Popis polohy tělesa. Robotika. Popis polohy tělesa. Vladimír Smutný. Centrum strojového vnímání
|
|
- Renata Vávrová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 opis poloh tělesa Robotika opis poloh tělesa Vladimír Smutný Centrum strojového vnímání Český institut informatik, robotik a kbernetik (CIIRC) České vsoké učení technické v rae ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide, age
2 Bod, vektor, geometrie, algebra O a A b v B Bod a vektor v geometrii a algebře ojem bod v geometrii považuji a dostatečně námý a protože jeho definice není matematick snadná, nebudu ho definovat. Jen chci připomenout, že je dobré ho vnímat jako místo v prostoru, které eistuje neávisle na nějakých číslech. ojem vektor v geometrii můžeme definovat jako uspořádanou dvojici bodů, počáteční a koncový bod. Značíme AB. V geometrii pak můžeme používat obrat jako bod A je průsečíkem kružnice k se středem v bodě B, procháející bodem C a přímk procháející bod D a E. Naše problém v robotice jsou svou podstatou geometrické problém (přinejmenším v kinematice). Velmi často potřebujeme repreentovat geometrii v počítači, který ale s geometrickými pojm přímo pracovat neumí. Matematická teorie lineárních prostorů nám umožňuje pracovat s matematickými objekt tpu uspořádaná n-tice čísel. Le ukáat, že pro geometrické a lineární prostor konečné dimene eistuje vájemně jednonačné obraení (isomorfismus) mei geometrickými a algebraickými objekt. Abchom mohli avést tento isomorfismus, musíme v geometrii avést souřadnicovou soustavu. Geometrický bod v prostoru pak můžeme totožnit s uspořádanou trojicí (vektorem, de algebraický pojem) reálných čísel, kde uvedená čísla popisují souřadnice geometrického bodu v dané souřadnicové soustavě. Takovému vektoru v geometrii říkáme polohový vektor bodu, jeho počáteční bod je počátek souřadnicového sstému, jeho koncový bod je pak repreentovaný geometrický bod. Lineární prostor tak tvoří univerální model geometrického prostoru a jeho pomocí můžeme repreentovat všechn vlastnosti geometrického prostoru a naopak. To, že geometrické pojm můžeme považovat a ákladní, ospravedlňuje například to, že geometrie bla matematik úspěšně pěstována přibližně let be potřeb avádění souřadnic. To, že eistuje isomorfismus, ale ároveň ukauje, že oba popis jsou v principu ekvivalentní a můžeme libovolně přecháet jednoho do druhého. Mei bod a vektor v geometrii můžeme avést řadu operací: dva bod definují vektor v = AB, bod a vektor definují bod A + v = B vektor le sčítat a odčítat b = a + v Tto operace platí be avedení souřadnicového sstému. Stejné operace můžeme avést v algebře mei uspořádanými trojicemi (n-ticemi) repreentující bod a vektor. Zápis vorců ástává stejný, jen operátor namenají něco jiného. Algebraické objekt v rovnicích správně repreentují geometrické objekt, pokud jsou všechn vjádřen ve stejné souřadnicové soustavě. Na volbě souřadnicové soustav přitom neáleží. Formálně budou popis geometrie algebraickými rovnicemi vžd stejné, číselně se liší v ávislosti na volbě souřadnicové soustav. K situaci, kd máme růné souřadnicové sstém, se dostaneme dále. ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide 9, age
