Mocninné řady - sbírka příkladů

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Mocninné řady - sbírka příkladů"

Transkript

1 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D. Rok odevzdáí: 203 Vypracoval: Eva Složilová ME, III. ročík

2 Prohlášeí Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci zpracovala samostatě pod vedeím Mgr. Ivety Bebčákové, Ph.D. s použitím uvedeé literatury. V Olomouci de 26. duba 203

3 Poděkováí Ráda bych poděkovala vedoucí bakalářské práce Mgr. Ivetě Bebčákové, Ph.D. za spolupráci i za čas, který mi věovala při kozultacích.

4 Obsah Úvod 5 Sezam použitých zkratek a symbolů 6 Číselé řady 7. Základí pojmy Základí vlastosti Výzamé řady Číselé řady s ezáporými čley Kritéria kovergece a divergece Řady absolutě a relativě kovergetí Alterující řady Číselé řady - příklady 7 2. Nutá podmíka kovergece Srovávací kritérium Limití srovávací kritérium D Alembertovo limití podílové kritérium Cauchyovo limití odmociové kritérium Limití Raabeovo kritérium Itegrálí kritérium Alterující řady Absolutí a relativí kovergece Mocié řady Základí pojmy Vlastosti a součet mocié řady Rozvoj fukce v mociou řadu Mocié řady - příklady Obor kovergece a obor absolutí kovergece Součet mocié řady Rozvoj fukce v mociou řadu Užití mociých řad Určeí přibližé hodoty Přibližý výpočet itegrálů Výpočet limit Řešeí příkladů s programem Maple Kovergece číselých řad Obor kovergece mociých řad Součet mociých řad

5 Závěr 50 Literatura 5

6 Úvod Bakalářská práce Mocié řady - sbírka příkladů je určea především pro studety předmětu Matematika 2 vyučovaého a katedře Matematické aalýzy a aplikací matematiky Přírodovědecké fakulty Uiverzity Palackého v Olomouci. Hlavím cílem práce je vytvořit pro studety materiál, kde alezou především dostatek příkladů i s postupem vedoucím k jejich řešeí. Tato sbírka by jim měla pomoci pochopit učivo a může sloužit i jako pomůcka k přípravě a zápočtové a zkouškové testy. Sbírka je psaá s předpokladem, že studeti již mají zalosti z předmětu Matematika a absolvovali předášku ke kurzu Matematika 2. Práce je rozdělea do pěti částí. V prví kapitole se sezámíme s číselými řadami a uvedeme základí pojmy a vlastosti, které uplatíme při počítáí jak s číselými, tak i s mociými řadami. Druhá kapitola je věováa řešeým i eřešeým příkladům týkajících se číselých řad. Především se zaměříme a vyšetřováí kovergece, resp. divergece číselých řad pomocí tzv. kritérií kovergece. Další kapitola se týká mociých řad. Stejě jako u číselých řad si ejprve zavedeme základí pojmy teorie mociých řad. Čtvrtá kapitola obsahuje opět příklady, ve kterých je především vysvětleo, jak postupovat při určováí oboru kovergece a součtu mociých řad. Nechybí ai příklady k procvičeí. Posledí kapitola ukazuje, jak je možé si pomocí matematického softwaru Maple ověřit správost výsledků získaých při řešeí příkladů. 5

7 Sezam použitých zkratek a symbolů N R R OK OAK možia přirozeých čísel možia reálých čísel rozšířeá možia reálých čísel obor kovergece obor absolutí kovergece {a } posloupost reálých čísel {s } posloupost částečých součtů {f (x)} posloupost fukcí a f (x) a (x x 0 ) ekoečá číselá řada ekoečá řada fukcí mociá řada f () (x 0 )! (x x 0 ) Taylorova řada fukce f v bodě x 0 f () (0)! x Maclauriova řada lim limita poslouposti {a } (a, b) otevřeý iterval (a, b a, b) a, b zprava uzavřeý (zleva otevřeý) iterval zleva uzavřeý (zprava otevřeý) iterval uzavřeý iterval sg fukce sigum. = přibližě rovo 6

8 . Číselé řady Dříve ež přistoupíme k samotému tématu mociých řad, musíme si uvést základí pojmy a vlastosti týkající se řad číselých. Jejich zalost je totiž základem pro práci s mociými řadami. Všechy použité defiice a věty jsou čerpáy z [], [2] a [8]... Základí pojmy Defiice.. Nechť {a } je posloupost reálých čísel. Symbol a ebo a + a 2 + a a + azýváme ekoečou číselou řadou. Číslo a se azývá -tý čle řady, se azývá sčítací idex. Defiice.2. Uvažujme řadu a. Posloupost {s }, kde s = a s 2 = a + a 2 s 3 = a + a 2 + a 3. s = a + a a = i= a i. se azývá posloupost částečých součtů řady a. 7

9 Defiice.3. Nechť je dáa řada a a jí odpovídající posloupost částečých součtů {s }. Jestliže lim s = s R, pak říkáme, že řada a koverguje a má součet s; lim s = ±, pak říkáme, že řada a diverguje k ± a má součet ± ; lim s eexistuje, pak říkáme, že řada a diverguje (osciluje) a emá součet. Pozámka. Nemůže se stát, že by řada a apř. kovergovala a divergovala zároveň, protože každá posloupost má ejvýše jedu limitu..2. Základí vlastosti Následující věta ám udává utou podmíku kovergece řady. Věta.. Jestliže řada a koverguje, pak platí lim a = 0. Pozámka 2. Pozor! Obráceá věta eplatí. Ne každá řada a, pro kterou je splěa podmíka lim a = 0, koverguje. V opačém případě, jestliže eí splěa utá podmíka kovergece, tj. pak řada a diverguje. lim a 0, Věta.2. Nechť a, b jsou kovergetí řady a echť a = s, b = = t. Pak je kovergetí i řada (a + b ) a platí 8 (a + b ) = s + t.

10 Pozámka 3. Obráceá věta opět eplatí. To, že koverguje řada (a + b ) ještě ezameá, že kovergují i dílčí řady a a b. Pozámka 4. V případě, že řada a koverguje a řada b diverguje, bude divergovat i řada (a + b ). Věta.3. Jestliže řada a koverguje, pak pro libovolé k R koverguje též řada k a a platí k a = k a. Naopak, koverguje-li řada k a, kde k R, k 0, koverguje i řada a. Pozámka 5. Jestliže je ale řada a divergetí, pak je pro k 0 divergetí i řada k a. 9

11 .3. Výzamé řady a q, kde a, q R. Řada a q se azývá geometrická s prvím čleem a a kvocietem q. V případě, že q, geometrická řada diverguje; q <, geometrická řada koverguje a má součet s = a q. p Pro řadu p mohou astat tyto dva případy: řada koverguje pro p > ; řada diverguje pro 0 < p. Jestliže položíme p = obdržíme řadu Tato řada se azývá harmoická řada a diverguje. ( ) Řada ( ) se azývá Gradiho řada a osciluje. 0

12 .4. Číselé řady s ezáporými čley Defiice.4. Řada a se azývá řada s ezáporými (resp. kladými) čley, je-li a 0 pro všecha N (resp. a > 0 pro všecha N). Věta.4. Každá řada s ezáporými čley buď koverguje ebo diverguje k. Pozámka 6. Tato vlastost plye ze skutečosti, že posloupost částečých součtů {s } u řad s ezáporými čley bude vždy eklesající. Tudíž tyto řady budou buď kovergovat ebo divergovat, ale emohou ikdy oscilovat..4.. Kritéria kovergece a divergece V moha případech bývá velice obtížé staovit součet řady, pomocí kterého bychom rozhodli o kovergeci, resp. divergeci řady. Často se omezujeme pouze a iformaci, zda řada koverguje či diverguje, aiž bychom teto součet určovali. K tomuto účelu používáme tzv. kritéria kovergece, které představují postačující podmíky pro kovergeci, resp. divergeci číselých řad. Věta.5. Srovávací kritérium Nechť a a b jsou řady s ezáporými čley a echť a b pro všecha N. Potom platí: koverguje-li řada b, pak koverguje i řada a ; diverguje-li řada a, pak diverguje i řada b.

