Mocninné řady - sbírka příkladů

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Mocninné řady - sbírka příkladů"

Transkript

1 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D. Rok odevzdáí: 203 Vypracoval: Eva Složilová ME, III. ročík

2 Prohlášeí Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci zpracovala samostatě pod vedeím Mgr. Ivety Bebčákové, Ph.D. s použitím uvedeé literatury. V Olomouci de 26. duba 203

3 Poděkováí Ráda bych poděkovala vedoucí bakalářské práce Mgr. Ivetě Bebčákové, Ph.D. za spolupráci i za čas, který mi věovala při kozultacích.

4 Obsah Úvod 5 Sezam použitých zkratek a symbolů 6 Číselé řady 7. Základí pojmy Základí vlastosti Výzamé řady Číselé řady s ezáporými čley Kritéria kovergece a divergece Řady absolutě a relativě kovergetí Alterující řady Číselé řady - příklady 7 2. Nutá podmíka kovergece Srovávací kritérium Limití srovávací kritérium D Alembertovo limití podílové kritérium Cauchyovo limití odmociové kritérium Limití Raabeovo kritérium Itegrálí kritérium Alterující řady Absolutí a relativí kovergece Mocié řady Základí pojmy Vlastosti a součet mocié řady Rozvoj fukce v mociou řadu Mocié řady - příklady Obor kovergece a obor absolutí kovergece Součet mocié řady Rozvoj fukce v mociou řadu Užití mociých řad Určeí přibližé hodoty Přibližý výpočet itegrálů Výpočet limit Řešeí příkladů s programem Maple Kovergece číselých řad Obor kovergece mociých řad Součet mociých řad

5 Závěr 50 Literatura 5

6 Úvod Bakalářská práce Mocié řady - sbírka příkladů je určea především pro studety předmětu Matematika 2 vyučovaého a katedře Matematické aalýzy a aplikací matematiky Přírodovědecké fakulty Uiverzity Palackého v Olomouci. Hlavím cílem práce je vytvořit pro studety materiál, kde alezou především dostatek příkladů i s postupem vedoucím k jejich řešeí. Tato sbírka by jim měla pomoci pochopit učivo a může sloužit i jako pomůcka k přípravě a zápočtové a zkouškové testy. Sbírka je psaá s předpokladem, že studeti již mají zalosti z předmětu Matematika a absolvovali předášku ke kurzu Matematika 2. Práce je rozdělea do pěti částí. V prví kapitole se sezámíme s číselými řadami a uvedeme základí pojmy a vlastosti, které uplatíme při počítáí jak s číselými, tak i s mociými řadami. Druhá kapitola je věováa řešeým i eřešeým příkladům týkajících se číselých řad. Především se zaměříme a vyšetřováí kovergece, resp. divergece číselých řad pomocí tzv. kritérií kovergece. Další kapitola se týká mociých řad. Stejě jako u číselých řad si ejprve zavedeme základí pojmy teorie mociých řad. Čtvrtá kapitola obsahuje opět příklady, ve kterých je především vysvětleo, jak postupovat při určováí oboru kovergece a součtu mociých řad. Nechybí ai příklady k procvičeí. Posledí kapitola ukazuje, jak je možé si pomocí matematického softwaru Maple ověřit správost výsledků získaých při řešeí příkladů. 5

7 Sezam použitých zkratek a symbolů N R R OK OAK možia přirozeých čísel možia reálých čísel rozšířeá možia reálých čísel obor kovergece obor absolutí kovergece {a } posloupost reálých čísel {s } posloupost částečých součtů {f (x)} posloupost fukcí a f (x) a (x x 0 ) ekoečá číselá řada ekoečá řada fukcí mociá řada f () (x 0 )! (x x 0 ) Taylorova řada fukce f v bodě x 0 f () (0)! x Maclauriova řada lim limita poslouposti {a } (a, b) otevřeý iterval (a, b a, b) a, b zprava uzavřeý (zleva otevřeý) iterval zleva uzavřeý (zprava otevřeý) iterval uzavřeý iterval sg fukce sigum. = přibližě rovo 6

8 . Číselé řady Dříve ež přistoupíme k samotému tématu mociých řad, musíme si uvést základí pojmy a vlastosti týkající se řad číselých. Jejich zalost je totiž základem pro práci s mociými řadami. Všechy použité defiice a věty jsou čerpáy z [], [2] a [8]... Základí pojmy Defiice.. Nechť {a } je posloupost reálých čísel. Symbol a ebo a + a 2 + a a + azýváme ekoečou číselou řadou. Číslo a se azývá -tý čle řady, se azývá sčítací idex. Defiice.2. Uvažujme řadu a. Posloupost {s }, kde s = a s 2 = a + a 2 s 3 = a + a 2 + a 3. s = a + a a = i= a i. se azývá posloupost částečých součtů řady a. 7

9 Defiice.3. Nechť je dáa řada a a jí odpovídající posloupost částečých součtů {s }. Jestliže lim s = s R, pak říkáme, že řada a koverguje a má součet s; lim s = ±, pak říkáme, že řada a diverguje k ± a má součet ± ; lim s eexistuje, pak říkáme, že řada a diverguje (osciluje) a emá součet. Pozámka. Nemůže se stát, že by řada a apř. kovergovala a divergovala zároveň, protože každá posloupost má ejvýše jedu limitu..2. Základí vlastosti Následující věta ám udává utou podmíku kovergece řady. Věta.. Jestliže řada a koverguje, pak platí lim a = 0. Pozámka 2. Pozor! Obráceá věta eplatí. Ne každá řada a, pro kterou je splěa podmíka lim a = 0, koverguje. V opačém případě, jestliže eí splěa utá podmíka kovergece, tj. pak řada a diverguje. lim a 0, Věta.2. Nechť a, b jsou kovergetí řady a echť a = s, b = = t. Pak je kovergetí i řada (a + b ) a platí 8 (a + b ) = s + t.

10 Pozámka 3. Obráceá věta opět eplatí. To, že koverguje řada (a + b ) ještě ezameá, že kovergují i dílčí řady a a b. Pozámka 4. V případě, že řada a koverguje a řada b diverguje, bude divergovat i řada (a + b ). Věta.3. Jestliže řada a koverguje, pak pro libovolé k R koverguje též řada k a a platí k a = k a. Naopak, koverguje-li řada k a, kde k R, k 0, koverguje i řada a. Pozámka 5. Jestliže je ale řada a divergetí, pak je pro k 0 divergetí i řada k a. 9

11 .3. Výzamé řady a q, kde a, q R. Řada a q se azývá geometrická s prvím čleem a a kvocietem q. V případě, že q, geometrická řada diverguje; q <, geometrická řada koverguje a má součet s = a q. p Pro řadu p mohou astat tyto dva případy: řada koverguje pro p > ; řada diverguje pro 0 < p. Jestliže položíme p = obdržíme řadu Tato řada se azývá harmoická řada a diverguje. ( ) Řada ( ) se azývá Gradiho řada a osciluje. 0

12 .4. Číselé řady s ezáporými čley Defiice.4. Řada a se azývá řada s ezáporými (resp. kladými) čley, je-li a 0 pro všecha N (resp. a > 0 pro všecha N). Věta.4. Každá řada s ezáporými čley buď koverguje ebo diverguje k. Pozámka 6. Tato vlastost plye ze skutečosti, že posloupost částečých součtů {s } u řad s ezáporými čley bude vždy eklesající. Tudíž tyto řady budou buď kovergovat ebo divergovat, ale emohou ikdy oscilovat..4.. Kritéria kovergece a divergece V moha případech bývá velice obtížé staovit součet řady, pomocí kterého bychom rozhodli o kovergeci, resp. divergeci řady. Často se omezujeme pouze a iformaci, zda řada koverguje či diverguje, aiž bychom teto součet určovali. K tomuto účelu používáme tzv. kritéria kovergece, které představují postačující podmíky pro kovergeci, resp. divergeci číselých řad. Věta.5. Srovávací kritérium Nechť a a b jsou řady s ezáporými čley a echť a b pro všecha N. Potom platí: koverguje-li řada b, pak koverguje i řada a ; diverguje-li řada a, pak diverguje i řada b.