3 Technická ponámka O A v α B u C β α γ Běžný přístup pro určení parametrů trojúhelníku je používat kosinovou nebo sinovou větu, thagorovu větu a podobně. Tto vět a podobné vorce, jako například součet úhlů v trojúhelníku, je v analtické geometrii obtížné používat. roblém je v tom, že naleené řešení musíme interpretovat do příslušných kvadrantů, uměle vrábět další řešení, či naleená řešení testovat na splnění vstupních podmínek. To může být pracné a drojem řad chb, které se mohou projevit až při provou aříení. Niže uvádím některá doporučení, jak se chbám vhnout: Snažte se počítat souřadnice rohů trojúhelníků místo délek stran či velikostí úhlů v trojúhelníku. oužívejte pro určení úhlů vorec φ = atan(, ) vžd, kdž je to možné. Vhýbejte se použití funkce arccos a podobně. Kdž počítáte úhl a souřadnice, načte je do obráků a interpretujte je vžd orientovaně. Takto spočítané úhl a souřadnice mohou být pak snadno sčítán a odčítán be nutnosti analý příslušné situace. okud pracujete s analtickým tvarem přímk, používejte tvar a + b + c =, který na rodíl od směrnicového tvaru = k + q bechbně pracuje ve všech kvadrantech. Výpočet úhlu mei osou a vektorem AB vnačeným na obráku. Orientovaný, čtřkvadrantový úhel α le spočítat α = atan(b A, B A ). Nejrchlejší a nejbepečnější cesta, jak spočítat úhel β Srovnej běžný prací prášek. mei vektor v a u je následující: α = atan(b A, B A ), () γ = atan(c B, C B ), () β = γ α. (3) V prostoru je situace složitější. Úhel mei dvěma vektor nemá sám o sobě orientaci. Takový úhel φ můžeme snadno spočítat a pomoci skalárního součinu a tak ho můžeme spočítat v prostoru libovolné dimene. Abchom v tříroměrném prostoru mohli definovat orientovaný úhel, musíme si předem určit směr, který budeme považovat a kladný. Ve 3 D prostoru tak mohou dva vektor definovat rovinu a volbou normálového vektoru n k rovině tak volíme orientaci. Výsledný orientovaný úhel θ spočítáme takto: φ = arccos v v v v, (4) θ = arccos v v v v pro n ( v v ) (5) θ = arccos v v v v pro n ( v v ) < (6) Funkci sgn nele použít, protože pro vektor v, v opačné je jejich skalární součin nula, naménko také nula a výsledek je také nula, atímco správně je π. Výše uvedený postup má ještě další problém: normálový vektor n nesmí ležet v rovině určené vektor v, v a žádný vektorů nesmí mít nulovou délku. V těchto případech se ale singularit v uvedeném vorci krjí se singularitami ve skutečném světě, takže je apotřebí se jim vhnout především v realitě. ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide, age 3
4 Technická ponámka II O A w α δ B v C β α u γ Necht máme dán souřadnice bodů A a C a délk vektorů v a u. Nejbepečnější cesta, jak určit souřadnice bodu B a příslušné úhl je místo použití kosinové vět a boje s úhlem δ nalét bod B jako průsečík dvou kružnic se střed v bodech A a C a příslušnými poloměr. Tím dostaneme pro bod B dvě řešení. Úhl pak spočítáme pomocí výše uvedených rovnic. ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide, age 4
5 Těleso v souřadnicovém sstému Těleso v rovině má 3 DOF. Těleso v prostoru má 6 DOF. Kontrolní oták: Kolik stupňů volnosti má skládací metr na stole? Kolik stupňů volnosti má gumička? Tuhé těleso v našem výkladu uvažujeme jen tuhá tělesa. S tuhým tělesem můžeme sváat souřadnicový sstém a polohu jednotlivých bodů tělesa v tomto souřadnicovém sstému pak náme, např. výkresu předmětu, kterým manipulujeme. Aktuální poloha tělesa v čase le ji popsat polohou souřadnicového sstému s tělesem sváaným v jiném, nepohblivém, světovém souřadnicovém sstému. Jak konkrétně popsat polohu tělesa bude ukááno dále. ohb tělesa v čase můžeme popsat jako funkci aktuální poloh tělesa v ávislosti na čase. Vájemná poloha dvou souřadnicových soustav le vžd roložit na posun a otočení. Zvolíme souřadnicový sstém rámu O. S tělesem svážeme souřadnicový sstém O b b b. opis souřadnicového sstému O b b b v souřadnicovém sstému rámu je: OO = o = o o o (n, t, b). Utvořme matici R = (n, t, b), n, t, b jsou jednotkové a ortogonální vektor, matice R je ortonormální, ted R = R T. ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide, age 5
