Optimální řízení pro geometrický Brownův pohyb
|
|
- Silvie Vacková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1/39 Optimální řízení pro geometrický Brownův pohyb Lenka Slámová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Stochastické modelování v ekonomii a ve financích 20.prosince 2010
2 2/39 Mertonův problém 1 Mertonův problém 2 pro difúzní procesy Formulace problému Hodnotová funkce 3 Odvození Hamilton Jacobi Bellmanovy rovnice 4 Mertonův problém optimálního složení portfolia Optimalizace spotřeby 5 Literatura
3 3/39 Mertonův problém Mertonův problém Problém optimálního složení portfolia. Nechť X t je bohatství investora (hodnota portfolia) v čase t, na trhu dvě aktiva: Bezrizikové aktivum: Spořící účet s konstantní úrokovou sazbou r splňující db t = rb t dt. Rizikové aktivum: Akcie modelovaná jako geometrický Brownův pohyb ds t = µs t dt + σs t dw t. V každém okamžiku t investor vlastní t akcií.
4 4/39 Mertonův problém Vývoj hodnoty portfolia Portfolio X t je samofinancující, vyvíjí se podle SDR Po rozepsání platí dx t = t ds t + r(x t t S t )dt. dx t = t S t (µ r) dt + rx t dt + t S t σ dw t = = X t (α t (µ r) + r)dt + α t X t σdw t, kde α t je procento kapitálu investované do rizikového aktiva, α t = ts t X t.
5 5/39 Optimální portfolio Mertonův problém Cílem investora je najít strategii α, která maximalizuje očekávaný užitek z bohatství v budoucím čase T sup E [U(X T )], α vzhledem k α A, kde A je množina všech přípustných strategií. Např. α t 1 není povoleno půjčování, α t 0 nejsou povoleny prodeje na krátko. Definujme optimální hodnotovou funkci pro počáteční kapitál X t = x v(x, t) = sup E [U(X T )]. α A
6 6/39 Hamilton Jacobi Bellman Mertonův problém Řešením úlohy stochastického optimálního řízení je optimální hodnotová funkce v a optimální řízení ˆα. K jejich nalezení se využívá Hamilton Jacobi Bellmanova rovnice Věta: (Hamilton Jacobi Bellmanova rovnice) Nechť v je optimální hodnotová funkce a nechť existuje optimální řízení ˆα. Pak platí Funkce v splňuje { ( supα A v (HJB) t + v x x(α(µ r) + r) v xxx 2 σ 2 α 2) = 0, v(x, T ) = U(x). Suprema se nabývá v bodě ˆα(t, x) = µ r v x (x, t) σ 2 xv xx (x, t) tzv. Merton proportion.
7 7/39 Formulace problému Hodnotová funkce 1 Mertonův problém 2 pro difúzní procesy Formulace problému Hodnotová funkce 3 Odvození Hamilton Jacobi Bellmanovy rovnice 4 Mertonův problém optimálního složení portfolia Optimalizace spotřeby 5 Literatura
8 8/39 Formulace problému Hodnotová funkce Formulace problému Uvažujme dynamický model, ve kterém je stav systému popsán náhodným procesem (X s ) s 0 na filtrovaném pravděpodobnostním prostoru (Ω, F, F = (F s ) s 0, P) a jeho vývoj pomocí SDR dx s = µ(s, X s, α s )ds + σ(s, X s, α s )dw s, X t = x,
9 8/39 Formulace problému Hodnotová funkce Formulace problému Uvažujme dynamický model, ve kterém je stav systému popsán náhodným procesem (X s ) s 0 na filtrovaném pravděpodobnostním prostoru (Ω, F, F = (F s ) s 0, P) a jeho vývoj pomocí SDR dx s = µ(s, X s, α s )ds + σ(s, X s, α s )dw s, X t = x, W je F t -adaptovaný Wienerův proces, µ a σ jsou dané funkce, splňující určité podmmínky (zaručující existenci silného řešení SDR)
10 8/39 Formulace problému Hodnotová funkce Formulace problému Uvažujme dynamický model, ve kterém je stav systému popsán náhodným procesem (X s ) s 0 na filtrovaném pravděpodobnostním prostoru (Ω, F, F = (F s ) s 0, P) a jeho vývoj pomocí SDR dx s = µ(s, X s, α s )ds + σ(s, X s, α s )dw s, X t = x, W je F t -adaptovaný Wienerův proces, µ a σ jsou dané funkce, splňující určité podmmínky (zaručující existenci silného řešení SDR) Řízení α = (α t ) t 0 je F t -adaptovaný měřitelný proces s hodnotami v A R, který ovlivňuje stav systému. Budeme uvažovat pouze Markovské řízení α t = α(t, X t ).