13 Defiice.5. Nechť a a b jsou řady s ezáporými čley a echť a b pro všecha N. Potom řadu b azýváme majoratí řadou k řadě a řadu a mioratí řadou k řadě b. a Věta.6. Limití srovávací kritérium Nechť a a b jsou řady s ezáporými čley a echť existuje a lim = L. b Je-li L < a koverguje-li řada b, pak koverguje i řada a. Je-li L > 0 a diverguje-li řada b, pak diverguje i řada a. Pozámka 7. Ke srováí budeme ejčastěji používat řady uvedeé v kapitole.3, o ichž víme, zda kovergují či divergují. Věta.7. Podílové kritérium - D Alembertovo Nechť a je řada s kladými čley. Jestliže pro všecha N platí erovost: a + a a + a q <, pak řada a koverguje; >, pak řada a diverguje. 2

14 Věta.8. D Alembertovo limití podílové kritérium Nechť a je řada s kladými čley. Existuje-li potom v případě, že: q <, řada a koverguje; q >, řada a diverguje; a + lim = q, kde q R, a q =, elze o kovergeci řady a tímto kritériem rozhodout - řada může kovergovat i divergovat. Věta.9. Odmociové kritérium - Cauchyovo Nechť a je řada s ezáporými čley. Platí-li erovost a q < pro všecha N, pak řada a koverguje; a pro ekoečě moho N, pak řada a diverguje. Věta.0. Cauchyovo limití odmociové kritérium Nechť a je řada s ezáporými čley. Existuje-li lim a = q, kde q R, potom v případě, že: q <, řada a koverguje; 3

15 q >, řada a diverguje; q =, elze o kovergeci řady a tímto kritériem rozhodout - řada může kovergovat i divergovat. Věta.. Limití Raabeovo kritérium Nechť a je řada s kladými čley a echť existuje limita Potom platí: ( lim a ) + = q, kde q R. a je-li q >, pak řada a koverguje; je-li q <, pak řada a diverguje. Věta.2. Itegrálí kritérium Nechť f je fukce defiovaá a itervalu, ), která je a tomto itervalu ezáporá a erostoucí. Nechť f() = a pro všecha N. Pak řada koverguje právě tehdy, když koverguje evlastí itegrál f (x) dx. a Pozámka 8. Pokud se ám epodaří rozhodout o kovergeci řady pomocí zvoleého kritéria, musíme použít jié, silější kritérium. Při volbě kritéria musíme brát v úvahu tvar a. 4

16 .5. Řady absolutě a relativě kovergetí V této kapitole opustíme problematiku řad s ezáporými čley. Budeme se zabývat řadami s čley obecými, tz. řadami a, kde a R. Tato řada může být tedy tvořea eje kladými, ale i záporými, popř. ulovými čley. Při vyšetřováí kovergece řad s obecými čley budeme zároveň vyšetřovat i řady tvořeé absolutími hodotami jedotlivých čleů. Mezi dvojicí řad a a platí ásledující vztah. Věta.3. Koverguje-li řada a, koverguje i řada a. a Pozámka 9. Opačé tvrzeí eplatí. Proto je a místě pro řady s obecými čley zavedeí silější vlastosti ež je kovergece. Defiice.6. Řekeme, že řada a koverguje absolutě, jestliže koverguje řada a. Jestliže řada a koverguje a řada a diverguje, říkáme, že řada koverguje relativě. Pozámka 0. U řad s ezáporými čley je pojem absolutí kovergece totožá s pojmem kovergece. Protože a je řada s ezáporými čley, můžeme pro určováí absolutí kovergece řad použít všecha kritéria z kapitoly.4.. 5

17 .5.. Alterující řady Speciálím případem řad s libovolými čley jsou tzv. alterující řady eboli řady se střídavými zaméky. Defiice.7. Nekoečá řada a se azývá alterující, právě když platí sg a + = sg a pro všecha N. Pozámka. Alterující řady mohou mít tvar ( ) a = a a 2 + a 3 a 4 + a 5 a 6 +, ( ) + a = a a 2 + a 3 a 4 + a 5 a 6 +, ( ) a = a + a 2 a 3 + a 4 a 5 + a 6, kde {a } je posloupost kladých čísel. O kovergeci alterujících řad rozhodujeme pomocí Leibitzova kritéria kovergece. Věta.4. Leibitzovo kritérium Nechť {a } je erostoucí posloupost kladých čísel, tj. a a + > 0 pro všecha N. Pak alterující řada ( ) a koverguje právě tehdy, když platí lim a = 0. 6

18 2. Číselé řady - příklady Tato kapitola je věováa řešeým i eřešeým příkladům týkajících se číselých řad. Většia příkladů je zaměřea a zjišťováí kovergece, resp. divergece řad pomocí kritérií kovergece uvedeých v kapitole.4.. S výjimkou srovávacího kritéria budeme používat pouze limití kritéria, která jsou pro výpočty vhodější. Dále budeme ověřovat splěí uté podmíky kovergece a podmíek Leibitzova kritéria. Nakoec se aučíme určovat, zda řada s obecými čley koverguje absolutě ebo relativě. 2.. Nutá podmíka kovergece V předchozí kapitole jsme si uvedli, že platí ásledující věta. Věta. Jestliže řada a koverguje, pak platí lim a = 0. Pozámka. V případě, že eí splěa utá podmíka kovergece, tj. pak řada a diverguje. lim a 0, Příklad. Ověřte, zda je splěa utá podmíka kovergece u řady Řešeí: Pro ověřeí musíme vypočítat limitu ( + 5)! ( + 3)!. lim a ( + 5)! ( + 3)! ( + 5)( + 4)( + 3)! ( + 3)! ( + 5)( + 4) 2 7 ( ) 20 2 = = 0.

19 Dokázali jsme, že utá podmíka kovergece splěa eí. Z toho plye, že řada (+5)! (+3)! diverguje. Příklad 2. Ověřte, zda je splěa utá podmíka kovergece u řady Řešeí: Pro ověřeí musíme vypočítat limitu lim a ( ) ( ) = Dokázali jsme, že utá podmíka kovergece splěa eí. Z toho plye, že řada diverguje Cvičeí. Ověřte, zda je splěa utá podmíka kovergece u řady a) b) 8 2 (6+)(+3) (2+)!8 (2)! [eí, diverguje] [eí, diverguje] 8

20 2.2. Srovávací kritérium Věta. Nechť a a b jsou řady s ezáporými čley a echť a b pro všecha N. Potom platí: koverguje-li řada b, pak koverguje i řada a ; diverguje-li řada a, pak diverguje i řada b. Příklad 3. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu. Pro všecha N platí e- 5 rovost 5 2. budeme porovávat s řadou 5 2 Protože mioratí řada diverguje také řada = je řadou harmoickou, která diverguje, 9

21 Příklad 4. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu = budeme porovávat s řadou Pro všecha N zjevě platí erovost Z příkladu 3 víme, že mioratí řada diverguje. Z toho plye, že diverguje také řada = = (5 2) 2 Příklad 5. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu. Pro všecha N platí e- 3 rovost budeme porovávat s řadou 3 +7 Protože majoratí řada koverguje, koverguje také řada

22 Příklad 6. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu N zjevě platí erovost budeme porovávat s řadou =. Pro všecha Protože majoratí řada = 5 5 koverguje, koverguje také řada Příklad 7. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu budeme porovávat s geometrickou řadou 5 +3 N platí erovost Protože majoratí geometrická řada ( ) 4. 5 ( 4 ). 5 Pro všecha ( 4 ) 5 koverguje, koverguje také řada 2

23 Příklad 8. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu erovost l(5 2). budeme porovávat s řadou l(5 2) 5 2 l(5 2). Z příkladu 3 víme, že mioratí řada diverguje. Z toho plye, že diverguje také řada. l(5 2) 5 2. Pro všecha N platí 5 2 Cvičeí 2. Pomocí srovávacího kritéria rozhoděte o kovergeci řady a) b) c) d) 4 (4 ) [diverguje] [diverguje] [koverguje] [koverguje] e) 3+5 [koverguje] f) l(4 ) [diverguje] 22