13 Defiice.5. Nechť a a b jsou řady s ezáporými čley a echť a b pro všecha N. Potom řadu b azýváme majoratí řadou k řadě a řadu a mioratí řadou k řadě b. a Věta.6. Limití srovávací kritérium Nechť a a b jsou řady s ezáporými čley a echť existuje a lim = L. b Je-li L < a koverguje-li řada b, pak koverguje i řada a. Je-li L > 0 a diverguje-li řada b, pak diverguje i řada a. Pozámka 7. Ke srováí budeme ejčastěji používat řady uvedeé v kapitole.3, o ichž víme, zda kovergují či divergují. Věta.7. Podílové kritérium - D Alembertovo Nechť a je řada s kladými čley. Jestliže pro všecha N platí erovost: a + a a + a q <, pak řada a koverguje; >, pak řada a diverguje. 2

14 Věta.8. D Alembertovo limití podílové kritérium Nechť a je řada s kladými čley. Existuje-li potom v případě, že: q <, řada a koverguje; q >, řada a diverguje; a + lim = q, kde q R, a q =, elze o kovergeci řady a tímto kritériem rozhodout - řada může kovergovat i divergovat. Věta.9. Odmociové kritérium - Cauchyovo Nechť a je řada s ezáporými čley. Platí-li erovost a q < pro všecha N, pak řada a koverguje; a pro ekoečě moho N, pak řada a diverguje. Věta.0. Cauchyovo limití odmociové kritérium Nechť a je řada s ezáporými čley. Existuje-li lim a = q, kde q R, potom v případě, že: q <, řada a koverguje; 3

15 q >, řada a diverguje; q =, elze o kovergeci řady a tímto kritériem rozhodout - řada může kovergovat i divergovat. Věta.. Limití Raabeovo kritérium Nechť a je řada s kladými čley a echť existuje limita Potom platí: ( lim a ) + = q, kde q R. a je-li q >, pak řada a koverguje; je-li q <, pak řada a diverguje. Věta.2. Itegrálí kritérium Nechť f je fukce defiovaá a itervalu, ), která je a tomto itervalu ezáporá a erostoucí. Nechť f() = a pro všecha N. Pak řada koverguje právě tehdy, když koverguje evlastí itegrál f (x) dx. a Pozámka 8. Pokud se ám epodaří rozhodout o kovergeci řady pomocí zvoleého kritéria, musíme použít jié, silější kritérium. Při volbě kritéria musíme brát v úvahu tvar a. 4

16 .5. Řady absolutě a relativě kovergetí V této kapitole opustíme problematiku řad s ezáporými čley. Budeme se zabývat řadami s čley obecými, tz. řadami a, kde a R. Tato řada může být tedy tvořea eje kladými, ale i záporými, popř. ulovými čley. Při vyšetřováí kovergece řad s obecými čley budeme zároveň vyšetřovat i řady tvořeé absolutími hodotami jedotlivých čleů. Mezi dvojicí řad a a platí ásledující vztah. Věta.3. Koverguje-li řada a, koverguje i řada a. a Pozámka 9. Opačé tvrzeí eplatí. Proto je a místě pro řady s obecými čley zavedeí silější vlastosti ež je kovergece. Defiice.6. Řekeme, že řada a koverguje absolutě, jestliže koverguje řada a. Jestliže řada a koverguje a řada a diverguje, říkáme, že řada koverguje relativě. Pozámka 0. U řad s ezáporými čley je pojem absolutí kovergece totožá s pojmem kovergece. Protože a je řada s ezáporými čley, můžeme pro určováí absolutí kovergece řad použít všecha kritéria z kapitoly.4.. 5

17 .5.. Alterující řady Speciálím případem řad s libovolými čley jsou tzv. alterující řady eboli řady se střídavými zaméky. Defiice.7. Nekoečá řada a se azývá alterující, právě když platí sg a + = sg a pro všecha N. Pozámka. Alterující řady mohou mít tvar ( ) a = a a 2 + a 3 a 4 + a 5 a 6 +, ( ) + a = a a 2 + a 3 a 4 + a 5 a 6 +, ( ) a = a + a 2 a 3 + a 4 a 5 + a 6, kde {a } je posloupost kladých čísel. O kovergeci alterujících řad rozhodujeme pomocí Leibitzova kritéria kovergece. Věta.4. Leibitzovo kritérium Nechť {a } je erostoucí posloupost kladých čísel, tj. a a + > 0 pro všecha N. Pak alterující řada ( ) a koverguje právě tehdy, když platí lim a = 0. 6

18 2. Číselé řady - příklady Tato kapitola je věováa řešeým i eřešeým příkladům týkajících se číselých řad. Většia příkladů je zaměřea a zjišťováí kovergece, resp. divergece řad pomocí kritérií kovergece uvedeých v kapitole.4.. S výjimkou srovávacího kritéria budeme používat pouze limití kritéria, která jsou pro výpočty vhodější. Dále budeme ověřovat splěí uté podmíky kovergece a podmíek Leibitzova kritéria. Nakoec se aučíme určovat, zda řada s obecými čley koverguje absolutě ebo relativě. 2.. Nutá podmíka kovergece V předchozí kapitole jsme si uvedli, že platí ásledující věta. Věta. Jestliže řada a koverguje, pak platí lim a = 0. Pozámka. V případě, že eí splěa utá podmíka kovergece, tj. pak řada a diverguje. lim a 0, Příklad. Ověřte, zda je splěa utá podmíka kovergece u řady Řešeí: Pro ověřeí musíme vypočítat limitu ( + 5)! ( + 3)!. lim a ( + 5)! ( + 3)! ( + 5)( + 4)( + 3)! ( + 3)! ( + 5)( + 4) 2 7 ( ) 20 2 = = 0.

19 Dokázali jsme, že utá podmíka kovergece splěa eí. Z toho plye, že řada (+5)! (+3)! diverguje. Příklad 2. Ověřte, zda je splěa utá podmíka kovergece u řady Řešeí: Pro ověřeí musíme vypočítat limitu lim a ( ) ( ) = Dokázali jsme, že utá podmíka kovergece splěa eí. Z toho plye, že řada diverguje Cvičeí. Ověřte, zda je splěa utá podmíka kovergece u řady a) b) 8 2 (6+)(+3) (2+)!8 (2)! [eí, diverguje] [eí, diverguje] 8

20 2.2. Srovávací kritérium Věta. Nechť a a b jsou řady s ezáporými čley a echť a b pro všecha N. Potom platí: koverguje-li řada b, pak koverguje i řada a ; diverguje-li řada a, pak diverguje i řada b. Příklad 3. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu. Pro všecha N platí e- 5 rovost 5 2. budeme porovávat s řadou 5 2 Protože mioratí řada diverguje také řada = je řadou harmoickou, která diverguje, 9

21 Příklad 4. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu = budeme porovávat s řadou Pro všecha N zjevě platí erovost Z příkladu 3 víme, že mioratí řada diverguje. Z toho plye, že diverguje také řada = = (5 2) 2 Příklad 5. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu. Pro všecha N platí e- 3 rovost budeme porovávat s řadou 3 +7 Protože majoratí řada koverguje, koverguje také řada

22 Příklad 6. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu N zjevě platí erovost budeme porovávat s řadou =. Pro všecha Protože majoratí řada = 5 5 koverguje, koverguje také řada Příklad 7. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu budeme porovávat s geometrickou řadou 5 +3 N platí erovost Protože majoratí geometrická řada ( ) 4. 5 ( 4 ). 5 Pro všecha ( 4 ) 5 koverguje, koverguje také řada 2