11 9/39 Formulace problému Hodnotová funkce Řešení SDR označíme (X t,x s ) t s. Pravděpodobnostní rozdělení X s začínajícího v čase s = t v bodě x značíme P s,x. Střední hodnotu podmíněnou X t = x označíme E t,x.
12 9/39 Formulace problému Hodnotová funkce Řešení SDR označíme (X t,x s ) t s. Pravděpodobnostní rozdělení X s začínajícího v čase s = t v bodě x značíme P s,x. Střední hodnotu podmíněnou X t = x označíme E t,x. Cílem problému stochastického optimálního řízení je maximalizace funkcionálu J (t, x, α) - tzv. performance function, value function.
13 10/39 Formulace problému Hodnotová funkce 1 Mertonův problém 2 pro difúzní procesy Formulace problému Hodnotová funkce 3 Odvození Hamilton Jacobi Bellmanovy rovnice 4 Mertonův problém optimálního složení portfolia Optimalizace spotřeby 5 Literatura
14 Hodnotová funkce Formulace problému Hodnotová funkce Definujeme hodnotovou funkci J : R + R A R J (t, x, α) = E t,x [ T a optimální hodnotovou funkci t ] f (s, Xs t,x, α s )ds + g(x t,x T ) kde v(t, x) = sup J (t, x, α) α A f : R + R A R a g : R R jsou měřitelné funkce. T je časový horizont (T lze definovat jako čas výstupu z určité množiny - např. čas bankrotu, může být i ) A je množina přípustných řízení, pro které existuje jednoznačné řešení SDR. 11/39
15 12/39 Formulace problému Hodnotová funkce J (t, x, α) je očekávaný užitek při řízení α přes čas [t, T ], za podmínky, že X t = x. v(t, x) je optimální očekávaný užitek přes čas [t, T ], za podmínky, že X t = x. ˆα(t, x) je optimální řízení, pokud v(t, x) = J (t, x, ˆα).
16 13/39 1 Mertonův problém 2 pro difúzní procesy Formulace problému Hodnotová funkce 3 Odvození Hamilton Jacobi Bellmanovy rovnice 4 Mertonův problém optimálního složení portfolia Optimalizace spotřeby 5 Literatura
17 14/39 Cílem je najít optimální hodnotovou funkci v a jako vedlejší produkt optimální řízení ˆα. Předpoklady Existuje optimální řízení ˆα. Optimální hodnotová funkce v C 1,2. HJB rovnici odvodíme pomocí principu dynamického programování. Zvol pevně (t, x) (0, T ) R, h > 0 takové, že t + h < T a libovolné pevné řízení α a definujme α(s, y) = { α(s, y), (s, y) [t, t + h] R ˆα(s, y), (s, y) (t + h, T ] R.
18 15/39 Strategie Uvažujme dvě strategie na [t, T ] Strategie I. Použij optimální řízení ˆα. Očekávaný užitek na intervalu [t, T ]: J (t, x, ˆα) = v(t, x). Strategie II. Použij řízení α. Očekávaný užitek na [t, t + h): Očekávaný užitek na [t + h, T ]: E t,x [ t+h t Celkový očekávaný užitek na intervalu [t, T ] J (t, x, α) = E t,x [ t+h t ] f (s, Xs t,x, α)ds. E t,x [ v(t + h, X t,x t+h ) ]. ] f (s, Xs t,x, α)ds + v(t + h, X t,x t+h ).
