Zadání semestrálních prací 2NU, 2015/16 doc. Martišek

Transkript

1 Zadání semestrálních prací NU, 0/6 doc. Martišek Každý(á) student(ka) najde u svého jména čísla dvou úloh, které vypracuje. Seznam zadání a vzor vypracování následuje. Výuka Ca - Út :00 (sudý i lichý) Student Os. č Ročník Skup. Prog. Úlohy Aubrecht Lukáš 8870 /I. B/ BS-P, 8 Barla Matej 8 /I. B/ BS-P, 7 Beňo Tomáš 8 /I. B/ BS-P, 6 Bobková Veronika 70 /I. B/ BS-P, Czudek Szymon 880 /I. A/6 BS-P, 6 Gricová Monika 708 /I. A/9 BS-P 6, 7 Havlíček Matěj 89 /I. B/ BS-P 7, 8 Havlínová Denisa 860 /I. D/ BS-P 8, 9 Chlaň Jakub 899 /I. B/ BS-P 9, 0 0 Chlupová Monika 8606 /I. B/ BS-P 0, 9 Kabát Jakub 896 /I. B/ BS-P, 8 Kollárik Rastislav 89 /I. B/ BS-P, 7 Linda Jakub 806 /I. B/ BS-P, 8 Lysek Marek 8006 /I. B/ BS-P, 7 Mišáková Liliana 7 /I. C/ BS-P, 6 6 Mráz Kryštof 80 /I. B/ BS-P 6, 7 Musil Tomáš 8707 /I. B/ BS-P, 8 Nepovím Lukáš 6008 /I. C/ BS-P, 9 Nyékyová Dominika 878 /I. B/ BS-P, 0 Petr Jan 88 /I. B/ BS-P, Pribyl Oliver 8786 /I. B/ BS-P, Pykal Vojtěch 807 /I. B/ BS-P 6, 0 Schäffer Matúš 878 /I. B/ BS-P 7, 9 Španko Dominik 80 /I. B/ BS-P 8, 8 Tušim Tomáš 868 /I. B/ BS-P 9, 7

2 Výuka Ca - Út 6:00 (sudý i lichý) Student Os. č Ročník Skup. Prog. Úlohy Abrahám Jan 89 /I. A/7 BS-P, 8 Csintalan Radoslav 8809 /I. C/7 BS-P, 7 Faltýnek Michal 88 /I. A/7 BS-P, 6 Galík Tomáš 898 /I. A/7 BS-P, Harnoš Martin 876 /I. A/7 BS-P, 6 Hudaček Ján 88 /I. A/7 BS-P 6, 7 Juráš Bohuslav 807 /I. A/7 BS-P 7, 8 Kareš Martin 8 /I. A/7 BS-P 8, 9 Kasal Antonín 8968 /I. A/7 BS-P 9, 0 0 Kastner Dominik 8 /I. A/7 BS-P 0, 9 Koudelka Roman 86 /I. A/7 BS-P, 8 Križan Peter 8 /I. A/7 BS-P, 7 Magdon Jan 808 /I. A/7 BS-P, 8 Miklis Peter 89 /I. B/ BS-P, 7 Pažourek Josef 89 /I. A/7 BS-P, 6 6 Petrskovský Tomáš 86 /I. B/ BS-P 6, 7 Sýkora Martin 809 /I. A/7 BS-P, 8 Šatný Patrik 88 /I. A/7 BS-P, 9 Šuráň David 808 /I. A/8 BS-P, 0 Taoufik Ismael 8 /I. A/8 BS-P, Tmej Tomáš 866 /I. A/7 BS-P, Vnučko Daniel 896 /I. A/7 BS-P 6, 0 Zendulka Štěpán 88 /I. B/7 BS-P 7, 9 Zýbal Jan 88 /I. A/6 BS-P 9, 7

