3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE"

Transkript

1 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f ( ) Ka ( ) a) = = D(f)= R H(f)={a}, fukce je současě erostoucí i eklesající v itervalu (-, ), eí prostá ( tj eeistuje k í iverzí fukce), fukce je sudá a periodická v R, ale eí ai lichá (kromě případu a = 0), ai koveí, ai kokáví Kostatí fukce je omezeá, v každém reálém čísle abývá jak svého maima, tak i svého miima Pro a 0 fukce K a emá žádé ulové body, pro a = 0 má kostatí fukce ekoečě moho ulových bodů (každé reálé číslo je ulový bod této fukce) Kostatí fukci K a Graf kostatí fukce: budeme zpravidla začit a, tz ztotožíme fukci s fukčí hodotou IDENTICKÁ FUNKCE Idetickou fukcí rozumíme fukci f defiovaou předpisem f = I R Fukce f je rostoucí a lichá, ale eí ai klesající, ai sudá, ai periodická, ai koveí, ai kokáví (v možiě R ) Idetická fukce je prostá, proto k í eistuje fukce iverzí Idetická fukce eí ai shora, ai zdola omezeá, má jediý ulový bod, kterým je reálé číslo 0 V žádém bodě možiy R eabývá ai maima, ai miima Graf idetické fukce:

2 -TÁ MOCNINA Nechť je přirozeé číslo Potom -tou mociou rozumíme fukci defiovaou předpisem ( f ( ) ) = Je-li = 0, potom f je kostatí fukce Je-li = potom f je idetická fukce Omezíme se a přirozeá čísla taková, že (i) Nechť je liché přirozeé číslo takové, že (tj, protože je liché přirozeé číslo) Potom fukce f je rostoucí (v možiě R ) a zobrazuje možiu R a možiu R, tj D(f) = R a H(f) = R, je prostá Dále je fukce f lichá (v možiě R ), kokáví v itervalu (-,0> a koveí v itervalu <0, ) Fukce f eí ai shora, ai zdola omezeá, má jediý ulový bod, kterým je reálé číslo 0 V žádém bodě možiy R eabývá ai maima, ai miima Graf fukce f() = : (ii) Nechť je sudé přirozeé číslo takové, že Potom fukce f zobrazuje možiu R a iterval <0, ), tj D(f) = R a H(f) = <0, ), eí prostá Fukce f je klesající v itervalu (-,0> a je rostoucí v itervalu <0, ) Dále je fukce f sudá (v možiě R ), kokáví (v itervalu (-, )) Fukce f je zdola omezeá, ale eí shora omezeá,má jediý ulový bod, kterým je reálé číslo 0 V žádém bodě možiy R eabývá ai maima, ale v bodě = 0 abývá miima Graf fukce f() = : POLYNOMY A RACIONÁLNÍ FUNKCE Polyomem ejvýše -tého stupě ( kde N 0 rozumíme fukce f defiovaou předpisem f( ) = a + a + + a + a + a = a + a + + a + a + a = a a, a,, a, a, a jsou reálá čísla kde 0 0 k 0 0 k k = 0 a Řekeme, že fukce f defiovaá výše uvedeým předpisem je polyom stupě právě -tého, jestliže 0 0

3 Pozámka Kostatí fukce je polyom stupě právě ultého a opačě každý polyom stupě právě ultého je kostatí fukce Idetická fukce je polyom stupě právě prvího Fukce -tá mocia je polyom stupě právě -tého Polyom stupě právě prvího se zpravidla azývá lieárí fukce, polyom stupě právě druhého se azývá kvadratická fukce, polyom stupě právě třetího kubická fukce, Racioálí fukcí (či racioálí lomeou fukcí) rozumíme fukci, která je defiováa jako podíl dvou polyomů Pozámka Každý polyom je racioálí fukce (stačí jej apsat jako zlomek, kde ve jmeovateli je kostatí K fukce ) EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE (i) Základí epoeciálí fukcí rozumíme fukci ep defiovaou předpisem (ep = e ), kde e je Eulerovo číslo, R což je iracioálí číslo, které je přibližě rovo, ÚMLUVA Základí epoeciálí fukci budeme začit ep Epoeciálí fukce ep zobrazuje možiu R a iterval (0, ), tj D(f) = R a H(f) = (0, ) Fukce ep je rostoucí (v možiě R ), tudíž je i prostá (proto k í eistuje fukce iverzí) Fukce ep je koveí (v možiě R ), eí ai sudá, ai lichá a ai periodická Fukce f je zdola omezeá, ale eí shora omezeá, emá žádý ulový bod V žádém bodě možiy R eabývá ai maima, ai miima (ii) Nechť a je kladé reálé číslo Potom obecou epoeciálí fukcí o základu a rozumíme fukci ep a defiovaou předpisem ( epa a ) = ÚMLUVA Obecou epoeciálí fukci o základu a začíme ep a Pro charakterizaci obecé epoeciálí fukce rozlišíme tři základí případy: (a) Nechť a > Potom ep a je rostoucí (v možiě R ), tudíž je i prostá (proto k í eistuje fukce iverzí) Fukce ep a je koveí (v možiě R ), eí ai sudá, ai lichá a ai periodická Fukce f je zdola omezeá, ale eí shora omezeá, emá žádý ulový bod V žádém bodě možiy R eabývá ai maima, ai miima Graf obecé epoeciálí fukce pro a > : (b) Nechť 0 < a < Potom ep a je klesající (v možiě R ), tudíž je i prostá (proto k í eistuje fukce iverzí) Fukce ep a je koveí (v možiě R ), eí ai sudá, ai lichá a ai periodická Fukce f je zdola omezeá, ale eí shora omezeá, emá žádý ulový bod V žádém bodě možiy R eabývá ai maima, ai miima

