I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1

Transkript

1 I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky lze dále považovat za zámé rozvoje a používat je v dalších výpočtech a f( = ( + a (a R, P ( = k ( a = b f( = log( +, P ( = k ( +, kde ( a = a (a (a 2 (a + 2. Najděte Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce: a tg(, k = 4 b cos(si, k = 5 c si(si, k = 6 d si( cos, k = 3 e ++ 2, k = f e 2 2, k = 5 g, k = 4 e h log(cos, k = 6 3. Odhaděte absolutí chybu aproimace daých fukcí a daých itervalech: a si 3, [ /2, /2] b + + 2, [, ] Spočtěte 5 s přesostí 4 5. Spočtěte limity cos e 2 2 a lim 4 b lim e si ( + 3 d lim 3/2 ( g lim ( 2 log( + h lim j lim (cos si 3 6. Vyšetřete kovergeci řad a [ ( + log + c [ ( ( ] si log + 3 e ( arctg f ] ( cos si c lim ( a + a 2 ( e lim (a > f lim 2 si i lim (( e b [ ( 2 tg ( 3 si! ] 3 d (e/ (arcsi ( si arcsi g si ( arcsi 7. Jak je třeba zvolit koeficiety a, b R, aby platil vztah (a+b cos si = o( 3,? II. MOCNINNÉ ŘADY. Nalezěte poloměr kovergece ásledujících mociých řad. Určete oblasti absolutí kovergece, eabsolutí kovergece a divergece. a e 7 +2 b a (a > ( + 2 ( c f! (a > a 2 g! d 3 +( 2 [3+( ] h ( + a +b (a, b >

2 i ( a + b (a, b > 2 j (! 2 (2! (těžké a kružici III. HLEDÁNÍ PRIMITIVNÍ FUNKCE - ÚVOD Vyjádřete primitiví fukce a maimálích itervalech eistece. Příklady a itegrováí "přímo": a 9 + 5e + 3 cos b 2e c Příklady a itegrováí pomocí substituce: a tg b cotg c 2 d e f cos log log log(log 2 +5 g 3. Další příklady k procvičeí: a ( ( b c ( d 2 e f g si( h cos 2 i 2 j si cos si 4 4. Příklady a itegrováí "per partes": a 3 si b e cos c log d e, N e log f e cos 5. Další příklady k procvičeí: a si b 2 cos c arctg d 2 2 e arctg f 2 si(2 3 ( / g log 2 h 2 e 2 i ( log 2 j 5 e 3 k e l si Vyjádřete primitiví fukce a maimálích itervalech eistece 6. Příklady a itegrováí pomocí druhé věty o substituci: a 4 2 b c (a > ( 2 3/2 ( 2 +a 2 3/2 d +a (a > e a (a > 2a 7. Příklady, kde se musí fukce "lepit": a b cos c 6 d si 2 e si + cos f ma{, 2 } g e h 2 + i arcsi si IV. HLEDÁNÍ PRIMITIVNÍ FUNKCE - INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ Vyjádřete primitiví fukce a maimálích itervalech eistece. Příklady a "itegrováí racioálích fukcí": a (2+3(3+2(+ f b c d 4 + e ( ( Vyjádřete primitiví fukce a maimálích itervalech eistece a + b c d e f 2+ (+e 2 e 2 +e 2 +e /2 +e /3 +e /6 g + ++

