1.7 Magnetické pole stacionárního proudu

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1.7 Magnetické pole stacionárního proudu"

Transkript

1 1.7 Magnetické poe stacionárního proudu Pohybující se e. náboje (e. proud) vytvářejí magnetické poe. Naopak poe působí siou na pohybující se e. náboje E. proud, Ohmův zákon v diferenciáním tvaru ρ... hustota pohybujícího se náboje, v... rychost pohybujícího se náboje Definice proudové hustoty i ρ v, i = i ( r, t). Náboj, který proteče poškou d za časový interva dt: dq = ρd = ρ v d dt = i d dt = id cos αdt = id }{{} dt i Proud di pochou d: di = dq dt = i d Cekový proud I tekoucí pochou : I = di = i d

2 peciání případ: i = konst,... rovinná pocha komá k I I = i d = id cos 0 = i i = I (proudová hustota = proud jednotkovou pochou komou k i )

3 1.7.2 E. proud ve vodičích Z vodiče protékaného proudem vyděíme maý váeček s osou ve směru poe. Pro něj napíšeme Ohmův zákon. U = RI, U = E, I = i, R = 1 γ (γ... měrná e. vodivost) E = 1 γ i, E = 1 γ i, i = γ E Ohmův zákon v dif. tvaru Poznámka: Uvnitř baterií působí vede e. si E i síy eektrochemické povahy ε. Pak i = γ( ε + E ), i = γ(ε E). nehomogenních a anizotropních prostředích je závisost i = i ( E ) sožitější, Ohmův zákon nepatí Rovnice kontinuity Experiment ukazuje, že patí zákon zachování e. náboje. Tento zákon zachování e. náboje chceme formuovat okáně. prostředí protékaném proudem zvoíme ibovonou uzavřenou pochu. Za čas dt vyteče z objemu náboj dq výtok = i d dt (viz úvahy v bodu 1.7.2). Náboj, který za čas dt z objemu vyteče je roven úbytku náboje v tomto objemu, dq výtok = dq úbytek. Q(t) = ρ( r, t)d, Q(t + dt) = ρ( r, t + dt)d

4 dq úbytek = Q(t) Q(t + dt) = [ρ( r, t) ρ( r, t + dt)]d i d dt = [ρ( r, t) ρ( r, t + dt)]d ρ( r, t) ρ( r, t + dt) d + } dt {{ } ρ t (v imitě dt 0) [ ρ t + div i ] i d = 0 div i d (Gaussova věta) d = 0 ρ t + div i = 0 Posední rovnice patí díky tomu, že objem je ibovoný. Poznámka: Rovnice kontinuity je obecnou okání formuací zákona zachování spojitě rozožených veičin. Např.: ρ... hustota náboje, i... tok náboje zákon zachování náboje ρ... hustota hmotnosti, i... tok hmotnosti zákon zachování hmotnosti ρ... hustota energie, i... tok energie zákon zachování energie, atd. Tok i nemusí mít ani tvar i = ρ v (např. v kvantové fyzice tok pravděpodobnosti) iové účinky magnetického poe iové účinky popisujeme pomocí vektoru magnetické indukce B. 1. Bodový náboj F mg = Q v B ( F emg = Q( E + v B )) Př.: Pohyb bodového náboje v homogenním magnetickém poi Osu z zvoíme ve směru poe, B = (0, 0, B). Řešíme pohybovou rovnici: e sožkách: m d v dt = Q( v B ) m dv x dt = Q(v yb z v z B y ) = QBv y

5 m dv y dt = Q(v zb x v x B z ) = QBv x m dv z dt = Q(v xb y v y B x ) = 0 Zavedeme cykotronovou frekvenci ω QB m : dv x dt dv y dt = ωv y = ωv x dv z dt = 0 Daší integrací určíme souřadnice: v x = v 0 cos(ωt + ϕ) v y = v 0 sin(ωt + ϕ) v z = v z0 (ověřit dosazením) dx dt = v x x = x 0 + v 0 sin(ωt + ϕ) ω dy dt = v y y = y 0 + v 0 cos(ωt + ϕ) ω dz dt = v z z = z 0 + v z0 t (Konstanty v 0, ϕ, v z0, x 0, y 0, z 0 jsou určeny počáteční rychostí a poohou.) Závěr: Náboj Q se v rovině komé k magnetickému poi pohybuje po kružnici: v 2 x + v 2 y = v 2 0 = konst. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = v2 0 ω 2 e směru poe se náboj pohybuje s konstantní rychostí v z0. 2. Objemový proudový eement d protékaný proudovou hustotou i = ρ v dq = ρd, d E mg = dq v B = ρd v B, d F mg = i B d Ceková mg. sía působící na objem : F mg = d F mg = i B d 3. ía působící na eement d úzkého vodiče (drát), protékaný proudem I

6 d = d, id = id = Id, i d i d = Id... přechod od objemových vodičů k vodičům ineárním d F mg = d i B = Id B B = konst.,... přímí vodič F mg = Id B = I B (třední škoa: F mg = BI sin α + pravido evé ruky) Zdroje magnetického poe Zdroji mg. poe jsou pohybující se náboje - proudy. Biotův-avartův zákon (anaogie Couombova zákona v eektrostatice): 1. Objemové proudy d B = µ 0 i d R 4π R 3 B = d B = µ 0 4π i ( r ) R d R 3