24 2.3. Limití srovávací kritérium Věta. Nechť a a b jsou řady s ezáporými čley a echť existuje a lim = L. b Je-li L < a koverguje-li řada b, pak koverguje i řada a. Je-li L > 0 a diverguje-li řada b, pak diverguje i řada a. Příklad 9. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu koverguje. a = Vypočítáme limitu budeme porovávat s řadou b =, která 2 a L b = 2. Řada koverguje ( ) =

25 Příklad 0. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu =2 a = =2 která koverguje. Vypočítáme limitu a L b Řada =2 koverguje. 6 8 = budeme porovávat s geometrickou řadou =2 b = =2 6 = lim 6 ( ) =. 8 6, 6 Příklad. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu a = která diverguje. Vypočítáme limitu Řada a L b diverguje budeme porovávat s harmoickou řadou ( b = ) = 4., 24

26 Příklad 2. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu a = která diverguje. Vypočítáme limitu a L b Řada 5 diverguje budeme porovávat s harmoickou řadou = 5 lim b = = , Příklad 3. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu = a =, která diverguje. Vypočítáme limitu Řada budeme porovávat s harmoickou řadou 2 +3 a L b 9 + diverguje = 9 ( ) = b = 25

27 Příklad 4. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu b = a = Vypočítáme limitu Řada 4 ( 2 + 2) ( 2 +2) budeme porovávat s geometrickou řadou, která koverguje. 7 a L b 4 ( 2 +2) = 49 lim 4 4 ( ) = ( 2 +2) koverguje. ( 2 + 2) = Cvičeí 3. Pomocí limitího srovávacího kritéria rozhoděte o kovergeci řady a) [koverguje] b) c) 4 [koverguje] [diverguje] 5+2 d) e) f) [koverguje] ( 2 + ) [diverguje] [diverguje] 26

28 2.4. D Alembertovo limití podílové kritérium Věta. Nechť a je řada s kladými čley. Existuje-li a + lim = q, kde q R, a potom v případě, že: q <, řada a koverguje; q >, řada a diverguje; q =, elze o kovergeci řady a tímto kritériem rozhodout - řada může kovergovat i divergovat. Příklad 5. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Abychom vyšetřili kovergeci této řady, vypočítáme q z předchozí věty. Platí q a + a = 8 lim = 8 <. 4(+) 2 8 4( + ) = = 8 lim 4 ( ) 2 = 4 2 Řada koverguje. 27

29 Příklad 6. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řada q a + a 3(+) + (+3)! 3 (+2)! 3( + ) ( + ) ( + 3)( + 2)! 3 ( + 2)!. 3( + ) + ( + 2)! = ( + 3)! 3 ( + 2)! 3 ( + ) + lim + 3 = e = e >. 3 (+2)! diverguje. ( + ) = Příklad 7. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řada q a + a ( 4 = 2 lim = 2 lim ) 2 ( ) (+)2 + ( 4 ) 2 ( ) 4 2. ( 4+4 ) + 2 ( ( + )2+ 4 ) = (4 + 4)!! (3)! = ( + )! (3 + 3)! ( + ) (4)! ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) = >. 2 diverguje. 28

30 Příklad 8. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řada ( ! ). 5 ( ) ! představuje součet řad a její kovergeci, resp. divergeci, musíme vyšetřit každou řadu zvlášť. a) Vyšetříme kovergeci, resp. divergeci řady Řada q a + a koverguje b) Vyšetříme kovergeci, resp. divergeci řady 4!. Abychom určili Platí = 3 8 <. 4!. Platí 5 q a + a 4(+)! (+)5 + 4! 5 4( + )! 5 ( + )5+ 4! 4( + )! 5 ( + )5+ 4! 5 = >. = Řada (4+)! 5 diverguje. Jedá se o součet kovergetí a divergetí řady, tudíž řada diverguje. ( ) !

31 Příklad 9. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řada q a + a ( 6 ). 4+ ( 6) ( 6) ( 6) ( 6) = = 4 + lim = 4( + lim 6 4( + 7 ) = < ( 6) koverguje. 4 ) Příklad 20. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: 3 ( ) 9. e q a + a = 9 e lim ( 3( + ) 9 + e) 3 ( 9 3( + ) 3 e = 9 e >. ) = 9 e lim = Řada 3 ( 9 e) diverguje. 30

32 Příklad 2. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: (2!) 2 ( + ). (4)! q a + a [2(+)!] 2 (+2) (4+4)! (2!) 2 (+) (4)! [2( + )!] 2 ( + 2) (4)! (4 + 4)! (2!) 2 ( + ) = [2( + )!] 2 ( + 2) (4 + 4) (4 + )(4)! (4)! (2!) 2 ( + ) = ( + )( + 2) (4 + 4) (4 + ) (4 + 4) (4 + ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 4 + = 0 <. Řada (2!) 2 (+) (4)! koverguje. Cvičeí 4. Pomocí limitího podílového kritéria rozhoděte o kovergeci řady a) [koverguje] 0 +2 b) [diverguje] c) (+) 2 5!3 [koverguje] d) e) 2 2 5e (3+)! 3 [koverguje] [diverguje] f) 2 5! [diverguje] 3

33 2.5. Cauchyovo limití odmociové kritérium Věta. Nechť a je řada s ezáporými čley. Existuje-li lim a = q, kde q R, potom v případě, že: q <, řada a koverguje; q >, řada a diverguje; q =, elze o kovergeci řady a tímto kritériem rozhodout - řada může kovergovat i divergovat. Příklad 22. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: [ 4 )] 5 arccos (. 2 Abychom vyšetřili kovergeci této řady, vypočítáme q z předchozí věty. Platí [ Řada q a [ 4 )] 5 arccos ( 2 = 4 5 lim arccos ( ) = π = 8 5 π < arccos( 2) ] koverguje. 4 5 arccos ( ) = 2 32

34 Příklad 23. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: q a Řada 8 ( ) koverguje. ( 8 + ) 2. ( + ) 2 ( 8 + ) = 8 e <. Příklad 24. Rozhoděte o kovergeci řady ( ) Řešeí: ( q 2 a = 2 + 6) = = ( ) ) ( Řada ( ) diverguje. 2 ( ) = 4 3 >. = 33

35 Příklad 25. Rozhoděte o kovergeci řady ( ) Řešeí: q a ( ) ( ) = = ( e 4 3 ( e 2 3 {[ ( ) ( ) 2 3 ) 2 ) 2 = e 2 3 e 3 ] } 2 lim = e >. ( ) = 3 2 Řada ( 3+4 ) diverguje. 3 2 Příklad 26. Rozhoděte o kovergeci řady 3 arctg ( + ). Řešeí: q a 3 arctg ( + ) 3 arctg( + ) = Řada = 3 arctg = 3 π 4 3 arctg (+ ) diverguje. = 2 π >. 34

36 Příklad 27. Rozhoděte o kovergeci řady ( ) Řešeí: (6 q ) ( ) a = 3 = 0 <. ( ) = 2 2 Řada ( 6+4 ) 2 koverguje. 2 Příklad 28. Rozhoděte o kovergeci řady 6. Řešeí: q a 6 6 = 6 <. Řada koverguje. 6 35

37 Cvičeí 5. Pomocí limitího odmociového kritéria rozhoděte o kovergeci řady a) ( ) [diverguje] b) c) 2 e 2 [koverguje] ( ) [diverguje] d) ( ) [diverguje] e) ( ) [koverguje] 3 5 f) 3 2 arctg ( ) 5 [diverguje] 36

38 2.6. Limití Raabeovo kritérium Věta. Nechť Potom platí: a je řada s kladými čley a echť existuje limita ( lim a ) + = q, kde q R. a je-li q >, pak řada a koverguje; je-li q <, pak řada a diverguje. Příklad 29. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: ( + ) 2. Abychom vyšetřili kovergeci této řady, vypočítáme q z předchozí věty. Platí Řada ( q a ) + a [ ( ) ( ) ] 2 + = ( +2 +) 2 ( + ) 2 = ( ) = ( ) ( ) = 2 4 = 0 <. 2 ( + ) 2 diverguje. 37