3 Výuka Ca - St :00 (sudý i lichý) Student Os. č Ročník Skup. Prog. Úlohy Boleloucký Václav 7 /I. B/8 BS-P, 8 Caha Antonín 80 /I. B/6 BS-P, 7 Fajkus Marek 890 /I. B/6 BS-P, 6 Fischer Jiří 89 /I. B/6 BS-P, Franke Jakub 8690 /I. B/6 BS-P, 6 Freiwald Michal 88 /I. B/6 BS-P 6, 7 Hájek Vojtěch 86 /I. B/6 BS-P 7, 8 Horák Filip 87 /I. B/6 BS-P 8, 9 Hykolli Denis 890 /I. B/6 BS-P 9, 0 0 Kadlec Jan 896 /I. B/6 BS-P 0, 9 Konečný Marcel 7 /I. B/6 BS-P, 8 Konvičný Denis 8977 /I. B/6 BS-P, 7 Krajča Martin 80 /I. B/6 BS-P, 8 Krček Aleš 867 /I. B/6 BS-P, 7 Malý Martin 878 /I. B/6 BS-P, 6 6 Man Lukáš 80 /I. B/6 BS-P 6, 7 Mazura František 70 /I. B/7 BS-P, 8 Melichar Marek 8 /I. B/ BS-P, 9 Michálek Mojmír Cyril 870 /I. B/6 BS-P, 0 Pažítková Monika 807 /I. B/6 BS-P, Rožnovják David 886 /I. B/6 BS-P, Staš Jakub 7 /I. B/9 BS-P 6, 0 Strouhal Lukáš 8 /I. B/6 BS-P 7, 9 Šmíd Josef 8 /I. B/6 BS-P 8, 8 Valtrová Martina 7090 /I. A/ BS-P 9, 7 6 Vorlíček Vít 86 /I. B/6 BS-P 0, 6

4 Výuka Ca - Čt 8:00 (sudý i lichý) Student Os. č Ročník Skup. Prog. Úlohy Carbol Marek 706 /I. C/ BS-P, 8 Cicha Tereza 888 /I. C/ BS-P, 7 Černil Martin 86 /I. C/ BS-P, 6 Dokoupil Daniel 700 /I. A/8 BS-P, Dvořáková Barbora 899 /I. C/ BS-P, 6 Fűri Peter 8760 /I. C/ BS-P 6, 7 Genco Ondřej 89 /I. C/ BS-P 7, 8 Habovštiaková Mária 860 /I. C/ BS-P 8, 9 Heczko Martin 800 /I. C/ BS-P 9, 0 0 Chlubna Martin 7889 /I. B/ BS-P 0, 9 Illík Jakub 860 /I. C/ BS-P, 8 Konečný Michael 79 /I. C/ BS-P, 7 Kříž Michal 8776 /I. C/ BS-P, 8 Kupčíková Laura 896 /I. C/ BS-P, 7 Machů Josef 888 /I. C/ BS-P, 6 6 Mišún Filip 8 /I. C/ BS-P 6, 7 Netopilík Jan 700 /I. B/ BS-P, 8 Plánková Tereza 708 /I. C/ BS-P, 9 Sadílek Jan 8 /I. C/ BS-P, 0 Svetlošák Tadeáš 886 /I. C/ BS-P, Svoboda Jakub 8 /I. C/ BS-P, Šafránek Martin 876 /I. A/8 BS-P 6, 0 Teöke Adam 7 /I. C/ BS-P 7, 9 Vybíral Zdeněk 86 /I. C/ BS-P 8, 8 Žaludek Jakub 876 /I. C/ BS-P 0, 6

5 Úlohy:. Řešte soustavu rovnic y z 6 y z 7 8y 9z a) Gaussovou eliminační metodou b) Gaussovou eliminační metodou s částečným výběrem hlavního prvku Porovnejte výsledky, rozdíly zdůvodněte.. Řešte soustavu rovnic 0 y 0 0 y 0 c) Gaussovou eliminační metodou d) Gaussovou eliminační metodou s částečným výběrem hlavního prvku Porovnejte výsledky, rozdíly zdůvodněte.. Vhodnou iterační metodou určete řešení soustavy 9y z 9 y z y z na šest Zhodnoťte vhodnost použité metody.. Vhodnou iterační metodou určete řešení soustavy y z y z y z 7 na šest Zhodnoťte vhodnost použité metody.. Rungeovu funkci f tabelujte na intervalu ; ekvidistantními uzly krokem h 0,. Pro takto získanou tabulku sestrojte Lagrangeův interpolační polynom a zjistěte jeho hodnoty pro 0.; 0.7;.;.7. Tyto hodnoty porovnejte s hodnotami Rungeovy funkce. Výsledky zdůvodněte.

