Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Transkript

1 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady

2 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Harmoogram. Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - poslouposti, fukce, jejich vlastosti, spojitost, derivace, extrémy, lieárí algebra - vektorový prostor, matice, soustavy rovic, aalytická geometrie v prostoru. Literatura F. Bubeík, O. Zidulka, Matematika 1. Skriptum ČVUT, J. Charvát, V. Kelar, Z. Šibrava, Matematika 1. Příklady. Skriptum ČVUT, Zápočet a zkouška. Přibližě v 5., 9. a 13. týdu testy a počítačích (přístupové údaje,... B255. Kalkulačky ejsou povoley. Opravy ejsou možé. 1. a 2. test je z difereciálího počtu, 3. test je z lieárí algebry. Doba 30 miut. V každém testu 4 příklady, maximálě 24 bodů. Pro získáí zápočtu je uté absolvovat všechy 3 testy a získat z ich celkem alespoň 24 bodů. Při zisku b. spec. test (70 %. Špatá odpověď je za -1 bod, ezškrtutá 0 bodů. Cvičé testy a webu katedry Body z testů se započítávají ke zkoušce: 0-10 bodů. Zkouška z MA1 je písemá a ev. i ústí. Písemka má dvě části: difereciálí počet a lieárí algebra + aalytická geometrie. Náhledy. Ústí zkouška - zámka A. Web. - všechy iformace, ukázky testů,...

3 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Kozultace! Podělí hod. ebo jidy dle dohody. Repetitorium. 101XM11 - středa 18:00-19:40, C219, Dr. Kelar, od 29.9., zápis a 1. cvičeí, (úterý, 14:00-15:40, B-368, Dr. Bořík Výběrové předměty. Matematika 2 Matematika 3 Pružost a Pevost (Matlab Matematika 4 v magisterském studiu Volitelá předáška. Kapitoly ze současé matematiky, 101XKSM. Večerí doba, růzá témata, je Z, bez požadavků. Aktuality a webu katedry. Soutěže. Vyčichlova soutěž v matematice, geometrii a iformatice - květe, červe. Rektorysova soutěž v aplikovaá matematice - listopad.

4 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Výroky. Výrok je věta, u které lze posuzovat její pravdivost. Pravdivostí hodota pravda ebo epravda, 1 ebo 0. Příklad. V tomto domě je sedm oke., Všechy židle v této místosti jsou obsazeé., Ať už je pátek., Neriskuj!,... V matematice: Pro každé reálé číslo r existuje celé číslo takové, že r <. ebo Pro všecha prvočísla platí: je-li p prvočíslo, je p + 1 také prvočíslo. Kvatifikátory uiverzálí a existečí. Složeí výroků pomocí alterativy (, kojukce (, implikace (, ekvivalece ( ebo egace (. A B A B A B A B A B A Příklady. 1. Rozdíl mezi x R y R : x < y a y R x R : x < y. 2. Negace výroku N p N : (p > p je prvočíslo je výrok N p N : (p p eí prvočíslo. 3. Co se tvrdí o možiě reálých čísel M? ε > 0 x M, x 5 : x 5 < ε.

5 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Možiy. Prvek x je v možiě A x A Průik moži x A B {x A x B} Sjedoceí moži x A B {x A x B} Rozdíl moži x A \ B {x A x / B} Podmožia A B {x A x B} Kartézský souči dvou moži A a B je možia všech uspořádaých dvojic [x, y], kde x A, y B. Biárí relace je každá podmožia kartézského součiu. Biárí relace se azývá zobrazeí, jestliže pro každé její dvě dvojice [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ] platí x 1 = x 2 y 1 = y 2. Vzory a obrazy. Zobrazeí se azývá prosté, jestliže pro každé jeho dvě dvojice [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ] platí y 1 = y 2 x 1 = x 2. Příklady. 1. Kartézský souči {1, 2} a {1, 8, 9} je {[1, 1], [1, 8], [1, 9], [2, 1], [2, 8], [2, 9]}. Biárí relace je apř. {[1, 1], [1, 8], [1, 9], [2, 1]}. Zobrazeí (e prosté je apř. {[1, 1], [2, 1]}. 2. Kartézský souči (0, 2 a ( 5, 5 je {[x, y]; x (0, 2, y ( 5, 5}. Biárí relace je apř..... Zobrazeí (prosté je apř. {[x, y]; x (0, 2, y = x 2 }..

