MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D."

Transkript

1 MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D.

2 Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY LOMENÉ VÝRAZY MOCNINY A ODMOCNINY.... ABSOLUTNÍ HODNOTA... 5 ROVNICE A NEROVNICE LINEÁRNÍ ROVNICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC LINEÁRNÍ NEROVNICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH NEROVNIC.... KVADRATICKÁ ROVNICE....5 KVADRATICKÉ NEROVNICE....6 EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE....7 LOGARITMUS ČÍSLA LOGARITMICKÁ ROVNICE... 5 REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ VLASTNOSTI REÁLNÝCH FUNKCÍ; DEFINIČNÍ OBOR FUNKCE LINEÁRNÍ FUNKCE KVADRATICKÁ FUNKCE.... EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE....5 LOGARITMICKÁ FUNKCE... 5 POSLOUPNOSTI A ŘADY POJEM POSLOUPNOSTI ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI POSLOUPNOSTI ARITMETICKÁ POSLOUPNOST GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST NEKONEČNÁ GEOMETRICKÁ ŘADA KOMBINATORIKA FAKTORIÁL VARIACE A PERMUTACE KOMBINAČNÍ ČÍSLO KOMBINACE ANALYTICKÁ GEOMETRIE ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V ROVINĚ KUŽELOSEČKY KRUŽNICE VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A KRUŽNICE... 5 LITERATURA... 5

3 MNOŽINY. ČÍSELNÉ MNOŽINY Možia přirozeých čísel N... N Možia celých čísel Z Možia racioálích čísel Q je rozšířeím možiy celých čísel o všecha ecelá racioálí p čísla tvaru kde p p p 0 jsou esoudělá celá čísla. p Možia reálých čísel R. Někdy amísto používáme a teto symbol se azývá plus ekoečo. Možia iracioálích čísel R Q. Jsou to čísla která jsou reálá ale ejsou racioálí. Například Ludolfovo číslo. Termíy racioálí a iracioálí čísla vzikly zlatiského slova ratio tj. rozum. Proto racioálí čísla jsou čísla rozumá a iracioálí čísla jsou čísla erozumá. Nerozumého však a ich ic eí! Kvůli zjedodušeí se v tomto tetu využívá také běžá součtová a součiová symbolika ebo též sumačí a multiplikačí symbolika. Pro zápis součtu více sčítaců ebo součiu více čiitelů se používá symbolika která podstatě zjedodušuje vyjadřováí. Nechť N a a a...a R. Potom začíme symbolem a i i a. součet b. a souči a.a.a...a. i i a a a... a Ide i se azývá součtový (resp. součiový) ide číslo se azývá dolí mez a číslo horí mez tohoto součtu (resp. součiu). Příklad. Zapište pomocí sumačí symboliky aritmetický průměr čísel a a a...a. Aritmetický průměr a a a... a i a. i Příklad. Vypočtěte: a. b. i. i 5 i i

4 a. i i 0 b. 5 i i OPERACE S MNOŽINAMI Základím vztahem mezi prvkem a možiou je vztah býti prvkem možiy začíme jej symbolem a A. Symbolem a A ozačujeme skutečost že prvek epatří do možiy A. Možiou rozumíme souhr libovolých objektů které jsou vzájemě rozlišitelé. Objekty tvořící možiu se azývají prvky (elemety) možiy. Základí vlastostí možiy je jedozačé určeí možiy jejími prvky. O každém objektu (abstraktím ebo reálém) můžeme jedozačě rozhodout zda do daé možiy patří ebo epatří. Možiy ozačujeme velkými písmey prvky malými písmey. Pro zadáí moži používáme složeé závorky. Zadáí moži a. výčtem (vyjmeováím) prvků možiy apř. a b c b. uvedeím charakteristické vlastosti společé všem prvkům možiy. Žádý jiý prvek (epatřící do možiy) tuto vlastost emá apř. R; 0. Podle počtu prvků dělíme možiy a koečé ekoečé a možiu prázdou. Prázdá možia eobsahuje žádý prvek. V teorii moži má obdobý výzam jako ula v teorii čísel. Základí vztahy mezi možiami jsou vztahy: a. rovosti: A = B ( A B) b. ikluze (být podmožiou): A B ( A B). Operace s možiami: a. sjedoceí moži A B: A B = ; A B b. průik moži A B: A B = ; A B c. rozdíl moži A B: A B = ; A B d. doplěk možiy A v základí možiě Z: A ; Z A e. kartézský souči moži A B: A B = y A y B. Příklad. Určete pomocí itervalů prvky moži A B C D A C B C B D A B kde A R; 6 7 B R; C R; 8 0 D R; 0.

5 Možia A:. Možia B:. Možia C: Řešeím kvadratické erovice je tedy. Možia D: Protože diskrimiat je záporý jsou řešeím erovice v oboru reálých čísel buď všecha reálá čísla ebo možia prázdá. V ašem případě je D = R.. Příklad. Graficky zázorěme možiy A B C D E F G kde A 0 0 B C 0 D 6 C A B R B B C B A 6 A 9 y ; R y A y ; R y B 0 y ; R y C y ; R y D y ; R y E y ; R y F 0 y y ; R y G

6 5 Možia A je kruh se středem S 0 0 a poloměrem r = bez své hraice. Možia B je vější oblast paraboly která má vrchol v bodě V 0 0a větve paraboly jsou směrem ahoru. Možia C je průikem poloroviy < 0 (hraicí je osa y která do možiy C epatří) a poloroviy y (hraicí je přímka y která do možiy C epatří). Možia D je průikem dvou oblastí: ) vější oblastí pásu který je omeze přímkami y y které do možiy D epatří ) vitří oblastí pásu který je omeze přímkami které do možiy D patří. Možia E je plocha pod přímkou která prochází body 0 0. Přímka do možiy E patří. Možia F je parabola která má vrchol v bodě V 0 0a větve paraboly jsou směrem doprava. Možia G je průikem dvou polorovi: ) dolí polorovia která je omezea přímkou y přičemž přímka do možiy G epatří ) horí polorovia která je omezea přímkou y 0 (osa ) která do možiy G patří. Možia je doplňkem možiy A tj. vější oblast kružice se středem S 0 0 a poloměrem r = včetě hraice kružice. A

7 6 ALGEBRAICKÉ VÝRAZY Algebraický výraz je zápis který je slože z čísel a písme vyjadřujících jedotlivé proměé (ezámé). Čísla a písmea jsou spojováa zaky operací sčítáí odčítáí ásobeí děleí umocňováí či odmocňováí. Algebraický výraz může dále obsahovat závorky které staovují pořadí jedotlivých početích operací. Příkladem výrazu je apř. ( + ) + +7 atd. S úpravami algebraických výrazů souvisí utost staoveí defiičího oboru proměých tj. vymezeí kdy má daý výraz smysl. Nejčastěji se budeme setkávat s určeím podmíek řešitelosti pro lomeé výrazy kdy jmeovatel zlomku esmí abývat ulové hodoty. Úprava algebraického výrazu představuje ahrazeí výrazu výrazem jiým který se mu rová v defiičích oborech proměých. Zjedodušeí algebraického výrazu je situace kdy ový výraz obsahuje meší počet čleů proměých atd.. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY Pod pojmem jedočle chápeme výraz který obsahuje pouze operace ásobeí a umocňováí. Jedá se tedy o souči určitého čísla (koeficietu) a moci jedé popř. více proměých s přirozeými mociteli. Mohočle eboli polyom je potom součet koečého počtu jedočleů (čleů mohočleu). Stupeň mohočleu je dá ejvyšším epoetem proměé. Mohočle který obsahuje pouze epoet je mohočle ultého stupě. Mohočley jsou si rovy jestliže mají všechy čley shodé. Hodotu mohočleu získáme tak že za proměou dosadíme kokrétí reálé číslo. Pro všecha čísla a b c z možiy všech reálých čísel R platí: + 0 = 0 + = eutrálost = = + = + komutativost = ( + ) + = + ( + ) asociativost ( ) = ( ) ( + ) = + distributivost Při součtu či rozdílu mohočleů slučujeme odpovídající si čley při ásobeí ásobíme každý čle s každým.

