Základy kvantové teorie (OFY042)
|
|
- Jaromír Kolář
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Příklady na cvičení k přednášce Základy kvantové teorie (OFY042) Zimní semestr 2007/2008, pondělí 2:20-3:50 v M3 Určeno pro 3. ročník Příklady jsou vybírány z různých učebnic a sbírek příkladů. Program cvičení lze nalézt na adrese: broklova/vyuka.php Budu vděčná za jakékoli připomínky směřující k vylepšení tohoto textu nebo přímo cvičení. Zdeňka Broklová mff. cuni.cz)
2 Opakování, základní postuláty a matematika QM.) Mějme dva normované stavy ψ a ψ 2. Pomocí nich vyjádřete normovaný stav ψ 3, který bude kolmý na ψ. Vyjádřete vektor ψ 2 v bázi ψ a ψ 3. 2.) Jak musíme omezit prostor spojitých a spojitě diferencovatelných funkcí, aby operátor p byl hermitovský, pokud pracujeme na a) intervalu (, ) b) konečném intervalu (a, b)? 3.) Spočtěte komutační relace: [ x i, p j ], [ x i, L j ], [ p i, L j ], [ L i, L j ], [ x i, Ĥ], [ p i, Ĥ] 4.) a) U dvou stejných systémů naměřeníme různou energii. Znamená to, že systémy byli před měřením v různých stavech? b) Máme dva zcela stejné systémy ve stejném stavu. V obou nezávisle změříme energii. Mohou se změřené hodnoty se lišit? c) U dvou stejných systému naměříme stejnou energii. Znamená to, že oba systémy byly před měřením ve stejném stavu? 5.) Uvažujme prostor, jehož bázi tvoří 3 vlastní vektory operátoru Q takové, že platí Uvažujme stav Qψ = qψ Qψ2 = 2qψ 2 Qψ3 = 2qψ 3. ψ = 2 (ψ + ψ 2 ) ψ 3. Spočtěte střední hodnotu veličiny Q v tomto stavu, určete možné výsledky měření hodnotu Q a jejich pravděpodobnosti. V jakém stavu bude systém po měření, ve kterém získáme hodnotu 2q? 6.) Najděte vlastní čísla a vlastní funkce operátoru (x + d dx ). 7.) Uvažujme fyzikální veličinu A, která nekomutuje s Hamiltonovým operátorem. A má vlastní stavy ϕ = (ψ + ψ 2 )/ 2 a ϕ 2 = (ψ ψ 2 )/ 2 s vlastními hodnotami a, a 2, kde ψ, ψ 2 jsou vlastní stavy hamiltoniánu s vlastními hodnotami E, E 2. Je-li v čase t = 0 systém ve stavu ϕ, vypočtěte střední hodnotu veličiny A v čase t. 8.) Určete přesnost, se kterou bychom museli určit polohu a rychlost automobilu, pokud bychom chtěli vidět vliv relací neurčitosti? 9.) Svazek protonů s kinetickou energii 0 MeV prošel štěrbinou o velikostí 5 mm. Přesnost nastavení energie je E 0 3 MeV. Porovnejte tuto přesnost s neurčitostí danou Heisenbergovými relacemi neurčitosti. Spočítejte vzdálenost, kterou by musely protony uletět, aby se v kolmém směru odchýlily o 5 mm jen díky vlivu relací neurčitosti. Vztahy pro Kroneckerův a Levi-Civitův symbol Definice: δ ij = i = j, jinak δ ij = 0 Platí: δ ij = δ ji, δ ii = 3, δ ij δ jk = δ ik Definice: ɛ 23 = ɛ 23 = ɛ 32 =, ɛ 32 = ɛ 32 = ɛ 23 =, v ostatních případech ɛ ijk = 0 Platí: ɛ ijk = ɛ jik, ɛ iik = 0, ɛ ijk ɛ ijk = 6, ɛ ijk ɛ ijl = 2δ kl, ɛ ijk ɛ ilm = δ jl δ km δ jm δ kl 2
3 Moment hybnosti 0.) Odvoďte tvar operátoru orbitálního momentu hybnosti ve Schrödingerově reprezentaci ve sférických souřadnicích. Sférické souřadnice: x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ, kde θ (0, π), ϕ = (0, 2π) r = x 2 + y 2 + z 2 ϕ = arctan y x θ = arctan Výsledek: L x = i (sin ϕ θ + cot θ cos ϕ L z = i ϕ, L2 = 2 ( 2 θ 2.) Spočtěte L L. ϕ ), + cot θ ϕ + sin 2 θ x 2 +y 2 z L y = i (cos ϕ θ 2 ϕ 2 ) x = r x r + θ x θ + ϕ x + cot θ sin ϕ ϕ ), ϕ,... 2.) Určete maticové elementy operátoru L z a L x v bázi sférických funkcí Y ml. Operátor L x diagonalizujte a porovnejte jeho vlastní čísla s vlastními čísly operátoru L z. maticová reprezentace: l= m = Y = ψ = ( 3 2 2π ) sin θ eiϕ 0, 0 m = 0 Y 0 = ψ 0 = ( 3 2 π ) cos θ 0, 0 0 m = Y = ψ = ( 3 2 2π ) sin θ e iϕ 0 0, L x = L y = 0 i 0 2 i 0 i L z = i ) Pro moment hybnosti l = ověřte platnost základních vztahů: v maticovém vyjádření. L 2 = L 2 x + L 2 y + L 2 z = L 2, [L x, L y ] = i L z, [L x, L 2 ] = 0 atd., L z l, m >= m l, m >, L 2 l, m >= 2 l(l + ) l, m > Maticová reprezentace 4.) Uvažujme matici (operátor daný touto maticí): Spočtěte její vlastní čísla a příslušné vlastní vektory, oveřte, že vlastní vektory příslušející různým vlastním číslům jsou vzájemně ortogonální. Nalezněte unitární transformaci do báze vlastních vektorů. 5.) Uvažujme dva operátory /2 0 0 Q = 0 / R = 0 /2 0 /