39 Příklad 30. Rozhoděte o kovergeci řady (3 + 2)( + 5)(2). Řešeí: ( q a ) [ + a [ (3 + 2)( + 5)(2) Řada 6 3 ] (3+5)(+6)(2+2) = (3+2)(+5)(2) ] = (3 + 5)( + 6)(2 + 2) ( ) = ( ) ( ) ( koverguje. (3+2)(+5)(2) 3 ) = 3 > = Příklad 3. Rozhoděte o kovergeci řady =2 ( ) 3. Řešeí: ( q a ) [ ] + 3 a = ( ) 3 [ ( ) ] 3 ( ) = 3 Řada =2 ( ) 3 koverguje. ( ) 2 = 3 >. 3 38

40 Příklad 32. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řada ( + 4)(3 + 5). ( q a ) + a [ ( + 5)(3 + 8) ( (+5)(3+8) (+4)(3+5) ( + 4)(3 + 5) ) = 3 = ( ) = ( ) (+4)(3+5) diverguje. ] = ( ) = <

41 Příklad 33. Rozhoděte o kovergeci řady! 2 ( + 3)!. Řešeí: ( q a ) [ + a [ ( + )!(2 + 2) ( + 4)! 2 2 ( + 3)!! 2 (+)!(2+2) ] (+4)! =! 2 (+3)! ] [ ] ( + )!(2 + 2) ( + 3)! = ( + 4)( + 3)!! 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) = 2 > = = Řada! 2 koverguje. (+3)! 40

42 Příklad 34. Rozhoděte o kovergeci řady 7 2 (2 + )!. Řešeí: ( q a ) [ + a ] [ 72+ (2 + )! = (2 + 3)! [ 7 2+ (2 + 3)(2 + 2)(2 + )! ( ) ( ) 43 3 ( ) = >. 6 2 ] 7 2+ (2+3)! = 7 2 (2+)! ] (2 + )! = Řada 7 2 (2+)! koverguje. Cvičeí 6. Pomocí limitího Raabeova kritéria rozhoděte o kovergeci řady a) 4 (2+5) 2 [koverguje] b) c) 5 (+)(2 ) 6 +2 (+2)! [diverguje] [koverguje] d) e) f) (2+)(5 2 ) 3 [koverguje] 3 [diverguje] +7 2 [koverguje] ( 2 +3)(3+) 4

43 2.7. Itegrálí kritérium Věta. Nechť f je fukce defiovaá a itervalu, ), která je a tomto itervalu ezáporá a erostoucí. Nechť f() = a pro všecha N. Pak řada a koverguje právě tehdy, když koverguje evlastí itegrál f (x) dx. Příklad 35. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: 2 4. Fukce f(x) = 2x 4 x je ezáporá a itervalu, ). Zda je f(x) a tomto itervalu také erostoucí, vyšetříme pomocí prví derivace. Dostaeme f (x) = 2 4 x 2x 4 x l 4 = 2 4 x ( x l 4). Protože je výraz ( x l 4) 0 pro všecha x, ) je fukce f(x) a tomto itervalu také erostoucí. Kovergeci, resp. divergeci řady zjistíme výpočtem itegrálu q = t f (x) dx = [ 2x [ t = 2 l 4 lim t = 2 l 4 2x 4 x dx ] t t + lim 4 x l 4 t ] 2 l 4 2t 4 t l 4 [ 2 l 4 ( + l 4 2 lim t l 4 4 t l 4 4 l 4 ) <. t t 2 4 x l 4 dx = [ 4 x l 4 ] 2x 4 x dx = ] t = = 2 l l 2 4 = 42

44 Pro výpočet itegrálu t 2x 4 x dx jsme použili metodu per partes. ( Pro výpočet limity lim 2t t 4 t l 4) jsme použili L Hospitalovo pravidlo. Řada 2 4 koverguje. Příklad 36. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: = Fukce f(x) = x2 +2x 3 je ezáporá a itervalu 3, ). x 2 +2x 8 Zda je f(x) a tomto itervalu také erostoucí, vyšetříme pomocí prví derivace. Dostaeme f (x) = (2x + 2)(x2 + 2x 8) (x 2 + 2x 3)(2x + 2) (x 2 + 2x 8) 2 = = 2x3 + 6x 2 2x 6 2x 3 6x 2 + 2x + 6 x + = 0 (x 2 + 2x 8) 2 (x 2 + 2x 8) 0. 2 Fukce f(x) je pro všecha x 3, ) erostoucí. Kovergeci, resp. divergeci řady zjistíme výpočtem itegrálu q = 3 t t f (x) dx = 3 t t 3 3 t dx + lim t 3 5 dx + lim t 6 x 2 + 2x 3 dx x 2 + 2x 8 t 5 x 2 + 2x 8 dx = ( x + 4 x 2 t 3 t 3 ) dx = x 2 + 2x dx = x 2 + 2x 8 [x] t t 3 + lim 5 t 6 [l x + 4 l x 2 ]t 3 = ( ) (t 3) + lim l t + 4 t t t 2 l 7 = + 0 l 7 =. Pro výpočet itegrálu t 3 Řada = diverguje dx jsme použili rozklad a parciálí zlomky. x 2 +2x 8 43

45 Příklad 37. Rozhoděte o kovergeci řady 5. Řešeí: Fukce f(x) = 5 x je ezáporá a itervalu, ). Zda je f(x) a tomto itervalu také erostoucí, vyšetříme pomocí prví derivace. Dostaeme f (x) = 5 5 x 6 0. Fukce f(x) je pro všecha x, ) erostoucí. Kovergeci, resp. divergeci řady zjistíme výpočtem itegrálu q = Řada f (x) dx = [ ] t 5 t 4 x diverguje. t 5 dx x t 5 x dx t t = 5 ) (t 4 lim 4 5 = 5 ( ) =. t 4 x 5 dx = Příklad 38. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Fukce f(x) = 5 je ezáporá a itervalu, ). x 2 +3 Zda je f(x) a tomto itervalu také erostoucí, vyšetříme pomocí prví derivace. Dostaeme f (x) = 0x (x 2 + 3)

46 Fukce f(x) je pro všecha x, ) erostoucí. Kovergeci, resp. divergeci řady zjistíme výpočtem itegrálu q = Řada t 5 f (x) dx = t 5 3 t 3 = t 5 dx x t x dx = 5 dx x t 3 ( π 2 π ) 6 = π <. 5 koverguje [ arctg x 3 ] t = t 5 3 t 3 ( ) 2π = 6 ( ) 2 dx = x 3 + [ arctg t arctg ] = 3 3 Příklad 39. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Fukce f(x) = (6+4) 3 (6 + 4) 3. je ezáporá a itervalu, ). Zda je f(x) a tomto itervalu také erostoucí, vyšetříme pomocí prví derivace. Dostáváme f 8 (x) = (6 + 4) = (3 + 2) 0. 4 Fukce f(x) je pro všecha x, ) erostoucí. 45

47 Kovergeci, resp. divergeci řady zjistíme výpočtem itegrálu q = Řada = f (x) dx = t dx (6x + 4) 3 t sub.: 6x + 4 = u meze x = t u = 6t + 4 6dx = du x = u = 0 dx = du 6 6t+4 t 6 0 [ t 2 (6+4) 3 du u3 t 6 (6t + 4) 2 00 koverguje. [ 2 u 2 ] = 2 ] 6t+4 0 (6x + 4) dx = 3 = = ( 0 00 ) = 200 <. Příklad 40. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Fukce f(x) = x4 x je ezáporá a itervalu, ). Zda je f(x) a tomto itervalu také erostoucí, vyšetříme pomocí prví derivace. Dostaeme f (x) = 4x3 (x 5 + 3) x 4 5x 4 (x 5 + 3) 2 = 4x8 + 2x 3 5x 8 (x 5 + 3) 2 = x8 2x 3 (x 5 + 3) 2 0. Fukce f(x) je pro všecha x, ) erostoucí. 46