23 Příklad 8. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu erovost l(5 2). budeme porovávat s řadou l(5 2) 5 2 l(5 2). Z příkladu 3 víme, že mioratí řada diverguje. Z toho plye, že diverguje také řada. l(5 2) 5 2. Pro všecha N platí 5 2 Cvičeí 2. Pomocí srovávacího kritéria rozhoděte o kovergeci řady a) b) c) d) 4 (4 ) [diverguje] [diverguje] [koverguje] [koverguje] e) 3+5 [koverguje] f) l(4 ) [diverguje] 22

24 2.3. Limití srovávací kritérium Věta. Nechť a a b jsou řady s ezáporými čley a echť existuje a lim = L. b Je-li L < a koverguje-li řada b, pak koverguje i řada a. Je-li L > 0 a diverguje-li řada b, pak diverguje i řada a. Příklad 9. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu koverguje. a = Vypočítáme limitu budeme porovávat s řadou b =, která 2 a L b = 2. Řada koverguje ( ) =

25 Příklad 0. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu =2 a = =2 která koverguje. Vypočítáme limitu a L b Řada =2 koverguje. 6 8 = budeme porovávat s geometrickou řadou =2 b = =2 6 = lim 6 ( ) =. 8 6, 6 Příklad. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu a = která diverguje. Vypočítáme limitu Řada a L b diverguje budeme porovávat s harmoickou řadou ( b = ) = 4., 24

26 Příklad 2. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu a = která diverguje. Vypočítáme limitu a L b Řada 5 diverguje budeme porovávat s harmoickou řadou = 5 lim b = = , Příklad 3. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu = a =, která diverguje. Vypočítáme limitu Řada budeme porovávat s harmoickou řadou 2 +3 a L b 9 + diverguje = 9 ( ) = b = 25

27 Příklad 4. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu b = a = Vypočítáme limitu Řada 4 ( 2 + 2) ( 2 +2) budeme porovávat s geometrickou řadou, která koverguje. 7 a L b 4 ( 2 +2) = 49 lim 4 4 ( ) = ( 2 +2) koverguje. ( 2 + 2) = Cvičeí 3. Pomocí limitího srovávacího kritéria rozhoděte o kovergeci řady a) [koverguje] b) c) 4 [koverguje] [diverguje] 5+2 d) e) f) [koverguje] ( 2 + ) [diverguje] [diverguje] 26

28 2.4. D Alembertovo limití podílové kritérium Věta. Nechť a je řada s kladými čley. Existuje-li a + lim = q, kde q R, a potom v případě, že: q <, řada a koverguje; q >, řada a diverguje; q =, elze o kovergeci řady a tímto kritériem rozhodout - řada může kovergovat i divergovat. Příklad 5. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Abychom vyšetřili kovergeci této řady, vypočítáme q z předchozí věty. Platí q a + a = 8 lim = 8 <. 4(+) 2 8 4( + ) = = 8 lim 4 ( ) 2 = 4 2 Řada koverguje. 27

29 Příklad 6. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řada q a + a 3(+) + (+3)! 3 (+2)! 3( + ) ( + ) ( + 3)( + 2)! 3 ( + 2)!. 3( + ) + ( + 2)! = ( + 3)! 3 ( + 2)! 3 ( + ) + lim + 3 = e = e >. 3 (+2)! diverguje. ( + ) = Příklad 7. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řada q a + a ( 4 = 2 lim = 2 lim ) 2 ( ) (+)2 + ( 4 ) 2 ( ) 4 2. ( 4+4 ) + 2 ( ( + )2+ 4 ) = (4 + 4)!! (3)! = ( + )! (3 + 3)! ( + ) (4)! ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) = >. 2 diverguje. 28

30 Příklad 8. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řada ( ! ). 5 ( ) ! představuje součet řad a její kovergeci, resp. divergeci, musíme vyšetřit každou řadu zvlášť. a) Vyšetříme kovergeci, resp. divergeci řady Řada q a + a koverguje b) Vyšetříme kovergeci, resp. divergeci řady 4!. Abychom určili Platí = 3 8 <. 4!. Platí 5 q a + a 4(+)! (+)5 + 4! 5 4( + )! 5 ( + )5+ 4! 4( + )! 5 ( + )5+ 4! 5 = >. = Řada (4+)! 5 diverguje. Jedá se o součet kovergetí a divergetí řady, tudíž řada diverguje. ( ) !

31 Příklad 9. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řada q a + a ( 6 ). 4+ ( 6) ( 6) ( 6) ( 6) = = 4 + lim = 4( + lim 6 4( + 7 ) = < ( 6) koverguje. 4 ) Příklad 20. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: 3 ( ) 9. e q a + a = 9 e lim ( 3( + ) 9 + e) 3 ( 9 3( + ) 3 e = 9 e >. ) = 9 e lim = Řada 3 ( 9 e) diverguje. 30

32 Příklad 2. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: (2!) 2 ( + ). (4)! q a + a [2(+)!] 2 (+2) (4+4)! (2!) 2 (+) (4)! [2( + )!] 2 ( + 2) (4)! (4 + 4)! (2!) 2 ( + ) = [2( + )!] 2 ( + 2) (4 + 4) (4 + )(4)! (4)! (2!) 2 ( + ) = ( + )( + 2) (4 + 4) (4 + ) (4 + 4) (4 + ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 4 + = 0 <. Řada (2!) 2 (+) (4)! koverguje. Cvičeí 4. Pomocí limitího podílového kritéria rozhoděte o kovergeci řady a) [koverguje] 0 +2 b) [diverguje] c) (+) 2 5!3 [koverguje] d) e) 2 2 5e (3+)! 3 [koverguje] [diverguje] f) 2 5! [diverguje] 3

33 2.5. Cauchyovo limití odmociové kritérium Věta. Nechť a je řada s ezáporými čley. Existuje-li lim a = q, kde q R, potom v případě, že: q <, řada a koverguje; q >, řada a diverguje; q =, elze o kovergeci řady a tímto kritériem rozhodout - řada může kovergovat i divergovat. Příklad 22. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: [ 4 )] 5 arccos (. 2 Abychom vyšetřili kovergeci této řady, vypočítáme q z předchozí věty. Platí [ Řada q a [ 4 )] 5 arccos ( 2 = 4 5 lim arccos ( ) = π = 8 5 π < arccos( 2) ] koverguje. 4 5 arccos ( ) = 2 32

34 Příklad 23. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: q a Řada 8 ( ) koverguje. ( 8 + ) 2. ( + ) 2 ( 8 + ) = 8 e <. Příklad 24. Rozhoděte o kovergeci řady ( ) Řešeí: ( q 2 a = 2 + 6) = = ( ) ) ( Řada ( ) diverguje. 2 ( ) = 4 3 >. = 33

35 Příklad 25. Rozhoděte o kovergeci řady ( ) Řešeí: q a ( ) ( ) = = ( e 4 3 ( e 2 3 {[ ( ) ( ) 2 3 ) 2 ) 2 = e 2 3 e 3 ] } 2 lim = e >. ( ) = 3 2 Řada ( 3+4 ) diverguje. 3 2 Příklad 26. Rozhoděte o kovergeci řady 3 arctg ( + ). Řešeí: q a 3 arctg ( + ) 3 arctg( + ) = Řada = 3 arctg = 3 π 4 3 arctg (+ ) diverguje. = 2 π >. 34

36 Příklad 27. Rozhoděte o kovergeci řady ( ) Řešeí: (6 q ) ( ) a = 3 = 0 <. ( ) = 2 2 Řada ( 6+4 ) 2 koverguje. 2 Příklad 28. Rozhoděte o kovergeci řady 6. Řešeí: q a 6 6 = 6 <. Řada koverguje. 6 35

37 Cvičeí 5. Pomocí limitího odmociového kritéria rozhoděte o kovergeci řady a) ( ) [diverguje] b) c) 2 e 2 [koverguje] ( ) [diverguje] d) ( ) [diverguje] e) ( ) [koverguje] 3 5 f) 3 2 arctg ( ) 5 [diverguje] 36

