Nalezení minima lní plochy pomocí Jacobiho metody

Transkript

1 Naezení minima ní pochy pomocí Jacobiho metody Zadání Mějme obecnou uzavřenou křivku v 3 popsanou parametrizací t kde r {, xy, z} jsou souřadnice bodů ežících na křivce r r, (1.1) t 0, T, konturou je křivka a jejíž všechny okání extrémy eží také na křivce řešením Lapaceovy rovnice 2 2 z z x y. Úkoem je naézt pochu, jejíž. Lze ukázat, že tato pocha je (1.2) na poše, která je uzavřená průmětem křivky do roviny x-y. Rovnice (1.2) je dáe dopněna okrajovou podmínkou z z t. (1.3) Úoha obecně nemá anaytické řešení a je nutno ji řešit numericky. Pro řešení úohy využijte Jacobiho iterativní metodu (bez reaxace), [2], jejíž naivní agoritmus v Matabu je přiožen na konci zadání. Agoritmus hedá iterativně řešení pomocí náhrady derivací konečnými diferencemi 1 z m, n, i 1 z m 1, n, i z m 1, n, i z m, n 1, i z m, n 1, i (1.4) 4 s tím, že v každé iteraci i je zajištěna patnost podmínky (1.3), viz násedující obrázek. Upravte agoritmus tak, aby umožni naézt řešení probému (1.2) za podmínky (1.3). Vyřešení tohoto zadání zajišťuje nárok na zápočet. Pravděpodobně budete muset

2 agoritmus vektorizovat (akceerace výpočtu), aproximovat hodnotu okrajové podmínky s ohedem na ekvidistantní mříž (zvažte i využití neekvidistantní mřížky [3]), vypočítat hraniční body diskretizační mřížky, případně se jinak (NaN?) vyrovnat s body mimo danou pochu. Agoritmus bude zastaven s ohedem na reativní chybu v dvou po sobě násedujících krocích v zadaném místě. V rámci soutěže se potom soustřeďte na potřebnou dobu výpočtu, kterou se snažte minimaizovat. Testovací příkad Výpočet bude ověřen, a cekový čas výpočtu změřen, pro zadání (viz obrázek): x cos t, y sin( t), 3 z sin t, 2 (1.5) T 2 s parametrizací (1.1),, kdy využijte nejméně 2500 bodů (matice bude mít kupř bodů, agoritmus však koncipujte tak, aby by počet bodů proměnný). Reativní přesnost řešení v bodě 11 x0, y 0 musí být menší než 11 pro hodnoty získané ve dvou po sobě jdoucích krocích metody. err 0 Poznámka: Obecnost metody může být ověřena i pro jinou křivku a jinou hodnotu okrajové podmínky. Ukázka řešení: Pro čtverec o straně 1 jsou definovány okrajové podmínky z 1 na hraně obrázek níže. x y y xmax a max, viz

3 Odhad řešení pro mřížku a 4 10 iterací je zobrazen na násedujícím obrázku.

4 Kód: cear; cose a; cc; MM = 10000; % number of iterations (coud be any number if a given error % toerance is reached) NN = 50; % number of discretization sampes Xmat = zeros(nn); % aocation % boundary conditions Xmat(:,1) = 0; Xmat(:,) = 1; Xmat(1,:) = 0; Xmat(,:) = 1; % preaocation of the second matrix (it is not necessary if a better % soution is found... ;-) ) Xmat_new = Xmat; tic % time measurement for mm = 1:MM % reaxation (iterations are needed) for iy = 2:(NN-1) % for y-axis for ix = 2:(NN-1) % for x-axis Xmat_new(iy, ix) =... (Xmat(iy + 1, ix) + Xmat(iy - 1, ix) +... Xmat(iy, ix + 1) + Xmat(iy, ix - 1)) / 4; Xmat = Xmat_new; % assign new (improved) version of matrix for next it. toc surf(xmat); Zdroje: [1] [2] Pozor, pouze pro neekvidistantní mřížku. [3] Podmínky uděení zápočtu: Projekt si může vybrat k řešení neomezený počet studentů v daném semestru. Očekává se však individuání přístup k řešení (bude kontroována podobnost odevzdaných kódů). Projekt bude odevzdán spou s dokumentací, nejdée však v 14. týdnu (vzor dokumentace zde). Cíem je projekt zpracovat pode zadání, přičemž doba výpočtu uvozená příkazy tic a toc by měa být co nejkratší. Pro získání zápočtu je však podstatná správná funkčnost kódu, jeho přehednost, zpracování nápovědy a dokumentace.

5 Účast v soutěži: Každé řešení bude krátce prezentováno, datum prezentace bude stanoven po dohodě během semestru. Je tedy vyžadována příprava někoika máo sajdů, kde budou uvedeny postupy a zajímavé kroky a zjednodušení v impementaci. Prezentace soutěžních projektů bude provedena formou soutěže. Jsou zakázány části kódu kompiované do mex / d atp., ze však ibovoně využívat paraeizace a daších technik akceerace. Jediným povoeným programovacím jazykem je Matab, nejsou dovoeny tooboxy. Všechny odevzdané kódy budou porovnány na stejném stroji, se stejnou instaací a operačním systémem (typicky Win7/10 + Matab R2015b). Před vastním měřením bude proveden warm-up. Skript bude spuštěn vícekrát a soutěžní čas bude průměr získaných hodnot (krom 1. spuštění). Odstoupení od soutěže Student, který si vybra jako projekt toto soutěžní zadání, ae v průběhu semestru se rozhodne svoji práci neprezentovat, má právo ze soutěže odstoupit. Tuto skutečnost musí vyučujícím co nejdříve oznámit a bude individuáně posouzeno, jesti si student může vybrat nové zadání, anebo jesti dosud odvedenou práci upraví tak, aby spňovaa náežitosti standardního projektu (především vytvoření GUI). Kritéria pro vítězství v soutěži: Rychost kódu. Pné napnění zadání. První tři nejrychejší a správně zpracované projekty získají věcné ceny! A nehynoucí sávu ;-) Věcné výhry Katedra eektromagnetického poe, ve spoupráci s firmou Humusoft odmění vítězce násedujícími cenami. Výherce dostane havní cenu a možnost vybrat si i z ostatních cen. Druhý a třetí výherce si může vybrat z ostatních cen. Havní cena: - kurz od firmy Humusoft de vastního výběru (OOP, image processing, effective techniques,...) Ostatní ceny: - skenice 0,5 a 0,3 L s Maxweovými rovnicemi - tričko Humusoft s ogem firmy (XL) - USB disk 4GB - svítina Humusoft - propiska Humusoft - přívěšek s PC šroubováčky - kšitovka Humusoft