19 16/39 Porovnání očekávaného užitku strategií Strategie I je optimální, očekávaný užitek strategie I musí být větší nebo roven očekávanému užitku ze strategie II: Musí platit v(t, x) E t,x [ t+h t rovnost nastává právě tehdy, když α ˆα. ] f (s, Xs t,x, α)ds + v(t + h, X t,x t+h ), (1)
20 17/39 Použití Itôovy formule Funkce v C 1,2, použijeme Itôovu formuli na v(s, X t,x s ):
21 17/39 Použití Itôovy formule Funkce v C 1,2, použijeme Itôovu formuli na v(s, X t,x s ): dv(s, X t,x s ) = v s v v ds + µds + x x σdw s v 2 x 2 σ2 ds.
22 17/39 Použití Itôovy formule Funkce v C 1,2, použijeme Itôovu formuli na v(s, X t,x s ): dv(s, X t,x s ) = v s Zintegrujeme (platí X t,x t = x) kde v v ds + µds + x t+h v(t + h, X t,x t+h ) =v(t, x) + t x σdw s v 2 x 2 σ2 ds. (L α v) (s, Xs t,x )ds t+h v t,x + (s, Xs )σ(s, Xs t,x, α)dw s, t x }{{} (lokální) martingal (L α v) (s, x) = v (s, x)+ v s x (s, x) µ(s, x, α) v x 2 (s, x) σ2 (s, x, α).
23 18/39 1 Mertonův problém 2 pro difúzní procesy Formulace problému Hodnotová funkce 3 Odvození Hamilton Jacobi Bellmanovy rovnice 4 Mertonův problém optimálního složení portfolia Optimalizace spotřeby 5 Literatura
24 19/39 Přechod k limitě Do nerovnosti (1) dosadíme za v(t + h, X t,x t+h ) a získáme (střední hodnota z lokálního martingalu je 0): 0 E [ t+h t (L α v) (s, X t,x s ) + f (s, Xs t,x, α)ds ].
25 19/39 Přechod k limitě Do nerovnosti (1) dosadíme za v(t + h, X t,x t+h ) a získáme (střední hodnota z lokálního martingalu je 0): 0 E [ t+h t (L α v) (s, X t,x s ) + f (s, Xs t,x, α)ds Přechod k limitě (vydělíme h a h pošleme k 0): 0 (L α v) (t, x) + f (t, x, α). ].
26 19/39 Přechod k limitě Do nerovnosti (1) dosadíme za v(t + h, X t,x t+h ) a získáme (střední hodnota z lokálního martingalu je 0): 0 E [ t+h t (L α v) (s, X t,x s ) + f (s, Xs t,x, α)ds Přechod k limitě (vydělíme h a h pošleme k 0): 0 (L α v) (t, x) + f (t, x, α). Tato nerovnost platí pro všechna α A a rovnost platí pro ˆα, tedy musí být 0 = sup {(L α v) (t, x) + f (t, x, α)}. α A ].
27 20/39 Hamilton Jacobi Belmanova rovnice Věta: (HJB rovnice) Za výše udevených předpokladů platí následující Funkce v splňuje Hamilton Jacobi Bellmanovu rovnici (HJB) { supα A {(L α v) (t, x) + f (t, x, α)} = 0, (t, x), v(t, x) = g(x), x. Pro každé (t, x) je suprema dosaženo pro α(t, x) = ˆα(t, x).
28 21/39 Důležitá poznámka HJB rovnice je pouze nutnou podmínkou, nikoliv postačující pokud v je optimální hodnotová funkce, a ˆα je optimální řízení, pak v splňuje HJB rovnici a ˆα je bod suprema.