38 2.6. Limití Raabeovo kritérium Věta. Nechť Potom platí: a je řada s kladými čley a echť existuje limita ( lim a ) + = q, kde q R. a je-li q >, pak řada a koverguje; je-li q <, pak řada a diverguje. Příklad 29. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: ( + ) 2. Abychom vyšetřili kovergeci této řady, vypočítáme q z předchozí věty. Platí Řada ( q a ) + a [ ( ) ( ) ] 2 + = ( +2 +) 2 ( + ) 2 = ( ) = ( ) ( ) = 2 4 = 0 <. 2 ( + ) 2 diverguje. 37

39 Příklad 30. Rozhoděte o kovergeci řady (3 + 2)( + 5)(2). Řešeí: ( q a ) [ + a [ (3 + 2)( + 5)(2) Řada 6 3 ] (3+5)(+6)(2+2) = (3+2)(+5)(2) ] = (3 + 5)( + 6)(2 + 2) ( ) = ( ) ( ) ( koverguje. (3+2)(+5)(2) 3 ) = 3 > = Příklad 3. Rozhoděte o kovergeci řady =2 ( ) 3. Řešeí: ( q a ) [ ] + 3 a = ( ) 3 [ ( ) ] 3 ( ) = 3 Řada =2 ( ) 3 koverguje. ( ) 2 = 3 >. 3 38

40 Příklad 32. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řada ( + 4)(3 + 5). ( q a ) + a [ ( + 5)(3 + 8) ( (+5)(3+8) (+4)(3+5) ( + 4)(3 + 5) ) = 3 = ( ) = ( ) (+4)(3+5) diverguje. ] = ( ) = <

41 Příklad 33. Rozhoděte o kovergeci řady! 2 ( + 3)!. Řešeí: ( q a ) [ + a [ ( + )!(2 + 2) ( + 4)! 2 2 ( + 3)!! 2 (+)!(2+2) ] (+4)! =! 2 (+3)! ] [ ] ( + )!(2 + 2) ( + 3)! = ( + 4)( + 3)!! 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) = 2 > = = Řada! 2 koverguje. (+3)! 40

42 Příklad 34. Rozhoděte o kovergeci řady 7 2 (2 + )!. Řešeí: ( q a ) [ + a ] [ 72+ (2 + )! = (2 + 3)! [ 7 2+ (2 + 3)(2 + 2)(2 + )! ( ) ( ) 43 3 ( ) = >. 6 2 ] 7 2+ (2+3)! = 7 2 (2+)! ] (2 + )! = Řada 7 2 (2+)! koverguje. Cvičeí 6. Pomocí limitího Raabeova kritéria rozhoděte o kovergeci řady a) 4 (2+5) 2 [koverguje] b) c) 5 (+)(2 ) 6 +2 (+2)! [diverguje] [koverguje] d) e) f) (2+)(5 2 ) 3 [koverguje] 3 [diverguje] +7 2 [koverguje] ( 2 +3)(3+) 4

43 2.7. Itegrálí kritérium Věta. Nechť f je fukce defiovaá a itervalu, ), která je a tomto itervalu ezáporá a erostoucí. Nechť f() = a pro všecha N. Pak řada a koverguje právě tehdy, když koverguje evlastí itegrál f (x) dx. Příklad 35. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: 2 4. Fukce f(x) = 2x 4 x je ezáporá a itervalu, ). Zda je f(x) a tomto itervalu také erostoucí, vyšetříme pomocí prví derivace. Dostaeme f (x) = 2 4 x 2x 4 x l 4 = 2 4 x ( x l 4). Protože je výraz ( x l 4) 0 pro všecha x, ) je fukce f(x) a tomto itervalu také erostoucí. Kovergeci, resp. divergeci řady zjistíme výpočtem itegrálu q = t f (x) dx = [ 2x [ t = 2 l 4 lim t = 2 l 4 2x 4 x dx ] t t + lim 4 x l 4 t ] 2 l 4 2t 4 t l 4 [ 2 l 4 ( + l 4 2 lim t l 4 4 t l 4 4 l 4 ) <. t t 2 4 x l 4 dx = [ 4 x l 4 ] 2x 4 x dx = ] t = = 2 l l 2 4 = 42

44 Pro výpočet itegrálu t 2x 4 x dx jsme použili metodu per partes. ( Pro výpočet limity lim 2t t 4 t l 4) jsme použili L Hospitalovo pravidlo. Řada 2 4 koverguje. Příklad 36. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: = Fukce f(x) = x2 +2x 3 je ezáporá a itervalu 3, ). x 2 +2x 8 Zda je f(x) a tomto itervalu také erostoucí, vyšetříme pomocí prví derivace. Dostaeme f (x) = (2x + 2)(x2 + 2x 8) (x 2 + 2x 3)(2x + 2) (x 2 + 2x 8) 2 = = 2x3 + 6x 2 2x 6 2x 3 6x 2 + 2x + 6 x + = 0 (x 2 + 2x 8) 2 (x 2 + 2x 8) 0. 2 Fukce f(x) je pro všecha x 3, ) erostoucí. Kovergeci, resp. divergeci řady zjistíme výpočtem itegrálu q = 3 t t f (x) dx = 3 t t 3 3 t dx + lim t 3 5 dx + lim t 6 x 2 + 2x 3 dx x 2 + 2x 8 t 5 x 2 + 2x 8 dx = ( x + 4 x 2 t 3 t 3 ) dx = x 2 + 2x dx = x 2 + 2x 8 [x] t t 3 + lim 5 t 6 [l x + 4 l x 2 ]t 3 = ( ) (t 3) + lim l t + 4 t t t 2 l 7 = + 0 l 7 =. Pro výpočet itegrálu t 3 Řada = diverguje dx jsme použili rozklad a parciálí zlomky. x 2 +2x 8 43

45 Příklad 37. Rozhoděte o kovergeci řady 5. Řešeí: Fukce f(x) = 5 x je ezáporá a itervalu, ). Zda je f(x) a tomto itervalu také erostoucí, vyšetříme pomocí prví derivace. Dostaeme f (x) = 5 5 x 6 0. Fukce f(x) je pro všecha x, ) erostoucí. Kovergeci, resp. divergeci řady zjistíme výpočtem itegrálu q = Řada f (x) dx = [ ] t 5 t 4 x diverguje. t 5 dx x t 5 x dx t t = 5 ) (t 4 lim 4 5 = 5 ( ) =. t 4 x 5 dx = Příklad 38. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Fukce f(x) = 5 je ezáporá a itervalu, ). x 2 +3 Zda je f(x) a tomto itervalu také erostoucí, vyšetříme pomocí prví derivace. Dostaeme f (x) = 0x (x 2 + 3)

46 Fukce f(x) je pro všecha x, ) erostoucí. Kovergeci, resp. divergeci řady zjistíme výpočtem itegrálu q = Řada t 5 f (x) dx = t 5 3 t 3 = t 5 dx x t x dx = 5 dx x t 3 ( π 2 π ) 6 = π <. 5 koverguje [ arctg x 3 ] t = t 5 3 t 3 ( ) 2π = 6 ( ) 2 dx = x 3 + [ arctg t arctg ] = 3 3 Příklad 39. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Fukce f(x) = (6+4) 3 (6 + 4) 3. je ezáporá a itervalu, ). Zda je f(x) a tomto itervalu také erostoucí, vyšetříme pomocí prví derivace. Dostáváme f 8 (x) = (6 + 4) = (3 + 2) 0. 4 Fukce f(x) je pro všecha x, ) erostoucí. 45

47 Kovergeci, resp. divergeci řady zjistíme výpočtem itegrálu q = Řada = f (x) dx = t dx (6x + 4) 3 t sub.: 6x + 4 = u meze x = t u = 6t + 4 6dx = du x = u = 0 dx = du 6 6t+4 t 6 0 [ t 2 (6+4) 3 du u3 t 6 (6t + 4) 2 00 koverguje. [ 2 u 2 ] = 2 ] 6t+4 0 (6x + 4) dx = 3 = = ( 0 00 ) = 200 <. Příklad 40. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Fukce f(x) = x4 x je ezáporá a itervalu, ). Zda je f(x) a tomto itervalu také erostoucí, vyšetříme pomocí prví derivace. Dostaeme f (x) = 4x3 (x 5 + 3) x 4 5x 4 (x 5 + 3) 2 = 4x8 + 2x 3 5x 8 (x 5 + 3) 2 = x8 2x 3 (x 5 + 3) 2 0. Fukce f(x) je pro všecha x, ) erostoucí. 46