4 Graf obecé epoeciálí fukce pro 0 < a < : Pozámka Pro libovolé reálé číslo a platí: a > 0< < a 0< a < > a a Tudíž platí: a> a = 0< a< a = a R a a R a Z toho vyplývá pro libovolé reálé číslo a takové, že a > jsou grafy fukcí ep a a ep rověž pro libovolé reálé číslo a takové, že 0 < a < jsou grafy fukcí ep a ep Dále pro libovolé kladé reálé číslo a platí = a Z těchto důvodů cokoliv odvodíme pro fukci pro 0 < a < (c) Nechť a = Potom fukce je kostatí fukce ep = ep e Pozámka Zřejmě platí a a ep epa = ep a a ep a ep a pro a >, sado převedeme pro fukci ep ep K Pozámka Při řešeí erovic i v moha dalších úlohách je třeba si uvědomit, že: a> 0 y R y y y y ( a a a ( a ) a a 0) + = = > ( e 0) >, speciálě a souměré podle osy y, souměré podle osy y Pozámka Epoeciálí fukce (jak základí, tak i obecá) je důležitá pro modelováí přírodích jevů, protože vyjadřuje záko přirozeého růstu (Jestliže ěco (v orgaické i eorgaické přírodě) se samo sebou rozmožuje, tj další rozmožeí vziká ze starého základu i ového přírůstku) a GONIOMETRICKÉ FUNKCE Jde o fukce jedé proměé, tudíž jsou defiováy pouze v obloukové míře ZNAČENÍ Fukci sius budeme začit si, fukci kosius cos, fukci tages tg a fukci kotages cotg (i) Fukce sius: D(si) = (-, ), H(si) = <-,> Fukce sius eí prostá, je lichá (ale eí sudá), je periodická, přičemž základí perioda je a perioda je každé reálé číslo tvaru k, kde k Z { 0} Fukce sius je rostoucí v každém itervalu + k, + k, kde k Z,

5 je klesající v každém itervalu + k, + k, kde k Z, tudíž abývá fukce sius maima v každém bodě + k, kde k Z a miima v každém bodě + k, kde k Z,, přičemž maimum fukce si je a miimum je -, tj fukce si je omezeá, Fukce si je kokáví v každém itervalu k, + k, kde k Z a koveí v každém itervalu + k, + k, kde k Z Nulovými body fukce si jsou všechy body tvaru k, kde k Z Graf fukce si : (ii) Fukce kosius: D(cos) = (-, ), H(cos) = <-,> Fukce kosius eí prostá, je sudá (ale eí lichá), je periodická, přičemž základí perioda je a perioda je každé reálé číslo tvaru k, kde k Z { 0} Fukce kosius je rostoucí v každém itervalu + k, + k, kde k Z je klesající v každém itervalu k, + k, kde k Z, tudíž fukce kosius abývá maima v každém bodě k, kde k a miima v každém bodě + k, kde k Z, Z, přičemž maimum fukce cos je a miimum je -, tj fukce cos je omezeá Fukce cos je kokáví v každém itervalu + k, + k, kde k Z a koveí v každém itervalu + k, + k, kde k Z + k, kde k Z Nulovými body fukce si jsou všechy body tvaru Graf fukce cos :,,

6 (iii) Fukce tages: Fukce tages je defiováa předpisem D(tg) =, tg R + k k Z, H(tg) =(-, ) si cos =, Fukce tages eí prostá, je lichá (ale eí sudá), je periodická, přičemž základí perioda je a perioda je každé reálé číslo tvaru k, kde k Z { 0} Fukce tages je rostoucí v každém itervalu k, + + k, kde k Z, eí klesající v žádém itervalu, eabývá v žádém bodě defiičího oboru ai maima, ai miima, fukce tg eí omezeá Fukce tg je kokáví v každém itervalu + k, k, kde k Z, a koveí v každém itervalu k, + k, kde k Z Nulovými body fukce tg jsou všechy body tvaru k, kde k Z Graf fukce tg : (iv) Fukce kotages: Fukce kotages je defiováa předpisem D(cotg) = R { k, k Z}, H(cotg) =(-, ) cotg cos si =, Fukce kotages eí prostá, je lichá (ale eí sudá), je periodická, přičemž základí perioda je a perioda je každé reálé číslo tvaru k, kde k Z { 0} Fukce kotages je klesající v každém itervalu ( k, k) +, kde k Z, eí rostoucí v žádém itervalu, eabývá v žádém bodě defiičího oboru ai maima, ai miima, fukce cotg eí omezeá Fukce cotg je kokáví v každém itervalu k, a koveí v každém itervalu k, + k + + k, kde k Z, kde k Z,

7 Nulovými body fukce cotg jsou všechy body tvaru + k, kde k Z Graf fukce cotg : Pozámka Předpokládáme zalost tzv součtových vzorců pro goiometrické fukce, tj (si( ± y) = si cos y± si ycos ) y R (cos( ± y) = cos cos y si si ), y R ze kterých jsou odvozey další vztahy, apř (si + cos = ) (si = si cos ) (cos = cos si = si = cos (si = ( cos )) (cos = ( + cos )) ± y y (si ± si y) = si cos ) y R + y y (cos + cos y) = cos cos ) y R + y y (cos cos y) =si si ) y R Pro fukce tg a cotg mj platí: ( tg = ) cot g (cot g = ) tg k ; k Z k ; k Z Pozámka Uveďme ještě tabulku vybraých hodot goiometrických fukcí:

