PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA"

Transkript

1 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA doc. RNDr. Tomáš Mrkvička, Ph.D. November 17, 2015

2 Bibliography [1] J. Anděl: Statistické metody, Matfyzpress, Praha 1998 [2] V. Dupač, M. Hušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Karolinum, Praha 1999 [3] T. Mrkvička, V. Petrášková: Úvod do teorie pravděpodobnosti,pf JU, České Budějovice 2008 [4] T. Mrkvička, V. Petrášková: Úvod do statistiky,pf JU, České Budějovice

3 Chapter 1 Jev, náhodný jev, pravděpodobnosti náhodného jevu 1.1 Axiomatická definice pravděpodobnosti Každému náhodnému pokusu můžeme přiřadit množinu Ω, tj. množinu všech možných výsledků pokusu. Při hodu kostkou je Ω ={1,2,3,4,5,6}, při hodu mincí je Ω={rub,líc}, při hodu dvěma mincemi je Ω={{rub,rub},{líc,líc},{líc,rub},{rub,líc}}. 2

4 CHAPTER 1. JEV, NÁHODNÝ JEV, PRAVDĚPODOBNOSTI NÁHODNÉHO JEVU 3 Prvky ω Ω nazýváme elementárními jevy, podmnožiny množiny Ω jevy. Jevjistý-Ω-jetakovýjev,kterýnastanepřikaždérealizacipokusu. Jevnemožný- -jetakovýjev,kterýnenastanepřižádnérealizacipokusu. Definice1.1Nechť Ajeneprázdnýsystémpodmnožinmnožiny Ω takový, že a) A b)je-li A A,pak Ā A c)jsou-li A i A, i =1,2,...,pak i=1 A i A. Pak A nazýváme σ-algebrou.

5 CHAPTER 1. JEV, NÁHODNÝ JEV, PRAVDĚPODOBNOSTI NÁHODNÉHO JEVU 4 zápis pravděpodobnostní interpretace ω A jev Anastal,výsledek ωnáhodného pokusu je příznivý jevu A Ajepodjevjevu B(jev Anastane, A B kdykolivnastanejev B) rozdíljevu Ba A(jev,kterýnastane B A právětehdy,kdyžnastanejev Ba zároveň nenastane jev A) doplněk jevu A(jev, který nastane Ā = Ω A právětehdy,kdyžnenastanejev A) sjednoceníjevů A, B(jev,kterýna- A B stane právě tehdy, nastane-li aspoň jedenzjevů A, B) průnikjevů A, B(jev,kterýnastane A B právětehdy,nastanou-liobadvajevy současně) jevy A, B nazveme disjunktní(ne- A B = mohounastatsoučasně) A i A j = i j jevy A 1...A n tvořírozkladjevu C n i=1a i = C Table 1.1: Zápis základních pravděpodobnostních relací a operací.

6 CHAPTER 1. JEV, NÁHODNÝ JEV, PRAVDĚPODOBNOSTI NÁHODNÉHO JEVU 5 σ-algebra A je tedy množinový systém uzavřený vzhledem k doplňku a spočetnému sjednocení. Prvky σ-algebry nazýváme náhodné jevy. Příklad1.1Nechť Ω={1,...,n}.PakpotenčnímnožinaP(Ω)(tj.množina všech podmnožin Ω) je σ-algebra a neexistuje menší σ-algebra obsahující všechny elementárníjevy {ω}, ω Ω. Příklad1.2Nechť Ω = R.Pakpotenčnímnožinajetaké σ-algebra,aleexistuje i menší σ-algebra, které dáváme přednost. Např. Borelovská σ-algebra(tj. nejmenší σ-algebra obsahující všechny otevřené podmnožiny R). Borelovská σ-algebra obsahuje všechna spočetná sjednocení otevřených množin, ale také i všechny uzavřené podmnožiny R. Definice1.2Nechť Ω, Aje σ-algebradefinovanána Ω.Pakpravděpodobností libovolného náhodného jevu A nazveme libovolnou reálnou funkci P definovanou na A, která splňuje

7 CHAPTER 1. JEV, NÁHODNÝ JEV, PRAVDĚPODOBNOSTI NÁHODNÉHO JEVU 6 a) P(Ω) = 1, P( ) = 0, b) P(A) 0 A A, c)prokaždouposloupnostdisjunktníchjevů {A n } n=1platí P( i=1a i ) = P(A i ). i=1 Trojice (Ω, A, P) se nazývá pravděpodobnostní prostor. Některé vlastnosti pravděpodobnosti. 1) P( ) = 0, 2) P je konečně aditivní, tzn., jestliže A 1,...,A n A, A i A j = i j,i,j= 1,...,n P( n i=1 A i) = n i=1 (A i), 3)Pjemonotónní: A,B A,A B P(A) P(B),

8 CHAPTER 1. JEV, NÁHODNÝ JEV, PRAVDĚPODOBNOSTI NÁHODNÉHO JEVU 7 4) A,B A,A B P(B A) = P(B) P(A), 5) P(Ā) = 1 P(A), A A, 6) P(A B) = P(A)+P(B) P(A B)prolibovolné A,B A, Vlastnost 6) lze indukcí rozšířit na libovolný konečný počet jevů, a to následovně: P( n i=1a i ) = n P(A i ) i=1 n 2 + i=1 n 1 n 1 i=1 n j=i+1k=j+1 n j=i+1 P(A i A j )+ (1.1) P(A i A j A k )+...+( 1) n 1 P( n i=1a i ).