48 Kovergeci, resp. divergeci řady zjistíme výpočtem itegrálu Řada q = = f (x) dx = x 4 t dx x t sub.: x = u meze x = t u = t x 4 dx = du x = u = 4 dx = du 5x 4 t 5 +3 t 5 4 du u t 5 [l +3 u ]t5 4 = x 4 x dx = = t 5 [l t ] l 4 = 5 l 4 = diverguje. 47

49 Cvičeí 7. Pomocí itegrálího kritéria rozhoděte o kovergeci řady a) = [diverguje] b) [diverguje] 7 (5+2) 3 c) d) e) f) = e 3 [koverguje] [koverguje] [koverguje] [diverguje] 48

50 2.8. Alterující řady Věta. Leibitzovo kritérium Nechť {a } je erostoucí posloupost kladých čísel, tj. a a + > 0 pro všecha N. Pak alterující řada ( ) a koverguje právě tehdy, když platí lim a = 0. Příklad 4. Ověřte splěí podmíek Leibitzova kritéria u řady Řešeí: ( ) { } je posloupost kladých čleů pro všecha N. 2. { } je erostoucí posloupost, tj. a a + pro všecha N, což si ověříme ásledujícím způsobem , , , 2. Vzhledem k tomu, že jde od, je podmíka splěa pro všecha N. 3. lim a = 0. lim ( ) = 0. Všechy podmíky jsou splěy. Z toho plye, že řada ( ) koverguje. 49

51 Příklad 42. Ověřte splěí podmíek Leibitzova kritéria u řady Řešeí: ( ) { } je posloupost kladých čleů pro všecha N. 2. { } je erostoucí posloupost, tj. a a + pro všecha N, což si ověříme ásledujícím způsobem , , 9 0. Podmíka je splěa pro všecha N. 3. lim a = lim ( ) ( ) = Neí splěa 3. podmíka. Z toho plye, že řada ( ) diverguje. 50

52 Příklad 43. Ověřte splěí podmíek Leibitzova kritéria u řady Řešeí: {. 2. { } 5 (+)9 } 5 (+)9 ( ) 5 ( + ) 9. je posloupost kladých čleů pro všecha N. je erostoucí posloupost, tj. a a + pro všecha N, což si ověříme ásledujícím způsobem 5 ( + ) ( + 2) 9 +, , Podmíka splěa pro všecha N. 3. lim a = 0. lim 5 ( + ) 9 5 ( + ) 9 = 0. Všechy podmíky jsou splěy. Z toho plye, že řada ( ) koverguje. 5 (+)9 Cvičeí 8. Ověřte splěí podmíek Leibitzova kritéria u řady a) ( ) [3. podmíka eí splěa, diverguje] b) c) ( ) ( ) [podmíky jsou splěy, koverguje] [3. podmíka eí splěa, diverguje] 5

53 2.9. Absolutí a relativí kovergece Věta. Koverguje-li řada a, koverguje i řada a. Defiice. Řekeme, že řada a koverguje absolutě, jestliže koverguje řada a. Jestliže řada a koverguje a řada a diverguje, říkáme, že řada koverguje relativě. Příklad 44. Rozhoděte, zda řada koverguje absolutě ebo relativě. ( ) ( + 2) 2 e + Řešeí: Nejprve vyšetříme kovergeci řady ( + 2) 2 ( ) = ( + 2) 2 e + pomocí limitího podílového kritéria. Platí q a + a (+3) 2 e +2 (+2) 2 e + e + ( + 3) 2 e + e +2 ( + 2) 2 = = e lim = e lim ( ) 9 2 ( ) = 4 e <. 2 Řada absolutě. (+2) 2 e + koverguje, tz., že alterující řada (+2)2 ( ) e + koverguje 52

54 Příklad 45. Rozhoděte, zda řada koverguje absolutě ebo relativě. ( ) 6 Řešeí: Nejprve rozhodeme o kovergeci řady pomocí srovávacího kritéria. Řadu Pro všecha N platí erovost Protože mioratí řada diverguje také řada ( ) 6 = 6 6 = 6 budeme porovávat s řadou Tz., že řada 6. 6 je řadou harmoickou, která diverguje, ( ) ekoverguje absolutě, 6 ale může kovergovat relativě, což vyšetříme použitím Leibitzova kritéria. Musíme ověřit, zda jsou splěy všechy tři podmíky Leibitzova kritéria.. { 6 } je posloupost kladých čleů pro všecha N. 2. { 6 } je erostoucí posloupost, tj. a a + pro všecha N, což si ověříme ásledujícím způsobem , , 6 0. Podmíka je splěa pro všecha N. 53

55 3. lim a = 0. lim 6 = 0. Všechy podmíky jsou splěy. Z toho plye, že řada relativě. ( ) 6 koverguje Příklad 46. Rozhoděte, zda řada koverguje absolutě ebo relativě. ( ) + l ( + 3) Řešeí: Nejprve rozhodeme o kovergeci řady ( )+ l ( + 3) = l ( + 3) pomocí limitího odmociového kritéria. Platí Řada ( ) + l (+3) koverguje absolutě. q a l ( + 3) l ( + 3) = 0 <. koverguje, tz., že alterující řada l (+3) 54

56 Cvičeí 9. Rozhoděte, zda řada koverguje absolutě ebo relativě a) b) ( ) 4 + (+2)! ( ) [koverguje absolutě] [koverguje relativě] c) ( ) ( 6+2 [koverguje absolutě] ) 55

57 3. Mocié řady V této části se budeme věovat mociým řadám, které představují zvláští případ fukčích řad. Stejě jako v případě číselých řad si musíme uvést základí pojmy a vlastosti, které budeme potřebovat při řešeí příkladů. Všechy uvedeé pojmy jsou čerpáy z [], [2] a [8]. 3.. Základí pojmy Defiice 3.. Nechť {f (x)} je posloupost fukcí defiovaých a itervalu I. Symbol f (x) ebo f (x) + f 2 (x) + + f (x) + azýváme ekoečou řadou fukcí. Defiice 3.2. Nechť {a } je posloupost reálých čísel a x 0 je libovolé reálé číslo. Mociou řadou se středem v bodě x 0 a koeficiety a rozumíme řadu fukcí ve tvaru a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) a (x x 0 ) + = a (x x 0 ). Pozámka 2. Velmi častým případem mocié řady, se kterou se můžeme setkat, je řada ve tvaru a x, jejíž střed x 0 = 0. Obecě každou mociou řadu a (x x 0 ) můžeme pomocí substituce (x x 0 ) = y převést a řadu a y se středem v počátku. Defiice 3.3. Oborem kovergece mocié řady a (x x 0 ) je možia všech bodů x R takových, že číselá řada a (x x 0 ) koverguje. 56

58 Věta 3.. Každá mociá řada koverguje ve svém středu a má součet a 0. Věta 3.2. Ke každé mocié řadě a (x x 0 ) existuje jedié číslo r 0 takové, že r = 0, pokud řada koverguje pouze ve svém středu, tj. v bodě {x 0 }; r =, pokud řada koverguje pro všecha x R; r (0, ), pokud řada absolutě koverguje pro všecha x (x 0 r, x 0 + r) a pro všecha x (, x 0 r) (x 0 + r, ) diverguje. Defiice 3.4. Číslo r z předchozí věty se azývá poloměr kovergece mocié řady a (x x 0 ) a iterval (x 0 r, x 0 + r) se azývá iterval absolutí kovergece. Pozámka 3. Podle věty 3.2 oborem kovergece mocié řady může být: jedoprvková možia {x 0 }; celá reálá osa, tj. (, ); iterval koečé délky (x 0 r, x 0 + r). Na tomto itervalu mociá řada koverguje absolutě. V hraičích bodech x 0 r a x 0 + r může ale řada kovergovat (absolutě/relativě) ebo divergovat. Proto chováí v krajích bodech musíme vyšetřit zvlášt dosazeím hodot x 0 r a x 0 + r za x. 57