6 opis poloh tělesa Bod v 3D prostoru popsán třemi souřadnicemi. Tuhé těleso v 3D prostoru popsáno šesti souřadnicemi: 3 souřadnice referenčního bodu t =, orientace může být popsána jedním e působů: souřadnicemi vektorů spojených s tělesem (n, t, b), Eulerovými úhl (φ, θ, ψ), rotační maticí R, osou úhlem, kvaternionem, rotačním vektorem. Souřadnice referenčního bodu a rotační matice mohou být kombinován do transformační matice. ro rotační matici srovnej heslo Eric W. Weisstein. Rotation Matri. From MathWorld A Wolfram Web Resource. řevodní vtah jsou přehledně na stránce /rotations/conversions/inde.htm Je třeba dávat poor na použité definice, ab se nesmíchali vorce používající růnou notaci. ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide 3, age 6
7 Osa úhel, kvaternion a rotační vektor 4/ S p r s θ r Eulerova věta o rotaci říká, že každá rotace ve 3 D le repreentovat jako rotace okolo určité os s o určitý úhel θ. Tuto dvojici (s, θ) naýváme osa úhel. Kvaternion popisují rotaci pomocí poloh os rotace s a úhlu otočení θ takto: q = (cos(θ/), sin(θ/)s T ) = O (cos(θ/), sin(θ/)s, sin(θ/)s, sin(θ/)s ) Rotační vektor vužívá skutečnosti, že směrový vektor s definující osu rotace je jednotkový a má ted jen dva stupně volnosti. Rotaci ted můžeme vjádřit vektorem délk tři: v = (θs). Kvaternion jsou ajímavý matematický nástroj. Mei jejich důležité vlastnosti patří všechn 4 souřadnice mají ekvivalentní postavení, q a q popisují stejnou rotaci, v kvaternionech je relativně jednoduché interpolovat rotaci. Úlohu interpolovat rotaci (např. pro manipulaci v robotice nebo pro viualiaci v počítačové grafice) le snadno řešit pomocí kvaternionů. Metoda se naývá Spherical linear interpolation (SLER). Interpolujeme q do q a dostáváme q, interpolační parametr je t, α repreentuje celkový úhel, o který rotujeme (úhel mei kvaternion je polovina tohoto úhlu, absolutní hodnota skalárního součinu nám garantuje kratší rotaci): q = (q q )t q, (7) q = sin(( t)α) q + sin(tα) sin(α) sin(α) q, (8) cos(α/) = q q, (9) t <, >. () Srovnej Eric W. Weisstein. Quaternion. From MathWorld A Wolfram Web Resource. Interpolace v soustavě osa-úhel je rotace okolo dané os, přičemž úhel se mění lineárně od do θ. Rotační vektor je neredundantní a má dobrou topologii takže je hodně používán například v počítačovém vidění při odhadování rotace. Dobrá topologie namená, že blíké vektor (jejich rodíl je malý) repreentují podobné rotace. Rotační vektor spojitě repreentuje rotaci i v okolí nul, atímco repreentaci malých rotací odpovídají silně nespojité Eulerov úhl. ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide 4, age 7
8 Rodriguesův vorec pro rotaci 5/ S p s Rodriguesův vorec pro rotaci vektoru: θ r = r cos θ + (s r ) sin θ + s(s r )( cos θ) r r Rotační matice repreentace osa-úhel: R = I cos θ + [s] sin θ + ss T ( cos θ) O kde [s] je skew smmetric (antismetrická) matice: [s] = s s s s s s Rodriguesův vorec umožňuje vpočítat otočený vektor r nebo jeho koncový bod při nalosti repreentace osa-úhel. Upravený vorec pak dává návod na výpočet rotační matice repreentace osa-úhel. Opačnou transformace je: ( ) trace(r) θ = arccos () r 3, r,3 s = r,3 r 3, () sin θ r, r, ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide 5, age 8