7 2. Lineární proudy i d Id d B = µ 0 4π I d R R 3 B = d B = µ 0 4π I d R R 3 Biotův-avartův zákon patí pouze pro stacionární proudy (nezávisost i, I, B na čase). Př.: Magnetické poe přímého vodiče d = dx, d B = µ 0 4π I d R, B = R 3 šechny příspěvky d B jsou rovnoběžné B = db d B db = µ 0 dxr sin α I 4π R 3

8 yjádření všech veičin pomocí úhu α: R = (směr B komo z papíru) a, x = acotg α, dx = a sin α db = µ a 0 4π I dα sin α sin 2 α a 2 sin 2 α B = µ π 0 I sin αdα 4π a 0 2 sin 2 α dα = µ 0 I sin αdα 4π a = µ 0 I 2π a Z Biotova-avartova zákona ze odvodit soustavu dif. rovnic pro B : div B = 0, rot B = µ 0 i Integrání formuace: div B = 0 div B d = 0 B d = 0 rot B = µ 0 i Interpretace první rovnice: div B = 0 B d = 0 div E = ρ ε 0 E d = Q ε 0 rot B d = µ 0 i d B d = µ0 I neexistují mg. náboje (ρ mg = 0, Q mg = 0). Mohy by však existovat mg. dipóy, sožené z opačných mg. nábojů (anaogie e. dipóů). Mg. dipóy skutečně existují, jsou ae vytvářeny uzavřenými proudovými smyčkami. Interpretace pomocí siočar: eektrostatice siočáry začínají na kadných a končí na záporných nábojích. teorii mg. poe neexistují mg. náboje, siočáry tedy nemají počátek a konec, jsou uzavřené nebo jdou z nekonečna do nekonečna Řešení mg. poe pomocí vektorového potenciáu A... vektorový potenciá div B = 0 B ( r ) = rot A ( r ) rot B = µ 0 i rot (rot A ) grad (div A ) A = µ 0 i A grad (div A ) = µ0 i

9 Rovnice pro A je zatím dost sožitá. Při jejím zjednodušení využijeme nejednoznačnosti vektorového potenciáu A k danému poio B. kutečně nechť f( r ) je ibovoná derivovatená skaární funkce. Derivujeme pomocí ní nový potenciá A = A + grad f. Pak rot A = rot } {{ A} + rot grad f = B B 0 Potenciá A vyhovuje proto stejné rovnici jako A : A grad (div A ) = µ 0 i Dosud ibovonou funkci f zvoíme tak, aby div A = 0: 0 = div A = div ( A + grad f) = div A + div (grad f), f = div A f hrnutí: B = rot A, A = µ 0 i (Poissonova rovnice - umíme ji řešit), div A = 0 (Lorentzova nebo kaibrační podmínka). daším vynecháme čárku: A A. Nejdříve vyřešíme Poissonovu rovnici: A ( µ 0 i ( r ) r ) = 4π R d R ( r r ) d = dx dy dz Řešení pro jednoduchost přepíšeme do formy, patné pro tenký uzavřený vodič: i d Id, d d r, A ( r ) = µ 0 4π I (Je-i poe stacionární, nesmí nikde přibývat ani ubývat e. náboj proudové smyčky musí být uzavřené.) Je třeba ještě ověřit, zda je u řešení Poissonovy rovnice spněna Lorentzova podmínka div A = 0: d r R

10 A x x = µ 0 4π I x div A = A x x + A y y + A z z dx ( r r ) = µ 0 4π I 1 x ( r r ) = 1 x ( r r ), A x x = µ 0 4π dx 1 x ( r r ) ( ) 1 dx x R div A = µ 0 4π [ ( ) 1 dx + ( ) 1 dy + ( ) ] 1 dz = µ 0 x R y R z R 4π ( ) 1 d = 0 R (obecně df = 0 pro ibovonou funkci f) ektorový potenciá vyhovuje dif. rovnici a Lorentzově podmínce. B ( r ) = rot A ( µ 0 r ) = 4π rot ( d r ( r r ) Magnetické poe v átkovém prostředí ede makroskopických (voných) proudů přispívají k mg. poi proudy atomární a moekuární (magnetizační, vázané). Můžeme si je modeově představit jako uzavřené proudové smyčky, vytvořené eektrony obíhající okoo jader nebo vytvořené rotací (spinem) eektronů a atomových jader. Magnetický dipó (uzavřená proudová smyčka) ) A ( µ 0 r ) = 4π d R, B = rot A =... (Biot-avart)