8 si 0 cos tg 0 cot g * 0 * * Symbol * ozačuje, že v příslušém reálém čísle eí daá goiometrická fukce defiováa 0 * 0 INVERZNÍ FUNKCE Kostrukce iverzích fukcí k fukcím elemetárím vychází z věty o vlastostech iverzího zobrazeí a věty o vlastostech iverzí fukce: (( 7 Věta (o vlastostech iverzího zobrazeí): Nechť f je prosté zobrazeí možiy A a možiu B Potom (i) f - je prosté zobrazeí možiy B a možiu A, přičemž platí (f - ) - = f, (ii) D(f - ) = H(f) H(f - ) = D(f), (iii) A y B (y = f() <=> = f - (y)), I A (iv) f - [ f ] =, tj (f - (f()) = ), (v) f [ f - ] = I B, tj A (f(f - ()) = ) B 5 7 Věta (o vlastostech iverzí fukce): Nechť fukce jedé proměé f je prostá v možiě M (kde M D(f)) (i) Je-li fukce f rostoucí (resp klesající) v možiě M, potom je fukce f - rostoucí (resp klesající) v možiě f(m) (ii) Je-li bod [,y] bodem grafu fukce f, potom je bod [y,] bodem grafu fukce f -, tj grafy fukcí f a f - jsou souměré podle osy prvího a třetího kvadratu a Pozámka Je-li fukce jedé proměé f prostá (v celé svém defiičím oboru) taková, že f : D(f) H(f), a potom eistuje iverzí zobrazeí f - takové, že f - : H(f) D(f), které je rověž fukce jedé proměé)) Tedy apř ke kostatí fukci eeistuje fukce iverzí, protože tato fukce eí prostá (i) Iverzí fukce k idetické fukci Fukce I : že I R : a R R Ra je rostoucí ( v možiě R ), proto je prostá, tedy eistuje iverzí fukce a R a je rostoucí ( v možiě R ), přičemž platí: R ( y = I R = IR ( y) ), y R ale ( R = ) a tudíž R R I y R I =, tz I V tomto případě tedy edostáváme žádou ovou fukci R = I R I R taková, (ii) -tá odmocia Fukce -tá odmocia je iverzí fukce k -té mociě Pro =0 iverzí fukce k -té mociě eeistuje, protože jde o kostatí fukci eeistuje K, ke které iverzí fukce

9 Pro = je -mocia totožá s idetickou fukcí I R, kterou jsme vyšetřovali v bodě(i) Omezíme se tedy a přirozeá čísle taková, že (a) Nechť je liché přirozeé číslo takové, že (tj, protože je liché přirozeé číslo) ( f ) Je-li f fukce defiovaá předpisem R ), proto je prostá, tudíž k í eistuje iverzí fukce a =, potom fukce f : R R a je rostoucí ( v možiě f taková, že a f : R R a je rostoucí ( v možiě R ), přičemž platí: y f ( ) f ( y) Fukci = = y R f azýváme -tá odmocia a začíme, ( y = f = f y) ) lze přepsat takto: tz vztah ( y R y = = y y R Fukce -tá odmocia ( pro liché přirozeé číslo takové, že ) je koveí v itervalu (-,0> a je kokáví v itervalu <0, ) Neí ai shora, ai zdola omezeá (tj v žádém bodě eabývá ai maima a ai miima), má jediý ulový bod 0 a je lichá fukce, která eí ai sudá, ai periodická (b) Nechť je sudé přirozeé číslo takové, že ( f ) Nechť f fukce defiovaá předpisem a = Potom fukce f : R 0 prostá, protože apř - f (-) = f () =, tudíž k í eeistuje iverzí fukce, ), ale jistě eí Defiujme tedy fukci f předpisem f = f <0, ) a f : 0, ) 0, ) a je rostoucí v itervalu <0, ), proto je prostá, tudíž eistuje iverzí fukce Fukce f taková, že 0, ) y 0, ) f a je rostoucí v itervalu <0, ), přičemž platí a : 0, ) 0, ) ( y f f ( y) ) = = Fukci f azýváme -tá odmocia a začíme, tz vztah ( y f f = = ( y) ) můžeme přepsat takto : ( y y) 0, ) y 0, ) ( f ( ) = ) 0, ) y 0, ) 0, ) = =, tj Fukce -tá odmocia (pro sudé přirozeé číslo takové, že ) je kokáví (v itervalu <0, ), eí shora, ale je zdola omezeá (tj v žádém bodě defiičího oboru eabývá maima) a v bodě 0 abývá miima, má jediý ulový bod 0, eí ai lichá, ai sudá a ai periodická fukce ( f ) Pro fukci f defiovaou předpisem =, kde je sudé přirozeé číslo takové, že, jsme se při hledáí iverzí fukce omezili a tuto fukci defiovaou v itervalu <0, ) Toto eí jediá možost Můžeme defiovat fukci f předpisem f = f (-,0> a Fukce f :(,0 0, )a je klesající v (-,0>, proto je prostá, tudíž k í eistuje iverzí fukce f a taková, že f : 0, ) (,0 a je klesající v itervalu <0, ), přičemž platí ( ) y = f = f y (,0 y 0, ) Fukci f lze užitím fukce -tá odmocia přepsat takto: ( y y) (,0 y 0, ) = =, tj Fukce 0, ) ( f ) = f je koveí (v itervalu (-,0>), eí zdola, ale je shora omezeá (tj v žádém bodě defiičího oboru eabývá miima) a v bodě 0 abývá maima, má jediý ulový bod 0, eí ai lichá, ai sudá a ai periodická fukce