8 7 Příklad. Sečtěte jedočley: + + = = + ( ) + == + 5 Příklad. Sečtěte mohočley: {[( + ) ( )] + ( + ) ( )} [5 ( + )] {[( + ) ( )] + ( + ) ( )} [5 ( + )]= = = Příklad. Vyásobte a upravte: (0 ) 5{ (5 + ) [ ( 6 )]} (0 ) 5{ (5 + ) [ ( 6 )]} = = 0 6 5{5 + [ + 6 ]} = = 0 6 5{ } = = 0 6 5{ } = = Děleí mohočleu probíhá ásledujícím způsobem. Čle ejvyššího stupě dělece se dělí čleem ejvyššího stupě dělitele. Tímto postupem získáme prví čle eúplého podílu kterým zpětě vyásobíme dělitele. Vziklý výsledek odečteme od dělece jehož stupeň se provedeou úpravou síží. Dále postupujeme stejým způsobem.

9 8 Příklad. Vydělte: a) ( ): ( + ) b) (0 + 7 ): ( + ) a) ( ): ( + ) = + ( + ) + ( + ) 0 podmíka: b) (0 + 7 ): ( + ) = 5 + (0 + 5 ) ( + ) ( ) 0 podmíka: Rozklad mohočleu a souči je možý pomocí vytýkáí společého čiitele před závorku využití rozkladu dle vzorců pro mohočley ebo pomocí rozkladu kvadratického trojčleu. Cílem je úprava původího mohočleu a souči ěkolika jedodušších mohočleů. Při úpravách algebraických výrazů se budete setkávat s ásledujícími vzorci: ( + ) = + + ( ) = + = ( )( + ) ( + ) = ( ) = + + = ( + )( + ) = ( )( + + ) Výrazy jsou výrazy v oboru reálých čísel erozložitelé.

10 9 Příklad 5. Upravte: a) ( ) b) ( + ) c) + 8 d) 7 e) 5 6 a) ( ) = + b) ( + ) = c) + 8 = ( + )( + ) d) 7 = ( )( + + 9) e) 5 6 = (5 8 )(5 + 8 ) Rozklad kvadratického trojčleu Pod pojmem kvadratický trojčle rozumíme výraz + +. Setkávat se budete rověž s pojmem ormovaý kvadratický trojčle ve tvaru + +. Kvadratický trojčle lze rozložit a souči lieárích dvojčleů v možiě všech reálých čísel R za podmíky že diskrimiat eboli výraz > 0 resp. > 0. Kořey kvadratického trojčleu se ozačují a a platí že: + + = ( )( ) + + = ( )( ) + = = Příklad 6. Upravte a souči: a) b) 8 c) + d) + + e) f) 8 + g) + a) = ( )( 5) + = 8 = = 5 = 5

11 0 b) 8 = ( 7)( + ) + = = 7 = 8 = c) + = ( )( ) d) + + = ( + )( + ) e) = ( 6)( + ) f) 8 + = ( 6)( ) g) + = ( + 6)( ). LOMENÉ VÝRAZY Lomeé výrazy jsou výrazy ve tvaru podílu dvou výrazů tj. podíl kde 0. Výraz a se azývá čitatel zlomku a výraz b jmeovatel zlomku. U lomeých výrazů je uté staovit defiičí obor proměé. Podmíkou je že jmeovatel lomeého výrazu esmí abývat ulové hodoty. Početí operace s lomeými výrazy Pro všecha čísla abcd z možiy všech reálých čísel R kde b 0d 0 platí: Sčítáí a odčítáí lomeých výrazů: ± = ± Násobeí lomeých výrazů: = Děleí a úprava složeého zlomku: : = = Často bude výhodé využít před operacemi sčítáí odčítáí ásobeí a děleí tzv. kráceí zlomku v podobě = kde 0. Příklad 7. Upravte algebraické výrazy a staovte podmíky řešitelosti: a) b) c)

12 a) = ( + ) + ( + ) ( )( + ) = ( + )( + ) ( )( + ) = + ( + )( ) = podmíka: ± b) = ( ) = = = ( )( ) + ( ) ( ) ( ) = = podmíky: 0 = + + ( ) = + ( ) = c) = + ( + ) + + = + + ( + ) = ( + ) = + podmíky: 0 Složeý zlomek Složeý zlomek představuje podíl dvou jedoduchých zlomků. Složeý zlomek dělíme jestliže ásobíme jeho převráceou hodotu. V ěkterých případech bude uté ejdříve složeý zlomek upravit tj. rozšířit a staovit ejmeší společý jmeovatel v čitateli a jmeovateli složeého zlomku (tj. ve jmeovatelích jedoduchých zlomků). Stejě jako u jedoduchého zlomku esmíme ovšem zapomeout a vymezeí podmíek řešitelosti. Příklad 8. Upravte složeé zlomky a staovte podmíky řešitelosti. + + a) + 6 b) + a) = = = ( + ) ( + ) = (6 + ) ( + ) = podmíka:

13 b) + = + = ( + ) ( ) = + podmíky: 0 0 ±. MOCNINY A ODMOCNINY Mociy Výraz zameá že se jedá o opakováí ásobeí téhož čiitele a -krát. Výraz a azýváme základ mociy (mocěec) a mocitel (epoet). Pro všecha přípustá reálá čísla abm platí ásledující vztahy: = : = ; 0 ( ) = ( ) = = = = = ; 0 Příklad 9. Upravte výraz a staovte podmíky řešitelosti: ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = = = = = = podmíky: 0 0

14 Odmociy Pro každé číslo z možiy všech přirozeých čísel N azýváme -tou odmociou z ezáporého čísla a takové ezáporé číslo b pro ěž platí =. Z defiice vyplývá že =. Číslo ozačujeme výrazem odmocitel (epoet odmociy) a číslo a jako odmocěec (základ odmociy). Pro 0 0; í: = = ; 0 = = Příklad 0. Upravte výrazy: a) 7 b) a) 7 = 7 = 8 = = b) 5 7 = 5 7 = 5 = 5 Odmociy můžeme převést rověž a mociy. K převodu a mociy využijeme vztahu =. Jiou metodou řešeí je převod všech odmoci a jedu společou odmociu. Příklad. Upravte výrazy a staovte podmíky řešitelosti: a) b) c) d)

15 a) = = ( ) = podmíka: 0 b) = = = = = = podmíka: 0 0 c) = = = podmíka: > 0 d) = = = = = = podmíka: 0 Usměrňováí lomeých výrazů Usměrňováí lomeých výrazů zameá že se sažíme ze jmeovatele zlomku odstrait výraz obsahující odmociu. Za tímto účelem je uté zlomek rozšířit a početí výraz který je mu rove ale již eobsahuje odmociu. V případě že se jedá o samotou odmociu je uté rozšířit výraz toutéž odmociou. V případě součtu (rozdílu) obsahujícího odmociu popř. odmociy rozšiřujeme součtem (rozdílem) téhož výrazu dle vztahu ( )( + ) =. Příklad. Usměrěte lomeé výrazy: a) b) 5 c) 5 a) b) = = 5 = = = c) 5 = = = 5 + = 5 +