11 Pro veké vzdáenosti r r od proudové smyčky je: ěta: 1 R = 1 ( r r ) 1 r r r + r 3 A ( µ 0 r ) 4π I 1 r Důkaz: tokesova věta: d 0 + µ 0 4π I 1 r 3 (viz odvození pro e. dipó) ( r r )d, d = 0 r ( r r )d = r F d = rot F d Za funkci F ( r ) dosadíme c f( r ), kde c = (c x, c y, c z ) je ibovoný konstantní vektor. Úprava evé strany: F d = c fd Úprava pravé strany: rot F d = ( f = c x d y z d z [ y (c zf) ] [ z (c yf) d x + z (c xf) ] [ x (c zf) d y + x (c yf) ] y (c xf) d z = ) f } {{ y } (d grad f) x ) x d f x z +c y ( d z f (d grad f) y ) y d f y = c (d grad f) x +c z ( d x f tokesova věta pro F = c f dává tedy: c fd = c d grad f (d grad f) z Rovnost patí pro ibovoný vektor c, musí se proto rovnat integráy: f( r )d = d grad f( r ) Integrační proměnnou r nejdříve přeznačíme na r, r r, a poté za f( r ) dosadíme r r ( r bereme jako parametr či konstantu). Pak

12 grad f( r ) = x (xx +yy +zz ) i + y (xx +yy +zz ) j + z (xx +yy +zz ) k = Tedy: = x i + y j + z k = r. ( r r )d = d r = r A ( µ 0 r r ) 4π I r 3 Zavedeme mg. dipóový moment m I : e sožkách: A ( µ 0 m r r ) 4π r 3, B = rot A B x = (rot A ) x = y A z z A y = µ { 0 4π y (m xy m y x)(x 2 + y 2 + z 2 ) 3 } z (m zx m x z)(x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 =... = µ { 0 3 m xx + m y y + m z z x 1 } 4π r 5 r m 3 x ektorový zápis mg. poe eementárního dipóu: Anaogie s poem e. dipóu: { } µ 0 m r B = 3 1 r m 4π r 5 r 3 { } 1 p r E = 3 1 r p 4πε 0 r 5 r 3 Ovšem p = Q, m = I. Couomb původně vycháze z představy m = Q m (Q m... magnetický náboj). ektor magnetizace Eementární dipóy (atomové, moekuární,...) m i, M = mi, suma přes jednotkový objem; épe m M = i, suma přes maý objem ; M = n m (n... hustota dip. momentů, m... střední mg. dip. moment). ektor magnetizace = hustota mg. dip. momentů. 2

13 Poe zmagnetovaných těes (magnetů) d m = M( r )d, d B = µ 0 4π B ( r ) = d B = µ 0 4π 3d m R R 5 M( 3 r ) R R 5 R d m R 3 M( r ) R 3 d Pro veké vzdáenosti od magnetu, r r, je přibižně R = r r r a kde m [ ] B ( µ 0 m r m r ) 3, 4π r 5 r 3 M( r )d je cekový dipóový moment magnetu. yjádření magnetizačních proudů pomocí magnetizace Probém: rovnici mg. poe rot B = µ 0 i ( B d = µ0 I) je proud tvořen tokem voných nábojů a tokem magnetizačním: i = i vo + i mg, I = I vo + I mg. Neznámý magnetizační proud chceme z rovnice eiminovat.

14 daném prostředí zvome ibovonou křivku, ohraničující pochu. K magnetizačnímu proudu Img přispívají pouze dipóy, ežící dostatečně bízko hranice. m 1 = I dipóový moment jednoho dipóu (např. atomu; uzavřenou proudovou smyčku vytváří např. obíhající eektron). Na úseku d křivky přispívají k magnetizačnímu toku pouze ty dipóy, jejich středy eží v objemu d = 1 d. Jim odpovídá magnetizační proud : Pak d I mg = nd I 1 = n 1 I } {{ 1 d = Md } počet dipóů v objemu d m 1 I mg = di mg = Md B d = µ0 I vo + Md B M d = I vo µ0

15 Definujme vektor e. intenzity H B µ 0 M, ( B = µ 0H + M). Pak H d = Ivo Díky přechodu od B k H pracujeme pouze s měřitenými vonými proudy. Ae H =? Diferenciání tvar zákona cekového proudu: H d = rot H d, I vo = rot H d = i vo d i vo d rot H = i vo Jiné odvození diferenciání formy zákona cekového proudu: Magnetizační proud pomocí vektoru magnetizace: I mg = Md = rot Md Magnetizační proud pomocí proudové hustoty: I mg = i mg d i mg = rot M, rot B = µ 0 i = µ0 ( i vo + i mg ) = µ 0 ( i vo + rot M) rot B M µ0 H = i vo, rot H = i vo Materiáový vztah

16 M = M( B ), resp. M = M( H ), feromagnetika, sožitá závisost M = M(H). Magneticky měkká prostředí M ψ m H, ψm... magnetická susceptibiita. Na rozdí od e. susceptibiita ψ e může být kadná (átky paramagnetické) i záporná (átky diamagnetické). B = µ0 ( H + M) µ 0 (1 + ψ } {{ m ) } H = µ H } µ r {{ } µ µ r... reativní permeabiita, µ... permeabiita prostředí, µ = µ( r ), rot B = rot H = i µ vo. Pokud µ = konst. rot B = µ i vo, rot B = µ 0 ( i vo + i mg ). daším textu přeznačení i vo i, I vo I, tedy např. rot H = i.