9 Definice Eulerových úhlů 6/ precese nutace 3 rotace Eulerov úhl Matice R má devět koeficientů, ale má hodnost poue tři. Je ted redundantní repreentací, omeující podmínk jsou právě jednotkovost a kolmost vektorů n, t, b: n T t = t T b = b T n = n = t = b = Matici R le snadno konstruovat pomocí Eulerových úhlů. Otočme souřadnicový sstém O okolo os o úhel φ. Dostaneme O. R (φ) = R (θ) = R (ψ) = cos φ sin φ sin φ cos φ cos θ sin θ sin θ cos θ cos ψ sin ψ sin ψ cos ψ (3) (4) (5). Otočme souřadnicový sstém O okolo os o úhel θ. Dostaneme O. 3. Otočme souřadnicový sstém O okolo os o úhel ψ. Dostaneme O b b b. R = R (φ)r (θ)r (ψ) R = cos φ cos ψ cos θ sin φ sin ψ cos θ cos ψ sin φ cos φ sin ψ sin φ sin θ cos ψ sin φ + cos φ cos θ sin ψ cos φ cos θ cos ψ sin φ sin ψ cos φ sin θ sin θ sin ψ cos ψ sin θ cos θ (6) Trojice Eulerových úhlů dává jednonačně otočení v prostoru, poloha v prostoru nedává jednonačně trojici úhlů. Eistují další podobné definice, které mají podobné vlastnosti, ale jiné rovnice. Jestliže je dána matice R, le Eulerov úhl vpočítat porovnání prvků r 33, r 3, r 3. ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide 6, age 9
10 Rotation Matri Resulting from Euler Angles Eulerov úhl podle definice v těchto přednáškách (Asada, Slotine): cos ϕ cos ψ cos ϑ sin ϕ sin ψ cos ϑ cos ψ sin ϕ cos ϕ sin ψ sin ϑ sin ϕ cos ψ sin ϕ + cos ϑ cos ϕ sin ψ cos ϑ cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ cos ϕ sin ϑ sin ϑ sin ψ cos ψ sin ϑ cos ϑ Rotační matice definována úhl Yaw, itch, Roll použitými například v robotu CRS, ted rotujeme postupně okolo,, : cos α cos β cos α sin β sin γ cos γ sin α cos α cos γ sin β + sin α sin γ cos β sin α cos α cos γ + sin α sin β sin γ cos γ sin α sin β cos α sin γ sin β cos β sin γ cos β cos γ Jak vpočítat e námé rotační matice Eulerov úhl Mějme námou matici R (3 3) a smbolickou matici, která vnikla složením tří rotací definovaných třemi úhl. Máme najít tto tři úhl. Smbolická matice, která vnikla rotacemi okolo kolmých os má vláštní tvar, podobný maticím na výše uvedeném slidu. Máme ted řešit rovnici podobnou (ne nutně stejnou) jako rovnice (6) se třemi nenámými φ, θ, ψ. Nejdříve je nutné najít v smbolické matici prvek, který je funkcí jen jedné proměnné (v našem případe je to monom). Tento prvek (v příkladu na třetím řádku ve třetím sloupci) je ve tvaru bud ± cos nebo ± sin. Tento prvek může být přímo použit k naleení hodnot první nenámé. onamenejme, že obecně jsou v každém intervalu délk π dvě řešení. Kdž je určen první úhel, další mohou být určen pomocí funkce atan porovnáním elementů v řádku a sloupci, v kterém se nacháí pivot. Je nutné ošetřit situaci, kd pivot v konstantní matici má hodnotu blíkou ±. Jedná se o degenerovaný případ, kd v každém intervalu délk π máme jen jedno řešení. Dalším problémem v této situaci je, že prvk ve sloupci a řádku pivota nele použít pro určení dalších nenámých, protože konstantní matice obsahuje nul. Soustředíme se ted na blou podmatici a dosadíme již vpočtenou proměnnou. Zjistíme, že daná podmatice je funkcí součtu nebo rodílu nenámých a tak dostáváme obecně jednodimenionální množinu řešení. ři smbolickém řešení můžeme vjádřit tuto množinu. okud úlohu řešíme numerick, můžeme například jeden úhel afiovat (např. ). Obecně bchom měli vužít další omeení daná úlohou. V robotice tato situace tpick indikuje singulární řešení, např. požadavek kontinuit trajektorie nám napovídá, že máme jistit polohu ramene před daným bodem a požadovaný pohb po průchodu daným bodem. Jinou situací, kterou je nutné ošetřit, jsou problém spojené s nepřesností měření nebo výpočtů. T mohou například působit, že prvk v konstantní matici budou větší než a podobně. ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide 7, age
11 Jiné sstém popisu orientace třemi úhl ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide 8, age
12 Srovnání popisů rotace Sstém Smbol Ekvivalent ar. odmínk Matice rotace R 9 orthonormální Vektor os n, t, b R 9 vektor jednotkové, kolmé Eulerov úhl φ, θ, ψ aw, pitch, roll,... 3 Osa, úhel s, θ 4 jednotkový vektor Kvaternion q osa, úhel 4 jednotkový vektor Vektor rotace v osa, úhel 3 Sstém Výhod Nevýhod Užíván R snadné výpočt poloh redundantní Matlab toolbo n, t, b sroumitelný redundantní φ, θ, ψ neredundantní složitá topologie Mitsubishi, Staubli, CRS s, θ sroumitelný redundantní snadná interpolace q snadná interpolace redundantní ABB v dobrá topologie odhadování rotace neredundantní ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide 9, age