9 CHAPTER 1. JEV, NÁHODNÝ JEV, PRAVDĚPODOBNOSTI NÁHODNÉHO JEVU Klasický pravděpodobnostní prostor Definice 1.3 Pravděpodobnostní prostor(ω, A, P) nazveme klasickým pravděpodobnostním prostorem, jestliže a)množina Ωjekonečnáomprvcíchavšechnymožnévýsledkyjsoustejně pravděpodobné,tzn. označíme-lipostupněp 1,...,p m pravděpodobobnosti jednotlivýchvýsledkůelementárníchjevů,pakp 1 =p 2 =...=p m = 1 m (je-li možných výsledků m), b) za σ-algebru A vezmeme systém všech podmnožin množiny Ω, c) pravděpodobnost P náhodného jevu A je rovna P(A) = m A m, kde m A je počet výsledků příznivých jevů A a m je počet všech možných

10 CHAPTER 1. JEV, NÁHODNÝ JEV, PRAVDĚPODOBNOSTI NÁHODNÉHO JEVU 9 výsledků náhodného pokusu. Pravděpodobnost takto definovaná se nazývá klasická pravděpodobnost. Příklad 1.3 Házíme dvěma kostkami. Stanovte pravděpodobnost jevu A na kostkách padne součet menší než 5. Jsou-li jevy disjunktní, jejich pravděpodobnosti se sčítají. Příklad1.4Vurněmáme32karet,ztoho4esa. Dvakrátzasebouvytáhnemenáhodnějednukartustím,žepoprvnímtahujia)vrátímezpětdourny, b) nevrátíme. Stanovte pravděpodobnost jevu A alespoň jedna z vytažených karet je eso. Dvě reprezentace: 1) rozlišujeme pořadí, 2) nerozlišujeme pořadí.

11 CHAPTER 1. JEV, NÁHODNÝ JEV, PRAVDĚPODOBNOSTI NÁHODNÉHO JEVU Geometrická pravděpodobnost O geometrické pravděpodobnosti mluvíme v případě, že a) Ω R d. b) A = B(Ω) je Borelovská σ-algebra na Ω(tj. nejmenší σ-algebra obsahující všechny otevřené podmnožiny Ω). c) P(A) = µd (A) µ d (Ω),kdeµd jed-rozměrnálebesqueovamíra.pronašeúčelypostačí, pokudsipod µ 1 (A)představímedélkumnožiny A,pod µ 2 (A)obsah Aapod µ 3 (A)objem A. Geometrická pravděpodobnost je vhodným modelem tam, kde výsledkům pokusu lzejednoznačněpřiřaditbody ω Ω R d akdežádnýmvýsledkůmnelzedát přednost před ostatními. Příklad 1.5 Autobusy přijíždějí na zastávku pravidelně v 10 minutových in-

12 CHAPTER 1. JEV, NÁHODNÝ JEV, PRAVDĚPODOBNOSTI NÁHODNÉHO JEVU 11 tervalech. Student přijde na zastávku v náhodném čase. Jaká je pravděpodobnost,žebudečekatdélenež5minut? Příklad1.6Dvěosoby(I,II)přijdounamístoschůzkymezi12.a13.hodinou. Doby příchodu osob jsou náhodné a nezávislé. Ten, kdo přijde na místo schůzky, čeká 20 minut a nedočká-li se druhého, odchází. Jaká je pravděpodobnost, že se osoby setkají? 1.4 Další příklady pravděpodobnostních prostorů Diskrétní a) Ω = {ω 1,ω 2,...}. b) Ajemnožinavšechpodmnožin Ω. c)jsoudánypravděpodobnostielementárníchjevůp(ω i ),kterésplňují: i=1 P( 1. Pak pravděpodobnost libovolného jevu je dána jednoznačně vztahem P(A) = ω i A P(ω i).

13 CHAPTER 1. JEV, NÁHODNÝ JEV, PRAVDĚPODOBNOSTI NÁHODNÉHO JEVU 12 Spojitý a) Ω = R. b) A = B(R)jeBorelovská σ-algebranad R. c)jedánafunkcef: R [0, ]taková,že Rf(x)dx = 1.Pakpravděpodobnost libovolného jevu A A je dána jednoznačně vztahem P(A) = f(x)dx. A

14 Chapter 2 Podmíněná pravděpodobnost, nezávislost 2.1 Podmíněná pravděpodobnost Definice2.1Nechťjedánpravděpodobnostníprostor(Ω,A,P)anáhodné jevy A, B,kde P(B) > 0.Podmíněnoupravděpodobnostjevu Azapodmínky, 13

15 CHAPTER 2. PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST, NEZÁVISLOST 14 že nastal jev B, definujeme vztahem P(A B) = P(A B). (2.1) P(B) Věta 2.1(o násobení pravděpodobnosti): ProlibovolnouposloupnostnáhodnýchjevůA 1,A 2,...,A n,takových,žep(a 1 A 2... A n 1 ) > 0,platí P( n i=1a i ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 )... (2.2)...P(A n A 1 A 2... A n 1 ). Příklad 2.1 Profesor zapomene deštník při každé návštěvě obchodu s pravděpodo ností 1 4. Jestliženavštívilčtyřiobchodyapřišeldomůbezdeštníku,jakáje pravděpodobnost, že jej zapomněl v posledním obchodě?

16 CHAPTER 2. PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST, NEZÁVISLOST Nezávislost Uvažujmenynídvanáhodnéjevy AaB.Jestližeproněplatí P(A B) = P(A) a P(B A) = P(B), (2.3) pak mluvíme o jejich vzájemné nezávislosti. Z(2.3) vidíme, že pravděpodobnost jevu Apodmíněnájevem Bnezávisínajevu Banaopak. Z(2.3)azdefinice podmíněné pravděpodobnosti pak dostáváme následující definici nezávislosti dvou náhodných jevů. Definice 2.2 Náhodné jevy A a B jsou nezávislé, jestliže platí P(A B) = P(A) P(B). (2.4) Pojem nazávislosti můžeme rozšířit i na skupinu náhodných jevů. Definice2.3Nechť A 1,A 2,...,A n jsounáhodnéjevy.řekneme,žejsouskupinově(totálně) nezávislé, jestliže pro libovolnou posloupnost indexů

17 CHAPTER 2. PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST, NEZÁVISLOST 16 {k 1,k 2,...,k r } {1,...,n}, r = 2,...,nplatí P(A k1 A k2... A kr ) = P(A k1 ) P(A k2 )... P(A kn ). (2.5) Definice2.4Nechť A 1,...,A n jsounáhodnéjevy.řekneme,žejsoupodvou nezávislé,jestližejevy A i,a j jsounezávisléprovšechna i,j = 1,...,n, i j. Příklad 2.2 Při hodu dvěma mincemi uvažujeme tyto náhodné jevy: A 1...jevspočívajícívtom,žena1.mincipadnerub, A 2...jevspočívajícívtom,žena2.mincipadnelíc, A 3...jevspočívajícívtom,ženaoboumincíchpadnerub,nebolíc. Zjistěte, zda dané jevy jsou skupinově nezávislé. Pravděpodobnosti nezávislých jevů násobíme. Věta2.2Nechť A,Bjsounezávislénáhodnéjevy. Pakdvojicejevů (A, B), (Ā,B), (Ā, B)jsounezávislé.