6 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Možiy čísel. Uspořádáí. Přirozeá čísla 1, 2, 3,..., ozačujeme N. Celá čísla 0, 1, 1, 2, 2,... ozačujeme Z. Racioálí čísla ozačujeme Q. Reálá čísla ozačujeme R. Pomocí symbolu i, pro který i 2 = 1, defiujeme komplexí čísla C. Rozšířeá číselá osa. Možiu R = R { } { } azveme rozšířeou číselou osou. Pro symboly a budeme defiovat x R : < x <, = =, x R, x > : x + = + x =, x R, x < : x + ( = x = + x =, x R, x > 0 : x = x =, x ( = ( x =, x R, x < 0 : x = x =, x ( = ( x =, x x R : = x = 0. Neurčité výrazy, 0, 0 0,.

7 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Uspořádáí R. Nechť A R. z R je horí závora možiy A... x A : x z. Možia A je shora omezeá, jestliže existuje horí závora z R možiy A. V opačém případě je A shora eomezeá. (Podobě dolí závora, zdola omezeá. Možia je omezeá, je-li omezeá shora i zdola. Nejmeší horí závora možiy se azývá supremum možiy a ejvětší dolí závora možiy se azývá ifimum možiy. Je zřejmé, že každá podmožia možiy R má supremum i ifimum. Jestliže supremum možiy je současě prvkem této možiy, azýváme jej maximem. Jestliže ifimum možiy je současě prvkem této možiy, azýváme jej miimem. Příklady. A = {1, 2, 8}, B = (1, 3 4, 5, C = { 1 } =1, D = { ( 1 } =1.

8 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Opakováí - ve skriptech a str Grafy elemetárích fukcí - ve skriptech a str

9 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Defiice. Posloupost je zobrazeí N do R (ev. C. Ozačuje se Například a 1, a 2, a 3,... ebo {a } =1. {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,... }, { } 1, =1 { } 1, {( 1 } =1, { cos(π} =1. =1 Defiice. Posloupost je a rostoucí, jestliže a < a +1 pro každé N, b klesající, jestliže a > a +1 pro každé N, c erostoucí, jestliže a a +1 pro každé N, d eklesající, jestliže a a +1 pro každé N, e omezeá zdola, jestliže existuje s R tak, že a s pro každé N, f omezeá shora, jestliže existuje s R tak, že a s pro každé N, f omezeá, jestliže existuje s R tak, že s a s pro každé N. Neklesající a erostoucí poslouposti se azývají mootóí. Klesající a rostoucí poslouposti se azývají ryze mootóí.

10 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady 10 Poslouposti , 8 2, 3( 1, 10 cos( 10π, 10

11 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Defiice. Nechť x R. Okolí bodu x je každý iterval (x ɛ, x + ɛ, kde ɛ > 0. Neúplé okolí bodu x je sjedoceí itervalů (x ɛ, x (x, x + ɛ, kde ɛ > 0. Levé okolí bodu x je iterval (x ɛ, x, kde ɛ > 0. Okolí bodu je každý iterval (s, pro s R. Defiice. Posloupost {a } =1 má vlastí (koečou itu L R, jestliže pro každé okolí O(L bodu L existuje přirozeé číslo 0 takové, že pro všecha přirozeá čísla větší ež 0 platí 3.2 a O(L. Tuto skutečost začíme a = L a = 2 + 1/ Ekvivaletě lze defiici vlastí ity apsat i jiak, apř: ɛ > 0 0 > 0 : a L < ɛ L=2 O(L Příklady , 1, ( 1, cos(π, 1000.

12 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Defiice. Posloupost má evlastí (ekoečou itu L =, jestliže pro každé číslo K R existuje přirozeé číslo 0 takové, že pro všecha přirozeá čísla větší ež 0 platí a > K. Začíme a = O(L L = 0 a = 1 / Defiice. Posloupost, která má vlastí itu azýváme kovergetí, ostatí poslouposti (ty, které emají itu ebo mají itu evlastí jsou divergetí. Defiice. Nechť k, k = 1, 2, 3,... je libovolá rostoucí posloupost přirozeých čísel. Pak {a k } k=1 se azývá posloupost vybraá z {a} =1.