13 Transformace souřadnic O p t b n p O u A t w v B Známe souřadnice (polohu) bodu v souřadnicovém sstému O : = p = u v w a hledáme polohu v souřadnicovém sstému O : = p = ravý dolní inde se většinou vtahuje k souřadnicovému sstému, ke kterému daný element patří. ravý horní inde říká, v kterém souřadnicovém sstému jsou souřadnice elementu vjádřen. Například počátek souřadnicového sstému (bod) O má souřadnice v souřadnicovém sstému : O = (,, ) T, ale v souřadnicovém sstému má souřadnice. O = O + t. Geometrick: Algebraick: řepsáno: O = O O + O A + AB + B. = p = t + un + vt + wb. Obrácená transformace: p = t + R p. p = R T t + R T p. ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide, age 3
14 Homogenní souřadnice e h Homogenní souřadnice Zaved me homogenní souřadnice takto: Euklidovské (metrické) Homogenní - projektivní = = = /w /w /w neeistuje (nevlastní bod) = w = w Le snadno ukáat, že v homogenních souřadnicích: kde A je matice 44: Inverní matice: A = A = = A b, [ R t ] [ R T R T t ] ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide, age 4
15 osloupnost transformací souřadnic O t p p p O t O Transformace přes více souřadnicových sstémů v euklidovských souřadnicích a v homogenních souřadnicích: = p = A A p = A ba b = p = t + R p = t + R (t + R p ) = A A A 3A... A n n n. (7) ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide, age 5
16 asivní versus aktivní transformace asivní b b a a γ a b a = R a b (γ) b b a asivní transformace repreentuje měnu souřadnic. ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide 6, age 6
17 asivní versus aktivní transformace - Aktivní a b γ a a b b = R a b ( γ) a = R a b (γ) a = R b a(γ) a b Aktivní transformace repreentuje pohb tuhého tělesa v nepohblivém souřadnicovém sstému. ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide 3, age 7
18 asivní versus aktivní transformace - Srovnání b b a a γ asivní Aktivní. a b b b a a = R a b (γ) b b = R a b ( γ) a = R a b (γ) a = R b a(γ) a a γ a a b b Srovnejte pasivní a aktivní transformaci. ovšimněte si orientace úhlu γ. V robotice budeme nadále používat pasivní transformaci. ovšimněte si indeů u rotační matice. ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide, age 8
Body, vektory, geometrie, algebra
Bod, vektor, geometrie, algebra a A b v B Bod a vektor v geometrii a algebře Pojem bod v geometrii považuji a dostatečně námý a protože jeho definice není matematick snadná, nebudu ho definovat. Jen chci
VíceMechanika. Použité pojmy a zákony mohou být použity na jakékoliv mechanické stroje.
Mechanika Kinematika studuje geometrii pohybu robotu a trajektorie, po kterých se pohybují jednotlivé body. Klíčový pojem je poloha. Statika studuje vliv sil působících na robota v klidu a jejich vliv
VícePopis polohy tělesa. Robotika. Vladimír Smutný. Centrum strojového vnímání. České vysoké učení technické v Praze
Popis poloh těles 1 2 Robotik Popis poloh těles 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Vldimír Smutný Centrum strojového vnímání České vsoké učení technické v Prze 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
VíceMechanika
Mechanika 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Mechanika Kinematika 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VíceKinematika. Kinematika studuje geometrii pohybu robotu a trajektorie, po kterých se pohybují jednotlivé body. Klíčový pojem je poloha.