59 Možé způsoby, jak určit poloměr kovergece, ám udává ásledující věta. Věta 3.3. Nechť je dáa mociá řada a (x x 0 ) a echť existuje (vlastí ebo evlastí) limita lim a + a = λ, resp. lim a = λ. Potom pro poloměr kovergece r mocié řady a (x x 0 ) platí r = λ. Přitom pro λ = klademe r = 0 a pro λ = 0 klademe r = Vlastosti a součet mocié řady Věta 3.4. Nechť mociá řada a (x x 0 ) má poloměr kovergece r > 0. Pak součet této řady je spojitá fukce a itervalu (x 0 r, x 0 + r). Věta 3.5. Abelova věta Součet s(x) řady a (x x 0 ) je fukce spojitá a itervalu (x 0 r, x 0 + r). Koverguje-li řada v kocovém bodě x 0 r (resp. v bodě x 0 + r), pak je fukce s(x) spojitá v bodě x 0 r zprava (resp. v bodě x 0 + r zleva), tj. platí ( lim s(x) x x 0 r + x x 0 r + a (x x 0 ) = resp. lim s(x) x x 0 +r x x 0 +r a ( r), a (x x 0 ) = ) a r. 58

60 Věta 3.6. Nechť mociá řada a (x x 0 ) má poloměr kovergece r > 0 a echť fukce s(x) = a (x x 0 ) je její součet a itervalu (x 0 r, x 0 + r). Potom pro všecha x (x 0 r, x 0 + r) platí x x 0 [ ] a (t x 0 ) dt = x x 0 s(t)dt = x x 0 a (t x 0 ) dt = (x x 0 ) + a, + [ ] a (x x 0 ) = s (x) = [a (x x 0 ) ] = a (x x 0 ). Obě mocié řady a pravých straách mají stejý poloměr kovergece r jako původí řada a (x x 0 ), ale již emusí mít stejý obor kovergece. Pozámka 4. Povšiměme si, že za dolí mez itegrálu budeme vždy dosazovat střed x 0 daé mocié řady Rozvoj fukce v mociou řadu Nechť je dáa fukce f(x). Při rozvoji se sažíme alézt mociou řadu odpovídající této fukci, přičemž daá fukce představuje součet hledaé mocié řady. Navíc rozvoje fukcí se uplatňují v řadě aplikací. Defiice 3.5. Nechť má fukce f v bodě x 0 derivace všech řádů. Mociou řadu ve tvaru f () (x 0 )! (x x 0 ) = f(x 0 ) + f (x 0 )! azýváme Taylorovou řadou fukce f v bodě x 0. (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + 2! Je-li x 0 = 0, mluvíme o Maclauriově řadě, která je tedy tvaru 59 f () (0)! x.

61 Pozámka 5. Jestliže se ám podaří rozviout fukci f a ějakém itervalu I, uvitř kterého leží i bod x 0, v mociou řadu se středem v bodě x 0, pak eexistuje žádá jiá mociá řada, do které by bylo možé fukci f rozvést. Teto rozvoj je zároveň Taylorovým rozvojem fukce f. Přehled rozvojů ěkterých elemetárích fukcí do Maclauriovy řady. e x = + x! + x2 2! + x3 3! + = si x = x! x3 3! + x5 5! = cos x = x2 2! + x4 4! = l ( + x) = x x2 2 + x3 x, x (, ),! ( ) x 2+, x (, ), (2 + )! ( ) 3 = + x = x + x2 = + x 2 = x2 + x 4 = arctg x = x x3 3 + x5 ( + x) α = + ( ) α x + x 2, x (, ), (2)! ( ) x +, x (, ), + ( ) x, x (, ), ( ) x 2, x (, ), 5 = ( ) α x 2 + = 2 ( ) x 2+, x,, 2 + ( ) α x, x (, ), kde α R a číslo ( ) α = α (α ) (α 2)... (α + )! je biomický koeficiet. 60

62 Uvedeé rozvoje můžeme použít apř. k přibližému výpočtu fukčích hodot, výpočtu limit, přibližému výpočtu itegrálů atd. 6

63 4. Mocié řady - příklady Na ásledujících příkladech se ejprve aučíme určovat obor kovergece a součet mociých řad. Dále si odvodíme ěkteré Maclauriovy řady elemetárích fukcí uvedeých a straě 60. Nakoec si ukážeme, jak ám mohou mocié řady pomoci při přibližém výpočtu itegrálů, limit či při určováí přibližých fukčích hodot. Samozřejmě echybí ai příklady k procvičeí. 4.. Obor kovergece a obor absolutí kovergece Se zjištěím oboru kovergece a oboru absolutí kovergece souvisí i alezeí středu x 0 a poloměru kovergece r. Při jejich určováí budeme postupovat takto:. Nejprve určíme střed x 0 mocié řady podle ásledující defiice. Defiice. Nechť je dáa mociá řada a (x x 0 ). Číslo x 0 R se azývá střed mocié řady a (x x 0 ). 2. Určíme poloměr kovergece r pomocí uvedeé věty. Věta. Nechť je dáa mociá řada a (x x 0 ) a echť existuje (vlastí ebo evlastí) limita lim a + a = λ, resp. lim a = λ. Potom pro poloměr kovergece r mocié řady a (x x 0 ) platí r = λ. 62

64 3. Určíme iterval absolutí kovergece (x 0 r, x 0 + r). Itervalem absolutí kovergece mocié řady může být: jedoprvková možia {x 0 }, jestliže r = 0; celá reálá osa, jestliže r = ; iterval koečé délky (x 0 r, x 0 + r), jestliže r (0, ). Na tomto itervalu mociá řada koverguje absolutě. V případě, že iterval absolutí kovergece je jedoprvková možia ebo celá reálá osa, je teto iterval zároveň oborem kovergece i oborem absolutí kovergece. Jestliže obdržíme iterval koečé délky (x 0 r, x 0 + r), musíme ještě vyšetřit chováí řady v krajích bodech x 0 r a x 0 + r, a to dosazeím těchto bodů za x, tj. vyšetřujeme kovergeci číselých řad. V těchto hraičích bodech může řada kovergovat (absolutě/relativě) ebo divergovat. 4. Staovíme obor kovergece a obor absolutí kovergece mocié řady a základě výsledků získaých při vyšetřováí chováí řady v krajích bodech. 63

65 Příklad 47. Je dáa řada 5 ( + ) 2 x. Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 = 0, protože řadu tvaru 5 (+) 2 (x 0). 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ a + a 5 + (2+) 2 5 (+) 2 ( 2 = 5 lim + ) 2 ( ) 2 = 5. Pro poloměr kovergece r platí 5 (+) 2 x můžeme přepsat do 5 + ( + )2 = (2 + ) 2 5 r = λ, odtud r = Iterval absolutí kovergece mocié řady 5 (+) 2 x obdržíme dosazeím hodot x 0 = 0 a r = 5 do itervalu (x 0 r, x 0 + r), tj. ( 0 5, 0 + ) ( = 5 5, ). 5 Musíme vyšetřit kovergeci v krajích bodech. Dosazeím bodu x = do mocié řady 5 x dostaeme 5 (+) 2 5 ( + ) 2 ( ) = 5 ( + ) 2. 64

66 Abychom zjistili kovergeci, resp. divergeci této číselé řady, použijeme apř. limití Raabeovo kritérium. Platí ( q a ) [ + a ] ( + )2 [ (2 + ) 2 ( ) Řada koverguje. (+) 2 2 (2+) 2 (+) 2 koverguje, tudíž i mociá řada Dosazeím bodu x = 5 do mocié řady 5 (+) 2 x dostaeme alterující řadu ( 5 ( + ) = 5) 2 Nejprve rozhodeme o kovergeci řady ] = ( ) = ( ) ( ) = 2 > (+) 2 x v bodě x = 5 ( ) ( + ) 2. ( ) ( + ) 2 = ( + ). 2 S touto číselou řadou jsme se již setkali při vyšetřováí kovergece v bodě x = a zjistili jsme, že koverguje. Tz., že řada ( ) koverguje 5 absolutě, tudíž i mociá řada koverguje. (+) 2 5 (+) 2 x v bodě x = 5 absolutě 4. Obor kovergece se rová oboru absolutí kovergece mocié řady 5 x a je rove itervalu, (+)