4 Spočtěte jejich vlastní stavy. Rozhodněte, zda operátory komutují. Pokud ano, najděte společný systém vlastních funkcí. Pokud ne, nalezněte vlastní funkce každého zvlášť. 6.) Dokažte, že stopa matice nezávisí na volbě báze, ve které je vyjádřená. 7.) Napište matici, která odpovídá operátoru projekce do jednoho směru (např. do stavu ) v třístavovém systému, 2, 3. x -reprezentace a p-reprezentace 8.) Ukažte, že komutační vztah pro souřadnici a hybnost nelze splnit žádnými konečně rozměrnými maticemi. 9.) Odvoďte tvar operátorů x, p v x-reprezentaci. 20.) Odvoďte tvar operátorů x, p v p-reprezentaci. 2.) Napište v p-reprezentaci Schrödingerovu rovnici pro pohyb částice v potenciálu V. 22.) Částice se nachází ve stavu ψ = a l =, m = + b l =, m = 0 + c l =, m = Vypočtěte L x, L y, L z, L 2 x, L 2 y, L 2 z v tomto stavu. Pozn.: Využijte maticové reprezentace. 23.) Částice s vlastní hodnotou operátoru momentu hybnosti odpovídající l = projdou Stern-Gerlachovým přístrojem mířícím ve směru osy z, kde se roštěpí na tři proudy částic. Proud odpovídající Lz = vedeme do druhého Stern-Gerlachova přístroje orientovaného ve směru osy x. Jaké hodnoty L x a s jakými pravděpodobnostmi naměříme? Harmonický oscilátor ve Fockově reprezentaci Šplhací operátory (anihilační a kreační operátory): â = 2m ω (ωm x + i p) â = 2m ω (ωm x i p) N = â â Vlastní stav N odpovídající vlastnímu číslu n (n = 0,, 2,...) označme n. Potom â n = n n, â n = n + n +. A n = n! (â ) n ) Dokažte, že [â, â ] =, H = ω(n + /2). Najděte komutátory [â, N] a [â, N]. 25.) Najděte maticovou reprezentaci operátorů â a â. Pomocí definičních vztahů pro â, â napište maticové vyjádření operátorů x, p, Ĥ. 26.) Dokažte, že stavy n tvoří ortonormální bázi. 27.) Pomocí vztahu â 0 = 0 vypočtěte vlnovou funkci základního stavu v x-reprezentaci. Napište rekurentní vztah pro ψ n a ověřte, že odpovídá stacionárním stavům spočteným přímo z Schrödingerovy rovnice. 28.) Určete střední hodnoty operátorů x, x 2, p, p 2 ve stacionárních stavech n. Dále ověřte relace neurčitosti a spočítejte podíl střední hodnoty kinetické a potenciální energie ve stacionárních stavech. 4
5 29.) Najděte stav ψ, který je lineární kombinací stavů 0 a a ve kterém je maximální střední hodnota x. V tomto stavu spočítejte také střední hodnotu operátoru hybnosti. Částice v elmag. poli Hamiltonián bezespinové částice v elmag. poli je: H = 2m ( p q A ) 2 + qφ + V 30.) Dokažte, že pro homogenní elektrické a magnetické pole lze potenciály vyjádřit jako: φ = r E a A = /2 r B. 3.) Ukažte, že ve slabém homogenním magnetickém poli lze hamiltonián bezspinové nabité částice psát jako H = 2m p 2 2m q B L. Jaký je význam jednotlivých členů? Jak interakce s magnetickým polem přispívá k energii? 32.) Ukažte, že klasické Hamiltonovy pohybové rovnice odvozené z H odpovídají Newtonovým pohybovým rovnicím, v kterých vystupuje Lorentzova síla. ( pozn. p je kanonicky sdružená hybnost k polohovému vektoru r, je různá od p mech = m v ). 33.) Najděte operátor rychlosti v = (v, v 2, v 3 ) bezspinové částice v elektromagnetickom poli. Vypočtěte komutátor [v i, v j ]. Obecná teorie impulzmomentu Předpokládejme o operátoru J = (J, J 2, J 3 ), že splňuje komutační relace impulzmomentu: [J i, J j ] = iɛ ijk J k, [J i, J 2 ] = 0. A dále označme λm společný vlastní stav J 2, J z, tj. J 2 λm = λ λm, J z λm = m λm. Definujme posunovací operátory J ± = J ± ij 2. (Využijte maticové vyjádřeno operátorů momentu hybnosti.) 34.) Spočtěte komutátory [J 3, J ± ], [J 2, J ± ]. 35.) Vyjádřete J + J a J J + pomocí J 2 a J ) Pomocí předcházejících výsledků nalezněte působení J ± na λm včetně normování. V průběhu výpočtu naleznete i podmínky pro kvantová čísla. 37.) Pomocí maticového vyjádření J ± napište maticově i J x, J y, J z, J ) Najděte střední hodnotu operátoru Ĵx a jeho střední kvadratickou odchylku ve stavu j, m (tj. ve společném vlastním stavu operátorů Ĵ 2 a Ĵz). Pozn. Střední kvadratická odchylka: ( Ĵx) 2 = (Ĵx Ĵx ) 2 39.) Uvažujme částici ve stavu j, m nalezněte střední hodnotu operátoru Ĵ n, tj. operátoru průmětu spinu do směru n a střední hodnoty operátorů Ĵ x 2 a Ĵ y 2. Skládání momentů hybnosti 40.) Ukažte, že báze j m j 2 m 2 a jm (kde j = j + j 2,... j j 2 ) mají stejný počet členů. 4.) Vyjádřete J 2 = ( J I + J II ) 2 pomocí operátorů, jejichž působení na jm známe. Poznámka: J 2 = 2 2 J I + JII + JI + JII + J I 42.) Ukažte, jak lze pomocí šplhacích operátorů skložit dva impulzmomenty m, m 2. JII + 5