Kinematika Kinematika studuje geometrii pohybu robotu a trajektorie, po kterých se pohybují jednotlivé body. Klíčový pojem je poloha. Statika studuje vliv sil působících na robota v klidu a jejich vliv
Vícey 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy
36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem
Více6.1 Shrnutí základních poznatků
6.1 Shrnutí ákladních ponatků Prostorová a rovinná napjatost Prostorová napjatost v libovolném bodě tělesa je v pravoúhlé soustavě souřadnic obecně popsána 9 složkami napětí, které le uspořádat do matice
Více4.2. Graf funkce více proměnných
V této kapitole se soustředíme na funkce dvou proměnných. Poue v tomto případě jsme schopni graf funkcí dvou proměnných obrait. Pro funkce tří a více proměnných trácí grafické vjádření smsl. Výklad Definice
Více1 4( 1) Co je řešením rovnice 2y 1 = 3? Co je řešením, pokud přidáme rovnici x + y = 3? Napište
Řešená cvičení lineární algebr I Karel Král 10. října 2017 Tento tet není určen k šíření. Všechn chb v tomto tetu jsou samořejmě áměrné. Reportujte je prosím na adresu kralka@iuuk.mff.cuni... Obsah 1 Cviceni
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
Více1.6 Singulární kvadriky
22 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ neboť B = C =. Z rovnice (1.34) plne, že přímka, procháející singulárním bodem kvadrik má s kvadrikou společný poue tento singulární bod (je-li A ) nebo celá
VíceVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,
VíceRovinná a prostorová napjatost
Rovinná a prostorová napjatost Vdělme v bodě tělesa elementární hranolek o hranách d, d, d Vnitřní síl ve stěnách hranolku se projeví jako napětí na příslušné ploše a le je roložit do směrů souřadnicových
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceRovinná napjatost a Mohrova kružnice
Rovinná napjatost a ohrova kružnice Dvojosý stav napjatosti - ukák anačení orientace napětí v rovině x Na obr. vlevo dole jsou vnačen složk napětí. Kladná orientace napětí x a je v případě, že vektor směřují
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
VíceZ transformace. Definice. Z transformací komplexní posloupnosti f = { } f n z n, (1)
Z transformace Definice Z transformací komplexní posloupnosti f = { roumíme funkci F ( definovanou vtahem F ( = n, ( pokud řada vpravo konverguje aspoň v jednom bodě 0 C Náev Z transformace budeme také
VíceHledané složky vektoru tvoří odvěsny pravoúhlého trojúhelníku:
7 Vektor III Předpoklad: 006 Pedagogická ponámka: Příklad, 4, 5 je možné vnechat, důležité je, ab alespoň 5 minut blo na příklad 7 Pedagogická ponámka: Úvodní příklad vužívám k prokoušení látk minulé hodin
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
Více4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
Vícef( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů
3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)
VíceLineární transformace
Lineární transformace 1995-2015 Josef Pelikán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cuni.c http://cgg.mff.cuni.c/~pepca/ 1 / 28 Požadavk běžně používané transformace posunutí, otočení, většení/menšení, kosení,..
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 9. přednáška: Ortogonalita Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
Více3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou
VícePřímá a inverzní kinematika manipulátoru pro NDT (implementační poznámky) (varianta 2: RRPR manipulátor)
Technická zpráva Katedra kybernetiky, Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Přímá a inverzní kinematika manipulátoru pro NDT (implementační poznámky) (varianta 2: RRPR manipulátor) 22.