10 Pozámka Rozšíříme platost vztahu pro = Vzhledem k části (i) víme, že ( = ) (iii) Logaritmické fukce Logaritmické fukce jsou iverzí k fukcím epoeciálím Obdobě jako u epoeciálích fukcí rozlišíme případy: (a) Základí epoeciálí fukce ep defiovaá předpisem ( ep e ) a iterval (0, ) a je rostoucí, tudíž je prostá K fukci ep l l : 0,,, je rostoucí ( v itervalu (0, )) logaritmus ebo logaritmus a začí se Pro fukci l platí: ( a ) Ze vztahu dvojice ( avzájem iverzích fukcí vyplývá : y = e = l y ), (, ) y ( 0, ) ( l ) ( e l e ) ( 0, ) (, ) = = = zobrazuje iterval (-, ) eistuje iverzí fukce, která se azývá přirozeý Fukce l eí ai shora ai zdola omezeá, má jediý ulový bod ( protože l = 0,eboť podle výše 0 e = uvedeého vztahu je ) Fukce l je kokáví ( v itervalu (0, )), eí ai sudá, ai lichá a ai periodická fukce (b) Obecá epoeciálí fukce ep a pro ( 0,) (, ) a defiovaá (epa = a ) zobrazuje iterval (-, ) a iterval (0, ) a je rostoucí pro a > (resp klesající a (0,) ), tudíž je prostá předpisem pro K fukci epa eistuje iverzí fukce, která se azývá logaritmus o základu a a začí se log a log se ozačuje logaritmus o základu 0, tj fukce log0 ) Pro fukci log a platí: log : ( 0, ) a (, ) a ( 0,) ) a Ze vztahu dvojice ( avzájem iverzích fukcí vyplývá y = a = log ) a y, (, ) y ( 0, ) ( log ) a a loga a ( 0, ) (, ) = = (symbolem, je rostoucí v itervalu (0, ) pro a > (resp klesající pro log a log 0 Fukce eí ai shora ai zdola omezeá, má jediý ulový bod ( protože,eboť podle výše 0 a = uvedeého vztahu je ) Fukce log a je kokáví v itervalu (0, ) pro a > (resp koveí pro a ( 0,) ), eí ai sudá, ai lichá a ai periodická fukce Graf logaritmické fukce pro a > : a =

11 a ( 0,) Graf logaritmické fukce pro : (c) Epoeciálí fukce eí prostá (jedá se o kostatí fukci ), tudíž k í eeistuje iverzí fukce Pozámka Platí l ep K log e = Pozámka Z vlastostí epoeciálích fukcí vyplývá: ( ) ( y a a a a ) ( 0, ) ( 0, ) 0, tedy pro základí a obecé epoeciálí fukce platí: ( a ) log y = log + log y log = ylog, y y R ( 0, ) a ( ep ( l a) ep a ) =, tj la ( e a ) ( 0, ) R = a (iv) Cyklometrické fukce Cyklometrické fukce jsou iverzí fukce k fukcím goiometrickým Ale žádá goiometrická fukce eí prostá! Tuto obtíž lze obejít tak, že uděláme restrikci a možiu, kde je tato fukce prostá Bude-li fukce ryze mootóí v této možiě, bude i prostá v této možiě (a) Fukce si eí prostá, vytvoříme fukci Pro fukci platí: g, kterou defiujeme předpisem g = si, a, přičemž fukce g je rostoucí (v itervalu, g g :,, tudíž je prostá a eistuje k í iverzí fukce, která se azývá arkussius a začí se arcsi ), a Pro fukci arcsi platí: arcsi :,,, přičemž fukce arcsi je rostoucí (v itervalu, ) Ze vztahu dvojice avzájem iverzích zobrazeí vyplývá:

12 , y, ( y si arcsi ) = = y,, ( arcsi ( si ) ) si ( arcsi ), = = Fukce arcsi je omezeá, v bodě - abývá miima (které je ) a v bodě maima ( které je ), má ulový bod 0 ( protože arcsi 0=0, eboť si 0=0) Fukce arcsi je kokáví v itervalu, 0 a koveí v itervalu 0, Fukce arcsi je lichá, ale eí ai sudá, ai periodická Graf fukce arcsi : (b) Fukce cos eí prostá, vytvoříme fukci Pro fukci g platí: g, kterou defiujeme předpisem cos g = 0, g, a g : 0,,, přičemž fukce je rostoucí (v itervalu prostá a eistuje k í iverzí fukce, která se azývá arkuscosius a začí se arccos ), tudíž je a Pro fukci arccos platí: arccos :, 0,, přičemž fukce arccos je klesající (v itervalu, Ze vztahu dvojice avzájem iverzích zobrazeí vyplývá: 0, y, ( y cos arccos ) = = y, ( ) 0,, arccos cos = cos arccos = arccos 0 Fukce arccos je omezeá, v bodě - abývá maima (které je ) a v bodě miima ( které je 0 ), má ulový bod Fukce arccos je koveí v itervalu, 0 a kokáví v itervalu 0, Fukce arccos eí ai lichá, ai sudá, ai periodická Graf fukce arccos : )