6 43.) Složte orbitální moment L se spinem /2. Najděte vlastní stavy celkového momentu hybnosti. 44.) Pomocí tabulek Clebsh-Gordanových koeficientů napište stavy s m = /2, které vzniknou složením momentu l = 2 a s = /2. Spin /2 maticová reprezentace: s = ) /2 ) ( ( 0, = + = =, 2 2 0, = = = 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 0 i 0 S x = S 2 0 y = S 2 i 0 z = 2 0 (( ) ( ) ( pozn.: Pauliho matice 0 0 i 0 σ = ( σ x, σ y, σ z ) =,, 0 i ) Vlastnosti Pauliho matic - přímým výpočtem ukažte: [σ i, σ j ] = 2iɛ ijk σ k σ i σ j = δ ij + iɛ ijk σ k, {σ i, σ j } σ i σ j + σ j, σ i = 2δ ij 46.) Napište operátor průmětu spinu do obecného směru n = (n x, n y, n z ) = (cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ ). Najděte jeho vlastní čísla a vlastní vektory. 47.) a) Napište operátor průmětu spinu elektronu do směru (,0,). Najděte jeho vlastní hodnoty a funkce. Pracujte v reprezentaci Ŝz. b) Pomocí nehomogenního magnetického pole (jako v S-G experimentu) vytvoříme svazek elektronů s průmětem spinu do kladného směru osy z. Tento svazek necháme procházet dalším magnetem natočeným ve výše popsaném směru. Popište, co se stane (včetně číselných hodnot). ( ) a 48.) Nechť částice je ve spinovém stavu, kde a, b jsou reálná. Spočítejte pravděpodobnost naměření jednotlivých hodnot a střední hodnotu průmětu spinu do směru x, b resp. y, resp. z. ( ) cos(θ/2) 49.) Pro částici ve spinovém stavu určete možné naměřitelné hodnoty pro sin(θ/2) S z, příslušné pravděpodobnosti a střední hodnotu S z v tomto stavu. 50.) Spočtěte [S 2 x, S z ] pro spin /2. 5.) Spočtěte pravděpodobnost naměření obou průmětů spinu do směru, který je odchýlen o úhel θ od osy z (ϕ = 0) ve stavu z+, tj. ve stavu, který odpovídá vlastnímu stavu s vlastní hodnotou +/2 průmětu spinu do osy z. 52.) Pomocí Stern-Gerlachova zařízení natočeného ve směru z vybereme z původně nepolarizovaného svazku pouze elektrony, které mají průmět spinu do osy z roven + /2. Tento svazek necháme projít dalším Stern-Gerlachovým přístrojem natočeným ve směru x, pokud dojde k rozštěpení svazku vybereme opět svazek s kladným průmetem spinu. Ten necháme projít Stern-Gerlachovým přístrojem natočeným opět ve směru z. Spočtěte poměry, v jakých se štěpí svazky ve všech přístrojích, a vysvětlete rozdíl, oproti klasickému chování. )) 6
7 Pauliho rovnice Pauliho( hamiltonián (I je jednotková matice 2x2): H P = ( p q ) A ) 2 + qφ + V I + µ 2m B σ B + HSO, kde H SO L S 53.) Rozepište H P do matic. Variační počet 54.) Uvažujme částici v nekonečné potenciální jámě. Pomocí variačního počtu nalezněte vlnovou funkci základního stavu ve tvaru ψ = a λ x λ. Určete o kolik se liší energie tohoto základního stavu od přesného řešení. Stacionární poruchový počet 55.) Elektron je vázaný na úsečku L/2 x L/2. Najděte korekce k energii dané malou poruchou V (x) = αx (resp. V (x) = βx 2 ). Jak se změní energie fotonu emitovaného při přechodu z prvního excitovaného stavu do základního? 56.) Jednorozměrný harmonický oscilátor s nábojem e vložíme do slabého elektrostatického pole s intenzitou E. Určete změnu energie základního stavu danou touto poruchou v prvním a druhém řádu poruchové teorie. Spočítejte i přesnou hodnotu energie a porovnejte ji s výsledkem poruchového výpočtu. 57.) Uvažujme neporušený hamiltonián H 0 a poruchu V dané maticemi: c 0 H 0 = V = c c Určete: - Korekci k energii v prvním řádu poruchového počtu. - Korekci k energii v druhém řádu poruchového počtu. - Korekci k vlastním stavům v prvním řádu poruchového počtu. - Korekci k vlastním stavům řádu poruchového počtu. - Rozviňte přesné energie v mocninách c a porovnejte s předchozími výsledky. 58.) Uvažujme elektron se spinem /2 v silném magnetickém poli B ve směru osy z. Toto pole složíme se slabým polem b ve směru osy x. Najděte vlastní hodnoty energie a spinory přesně a pomocí poruchové metody. (Řešte pouze spinovou část Pauliho rovnice) Stacionární poruchový počet pro degenerovaný případ 59.) Ilustrujte použití poruchového počtu v degenerovaném případě na dvojhladinovém systému s energií E, kde porucha je popsána jako V = V 2 + V ) Starkův efekt - Jak se změní energie atomu vodíku v základním a prvním excitovaném stavu, pokud je vložen do homogenního elektrického pole? Počítejte v prvním řádu poruchové teorie a určete vlastní stavy přizpůsobené poruše. 7