VíceDefinice : 1 Bod A Ω En se naývá vnitřní bod oboru Ω, kdž eistuje okolí U A, které celé patří do oboru Ω Bod B se naývá hraniční bod oboru Ω, kdž v ka
1 Diferenciální počet funkcí dvou proměnných 1 Výnačné bod a množin bodů v prostoru Souřadnicová soustava v prostoru Každému bodu v prostoru přiřaujeme v kartéské souřadnicové soustavě uspořádanou trojici
VícePřímková a rovinná soustava sil
Přímková a rovinná soustava sil 1) Souřadný systém - v prostoru - v rovině + y + 2) Síla P ( nebo F) - vektorová veličina - působiště velikost orientace Soustavy sil - přehled Soustavy sil můžeme rodělit
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Více6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
VíceSOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
VíceLingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
Vícel, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky
Kinematické řešení čtyřkloubového mechanismu Dáno: Cíl: l, l, l 3, l, ω 1 konst Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj analyticky určete úhlovou rychlost ω 1 a úhlové zrychlení
Více7 Analytické vyjádření shodnosti
7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
VíceSkládání různoběžných kmitů. Skládání kolmých kmitů. 1) harmonické kmity stejné frekvence :
Skládání různoběžných kmitů Uvědomme si principiální bod tohoto problému : na jediný hmotný bod působí dvě nezávislé pružné síl ve dvou různých směrech. Jednotlivé mechanické pohb, které se budou skládat,
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
Víceanalytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.
4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
Více1 Integrál komplexní funkce pokračování
Integrál komplexní funkce pokračování Definice. Nechť D a F ) je taková funkce, že F ) = f) pro všechna D. Pak F ) naýváme primitivní funkcí k funkci f) v oblasti D. Protože při integraci funkce f po křivce,
VíceVektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky.
5 Vektor II Předpoklad: 4 Umíme už vektor sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složk Př : Na obrázku je nakreslena síla Nakresli do obrázku síl a tak, ab platilo = + Kolik má úloha řešení?
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
VíceF n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.
Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,
VíceMichal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
Vícex 2(A), x y (A) y x (A), 2 f
II.10. Etrém funkcí Věta (nutná podmínka pro lokální etrém). Necht funkce f(, ) je diferencovatelná v bodě A. Má-li funkce f v bodě A lokální etrém, pak gradf(a) = 0. Onačme hlavní minor matice druhých
Více(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení
.. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceINTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE
INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE. Součin 5 4 je roven číslu: a) 4, b), c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není správná. 5 5 5 5 + + 5 5 5 5 + + 4 9 9 4 Správná odpověď je a) Počítání
VíceRotace ve 3D a kvaterniony. Eva Blažková a Zbyněk Šír (MÚ UK) - Rotace ve 3D a kvaterniony 1 / 16
Rotace ve 3D a kvaterniony Eva Blažková a Zbyněk Šír MÚ UK Eva Blažková a Zbyněk Šír (MÚ UK) - Rotace ve 3D a kvaterniony 1 / 16 Eulerovy úhly http://www.youtube.com/watch?v=upsmnytvqqi Eva Blažková a
VíceSouřadnicové výpočty. Geodézie Přednáška
Souřadnicové výpočt Geodézie Přednáška Souřadnicové výpočt strana 2 Souřadnicové výpočt (souřadnicová geometrie) vchází z analtické geometrie zkoumá geometrické tvar pomocí algebraických a analtických
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceMichal Zamboj. December 23, 2016
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
Více13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
VíceFunkce dvou proměnných
Funkce dvou proměnných Funkce dvou proměnných harmonická vlna Postupné příčné vlnění T=2, = 2 ( t, ) Asin t 2 Asin t T v t Asin 2 T Počátek koná harmonický pohb, ten se šíří dál řadou oscilátorů ve směru
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceKLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.
MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve
VíceTrojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.
Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
Vícef(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
Více1 Nulové body holomorfní funkce
Nulové body holomorfní funkce Bod naýváme nulový bod funkce f), jestliže f ) =. Je-li funkce f) holomorfní v bodě, pak le funkci f) v jistém okolí bodu rovinout v Taylorovu řadu: f) = n= a n ) n, a n =
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 1. přednáška 22.9.2016 Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 19 Organizační pokyny přednášející:
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceAnalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii
KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
Více6 Samodružné body a směry afinity
6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
VíceLineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VícePřijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací kouška na MFF UK v Prae Studijní program Matematika, bakalářské studium Studijní program Informatika, bakalářské studium 2013, varianta A U každé deseti úloh je nabíeno pět odpovědí: a, b, c,
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceHisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
VícePoznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 7 OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice jsou velmi důležitou částí matematické analý protože umožňují řešit mimo jiné celou řadu úloh fik a technické prae Při řešení
Více