29 21/39 Důležitá poznámka HJB rovnice je pouze nutnou podmínkou, nikoliv postačující pokud v je optimální hodnotová funkce, a ˆα je optimální řízení, pak v splňuje HJB rovnici a ˆα je bod suprema. Pokud ( ) pro nějaké řízení α platí, že pro všechna (t, x) je L α v (t, x) + f (t, x, α) = 0, vyplývá z toho, že α je optimální řízení?
30 21/39 Důležitá poznámka HJB rovnice je pouze nutnou podmínkou, nikoliv postačující pokud v je optimální hodnotová funkce, a ˆα je optimální řízení, pak v splňuje HJB rovnici a ˆα je bod suprema. Pokud ( ) pro nějaké řízení α platí, že pro všechna (t, x) je L α v (t, x) + f (t, x, α) = 0, vyplývá z toho, že α je optimální řízení? To ukazuje HJB rovnice je také postačující podmínka.
31 22/39 1 Mertonův problém 2 pro difúzní procesy Formulace problému Hodnotová funkce 3 Odvození Hamilton Jacobi Bellmanovy rovnice 4 Mertonův problém optimálního složení portfolia Optimalizace spotřeby 5 Literatura
32 23/39 Věta: (Verifikační lemmma) Mějme dvě funkce u(t, x) a α(t, x) takové, že platí Funkce u je dostatečně integrovatelná a řeší HJB rovnici { supα A {(L (HJB) α u) (t, x) + f (t, x, α)} = 0, (t, x), u(t, x) = g(x), x. Funkce α je přípustné řízení. Pro každé pevné (t, x) je suprema ve výrazu sup α A {L α u + f (t, x, α)} dosaženo pro α = α(t, x).
33 24/39 Věta: () pokračování Pak platí následující: 1 Optimální hodnotová funkce v je dána v(t, x) = u(t, x). 2 Existuje optimální řízení ˆα a platí ˆα(t, x) = α(t, x). Tedy pokud nějaká funkce u řeší HJB rovnici a existuje nějaké řízení α, pro které se nabývá suprema, pak je u optimální hodnotová funkce a α optimální řízení.
34 25/39 Použití HJB rovnice Uvažujme problém optimálního řízení s HJB rovnicí (HJB) { supα A { (L α v) (t, x) + f (t, x, α) } = 0, v(t, x) = g(x). 1 HJB rovnici uvažujme jako PDR pro neznámou funkci v. 2 Zvolíme bod (t, x) a vyřešíme deterministickou optimalizační úlohu { max (L α v) (t, x) + f (t, x, α) }. α A 3 Optimální řešení ˆα závisí na t, x, funkci v a jejích parciálních derivacích. Tj. ˆα = ˆα(t, x, v).
35 26/39 4 Funkce ˆα(t, x, v) je kandidát na optimální řízení, ale neznáme v. Dosadíme ˆα do (HJB) a získáme PDR { ( ) Lˆα v (t, x) + f (t, x, ˆα) = 0, v(t, x) = g(x). 5 Vyřešíme tuto PDR, získáme optimální hodnotovou funkci v, dosazením do ˆα = ˆα(t, x, v) získáme optimální řízení. Použijeme pro ověření, že v je optimální hodnotová funkce a ˆα optimální řízení. Poznámka: PDR je vysoce nelineární, analytické řešení většinou neexistuje - řešení si většinou tipneme, funkci v nějakým způsobem parametrizujeme a řešením PDR získáme správné parametry.