16 5. ABSOLUTNÍ HODNOTA Absolutí hodota reálého čísla a se ozačuje výrazem a zameá že = a pro a 0 a = a pro a < 0. Absolutí hodota echává ezáporá čísla beze změy a záporá čísla ásobí ( ). Platí že 0. Hodota čísla a je tedy při dosazováí kladých i záporých čísel stále ezáporé číslo. Absolutí hodota uly se rová ule. Absolutí hodota je z grafického hlediska vzdáleost čísla a od 0 tj. od počátku. Příklad. Vypočtěte absolutí hodotu reálých čísel: a) b) c) a) = b) = c) = = 7

17 6 ROVNICE A NEROVNICE Pod pojmem rovice rozumíme zápis rovosti dvou výrazů. Zameá to tedy že se levá straa rovice rová pravé straě rovice tj. L() = P() kde je proměá. Rovice řešíme a oboru proměé což je ěkterý z číselých oborů (R N Z atd.). Nezámou (proměou) ozačujeme písmey ejčastěji písmeem. Jestliže budeme řešit rovici v oboru (možiě) reálých čísel R tak platí zápis R. Koře rovice (řešeí rovice) je hodota proměé tj. číslo pro které platí že po dosazeí do rovice vytvoří rovost. Levá straa rovice se bude rovat pravé straě rovice. Možiu všech kořeů (řešeí) rovice azýváme K a je vždy podmožiou oboru proměé. Při řešeí rovic se používají ekvivaletí úpravy. Jedá se o úpravy rovic při kterých se možia kořeů K eměí. Ekvivaletí úpravy: - vzájemá výměa stra rovice - ahrazeí vybraé stray rovice výrazem který je jí v celém defiičím oboru řešeí rovice rove - přičteí téhož výrazu ebo reálého čísla k oběma straám rovice - vyásobeí obou stra rovice týmž reálým číslem růzým od uly popř. týmž výrazem který je defiová v celém oboru řešeí rovice. Ekvivaletí úpravy eměí možiu řešeí rovice. Při řešeí iracioálích rovic kdy se proměá achází pod odmociou je ezbyté použít eekvivaletí úpravy a obě stray rovice umocit. Umocňováí a odmocňováí eřadíme mezi ekvivaletí úpravy. Zkouška je ezbytou součástí řešeí jestliže v průběhu řešeí rovice byly použity eekvivaletí úpravy. V případě že při řešeí byly použity pouze ekvivaletí úpravy zkouška eí utá. Zkoušku je ovšem možé provést a to z důvodu kotroly umerické správosti výsledku. Eistuje ěkolik druhů rovic lieárí kvadratické epoeciálí logaritmické či goiometrické rovice. Pro účely ašeho studia se budeme zabývat rovicemi lieárími a kvadratickými.. LINEÁRNÍ ROVNICE Lieárí rovicí o jedé ezámé azýváme každou rovici + = 0 pro 0. V případě že se ezámá achází ve jmeovateli je ezbyté staovit podmíky řešitelosti rovice. Řešeím rovice v možiě R může být jedo číslo ekoečě moho řešeí popř. rovice emusí mít řešeí žádé: 0 jediým řešeím (kořeem) je = = 0 = 0 rovice má ekoečě moho řešeí tj. možia R = 0 0 rovice emá řešeí

18 7 Příklad. V možiě R řešte rovici: = Obě stray rovice vyásobíme ejmeším společým jmeovatelem (0) abychom odstraili zlomky. Rovice má po ekvivaletí úpravě ásledující tvar: = /.0 0 (7 ) +. = 6 (7 5) = = = 00 = 5 Rovice má jede koře K = {5}. Příklad. V možiě R řešte rovici: = 6 + Hodota ve jmeovateli esmí být rova 0 proto je uto vymezit podmíky ;. Výraz upravíme a obě stray rovice vyásobíme společým jmeovatelem ( )( + ). ( + )( + ) + ( ) ( )( + ) = ( + ) = 6 = = Vzhledem ke skutečosti že dle podmíek se rovice je prázdá možia = emá daá rovice řešeí tj. kořeem. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Soustava rovic je situace kdy hledáme více ezámých (proměých) které vyhovují všem rovicím současě.

19 8 Soustava dvou lieárích rovic o dvou ezámých y má ásledující tvar: + = + = Řešeím soustavy dvou lieárích rovic o dvou ezámých je uspořádaá dvojice [ ]. Řešeím soustavy tří lieárích rovic o třech ezámých je uspořádaá trojice [ ]. Metody řešeí soustav lieárích rovic:. metoda dosazovací z vybraé rovice se vyjádří jeda ezámá pomocí druhé ezámé a dosadí se do rovice druhé. Po ásledém vyřešeí jedé z proměých dojde ke zpětému dosazeí vypočteé proměé do prví rovice a určeí chybějící ezámé.. metoda sčítací jeda popř. obě rovice soustavy se vyásobí vhodým číslem tak aby se po sečteí rovic jeda z proměých vyloučila. Po vypočteí jedé ezámé lze tuto metodu již zkombiovat s metodou dosazovací tj. vypočteou ezámou dosadit do libovolé rovice a dopočíst chybějící proměou.. metoda srovávací z každé rovice se vyjádří jeda proměá a získaé výrazy se položí do rovosti. Vypočteou ezámou pak dosadíme do libovolé rovice a dopočítáme chybějící proměou.. metoda maticová do maticového schématu doplíme číselé koeficiety jedotlivých proměých a postupujeme pomocí úprav a trojúhelíkový tvar. 5. metoda grafická a základě grafického zázorěí soustavy rovic hledáme řešeí (apř. v případě soustavy lieárích rovic se jedá o průsečík přímek). Příklad. Řešte v R soustavu rovic: + = = + = řešíme metodou dosazovací = = + ( ) = = = y =. = = 6 = = Řešeím soustavy rovic je uspořádaá dvojice [; ].

20 9 Příklad. Řešte v R soustavu rovic: + = 5 = + = 5 = Řešíme metodou sčítací. + = /. ( 5) + = /. 5 = /. 5 = /. 0 5 = = 8 0 = = 9 9 = 76 9 = 9 = = Řešeím soustavy rovic je uspořádaá dvojice [; ]. Příklad 5. Řešte v R soustavu rovic: = 5 + = 0 Řešíme metodou srovávací tj. z každé rovice vyjádříme proměou : = = 5 + = 0 = 0 5 = 0 5 /.5 5( ) = (0 ) = 0 5 = 90 9 =. 9 = 95 = = 5 Řešeím soustavy rovic je uspořádaá dvojice [; 5].