13 Pozámka Ze vztahů dvojic avzájem iverzích fukcí můžeme sestavit tabulku vybraých fukčích hodot fukcí arsi a arccos: 0 arcsi 0 5 arccos 0 Pozámka Pro fukce arcsi a arccos platí : arcsi + arccos = arccos( ) = arccos, (c) Fukce tg eí prostá, vytvoříme fukci Pro fukci a g platí: g :, (, ) g, kterou defiujeme předpisem g = tg, g, ),, přičemž fukce je rostoucí (v itervalu tudíž je prostá a eistuje k í iverzí fukce, která se azývá arkustages a začí se arctg Pro fukci arctg platí: (, )) a arctg :,, Ze vztahu dvojice avzájem iverzích zobrazeí vyplývá: ( y = tg = arctg y ), arctg ( tg ) y (, ),,, přičemž fukce arctg je rostoucí (v itervalu ( ) ( tg ( arctg ) ) (, ) = = Fukce arctg je omezeá, ale v žádém bodě defiičího oboru eabývá ai miima, ai maima, má ulový bod 0 Fukce arctg je koveí v itervalu (,0 a kokáví v itervalu 0, ) Fukce arctg je lichá, ale eí ai sudá, ai periodická Graf fukce arctg : (d) Fukce cotg eí prostá, vytvoříme fukci a g ( g, kterou defiujeme předpisem cot g = g 0, Pro fukci platí:, přičemž fukce je rostoucí (v itervalu : 0,, g ) g, tudíž je prostá a eistuje k í iverzí fukce, která se azývá arkuscotages a začí se arccotg Pro fukci arccotg platí: arccotg: (, ) a ( 0, ) (, )) ),, přičemž fukce arccotg je klesající (v itervalu

14 Ze vztahu dvojice avzájem iverzích zobrazeí vyplývá: ( y cotg arccotg ) ( 0, ) y (, ) = = y, ( ) ( arccotg cotg ) ( cotg ( arccotg ) arccotg 0) ( ) = = > 0,, Fukce arccotg je omezeá, v žádém bodě defiičího oboru eabývá ai miima, ai maima, emá žádé ulové body Fukce arccotg je kokáví v itervalu (,0 a koveí v itervalu 0, ) Fukce arccotg eí ai lichá, ai sudá, ai periodická Graf fukce arccotg : Pozámka Z výše uvedeých vztahů můžeme sestavit tabulku vybraých fukčích hodot fukcí arctg a arccotg: arctg arccotg Pozámka Pro fukce arctg a arccotg platí : arctg + arccotg = arccotg ( ) = arccotg (, )

15 Elemetárí fukce Defiice: Elemetárí fukce (jedé proměé) jsou fukce, které vzikou z fukcí kostatích, idetické fukce, fukce -tá odmocia ( N ), základí epoeciálí fukce ep, fukce přirozeý logaritmus l, fukcí goiometrických a cyklometrických užitím operací sčítáí, odčítáí, děleí a skládáí fukcí Pozámka Každá elemetárí fukce jde vyjádřit předpisem, ve kterém se vyskytují kostatí fukce, idetická fukce, -tá odmocia ( N ), základí epoeciálí fukce, fukce přirozeý logaritmus, fukce sius, kosius, tages, kotages, arkussius, arkuskosius, arkustages, arkuskotages a fukčí operace součet, rozdíl podíl a skládáí fukcí Pozámka Ne všechy fukce jedé proměé jsou elemetárí, apř fukce sg (teto symbol čteme sigum ) defiovaá předpisem, jestliže 0,, sg = 0, jestliže = 0,, jestliže (, 0) ebo Dirichletova fukce D defiovaá předpisem D( ), jestliže Q, = 0, jestliže R Q Prostředky pro důkaz tohoto tvrzeí ajdeme v kapitole 9 (věta o spojitosti elemetárích fukcí) ejsou elemetárí ÚMLUVA Je-li f elemetárí fukce, potom zpravidla její defiičí obor ztotožňujeme s maimálí možiou jejího předpisu Pozámka Při vyšetřováí defiičích oborů bereme v úvahu zejméa: (i) fukce defiičí obory základích elemetárích fukcí, tj: defiičí obor kostatí (, ) idetická (, ) pro N liché (, ) pro ep (, ) ep a (, ) l ( 0, ) log a ( 0, ) si (, ) cos (, ) N sudé 0, )

16 tg, + k, k Z cotg (, ) { k, k Z} arcsi, arccos, arctg (, ) arccotg (, ) f (ii) defiovaost fukčí operace podíl ( podíl fukcí f a g je defiová pro g 0) g Kompleí fukce Defiice: Možia všech kompleích čísel je možia všech uspořádaých dvojic reálých čísel, a které jsou def iováy operace + (součet) a * (souči) takto: [, ] [, ] ab C cd C [ C ] [ cd] [ ] ( ab, +, = a+c, b+d ) ( ab, cd, = ac -b d,ad+bc ) a [ ] [ ] [ [, ] [, ] ab C cd C ZNAČENÍ Možiu všech kompleích čísel budeme začit C C azýváme kompleí čísla C, potom reálé číslo a azýváme reálou částí a reálé číslo b imagiárí částí kompleího ÚMLUVA Prvky možiy Je-li [ ab, ] čísla [ ab, ] Je-li [ ab, ] C, potom kompleí číslo [ ab, ] b a = 0 b 0 0 (resp ) ] azveme imagiárí číslo (resp ryze imagiárí číslo), jestliže ZNAČENÍ Kompleí číslo [ 0,] budeme začit symbolem i a azveme je imagiárí jedotka Ú MLUVA Pro každé reálé číslo a ztotožíme ( v možiě C ) uspořádaou dvojici [ a,0] s reálým číslem a, tj a =[ a,0] Pozámka Je-li i imagiárí jedotka, potom Pro úplost dodefiujme 0 i = 5 + i = i = = i = i + i = i = = i = 7 + i = i = = i =i 8 + i = i = = i =, kde je přirozeé číslo Pozámka Je-li [ ab, ] C, potom podle předchozí úmluvy [ ab, ] = [ a,0] + [ 0, b] = [ a,0 ] + [ b,0 ][ 0,] = a+ ib Vyjádřeí kompleího čísla [, ] ab ve tvaru a+ ib se azývá vyjádřeí kompleího čísla v algebraickém tvaru ebo algebraický tvar kompleího čísla