6 6. Určete přibližnou hodnotu čísla 7 pomocí vhodného Lagrangeova polynomu druhého stupně. K určení této hodnoty použijte dále Hermitův polynom pro stejné uzlové body s použitím prvních derivací. Výsledky porovnejte s přesnou hodnotou a zdůvodněte rozdíly. 7. Najděte Hermitův interpolační polynom funkce dané tabulkou Znázorněte též graficky. i 0 i - f( i ) -9-8 f'( i ) Tabulkou naměřených hodnot i,,,9,,, y i,,,9 6,8,,0 proložte vhodnou funkci metodou nejmenších čtverců. Znázorněte též graficky. 9. Tabulkou naměřených hodnot i y i proložte vhodnou funkci metodou nejmenších čtverců. Znázorněte též graficky. 0. Body i,0,0,0 y i,0,0,0 proložte přirozený kubický splajn. V koncových bodech předpokládejte nulové druhé (jednostranné) derivace, tj. M0 M 0. Znázorněte též graficky.. Určete derivaci funkce dané tabulkou: i 0 9 y i 0 v bodě, a to pomocí a) Lagrangeova interpolačního polynomu b) první centrální diference Výsledky porovnejte s hodnotou derivace funkce f ( ) v bodě. Rozdíly zdůvodněte.

7 . Složenou obdélníkovou formulí vypočtěte integrál d Použijte dělení n 0 ; n 00 ; n 00. Odhadněte chybu formule a porovnejte ji se skutečným rozdílem zjištěné hodnoty oproti hodnotě přesné (tj. vypočtené analyticky). Pro které n dá složená obdélníková formule výsledek na šest desetinných míst?. Složenou lichoběžníkovou formulí vypočtěte integrál d Použijte dělení n 0 ; n 00 ; n 00. Odhadněte chybu formule a porovnejte ji se skutečným rozdílem zjištěné hodnoty oproti hodnotě přesné (tj. vypočtené analyticky). Pro které n dá složená lichoběžníková formule výsledek na šest desetinných míst?. Složenou Simpsonovou formulí vypočtěte integrál d Použijte dělení n 0 ; n 00 ; n 00. Odhadněte chybu formule a porovnejte ji se skutečným rozdílem zjištěné hodnoty oproti hodnotě přesné (tj. vypočtené analyticky). Pro které n dá složená Simpsonova formule výsledek na šest desetinných míst?. Složenou Gaussovou dvoubodovou formulí vypočtěte integrál d Použijte dělení n 0 ; n 00 ; n 00. Odhadněte chybu formule a porovnejte ji se skutečným rozdílem zjištěné hodnoty oproti hodnotě přesné (tj. vypočtené analyticky). Pro které n dá složená Simpsonova formule výsledek na šest desetinných míst? 6. Vypočtěte integrál d a) analyticky bez zaokrouhlování b) analyticky, v průběhu výpočtu zaokrouhlujte na čtyři desetinná místa c) jednoduchou Simpsonovou formulí, v průběhu výpočtu zaokrouhlujte na čtyři desetinná místa Výsledky porovnejte.

8 7. Separujte kořeny rovnice arctg 0 (separaci ilustrujte graficky). Metodou půlení intervalu pak určete všechny kořeny na šest 8. Separujte kořeny rovnice ln (separaci ilustrujte graficky). Metodou půlení intervalu pak určete všechny kořeny na šest 9. Separujte kořeny rovnice arcsin (separaci ilustrujte graficky). Metodou regula falsi pak určete všechny kořeny na šest 0. Separujte kořeny rovnice (separaci ilustrujte graficky). Metodou regula falsi pak určete všechny kořeny na šest. Separujte kořeny rovnice 6cos 0 (separaci ilustrujte graficky). Metodou regula falsi pak určete všechny kořeny na šest. Separujte kořeny rovnice 0 (separaci ilustrujte graficky). Newtonovou metodou pak určete všechny kořeny na šest. Separujte kořeny rovnice ln( ) 0 (separaci ilustrujte graficky). Newtonovou metodou pak určete všechny kořeny na šest. Separujte kořeny rovnice arctg( ) ln (separaci ilustrujte graficky). Newtonovou metodou pak určete všechny kořeny na šest