21 0. LINEÁRNÍ NEROVNICE Pod pojmem erovice rozumíme zápis erovosti dvou výrazů v ichž se vyskytuje ezámá. Nerovice se tedy liší od rovice zaky erovosti < >. Při řešeí erovic používáme ekvivaletí úpravy: - výměa stra erovice se současou změou zaku erovice - ahrazeí stray erovice výrazem který je jí v celém oboru řešeí erovice rove - přičteí téhož výrazu ebo reálého čísla k oběma straám erovice - vyásobeí obou stra erovice týmž reálým číslem růzým od uly. Lieárí erovice se může vyskytovat ve tvaru > ebo + < 0 kde. POZOR! Násobíme-li obě stray erovice stejým kladým číslem zak erovosti se ezměí. Jiá situace ovšem astává ásobíme-li obě stray erovice stejým záporým číslem pak se zak erovosti obrátí. Příklad 6. V možiě R řešte erovici: /. (7 ) Možia všech řešeí lieárích erovice je K = ; ). Příklad 7. V možiě R řešte erovici: <

22 < Nerovici je uté převést do aulovaého tvaru kdy a pravé straě erovice bude číslo 0. Pak je třeba a levé straě erovice staovit společý jmeovatel a erovici upravit < ( + 6) < 0 < 0 Po ekvivaletích úpravách erovice postupujeme metodou ulových bodů. Zjistíme kdy se čitatel a jmeovatel rová ule. Tyto ulové body rozdělí možiu reálých čísel a itervaly. Ve vymezeých itervalech budeme pomocí dosazováí libovolého čísla z itervalu zjišťovat kladou či záporou hodotu čitatele jmeovatele a výsledého podílu. Nulové body: = = 0 = = 6 ( ; 6) ( 6; ) (; ) Dle posledího řádku v tabulce zjistíme který iterval vyhovuje erovici. V ašem případě se jedá o prostředí iterval kde se achází zaméko míus eboť výraz má být záporý. Nulové body do možiy všech řešeí dle zadáí erovice < 0 epatří tj. kořeem je = ( 6; ).. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH NEROVNIC Soustavu lieárích erovic řešíme aalogicky jako samotou erovici. Každou erovici soustavy vyřešíme zvlášť. Možiou všech řešeí soustavy erovic je průikem řešeí jedotlivých erovic soustavy.

23 Příklad 8. Řešte soustavu erovic: < < + /. ( ) < ( + ) < < > = ( ; = 7 ; + = = ( ; 7 ; + = 7 ;. KVADRATICKÁ ROVNICE Kvadratická rovice má tvar + + = 0 0. Čísla azýváme koeficiety kvadratické rovice: kvadratický čle lieárí čle absolutí čle Řešeím této rovice je = ± = ± pro D 0. Výraz = ozačujeme pojmem diskrimiat: > 0 rovice má dva růzé reálé kořey = 0 rovice má jede dvojásobý reálý koře < 0 rovice emá v oboru reálých čísel řešeí (řešeí eistuje v oboru kompleích čísel). Hodota diskrimiatu D rozhoduje o počtu řešeí kvadratické rovice. Kvadratickou rovici lze zapsat rověž jako souči kořeových čiitelů: + + = ( )( ) = 0.

24 Příklad 9. V oboru reálých čísel R řešte rovici: + = + = / ( + ) 0 + ( + )( + ) = ( + ) = = = 0 / ( ) + = 0 = () ( ) = + 6 = 0 = = = = = Příklad 0. = = = + 5 = 5 V oboru reálých čísel R rozložte kvadratické rovice a souči kořeových čiitelů: a) + = 0 b) 7 + = 0 c) 8 9 = 0 d) = 0 e) = 0 f) 5 = 0 g) = 0 a) + = ( )( + ) = 0 b) 7 + = ( )( ) = 0 c) 8 9 = ( + )( 9) = 0 d) = ( + 0)( ) = 0 e) = ( + 0)( + ) = 0 f) 5 = ( 5)( + 5) = 0 g) = ( ) = 0

25 .5 KVADRATICKÉ NEROVNICE Kvadratická erovice má jede z ásledujících tvarů: > < 0 0. Postup při řešeí kvadratické erovice spočívá v metodě ulových bodů které rozdělí číselou osu a itervaly. V těchto itervalech zjišťujeme pomocí dosazeí libovolého čísla z daého itervalu hodotu kladou ebo záporou. Kvadratické erovice lze řešit rověž pomocí grafického zázorěí kvadratické fukce kdy zjišťujeme která část fukce leží ad osou ( + + > 0) popř. pod osou ( + + < 0). Příklad. V možiě reálých čísel řešte erovici: ( )( ) 0 Nulové body: = 0 = 0 = = ( ; ) (; ) (; ) ( )( ) + + Hledaé itervaly vyhovující daé erovice jsou oba krají itervaly. Vzhledem ke skutečosti že se erovice může rovat ule patří do možiy všech řešeí erovice rověž vymezeé ulové body a tj. = (- ; ; )..6 EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE Epoeciálí rovice obsahují ezámou v epoetu moci. Při řešeí epoeciálích rovic využíváme ásledujících vztahů (platí pro všecha a b R ): f ( ) g( ) a) a a f ( ) g( ) f ( ) g( ) b) a b f log a g logb.

26 5 Příklad. Řešte v R erovici 6 8. Obě stray rovice postupě upravujeme tak aby byly vyjádřey ve tvaru moci o stejém základu ) ( Příklad. Řešte v R erovici ) ( ) ( LOGARITMUS ČÍSLA LOGARITMICKÁ ROVNICE Logaritmus kladého čísla při základu z ( z R ) je epoet y kterým musíme umocit daý základ z abychom dostali daé číslo : log z y y z

27 6 Např.: log 6 protože 6 log 5 8 protože Pro každé z R platí: ) log z z ) log z 0. Pro každé a b z R z platí: ) log ab log a log b z z z a ) log z log z a log z b b ) log a r log a r R. Pozámka. ) dekadický logaritmus log 0 ozačujeme jako log ) přirozeý logaritmus log e ozačujeme jako l (e - Eulerovo číslo). z r z Příklad. Vypočtěte ezámou z ásledujících rovic: a) log b) log c) l 0 d) log 6 y e) log y f) log 000 y g) log z 5 h) log z 7. 7 a) log 8 b) log 0 c) l 0 e y y d) log 6 y 6 y y y e) log y y 7 7 y y f) log 000 y y g) log z 5 z 5 z 5 h) log 7 z 7 z 7. z Příklad 5. Řešte v R rovici log Defiičí obor rovice: log

28 7 0 D. Levou strau rovice upravíme použitím pravidla o součtu logaritmů a pravou strau vyjádříme pomocí logaritmu. log log log ( ) log ( ) log 05 log 0 Řešeím rovice je protože druhý koře eleží v defiičím oboru rovice. Příklad 6. Řešte v R rovici log log log. Defiičí obor rovice: D. Levou strau rovice upravíme použitím pravidla o rozdílu logaritmů a pravou strau vyjádříme pomocí logaritmu. log log log log00 log 00 log log log

29 8 REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ. VLASTNOSTI REÁLNÝCH FUNKCÍ; DEFINIČNÍ OBOR FUNKCE Reálá fukce f jedé reálé proměé (dále je fukce) je možia všech uspořádaých dvojic y R R pro které platí: pro každé R eistuje ejvýše jedo y R tak že y f. Defiičí obor fukce f (ozačujeme D(f)) je možia všech jedo y R takové že y f. R pro která eistuje právě Obor hodot fukce f (ozačujeme H(f)) je možia všech y R pro která eistuje alespoň jedo R takové že y f. Mootóí fukce zahrují fukce rostoucí klesající erostoucí a eklesající. Jsou to takové fukce které splňují pro každou dvojici čísel ( M D( f )) ásledující podmíky: Jestliže f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) pak fukce f je v M rostoucí klesající eklesající erostoucí. Fukce klesající a rostoucí azýváme ryze mootóí. Fukce f je a D(f) prostá jestliže každým dvěma hodotám D( f ) kde přiřazuje hodoty f ( ) f ( ). Je-li fukce f prostá v možiě D(f) pak fukce která přiřazuje každému y H( f ) hodotu D( f ) tak že platí y f ( ) se azývá fukcí iverzí k fukci f (ozačujeme f ). Platí že D(f) = H( f ) H(f) = D( f ). Grafy fukcí f a f jsou avzájem souměré podle osy I. a III. kvadratu.