8 Nestacionární poruchový počet 6.) LHO je umístěn v kondenzátoru a v čase t je v základním stavu. Zapneme a vypneme pole uvnitř kondenzátoru ɛ = ɛ 0 exp( t 2 /τ 2 ). Určete pravděpodobnost, že v čase t bude oscilátor v excitovaném stavu. Diskutujte vztah mezi pravděpodobností a velikosti parametru τ. 62.) Porucha konstantní v čase - v čase t = 0 je systém ve stacionárním stavu, v tomto čase zapneme konstantní poruchu. Spočtěte pravděpodobnost přechodu do jiného stacionárního stavu v daném čase t > ) Porucha periodická v čase - v čase t = 0 začne působit porucha ve tvaru V = V exp(iωt)+v exp( iω), určete pravděpodobnost přechodu z počátečního stacionárního stavu i do koncového stacionárního stavu f v čase t > 0. Částice a atomy v elmag. poli 64.) Uvažujete nabitou částici v homogenním magnetickém poli (A = ( By, 0, 0)). Najděte přesné řešení pro energie - tzv. Landauovy hladiny. (Hint: Vlnovou funkci předpokládejte ve tvaru ψ( x ) = χ(y)e i (pxx+pzz) ). 65.) LS-vazba je popsána ĤLS = f (r) LS L S. Ukažte, že je diagonální ve společné bázi vlastních vektorů operátorů 2 L, 2 S, 2 J, J z, kde J = L + S. 66.) Zeemanův jev - atom ve slabém homogenním magnetickém poli. a) Pro bezspinový eletron ukažte, že dojde k úplnému sejmutí degenerace vůči m. b) Uvažujte reálný elektron se spinem /2, H = H 0 +H LS +H B, kde H B = e B (L 2mc z+2s z ). b) Uvažujme velmi slabé mag. pole, které přidáme jako poruchu. b2) Uvažujme silnější magnetické pole, takže LS-vazbu přidáme jako poruchu. Vícečásticové systémy 67.) Separace těžišťových a relativních souřadnic v Schrödingerově rovnici se sféricky symetrickým potenciálem. 68.) Ukažte, že vlnová funkce pro dvě (resp. tři) nerozlišitelné částice musí být buď symetrická nebo antisymetrická. Vycházejte z toho, že vícečásticová vlnová funkce musí být vlastní funkcí operátoru permutace. 69.) Ve stavu s S = a L = 0 je potenciální energie neutronu a protonu (v těžišťovém systému) popsána funkcí V (r) = V 0 exp( r/a), kde a = 2, m a V 0 = 32 MeV. Variační metodou odhadněte vazbovou energii deuteronu. (Volte zkušební funkci ve tvaru φ(r) = A exp( αr), kde α je volný parametr a A je dáno normováním.) Porovnejte s experimentální hodnotou -2,225 MeV. 70.) Zahrňte vzájemnou interakci obou elektronů v atomu helia do energie základního stavu a) poruchovou metodou b) variační metodou (tvar funkce volte jako bez zahrnutí vzájemné interakce, parametrem 8
9 je v ní uvedený náboj jádra Z - stínění jádra druhým elektronem) c) jak by byla zahrnuta symetrie/antisymetrie prostorové části vlnové funkce při zahrnutí možných spinových stavů, jak se to projeví na spektru helia. 9
Kvantová mechanika (UFY100)
Cvičení k přednášce Kvantová mechanika (UFY100) Letní semestr 2004/2005, Úterý 12:25-13:55 v M4 Určeno pro 2. ročník učitelství fyziky pro SŠ Následující text obsahuje stručný přehled jednotlivých cvičení
VíceÚlohy k přednášce Kvantová mechanika (UFY100)
Úlohy k přednášce Kvantová mechanika (UFY100) Určeno pro 2. ročník učitelství fyziky pro SŠ Poslední úpravy: 12. března 2014 Následující text obsahuje stručná zadání úloh k přednášce, z části řešená na
VíceHamiltonián popisující atom vodíku ve vnějším magnetickém poli:
Orbitální a spinový magnetický moment a jejich interakce s vnějším polem Vše na příkladu atomu H: Elektron (e - ) a jádro (u atomu H pouze p + ) mají vlastní magnetický moment (= spin). Tyto dva dipóly
Více6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných. Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti.