MAGNETICKÉ POLE. 1. Stacionární magnetické pole I I I I I N S N N

MAGNETICKÉ POLE. 1. Stacionární magnetické pole I I I I I N S N N MAGETCKÉ POLE 1. Stacionární magnetické poe V E S T C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á Í je část prostoru, kde se veičiny popisující magnetické poe nemění s časem. Vzniká v bízkosti stacionárních vodičů

Více

3.9. Energie magnetického pole

3.9. Energie magnetického pole 3.9. nergie agnetického poe 1. Uět odvodit energii agnetického poe cívky tak, aby bya vyjádřena poocí paraetrů obvodu (I a L).. Znát vztah pro energii agnetického poe cívky jako funkci veičin charakterizujících

Více

Couloumbuv zákon stejne jako vetsina zakonu elektrostatiky jsou velmi podobna zakonum gravitacniho pole.

Couloumbuv zákon stejne jako vetsina zakonu elektrostatiky jsou velmi podobna zakonum gravitacniho pole. 1) Eektrostaticke poe, Cooumbuv zákon, Permitivita kazde dve teesa nabite eektrickym nabojem Q na sebe pusobi vzajemnou siou. Ta je vysise pomoci Couombovyho zákona: F = 1 4 Q Q 1 2 r r 2 0 kde první cast

Více

OTÁZKY Z TEORIE ELEKTROMAGNETICKÉHO POLE Letní semestr 2003/2004 poslední úprava 25. června 2004

OTÁZKY Z TEORIE ELEKTROMAGNETICKÉHO POLE Letní semestr 2003/2004 poslední úprava 25. června 2004 OTÁZKY Z TEORIE ELEKTROMAGNETICKÉHO POLE Letní semestr 2003/2004 posední úprava 25. června 2004 1. ía současně působící na eektrický náboj v eektrickém a magnetickém poi (Lorentzova sía) [ ] F m = Q E

Více

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ. katedra fyziky ZÁKLADY FYZIKY II. Pro obory DMML, TŘD a AID prezenčního studia DFJP

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ. katedra fyziky ZÁKLADY FYZIKY II. Pro obory DMML, TŘD a AID prezenčního studia DFJP UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ katedra fyziky ZÁKLADY FYZIKY II Pro obory DMML, TŘD a AID prezenčního studia DFJP RNDr Jan Z a j í c, CSc, 005 4 MAGNETICKÉ JEVY 4 NESTACIONÁRNÍ ELEKTROMAGNETICKÉ

Více

STACIONÁRNÍ MAGNETICKÉ POLE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 3. ročník

STACIONÁRNÍ MAGNETICKÉ POLE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 3. ročník STACIONÁRNÍ MAGNETICKÉ POLE Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 3. ročník Magnetické pole Vytváří se okolo trvalého magnetu. Magnetické pole vodiče Na základě experimentů bylo

Více

Magnetické vlastnosti látek (magnetik) jsou důsledkem orbitálního a rotačního pohybu elektronů. Obíhající elektrony představují elementární proudové

Magnetické vlastnosti látek (magnetik) jsou důsledkem orbitálního a rotačního pohybu elektronů. Obíhající elektrony představují elementární proudové MAGNETICKÉ POLE V LÁTCE, MAXWELLOVY ROVNICE MAGNETICKÉ VLASTNOSTI LÁTEK Magnetické vlastnosti látek (magnetik) jsou důsledkem orbitálního a rotačního pohybu elektronů. Obíhající elektrony představují elementární

Více

Obvody s rozprostřenými parametry

Obvody s rozprostřenými parametry Obvody s rozprostřenými parametry EO2 Přednáška 12 Pave Máša - Vedení s rozprostřenými parametry ÚVODEM Každá kroucená dvojinka UTP patch kabeu je samostaným vedením s rozprostřenými parametry Impedance

Více

Obsah PŘEDMLUVA 11 ÚVOD 13 1 Základní pojmy a zákony teorie elektromagnetického pole 23

Obsah PŘEDMLUVA 11 ÚVOD 13 1 Základní pojmy a zákony teorie elektromagnetického pole 23 Obsah PŘEDMLUVA... 11 ÚVOD... 13 0.1. Jak teoreticky řešíme elektrotechnické projekty...13 0.2. Dvojí význam pojmu pole...16 0.3. Elektromagnetické pole a technické projekty...20 1. Základní pojmy a zákony

Více

2.1 Stáčivost v závislosti na koncentraci opticky aktivní látky

2.1 Stáčivost v závislosti na koncentraci opticky aktivní látky 1 Pracovní úkoy 1. Změřte závisost stočení poarizační roviny na koncentraci vodního roztoku gukozy v rozmezí 0 500 g/. Pro jednu zvoenou koncentraci proveďte 5 měření úhu stočení poarizační roviny. Jednu

Více

Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v oblasti teplotního namáhání

Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v oblasti teplotního namáhání Grantový projekt FRVŠ MŠMT č.97/7/f/a Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v obasti tepotního namáhání Některé apikace a ukázky konkrétních řešení tepeného namáhání těes. Autorky:

Více

Modelování kmitavých soustav s jedním stupněm volnosti

Modelování kmitavých soustav s jedním stupněm volnosti Modeování kmitavých soustav s jedním stupněm vonosti Zpracova Doc. RNDr. Zdeněk Haváč, CSc 1. Zákadní mode Zákadním modeem kmitavé soustavy s jedním stupněm vonosti je tzv. diskrétní podéně kmitající mode,

Více

Zapnutí a vypnutí proudu spínačem S.