48 Kovergeci, resp. divergeci řady zjistíme výpočtem itegrálu Řada q = = f (x) dx = x 4 t dx x t sub.: x = u meze x = t u = t x 4 dx = du x = u = 4 dx = du 5x 4 t 5 +3 t 5 4 du u t 5 [l +3 u ]t5 4 = x 4 x dx = = t 5 [l t ] l 4 = 5 l 4 = diverguje. 47

49 Cvičeí 7. Pomocí itegrálího kritéria rozhoděte o kovergeci řady a) = [diverguje] b) [diverguje] 7 (5+2) 3 c) d) e) f) = e 3 [koverguje] [koverguje] [koverguje] [diverguje] 48

50 2.8. Alterující řady Věta. Leibitzovo kritérium Nechť {a } je erostoucí posloupost kladých čísel, tj. a a + > 0 pro všecha N. Pak alterující řada ( ) a koverguje právě tehdy, když platí lim a = 0. Příklad 4. Ověřte splěí podmíek Leibitzova kritéria u řady Řešeí: ( ) { } je posloupost kladých čleů pro všecha N. 2. { } je erostoucí posloupost, tj. a a + pro všecha N, což si ověříme ásledujícím způsobem , , , 2. Vzhledem k tomu, že jde od, je podmíka splěa pro všecha N. 3. lim a = 0. lim ( ) = 0. Všechy podmíky jsou splěy. Z toho plye, že řada ( ) koverguje. 49

51 Příklad 42. Ověřte splěí podmíek Leibitzova kritéria u řady Řešeí: ( ) { } je posloupost kladých čleů pro všecha N. 2. { } je erostoucí posloupost, tj. a a + pro všecha N, což si ověříme ásledujícím způsobem , , 9 0. Podmíka je splěa pro všecha N. 3. lim a = lim ( ) ( ) = Neí splěa 3. podmíka. Z toho plye, že řada ( ) diverguje. 50

52 Příklad 43. Ověřte splěí podmíek Leibitzova kritéria u řady Řešeí: {. 2. { } 5 (+)9 } 5 (+)9 ( ) 5 ( + ) 9. je posloupost kladých čleů pro všecha N. je erostoucí posloupost, tj. a a + pro všecha N, což si ověříme ásledujícím způsobem 5 ( + ) ( + 2) 9 +, , Podmíka splěa pro všecha N. 3. lim a = 0. lim 5 ( + ) 9 5 ( + ) 9 = 0. Všechy podmíky jsou splěy. Z toho plye, že řada ( ) koverguje. 5 (+)9 Cvičeí 8. Ověřte splěí podmíek Leibitzova kritéria u řady a) ( ) [3. podmíka eí splěa, diverguje] b) c) ( ) ( ) [podmíky jsou splěy, koverguje] [3. podmíka eí splěa, diverguje] 5

53 2.9. Absolutí a relativí kovergece Věta. Koverguje-li řada a, koverguje i řada a. Defiice. Řekeme, že řada a koverguje absolutě, jestliže koverguje řada a. Jestliže řada a koverguje a řada a diverguje, říkáme, že řada koverguje relativě. Příklad 44. Rozhoděte, zda řada koverguje absolutě ebo relativě. ( ) ( + 2) 2 e + Řešeí: Nejprve vyšetříme kovergeci řady ( + 2) 2 ( ) = ( + 2) 2 e + pomocí limitího podílového kritéria. Platí q a + a (+3) 2 e +2 (+2) 2 e + e + ( + 3) 2 e + e +2 ( + 2) 2 = = e lim = e lim ( ) 9 2 ( ) = 4 e <. 2 Řada absolutě. (+2) 2 e + koverguje, tz., že alterující řada (+2)2 ( ) e + koverguje 52

54 Příklad 45. Rozhoděte, zda řada koverguje absolutě ebo relativě. ( ) 6 Řešeí: Nejprve rozhodeme o kovergeci řady pomocí srovávacího kritéria. Řadu Pro všecha N platí erovost Protože mioratí řada diverguje také řada ( ) 6 = 6 6 = 6 budeme porovávat s řadou Tz., že řada 6. 6 je řadou harmoickou, která diverguje, ( ) ekoverguje absolutě, 6 ale může kovergovat relativě, což vyšetříme použitím Leibitzova kritéria. Musíme ověřit, zda jsou splěy všechy tři podmíky Leibitzova kritéria.. { 6 } je posloupost kladých čleů pro všecha N. 2. { 6 } je erostoucí posloupost, tj. a a + pro všecha N, což si ověříme ásledujícím způsobem , , 6 0. Podmíka je splěa pro všecha N. 53

55 3. lim a = 0. lim 6 = 0. Všechy podmíky jsou splěy. Z toho plye, že řada relativě. ( ) 6 koverguje Příklad 46. Rozhoděte, zda řada koverguje absolutě ebo relativě. ( ) + l ( + 3) Řešeí: Nejprve rozhodeme o kovergeci řady ( )+ l ( + 3) = l ( + 3) pomocí limitího odmociového kritéria. Platí Řada ( ) + l (+3) koverguje absolutě. q a l ( + 3) l ( + 3) = 0 <. koverguje, tz., že alterující řada l (+3) 54

56 Cvičeí 9. Rozhoděte, zda řada koverguje absolutě ebo relativě a) b) ( ) 4 + (+2)! ( ) [koverguje absolutě] [koverguje relativě] c) ( ) ( 6+2 [koverguje absolutě] ) 55

57 3. Mocié řady V této části se budeme věovat mociým řadám, které představují zvláští případ fukčích řad. Stejě jako v případě číselých řad si musíme uvést základí pojmy a vlastosti, které budeme potřebovat při řešeí příkladů. Všechy uvedeé pojmy jsou čerpáy z [], [2] a [8]. 3.. Základí pojmy Defiice 3.. Nechť {f (x)} je posloupost fukcí defiovaých a itervalu I. Symbol f (x) ebo f (x) + f 2 (x) + + f (x) + azýváme ekoečou řadou fukcí. Defiice 3.2. Nechť {a } je posloupost reálých čísel a x 0 je libovolé reálé číslo. Mociou řadou se středem v bodě x 0 a koeficiety a rozumíme řadu fukcí ve tvaru a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) a (x x 0 ) + = a (x x 0 ). Pozámka 2. Velmi častým případem mocié řady, se kterou se můžeme setkat, je řada ve tvaru a x, jejíž střed x 0 = 0. Obecě každou mociou řadu a (x x 0 ) můžeme pomocí substituce (x x 0 ) = y převést a řadu a y se středem v počátku. Defiice 3.3. Oborem kovergece mocié řady a (x x 0 ) je možia všech bodů x R takových, že číselá řada a (x x 0 ) koverguje. 56

58 Věta 3.. Každá mociá řada koverguje ve svém středu a má součet a 0. Věta 3.2. Ke každé mocié řadě a (x x 0 ) existuje jedié číslo r 0 takové, že r = 0, pokud řada koverguje pouze ve svém středu, tj. v bodě {x 0 }; r =, pokud řada koverguje pro všecha x R; r (0, ), pokud řada absolutě koverguje pro všecha x (x 0 r, x 0 + r) a pro všecha x (, x 0 r) (x 0 + r, ) diverguje. Defiice 3.4. Číslo r z předchozí věty se azývá poloměr kovergece mocié řady a (x x 0 ) a iterval (x 0 r, x 0 + r) se azývá iterval absolutí kovergece. Pozámka 3. Podle věty 3.2 oborem kovergece mocié řady může být: jedoprvková možia {x 0 }; celá reálá osa, tj. (, ); iterval koečé délky (x 0 r, x 0 + r). Na tomto itervalu mociá řada koverguje absolutě. V hraičích bodech x 0 r a x 0 + r může ale řada kovergovat (absolutě/relativě) ebo divergovat. Proto chováí v krajích bodech musíme vyšetřit zvlášt dosazeím hodot x 0 r a x 0 + r za x. 57