3 3. Vyjádřete primitiví fukce a maimálích itervalech eistece a b tg 2 + c si 3 +si d e si +tg si 2 +si cos cos 3 +cos cos 2 (4 si 2 (2+cos si f si 2 g si +si 2 si 3 +cos 3 Vyjádřete primitiví fukce a maimálích itervalech eistece 4. a b si cos c d 5+cos +si 4 (si 2 +2 cos si cos +5 e 2 + a 2 (a > f 2 a 2 (a > 5. a b 2 2 +a 2 (a > c d ( Převeďte a itegrál z racioálí fukce pomocí ásledujících substitucí: a t = b t = c t = 2 7. BONUS - příklady ze zkouškových písemek a FSV: a 2 (2+3( b si 3 c 2+3 cos (si 2 + ( d cos si 8. BONUS - příklady ze zkouškových písemek a MFF: a b si c (e 2 +e 2(e 2 + si +cos 3 + d 2 log 2 ( log 4 ( log 2 ( 6 V. NEWTONŮV INTEGRÁL Vypočtěte ásledující Newtoovy itegrály. a 2 b log 2 e c 2π 2 cos d e f log 2 e ab j a 4 e 2π/3 π/3 2 2 g a 2 a 2 2 h 2π k 2π si +cos 4 b 3 si 4 +cos Vypočtěte ásledující itegrály a b d* e + + e log e π, ε [, i +ε cos c ++ (+ 3 c 6π si(2 2+si( 2 tg2 log( 2 + (počítejte jako zobecěý Riemaův itegrál d 5π cos 2, a 2 si 2 +b 2 cos 2 si 2 +2 cos 2 4. Vypočtěte plochy ohraičeé ásledujícími křivkami a f( = 2, g( =, [, ] b f( =, g( =, [, ], N \ {} c f( = si, g( = si, [, π] d f( = 2, g( =, h( =, [, e f( = 2, g( = 2, [, ] VI. MOCNINNÉ ŘADY - SČÍTÁNÍ ČÍSELNÝCH ŘAD. Sečtěte řady všude a itervalu kovergece: a = 2 g = 4+5! b c 2 (2! 2. Sečtěte řady: h = 4 (4! d (+ 2 e ( + 2 f i ( (+32 j 2 ( k (2 (+ 2 3!

4 a ( g ( 4 2 b c ( 2 d 2+ h 2+3 = ( (+2 i (+ ( 2 2! 2 e ( 3 3 f ( 4 (2+ 3. Vyjádřete ásledující fukce jako mociou řadu o středu : a e 2 b arctg c si 2 d e ( + log( + VII. KONVERGENCE NEWTONOVA INTEGRÁLU. Vyšetřete kovergeci ásledujících itegrálů a 4 b 2 3 c ( 2 5 e d e f π e si e 2 log si cos g π 2 h π si p cos q 2 i si q ( si p j log(+e p ( q k p e 2. Vyšetřete kovergeci ásledujících itegrálů a π 2 cos b m f π ( 2 α π β 2 tg γ g 2 si α (α > c k si p l q +si d α arctg β e π 2 (tg α 3. Pomocí B-C podmíky ukažte, že ásledující itegrály ejsou kovergetí: a si (α b si c cos d si 2 α π 4. Pomocí metod per partes a substituce rozhoděte o kovergeci ásledujících itegrálů: a si (α (, ] b si( 2 α 5. Vyšetřete kovergeci (absolutí i eabsolutí ásledujících itegrálů: a 2 cos ( 4 b cos c si 2 d si 2 arctg (stačí vyšetřit +8 α 2 + eabsolutí kovergeci e log(+ cos 6. BONUS - příklady ze zkouškových písemek a MFF: a ( + si( U tohoto příkladu můžete bez ověřováí použít iformaci, že eistuje okolí ekoeča, a kterém je fukce ( + / rostoucí. b ( 3 (log α ( (α R c cos( α + VIII. METRICKÉ PROSTORY. Ověřte, zda ásledující formule defiují metriku a R: a ρ(, y = 3 y 3 b ρ(, y = 2 y 2 c ρ(, y = ( y 2 2. Ať ρ, ρ 2 jsou metriky a možiě P. Musí být i fukce ρ defiovaá íže metrikou a P? a ρ = ρ + ρ 2 b ρ = ma{ρ, ρ 2 } c ρ = mi{ρ, ρ 2 } d ρ = ma{ρ, } e ρ = mi{ρ, } 3. Na možiě P = {A N : A je koečá} defiujme ρ(a, B = (A \ B (B \ A pro A, B P. Je ρ metrika? 4. Na prostoru C([, ] uvažujme supremovou metriku, tj. ρ s (f, g = ma{ f(t g(t :