Zapnutí a vypnutí proudu spínačem S. ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE Dva Faradayovy pokusy odpovídají na otázku zda může vzniknout elektrický proud vlivem magnetického pole Pohyb tyčového magnetu k (od) vodivé smyčce s měřidlem, nebo smyčkou k

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Hlavní body - elektromagnetismus

Hlavní body - elektromagnetismus Elektromagnetismus Hlavní body - elektromagnetismus Lorenzova síla, hmotový spektrograf, Hallův jev Magnetická síla na proudovodič Mechanický moment na proudovou smyčku Faradayův zákon elektromagnetické

Více

Měřicí a řídicí technika Bakalářské studium 2007/2008. odezva. odhad chování procesu. formální matematický vztah s neznámými parametry

Měřicí a řídicí technika Bakalářské studium 2007/2008. odezva. odhad chování procesu. formální matematický vztah s neznámými parametry MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický

Více

7 Základní elektromagnetické veličiny a jejich měření

7 Základní elektromagnetické veličiny a jejich měření 7 Základní elektromagnetické veličiny a jejich měření Intenzity elektrického a magnetického pole, elektrická a magnetická indukce. Materiálové vztahy. Měrné metody elektrických a magnetických veličin.

Více

Magnetické pole - stacionární

Magnetické pole - stacionární Magnetické pole - stacionární magnetické pole, jehož charakteristické veličiny se s časem nemění kolem vodiče s elektrickým polem je magnetické pole Magnetické indukční čáry Uzavřené orientované křivky,

Více

ELEKTRICKÝ PROUD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA

ELEKTRICKÝ PROUD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA ELEKTRICKÝ PROD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA 1 ELEKTRICKÝ PROD Jevem Elektrický proud nazveme usměrněný pohyb elektrických nábojů. Např.:- proud vodivostních elektronů v kovech - pohyb nabitých

Více

Matematika pro chemické inženýry

Matematika pro chemické inženýry Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Plošný integrál Přednášky Z 216-217 ponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 216 Povinná látka. Bude v písemkách a bude se zkoušet při ústní

Více

FYZIKA II. Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud

FYZIKA II. Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud FYZIKA II Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud Osnova přednášky Elektrický proud proudová hustota Elektrický odpor a Ohmův zákon měrná vodivost driftová rychlost Pohyblivost nosičů náboje teplotní

Více

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Shrnutí: Náboj a síla = Coulombova síla: - Síla jíž na sebe náboje Q působí je stejná - Pozn.: hledám-li velikost, tak jen dosadím,

Více

F7 MOMENT SETRVAČNOSTI

F7 MOMENT SETRVAČNOSTI F7 MOMENT ETRVAČNOTI Evropský sociání fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti F7 MOMENT ETRVAČNOTI V této části si spočteme některé jednoduché příkady na rotační pohyby a seznámíme se s někoika

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Elektřina a magnetismus UF/01100. Základy elektřiny a magnetismu UF/PA112

Elektřina a magnetismus UF/01100. Základy elektřiny a magnetismu UF/PA112 Elektřina a magnetismus UF/01100 Rozsah: 4/2 Forma výuky: přednáška Zakončení: zkouška Kreditů: 9 Dop. ročník: 1 Dop. semestr: letní Základy elektřiny a magnetismu UF/PA112 Rozsah: 3/2 Forma výuky: přednáška

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky.

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Platí shodně pro prezenční i kombinovanou formu studia. 1. Síla současně působící na elektrický náboj v elektrickém a magnetickém poli (Lorentzova síla) 2.

Více

Vzájemné silové působení

Vzájemné silové působení magnet, magnetka magnet zmagnetované těleso. Původně vyrobeno z horniny magnetit, která má sama magnetické vlastnosti dnes ocelové zmagnetované magnety, ferity, neodymové magnety. dva magnetické póly (S-J,

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

PRAKTIKUM II. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úlohač.19 Název: Měření s torzním magnetometrem

PRAKTIKUM II. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úlohač.19 Název: Měření s torzním magnetometrem Odděení fyzikáních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM II. úohač.19 Název: Měření s torzním magnetometrem Pracova: Lukáš Ledvina stud.skup.14 dne:16.10.2009 Odevzdadne: Možný počet

Více

Téma 4 Výpočet přímého nosníku

Téma 4 Výpočet přímého nosníku Stavební statika, 1.ročník bakaářského studia Téma 4 Výpočet přímého nosníku Výpočet nosníku v osové úoze Výpočet nosníku v příčné úoze ve svisé a vodorovné havní rovině Výpočet nosníku v krutové úoze

Více

Stacionární magnetické pole. Kolem trvalého magnetu existuje magnetické pole.