30 9 Příklad. Určete defiičí obor fukcí: a) f : y b) f : y c) : log9 f y. a) Protože jmeovatel zlomku musí být růzý od uly platí 0. Kořey kvadratické rovice 0 jsou. Tz. že. D f R b) Vzhledem k tomu že druhá odmocia je defiováa v R pouze pro ezáporá čísla budou platit ásledující podmíky: 0 0. Řešíme erovici v podílovém tvaru metodou ulových bodů. 0 D f c) Protože logaritmická fukce je defiováa pouze pro kladý argumet platí: D f `. LINEÁRNÍ FUNKCE Lieárí fukce je každá fukce daá předpisem y a b kde a b R a 0. Jejím grafem je přímka. Platí: a) D( f ) H( f ) R b) a 0 lieárí fukce je rostoucí a 0 lieárí fukce je klesající c) lieárí fukce je vždy prostá.

31 0 Je-li a 0 pak fukce y b přímka rovoběžá s osou. se ozačuje jako fukce kostatí. Grafem takovéto fukce je Příklad. Určete lieárí fukci f jestliže její graf prochází body a 5. Vypočtěte průsečíky grafu daé fukce se souřadicovými osami. Zjistěte zda a grafu fukce leží body A B. Lieárí fukce má rovici y a b. K určeí ezámých koeficietů a b využijeme dvou zadaých bodů které leží a grafu fukce a jejich souřadice musí vyhovovat rovici lieárí fukce. y a b : a b 5 : 5 a b Řešeím vziklé soustavy dvou rovic o dvou ezámých je a b. Hledaá fukce má tedy rovici y. Průsečíky grafu fukce přímky se souřadicovými osami: a) průsečík s osou má y 0 tz. že hledaý bod je b) průsečík s osou y má 0 tz. že hledaý bod je 0 0. Průsečíky se souřadicovými osami jsou X Y X 0 : 0 Y 0 y : y 0 y. Mají-li body A B ležet a grafu určeé fukce musí jejich souřadice vyhovovat rovici této fukce.

32 A y : 5 A f B : B f Fukce má rovici y Její průsečíky se souřadicovými osami jsou Ze zadaých bodů leží a grafu fukce pouze bod B. Příklad. Napište rovici lieárí fukce y a b která prochází body P 7a Q 5. Dosadíme oba body do rovice y a b : P 7 7 a b Q 5 5 a b Řešeím soustavy dostáváme a b. Rovice lieárí fukce je y.. KVADRATICKÁ FUNKCE Kvadratická fukce je každá fukce daá rovicí y a b c kde a b c R a 0. Grafem této fukce je parabola. Platí: a) D( f ) R b) a 0 ve vrcholu paraboly je miimum fukce fukce je omezeá zdola a 0 ve vrcholu paraboly je maimum fukce fukce je omezeá shora c) kvadratická fukce eí prostá. Příklad. Vypočtěte průsečíky s osami kvadratické fukce y 8.

33 Průsečíky s osami P... 0 ; P P 7 ; 8 7 y y 0 y 8 0 ; P 70 P 0 8 y.0 8 dostaeme řešeím rovic: Příklad 5. Určete kvadratickou fukci o íž víte že ( ) 5 f (6) 5 f 9 f. Hledaé koeficiety kvadratické rovice dostaeme řešeím soustavy rovic: y a b c 5 : 5 a b c 6 5 : 5 6a 6b c 9 : 9 6a b c Řešeím této soustavy je a b 8 c 7. Hledaá kvadratická fukce má rovici y EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE Epoeciálí fukce je každá fukce daá rovicí y a kde a R +. Grafem je epoeciálí křivka která vždy prochází bodem 0. Platí: a) D( f ) R H( f ) R + b) a fukce je rostoucí 0 a fukce je klesající c) epoeciálí fukce je vždy prostá. V matematice je velmi důležitá epoeciálí fukce y e lim e 7. e kde e je Eulerovo číslo

34 Příklad 6. b Určete pro která reálá čísla b je fukce y b rostoucí. Daá fukce je fukcí epoeciálí kde a b b b. b Epoeciálí fukce je rostoucí jestliže a tz. že. b Řešíme vziklou erovici (převedeme ji ejdříve do aulovaého tvaru a pak do podílového tvaru dále pokračujeme metodou ulových bodů). b 0 b b 0 b + _ + Fukce je rostoucí jestliže b Příklad Je dáa epoeciálí fukce. y. Vypočtěte průsečíky s osami a hodotu fukce v bodě Průsečíky s osami P... 0 ; P 0... y dostaeme řešeím rovic: 0 Rovice emá řešeí tz. průsečík s osou eeistuje. 0 y y P 0. y y. y

35 .5 LOGARITMICKÁ FUNKCE Logaritmická fukce je každá fukce daá předpisem y log z kde z R +. Grafem je logaritmická křivka která vždy prochází bodem ; 0. Platí: a) D( f ) R H( f ) R b) z fukce je rostoucí 0 z fukce je klesající c) logaritmická fukce je vždy prostá. Pozámka. Logaritmická fukce y log je fukcí iverzí k epoeciálí fukci a y. Jejich grafy jsou souměré dle osy I. a III. kvadratu (přímka y ). a Příklad 8. Určete defiičí obor fukce log y. 6 0 Defiičím oborem každé logaritmické fukce jsou pouze kladá čísla a proto platí že 6 0 Trojčle 6 0 je v R erozložitelý (diskrimiat je záporý) hodota tohoto výrazu je vždy kladá tj Takže čitatel musí být také kladý. Řešíme tedy erovici D ( f ) Příklad 9. Určete pro které reálé hodoty parametru a je fukce y log a rostoucí. Logaritmická fukce je rostoucí je-li její základ z větší ež. a a Nerovici aulujeme a převedeme do podílového tvaru. a a 0 a

36 5 0 a Číslo je kladé a 0. Rozložíme a řešíme metodou ulových bodů. a a 0 a.

37 6 5 POSLOUPNOSTI A ŘADY 5. POJEM POSLOUPNOSTI ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI POSLOUPNOSTI Posloupost je fukce defiovaá a možiě přirozeých čísel. Její -tý čle je fukčí hodota fukce přiřazeá přirozeému číslu (ozačujeme a ) tedy a = f(). Grafem poslouposti je možia izolovaých bodů a. Zápis poslouposti: a a...a... resp. a. V tomto případě se jedá o posloupost ekoečou. Je-li defiičí obor poslouposti omeze tj. D =... 0 jedá se o 0 posloupost koečou začíme kde 0 N. a Protože posloupost je zvláštím případem fukcí může být stejě jako fukce rostoucí klesající erostoucí právě tehdy jestliže pro každé N platí eklesající kostatí a a a a a a a a a a. Zadáí poslouposti: ) výčtem (jsou-li koečé) ) graficky ) předpisem: a) vzorcem pro -tý čle b) rekuretě. Příklad. a) Napište prvích pět čleů poslouposti. b) Napište prvích pět čleů poslouposti a Vypočtěte a 00.. c) Napište prvích pět čleů poslouposti daé rekuretím vzorcem a a a a a.