67 Příklad 48. Je dáa řada 3 ( + 2)! (x + ). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 =, protože řadu přepsat do tvaru 3 (+2)! [x ( )]. 3 (x + ) můžeme (+2)! 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ a + a 3 + (+3)! 3 (+2)! 3 + ( + 2)! = ( + 3)! 3 ( + 2)! = 3 lim ( + 3)( + 2)! = 3 lim + 3 = 0. Pro poloměr kovergece r platí r =, odtud r =. λ 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady 3 (+2)! (x + ) je (, ), tz., že mociá řada koverguje pro všecha x R. Současě jsme obdrželi obor kovergece i obor absolutí kovergece mocié řady. 66

68 Příklad 49. Je dáa řada (4) 2 ) 2 (x + 2). ( + Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 = 2, protože řadu přepsat do tvaru (4) 2 ( + ) 2 [x ( 2)]. (4) 2 ( + 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. ) 2 (x + 2) můžeme λ a Pro poloměr kovergece r platí (4) 2 ) 2 ( + (4) 2 ( + ) = e =. r =, odtud r = 0. λ 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady (4) 2 ( + ) 2 (x + 2) je jedoprvká možia { 2}, tz., že mociá řada koverguje pouze ve svém středu. Současě jsme obdrželi obor kovergece i obor absolutí kovergece mocié řady. 67

69 Příklad 50. Je dáa řada ( ) 2 (4x + 4). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Abychom mohli určit střed x 0, musíme mociou řadu ejprve upravit tak, že z výrazu (4x + 4) vytkeme 4. Dostaeme ( ) 4 2 (x + ) = ( ) 3 (x + ). Střed této mocié řady x 0 =, protože řadu můžeme přepsat do tvaru ( ) 3 [x ( )]. 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ a ( ) 3 3 = = 3 lim = 3. Pro poloměr kovergece r platí: r =, odtud r = 3. λ Upozorěí. Za a jsme dosazovali ( ) Iterval absolutí kovergece mocié řady ( ) 3 (x + ) ( ) 2 (4x + 4) obdržíme dosazeím hodot x 0 = a r = 3 do itervalu (x 0 r, x 0 + r), tj. ( 3, + 3) = ( 4, 2). 68

70 Musíme vyšetřit kovergeci v krajích bodech. Dosazeím bodu x = 2 do mocié řady ( ) (4x + 4) dosta- 2 eme ( ) 2 (8 + 4) = Nejprve rozhodeme o kovergeci řady ( ) =. ( ). Obdrželi jsme harmoickou řadu, o které víme, že diverguje. Tz., že řada ( ) ekoverguje absolutě, ale může kovergovat relativě, což vyšetříme použitím Leibitzova kritéria. Musíme ověřit, zda jsou splěy všechy tři podmíky Leibitzova kritéria. a) { } je posloupost kladých čleů pro všecha N. b) { } je erostoucí posloupost, tj. a a + pro všecha N, což si ověříme ásledujícím způsobem +, +, 0. Podmíka je splěa pro všecha N. c) lim a = 0. lim = 0. Všechy podmíky jsou splěy. Z toho plye, že řada ( ) koverguje relativě, tudíž i mociá řada relativě koverguje. 69 ( ) 2 (4x + 4) v bodě x = 2

71 Dosazeím bodu x = 4 do mocié řady ( ) 2 (4x + 4) dostaeme ( ) 2 ( 6 + 4) = Opět jsme obdrželi harmoickou řadu, o které víme, že diverguje. Z toho plye, že i mociá řada ( ) (4x + 4) v bodě x = 4 diverguje Obor kovergece mocié řady ( 4, 2. Obor absolutí kovergece mocié řady ( ) 2 (4x + 4) je iterval ( 4, 2).. ( ) 2 (4x + 4) je iterval Příklad 5. Je dáa řada (x 6). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 = Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ a + a = 6 lim 3 3 ( + Pro poloměr kovergece r platí (3+3) ) = (3 + 3) = r =, odtud r = 6. λ 70

72 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady (x 6) obdržíme dosazeím hodot x 0 = 6 a r = 6 do itervalu (x 0 r, x 0 + r), tj. (6 6, 6 + 6) = ( 0, 22). Musíme vyšetřit kovergeci v krajích bodech. Dosazeím bodu x = 22 do mocié řady (x 6) dostaeme (22 6) = = 2 Obdrželi jsme harmoickou řadu, o které víme, že diverguje. Z toho plye, že i mociá řada (x 6) v bodě x = 22 diverguje Dosazeím bodu x = 0 do mocié řady ( 0 6) = Nejprve rozhodeme o kovergeci řady ( 6) = 2 ( ) =.. (x 6) dostaeme ( ). Opět jsme obdrželi harmoickou řadu, která diverguje. Tz., že řada ( ) ekoverguje absolutě, ale může kovergovat relativě. Kovergeci této alterující řady ( ) jsme vyšetřili již v příkladu 50 a zjistili jsme, že koverguje relativě. Tudíž i mociá řada (x 6) v bodě x = 0 relativě ko verguje. 7

73 4. Obor kovergece mocié řady Obor absolutí kovergece mocié řady ( 0, 22). (x 6) je iterval 0, 22) (x 6) je iterval Příklad 52. Je dáa řada 3 + ( + )! (5 + 2)! (6x + 3). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Abychom mohli určit střed x 0, musíme mociou řadu ejprve upravit tak, že z výrazu (6x + 3) vytkeme 6. Dostaeme ( + )! (5 + 2)! ( x + 2). Střed mocié řady x 0 = 2, protože řadu ( x + 2) můžeme přepsat do tvaru (+)! (5+2)! [ x ( 2)] (+)! (5+2)! 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ a + a (+2)! (5+7)(+)! (+)! (5+2)! = ( + 2)! (5 + 7)( + )! (5 + 2)! ( + )! = = 8 lim ( = 8 lim + ) 4 2 ( ) =

74 Pro poloměr kovergece r platí r = λ, odtud r = 8. Upozorěí. Za a jsme dosazovali (+)! (5+2)!. 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady 3 + (+)! (5+2)! (6x + 3) obdržíme dosazeím hodot x 0 = 2 a r = 8 do itervalu (x 0 r, x 0 + r), tj. ( 2 8, 2 + ) ( = 5 ) 8 9, 4. 9 Musíme vyšetřit kovergeci v krajích bodech. Dosazeím bodu x = 4 9 do mocié řady 3 + (+)! (5+2)! (6x + 3) dostaeme 3 + ( + )! (5 + 2)! ( ) = 3( + )! (5 + 2)!. Abychom zjistili kovergeci této číselé řady, použijeme limití Raabeovo kritérium. Platí Řada ( q a ) [ + a [ ( 3(+)! (5+2)! v bodě x = 4 9 diverguje. 3(+2)! ] (5+7)(+)! = 3(+)! (5+2)! ] 3( + 2)! (5 + 2)! = (5 + 7)( + )! 3( + )! ( ) = ) diverguje, tudíž i mociá řada ( ) = 0 <. 3 + (+)! (5+2)! (6x + 3)