Stacionární magnetické pole. Kolem trvalého magnetu existuje magnetické pole. Magnetické pole Stacionární magnetické pole Kolem trvalého magnetu existuje magnetické pole. Stacionární magnetické pole Pilinový obrazec magnetického pole tyčového magnetu Stacionární magnetické pole

Více

FYZIKA II. Petr Praus 10. Přednáška Magnetické pole v látce

FYZIKA II. Petr Praus 10. Přednáška Magnetické pole v látce FYZIKA II Petr Praus 10. Přednáška Magnetické pole v látce Osnova přednášky Magnetické pole v látkovém prostředí, Ampérovy proudové smyčky, veličiny B, M, H materiálové vztahy, susceptibilita a permeabilita

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

1.5. DYNAMIKA OTÁČIVÉHO A SLOŽENÉHO POHYBU TĚLESA

1.5. DYNAMIKA OTÁČIVÉHO A SLOŽENÉHO POHYBU TĚLESA .5. OTÁČIVÉHO A SLOŽENÉHO POHYBU TĚLESA.5. ZÁKLADNÍ ROVNICE DYNAMIKY PRO ROTAČNÍ POHYB Fz F Z výsednce zrychujících s F m.a n m a t a n r z F Zrychující moment M F. r F. r z z z m.a t r6,5cm ρ r ω,ε r

Více

FYZIKA II. Petr Praus 7. Přednáška stacionární magnetické pole náboj v magnetickém poli

FYZIKA II. Petr Praus 7. Přednáška stacionární magnetické pole náboj v magnetickém poli FYZIKA II Petr Praus 7. Přednáška stacionární magnetické pole náboj v magnetickém poli Osnova přednášky Stacionární magnetické pole Lorentzova síla Hallův jev Pohyb a urychlování nabitých částic (cyklotron,

Více

Stacionární magnetické pole

Stacionární magnetické pole Stacionání magnetické poe Vzájemné siové působení vodičů s poudem a pemanentních magnetů Magnetické jevy - známy od středověku, přesnější poznatky 19. stoetí. Stacionání magnetické poe: zdojem je nepohybující

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Magnetická síla a moment sil

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Magnetická síla a moment sil ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Magnetická síla a moment sil Peter Dourmashkin MIT 006, překlad: Jan Pacák (007) Obsah 6. MAGNETICKÁ SÍLA A MOMENT SIL 3 6.1 ÚKOLY 3 ÚLOHA 1: HMOTNOSTNÍ

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

5 Stacionární magnetické pole HRW 28, 29(29, 30)

5 Stacionární magnetické pole HRW 28, 29(29, 30) 5 STACIONÁRNÍ MAGNETICKÉ POLE HRW 28, 29(29, 30) 31 5 Stacionární magnetické pole HRW 28, 29(29, 30) 5.1 Magneticképole,jehozdrojeaúčinkyHRW28(29) 5.1.1 Permanentní magnet Vedle výhradně přitažlivé interakce

Více

STRUKTURA A VLASTNOSTI KAPALIN

STRUKTURA A VLASTNOSTI KAPALIN I N V E S T I C E D O O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í STUKTUA A VLASTNOSTI KAPALIN. Povrchové napětí a) yzikání jev Povrch kapain se chová jako napjatá pružná membrána (důkaz vodoměrka, maé kapičky koue)

Více

Magnetické pole. Magnetické pole je silové pole, které vzniká následkem pohybu elektrických nábojů.

Magnetické pole. Magnetické pole je silové pole, které vzniká následkem pohybu elektrických nábojů. Magnetické pole Magnetické pole je silové pole, které vzniká následkem pohybu elektrických nábojů. Magnetické pole vytváří buď pemanentní magnet nebo elektromagnet. Magnet buzený elektrickým proudem, elektromagnet

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s

Více

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ

Více

7 Mezní stavy použitelnosti

7 Mezní stavy použitelnosti 7 Mezní stavy použitenosti Cekové užitné vastnosti konstrukcí mají spňovat dva zákadní požadavky. Prvním požadavkem je bezpečnost, která je zpravida vyjádřena únosností. Druhým požadavkem je použitenost,

Více

IV. Magnetické pole ve vakuu a v magnetiku. 1. Magnetické pole el. proudu 2. Vlastnosti mg. pole 3. Magnetikum

IV. Magnetické pole ve vakuu a v magnetiku. 1. Magnetické pole el. proudu 2. Vlastnosti mg. pole 3. Magnetikum IV. Magnetické pole ve vakuu a v magnetiku Osnova: 1. Magnetické pole el. poudu 2. Vlastnosti mg. pole 3. Magnetikum 1. Magnetické pole el. poudu histoický úvod podivné expeimenty ukazující neznámé silové

Více

Obr. 9.1: Elektrické pole ve vodiči je nulové

Obr. 9.1: Elektrické pole ve vodiči je nulové Stejnosměrný proud I Dosud jsme se při studiu elektrického pole zabývali elektrostatikou, která studuje elektrické náboje v klidu. V dalších kapitolách budeme studovat pohybující se náboje elektrický proud.

Více

GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY

GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY PLOCHA JAKO VEKTOR Matematický doplněk n n Elementární plocha ΔS ds Ploše přiřadíme vektor, který 1) je k této ploše kolmý 2) má velikost rovnou velikosti (obsahu) plochy Δ

Více

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh 6. Střídavý proud - je takový proud, který mění v čase svoji velikost a smysl. Nejsnáze řešitelný střídavý proud matematicky i graficky je sinusový střídavý proud, který vyplývá z konstrukce sinusovky.