18 CHAPTER 2. PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST, NEZÁVISLOST 17 Věta2.3Nechť A 1,...,A n jsouskupinově(totálně)nezávisléjevy. Potom platí následující n P( n i=1a i ) = 1 [1 P(A i )]. (2.6) Příklad 2.3 Během dne se v porodnici narodilo 10 dětí. Pravděpodobnost narozeníchlapceje p = 0,514.Jakájepravděpodobnost,žeběhemtohotodne se narodil v porodnici alespoň jeden chlapec? i=1

19 Chapter 3 Celková pravděpodobnost, Bayesův vzorec Věta3.1(Ocelkovépravděpodobnosti)Nechť A 1, A 2,...jsounáhodné jevy tvořící rozklad jevu jistého, tzn. A i A j =, i ja i=1 A i = Ω. Nechťtytonáhodnéjevymajípostupněpravděpodobnosti P(A 1 ),P(A 2 ),..., přičemž P(A i ) > 0, i = 1,2,...Uvažujmelibovolnýnáhodnýjev B,u něhož 18

20 CHAPTER 3. CELKOVÁ PRAVDĚPODOBNOST, BAYESŮV VZOREC 19 známe podmíněné pravděpodobnosti P(B A i ), i = 1,2,... Potom P(B) = P(A i ) P(B A i ). (3.1) i=1 Příklad 3.1 Ve městě jsou tři obchodní společnosti. Pod první obchodní společnost spadá 20 obchodů, pod druhou 15 obchodů a pod třetí 10 obchodů. Při návštěvě obchodu první společnosti budete ošizen s pravděpodobností 0,15, v obchodě druhé společnosti 0,08 a u třetí společností s pravděpodobností 0,05. Jaká je pravděpodobnost, že při nákupu v tomto městě budete ošizen? Věta 3.2(Bayesova věta) Nechť jsou splněny předpoklady věty 3.1. Pak P(A i B) = P(B A i ) P(A i ) j=1 P(A, i = 1,2,... (3.2) j) P(B A j )

21 CHAPTER 3. CELKOVÁ PRAVDĚPODOBNOST, BAYESŮV VZOREC 20 Příklad 3.2 Při vyšetřování pacienta je podezření na 3 navzájem se vylučující nemoci. Pravděpodobnost výskytu první nemoci je 0,3, druhé 0,5 a třetí nemoci 0,2. Laboratorní zkouška dává pozitivní výsledek u 15% nemocných naprvnínemoc,u 30%nemocnýchnadruhounemocau30%natřetínemoc. Jaká je pravděpodobnost výskytu druhé nemoci, jestliže po vykonání laboratorní zkoušky je výsledek pozitivní? Poznámka3.1Pravděpodobnosti P(A 1 ),P(A 2 ),...v(4.4)senazývajíapriorníajevy A 1,A 2,... senazývajíhypotézami. Pravděpodobnosti P(A i B) nazýváme aposteriorní. Příklad 3.3(AIDS). Krevní test na pozitivní virus HIV nemusí vždy správně identifikovat chorobu. Mohou nastat dva druhy chyb. 1. Test špatně indikuje pozitivitu,

22 CHAPTER 3. CELKOVÁ PRAVDĚPODOBNOST, BAYESŮV VZOREC test špatně indikuje negativitu. Statistickým pozorováním bylo zjištěno, že tento test je velmi spolehlivý, přesněji, je-li objekt infikován, bude test pozitivní s pravděpodobností 0,995. Neboli P(Poz Inf) = 0,995,odtuddostáváme,žepravděpodobnostchyby1. druhu je P(Neg Inf) = 0,005.Podobně P(Neg NeInf) = 0,995apravděpodobnost 2.chybyje P(Poz NeInf) = 0,005. Předpokládejme, že bude vydán zákon, který nařídí všem lidem provést tento přesný test, aby mohli být identifikováni všichni infikovaní lidé. Jestliže pak náhodně vybereme jednoho člověka s pozitivním výsledkem testu, ptáme se, jaká je pravděpodobnost, že skutečně má HIV. Neboli zajímá nás pravděpodobnost P(Inf P oz), kterou určíme podle Bayesova vzorce: P(Inf Poz) = P(Poz Inf) P(Inf) P(Poz Inf) P(Inf)+P(Poz NeInf) P(NeInf). Zbývánámurčitapriornípravděpodobnosti P(Inf),P(NeInf).Např.vUSA

23 CHAPTER 3. CELKOVÁ PRAVDĚPODOBNOST, BAYESŮV VZOREC 22 v roce 1996 bylo infikovaných lidí, což vede k odhadům Po dosazení dostáváme P(Inf) = 0,001 a P(NeInf) = 0,999. P(Inf Poz) = 0,995 0,001 0,995 0,001+0,005 0,999 = 0,16. Můžeme tedy mluvit o štěstí, že takový zákon nebyl nikdy vytvořen, protože pouze 16% pozitivních lidí by bylo skutečně infikovaných HIV.

24 Chapter 4 Náhodná veličina 4.1 Definice náhodné veličiny Definice 4.1 Nechť(Ω, A, P) je pravděpodobnostní prostor. Reálnou funkci X definovanou na Ω nazýváme náhodnou veličinou, jestliže X je měřitelné zobrazení X : (Ω,A) (R,B),tj. {ω Ω : X(ω) B} A (4.1) 23

25 CHAPTER 4. NÁHODNÁ VELIČINA 24 pro libovolnou borelovskou množinu B B(B je σ-algebra borelovských podmnožin, tj. nejmenší σ-algebra obsahující systém všech otevřených podmnožin R). Poznámka 4.1 Náhodné veličiny budeme značit velkými písmeny: X, Y, Z... Hodnoty, kterých mohou náhodné veličiny nabývat, budeme značit malými písmeny x,y,z. Místo {ω Ω : X(ω) B} budeme zjednodušeně psát {X B} a místo {ω Ω : X(ω) < x}budemezjednodušeněpsát {X < x}. Poznámka 4.2 Součty, součiny a podíly náhodných veličin jsou náhodné veličin umocnění náhodné veličiny přirozeným číslem, násobení náhodné veličiny skaláre jsou opět náhodné veličiny. Příklad4.1Nechť Ω = {1,2,3,4,5,6}představujeprostorvšechvýsledkůnáhodného hodu kostkou. Za σ-algebru A vezmeme systém všech podmnožin Ω.

