řízení pro geometrický Brownův pohyb Lenka Slámová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Stochastické modelování v ekonomii a
VíceObyčejné diferenciální rovnice (ODE)
Obyčejné diferenciální rovnice (ODE) Obyčejné diferenciální rovnice N tého řádu převádíme na soustavy N diferenciálních rovnic prvního řádu. V rovnici f x, y, y ', y '',, y N =gx se substituují y '=z 1,
VíceUniverzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. funkce
Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 11.-12.3. 2010 1 Outline Lemma 1: 1. Nechť µ, ν jsou konečné míry na borelovských
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceJednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je
74 Příloha A Funkce Γ(z) Úvod Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je nesporně funkce Γ(z). Její důležitost se vyrovná exponenciální funkci i funkcím goniometrickým.
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
VíceKapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Základní pojmy Definice: Rovnice tvaru = f(t, x, y) = g(t, x, y), t I nazýváme soustavou dvou diferenciálních rovnic 1. řádu. Řešením soustavy rozumíme
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
Více8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované
Víceúloh pro ODR jednokrokové metody
Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA
MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceStatistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
VíceRovnovážné modely v teorii portfolia
3. září 2013, Podlesí Obsah Portfolio a jeho charakteristiky Definice portfolia Výnosnost a riziko aktiv Výnosnost a riziko portfolia Klasická teorie portfolia Markowitzův model Tobinův model CAPM - model
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VíceK oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory
ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Podmíněné hustoty
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vladimír Krásný Podmíněné hustoty Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Jan Seidler,
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
VíceOd Náhodné Procházky Ke Spojitým Modelům. Silvie Kafková. 1.prosince 2014, FIMA
Od Náhodné Procházky Ke Spojitým Modelům Silvie Kafková 1.prosince 2014, FIMA Obsah 1 Motivace 2 3 Aplikace náhodné procházky 4 Jednoduchý model ceny akcie Motivace Obsah 1 Motivace 2 3 Aplikace náhodné
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
Více8. Normální rozdělení
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá
VíceNechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
Více11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
VíceŘešení "stiff soustav obyčejných diferenciálních rovnic
Řešení "stiff soustav obyčejných diferenciálních rovnic Jiří Škvára Katedra fyziky, Přírodovědecká fakulta Univerzity J.E. Purkyně v Ústí n.l.. ročník, počítačové metody ve vědě a technice Abstrakt Seminární
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VíceFREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
VíceFibonacciho čísla na střední škole
Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods
VícePosloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI
Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
VíceTEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose.
TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. Kvůli těmto těžkostem se měření zúžilo jen na délku
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceKapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VícePetr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57
Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost
VíceVYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ
VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ Michal Kořenář 1 Abstrakt Rozvoj výpočetní techniky v poslední době umožnil také rozvoj výpočetních metod, které nejsou založeny na bázi
Více4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných
Dvojné integrály - 61-4 ntegrální počet funkcí více reálných proměnných 4.1 Dvojné a dvojnásobné integrály Dvojné a dvojnásobné integrály na intervalech z Pod uzavřeným intervalem z rozumíme kartézský
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceKomplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou
VíceNáhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
Více1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
VícePojistná matematika. Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití. Silvie Kafková
Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití 2015 Osnova 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla Obsah 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceLWS při heteroskedasticitě
Stochastické modelování v ekonomii a financích Petr Jonáš 7. prosince 2009 Obsah 1 2 3 4 5 47 1 Předpoklad 1: Y i = X i β 0 + e i i = 1,..., n. (X i, e i) je posloupnost nezávislých nestejně rozdělených
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
Více13. přednáška 13. ledna k B(z k) = lim. A(z) = M(z) m 1. z m.
13. přednáška 13. ledna 2010 Důkaz. M = n=0 a nz n a N = n=0 b nz n tedy buďte dvě mocninné řady, které se jako funkce shodují svými hodnotami na nějaké prosté posloupnosti bodů z k C konvergující k nule.
VícePřevedení okrajové úlohy na sled
Převedení okrajové úlohy na sled úloh počátečních 1 Jiří Taufer Abstrakt Tento příspěvek je věnován řešení okrajových problémů pro soustavu okrajových obyčejných diferenciálních lineárních rovnic metodami,
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
Více