Více

4. Magnetické pole. 4.1. Fyzikální podstata magnetismu. je silové pole, které vzniká v důsledku pohybu elektrických nábojů

4. Magnetické pole. 4.1. Fyzikální podstata magnetismu. je silové pole, které vzniká v důsledku pohybu elektrických nábojů 4. Magnetické pole je silové pole, které vzniká v důsledku pohybu elektrických nábojů 4.1. Fyzikální podstata magnetismu Magnetické pole vytváří permanentní (stálý) magnet, nebo elektromagnet. Stálý magnet,

Více

3.1 Magnetické pole ve vakuu a v látkovén prostředí

3.1 Magnetické pole ve vakuu a v látkovén prostředí 3. MAGNETSMUS 3.1 Magnetické pole ve vakuu a v látkovén prostředí 3.1.1 Určete magnetickou indukci a intenzitu magnetického pole ve vzdálenosti a = 5 cm od velmi dlouhého přímého vodiče, jestliže jím protéká

Více

Hlavní body. Teplotní závislosti fyzikálních veličin. Teplota, měření

Hlavní body. Teplotní závislosti fyzikálních veličin. Teplota, měření e r i k a Havní body epota, ěření epotní závisosti fyzikáních veičin Kinetická teorie pynů Maxweova rozděovací funkce epo, ěrné tepo, kaorietrie epota Je zákadní veičinou, kterou neze odvodit? Čověk ji

Více

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový 1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

Obr. 11.1: Rozdělení dipólu na dva náboje. Obr. 11.2: Rozdělení magnetu na dva magnety

Obr. 11.1: Rozdělení dipólu na dva náboje. Obr. 11.2: Rozdělení magnetu na dva magnety Magnetické pole Ve starověké Malé Asii si Řekové všimli, že kámen magnetovec přitahuje podobné kameny nebo železné předměty. Číňané kolem 3. století n.l. objevili kompas. Tyčový magnet (z magnetovce nebo

Více

Elektrický náboj [q] - základní vlastnost částic z hlediska EM pole - kladný (nositel proton), záporný (nositel elektron) 19

Elektrický náboj [q] - základní vlastnost částic z hlediska EM pole - kladný (nositel proton), záporný (nositel elektron) 19 34 Elektomagnetické pole statické, stacionání, nestacionání zásady řešení v jednoduchých geometických stuktuách, klasifikace postředí (lineaita, homogenita, dispeze, anizotopie). Vypacoval: Onda, otja@seznam.cz

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

21 MAGNETICKÉ POLE. 21.1 Lorentzova síla, Ampérův zákon silového působení

21 MAGNETICKÉ POLE. 21.1 Lorentzova síla, Ampérův zákon silového působení 221 21 MAGNETICKÉ POLE Lorentzova síla, Ampérův zákon silového působení Siotův-Savartův zákon, Ampérův zákon celkového proudu Síly v magnetickém poli Magnetické pole v reálném látkovém prostředí Indukční

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

NESTACIONÁRNÍ MAGNETICKÉ POLE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 3. ročník

NESTACIONÁRNÍ MAGNETICKÉ POLE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 3. ročník NESTACIONÁRNÍ MAGNETICKÉ POLE Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 3. ročník Nestacionární magnetické pole Vektor magnetické indukce v čase mění směr nebo velikost. a. nepohybující

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY 3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY V této kapitole se dozvíte: jak je geometricky definována kuželosečka zvaná parabola; co je to ohnisko, řídící přímka, vrchol, osa, parametr paraboly; tvar vrcholové

Více

Fyzikální korespondenční seminář UK MFF 10. II. 2

Fyzikální korespondenční seminář UK MFF  10. II. 2 10. ročník, úoha II. 2... magnetické kyvado (5 bodů; průměr?; řešio 60 studentů) V homogenním tíhovém poi (tíhové zrychení g = 9,81 m s 2 ) je na závěsu zanedbatené hmotnosti déky = 1,00 m umístěna maá

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

Elektrostatické pole Coulombův zákon - síla působící mezi dvěma elektrickými bodovými náboji Definice intenzity elektrického pole Siločáry

Elektrostatické pole Coulombův zákon - síla působící mezi dvěma elektrickými bodovými náboji Definice intenzity elektrického pole Siločáry Elektrostatické pole Coulombův zákon - síla působící mezi dvěma elektrickými bodovými náboji Definice intenzity elektrického pole iločáry elektrického pole Intenzita elektrického pole buzená bodovým elektrickým

Více

1. Změřte Hallovo napětí v Ge v závislosti na proudu tekoucím vzorkem, magnetické indukci a teplotě. 2. Stanovte šířku zakázaného pásu W v Ge.