36 27/39 Mertonův problém optimálního složení portfolia Optimalizace spotřeby 1 Mertonův problém 2 pro difúzní procesy Formulace problému Hodnotová funkce 3 Odvození Hamilton Jacobi Bellmanovy rovnice 4 Mertonův problém optimálního složení portfolia Optimalizace spotřeby 5 Literatura
37 28/39 Mertonův problém optimálního složení portfolia Optimalizace spotřeby Mertonův problém optimálního složení portfolia Nechť X t je bohatství investora (hodnota portfolia) v čase t Na trhu dvě aktiva bezrizikové a rizikové (akcie modelovaná jako geometrický Brownův pohyb). V každém okamžiku t agent investuje α t procent z hodnoty portfolia do akcií, procento 1 α t do bezrizikového aktiva. Hodnota porftolia se vyvíjí jako samofinancující se portfolio dx t = α t µx t dt + α t σx t dw t + (1 α t )rx t dt. Předpokládejme, že investor začíná s bohatstvím X t = x > 0 v čase t. Jeho cílem je maximalizace užitku z bohatství v budoucím čase T.
38 29/39 Mertonův problém optimálního složení portfolia Optimalizace spotřeby Matematická formulace úlohy Úloha maximalizace užitku max J (t, x, α) = E [U(X T )] α A dx t = X t [α t µ + (1 α t )r] dt + X t α t σdw t X t = x, A = {α t = α(t, X t ) : 0 α t } Z předchozích částí máme f 0, g = U Úlohou je najít funkci v(t, x) a řízení ˆα = ˆα(x, X t ), takové, že v(t, x) = sup J (t, x, α) = J (t, x, ˆα), α A
39 30/39 Mertonův problém optimálního složení portfolia Optimalizace spotřeby HJB rovnice a její řešení HJB rovnice má v tomto případě tvar (HJB) { { } supα A (L α v) (t, x) = 0, Diferenciální operátor L α v má tvar v(t, x) = U(x). (L α v) (t, x) = v t + v x x(α(µ r) + r) v xxx 2 α 2 σ 2. Suprema se nabývá v bodě ˆα(t, x) = µ r σ 2 v x (t, x) xv xx (t, x).
40 Příklad Mocninná užitková funkce Mertonův problém optimálního složení portfolia Optimalizace spotřeby Úlohu umíme explicitně vyřešit pro mocninnou užitkovou funkci U p (x) = x 1 p 1 p, x 0, p > 0, p 1, U 1(x) = log(x), x 0. Hledáme řešení ve tvaru v(t, x) = c(t)u p (x), pro kladnou funkci c. Dosadíme do HJB rovnice, c pak musí splňovat ODR c (t) + ϱc(t) = 0, c(t ) = 1, kde ϱ = (1 p) sup[α(µ r) + r 1 α 2 pα2 σ 2 ]. Našli jsme řešení v(t, x) = exp(ϱ(t t))u p (x), ˆα = µ r pσ 2. 31/39
41 32/39 Mertonův problém optimálního složení portfolia Optimalizace spotřeby 1 Mertonův problém 2 pro difúzní procesy Formulace problému Hodnotová funkce 3 Odvození Hamilton Jacobi Bellmanovy rovnice 4 Mertonův problém optimálního složení portfolia Optimalizace spotřeby 5 Literatura
42 33/39 Optimalizace spotřeby Mertonův problém optimálního složení portfolia Optimalizace spotřeby Podobná úloha jako optimalizace složení portfolia Přidána spotřeba C t (intenzita spotřeby). Hodnota portfolia dx t = t S t µdt + t S t σdw t + r(x t t S t )dt C t dt = = X t ( αt (µ r) + r ) dt + X t α t σdw t X t c t dt, kde α t = tst X t a c t = Ct X t jsou procento investovaného kapitálu a spotřeba na jednotku kapitálu. Předpokládejme, že investor začíná s bohatstvím X 0 = x > 0 v čase 0. Jeho cílem je maximalizace diskontovaného užitku ze spotřeby.