9 . Separujte kořeny rovnice arctg( ) ln (separaci ilustrujte graficky). Nalezněte vhodnou iterační funkci a obecnou iterační metodou určete všechny kořeny na šest 6. Separujte kořeny rovnice e ln 6 (separaci ilustrujte graficky). Nalezněte vhodnou iterační funkci a obecnou iterační metodou určete všechny kořeny na šest 7. Separujte kořeny rovnice ln (separaci ilustrujte graficky). Nalezněte vhodnou iterační funkci a obecnou iterační metodou určete všechny kořeny na šest 8. Separujte kořeny rovnice (separaci ilustrujte graficky). Nalezněte vhodnou iterační funkci a obecnou iterační metodou určete všechny kořeny na šest 9. Separujte kořeny soustavy y y y arctg 0sin y cos y y ln 0 (separaci ilustrujte graficky). Nalezněte jedno řešení na šest desetinných míst (doporučená (0) (0) počáteční aproimace ; y 0.;.0 ). 0. Separujte kořeny soustavy arctg y y y y y 0 ln y y 0 (separaci ilustrujte graficky). Nalezněte jedno řešení na šest desetinných míst (doporučená (0) (0) počáteční aproimace ; y 0.;.0 ).

10 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS NUMERICKÉ METODY SEMESTRÁLNÍ PRÁCE AUTOR PRÁCE JAN HUŇKA BRNO 0

11 ZADÁNÍ: 6. Určete přibližnou hodnotu čísla 7 pomocí vhodného Lagrangeova polynomu druhého stupně. K určení této hodnoty použijte dále Hermitův polynom pro stejné uzlové body s použitím prvních derivací. Výsledky porovnejte s přesnou hodnotou a zdůvodněte rozdíly. POSTUP VÝPOČTU LAGRANGEOVA POLYNOMU: Při sestavování Lagrangeova interpolačního polynomu postupujeme následovně:.) Určíme funkci, pomocí níž budeme interpolaci provádět..) Sestavíme tabulku hodnot uzlových bodů, přičemž počet bodů určuje stupeň interpolačního polynomu navýšeného o jednu..) Interpolační polynom získáme dosazením do vzorce: n ( 0 ) ( )... ( i ) ( i )... ( n ) Li ( ) yi i0 ( i 0 ) ( i )... ( i i ) ( i i )... ( i n ).) Dosazením za do interpolačního polynomu jsme schopni určit přibližnou hodnotu funkce v libovolném bodě ležícím v intervalu 0 až n. ŘEŠENÍ POMOCÍ LAGRANGEOVA POLYNOMU:.) Volba funkce: y.) Sestavení tabulky: i 0 i 9 y i.) Stanovení interpolačního polynomu: ( ( ) ( 9) ( ) ( 9) ( ) ( ) L ) ( ) ( 9) ( ) ( 9) (9 ) (9 ) L ( ) 6 60.) Určení přibližné hodnoty: L (7) 60,70

12 POSTUP VÝPOČTU HERMITOVA POLYNOMU: Při sestavování Hermitova interpolačního polynomu postupujeme následovně:.) Určíme funkci, pomocí níž budeme interpolaci provádět a tuto funkci zderivujeme..) Sestavíme tabulku hodnot uzlových bodů rozšířenou o hodnoty získané dosazením do zderivované funkce (počet bodů opět určuje stupeň interpolačního polynomu navýšeného o jednu)..) Interpolační polynom získáme dosazením do vzorců: ( ) a a ( ) a ( ) a ( )... H i H i '( ) a 0 a ( ) a ( )... V případě uzlových bodů tak získáme soustavu 6 rovnic o 6 neznámých, resp. rovnic o neznámých díky vhodné záměně za -..) Dosazením za do interpolačního polynomu jsme schopni určit přibližnou hodnotu funkce v libovolném bodě ležícím v intervalu 0 až n. ŘEŠENÍ POMOCÍ HERMITOVA POLYNOMU:.) Volba funkce: y y'.) Sestavení tabulky: i 0 i 9 y i y i / / /6.) Stanovení interpolačního polynomu: a a ( ) a ( ) a ( ) a ( ) a ( 0 ) 0 a ( ) a ( ) a ( ) a ( ) a ( ) 0 a (9 ) a (9 ) a (9 ) a (9 ) a (9 ) a a 6 a a a a ( ) a ( ) a ( ) a ( ) a ( ) a ( ) a ( ) a ( ) a (9 ) a (9 ) a (9 ) a (9 ) a 0 a