1. Změřte Hallovo napětí v Ge v závislosti na proudu tekoucím vzorkem, magnetické indukci a teplotě. 2. Stanovte šířku zakázaného pásu W v Ge. V1. Hallův jev Úkoly měření: 1. Změřte Hallovo napětí v Ge v závislosti na proudu tekoucím vzorkem, magnetické indukci a teplotě. 2. Stanovte šířku zakázaného pásu W v Ge. Použité přístroje a pomůcky:

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

ÚLOHY Z ELEKTŘINY A MAGNETIZMU SADA 7

ÚLOHY Z ELEKTŘINY A MAGNETIZMU SADA 7 ÚLOHY Z ELEKTŘINY A MAGNETIZMU SADA 7 Peter Dourmashkin MIT 6, překlad: Vítězslav Kříha (7) Obsah SADA 7 ÚLOHA 1: HMOTNOSTNÍ SPEKTROMETR ÚLOHA : LEVITACE CÍVKY ÚLOHA : STŘELKA KOMPASU ŘEŠENÍ ÚLOH 4 ÚLOHA

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

Elektronový obal atomu

Elektronový obal atomu Elektronový obal atomu Ondřej Havlíček.ročník F-Vt/SŠ Jsoucno je vždy něco, co jsme si sami zkonstruovali ve své mysli. Podstata takovýchto konstrukcí nespočívá v tom, že by byly odvozeny ze smyslových

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

18. Stacionární magnetické pole

18. Stacionární magnetické pole 18. Stacionární magnetické pole 1. "Zdroje" magnetického pole a jeho popis a) magnetické pole tyčového permanentního magnetu b) přímého vodiče s proudem c) cívky s proudem d) magnetická indukce e) magnetická

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

Okruhy, pojmy a průvodce přípravou na semestrální zkoušku v otázkách. Mechanika

Okruhy, pojmy a průvodce přípravou na semestrální zkoušku v otázkách. Mechanika 1 Fyzika 1, bakaláři AFY1 BFY1 KFY1 ZS 08/09 Okruhy, pojmy a průvodce přípravou na semestrální zkoušku v otázkách Mechanika Při studiu části mechanika se zaměřte na zvládnutí následujících pojmů: Kartézská

Více

Maturitní okruhy Fyzika 2015-2016

Maturitní okruhy Fyzika 2015-2016 Maturitní okruhy Fyzika 2015-2016 Mgr. Ladislav Zemánek 1. Fyzikální veličiny a jejich jednotky. Měření fyzikálních veličin. Zpracování výsledků měření. - fyzikální veličiny a jejich jednotky - mezinárodní

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

6.1.4 Kontrakce délek

6.1.4 Kontrakce délek 6..4 Kontrake déek Předpokady: 603 Existuje na Zemi jev, na kterém je diatae času opravdu vidět? Př. :Částie mion má poočas rozpadu (doba, za kterou se rozpadne přibižně poovina části) 2,2µs. Vysvěti,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

Úvod do moderní fyziky. lekce 3 stavba a struktura atomu

Úvod do moderní fyziky. lekce 3 stavba a struktura atomu Úvod do moderní fyziky lekce 3 stavba a struktura atomu Vývoj představ o stavbě atomu 1904 J. J. Thomson pudinkový model atomu 1909 H. Geiger, E. Marsden experiment s ozařováním zlaté fólie alfa částicemi

Více

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více

Základní vlastnosti elektrostatického pole, probrané v minulých hodinách, popisují dvě diferenciální rovnice : konzervativnost el.

Základní vlastnosti elektrostatického pole, probrané v minulých hodinách, popisují dvě diferenciální rovnice : konzervativnost el. Aplikace Gaussova zákona ) Po sestavení základní ovnice elektostatiky Základní vlastnosti elektostatického pole, pobané v minulých hodinách, popisují dvě difeenciální ovnice : () ot E konzevativnost el.

Více

Název: Studium kmitání matematického kyvadla

Název: Studium kmitání matematického kyvadla Název: Studium kmitání matematického kyvada Autor: Doc. RNDr. Mian Rojko, CSc. Název škoy: Gymnázium Jana Nerudy, škoa h. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: fyzika, biooie Ročník: 3. (1. ročník

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

Fyzika, maturitní okruhy (profilová část), školní rok 2014/2015 Gymnázium INTEGRA BRNO

Fyzika, maturitní okruhy (profilová část), školní rok 2014/2015 Gymnázium INTEGRA BRNO 1. Jednotky a veličiny soustava SI odvozené jednotky násobky a díly jednotek skalární a vektorové fyzikální veličiny rozměrová analýza 2. Kinematika hmotného bodu základní pojmy kinematiky hmotného bodu

Více

Funkce více proměnných. April 29, 2016

Funkce více proměnných. April 29, 2016 Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Teoretickámechanika. Jiří Langer a Jiří Podolský. Studijní text k přednášce NOFY003

Teoretickámechanika. Jiří Langer a Jiří Podolský. Studijní text k přednášce NOFY003 Teoretická mechanika Jiří Langer a Jiří Podoský Studijní text k přednášce NOFY3 Teoretickámechanika Ústav teoretické fyziky Matematicko-fyzikání fakuta Univerzita Karova v Praze istopad 213 c Jiří Langer,

Více

Elektromechanický oscilátor

Elektromechanický oscilátor - 1 - Elektromechanický oscilátor Ing. Ladislav Kopecký, 2002 V tomto článku si ukážeme jeden ze způsobů, jak využít silové účinky cívky s feromagnetickým jádrem v rezonanci. I člověk, který neoplývá technickou

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1 1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky

Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky Statistická fyzika. Uvažujme dvouhladinový systém, např. atom s celkovým momentem hybnosti h v magnetickém ) ) poli. Bázové stavy označme = a =, první

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více