43 34/39 Matematická formulace úlohy Mertonův problém optimálního složení portfolia Optimalizace spotřeby Úloha maximalizace diskontovaného užitku ze spotřeby [ ] max J (x, π) = E e βt U(c t X t )dt. π A 0 dx t = X t [α t (µ r) + r c t ] dt + X t α t σdw t. X 0 = x, A = {π = (α t, c t ) : c t 0, 0 α t 1}. Úlohou je najít funkci v(x), vektor řízení ˆπ = (ˆα, ĉ) takové, že v(x) = sup J (x, π) = J (x, ˆπ), π A
44 35/39 HJB rovnice a její řešení Mertonův problém optimálního složení portfolia Optimalizace spotřeby HJB rovnice má v tomto případě tvar (HJB) { sup βv(x) (L π v) (x) U(cx) } = 0. π A Diferenciální operátor L π v má tvar (L π v) (x) = v x(α(µ r) + r c) v x 2 α 2 σ 2. Suprema se nabývá v bodě ˆπ = (ˆα, ĉ) ˆα(x) = µ r σ 2 v (x) xv (x), ĉ(x) = 1 x ( U ) 1 (v (x)).
45 36/39 Příklad Mocninná užitková funkce Mertonův problém optimálního složení portfolia Optimalizace spotřeby Úlohu umíme opět explicitně vyřešit pro mocninnou užitkovou funkci U p (x) = x 1 p 1 p, x 0, p > 0, p 1, U 1(x) = log(x), x 0. Definujeme Ũ p (Legendreova transformace funkce U) p Ũ p (z) = sup {U p (C) Cz} = 1 p z p 1 p, p > 0, p 1, C 0 log z 1, p = 1. Pak řešíme (HJB) rovnici ve tvaru βv(x) Ũ p (v ) sup {(L α v) (x)} = 0, α kde (L α v) (x) = v x(α(µ r) + r) v x 2 α 2 σ 2.
46 37/39 Mertonův problém optimálního složení portfolia Optimalizace spotřeby Hledáme řešení ve tvaru v(x) = KU p (x), pro kladné K. Dosadíme do HJB rovnice, K pak musí splňovat kde (β ϱ)k pk p 1 p = 0, ϱ = (1 p) sup[α(µ r) + r 1 α 2 pα2 σ 2 ]. Našli jsme řešení (pro β > ϱ) v(x) = ( ) p p U p (x), ˆα = µ r β ϱ pσ 2, ĉ = K 1 1 p.
47 Literatura Janeček, K. Stochastic calculus in finance Study material, MFF UK Björk, T. Arbitrage theory in continuous time Oxford University Press, 2009 Pham, H. Continuous time stochastic control and optimization with financial applications Springer Verlag, 2009 Oksendal, B. Stochastic differential equations, An Introduction with Applications Springer Verlag, /39
48 39/39 Děkuji za pozornost.
Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy
Oceňování finančních derivátů ve spojitém čase Václav Kozmík Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy 4. 10. 2010 Úvod Stochastický kalkulus Wienerův proces stochastické procesy Itoovo lemma změna
VíceMartin Chudoba. Seminář - Stochastické modelování v ekonomii a financích KPMS MFF UK. dluhopisů pomocí. Black-Scholesova modelu. M.Chudoba.
Martin Chudoba s Seminář - Stochastické modelování v ekonomii a financích KPMS MFF UK 18.10.2010 Uvažujeme bezkupónový dluhopis vyplácející jednotku v čase T Za předpokladu konstantní úrokové míry r pro
VíceRovnovážné modely v teorii portfolia
3. září 2013, Podlesí Obsah Portfolio a jeho charakteristiky Definice portfolia Výnosnost a riziko aktiv Výnosnost a riziko portfolia Klasická teorie portfolia Markowitzův model Tobinův model CAPM - model
VíceFinancial calculus Chapter 6 Bigger models
Financial calculus Chapter 6 Bigger models Tomáš Hanzák Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK Praha Seminář Stochastické modelování v ekonomii a financích 1.11. 2010 Tomáš Hanzák Financial
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VíceStochastické diferenciální rovnice
KDM MFF UK, Praha Aplikace matematiky pro učitele 15.11.2011 Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací Model pro nemoc s rychlým šířením a krátkou dobou léčby. Příkladem takovéto
VícePřemysl Bejda.