59 Možé způsoby, jak určit poloměr kovergece, ám udává ásledující věta. Věta 3.3. Nechť je dáa mociá řada a (x x 0 ) a echť existuje (vlastí ebo evlastí) limita lim a + a = λ, resp. lim a = λ. Potom pro poloměr kovergece r mocié řady a (x x 0 ) platí r = λ. Přitom pro λ = klademe r = 0 a pro λ = 0 klademe r = Vlastosti a součet mocié řady Věta 3.4. Nechť mociá řada a (x x 0 ) má poloměr kovergece r > 0. Pak součet této řady je spojitá fukce a itervalu (x 0 r, x 0 + r). Věta 3.5. Abelova věta Součet s(x) řady a (x x 0 ) je fukce spojitá a itervalu (x 0 r, x 0 + r). Koverguje-li řada v kocovém bodě x 0 r (resp. v bodě x 0 + r), pak je fukce s(x) spojitá v bodě x 0 r zprava (resp. v bodě x 0 + r zleva), tj. platí ( lim s(x) x x 0 r + x x 0 r + a (x x 0 ) = resp. lim s(x) x x 0 +r x x 0 +r a ( r), a (x x 0 ) = ) a r. 58

60 Věta 3.6. Nechť mociá řada a (x x 0 ) má poloměr kovergece r > 0 a echť fukce s(x) = a (x x 0 ) je její součet a itervalu (x 0 r, x 0 + r). Potom pro všecha x (x 0 r, x 0 + r) platí x x 0 [ ] a (t x 0 ) dt = x x 0 s(t)dt = x x 0 a (t x 0 ) dt = (x x 0 ) + a, + [ ] a (x x 0 ) = s (x) = [a (x x 0 ) ] = a (x x 0 ). Obě mocié řady a pravých straách mají stejý poloměr kovergece r jako původí řada a (x x 0 ), ale již emusí mít stejý obor kovergece. Pozámka 4. Povšiměme si, že za dolí mez itegrálu budeme vždy dosazovat střed x 0 daé mocié řady Rozvoj fukce v mociou řadu Nechť je dáa fukce f(x). Při rozvoji se sažíme alézt mociou řadu odpovídající této fukci, přičemž daá fukce představuje součet hledaé mocié řady. Navíc rozvoje fukcí se uplatňují v řadě aplikací. Defiice 3.5. Nechť má fukce f v bodě x 0 derivace všech řádů. Mociou řadu ve tvaru f () (x 0 )! (x x 0 ) = f(x 0 ) + f (x 0 )! azýváme Taylorovou řadou fukce f v bodě x 0. (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + 2! Je-li x 0 = 0, mluvíme o Maclauriově řadě, která je tedy tvaru 59 f () (0)! x.

61 Pozámka 5. Jestliže se ám podaří rozviout fukci f a ějakém itervalu I, uvitř kterého leží i bod x 0, v mociou řadu se středem v bodě x 0, pak eexistuje žádá jiá mociá řada, do které by bylo možé fukci f rozvést. Teto rozvoj je zároveň Taylorovým rozvojem fukce f. Přehled rozvojů ěkterých elemetárích fukcí do Maclauriovy řady. e x = + x! + x2 2! + x3 3! + = si x = x! x3 3! + x5 5! = cos x = x2 2! + x4 4! = l ( + x) = x x2 2 + x3 x, x (, ),! ( ) x 2+, x (, ), (2 + )! ( ) 3 = + x = x + x2 = + x 2 = x2 + x 4 = arctg x = x x3 3 + x5 ( + x) α = + ( ) α x + x 2, x (, ), (2)! ( ) x +, x (, ), + ( ) x, x (, ), ( ) x 2, x (, ), 5 = ( ) α x 2 + = 2 ( ) x 2+, x,, 2 + ( ) α x, x (, ), kde α R a číslo ( ) α = α (α ) (α 2)... (α + )! je biomický koeficiet. 60

62 Uvedeé rozvoje můžeme použít apř. k přibližému výpočtu fukčích hodot, výpočtu limit, přibližému výpočtu itegrálů atd. 6

63 4. Mocié řady - příklady Na ásledujících příkladech se ejprve aučíme určovat obor kovergece a součet mociých řad. Dále si odvodíme ěkteré Maclauriovy řady elemetárích fukcí uvedeých a straě 60. Nakoec si ukážeme, jak ám mohou mocié řady pomoci při přibližém výpočtu itegrálů, limit či při určováí přibližých fukčích hodot. Samozřejmě echybí ai příklady k procvičeí. 4.. Obor kovergece a obor absolutí kovergece Se zjištěím oboru kovergece a oboru absolutí kovergece souvisí i alezeí středu x 0 a poloměru kovergece r. Při jejich určováí budeme postupovat takto:. Nejprve určíme střed x 0 mocié řady podle ásledující defiice. Defiice. Nechť je dáa mociá řada a (x x 0 ). Číslo x 0 R se azývá střed mocié řady a (x x 0 ). 2. Určíme poloměr kovergece r pomocí uvedeé věty. Věta. Nechť je dáa mociá řada a (x x 0 ) a echť existuje (vlastí ebo evlastí) limita lim a + a = λ, resp. lim a = λ. Potom pro poloměr kovergece r mocié řady a (x x 0 ) platí r = λ. 62

64 3. Určíme iterval absolutí kovergece (x 0 r, x 0 + r). Itervalem absolutí kovergece mocié řady může být: jedoprvková možia {x 0 }, jestliže r = 0; celá reálá osa, jestliže r = ; iterval koečé délky (x 0 r, x 0 + r), jestliže r (0, ). Na tomto itervalu mociá řada koverguje absolutě. V případě, že iterval absolutí kovergece je jedoprvková možia ebo celá reálá osa, je teto iterval zároveň oborem kovergece i oborem absolutí kovergece. Jestliže obdržíme iterval koečé délky (x 0 r, x 0 + r), musíme ještě vyšetřit chováí řady v krajích bodech x 0 r a x 0 + r, a to dosazeím těchto bodů za x, tj. vyšetřujeme kovergeci číselých řad. V těchto hraičích bodech může řada kovergovat (absolutě/relativě) ebo divergovat. 4. Staovíme obor kovergece a obor absolutí kovergece mocié řady a základě výsledků získaých při vyšetřováí chováí řady v krajích bodech. 63

65 Příklad 47. Je dáa řada 5 ( + ) 2 x. Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 = 0, protože řadu tvaru 5 (+) 2 (x 0). 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ a + a 5 + (2+) 2 5 (+) 2 ( 2 = 5 lim + ) 2 ( ) 2 = 5. Pro poloměr kovergece r platí 5 (+) 2 x můžeme přepsat do 5 + ( + )2 = (2 + ) 2 5 r = λ, odtud r = Iterval absolutí kovergece mocié řady 5 (+) 2 x obdržíme dosazeím hodot x 0 = 0 a r = 5 do itervalu (x 0 r, x 0 + r), tj. ( 0 5, 0 + ) ( = 5 5, ). 5 Musíme vyšetřit kovergeci v krajích bodech. Dosazeím bodu x = do mocié řady 5 x dostaeme 5 (+) 2 5 ( + ) 2 ( ) = 5 ( + ) 2. 64

66 Abychom zjistili kovergeci, resp. divergeci této číselé řady, použijeme apř. limití Raabeovo kritérium. Platí ( q a ) [ + a ] ( + )2 [ (2 + ) 2 ( ) Řada koverguje. (+) 2 2 (2+) 2 (+) 2 koverguje, tudíž i mociá řada Dosazeím bodu x = 5 do mocié řady 5 (+) 2 x dostaeme alterující řadu ( 5 ( + ) = 5) 2 Nejprve rozhodeme o kovergeci řady ] = ( ) = ( ) ( ) = 2 > (+) 2 x v bodě x = 5 ( ) ( + ) 2. ( ) ( + ) 2 = ( + ). 2 S touto číselou řadou jsme se již setkali při vyšetřováí kovergece v bodě x = a zjistili jsme, že koverguje. Tz., že řada ( ) koverguje 5 absolutě, tudíž i mociá řada koverguje. (+) 2 5 (+) 2 x v bodě x = 5 absolutě 4. Obor kovergece se rová oboru absolutí kovergece mocié řady 5 x a je rove itervalu, (+)