17 Pro součet (resp souči) kompleích čísel v al gebraickém tvaru platí obdobé zásady jako pro součet (resp souči) polyomů stupě prvího, přičemž avíc využíváme uvedeé vlastosti moci imagiárí jedotky i u u iu = + v= v+ iv Pozámka Jsou-li a dvě kompleí čísla v algebraickém tvaru, potom platí u = v u = v u = v Pozá mka Možia všech kom pleích čísel C je defiováa jako možia všech uspořádaých dvojic ab, odpovídá bod v roviě Přiřadíme-li každému kompleímu reálých čísel Každé dvojici reálých čísel [ ] číslu a+ ibbod v roviě [, ] ab, potom takto iterpretovaou roviu azveme Gaussova rovia Prví (resp druhá) souřadá osa se v takto iterpretovaé roviě azývá reálá (resp imagiárí) osa a ozačuje se apř R (resp I ) Pozámka (kompleě sdružeá čísla) Nechť z = a+ ib je kompleí číslo Řekeme, že z je kompleě sdružeé číslo ke kompleímu číslu z, jestliže z = a ib Je-li z kompleí číslo, potom číslo kompleě sdružeé k číslu z budeme vždy začit z Je-li z kompleí číslo, potom kompleě sdružeé číslo z souměrě ke zázorěí čísla z podle reálé osy k číslu z při zázorěí v Gaussově roviě leží Pozámka ( o vlastostech kompleě sdr užeých čísel) Nechť u a ib (i) uu = a + b, u = u u R, u = u, (ii) u± v= u± v, uv = uv, u u (iii) je-li v 0, je = v v = + a v jsou kompleí čísla Potom Pozámka Je-li u kompleí číslo, potom je kompleí číslo u kompleě sdružeé k číslu u, tedy čísla u a u jsou čísla avzájem kompleě sdružeá ÚMLUVA Pro kompleí čísla eí defiováa stadardí operace uspořádáí Uvedeme-li u < v či u v ebo u > v či u v pro kompleí čísla u a v, potom tímto zápis je mj vyjádřeo tvrzeí u a v jsou reálá čísla Pozámka (o řešeí kvadr atických rovic v možiě C ) Nechť a, b a c jsou kompleí čísla taková, že a 0 D = b - ac < 0 Potom kvadratická rovice a + b + c = 0 má v možiě všech kompleích čísel právě dva růzé kořey

18 b+ i D = a a bi D =, a tz (a + b + c = a ( - ) ( - )) Jsou-li a, b,c čísla reálá, potom jsou kořey kvadratické C rovice a čísla kompleě sdružeá Pozámka (absolutí hodota kompleího čísla) Nechť z je kompleí číslo Potom absolutí hodota kompleího čísla z je reálé číslo z = z z Absolutí hodotu kompleího čísla z začíme stejě jako absolutí hodotu reálého čísla, tedy z Je-li z = a+ ib kompleí číslo, kde a (resp b ) je reálá (resp imagiárí) část kompleího čísla z, potom z = a + b Absolutí hodota kompleího čísla má obdobé vlastosti jako absolutí hodota reálého čísla, mj z C ( z 0 ( z 0 z 0) ) = =, u uv = u v v 0 u C v C = v ( u v u v u v ) u C v C ± +, u v, J e-li z reálé číslo, potom podle vlastostí čísel kompleě sdružeých je z = z, tedy absolutí hodota kompleího čísla je rozšířeím absolutí hodoty reálého čísla Pozámka (goiometrický tvar kompleího čísla) Nechť takové, že Vyjádřeí kompleího čísla z v goiometrickém tva ru je zápis ( ϕ siϕ ) z = z cos + i, kde z je absolutí hodota kompleího čísla z a ϕ je reálé číslo, pro které platí a b cosϕ = siϕ z z z = a+ ib je eulové kompleí číslo Vyjádřeí kompleího čísla v goiometrickém tvaru charakterizují dva údaje absolutí hodota kompleího čísla a oblouk, který se azývá amplituda kompleího čísla Obdobě vyjádřeí kompleího čísla v algebraickém tvaru charakterizují dva údaje reálá a imagiárí část kompleího čísla

19 Pozámka Každé eulové kompleí číslo lze vyjádřit v kompleím tvaru Pozámka (o vlastostech kompleích čísel vyjádřeých v goiometrickém tvaru) Nec hť u = u cos ( α + isiα ) a v vcos ( β isiβ) tvaru Potom (i) ( ( α β ) ) u = v u = v = + k, k Z = + jsou eulová kompleí čísla v goiometrickém u = u +, v v (ii) uv u v( cos( α β) isi( α β) ), = ( cos( α β) isi( α β)) (iii) N 0 ( u u cos ( ( α) isi( α) )) = + (tzvmoivreova věta) Defiice: Řekeme, že f je kompleí fukce reálé proměé, jestliže f je zobrazeí takové, že D(f) R a H(f) C Pozámka Je-li f kompleí fukce reálé proměé, potom pro každé D( f) je R a f ( ) C, tudíž eistuje reálá i imagiárí část kompleího čísla f ( ), tz jsou defiováy fukce jedé proměé f f takové, že f ( ) = f ( ) + i f ( ) a A opačě jsou-li D( f ) ( ) f a f fukce jedé proměé takové, že D( f) = D( f), potom eistuje kompleí D( f) = D( f ) ( f ( ) f ( ) i f ( ) ) = + fukce jedé reál é proměé f taková, že platí D( f ) Fukci f (resp f ) azýváme reálá (resp imagiárí) část fukce f ZNAČENÍ Nechť f kompleí fukce reálé proměé Potom symbolem R f (resp I f ) ozačíme reálou (resp imagiárí) část fukce f Pozameejme, že jak R f, tak I f jsou fukce jedé proměé Pozámka Jsou-li f a g kompleí fukce jedé reálé proměé a c kompleí číslo Potom defiujeme (aalogicky jako pro reálé fukce jedé reálé proměé) kompleí fukce jedé reálé proměé f + g, f - g, c f, f g, f g, f předpisy: D f D f ((f + g)() = f() + g()), D f ((f - g)() = f() - g()), D f ((c f)() = c f()), D f D ((f g)() = f() g()), (g() 0 f g (( f () = f() ) ( f ) = f ( ) g ), Pozameejme, že fukce f je reálá fukce jedé reálé proměé Pozámka Při řešeí difereciálích a diferečích rovic je potřebé určit pro kompleí fukce jedé promě é f reálou část Rf a imagiárí část I f Pro každé kompleí číslo z je defiováo e z Určeí této