26 CHAPTER 4. NÁHODNÁ VELIČINA 25 Pravděpodobnost P(A) náhodného jevu A A je rovna poměru příznivých jevů ke všem jevům. Toto odpovídá klasickému pravděpodobnostnímu prostoru. Nyní na tomto prostoru (Ω, A, P) zkonstruujeme náhodnou veličinu X, která má hodnotu 1, padne-li 6, a hodnotu 0, padne-li něco jiného. Neboli X(6) = 1aX(i) = 0; i = 1,...,5. X : ({1,2,3,4,5,6},A,P) {0,1}, P(ω = 5) = P(5) = 1/6, P(ω Ω : X(ω) = 0) = P(X = 0) = 5/6, P(ω Ω : X(ω) = 1) = P(X = 1) = 1/6. P(X < 2) = P(X = 0)+P(X = 1) = 1.

27 CHAPTER 4. NÁHODNÁ VELIČINA Distribuční funkce Definice 4.2 Nechť X je náhodná veličina. Její distribuční funkcí nazýváme reálnoufunkci F X reálnéproměnné xdefinovanou F X (x) = P(X x) = P({ω : X(ω) x}). (4.2) Distribuční funkce je definovaná pro všechna x R. Příklad 4.2 Distribuční funkce F náhodné veličiny definované v předchozím příkladu je pak definována takto: F(x) = 0,pokud x < 0, F(x) = 5/6,pokud 0 x < 1a F(x) = 1,pokud x 1. Distribuční funkce mají určité společné vlastnosti.

28 CHAPTER 4. NÁHODNÁ VELIČINA 27 Věta4.1(vlastnosti distribuční funkce)distribučnífunkce F X (x)náhodné veličiny X je a)neklesající,tj.prolibovolné a,b R,a b,platí F X (a) F X (b), b)zpravaspojitávlibovolnémbodě x R, c) lim x F X (x) = 0,lim x F X (x) = 1, d) má nejvýše spočetně bodů nespojitosti; Poznámka4.3Je-lidistribučnífunkce F X (x)spojitávbodě x 0,pakvelikost skokuvbodě x 0 jerovnanuletzn. P({ω : X(ω) = x} = 0. Tyto úvahy nás vedou k rozdělení náhodných veličin na dva základní typy, na diskrétní a absolutně spojité náhodné veličiny. Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny je konstantní až na spočetně mnoho bodů, ve kterých má skok. Distribuční funkce absolutně spojité náhodné veličiny je spojitá, a tudíž neobsahuje žádné skoky.

29 CHAPTER 4. NÁHODNÁ VELIČINA Diskrétní náhodné veličiny Definice 4.3 Náhodná veličina X se nazývá diskrétní, jestliže existuje posloupnostreálnýchčísel {x n }aodpovídajícíposloupnostnezápornýchčísel {p n }taková,že p n = 1, kde p n = P(X = x n ). (4.3) n=1 Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny X má tvar F X (x) = P(X x) = P(X = x n ) = a {n:x n x} P(a < X b) = F X (b) F X (a) = prolibovolnáreálnáčísla a,b,kde a b. {n:a<x n b} {n:x n x} P(X = x n ) = p n (4.4) {n:a<x n b} p n

30 CHAPTER 4. NÁHODNÁ VELIČINA 29 Poznámka4.4Distribučnífunkcejeschodovitáfunkceseskokyvbodech x 1, x 2,...ajekonstantnínaintervalech [x n,x n+1 ). Velikostskokuvbodě x n je p n = P(X = x n ). Příklad 4.3 Uvažujme náhodnou veličinu X, jejíž hodnota udává počet telefonníchvýzevza1minutu. Distribučnífunkce F anipravděpodobnosti {p n } nejsou známy. Sledovali jsme 60 realizací této náhodné veličiny a zaznamenali 3, 2, 2, 3, 1, 1, 0, 4, 2, 1 1, 4, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 5, 2 3, 0, 2, 4, 1, 2, 3, 0, 1, 2 výsledky. 1, 3, 1, 2, 0, 7, 3, 2, 1, 1 4, 0, 0, 1, 4, 2, 3, 2, 1, 3 2, 2, 3, 1, 4, 0, 2, 1, 1, 5. Jednotlivé realizace náhodné veličiny X jsou nezávislé, máme tedy k dispozici náhodnývýběr(tj. X 1,...,X 60 jsounezávisléstejněrozdělenénáhodnéveličinysdistribučnífunkcí F).

31 CHAPTER 4. NÁHODNÁ VELIČINA 30 Vytvořme si tabulku absolutních a relativních četností výskytů jednotlivých Počet telefonních výzev za 1 min Absolutní četnost Relativní četnost 0 8 0, ,283 výsledků , , , , ,016 Celkem 60 1 Relativní četnosti nám odhadují pravděpodobnosti p n. Vzhledem k zákonu velkýchčísel(vizvěta12.4)jetentoodhadvhodný. Vezměmetedytyto p n jakoskutečnépravděpodobnosti p n = P(X = n). Můžemepakzakreslitdistribuční funkci F. Někdy se místo zobrazení distribuční funkce používá zobrazení relativních čet-

32 CHAPTER 4. NÁHODNÁ VELIČINA ností neboli histogram Figure4.1:Distribučnífunkce F X (x). 4.4 Absolutně spojité náhodné veličiny Definice 4.4 Náhodná veličina X se nazývá absolutně spojitá, jestliže existuje nezápornáintegrovatelnáfunkce f X taková,žeplatí F X (x) = P(X < x) = x f X (t)dt, x (, ). (4.5)

33 CHAPTER 4. NÁHODNÁ VELIČINA Figure 4.2: Histogram X. Funkce f X senazýváhustotourozdělenípravděpodobnosti. Poznámka4.5Místo P[Xmávlastnost V] = 1 budemeříkat Xmávlastnost V skoro jistě. Často budeme užívat zkratku s.j. Věta4.2(Vlastnostihustoty)Nechť f X (x)jehustotarozdělenípravděpodobnosti náhodné veličiny X. Pak platí: a) f X (x) = d dx F X(x)s.j.