67 Příklad 48. Je dáa řada 3 ( + 2)! (x + ). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 =, protože řadu přepsat do tvaru 3 (+2)! [x ( )]. 3 (x + ) můžeme (+2)! 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ a + a 3 + (+3)! 3 (+2)! 3 + ( + 2)! = ( + 3)! 3 ( + 2)! = 3 lim ( + 3)( + 2)! = 3 lim + 3 = 0. Pro poloměr kovergece r platí r =, odtud r =. λ 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady 3 (+2)! (x + ) je (, ), tz., že mociá řada koverguje pro všecha x R. Současě jsme obdrželi obor kovergece i obor absolutí kovergece mocié řady. 66

68 Příklad 49. Je dáa řada (4) 2 ) 2 (x + 2). ( + Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 = 2, protože řadu přepsat do tvaru (4) 2 ( + ) 2 [x ( 2)]. (4) 2 ( + 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. ) 2 (x + 2) můžeme λ a Pro poloměr kovergece r platí (4) 2 ) 2 ( + (4) 2 ( + ) = e =. r =, odtud r = 0. λ 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady (4) 2 ( + ) 2 (x + 2) je jedoprvká možia { 2}, tz., že mociá řada koverguje pouze ve svém středu. Současě jsme obdrželi obor kovergece i obor absolutí kovergece mocié řady. 67

69 Příklad 50. Je dáa řada ( ) 2 (4x + 4). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Abychom mohli určit střed x 0, musíme mociou řadu ejprve upravit tak, že z výrazu (4x + 4) vytkeme 4. Dostaeme ( ) 4 2 (x + ) = ( ) 3 (x + ). Střed této mocié řady x 0 =, protože řadu můžeme přepsat do tvaru ( ) 3 [x ( )]. 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ a ( ) 3 3 = = 3 lim = 3. Pro poloměr kovergece r platí: r =, odtud r = 3. λ Upozorěí. Za a jsme dosazovali ( ) Iterval absolutí kovergece mocié řady ( ) 3 (x + ) ( ) 2 (4x + 4) obdržíme dosazeím hodot x 0 = a r = 3 do itervalu (x 0 r, x 0 + r), tj. ( 3, + 3) = ( 4, 2). 68

70 Musíme vyšetřit kovergeci v krajích bodech. Dosazeím bodu x = 2 do mocié řady ( ) (4x + 4) dosta- 2 eme ( ) 2 (8 + 4) = Nejprve rozhodeme o kovergeci řady ( ) =. ( ). Obdrželi jsme harmoickou řadu, o které víme, že diverguje. Tz., že řada ( ) ekoverguje absolutě, ale může kovergovat relativě, což vyšetříme použitím Leibitzova kritéria. Musíme ověřit, zda jsou splěy všechy tři podmíky Leibitzova kritéria. a) { } je posloupost kladých čleů pro všecha N. b) { } je erostoucí posloupost, tj. a a + pro všecha N, což si ověříme ásledujícím způsobem +, +, 0. Podmíka je splěa pro všecha N. c) lim a = 0. lim = 0. Všechy podmíky jsou splěy. Z toho plye, že řada ( ) koverguje relativě, tudíž i mociá řada relativě koverguje. 69 ( ) 2 (4x + 4) v bodě x = 2

71 Dosazeím bodu x = 4 do mocié řady ( ) 2 (4x + 4) dostaeme ( ) 2 ( 6 + 4) = Opět jsme obdrželi harmoickou řadu, o které víme, že diverguje. Z toho plye, že i mociá řada ( ) (4x + 4) v bodě x = 4 diverguje Obor kovergece mocié řady ( 4, 2. Obor absolutí kovergece mocié řady ( ) 2 (4x + 4) je iterval ( 4, 2).. ( ) 2 (4x + 4) je iterval Příklad 5. Je dáa řada (x 6). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 = Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ a + a = 6 lim 3 3 ( + Pro poloměr kovergece r platí (3+3) ) = (3 + 3) = r =, odtud r = 6. λ 70

72 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady (x 6) obdržíme dosazeím hodot x 0 = 6 a r = 6 do itervalu (x 0 r, x 0 + r), tj. (6 6, 6 + 6) = ( 0, 22). Musíme vyšetřit kovergeci v krajích bodech. Dosazeím bodu x = 22 do mocié řady (x 6) dostaeme (22 6) = = 2 Obdrželi jsme harmoickou řadu, o které víme, že diverguje. Z toho plye, že i mociá řada (x 6) v bodě x = 22 diverguje Dosazeím bodu x = 0 do mocié řady ( 0 6) = Nejprve rozhodeme o kovergeci řady ( 6) = 2 ( ) =.. (x 6) dostaeme ( ). Opět jsme obdrželi harmoickou řadu, která diverguje. Tz., že řada ( ) ekoverguje absolutě, ale může kovergovat relativě. Kovergeci této alterující řady ( ) jsme vyšetřili již v příkladu 50 a zjistili jsme, že koverguje relativě. Tudíž i mociá řada (x 6) v bodě x = 0 relativě ko verguje. 7

73 4. Obor kovergece mocié řady Obor absolutí kovergece mocié řady ( 0, 22). (x 6) je iterval 0, 22) (x 6) je iterval Příklad 52. Je dáa řada 3 + ( + )! (5 + 2)! (6x + 3). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Abychom mohli určit střed x 0, musíme mociou řadu ejprve upravit tak, že z výrazu (6x + 3) vytkeme 6. Dostaeme ( + )! (5 + 2)! ( x + 2). Střed mocié řady x 0 = 2, protože řadu ( x + 2) můžeme přepsat do tvaru (+)! (5+2)! [ x ( 2)] (+)! (5+2)! 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ a + a (+2)! (5+7)(+)! (+)! (5+2)! = ( + 2)! (5 + 7)( + )! (5 + 2)! ( + )! = = 8 lim ( = 8 lim + ) 4 2 ( ) =

74 Pro poloměr kovergece r platí r = λ, odtud r = 8. Upozorěí. Za a jsme dosazovali (+)! (5+2)!. 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady 3 + (+)! (5+2)! (6x + 3) obdržíme dosazeím hodot x 0 = 2 a r = 8 do itervalu (x 0 r, x 0 + r), tj. ( 2 8, 2 + ) ( = 5 ) 8 9, 4. 9 Musíme vyšetřit kovergeci v krajích bodech. Dosazeím bodu x = 4 9 do mocié řady 3 + (+)! (5+2)! (6x + 3) dostaeme 3 + ( + )! (5 + 2)! ( ) = 3( + )! (5 + 2)!. Abychom zjistili kovergeci této číselé řady, použijeme limití Raabeovo kritérium. Platí Řada ( q a ) [ + a [ ( 3(+)! (5+2)! v bodě x = 4 9 diverguje. 3(+2)! ] (5+7)(+)! = 3(+)! (5+2)! ] 3( + 2)! (5 + 2)! = (5 + 7)( + )! 3( + )! ( ) = ) diverguje, tudíž i mociá řada ( ) = 0 <. 3 + (+)! (5+2)! (6x + 3)

75 Dosazeím bodu x = 5 9 do mocié řady 3 + (+)! (5+2)! (6x + 3) dostaeme 3 + ( + )! (5 + 2)! ( 0 ) = Nejprve rozhodeme o kovergeci řady ( ) 3( + )! (5 + 2)!. 3( + )! ( ) (5 + 2)! = 3( + )! (5 + 2)!. S touto řadou jsme se již setkali při vyšetřováí kovergece v bodě x = 4 9 a zjistili jsme, že diverguje. Tz., že řada ( ) 3(+)! ekoverguje ab- (5+2)! solutě, ale může kovergovat relativě, což vyšetříme použitím Leibitzova kritéria. Musíme ověřit, zda jsou splěy všechy tři podmíky Leibitzova kritéria. a) b) { } 3(+)! je posloupost kladých čleů pro všecha N. (5+2)! { } 3(+)! je erostoucí posloupost, tj. a (5+2)! a + pro všecha N, což si ověříme ásledujícím způsobem 3( + )! (5 + 2)! 3( + 2)! (5 + 7)( + )!, , 3 0. Podmíka je splěa pro všecha N. c) lim a = 0. lim 3( + )! (5 + 2)! ( ) 3 + ( ) =