premyslbejda@gmail.com 2010 Obsah 1 2 3 Obchodovatelnost Cena rizika Obsah 1 2 3 Obchodovatelnost Cena rizika Obsah 1 2 3 Obchodovatelnost Cena rizika Itôovo lemma Lemma (Itôovo) Necht X t je stochastický
VíceROVNICE NA ČASOVÝCH ŠKÁLÁCH A NÁHODNÉ PROCESY. Michal Friesl
Robust 14, Jetřichovice ROVNICE NA ČASOVÝCH ŠKÁLÁCH A NÁHODNÉ PROCESY Michal Friesl Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Úvod Analýzníkům
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
VíceMatematika V. Dynamická optimalizace
Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,
VíceLWS při heteroskedasticitě
Stochastické modelování v ekonomii a financích Petr Jonáš 7. prosince 2009 Obsah 1 2 3 4 5 47 1 Předpoklad 1: Y i = X i β 0 + e i i = 1,..., n. (X i, e i) je posloupnost nezávislých nestejně rozdělených
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 27 Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
VíceVěta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa
Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa Petr Tomiczek Fakulta Aplikovaných věd Západočeská univerzita Plzeň 2006 obsah 1 Rozklad Hilbertova prostoru Uzavřený lineární a samoadjungovaný operátor
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceParciální diferenciální rovnice
Parciální diferenciální rovnice Obsah kurzu Co bude obsahovat... úvod do PDR odvození některých PDR klasická teorie lineárních PDR 1. a 2. řádu řešení poč. a okraj. úloh vlastnosti řešení souvislost s
Více1 Odvození poptávkové křivky
Odvození poptávkové křivky Optimalizační chování domácností (maximalizace užitku) vzhledem k rozpočtovému omezení. Nejprve odvodíme deterministický model, který potom rozšíříme o stochastické prvky. Odvozené
VíceTeorie rozhodování (decision theory)
Umělá inteligence II Roman Barták, KTIML roman.bartak@mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Teorie pravděpodobnosti (probability theory) popisuje v co má agent věřit na základě pozorování. Teorie
VíceObsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
Více4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
VíceNumerické metody optimalizace - úvod
Numerické metody optimalizace - úvod Petr Tichý 16. února 2015 1 Organizace přednášek a cvičení 13 přednášek a cvičení. Zápočet: úloha programování a testování úloh v Matlabu. Další informace na blogu
VíceCo jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
Vícenaopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.
Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
Více12. Křivkové integrály
12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ
VíceOperační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.
Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
VíceBayesovské metody. Mnohorozměrná analýza dat
Mnohorozměrná analýza dat Podmíněná pravděpodobnost Definice: Uvažujme náhodné jevy A a B takové, že P(B) > 0. Podmíněnou pravěpodobností jevu A za podmínky, že nastal jev B, nazýváme podíl P(A B) P(A
VíceRadek Hendrych. Stochastické modelování v ekonomii a financích. 18. října 2010
Sochasické modelování v ekonomii a financích 18. října 21 Program 1 2 3 4 Úroková míra R, T ) Uvažujme bezrizikový bezkuponový dluhopis s mauriou T a nominální hodnoou 1 $, jeho cenu v čase budeme nadále
Vícerovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =
Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
VíceDiferenciální rovnice kolem nás
Diferenciální rovnice kolem nás Petr Kaplický Den otevřených dveří MFF UK 2012 Praha, 29. 11. 2012 Petr Kaplický (KMA MFF UK) Diferenciální rovnice kolem nás 1 / 24 Plán 1 Let Felixe B. 2 Pád (s odporem
VíceOd Náhodné Procházky Ke Spojitým Modelům. Silvie Kafková. 1.prosince 2014, FIMA
Od Náhodné Procházky Ke Spojitým Modelům Silvie Kafková 1.prosince 2014, FIMA Obsah 1 Motivace 2 3 Aplikace náhodné procházky 4 Jednoduchý model ceny akcie Motivace Obsah 1 Motivace 2 3 Aplikace náhodné
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceStochastická dominance a optimalita portfolií
Dopravní fakulta ČVUT 2010 Obsah 1 Stochastická dominance 2 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky 3 4 Portfolia optimální vzhledem k exponenciálním užitkovým funkcím Předpoklady Konvexita množiny optimálních
VíceKapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
Více1 Jednoduchý makroekonomický model
MAMO podzim 2015 Přednáška 2 Lit: W-MT, ch1 K-QM, ch 3 1 Jednoduchý makroekonomický model Reprezentativní firma, reprezentativní domácnost optimalizace (maximalizace cílové funkce vzhledem k rozpočtovému