34 CHAPTER 4. NÁHODNÁ VELIČINA 33 b) f X(x)dx = 1 c) P(a X < b) = F X (b) F X (a) = b a f X(x)dxprolibovolnáreálnáčísla a,b,kde a b. Příklad 4.4 Uvažujeme hypotetickou populaci ryb. Je známo, že funkce umíránírybzávisínakvadrátudélkyživotaažežádnárybasenedožijevícenež 10let.Neboli F(x)jedánavztahem F(x) = { 0 x 0 (c x) 2 0 < x 10 1 x > 10 a) určeme konstantu c tak, aby F(x) byla distribuční funkce, b) spočtěme hustotu umírání v rybí populaci,

35 CHAPTER 4. NÁHODNÁ VELIČINA 34 c) spočtěme pravděpodobnost, že ryba zemře mezi 3. a 4. rokem života. Příklad 4.5 Určete koeficient c tak, aby funkce f(x) = { c x2 e x 0 x 1 0 jinde byla hustotou nějaké náhodné veličiny.

36 Chapter 5 Charakteristiky náhodných veličin Definice 5.1 a) Nechť X je diskrétní náhodná veličina nabývající reálných hodnot x 1, x 2, x 3,...,tzn. taková,že P(X = x i ) = p i. Pakstřední hodnota EX náhodné veličiny X je tvaru EX = x i p i, (5.1) pokud řada v(5.1) konverguje. 35 i=1

37 CHAPTER 5. CHARAKTERISTIKY NÁHODNÝCH VELIČIN 36 b)nechť Xjeabsolutněspojitánáhodnáveličinashustotou f X.Pakstřední hodnota náhodné veličiny X je EX = pokud integrál existuje. xf X (x)dx, (5.2) Vlastnostistředníhodnoty. Nechť X,Y,X n, n = 1,2,... jsounáhodné veličiny na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P), a, b jsou reálné konstanty. 1) střední hodnota konstanty je konstanta Ea = a 2) linearita E(aX +by) = aex +bey Věta5.1Nechť Xjenáhodnáveličinaanechť φ : R R.Pakplatí:

38 CHAPTER 5. CHARAKTERISTIKY NÁHODNÝCH VELIČIN 37 Má-lináhodnáveličina Xdiskrétnírozdělení {x n,p n } n N0,pak Eφ(X) = n N 0 φ(x n )p n, (5.3) pokud jedna ze stran rovnosti existuje. Má-li náhodná veličina X absolutně spojité rozdělení s hustotou f, potom Eφ(X) = pokud jeden z integrálů existuje. φ(x)f(x)dx, (5.4) Definice 5.2 Nechť n je přirozené číslo, n-tý moment náhodné veličiny X jedefinovánjako E(X n ); n-týabsolutnímomentjako E( X n ); n-týcentrální momentjako E[(X EX) n ]. Poznámka 5.1

39 CHAPTER 5. CHARAKTERISTIKY NÁHODNÝCH VELIČIN 38 a) Z předešlé definice vidíme, že střední hodnota je první moment. b) První centrální moment je vždy roven nule, neboť E(X EX) = EX E(EX) = EX EX = 0. Definice 5.3 Druhý centrální moment náhodné veličiny X se nazývá rozptyl, označuje se obvykle var X(z anglického variance ) var X = E(X EX) 2. Rozptyl je druhou nejdůležitější charakteristikou náhodné veličiny. Z jeho definice vidíme, že existence střední hodnoty je nutnou podmínkou k existenci rozptylu. Číslovar Xjevždynezápornéarovnásenuleprávětehdy,když P(X = c) = 1, c je konstanta. Vzhledem k tomu, že rozptyl udává variabilitu náhodné veličiny ve čtvercích jejích jednotek, používá se také často druhé odmocniny z rozptylu, tzv. směrodatné odchylky σ = var X,

40 CHAPTER 5. CHARAKTERISTIKY NÁHODNÝCH VELIČIN 39 která měří variabilitu v původních jednotkách náhodné veličiny. Nejdůležitější vlastnosti rozptylu náhodné veličiny X. 1) Nechť X je náhodná veličina, pak var X počítáme nejčastěji pomocí vzorce: 2)Nechťcjekonstanta.Pakvar c = 0. var X = E(X 2 ) (EX) 2. 3)Nechť Xjenáhodnáveličina,aajereálnéčíslo.Pak var (ax) = a 2 var X. 4)Nechť Xjenáhodnáveličinaacjekonstanta.Pak var (X +c) =var X. 5) Nechť X je náhodná veličina, která má konečnou střední hodnotu a konečný nenulový rozptyl. Nechť Y = X EX. var X

41 CHAPTER 5. CHARAKTERISTIKY NÁHODNÝCH VELIČIN 40 Pak EY = 0avar Y = 1. V některých situacích, jako například v předchozím příkladu je vhodné používat k popisu rozdělení další charakteristiky, kterých je celá řada. Jednou z nich je tzv. medián x.jetočíslo,prokteréplatí P(X x) 1 2 a P(X x) 1 2. Je nutné poznamenat, že medián není těmito podmínkami určen jednoznačně. Další charakteristikou rozdělení může být modus, který se obvykle značí x. Je-li diskrétní rozdělenísoustředěnovbodech x 1, x 2,...,je xtahodnota,prokterouplatí P(X = x) P(X = x i ), i = 1,2,... Je-li rozdělení absolutně spojité, za modus bereme takovou hodnotu x, pro kterou platí f( x) f(x), x (, ). Také modus nemusí být určen jednoznačně(najděte příklad).

