( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.

Transkript

1 .. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) (biomická věta) f ( + ) f ( ) lim umíme derivovat všechy mocié fukce s přirozeým mocitelem Př. : Vypočti derivace fukcí: a) y b) y c) y a) b) y y ( ) c) y Př. : (BONUS) Urči derivaci fukce y si. Při odvozeí využit vztahy: α + β α β si siα si β cos si a lim. ( + ) f f f si ( ) ( + ) si ( + ) f

2 si f + f + si cos si cos + si si si lim cos + cos + lim si cos lim cos cos Př. : Nakresli do jedoho obrázku grafy fukcí y si a y cos. Na obrázku ukaž, jak hodoty fukce y cos popisují změy hodot fukce y si. - Na obrázku jsou fukce y si, y cos Sledujeme grafy po itervalech: ; : fukce si y roste čím dál pomaleji (strmost křivky se zmešuje) derivace musí být kladá, a její hodoty klesají k ule ; π : fukce si y klesá čím dál rychleji (strmost křivky se zvětšuje) derivace musí být záporá, a její velikost postupě roste π π; : fukce si y klesá čím dál pomaleji (strmost křivky se zmešuje) derivace musí být záporá, a její velikost postupě klesá a hodoty se blíží k ule π ; π : fukce si y roste čím dál rychleji (strmost křivky se zvětšuje) derivace musí být kladá, a její velikost postupě roste

3 Př. 5: Nakresli do obrázku graf fukce y cos Odhadi její předpis.. Do obrázku ačrti graf fukce cos. - Sledujeme graf fukce y cos po itervalech: ; : fukce cos y klesá čím dál rychleji (strmost křivky se zvětšuje) derivace musí být záporá, a její velikost postupě roste ; π : fukce cos y klesá čím dál pomaleji (strmost křivky se zmešuje) derivace musí být záporá, a její velikost postupě klesá a hodoty se blíží k ule π π; : fukce cos y roste čím dál rychleji (strmost křivky se zvětšuje) derivace musí být kladá, a její velikost postupě roste π ; π : fukce cos y roste čím dál pomaleji (strmost křivky se zmešuje) derivace musí být kladá, ale její hodoty klesají k ule graf derivace je akresle modrou barvou, jedá se zřejmě o fukci y si Shreme si všechy zatím získaé vzorce: Pro fukci y, R, N, platí y. Pro fukci y si, R, platí y cos. Pro fukci y cos, R, platí y si. Stejě jako u limit i u derivací platí vzorce pro sčítáí, odčítáí, ásobeí a děleí: Věta o derivaci součtu, rozdílu a součiu s kostatou: Nechť jsou dáy fukce u, v a kostata c R. Jestliže fukce u, v mají v bodě derivaci, mají v bodě derivaci i fukce u + v, u v a cu a platí: ( u + v) ( ) u ( ) + v ( ) ( u v) ( ) u ( ) v ( ) ( cu) ( ) c u ( ) Zkráceý zápis: u + v u + v u v u v

4 ( cu) c u Př. 6: a) ( + si ) b) cos c) + si + si + cos a) cos cos si si b) 9 c) Př. 7: a) ( ) + b) ( si cos ) c) ( si + ) a) si cos cos si cos + si b) c) si + cos + 9 cos Př. 8: a) ( ) b) + + c) b) ( + + ) ( )( + ) c) ( ) a) Pedagogická pozámka: Někteří studeti samozřejmě začou derivovat složeou fukci ebo podíly špatě. Je uté je zastavit a upozorit, aby používali pouze taková pravidla, která zají a děleí obešli. Př. 9: Zkus ověřit zda pro derivaci součiu fukcí může platit vzorec ( uv) Víme, že platí: ( ) Napíšeme si jako souči a zderivujeme ho podle předpokládaého vzorce: špatý výsledek u v.

5 vzorec ( uv) u v eplatí Př. : Petáková: straa 55/cvičeí 9 f 8, f straa 55/cvičeí g, g Shrutí: Přirozeým způsobem můžeme derivovat pouze součet a rozdíl fukcí. 5