38 7 a) a 7 a a 5 00 a a a b) a ; a ; a 8; a 6; a. 5 c) a a a a a 5 a a a a a a 5. ARITMETICKÁ POSLOUPNOST Posloupost se azývá aritmetická právě tehdy eistuje-li takové reálé číslo d tak že pro každé přirozeé číslo platí a + = a + d. V aritmetické poslouposti je rozdíl a a každých dvou sousedích čleů kostatí. Tuto kostatu d ozačujeme jako difereci aritmetické poslouposti. Je-li a) d 0 je aritmetická posloupost rostoucí b) d 0 je aritmetická posloupost klesající c) d = 0 je aritmetická posloupost kostatí. Základí vztahy platící v aritmetické poslouposti: ) a a d ) ar as r sd kde r s a a ) a

39 8 ) s ( a a ) kde s je součet prvích čleů aritmetické poslouposti. Vztah ) vyjadřuje že v aritmetické poslouposti je každý čle (mimo prvího) aritmetickým průměrem čleů sousedích proto se této poslouposti říká aritmetická. Příklad. V aritmetické poslouposti je a = d =. Určete a s. Dosadíme do vztahu a a d a dostáváme: a a d. a a. Dosadíme a = d = : 8 Dosadíme do vztahu pro součet s ( a a ) : s ( 8) s 8. Příklad. Určete a d v aritmetické poslouposti pro kterou platí: a a Dosadíme a a 6. a a d ; a a d a řešíme soustavu: a d a d Řešeím soustavy je a ; d. a d a 6. Příklad. Určete počet všech trojciferých čísel dělitelých sedmi. Prví trojciferé číslo dělitelé sedmi je 05 posledí trojciferé číslo dělitelé sedmi je 99. Ozačíme: a 05 a 99 d 7? a a + d Trojciferých čísel dělitelých sedmi je GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST Posloupost se azývá geometrická právě tehdy eistuje-li takové reálé číslo q tak že pro každé přirozeé číslo platí a + = a q. Platí tedy že v geometrické poslouposti je podíl a každých dvou sousedích čleů kostatí. Tuto kostatu q ozačujeme jako kvociet a geometrické poslouposti.

40 9 Základí vztahy které platí pro geometrickou posloupost: ) a a q ) a a q r s r s kde r s ) a a a ) s a q pro q q s.a pro q = kde s je součet prvích čleů geometrické poslouposti. Vztah ) vyjadřuje že v každé geometrické poslouposti je absolutí hodota každého čleu (s výjimkou prvího) geometrickým průměrem sousedích čleů proto se této poslouposti říká geometrická. Grafem geometrické poslouposti pro jejíž kvociet platí že q R je možia (izolovaých) bodů které leží a epoeciálí křivce eboť vzorec pro -tý čle a a q je epoeciálí fukcí proměé N. Příklad 5. Je dáa geometrická posloupost a q. Vypočtěte a s. 5 5 Dosadíme 5 a q do vztahu a a q s a q q 5 s5 s5 : a. a Příklad 6. V geometrické poslouposti je a Dle vztahu ) platí : a A) Pro q = : a 8 a. Určete a q a 0 s 0. 6 a6 a q q a 6 q q. Úloha má dvě řešeí q = q =. 8 a a a q 9 9 a0 aq a0 5.. s a q s 0. q

41 0 B) Pro q = : a a q s 0 =. 8 a a a0 aq a0.. 0 s 0. ( ) s 0. Příklad 7. V geometrické poslouposti platí: a + a = a + a = 8. Určeme tuto posloupost (tj. určete a q). Do daých dvou rovic dosadíme vztah ): a + a q = a q + a q = 8. Dostali jsme soustavu dvou rovic o dvou ezámých kterou řešíme. a ( + q ) = a q ( + q) = 8 Rovice avzájem vydělíme a vziklé zlomky krátíme. a q aq q a q q a q q q 8 8 q q 7 q q 0q 0 q q Úloha má dvě řešeí: A) q a B) q a NEKONEČNÁ GEOMETRICKÁ ŘADA Jsou-li a a a...a...čley poslouposti a pak výraz se azývá ekoečá řada. a + a + a a +... = a

42 Je-li dáa posloupost geometrická tj. a a q pak příslušá řada a a q a q... a q... a q se azývá ekoečá geometrická řada. Nekoečou geometrickou řadu lze sečíst právě tehdy jestliže je q. Říkáme že daá a řada je kovergetí. Její součet je s. q V opačém případě tj.q řada emá součet říkáme že je divergetí. Příklad 8. Zjistěte zda ásledující řady jsou kovergetí. V kladém případě určete součet řady. a) b). a) Jedá se o ekoečou geometrickou řadu s kvocietem q který splňuje podmíku a kovergece tj. áleží do itervalu (- ). Daou řadu lze sečíst podle vzorce s kde q a = q : s Řada je kovergetí její součet s 7. s. 7 b) Jedá se o ekoečou geometrickou řadu kde q splěa. Řada je divergetí (emá součet).. Podmíka kovergece eí

43 6 KOMBINATORIKA 6. FAKTORIÁL Je-li přirozeé číslo pak souči ( - )( - )( - )... se azývá -faktoriál a začí se!. Dále platí že 0! =. To zameá že! je defiová pro všecha N 0 tuto možiu ozačujeme jako N 0. Příklad. Upravte: a)! 0! 0!! b)!.! a)! 0!.. 0.! 0! ! 0! 0..! 0!. b) Daý výraz je defiová pro všecha přirozeá čísla která splňují ásledující podmíky: 0 0 Výraz postupě upravujeme!!!!. Příklad. Řešte v N rovici! 8.! Defiičí obor rovice: 0 0. V rovici odstraíme faktoriály algebraickými úpravami rovici zjedodušíme a kvadratickou rovici:! 8! ;

44 Defiičímu oboru rovice vyhovuje řešeí. 6. VARIACE A PERMUTACE Jsou-li k přirozeá čísla ( k ) a M je -prvková možia pak variace k-té třídy z -prvků je každá uspořádáa k-tice a a... a k jejíž složky jsou avzájem růzé prvky možiy M. Počet variací k-té třídy z prvků (bez opakováí) je! V k ( ) ( )( )...( k ). ( k)! k čiitelů Zvláštím případem je situace pro k = tedy tvoříme-li z daých rozdílých prvků růzé uspořádaé -tice. V tomto případě hovoříme o permutacích z prvků. Počet permutací z prvků (bez opakováí) je P( ) V ( ) ( )...! Příklad. Kolik eistuje trojciferých a čtyřciferých čísel s avzájem růzými ciframi jež lze apsat užitím cifer: a) ; b) 0. a) Každé trojciferé číslo vytvořeé z číslic je vlastě uspořádaá trojice vytvořeá z daých čtyř cifer (tj. záleží a pořadí prvků) jedá se tedy o variace třetí třídy ze prvků. Jejich počet je V (). Aalogicky každé čtyřciferé číslo vytvořeé z číslic je uspořádaá čtveřice vytvořeá ze prvků. Jsou to tedy variace čtvrté třídy ze prvků tj. permutace ze prvků. Těch je V () P()!. Trojciferých a čtyřciferých čísel s avzájem růzými ciframi vytvořeých z čísel je celkem 8. b) Opět tvoříme uspořádaé trojice ze prvků kterých je V (). Jejich počet však musíme sížit o všechy uspořádaé trojice začíající číslicí 0 ( jedalo by se totiž o dvojciferé číslo) těch je V () 6. Cifra 0 je totiž již pevě vázaá a prvím místě ve trojici a proto uvažujeme již je uspořádaé dvojice které jsou vytvořey ze zbylých tří cifer. Trojciferých čísel vytvořeých z číslic 0 je tedy V () V () 6 8. Počet čtyřciferých čísel vypočteme podobě: V () V () P() P()!! 6 8. Trojciferých a čtyřciferých čísel s avzájem růzými ciframi vytvořeých z číslic 0 je celkem 6.