42 CHAPTER 5. CHARAKTERISTIKY NÁHODNÝCH VELIČIN 41 Je-li Fdistribučnífunkce,zaveďmefunkci F 1 předpisem F 1 (u) = inf{x : F(x) u}, 0 < u < 1. Pakse F 1 nazývákvantilováfunkceodpovídajícídistribučnífunkci F. HodnotámfunkceF 1 (u)seříkákvantily.tedyα-kvantilembudemenazývathodnotu F 1 (α). Pokud F jerostoucíaspojitá,pakkvantilováfunkcejeinverznífunkcí k F. Odtudpocházíioznačení F 1. Kvantil F 1 (0,25),resp. F 1 (0,75)bývá zvykem nazývat dolním, resp. horním kvartilem. Kvantilové charakteristiky se používají zřídka a jsou užitečné zejména tehdy, kdy nelze užít momentů. Příklad 5.1 Podle úmrtnostních tabulek USA(1978 až 1979) je pravděpodobnost úmrtí 32 leté ženy během jednoho roku rovna 0, Pojišťovna nabízí ženám tohoto věku, že při ročním pojistném 100 USD vyplatí pozůstalým v případě úmrtí pojištěnce USD. Jaký zisk může pojišťovna očekávat, jestliže takovou pojistku uzavře žen uvedeného věku? Příklad 5.2 Označme dobu čekání rybáře na úlovek(v minutách) jako náhodnou veličinu X. Předpokládejme, že tato náhodná veličina má hustotu pravdě-

43 CHAPTER 5. CHARAKTERISTIKY NÁHODNÝCH VELIČIN 42 podobnosti { e x pro 0 < x < f(x) = 0 jinak. Určete střední hodnotu a rozptyl doby čekání rybáře na úlovek. Příklad 5.3 Určete modus x následujících náhodných veličin: 1. diskrétní veličiny X s rozložením pravděpodobnosti p n = { ( 1 2 )n pro n = 1,2,... 0 jinak 2. spojité náhodné veličiny s hustotou f(x) = x2 e x, x (0, ),f(x) = 0jinde. 2

44 Chapter 6 Příklady diskrétních náhodných veličin 1. Nula- jedničkové(alternativní) rozdělení. Tak budeme nazývat rozdělení náhodné veličiny X, která nabývá jen hodnot 0 a1spravděpodobnostmi 1 pap.číslo psenazýváparametralternativního rozdělení,0<p<1. 43

45 CHAPTER 6. PŘÍKLADY DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN 44 Distribuční funkce alternativního rozdělení je dána výrazem { 0 pro x 0 F(x) = 1 p pro 0 < x 1 1 pro x > 1. Středníhodnota EX = p.rozptylvar X = p(1 p)(dokažte).alternativní rozdělení s parametrem p budeme zkráceně označovat A(p).

46 CHAPTER 6. PŘÍKLADY DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN Binomické rozdělení. JetorozdělenínáhodnéveličinyX,kteránabýváhodnotk = 0,1,2,...,n.Binomické rozdělení je jednoznačně určeno dvěma parametry: přirozeným číslem načíslem p (0,1).Probinomickérozdělenísparametry n, pbudemeužívat zkráceného značení Bi(n; p). Binomickým rozdělením se řídí např. náhodná veličina X, která je rovna počtu úspěchů v posloupnosti n nezávislých alternativních pokusů, kde pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu je p, 0 < p < 1. Tedy kde X i = X = n X i, i=1 { 1 pokudvi-témpokusenastalúspěch, 0 pokud úspěch nenastal. Xjesoučtem nalternativníchnáhodnýchveličin.vzhledemknezávislosti X i

47 CHAPTER 6. PŘÍKLADY DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN 46 jehledanápravděpodobnost p k tvaru p k = ( n k) p k (1 p) n k pro k = 0,1,...,n Figure6.1:Pravděpodobnosti p k binomickéhorozdělení. Bi(16;0,5)-kruhy, Bi(16;0,8)-čtverce. Pravděpodobnostip k splňujípodmínkypropravděpodobnostnírozdělení,neboť platí: a) p k 0, k, b) n k=0 p k = n k=0 (n k )pk (1 p) n k = [(1 p)+p] n = 1.

48 CHAPTER 6. PŘÍKLADY DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN 47 Názevbinomickérozdělenívyplývázeskutečnosti,žepravděpodobnost p k je členem binomického rozvoje. Distribuční funkce F(x) je tvaru { 0 x 0 n F(x) = 0 k<x( k) p k (1 p) n k 0 < x n 1 x > n. Rozdělení Bi(n;p)mástředníhodnotu nparozptyl np(1 p).

49 CHAPTER 6. PŘÍKLADY DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN Poissonovo rozdělení jerozdělenínáhodnéveličinyx,kteránabýváhodnotk = 0,1,2,...spravděpodo nostmi p k = e λλk k!. Číslo λ > 0 je parametr Poissonova rozdělení. Vidíme, že pro takto definované pravděpodobnosti p k jsousplněnypodmínky a) p k 0, k = 0,1,2,..., b) k=0 p k = k=0 λk e λ k! = e λ k=0 λk k! = 1, atedy p k jerozdělenípravděpodobnosti. Distribuční funkce je tvaru { 0 pro x 0 F(x) = 0 j<x e λλj j! pro 0 < x <. EX = λ.

50 CHAPTER 6. PŘÍKLADY DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN Figure6.2:Pravděpodobnosti p k Poissonovarozdělení. Po(5)-kruhy, Po(10)-čtverce. var X = λ. Poissonovo rozdělení je limitním případem binomického rozdělení pro n,p 0,np λ(=konstanta).

51 CHAPTER 6. PŘÍKLADY DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN Geometrické rozdělení jerozdělenínáhodnéveličinyx,kteránabýváhodnotk = 0,1,2,...spravděpodo nostmi p k = p(1 p) k.parametr pjezintervalu(0,1).jezřejmé,ževšechna p k 0a k=0 p k = 1,neboť p k = p(1 p) k = p (1 p) k 1 = p 1 (1 p) = 1. k=0 k=0 k= Figure6.3:Pravděpodobnosti p k geometrickéhorozdělení. Geom(0,5)-kruhy, Geom(0,8)-čtverce.

52 CHAPTER 6. PŘÍKLADY DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN 51 Distribuční funkce geometrického rozdělení je tvaru { 0 pro x 0 F(x) = 0 k<x p(1 p)k pro x > 0. EX = 1 p p. var X = 1 p p 2.