6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti Víme už tedy téměř vše o operátorech Jsou to vlastně měřící přístroje v kvantové
VíceOd kvantové mechaniky k chemii
Od kvantové mechaniky k chemii Jan Řezáč UOCHB AV ČR 19. září 2017 Jan Řezáč (UOCHB AV ČR) Od kvantové mechaniky k chemii 19. září 2017 1 / 33 Úvod Vztah mezi molekulovou strukturou a makroskopickými vlastnostmi
Vícef x = f y j i y j x i y = f(x), y = f(y),
Cvičení 1 Definice δ ij, ε ijk, Einsteinovo sumační pravidlo, δ ii, ε ijk ε lmk. Cvičení 2 Štoll, Tolar: D3.55, D3.63 Cvičení 3 Zopakujte si větu o derivovování složené funkce více proměnných (chain rule).
VíceLaserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky.
Laserová technika 1 Aktivní prostředí Šíření rezonančního záření dvouhladinovým prostředím Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 22. prosince 2016 Program
VíceŘešit atom vodíku znamená nalézt řešení Schrödingerovy rovnice s příslušným hamiltoniánem. 1 4πǫ 0. 2m e
8 Atom vodíku Správné řešení atomu vodíku je jedním z velkých vítězství kvantové mechaniky. Podle klasické fyziky náboj, který se pohybuje se zrychlením (elektron obíhající vodíkové jádro proton), by měl
VíceOperátory obecně (viz QMCA s. 88) je matematický předpis který, pokud je aplikován na funkci, převádí ji na
4 Matematická vsuvka: Operátory na Hilbertově prostoru. Popis vlastností kvantové částice. Operátory rychlosti a polohy kvantové částice. Princip korespondence. Vlastních stavy a spektra operátorů, jejich
VícePLANCK EINSTEIN BOHR de BROGLIE
KVANTOVÁ MECHANIKA PLANCK 1858-1947 EINSTEIN 1879-1955 BOHR 1885-1962 de BROGLIE 1892-1987 HEISENBERG 1901-1976 SCHRÖDINGER 1887-1961 BORN 1882-1970 JORDAN 1902-1980 PAULI 1900-1958 DIRAC 1902-1984 VŠECHNO
VíceOctober 1, Interpretujte význam jejích parametrů. Vypočítejte jeho momenty. Napište vzorec pro. I(n, a, b) :=
Kvantová fyzika cvičení s návody a výsledky October 1, 007 Návody zde uvedené jsou záměrně uváděny ve stručné formě, jako nápověda a vodítko, jak při řešení úloh postupovat; nepředstavují a nenahrazují
VíceElementární částice. 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony. 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model
Elementární částice 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model I.S. Hughes: Elementary Particles M. Leon: Particle Physics W.S.C. Williams Nuclear and Particle
VíceÚvod do moderní fyziky. lekce 3 stavba a struktura atomu
Úvod do moderní fyziky lekce 3 stavba a struktura atomu Vývoj představ o stavbě atomu 1904 J. J. Thomson pudinkový model atomu 1909 H. Geiger, E. Marsden experiment s ozařováním zlaté fólie alfa částicemi
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
VíceTheory Česky (Czech Republic)
Q3-1 Velký hadronový urychlovač (10 bodů) Než se do toho pustíte, přečtěte si prosím obecné pokyny v oddělené obálce. V této úloze se budeme bavit o fyzice částicového urychlovače LHC (Large Hadron Collider
VíceAtom vodíku. Nejjednodušší soustava: p + e Řešitelná exaktně. Kulová symetrie. Potenciální energie mezi p + e. e =
Atom vodíku Nejjednodušší soustava: p + e Řešitelná exaktně Kulová symetrie Potenciální energie mezi p + e V 2 e = 4πε r 0 1 Polární souřadnice využití kulové symetrie atomu Ψ(x,y,z) Ψ(r,θ, φ) x =? y=?
VíceAb initio výpočty v chemii a biochemii
Ab initio výpočty v chemii a biochemii Doc. RNDr. Ing. Jaroslav Burda, CSc., jaroslav.burda@mff.cuni.cz Dr. Vladimír Sychrovský vladimir.sychrovsky@uochb.cas.cz Studijní literatura Szabo A., Ostlund N.S.
