Kˇriv e pruty Martin Fiˇser Martin Fiˇ ser Kˇ riv e pruty

Transkript

1

2 Obsah Dimenzování křivého tenkého prutu zde Deformace v daném místě prutu zde Castiglianova věta zde

3 Dimenzování křivého tenkého prutu Mějme obecný křivý prut z homogeního izotropního materiálu. Obrázek: Křivý prut

4 Dimenzování křivého tenkého prutu Na tento prut působí obecné zátěžné účinky. Obrázek: Zatížený křivý prut Pro dimenzování musíme vyšetřit průběh ohybového momentu podél střednice prutu.

5 Dimenzování křivého tenkého prutu Obrázek: Zatížený křivý prut Z momentové podmínky rovnováhy k libovolnému bodu a složkových podmínek rovnováhy sil, Fx i = 0, Fy i = 0, Mi = 0 (1) určíme reakce v uložení.

6 Dimenzování křivého tenkého prutu Například, provedeme-li vyšetření ohybového momentu M(p) k obecnému místu p pomocí metody řezu, bude moment ovlivněn silou F a momentem M, viz obrázek. Obrázek: Zatížený křivý prut

7 Dimenzování křivého tenkého prutu Je-li vyšetřen vnitřní ohybový moment, určíme jeho hodnotu M max, která je rozhodující pro dimenzování.

8 Dimenzování křivého tenkého prutu Je-li vyšetřen vnitřní ohybový moment, určíme jeho hodnotu M max, která je rozhodující pro dimenzování. Napětí σ max v daném místě musí být menší nebo rovno dovolenému napětí σ D σ max = M max W o W o M max σ D, (2)

9 Dimenzování křivého tenkého prutu Je-li vyšetřen vnitřní ohybový moment, určíme jeho hodnotu M max, která je rozhodující pro dimenzování. Napětí σ max v daném místě musí být menší nebo rovno dovolenému napětí σ D σ max = M max W o W o M max σ D, (2) kde W o je modul průřezu v ohybu.

10 Dimenzování křivého tenkého prutu Například pro kruhový průřez průměru d je kvadratický moment J = πd4 64. Modul průřezu v ohybu je W o = J d 2 = πd (3) S využitím vztahů (2) a (3) po úpravě dostáváme 32M d 3 max. (4) πσ D

11 Výpočet deformace křivého tenkého prutu Uvažujme obecný křivý prut z homogeního izotropního materiálu. Obrázek: Křivý prut se zavedeným systémem souřadnic Popišme střednici prutu pomocí parametrů s 1 0, l 1 a s 2 0, l 2, jak je vidět na obrázku.

12 Výpočet deformace křivého tenkého prutu Průhyb a úhel natočení v daném místě prutu s vypočteme pomocí Castiglianovy věty. Průhyb je roven parciální derivaci celkové potenciální energie prutu dle síly F s působící v daném místě a v daném směru. Obdobně pro úhel natočení, kde derivujeme dle momentu M s. u = 1 EJ s ϕ = 1 EJ s M o M o F s ds M o M o M s ds (5)

13 Výpočet deformace křivého tenkého prutu Vypočteme průhyb a natočení prutu v damém místě s.

14 Výpočet deformace křivého tenkého prutu Pokud v tomto místě nepůsobí žádný moment, ani síla ve směru, ve kterém počítáme posunutí, pak do tohoto místa připojíme fiktivní sílu F f 0 a fiktivní moment M f 0, tj. velikost síly a momentu se limitně bĺıží k nule.

15 Výpočet deformace křivého tenkého prutu Pokud v tomto místě nepůsobí žádný moment, ani síla ve směru, ve kterém počítáme posunutí, pak do tohoto místa připojíme fiktivní sílu F f 0 a fiktivní moment M f 0, tj. velikost síly a momentu se limitně bĺıží k nule. Obrázek: Zobrazená fiktivní síla a fiktivní moment v místě s

16 Výpočet deformace křivého tenkého prutu Nyní vyšetříme ohybové momenty M 1 (s 1 ) a M 2 (s 2 ) z volného konce prutu. V těchto momentech je zahrnuta i fiktivní síla a fiktivní moment. Výsledný úhel natočení ϕ s vypočteme pomocí Castiglianovy věty následujícím způsobem ϕ s = 1 EJ l 1 0 M 1 (s 1 ) M 1(s 1 ) l 2 ds 1 + M f 0 M 2 (s 2 ) M(s 2) ds 2. (6) M f Posunutí u s ve směru fiktivní síly F f je dle Castiglianovy věty u s = 1 EJ l 1 0 M 1 (s 1 ) M 1(s 1 ) l 2 ds 1 + F f 0 M 2 (s 2 ) M(s 2) ds 2. (7) F f

17 Výpočet deformace křivého tenkého prutu Pro daný případ vetknutého nosníku není ohybový moment M 1 (s 1 ) funkcí ani fiktivní síly F f, ani fiktivního momentu M f. Proto budou parciální derivace M 1 (s 1 ) F f = 0, M 1 (s 1 ) M f = 0 a vztahy (6) a (7) se zjednoduší na ϕ s = 1 l 2 M 2 (s 2 ) M(s 2) ds 2, EJ M f 0 u s = 1 l 2 M 2 (s 2 ) M(s 2) ds 2. EJ F f 0