53 CHAPTER 6. PŘÍKLADY DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN 52 Příklad 6.1 Jaká je pravděpodobnost, že mezi čtyřmi po sobě narozenými dětmi budou a) první dva chlapci, další dvě dívky b) právě dva chlapci, víme-li, že pravděpodobnost narození chlapce je 0,515? c) Zjistěte, kolik se musí narodit dětí, aby pravděpodobnost, že mezi nimi bude alespoň jeden chlapec, byla větší nebo rovna 0,99. Příklad 6.2 Víme, že pravděpodobnost vypěstování zdravé sazenice ze semena je 0,62. Za náhodnou veličinu X budeme považovat počet zdravých sazenic vypěstovaných z 27 semen. Určete a) jaký je nejpravděpodobnější počet zdravých rostlin a jaká je jeho pravděpodobnost, b) střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X.

54 CHAPTER 6. PŘÍKLADY DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN 53 Příklad 6.3 Předpokládejme, že mladá dravá ryba přežije, pokud uloví rybu alespoňjednouzadvadny. Běhemdvoudnůpodnikne8zápasůspravděpodobností ulovení p = 0, 25. Jaká je pravděpodobnost, že dravá ryba nezemře? Příklad 6.4 Na nádraží mají být instalovány automaty na prodej jízdenek, které po vhození příslušné mince vydají během 10 sekund žádanou jízdenku. Předpokládejme, že v době největší frekvence bude chtít použít automat v průměru 6 osob za minutu. Kolik automatů je nutné instalovat, aby s pravděpodobností větší než 0,95 byl v době největší frekvence obsloužen každý zájemce okamžitě?

55 Chapter 7 Příklady spojitých náhodných veličin 1. Rovnoměrné rozdělení na intervalu [a, b] je dáno hustotou { 1 f(x) = b a a x b, 0 x < a, x > b. 54

56 CHAPTER 7. PŘÍKLADY SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN 55 Distribuční funkce je F(x) = Střední hodnota a rozptyl jsou: { 0 x < a, x a b a a x b 1 x b. EX = a+b 2, var X = 1 12 (b a)2, dokažte. Toto rozdělení budeme označovat U(a, b)(z angl. uniform ).

57 CHAPTER 7. PŘÍKLADY SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Exponenciální rozdělení. Hustota pravděpodobnosti exponenciálního rozdělení je f(x) = { 1 λ e x λ x > 0 0 jinak Figure 7.1: Graf hustoty exponenciálního rozdělení- plná čára Exp(1), čárkovaná Exp(1/2), čerchovaná Exp(2).

58 CHAPTER 7. PŘÍKLADY SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN 57 Distribuční funkce je F(x) = { 0 pro x 0 1 e x λ x > 0, kde λ je parametrem rozdělení. Ověřme nejprve, zda f(x) je hustota. Vidíme, že f(x) 0, x R. 1 f(x)dx = λ e x λ dx = 1. Středníhodnota EX = λarozptylvar X = λ 2. Věta 7.1 Má-li náhodná veličina X exponenciální rozdělení, pak P(X > x+y X > y) = P(X > x), x > 0,y > 0. 0

59 CHAPTER 7. PŘÍKLADY SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Normované normální rozdělení je definováno hustotou f(x) = 1 2π e x2, < x <. Jeho distribuční funkce se tradičně značí písmenem Φ. Φ(x) = 1 2π x e t2 2dt, < x <. Střední hodnota EX = 0 je zároveň mediánem i modusem tohoto rozdělení. var X = 1. 3.(Obecné) normální rozdělení. Toto rozdělení je definováno hustotou f(x) = kde µreálnéaσ 2 kladnéjsouparametry. 1 2π σ 2 e (x µ)2 2σ 2, < x <,

60 CHAPTER 7. PŘÍKLADY SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Figure7.2:Grafhustotynormálníhorozdělení-plnáčára N(0,1),čárkovaná N(0,2),tečkovaná N(0,1/2). Distribuční funkci F(x) = 1 x 2π σ lzevyjádřitpomocífunkce Φjako Φ( x µ σ ). e (t µ)2 2σ 2 dt, < x < (7.1)

61 CHAPTER 7. PŘÍKLADY SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN 60 Příklad7.1Prodejnaočekávádodávkuzbožívurčitýdenvdoběod12do16 hodin. Podle sdělení dodavatele je uskutečnění dodávky stejně možné kdykoliv během tohoto časového intervalu. Jaká je pravděpodobnost, že zboží bude dodánovdoběodjednéhodinydopůldruhé? Příklad 7.2 Autobusy městské dopravy odjíždějí ze stanice v sedmiminutových intervalech. Cestující může přijít na stanici v libovolném okamžiku. Jaká je střední hodnota a rozptyl doby jeho čekání na odjezd autobusu ze stanice? Příklad 7.3 Z dlouhodobých měření je známo, že radiomagnetofon Sony má poruchu v průměru jednou za hodin. Předpokládejme, že doba čekání na poruchu je náhodná veličina X s exponenciálním rozdělením. Stanovme hodnotu t tak, aby pravděpodobnost, že radiomagnetofon bude pracovat delší dobunež t,byla0,99. Příklad 7.4 Do obchodu přijde průměrně 60 zákazníků za 1 hodinu. Jaká jepravděpodobnost, žedoobchodunepřijdežádnýzákazníkběhem 1 2 min.,

62 CHAPTER 7. PŘÍKLADY SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN 61 ve které je prodavač nepřítomen. Příklad 7.5 Víme, že populace určitého druhu květin dorůstá výšky X s normálním rozdělením N(20, 16). Spočtěte pravděpodobnost, že náhodně vybraná květina má výšku a)menšínež16, b)většínež20, c)vmezíchod12do28, d)menšínež12nebovětšínež28, e)rovnu22.