Více3 Posunovací operátory, harmonický oscilátor
3 Posunovací operátory, harmonický oscilátor 3.1 Jednoduchý algebraický systém Mějme operátor  a operátor  k němu sdružený, které mezi sebou splňují komutační relace 1 [Â, = m, m R +. (3.1.1) Definujme
VíceOperátory a maticové elementy
Operátory a matice Operátory a maticové elementy operátory je výhodné reprezentovat maticemi maticové elementy operátorů jsou dány vztahy mezi Slaterovými determinanty obsahujícími ortonormální orbitaly
VícePříklad 1: Komutační relace [d/dx, x] Příklad 2: Operátor B = i d/dx
1 Příklad 1: Komutační relace [d/, x] Mějme na dva operátory: ˆ d/ a ˆ 5 D X x, například na prvek x působí takto Určeme jejich komutátor ˆ 5 d 5 4 ˆ 5 5 6 D x x 5 x, X x xx x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d d [ DX, ] f
VíceObsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD TEORETICKÁ MECHANIKA...15
Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD...11 1. TEORETICKÁ MECHANIKA...15 1.1 INTEGRÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY... 16 1.1.1 Základní pojmy z mechaniky... 16 1.1.2 Integrální principy... 18 1.1.3 Hamiltonův princip nejmenší
VíceLehký úvod do kvantové teorie II
1 Lehký úvod do kvantové teorie II 5 Harmonický oscilátor Na příkladu harmonického oscilátoru, jehož klasické řešení známe z Fyziky 1, si ukážeme typické postupy při hledání vlastních hodnot operátoru
Více1 Vektorové prostory a podprostory
Pro nahrazení účasti v jednotlivých cvičeních (resp. pro studenty kombinované formy) je dostačující vypracování a odevzdání tučně vyznačených příkladů. 1 Vektorové prostory a podprostory Definujte vektorový
VíceKvantová mechanika cvičení s návody a výsledky. Wiki Skriptum FJFI
Kvantová mechanika cvičení s návody a výsledky Wiki Skriptum FJFI Ladislav Hlavatý, Libor Šnobl a Martin Štefaňák 8. září 7 Kapitola Klasická mechanika a statistická fyzika Cvičení Napište rozdělovací
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceFyzika atomového jádra
Fyzika atomového jádra (NJSF064) František Knapp http://www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/~knapp/jf/ frantisek.knapp@mff.cuni.cz Slupkový model jádra evidence magických čísel: hmoty, separační energie, vazbové
VíceDiskutujte, jak široký bude pás spojený s fosforescencí versus fluorescencí. Udělejte odhad v cm -1.
S použitím modelu volného elektronu (=částice v krabici) spočtěte vlnovou délku a vlnočet nejdlouhovlnějšího elektronového přechodu u molekuly dekapentaenu a oktatetraenu. Diskutujte polohu absorpčního
Víceem do konce semestru. Obsah Vetknutý nosník, str. 8 Problém č.8: Průhyb nosníku - Ritzova metoda
Zápočtové problémy Na následujících stránkách naleznete druhou sérii zápočtových problémů věnovanou nosníkům. Ti, co ještě nemají žádný problém přidělený, si mohou vybrat libovolný z nich. Řešení můžete
Více15 Experimentální základy kvantové hypotézy
5 Experimentální základy kvantové hypotézy Částicové vlastnosti světla a vlnové vlastnosti částic. Planckova kvantová hypotéza, foton, fotoelektrický jev. De Broglieova hypotéza, relace neurčitosti. 5.
Více17 Vlastnosti molekul
17 Vlastnosti molekul Experimentálně molekuly charakterizujeme pomocí nejrůznějších vlastností: můžeme změřit třeba NMR posuny, elektrické či magnetické parametry či třeba jejich optickou otáčivost. Tyto
VíceKvantová mechanika ve 40 minutách
Stručný průvodce konečněrozměrnou kvantovou mechanikou České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Úvod do kryptologie 6. 5. 2010 Program 1 Od klasické mechaniky k mechanice
Více1. Kvantové jámy. Tabulka 1: Efektivní hmotnosti nosičů v krystalech GaAs, AlAs, v jednotkách hmotnosti volného elektronu m o.
. Kvantové jámy Pokročilé metody růstu krystalů po jednotlivých vrstvách (jako MBE) dovolují vytvořit si v krystalu libovolný potenciál. Jeden z hojně používaných materiálů je: GaAs, AlAs a jejich ternární
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VícePřednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno
Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno 1 Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno Struktura
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Vícez Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin
Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme
Víceelektrony v pevné látce verze 1. prosince 2016
F6122 Základy fyziky pevných látek seminář elektrony v pevné látce verze 1. prosince 2016 1 Drudeho model volných elektronů 1 1.1 Mathiessenovo pravidlo............................................... 1
VíceFyzika II, FMMI. 1. Elektrostatické pole
Fyzika II, FMMI 1. Elektrostatické pole 1.1 Jaká je velikost celkového náboje (kladného i záporného), který je obsažen v 5 kg železa? Předpokládejme, že by se tento náboj rovnoměrně rozmístil do dvou malých
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceZajímavé vlastnosti sluneční atmosféry: magnetická a rychlostní pole
Zajímavé vlastnosti sluneční atmosféry: magnetická a rychlostní pole Spektroskopie (nejen) ve sluneční fyzice LS 2011/2012 Michal Švanda Astronomický ústav MFF UK Astronomický ústav AV ČR Vliv na tvar
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceMatematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v
VíceCvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
VíceATOMOVÁ SPEKTROMETRIE
ATOMOVÁ SPEKTROMETRIE Atomová spektrometrie valenčních e - 1. OES (AES). AAS 3. AFS 1 Atomová spektra čárová spektra Tok záření P - množství zářivé energie (Q E ) přenesené od zdroje za jednotku času.