13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Věta. Každá posloupost má ejvýše jedu itu. Věta. Jestliže má posloupost itu, pak každá z í vybraá posloupost má také itu, a ta je totožá s itou původí poslouposti. Věta. Každá kovergetí posloupost je omezeá. Věta. Každá mootóí posloupost má itu (vlastí ebo evlastí. Věta. Jestliže a = a, b = b a c R, potom a (a + b = a + b; b (a b = ab; c (a /b = a/b, jestliže b 0 a jestliže všechy ulové čley {b } =1 ahradíme libovolými eulovými čísly; d a = a ; e ca = ca; f c + a = c + a. Uvedeé vztahy lze použít i v případě, že ěkterá z it je ekoečo a současě všechy uvedeé výrazy mají smysl (tj. ejsou typu, 0 ebo.

14 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Například = = 0 + =. Některé výrazy ovšem eumožňují ihed určit výsledek, ale 3 2 = 3 2 =? 3 2 (= = (3 = (3 = ( =, Pozor tedy a eurčité výrazy, Například... 2, ale jejich hodoty jsou 0, 1 a!!!,, 0., 1, 0. 2,

15 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Příklady - dva hlaví triky!!! = = = = ( = + 1 = ( 1 = = 1 = 0

16 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady 1 a, b, c b =1/ c = 1/ a =si(/ Věta a (Pricip sevřeé poslouposti. Jestliže pro všecha N platí c a b a jestliže c = b = L, potom ita poslouposti a existuje a platí a = L. b Jestliže pro všecha N platí a b a jestliže a =, potom ita poslouposti {b } =1 existuje a platí b =.

17 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Příklady. 1 protože + 3 = 3, 2 a 3 = = 2 3 = 2 3 = 2 3 ( + 3 = 3, 2 3 = 3. l 3 + l (3 =.

18 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Zajímavou posloupostí je ( a = (Výraz je typu 1, tedy eurčitý!, eboť 1 = 10 log 1 = Dá se dokázat, že ita této poslouposti existuje a je koečá, ozačuje se Eulerovo číslo e, (základ přirozeého logaritmu. Číslo e je iracioálí a jeho hodota je přibližě 2, 718. Lze odvodit, že pro α R je ( 1 + α = e α. (Leohard Euler,

19 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Aritmetická posloupost má vlastost a +1 = a + d, d je kostata. Součet prvích čleů aritmetické poslouosti je Geometrická posloupost má vlastost S = (a 1 + a 2. a +1 = a q, kde q je kostata. Součet prvích čleů geometrické poslouposti je S = a 1(1 q. 1 q Všiměme si, že součet všech ekoečě moha čleů geometrické poslouposti je a 1 (1 q. 1 q Pro q < 1 je S = S = a 1 (1 q 1 q = a 1 1 q.

20 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Na závěr uvedeme užitečou větu. Věta. Nechť má posloupost {a } =1 vlastost pro ějaké c > 1 a pro N. Potom a +1 ca > 0 a =. S pomocí této věty zkuste určit, které poslouposti kovergují k ekoeču rychleji: k, (kost.k N, a, (kost.a > 1,!,.

21 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady , , , ( 2 3, ( 1 + 3, 2 ( π si, 4 ( π si 4!, (... moho dalších příkladů je ve sbírce úloh.

22 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady = = 1, , , ( 2 3, ( 1 + 3, 2 ( π si, 4 ( π si 4!, (... moho dalších příkladů je ve sbírce úloh.

23 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady = = 1, = , = 7, 3 ( 2 3, ( 1 + 3, 2 ( π si, 4 ( π si 4!, (... moho dalších příkladů je ve sbírce úloh.

24 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady = = 1, = = = 7, 3 1 ( 2 3, ( 1 + 3, 2 ( π si, 4 ( π si 4!, (... moho dalších příkladů je ve sbírce úloh = 4,

25 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady = = 1, = = 4 ( 2 3 = = 7, = 4, 2 ( = ( 1 + 3, 2 6 ( π si, 4 7 ( π si 4!, (... moho dalších příkladů je ve sbírce úloh = 3 2,

26 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady = = 1, = = 4 ( 2 3 = = 7, = 4, 2 ( = ( = e 3 2, 2 6 ( π si, 4 7 ( π si 4!, (... moho dalších příkladů je ve sbírce úloh = 3 2,

27 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady = = 1, = = 4 ( 2 3 = = 7, = 4, 2 ( = ( = e 3 2, 2 6 ( π si eexistuje, 4 7 ( π si 4!, (... moho dalších příkladů je ve sbírce úloh = 3 2,

28 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady = = 1, = = 4 ( 2 3 = = 7, = 4, 2 ( = ( = e 3 2, 2 6 ( π si eexistuje, 4 7 ( π si 4! = 0, (... moho dalších příkladů je ve sbírce úloh = 3 2,