5 t [, ]}. Spočítejte ρ s (, Na prostoru C([, ] uvažujme itegrálí metriku, tj. ρ i (f, g = f( g(. a Spočítejte ρ i (, 2. b Pro jaké a (, je vzdáleost ρ i (a, 2 ejmeší možá? 6. Ať (P, ρ je metrický prostor, f : [, [, je fukce splňující (i f( = = (ii r s + t f(r f(s + f(t Položme σ(, y = f(ρ(, y. Dokažte, že σ je potom metrika a P. Pomocí tohoto tvrzeí dokažte, že σ(, y = ρ(,y +ρ(,y je metrika a P. 7. Řekeme, že ρ je pseudometrika a P, pokud pro každé, y, z P platí ρ(, =, ρ(, y = ρ(y,, ρ(, z ρ(, y + ρ(y, z. Nechť a možiě P máme posloupost pseudometrik ρ, N splňující, y P, y N : ρ (, y. Dokažte, že potom ρ(, y = mi{ρ 2 (, y, } defiuje metriku a P. Toto tvrzeí aplikujte a důkaz toho, že pokud a C(R defiuji ρ (f, g = sup{ f( g( : [, ]}, pak ρ(f, g = mi{ρ 2 (f, g, } je metrika a C(R. 8. Rozhoděte, zda ásledující možiy jsou otevřeé (resp. uzavřeé. Zjistěte jejich vitřek, uzávěr a hraici. a A = {(, y R 2 : >, y } b B = {f C[, ] : f( = 2} 2 c C = {f C[, ] : f( (, 2} d D = {f C[, ] : f( = } 2 9. Platí v metrických prostorech ásledující rovosti? Platí alespoň jeda ikluze? a A B = A B b It(A \ B = It(A \ It(B c H(A = A \ A (uvažujte A otevřeou. Uvažujme a R 2 libovolou metriku ρ. Která z ásledujících tvrzeí jsou pravdivá? Která jsou pravdivá, pokud ρ(, y = y pro ějakou ormu a R 2? a 5B(, = B(, 5 ( začí ulový vektor, 5A defiujeme jako moziu {5a : a A} pro A R 2 b 5B(, = + B(, 5, R 2 c It(B(, = B(, d B(, = B(,. Ať P je metrický prostor, y jsou dva body z P. Dokažte: a {} je uzavřeá možia. b Ei stují disjuktí otevřeé možiy U, V že U a y V. 2. Dokažte ásledující ekvivalece pro uzavřeou možiu A v metrickém prostoru P : It(A = P \ A = P, dist(, A = A (platí toto tvrzeí i když A eí uzavřeá? 3. Ať A P je podmožia metrického prostoru (P, ρ. Dokažte: a It(A = {U A : Uje otevřeá} b A = {F A : F je uzavřeá}

6 IX. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH - LIMITY A SPOJITOST. Lze ásledující fukce spojitě rozšířit a R 2? a 2 +y 2 b 2 y 2 + c si(3 +y 3 d 2 y 2 e 3 y 3 2 +y 2 2 +y 2 2 y 2 +( y 2 y 2 +y 2 + f ( + y si si y g 2y h +y i y 2 +y 2 2 +y 2 2 +y 2 j ( + 2 y 2 2 +y 2 k ( 2 + y 2 2 y 2 X. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH - DERIVACE. Spočtěte parciálí derivace fukcí všude, kde eistují a m y b e y c y+yz+z d y e y+cos f si y si g cos y si ( h y z i y z j si( y π k f(, y = e 2 +3y+3y 2, f(, = l + y 2 m 2 y 2 2. Mají ásledující fukce totálí difereciál v bodě [, ]? (pokud v tomto bodě fukce eí defiováa, spojitě ji dodefiujte a 2 + y 2 b 3 + y 2 c y d y 3 e ( 2 +y 2 si 2 +y 2 f e 2 +y 2 3. Spočtěte gradiet ásledujících fukcí všude, kde eistuje: a log( 2 + y 2 b e y c y g 2 y( + y 4 +y 2 4. Předpokládejte, že, y mají malou absolutí hodotu. Odvoďte přibližé vzorce pro ásledující výrazy: a ( + m ( + y b arctg +y +y 5. Objem válce s podstavou o poloměru r a výšce h je dá vzorcem V = πr 2 h. Je-li výška h = 5 cm změřea s přesostí a.5 cm a poloměr podstavy r = 3 cm je změře s přesostí a. cm, určete, s jakou ejvětší možou chybou je urče objem válce V. 6. Spočtěte gradiet ásledujících ( fukcí všude, kde eistuje: a y si b si y si c y z d y z e yz f f(, y = e 2 +y+y 2, f(, = 7. Spočítejte přibližě tak, že ahradíte přírustek vhodé fukce jejím difereciálem: a 3 ( (.97 3 b.97.5 c (.3 d e.2 (2.3 2 (3.4 3 (.5 3 3