20 hodoty je možé teprve užitím mociých řad, ale uvedeme ěkteré vztahy, které jsou potřebé pro výpočet R f a I f : Pozámka (Eulerovy vzorce) i i ( e = cos + isi e = cos isi ) Poslouposti Defiice: Nechť A je možia Řekeme, že a je posloupost obsažeá v možiě A, jestliže a je zobrazeí takové, že D(a) = N a H(a) A Pozámka Je-li A je možia, potom a je posloupost obsažeá v možiě A právě tehdy, jestliže a: N > A ÚMLUVA Je-li a posloupost obsažeá v možiě A, potom pro každé kladé přirozeé číslo zpravidla p íšeme a místo a() a posloupost a zapisujeme (a ) ebo a = a = a = a a a,,,, = ( a ) = ebo a, a,, a, Pozámka Je-li (a ) posloupost obsažeá v možiě A, potom pro každé kla dé přirozeé číslo azýváme a -tý čle poslouposti (a ) Pozámka Je-li (a ) posloupost obsažeá v možiě A, potom posl ouposti (a ), tj { a, N} = H( ( a) ) Např ( ) poslouposti { a N}, {, N} = {,}, tedy ozačuje možiu všech čleů je možia všech čleů ÚMLUVA Jako poslouposti obsažeé v možiě A budeme uvažovat také zobrazeí možiy A a také zobrazeí možiy N K do možiy A, kde K je koečá podmožia možiy N N 0 do možiy Defiice: Řekeme, že (a ) je reálá (resp kompleí) posloupost, jestliže (a ) je posloupost obsažeá v možiě všech reálých (resp kompleích) čísel R (respc ) Pozámka Je-li (a ) reálá posloupost, potom (a ) je také fukce jedé proměé, protože D a = N R H a R, tudíž pro reálé poslouposti platí vše, co jsme uvedli pro fukce jedé ( ) (( )) proměé (mj graf reálé poslouposti, rostoucí, klesající, ryze moo tóí, eklesající, erostoucí, mootóí, shora omezeá, zdola omezeá a omezeá posloupost, jakož i maimum, miimum, suprémum, ifimum poslouposti) Pozámka Nechť (a ) je reálá posloupost, potom posloupost (a ) je (i) rostoucí (resp klesající) právě tehdy, jestliže ( < ) (resp a a + N ( resp (ii) eklesající (resp erostoucí) právě tehdy, jestliže Pozámka Nechť (a ) je reálá posloupost a a + N (i) Je-li posloupost (a ) eklesající, potom if (( a) ) = mi (( a) ) = a (ii) Je-li posloupost (a ) erostoucí, potom sup( ( a) ) = ma (( a) ) = a >, a a + N Tz každá eklesající (erostoucí) reálá posloupost je vždy zdola (resp shora) omezeá a a + N