45 Příklad. Zmeší-li se počet prvků o dva zmeší se počet permutací vytvořeých z těchto prvků dvacetkrát. Určete původí počet prvků. Původí počet prvků je tz. že počet permutací je P( )!. Bude-li prvků o dva méě bude permutací P( ) ( )!. Odtud lze pak sestavit rovici o ezámé kterou řešíme. P( ) P( ) 0 ( )!! 0 0( )!! 0( )! ( )( )! 0 ( ) Možia měla 5 prvků KOMBINAČNÍ ČÍSLO Nechť k N0 k. Pak číslo azýváme kombiačí číslo. k k Platí: ) k!... k! k! k! ) ) ) k k k k k. Příklad 5. Vypočtěte:

46 5 9 9! 9!! ! ! Příklad 6. Řešte v N rovici: Defiičí obor rovice. Vypočteme kombiačí čísla: !. Dále zjedodušíme kombiačí čísla s ezámou dle vztahu ): 0 Dosadíme do rovice:!!.!..!.!!.!! / Defiičímu oboru rovice vyhovuje pouze koře =. 6. KOMBINACE Řešme yí ásledující problém. Mějme -prvkovou možiu M a b c d z této možiy všechy její tříprvkové podmožiy. Kolik jich je? Velmi sado určíme počet těchto podmoži jejich výčtem: M a b c M a b d M a c d M b c d.. Vytvořme

47 6 Hledaé podmožiy jsou tedy čtyři. Důležité je že v ich ezáleží a pořadí prvků. Hovoříme o tzv. kombiacích třetí třídy ze prvků. Obecě lze říci že kombiace k-té třídy z prvků je každá k-prvková podmožia daé M k. Počet těchto kombiací je dá vztahem -prvkové možiy C k ( ). k Příklad 7. Vypočtěte kolika způsoby lze z pěti chlapců a osmi dívek vybrat pětičleou skupiu v íž jsou: a) právě tři chlapci b) aspoň tři chlapci. a) Máme-li vybrat z pěti chlapců tři vytváříme vlastě tříprvkové podmožiy způvodí 5 pěti prvkové možiy kterých je C (5). Skupiu doplíme ještě dvěma dívkami 8 z osmi počet možostí je C (8). Podle kombiatorického pravidla součiu vziklá kombiačí čísla vyásobíme. 5 8 Pětičleou skupiu o třech chlapcích lze vytvořit 80 způsoby. b) Mají-li být ve skupiě aspoň tři chlapci mohou tam být buď právě tři čtyři aebo pět chlapců. Každou z těchto možostí řešíme tak jako v případě předchozím a výsledky sečteme Pětičleou skupiu ve které jsou aspoň tři chlapci lze vytvořit způsoby.

48 7 7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE 7. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V ROVINĚ ) Parametrické rovice přímky Je-li přímka p určea bodem Aa aa eulovým směrovým vektorem ss s všechy body X y které a přímce leží platí: X A t. s t R a t. s potom pro y a t. s. Tyto rovice ozačujeme jako parametrické rovice přímky parametrem je reálé číslo t. Je-li směrový vektor s AB kde body Aa a Bb b parametru t vystihout těmito rovicemi polopřímku úsečku apod.: a) pro t = 0 dostaeme bod A áleží přímce p pak lze pomocí b) pro t = dostaeme bod B c) pro t 0 se jedá o aalytické vyjádřeí úsečky AB d) pro t 0 se jedá o aalytické vyjádřeí polopřímky AB e) pro t 0 AB. se jedá o aalytické vyjádřeí polopřímky opačé polopřímce ) Obecá rovice přímky Obecá rovice přímky je a by c 0 kde a b R (alespoň jedo z ich je eulové). Koeficiety a b jsou souřadice tzv. ormálového vektoru a b. Normálový vektor přímky je vektor kolmý k přímce p tz. je kolmý i k vektoru směrovému s který je v tomto případě s b a. ) Směricový tvar rovice přímky Směricový tvar rovice přímky je y k q kde k se azývá směrice přímky a platí že k tg. je směrový úhel přímky což je úhel který svírá přímka p s kladou částí osy 0 Příklad. Přímka p je dáa body A B. a) Napište její parametrické rovice rovici obecou i směricovou.. b) Zjistěte zda a této přímce leží bod M c) Zjistěte zda bod N 5 leží a úsečce AB. d) Určete směrový úhel přímky p. a) Směrový vektor přímky p je s AB s B A s5 Parametrické rovice přímky : X A ts t R..

49 8 5t y t. Obecou rovici dostaeme vyloučeím parametru t (prví rovici vyásobíme číslem druhou číslem 5 a obě rovice sečteme. 9 5t 5y 5 5t 5y 5y 0 Obecou rovici můžeme získat i tak že si vyjádříme ormálový vektor z vektoru směrového s s : s5 5. Normálový vektor pak dosadíme do obecé rovice přímky: 5y c 0. Koeficiet c vypočteme dosazeím bodu A (ebo B) do takto získaé rovice: A p: ( ) 5. c 0 c. Obecá rovice přímky je 5y 0. Směricovou rovici přímky získáme z obecé rovice osamostatěím proměé y: y 5 5. b) Má-li bod M ležet a přímce p musí jeho souřadice vyhovovat rovici této přímky. Proto souřadice bodu M dosadíme do rovice přímky (parametrické obecé či směricové). Dosazeím apř. do obecé rovice dostaeme: = 0 0 M p. Bod M eleží a přímce p. c) Máme-li zjistit zda bod N 5 leží a úsečce AB musíme jeho souřadice dosadit do parametrických rovic této přímky a vyřešit z obou rovic parametr t. Bude-li parametr t 0 což je podmíka pro úsečku AB pak bod N této úsečce áleží: 5t t 5 t t 5 5 Bod N je bodem úsečky AB. bod N je bodem úsečky AB. d) Směrový úhel přímky p zjistíme ze směricového tvaru přímky: y tg Směrový úhel přímky p je Příklad. Jsou dáy body R 5 S T. Napište rovici procházející bodem T tak aby byla a) rovoběžá s přímkou RS b) kolmá a přímku RS.

50 9 a) Ozačme hledaou přímku p. Protože přímka p je rovoběžá s přímkou RS mají stejé směrové vektory tz. že vektor RS je současě i směrovým vektorem přímky p: RS S R 7 s p. Ze směrového vektoru určíme pak vektor ormálový: s 7 7. p Obecá rovice přímky p: 7y c 0. T p :. 7 c 0 c. Obecá rovice přímky p je 7y 0. b) Ozačme přímku kolmou a přímku RS a procházející bodem T jako q. Protože q je kolmá a přímku RS musí být její ormálový vektor rove směrovému vektoru přímky RS : qrs RS 7. q q Obecá rovice přímky q : 7 y c 0 T q: 7. c 0 c 6. Obecá rovice přímky procházející bodem T a kolmé a přímku RS je 7 y 6 0. Polohové vztahy přímek v roviě Dvě přímky p q v roviě mohou být totožé rovoběžé (růzé) ebo růzoběžé. a) Totožé přímky (p=q) mají ekoečě moho společých bodů. Jejich ormálové (resp. směrové) vektory jsou a sobě závislé tj. k (resp. s ks ) k 0. p b) Rovoběžé přímky (růzé) emají žádý společý bod. Jejich ormálové (resp. směrové) vektory jsou rověž závislé. c) Růzoběžé přímky mají společý právě jede bod tzv. průsečík. Jejich ormálové (resp.směrové) vektory jsou ezávislé. Příklad. Určete vzájemou polohu přímek p q r jestliže p: y 0 q: y r: t y t t R. Rovice všech tří přímek vyjádříme v obecém tvaru. p: y 0 q: y y 0 r: t y y t 5 0 Přímky p r mají shodé ormálové vektory jejich obecé rovice se liší pouze v absolutím čleu a proto jsou přímky p r rovoběžé. Přímka q má ormálový vektor. Teto je s ormálovým vektorem přímek p r růzoběžý takže i přímka q je s přímkami p r růzoběžá. p q p q

51 50 Určíme průsečík P přímky p s přímkou q. p : y 0 q: y 0 0 y 0 P 0 Nyí vypočteme průsečík P přímky r s přímkou q. r: y 5 0 q: y y 9 P 9 Přímky p r jsou rovoběžé přímka q je s imi růzoběžá. Příslušé průsečíky jsou P 0 P KUŽELOSEČKY KRUŽNICE Kružice je možia všech bodů v roviě které mají od pevého bodu S stejou vzdáleost r (S je střed kružice r její poloměr). Rovice kružice: S 0 0 : y r. ) střed S je v počátku soustavy souřadic tj. ) střed S je v bodě S : Příklad. m m y r tzv. středová rovice y A By C 0 tzv. obecá rovice. Napište obecou rovici kružice jejímž průměrem je úsečka AB kde A B0 7. Střed S hledaé kružice je středem daé úsečky AB poloměr r kružice je vzdáleost bodů S A (resp. S B): A B S S6 r SA r 6 5. Středová rovice kružice je y 6 5. Odtud získáme algebraickou úpravou rovici obecou. Obecá rovice kružice je y 8y 7 0. Příklad 5. Určete vzdáleost bodu M 9 od středu kružice a) y 6 y 0 b) y 6 y 6 0.