63 CHAPTER 7. PŘÍKLADY SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Normální rozdělení a rozdělení z něj odvozená Normálnírozdělenísestředníhodnotou µarozptylem σ 2 máhustotu [ ] 1 f(x) = exp (x µ)2, x R. 2πσ 2 2σ Figure 7.3: Graf hustoty normálního rozdělení- plná čára N(0,1), čárkovaná N(0,2), tečkovaná N(0,1/2). Nejčastěji budeme pracovat s normovaným normálním rozdělením N(0,1). Jeho

64 CHAPTER 7. PŘÍKLADY SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN 63 hustotu budeme označovat a distribuční funkci budeme označovat φ(x) = 1 2π e x2 /2, x R Φ(x) = x φ(u)du. Funkce φjesudá,ztohoplyne Φ( x) = 1 Φ(x). Věta7.2CentrálnílimitnívětaNechť X 1,...,X n jeposloupnostnezávislých, stejně rozdělených náhodných veličin se střední hodnotu µ a konečným rozptylem σ 2.Pak n i=1 X i nµ nσ 2 má při n asymptotycky rozdělení N(0,1). Pro vyjádření dalších rozdělení si zopakujme definice Gama a Beta funkce. Γ(a) = 0 x a 1 e x dx, a > 0

65 CHAPTER 7. PŘÍKLADY SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN 64 Vlastnosti: Γ(a+1) = a Γ(a), Γ( 1 2 ) = π B(a,b) = Γ(a) Γ(b) Γ(a+b) Pearsonovo rozdělení NechťsdruženěnezávislénáhodnéveličinyU 1,U 2,...,U k představujínáhodnývýběr ze základního souboru s normovaným normálním rozdělením N(0,1). Pak k χ 2 k = mátzv.rozdělení χ 2 skstupnivolnostiashustotou(pro u > 0)tvaru 1 f k (u) = Γ(k/2) 2 k/2 u(k/2) 1 e u/2, u > 0. i=1 U 2 i Eχ 2 k = k, Var χ 2 k = 2k.

66 CHAPTER 7. PŘÍKLADY SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Figure7.4:GrafhustotyPearsonovarozdělení-plnáčára χ 2 10,čárkovaná χ 2 20,tečkovaná χ Studentovo rozdělení Mějme dvě nezávislé náhodné veličiny, a to náhodnou veličinu U s normovaným normálnímrozdělenímn(0,1)anáhodnouveličinuvsrozdělením χ 2 skstupni volnosti. Pak veličina T k = U k V

67 CHAPTER 7. PŘÍKLADY SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN 66 má Studentovo rozdělení t s hustotou tvaru s k stupni volnosti. f k (t) = ET k = 0, 1 t2 B( 1 2, (1+ k 2 ) k k ) (k+1)/2, t R Var T k = k k 2, t k k Φ Figure7.5:GrafhustotyStudentovarozdělení-plnáčáraN(0,1),čárkovaná t 10,tečkovaná t 5.

68 CHAPTER 7. PŘÍKLADY SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Fisherovo-Snedecorovo rozdělení. Nechťdvěnezávislénáhodnéveličinymajírozdělení χ 2,atoUskstupnivolnosti, kdežto náhodná veličina V s n stupni volnosti. Pak náhodná veličina F k,n = U/k V/n má Fisherovo-Snedecorovo rozdělení s k a n stupni volnosti a hustotou ( ) k/2 1 k f k,n (z) = B( k 2, n 2 ) z (k 2)/2 n (1+z k z > 0. n )(k+n)/2, EF k,n = n n 2, Var F k,n = 2n2 (n+k 2) (n 2) 2 (n 4)k.

69 CHAPTER 7. PŘÍKLADY SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Figure7.6:GrafhustotyFisherova-Snedecorovarozdělení-plnáčára F 10,10,čárkovaná F 20,10,tečkovaná F 5, Kritické hodnoty Kritické hodnoty obvykle vyjadřují hranici, kterou náhodná veličina překročí se zadanou pravděpodobností α. Kritické hodnoty se dají nalézt v tabulkách či ve specializovaných softwarech. V programu Excel jsou to funkce NORM.INV, CHI.INV, T.INV, F.INV. Kritické hodnoty normálního rozdělení u(α) X N(0,1), P[X u(α)] = α.

70 CHAPTER 7. PŘÍKLADY SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN 69 KritickéhodnotyPearsonovarozdělení χ 2 k (α) X χ 2 k, P[X χ 2 k(α)] = α. KritickéhodnotyStudentovarozdělení t k (α) X t k, P[X t k (α)] = α. KritickéhodnotyFisherova-Snedecorovarozdělení F k,n (α) X F k,n, P[X F k,n (α)] = α.

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA I

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA I PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA I RNDr. Tomáš Mrkvička, Ph.D. 16. března 2009 Literatura [1] J. Anděl: Statistické metody, Matfyzpress, Praha 1998 [2] V. Dupač, M. Hušková: Pravděpodobnost a matematická

Více

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )

Více

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015

Více

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Pravděpodobnost a její vlastnosti

Pravděpodobnost a její vlastnosti Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale

Více

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1 Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST 2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA

MATEMATICKÁ STATISTIKA MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat

Více

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)

Více

1 Pravděpodobnostní prostor

1 Pravděpodobnostní prostor PaS 1.-10. přednáška 1 Pravděpodobnostní prostor Náhodný pokus je takový pokus, jehož výsledek nelze s jistotou předpovědět. Pokud jsme schopni pokus za stále stejných podmínek opakovat (například házíme

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)

Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015) III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,

Více

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}. 5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Definice P(A/B) pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B (P(B) > 0) definujeme vztahem

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

Teorie pravěpodobnosti 1

Teorie pravěpodobnosti 1 Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako

Více

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

MATEMATICKÁ STATISTIKA.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým

Více

Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.

Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné

Více

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme

Více

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

Informační a znalostní systémy

Informační a znalostní systémy Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy

Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale

Více

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. 3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.

Více

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami. 3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

Úvod do teorie pravděpodobnosti

Úvod do teorie pravděpodobnosti Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz). 1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též

Více

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman

Více

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Náhodné vektory a matice

Náhodné vektory a matice Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

Matematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení

Více

Obsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev

Obsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev Obsah Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi;-) roman.biskup(at)email.cz

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bayesovské odhady

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bayesovské odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bayesovské odhady Bayesovské odhady - úvod Klasický bayesovský přístup: Klasický přístup je založen na opakování pokusech sledujeme rekvenci nastoupení zvolených jevů Bayesovský

Více

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3! Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k

Více

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) 1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁHODNÝCH POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za

Více