21 ( a ) ( b ) ZNAČENÍ Nechť (a ) a (b ) jsou reálé poslouposti Potom symbolem ozačujeme tvrzeí N ( a b ) Pozámka Nechť (a ) a (b ) jsou reálé poslouposti takové, že ( a ) ( b ) (i) Je-li posloupost (b ) shora omezeá, potom je posloupost (a ) rověž shora omezeá (ii) Neí-li posloupost (a ) shora omezeá, potom posloupost (b ) rověž eí shora omezeá (iii) Je-li posloupost ( a ) zdola omezeá, potom je posloupost (b ) rověž zdola omezeá (iv) Neí-li posloupost (b ) zdola omezeá, potom posloupost (a ) rověž eí zdola omezeá Pozámka Grafem poslouposti jsou izolovaé body Defiice: Nechť (a ) a (b ) jsou poslouposti obsažeé v možiě A Řekeme, že posloupost (b ) je vybraá z poslouposti (a ), jestliže eistuje rostoucí posloupost kladých přirozeých čísel (k ) taková, že ( b a ) = N k Pozámka Je-li (a) posloupost obsažeá v možiě A, potom posloupost (a ) je vybraá z poslouposti ( a ), tedy každá posloupost je sama ze sebe vybráa, eboť stačí zvolit (k ) = (), tj v roli poslouposti (k ) volíme idetické zobrazeí I N Pozámka Nechť (a ) a (b ) jsou reálé poslouposti takové, že posloupost (b ) je vybráa z poslouposti ( a ) (i) Je-li posloupost (a ) shora omezeá, potom je posloupost (b ) rověž shora omezeá (ii) Neí-li posloupost (b) shora omezeá, potom posloupost (a ) rověž eí shora omezeá (iii) Je-li posloupost (a) zdola omezeá, potom je posloupost (b ) rověž zdola omezeá (iv) Neí-li posloupost (b) zdola omezeá, potom posloupost (a ) rověž eí zdola omezeá (v) Je-li posloupost (a ) omezeá, potom je posloupost (b ) rověž omezeá (vi) Neí-i posloupost (b ) omezeá, potom posloupost (a ) rověž eí omezeá (vii) Je-li posloupost (a ) rostoucí (resp klesající, resp erostoucí, resp eklesající), potom je posloupost (b ) rověž rostoucí (resp klesající, resp erostoucí, resp eklesající) (viii) Neí-li posloupost (b ) rostoucí (resp klesající, resp erostoucí, resp eklesající), potom posloupost (a ) rověž eí rostoucí (resp klesající, resp erostoucí, resp eklesající) (i) Je-li posloupost (a ) ryze mootóí (resp mootóí), potom je posloupost (b ) rověž ryze mootóí (resp mootóí) () Neí-li posloupost (b ) ryze mootóí (resp mootóí), potom posloupost (a ) rověž eí ryze mootóí (resp mootóí) (i) Obsahuje-li posloupost (a ) alespoň jedu rostoucí a alespoň jedu klesající vybraou posloupost, potom posloupost (a ) eí ryze mootóí, ai mootóí Pozámka Nechť (a ) a (b ) jsou reálé poslouposti Potom posloupost (b ) je vybraá posloupost z poslouposti (a ) právě tehdy, jestliže posloupost (b ) je složeé zobrazeí vější posloupost (a ) a vitří poslouposti (k ), kde (k ) je rostoucí posloupost kladých přirozeých čísel Pozámka Poslouposti lze také defiovat tzv rekuretě Např uvažujme reálou posloupost defiovaou takto: ( a ) a = a + a = a = (Fiboacciova posloupost) N + + Z této defiice umíme spočítat, že výpočet apříklad a 000 a =, a =, a = 5, 5 potřebujeme zát všech 999 předchozích čleů rekuretí defiice je evýhodá, protože pro V části věovaé diferečím rovicím uvedeme, jak určit předpis pro přímý výpočet -tého čleu, záme-li rekuretí defiici poslouposti

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Základní elementární funkce.

Základní elementární funkce. 6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou

Více

Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1

Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1 Komplexí čísla, komplexě sdružeá čísla, opačá komplexí čísla, absolutí hodota (modul) komplexího čísla Defiice komplexího čísla Komplexí číslo je uspořádaá dvojice reálých čísel = (, ) (, ). je reálá,

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) = Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1 I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

ZS 2018/19 Po 10:40 T5

ZS 2018/19 Po 10:40 T5 Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické 5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limity - 7 - Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé Spojitost a limity Defiice -okolím bodu a azýváme iterval ( a a ) Redukovaým -okolím bodu a azýváme sjedoceí itervalů a a a a Spojitost

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě

Více

1 Nekonečné řady s nezápornými členy

1 Nekonečné řady s nezápornými členy Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

Derivace funkcí jedné reálné proměnné

Derivace funkcí jedné reálné proměnné Derivace fukcí jedé reálé proměé Pozámka Derivaci fukce v zadaém bodě můžeme počítat přímo pomocí defiice, použitím vět o algebře derivací, použitím vět o derivaci iverzí fukce, použitím vět o derivaci

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti

1 Základní pojmy a vlastnosti Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Jaroslav Hačl, CSc. Ja Šustek OSTRAVA 00 0. ÚVOD 0.. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH Průvodce studiem vstup autora do tetu, specifický

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY MB202. Diferenciální a integrální počet B

MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY MB202. Diferenciální a integrální počet B MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY Sbírka příkladů do cvičeí MB0 Difereciálí a itegrálí počet B jaro 08 Mgr. Jakub Juráek Obsah Polyomy, racioálí lomeé fukce, iterpolace Limity a spojitost fukce

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

7. Analytická geometrie

7. Analytická geometrie 7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp

Více

c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),

c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x), a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte

Více

1 Základní matematické pojmy Logika Množiny a jejich zobrazení... 7

1 Základní matematické pojmy Logika Množiny a jejich zobrazení... 7 Semiář z matematické aalýzy I Čížek Jiří-Kubr Mila 8 září 007 Obsah Základí matematické pojmy Logika Možiy a jejich zobrazeí 7 Reálá a komplexí čísla 6 Poslouposti 7 Základí vlastosti posloupostí 7 Limita

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci ... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI 6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí

Více

( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.

( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N. .. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f

Více

1. Písemka skupina A1..

1. Písemka skupina A1.. 1. Psemka skupina A1.. Nartněte grafy funkc (v grafu oznate všechny průseky funkce s osami) 3 y y sin( ) y y log ( 1) 1 y 1 y = arccotg - 1) Urete, jestli je funkce y = - + 1 omezená zdola nebo shora?

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Základní elementární funkce

Základní elementární funkce Základní elementární funkce Základní elementární funkce Za základní elementární funkce považujeme funkce: a) eponenciální a logaritmické; b) obecné mocninné; c) goniometrické a cklometrické; d) hperbolické

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení. 2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) = NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:

Více

Mocniny. Mocniny, odmocniny, logaritmy, exponenciála. Obecná mocnina. Mocniny. Odmocniny

Mocniny. Mocniny, odmocniny, logaritmy, exponenciála. Obecná mocnina. Mocniny. Odmocniny Mociy Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála Zdeěk Halas KDM MFF UK 07 Počátky logaritmů Základí idea logaritmů Napierovy logaritmy Přirozeé logaritmy Kvadratura hyperboly Expoeciála Zavedeí expoeciály

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více