VíceVybrané podivnosti kvantové mechaniky
Vybrané podivnosti kvantové mechaniky Pole působnosti kvantové mechaniky Středem zájmu KM jsou mikroskopické objekty Typické rozměry 10 10 až 10 16 m Typické energie 10 22 až 10 12 J Studované objekty:
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
VíceLinearní algebra příklady
Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového
VíceFyzika pro chemiky II
Fyzika pro chemiky II P. Klang, J. Novák, R. Štoudek, Ústav fyziky kondenzovaných látek, PřF MU Brno 18. února 2004 1 Optika 1. Rovinná elektromagnetická vlna o frekvenci f = 5.45 10 14 Hz polarizovaná
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
Více2. Elektrotechnické materiály
. Elektrotechnické materiály Předpokladem vhodného využití elektrotechnických materiálů v konstrukci elektrotechnických součástek a zařízení je znalost jejich vlastností. Elektrické vlastnosti materiálů
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
VíceOddělení pohybu elektronů a jader
Oddělení pohybu elektronů a ader Adiabatická aproximace Born-Oppenheimerova aproximace Důležité vztahy sou 4, 5, 7, 0,,, udělal sem to zbytečně podrobně, e to samostatný okruh Separace translačního pohybu:
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
VíceElektronový obal atomu
Elektronový obal atomu Vlnění o frekvenci v se může chovat jako proud částic (kvant - fotonů) o energii E = h.v Částice pohybující se s hybností p se může chovat jako vlna o vlnové délce λ = h/p Kde h
VíceZeemanův jev. 1 Úvod (1)
Zeemanův jev Tereza Gerguri (Gymnázium Slovanské náměstí, Brno) Stanislav Marek (Gymnázium Slovanské náměstí, Brno) Michal Schulz (Gymnázium Komenského, Havířov) Abstrakt Cílem našeho experimentu je dokázat
Více1. 3 ŘEŠENÍ SR PRO ATOM VODÍKU
1. Atomová fyzika 61 1. 3 ŘEŠENÍ SR PRO ATOM VODÍKU V této kapitole se dozvíte: jak se v rámci kvantové teorie popisuje atom vodíku; které fyzikální informace dostaneme řešením SR pro atom vodíku; k čemu
VíceELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Magnetická síla a moment sil
ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Magnetická síla a moment sil Peter Dourmashkin MIT 006, překlad: Jan Pacák (007) Obsah 6. MAGNETICKÁ SÍLA A MOMENT SIL 3 6.1 ÚKOLY 3 ÚLOHA 1: HMOTNOSTNÍ
VíceFyzika IV. 1) orbitální magnetický moment (... moment proudové smyčky) gyromagnetický poměr: kvantování: Bohrův magneton: 2) spinový magnetický moment
λ=21 cm 1) orbitální magnetický moment (... moment proudové smyčky) μ I S gyromagnetický poměr: kvantování: Bohrův magneton: 2) spinový magnetický moment 2 Zeemanův jev - rozštěpení spektrálních čar v
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
VíceMatematické metody kvantové mechaniky
Matematické metody kvantové mechaniky Seminář současné matematiky Ing. Tomáš Kalvoda tomas.kalvoda@fit.cvut.cz KM FJFI & KTI FIT ČVUT místnost M102, FIT 11. listopadu 2010 Kalvoda (ČVUT) Seminář současné
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceElektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r
Záření Hertzova dipólu, kulové vlny, Rovnice elektromagnetického pole jsou vektorové diferenciální rovnice a podle symetrie bývá vhodné je řešit v křivočarých souřadnicích. Základní diferenciální operátory
Více(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus.