76 Posledí podmíka eí splěa. Z toho plye, že řada ( ) diverguje, tudíž i mociá řada diverguje. 3(+)! (5+2)! 3 + (+)! (5+2)! (6x + 3) v bodě x = Obor kovergece se rová oboru absolutí kovergece mocié řady 3 + (+)! (6x + 3) a je rove itervalu ( 5, 4 (5+2)! 9 9). Příklad 53. Je dáa řada 2 +! 3 (x 4). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 = Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. 2 λ a + a +2 (+)! (+) ( + )! 3 ( + ) 3 2 +! = = 2 lim 3 ( + )! ( + ) 3! 2 +! 3 Pro poloměr kovergece r platí 3 = 2 lim 2 ( + =. )2 r =, odtud r = 0. λ 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady 2 +! (x 4) je jedo- 3 prvková možia {4}, tz., že mociá řada koverguje pouze ve svém středu. Současě jsme obdrželi obor kovergece i obor absolutí kovergece mocié řady. 75

77 Příklad 54. Je dáa řada ( ) + 3 (3x + ) Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Abychom mohli určit střed x 0, musíme mociou řadu ejprve upravit tak, že z výrazu (3x + ) vytkeme 3. Dostaeme ( ) ( x ) Střed mocié řady x 0 = 3, protože řadu ( ) 3 ( x + 3) můžeme přepsat do tvaru ( ) 3 [ x ( 3)]. 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ a = 3 lim ( ) + 3 ( ) = Pro poloměr kovergece r platí ( ) = 3 lim = r =, odtud r =. λ Upozorěí. Za a jsme dosazovali ( ) Iterval absolutí kovergece mocié řady ( ) (3x + ) je (, ), tz., že mociá řada koverguje pro všecha x R. Současě jsme obdrželi obor kovergece i obor absolutí kovergece mocié řady. 76

78 Příklad 55. Je dáa řada ( ) (2 + 4)9 (x + 2). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 = 2, protože řadu můžeme přepsat do tvaru ( ) (2+4)9 [x ( 2)]. 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ a + a = 9 lim 2 ( ) ( ) = Pro poloměr kovergece r platí ( ) (2+6)9 + ( ) (2+4)9 ( ) (2+4)9 (x + 2) (2 + 4)9 (2 + 6)9 + = r =, odtud r = 9. λ 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady ( ) (2+4)9 (x + 2) obdržíme dosazeím hodot x 0 = 2 a r = 9 do itervalu (x 0 r, x 0 + r), tj. ( 2 9, 2 + 9) = (, 7). Musíme vyšetřit kovergeci v krajích bodech. Dosazeím bodu x = 7 do mocié řady ( ) (x + 2) do- (2+4)9 staeme ( ) (2 + 4)9 (7 + 2) = 77 ( )

79 Nejprve rozhodeme o kovergeci řady ( ) = pomocí limitího srovávacího kritéria. Řadu porovávat s harmoickou řadou b = Vyšetříme limitu Řada a lim b 2+4 a = budeme 2+4, o které víme, že diverguje = 2. diverguje. Tz., že řada ( ) 2+4 (2+4) ekoverguje absolutě, ale může kovergovat relativě, což vyšetříme použitím Leibitzova kritéria. Musíme ověřit, zda jsou splěy všechy tři podmíky Leibitzova kritéria. a) { 2+4} je posloupost kladých čleů pro všecha N. b) { 2+4} je erostoucí posloupost, tj. a a + pro všecha N, což si ověříme ásledujícím způsobem , , 2 0. Podmíka je splěa pro všecha N. c) lim a = 0. lim = 0. 78

80 Všechy podmíky jsou splěy. Z toho plye, že řada ( ) ko- 2+4 verguje relativě, tudíž i mociá řada x = 7 relativě koverguje. Dosazeím bodu x = do mocié řady dostaeme ( ) (2+4)9 (x+2) v bodě ( ) (2 + 4)9 ( + 2) = ( ) (2+4)9 (x + 2) S touto řadou jsme se již setkali při vyšetřováí kovergece v bodě x = 7 a zjistili jsme, že diverguje. Z toho plye, že i mociá řada ( ) (x + 2) v bodě x = diverguje. (2+4)9 4. Obor kovergece mocié řady (, 7. Obor absolutí kovergece mocié řady iterval (, 7). ( ) (2+4)9 (x + 2) je iterval ( ) (2+4)9 (x + 2) je Příklad 56. Je dáa řada (x + 5). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 = 5, protože řadu (x + 5) můžeme přepsat do tvaru [x ( 5)]. 79

81 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ 2 a = = 6. Pro poloměr kovergece r platí r =, odtud r = 6. λ 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady (x + 5) obdržíme dosazeím hodot x 0 = 5 a r = 6 do itervalu (x 0 r, x 0 + r), tj. ( 5 6, 5 + 6) = (, ). Musíme vyšetřit kovergeci v krajích bodech. Dosazeím bodu x = do mocié řady (x + 5) dostaeme ( + 5) = Obdrželi jsme řadu jediček, která diverguje = Dosazeím bodu x = do mocié řady ( + 5) = ( 6) = Obdrželi jsme Gradiho řadu, o které víme, že osciluje (x + 5) dostaeme ( ). 4. Obor kovergece se rová oboru absolutí kovergece mocié řady (x + 5) a je rove itervalu (, ). 80

82 Příklad 57. Je dáa řada (x + 4). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 = 4, protože řadu přepsat do tvaru [x ( 4)]. 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ (x + 4) můžeme λ 9 a = ( + ) = 3 lim ( + ) 3 [ = 3 e 3 0 = 3. ( + ) + = 3 lim ] + 3 [ ( + ) + 3 = + 3 lim e 3 l ] + = (+) + = 3 e 3 l = Pro poloměr kovergece r platí r =, odtud r = 3. λ 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady (x+4) obdržíme dosazeím hodot x 0 = 4 a r = 3 do itervalu (x 0 r, x 0 + r), tj. ( 4 3, 4 + 3) = ( 7, ). 8

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

1 Nekonečné řady s nezápornými členy

1 Nekonečné řady s nezápornými členy Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete

Více

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě

Více

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci ... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

ZS 2018/19 Po 10:40 T5

ZS 2018/19 Po 10:40 T5 Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) = Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1 I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo

Více

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1 3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.

Více

Infinity series collection of solved and unsolved examples

Infinity series collection of solved and unsolved examples Nekoečé řady sbírka řešeých a eřešeých příkladů Ifiity series collectio of solved ad usolved examples Lucie Jaoušková Bakalářská práce 9 ABSTRAKT Cílem práce bylo vytvořit sbírku řešeých příkladů, která

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti

1 Základní pojmy a vlastnosti Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) = NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi

Více

Užití binomické věty

Užití binomické věty 9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 202 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Rozklady celých

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI 6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících

Více

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické 5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY MB202. Diferenciální a integrální počet B

MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY MB202. Diferenciální a integrální počet B MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY Sbírka příkladů do cvičeí MB0 Difereciálí a itegrálí počet B jaro 08 Mgr. Jakub Juráek Obsah Polyomy, racioálí lomeé fukce, iterpolace Limity a spojitost fukce

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.

( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N. .. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

Matematická analýza III (NMUM201)

Matematická analýza III (NMUM201) Matematická aalýza III (NMUM0) Marti Rmoutil 0. leda 09 Kapitola Nekoečé číselé řady. Základí fakta Mějme posloupost reálých čísel {a } R. Až dosud jsme se při studiu posloupostí zabývali zejméa jejich

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

3. cvičení - LS 2017

3. cvičení - LS 2017 3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a) fx) x 5x+4 4 x b) fx) x x +4x+ c) fx) 3x 9x+ x +6x 0 d) fx) x 7x+0 4 x. Řešeí a) Nulové body čitatele a jmeovatele

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

3. cvičení - LS 2017

3. cvičení - LS 2017 3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a fx x 5x+4 4 x b fx x x +4x+ c fx 3x 9x+ x +6x 0. Řešeí a Nulové body čitatele a jmeovatele jsou { 4}. Aby vše bylo

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou

Více

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená. .7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více