13 () a (8) a (8) a (8) a (8) a (8 a a 6 () a () a () a () ) () a () a () a () (8) a (8) a (8) a (8) a 8 a a 6 a 86 a 6 a a 096 a 768 a a 08 a a 60 a 96 a a 88 a a 8 a a 6 a 86 a 6 a a 096 a 768 a a 08 a a a 96 a a 88 a a -0, a 0, a -0, a 0, (uvádím stejný počet desetinných míst jako program Matlab po použití příkazu format('long')) H ( ) 0, ( ) - 0, ( ) - 0, ( ) 0, ( ) 0, ( ).) Určení přibližné hodnoty: H (7) 0, (7 ) - 0, (7 ) - 0, (7 ),66 0, (7 ) 0, (7 ), ZÁVĚR: Stanovení Hermitova interpolačního polynomu je výrazně složitější než určení polynomu Lagrangeova, avšak zohledňuje i derivace (směrnice tečen) a tím přesněji vystihuje průběh funkce. Lagrangeův polynom je vhodný jen pro teoretický odhad. Následující přehled udává hodnoty jednotlivých interpolačních polynomů a přesné hodnoty stanovené kalkulátorem (hodnoty jsou zaokrouhleny na desetinná místa). Lagrangeův polynom Hermitův polynom Kalkulátor,70,66,6

14 ZADÁNÍ: ln( ). Separujte kořeny rovnice 0 (separaci ilustrujte graficky). Newtonovou metodou pak určete všechny kořeny na šest TEORIE ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC: Řešení složitějších nelineárních rovnic (tj. rovnic, jejichž funkční předpis f()=0 nelze převést na tvar a +b=0 ) lze nahradit řešením soustavy nelineárních rovnic. Takováto separace nám může výrazně usnadnit práci při určování přibližných kořenů (nebo alespoň intervalů, v nichž se kořeny nachází). Druhou fází je zpřesňování aproimací. Ke zpřesnění lze využít několik metod: metoda bisekce (metoda půlení intervalu), Newtonova metoda (metoda tečen), metoda sečen, metoda regula falsi (metoda sečen hlídající znaménka ) a další. Newtonova metoda se též nazývá metoda sečen, jelikož přesnějších aproimací je dosahováno za pomoci tečen k dané funkci. Při jejím použití tedy musíme znát derivaci dané funkce. Důležitá je též znalost přibližné hodnoty výsledku. Při volbě příliš vzdáleného počátečního bodu by totiž mohlo dojít k divergenci Newtonovy metody. Konverguje-li, je nalezení hledané hodnoty velmi rychlé. Od počátečního bodu se postupně přibližujeme prostřednictvím tečen k přesnému řešení za pomoci vzorce: f ( i ) i i. f '( ) i Newtonova metoda.

15 ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍ ROVNICE: clc format('long') =-:0.:0.8; PocetBodu=length(); f=zeros(pocetbodu); Logaritmus=zeros(PocetBodu); Primka=zeros(PocetBodu); for i=:pocetbodu f(i)=((log(-(i)))/(-(i)))+; Logaritmus(i)=log(-(i)); Primka(i)=(i)-; end; plot(,f,'-b',,logaritmus,'--m',,primka,'--r') grid on Epsilon=6*0^(-7); =0.; Chyba=0^;i=0; while Chyba>Epsilon i=i+ Chyba=; =-(((log(-))/(-))+)/((log(-)-)/((-)^)) Chyba=abs(Chyba-); end; Grafická ilustrace původní funkce i funkcí separovaných. ZÁVĚR: Původní funkci jsem separoval na funkce Logaritmus=ln( ) a Primka=. Z grafu bylo zřejmé, že výsledná hodnota se nachází v intervalu (0;0,), takže pro zpřesnění aproimace jsem za počáteční bod považoval =0,. Po aproimacích jsem dosáhl čísla 0, , které se blíží přesnému výsledku s přesností na 6 Za výsledek tedy můžeme považovat =0,86.