(1 [B] Nechť A : R 6 R 6 je lineární zobrazební takové, že A 26 = I. Najděte lineární prostory V 1, V 2 a V 3 takové, že R 6 = V 1 V 2 V 3 dim V 1 = dim V 2 = dim V 3 AV 1 V 1, AV 2 V 2 a AV 3 V 3 (2 [B]
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
VíceNástin formální stavby kvantové mechaniky
Nástin formální stavby kvantové mechaniky Karel Smolek Ústav technické a experimentální fyziky, ČVUT Komplexní čísla Pro každé reálné číslo platí, že jeho druhá mocnina je nezáporné číslo. Např. 3 2 =
VíceŘešení: Nejdříve musíme určit sílu, kterou působí kladka proti směru pohybu padajícího vědra a napíná tak lano. Moment síly otáčení kladky je:
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium - 16 Studijní program Fyzika - všechny obory kromě Učitelství fyziky-matematiky pro střední školy, Varianta A Příklad 1 (5 bodů) Jak dlouho bude padat
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Víceplochy oddělí. Dále určete vzdálenost d mezi místem jeho dopadu na
Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností
VíceZáklady Mössbauerovy spektroskopie. Libor Machala
Základy Mössbauerovy spektroskopie Libor Machala Rudolf L. Mössbauer 1958: jev bezodrazové rezonanční absorpce záření gama atomovým jádrem 1961: Nobelova cena Analogie s rezonanční absorpcí akustických
VíceElektronový obal atomu
Elektronový obal atomu Ondřej Havlíček.ročník F-Vt/SŠ Jsoucno je vždy něco, co jsme si sami zkonstruovali ve své mysli. Podstata takovýchto konstrukcí nespočívá v tom, že by byly odvozeny ze smyslových
Více21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic
21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j
VícePříklad 3 (25 bodů) Jakou rychlost musí mít difrakčním úhlu 120? -částice, abychom pozorovali difrakční maximum od rovin d hkl = 0,82 Å na
Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností
VíceInovace studia molekulární a buněčné biologie reg. č. CZ.1.07/2.2.00/
Inovace studia molekulární a buněčné biologie reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0354 Předmět: LRR/CHPB1/Chemie pro biology 1 Elektronový obal Mgr. Karel Doležal Dr. Cíl přednášky: seznámit posluchače se stavbou
VíceVibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek
Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek Atomy vázané v mřížce nejsou v klidu. Míru jejich pohybu vyjadřuje podobně jako u plynů a kapalin teplota. - Elastické vlny v kontinuu neatomární
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceInovace studia molekulární a buněčné biologie
Investice do rozvoje vzdělávání Inovace studia molekulární a buněčné biologie Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Investice do rozvoje vzdělávání
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceFyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole
Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole 1. Určete skalární a vektorový součin dvou obecných vektorů AA a BB a popište, jak závisí výsledky těchto součinů na úhlu
VíceATOM VODÍKU MODEL : STOJÍCÍ BODOVÉ JÁDRO A ELEKTRON VZÁJEMNĚ ELEKTROSTATICKY INTERAGUJÍCÍ SCHRÖDINGEROVA ROVNICE PRO PŘÍPAD POTENCIÁLNÍ ENERGIE.
ATOMY + MOLEKULY ATOM VODÍKU MODEL : STOJÍCÍ BODOVÉ JÁDRO A ELEKTRON VZÁJEMNĚ ELEKTROSTATICKY INTERAGUJÍCÍ SCHRÖDINGEROVA ROVNICE H ˆψ = Eψ PRO PŘÍPAD POTENCIÁLNÍ ENERGIE Vˆ = Ze 2 4πε o r ŘEŠENÍ HLEDÁME
VíceElektronový obal atomu
Elektronový obal atomu Chemické vlastnosti atomů (a molekul) jsou určeny vlastnostmi elektronového obalu. Chceme znát energii a prostorové rozložení elektronů Znalosti o elektronovém obalu byly získány
VícePRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne:
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. Úloha č. VII Název: Studium kmitů vázaných oscilátorů Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne: 27. 2. 2012 Odevzdal
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceFourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze
Osnova přednášky na 31 kolokviu Krystalografické společnosti Výpočetní metody v rtg a neutronové strukturní analýze Nové Hrady, 16 20 6 2003 Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze
VíceOptické spektroskopie 1 LS 2014/15
Optické spektroskopie 1 LS 2014/15 Martin Kubala 585634179 mkubala@prfnw.upol.cz 1.Úvod Velikosti objektů v přírodě Dítě ~ 1 m (10 0 m) Prst ~ 2 cm (10-2 m) Vlas ~ 0.1 mm (10-4 m) Buňka ~ 20 m (10-5 m)
Vícepřičemž předpokládáme A malé, U zahrnuje coulombické členy. Když roznásobíme závorku, p 2 reprezentuje kinetickou energii nabitých částic, člen
Výběrová pravidla Absorpce/stim. emise Kde se výběrová pravidla vezmou? Použijeme semiklasické přiblížení, tzn. s nabitými částicemi (s indexy 1...N) zacházíme kvantově, s vnějším elektromagnetickým polem
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceFyzika atomového jádra (FAJ) Petr Veselý Ústav Jaderné fyziky, Česká Akademie Věd www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/~vesely/faj/faj.pdf
Fyzika atomového jádra (FAJ) Petr Veselý Ústav Jaderné fyziky, Česká Akademie Věd www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/~vesely/faj/faj.pdf Letní semestr 2017 Motivace Studium jaderné struktury: - široká škála systémů
VíceÚvod do kvantového počítání
2. přednáška Katedra počítačů, Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze 17. března 2005 Opakování Část I Přehled z minulé hodiny Opakování Alternativní výpočetní modely Kvantové počítače
VíceDefinice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)
14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
VíceNALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
VícePraktikum III - Optika
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Praktikum III - Optika Úloha č. 13 Název: Vlastnosti rentgenového záření Pracoval: Matyáš Řehák stud.sk.: 13 dne: 3. 4. 2008 Odevzdal
VíceÚvod do laserové techniky
Úvod do laserové techniky Světlo jako elektromagnetické záření I. část Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické v Praze jan.sulc@fjfi.cvut.cz 5. října 2016 Kontakty Ing. Jan
VíceZáklady kvantové mechaniky
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Základy kvantové mechaniky Tomáš Tyc Brno 006 Tento text je určen jako pomůcka pro porozumění přednáškám z předmětu Základy
VíceSIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY
SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)
Více