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
Více4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu
4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných
Více1/15. Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
1/15 Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu 2/15 Vsuvka: Vlastní čísla matic Definice: Bud A čtvercová matice a vektor h 0 splňující rovnici A h = λ h pro nějaké číslo λ R. Potom λ nazýváme
VíceMATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceÚvod do teorie her
Úvod do teorie her 2. Garanční řešení, hry s nulovým součtem a smíšené strategie Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2017 ÚTIA AV ČR Program 1. Zavedeme řešení, které zabezpečuje minimální výplatu
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceTo je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
Více7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.
7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň
VíceZáklady teorie odhadu parametrů bodový odhad
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceDetekce interakčních sil v proudu vozidel
Detekce interakčních sil v proudu vozidel (ANEB OBECNĚJŠÍ POHLED NA POJEM VZDÁLENOSTI V MATEMATICE) Doc. Mgr. Milan Krbálek, Ph.D. Katedra matematiky Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;
VíceOperační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.
Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
VíceStatistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I
Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Příklad Tahová síla papíru používaného pro výrobu potravinových sáčků je důležitá charakteristika kvality. Je známo, že síla
VíceFunkce jedné proměnné
Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceLiteratura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Nehomogenní okrajové podmínky. Pokračování OÚ pro PDR (jen pro fajnšmekry). Jednoznačnost zobecněného řešení. Metoda sítí v 1D. Přibližné řešení okrajových úloh. Aproximace vlastních
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceÚvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce
Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx
VíceMatematická analýza III.
3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické
VíceDefinice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1
9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
Více(Poznámka: V MA 43 je věta formulována trochu odlišně.)
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy: zúplnění prostoru funkcí přibližné řešení minim. úlohy metoda konečných prvků jiný pohled na zobecněné řešení stejný způsob numerické aproximace
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceOdhady Parametrů Lineární Regrese
Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké
VíceParametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
Víceprof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Věty o přírustku funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické
VíceLineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2
Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a
VíceNelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků
Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2014 Obsah Variační principy
VíceKomplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou
VíceDISERTAČNÍ PRÁCE k získání akademického titulu Doktor (Ph. D.)
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ DISERTAČNÍ PRÁCE k získání akademického titulu Doktor (Ph. D.) ve studijním oboru MATEMATICKÉ INŽENÝRSTVÍ RNDr. Edita Kolářová Stochastické diferenciální
Více24. Parciální diferenciální rovnice
24. Parciální diferenciální rovnice Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2011/12 24.1 Rovnice vedení tepla Definice (Rovnice vedení tepla) Parciální diferenciální rovnici c(x)ρ(x)
Vícediferenciální rovnice verze 1.1
Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceVzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová
1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceZpětnovazební učení Michaela Walterová Jednoocí slepým,
Zpětnovazební učení Michaela Walterová Jednoocí slepým, 17. 4. 2019 V minulých dílech jste viděli Tři paradigmata strojového učení: 1) Učení s učitelem (supervised learning) Trénovací data: vstup a požadovaný
VíceOmezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
VíceLimita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
Více