52 5 a) Obecou rovici kružice převedeme do středového tvaru (tzv. doplěí a čtverec). y 6 y 0 y y y Daá kružice má střed S poloměr r = 6. Vzdáleost bodů MS: MS 9 5. Vzdáleost bodu M od středu kružice k je. b) Rovici krátíme číslem a pak obě proměé y doplíme a čtverec. y 6 y 6 0 /: y 8 y 8 0 y y y Tato rovice však evyhovuje žádé uspořádaé dvojici y protože levá straa rovice je vždy ezáporá pravá záporá. Daá rovice ebyla tedy rovicí kružice (ai žádé jié křivky). Nelze staovit vzdáleost bodu M od středu křivky která eeistuje. 7. VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A KRUŽNICE Přímka v roviě je a) sečou kružice má-li s í dva společé body b) tečou kružice má-li s í jede společý bod c) vější přímkou kružice emá-li s í žádý společý bod. Příklad 6. Vypočtěte délku tětivy kterou vyte přímka a poloměru r = 5. Rovice kružice je y 5. Z rovice přímky vyjádříme y. Řešíme soustavu rovic dosazovací metodou: y = 0 a kružici o středu S

53 = Řešeím je ; 6. Přímka je tedy sečou kružice. Dopočteme souřadice y ; y 7. 0 Délka tětivy je pak rova vzdáleosti bodu P 0 a bodu 6 7 d P P P.

54 5 LITERATURA. Bušek I. a kol.: Sbírka úloh z matematiky pro IV. ročík gymázií SPN Praha 99.. CibulkováE. KubešováN.: MATEMATIKA přehled středoškolského učiva Petra Velaová Třebíč Coufal J. a kol.: Přijímací zkoušky z matematiky a VŠE v letech 99 a 995 VŠE Praha GodulováM. JaůI.: Příklady k přípravě a přijímací zkoušky z matematiky OPF Karviá Kubát J.: Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k přijímacím zkouškám a vysoké školy SPN Praha Pešková M. a kol.: Přehled středoškolského učiva Matematika ORFEUS Praha Stoklasová R.: Kvatitativí metody OPF Karviá 0.

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11 Témata k ústní maturitní zkoušce z předmětu Účetnictví profilové části maturitní zkoušky Školní rok 2012/2013 třída: 4.T 1. Legislativní úprava účetnictví 2. Účetní dokumentace 3. Manažerské účetnictví

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2 Obsah Definiční obory výrazů s proměnnou... Zápisy výrazů...3 Sčítání a odčítání mnohočlenů...4 Násobení mnohočlenů...5 Dělení mnohočlenů...7 Rozklad mnohočlenů na součin vytýkání...9 Rozklad mnohočlenů

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech:

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Obor Obchodní akademie 63-41-M/004 1. Praktická maturitní zkouška Praktická maturitní zkouška z odborných předmětů ekonomických se skládá z obsahu

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

6.06. Matematika - MAT

6.06. Matematika - MAT 6.06. Matematika - MAT Obor: 36-47-M/01 Stavebnictví Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 12 Platnost učební osnovy: od 1.9.2008 1) Pojetí vyučovacího předmětu a) Cíle vyučovacího

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech:

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: I. Obor Ekonomické lyceum 78-42-M/002 1. Práce s obhajobou z ekonomiky nebo společenských věd: Témata pro práci s obhajobou budou žáci zpracovávat

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRVNÍ/KVINTA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy Žák určuje číselný obor daného čísla (N, Z, Q, R) a rozlišuje základní vlastnosti číselných oborů pracuje

Více

Obsah ZÁKLADNÍ INFORMACE...4 OČEKÁVANÉ VĚDOMOSTI A DOVEDNOSTI...5 TÉMATICKÉ OKRUHY...6 TEST 1 ZADÁNÍ...10 TEST 1 TABULKA S BODOVÝM HODNOCENÍM...

Obsah ZÁKLADNÍ INFORMACE...4 OČEKÁVANÉ VĚDOMOSTI A DOVEDNOSTI...5 TÉMATICKÉ OKRUHY...6 TEST 1 ZADÁNÍ...10 TEST 1 TABULKA S BODOVÝM HODNOCENÍM... Obsah ZÁKLADNÍ INFORMACE...4 OČEKÁVANÉ VĚDOMOSTI A DOVEDNOSTI...5 TÉMATICKÉ OKRUHY...6 TEST 1 ZADÁNÍ...10 TEST 1 TABULKA S BODOVÝM HODNOCENÍM... TEST 1 ŘEŠENÍ...5 TEST ZADÁNÍ...40 TEST TABULKA S BODOVÝM

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Pravidla pro hodnocení a klasifikaci v jednotlivých předmětech a seminářích

Pravidla pro hodnocení a klasifikaci v jednotlivých předmětech a seminářích Pravidla pro hodnocení a klasifikaci v jednotlivých předmětech a seminářích Povinností žáka je napsat seminární práci nejpozději ve 3.ročníku (septima) v semináři (dle zájmu žáka). Práce bude ohodnocena

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů MATEMATIKA Gymnázium PORG Libeň PORG Libeň je reálné gymnázium se všeobecným zaměřením, matematika je tedy na PORGu pilotním předmětem vyučovaným celých osm let. I. Cíle výuky Naši studenti jsou připravováni

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Obsah metodiky. Obsah metodiky... 2 Úvod... Cíle využití metody e-learningu ... ... ... 6 Kurz Matematika Svobodová...

Obsah metodiky. Obsah metodiky... 2 Úvod... Cíle využití metody e-learningu ... ... ... 6 Kurz Matematika Svobodová... Metodika aktivity 04 E-learning Matematika v rámci projektu Škola pro praktický život Zpracovala: Mgr. Zdeňka Hudcová Mgr. Martina Svobodová 2010 TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FONDEM

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Předmět Matematika zahrnuje vzdělávací obor Matematika a její aplikace.

Předmět Matematika zahrnuje vzdělávací obor Matematika a její aplikace. Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu Předmět Matematika zahrnuje vzdělávací obor Matematika a její aplikace. Výuka matematiky přispívá k pochopení kvantitativních a prostorových vztahů reálného

Více

6.6 Matematika. 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu

6.6 Matematika. 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu 6.6 Matematika 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení předmětu: Vyučovací předmět se jmenuje Matematika. Patří do vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace z RVP ZV. Vzdělávací

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace Oblast Předmět Období Časová dotace Místo realizace Charakteristika předmětu Průřezová témata Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace 1. 9. ročník 1. ročník 4 hodiny týdně 2. 5. ročník 5

Více