75 Dosazeím bodu x = 5 9 do mocié řady 3 + (+)! (5+2)! (6x + 3) dostaeme 3 + ( + )! (5 + 2)! ( 0 ) = Nejprve rozhodeme o kovergeci řady ( ) 3( + )! (5 + 2)!. 3( + )! ( ) (5 + 2)! = 3( + )! (5 + 2)!. S touto řadou jsme se již setkali při vyšetřováí kovergece v bodě x = 4 9 a zjistili jsme, že diverguje. Tz., že řada ( ) 3(+)! ekoverguje ab- (5+2)! solutě, ale může kovergovat relativě, což vyšetříme použitím Leibitzova kritéria. Musíme ověřit, zda jsou splěy všechy tři podmíky Leibitzova kritéria. a) b) { } 3(+)! je posloupost kladých čleů pro všecha N. (5+2)! { } 3(+)! je erostoucí posloupost, tj. a (5+2)! a + pro všecha N, což si ověříme ásledujícím způsobem 3( + )! (5 + 2)! 3( + 2)! (5 + 7)( + )!, , 3 0. Podmíka je splěa pro všecha N. c) lim a = 0. lim 3( + )! (5 + 2)! ( ) 3 + ( ) =

76 Posledí podmíka eí splěa. Z toho plye, že řada ( ) diverguje, tudíž i mociá řada diverguje. 3(+)! (5+2)! 3 + (+)! (5+2)! (6x + 3) v bodě x = Obor kovergece se rová oboru absolutí kovergece mocié řady 3 + (+)! (6x + 3) a je rove itervalu ( 5, 4 (5+2)! 9 9). Příklad 53. Je dáa řada 2 +! 3 (x 4). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 = Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. 2 λ a + a +2 (+)! (+) ( + )! 3 ( + ) 3 2 +! = = 2 lim 3 ( + )! ( + ) 3! 2 +! 3 Pro poloměr kovergece r platí 3 = 2 lim 2 ( + =. )2 r =, odtud r = 0. λ 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady 2 +! (x 4) je jedo- 3 prvková možia {4}, tz., že mociá řada koverguje pouze ve svém středu. Současě jsme obdrželi obor kovergece i obor absolutí kovergece mocié řady. 75

77 Příklad 54. Je dáa řada ( ) + 3 (3x + ) Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Abychom mohli určit střed x 0, musíme mociou řadu ejprve upravit tak, že z výrazu (3x + ) vytkeme 3. Dostaeme ( ) ( x ) Střed mocié řady x 0 = 3, protože řadu ( ) 3 ( x + 3) můžeme přepsat do tvaru ( ) 3 [ x ( 3)]. 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ a = 3 lim ( ) + 3 ( ) = Pro poloměr kovergece r platí ( ) = 3 lim = r =, odtud r =. λ Upozorěí. Za a jsme dosazovali ( ) Iterval absolutí kovergece mocié řady ( ) (3x + ) je (, ), tz., že mociá řada koverguje pro všecha x R. Současě jsme obdrželi obor kovergece i obor absolutí kovergece mocié řady. 76

78 Příklad 55. Je dáa řada ( ) (2 + 4)9 (x + 2). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 = 2, protože řadu můžeme přepsat do tvaru ( ) (2+4)9 [x ( 2)]. 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ a + a = 9 lim 2 ( ) ( ) = Pro poloměr kovergece r platí ( ) (2+6)9 + ( ) (2+4)9 ( ) (2+4)9 (x + 2) (2 + 4)9 (2 + 6)9 + = r =, odtud r = 9. λ 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady ( ) (2+4)9 (x + 2) obdržíme dosazeím hodot x 0 = 2 a r = 9 do itervalu (x 0 r, x 0 + r), tj. ( 2 9, 2 + 9) = (, 7). Musíme vyšetřit kovergeci v krajích bodech. Dosazeím bodu x = 7 do mocié řady ( ) (x + 2) do- (2+4)9 staeme ( ) (2 + 4)9 (7 + 2) = 77 ( )

79 Nejprve rozhodeme o kovergeci řady ( ) = pomocí limitího srovávacího kritéria. Řadu porovávat s harmoickou řadou b = Vyšetříme limitu Řada a lim b 2+4 a = budeme 2+4, o které víme, že diverguje = 2. diverguje. Tz., že řada ( ) 2+4 (2+4) ekoverguje absolutě, ale může kovergovat relativě, což vyšetříme použitím Leibitzova kritéria. Musíme ověřit, zda jsou splěy všechy tři podmíky Leibitzova kritéria. a) { 2+4} je posloupost kladých čleů pro všecha N. b) { 2+4} je erostoucí posloupost, tj. a a + pro všecha N, což si ověříme ásledujícím způsobem , , 2 0. Podmíka je splěa pro všecha N. c) lim a = 0. lim = 0. 78

80 Všechy podmíky jsou splěy. Z toho plye, že řada ( ) ko- 2+4 verguje relativě, tudíž i mociá řada x = 7 relativě koverguje. Dosazeím bodu x = do mocié řady dostaeme ( ) (2+4)9 (x+2) v bodě ( ) (2 + 4)9 ( + 2) = ( ) (2+4)9 (x + 2) S touto řadou jsme se již setkali při vyšetřováí kovergece v bodě x = 7 a zjistili jsme, že diverguje. Z toho plye, že i mociá řada ( ) (x + 2) v bodě x = diverguje. (2+4)9 4. Obor kovergece mocié řady (, 7. Obor absolutí kovergece mocié řady iterval (, 7). ( ) (2+4)9 (x + 2) je iterval ( ) (2+4)9 (x + 2) je Příklad 56. Je dáa řada (x + 5). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 = 5, protože řadu (x + 5) můžeme přepsat do tvaru [x ( 5)]. 79

81 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ 2 a = = 6. Pro poloměr kovergece r platí r =, odtud r = 6. λ 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady (x + 5) obdržíme dosazeím hodot x 0 = 5 a r = 6 do itervalu (x 0 r, x 0 + r), tj. ( 5 6, 5 + 6) = (, ). Musíme vyšetřit kovergeci v krajích bodech. Dosazeím bodu x = do mocié řady (x + 5) dostaeme ( + 5) = Obdrželi jsme řadu jediček, která diverguje = Dosazeím bodu x = do mocié řady ( + 5) = ( 6) = Obdrželi jsme Gradiho řadu, o které víme, že osciluje (x + 5) dostaeme ( ). 4. Obor kovergece se rová oboru absolutí kovergece mocié řady (x + 5) a je rove itervalu (, ). 80

82 Příklad 57. Je dáa řada (x + 4). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 = 4, protože řadu přepsat do tvaru [x ( 4)]. 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ (x + 4) můžeme λ 9 a = ( + ) = 3 lim ( + ) 3 [ = 3 e 3 0 = 3. ( + ) + = 3 lim ] + 3 [ ( + ) + 3 = + 3 lim e 3 l ] + = (+) + = 3 e 3 l = Pro poloměr kovergece r platí r =, odtud r = 3. λ 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady (x+4) obdržíme dosazeím hodot x 0 = 4 a r = 3 do itervalu (x 0 r, x 0 + r), tj. ( 4 3, 4 + 3) = ( 7, ). 8

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Infinity series collection of solved and unsolved examples

Infinity series collection of solved and unsolved examples Nekoečé řady sbírka řešeých a eřešeých příkladů Ifiity series collectio of solved ad usolved examples Lucie Jaoušková Bakalářská práce 9 ABSTRAKT Cílem práce bylo vytvořit sbírku řešeých příkladů, která

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 202 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Rozklady celých

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace Koec srady!!!.6. Mociy s přirozeým mocitelem I Předpoklady: základí početí operace Pedagogická pozámka: Zápis a začátku kapitoly je víc ež je srada. Tato hodia je prví v druhé části studia. Až dosud ehrálo

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limity - 7 - Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé Spojitost a limity Defiice -okolím bodu a azýváme iterval ( a a ) Redukovaým -okolím bodu a azýváme sjedoceí itervalů a a a a Spojitost

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Důkazy Ackermannova vzorce

Důkazy Ackermannova vzorce Důkazy Akermaova vzore Rady studetům: Důkaz je trohu zdlouhavý, ale přirozeý. Tak byste při odvozeí postupovali, kdybyste vzore předem ezali. Důkaz je krátký, ale je založe a triku, a který byste předem

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí registračí číslo projektu: CZ07/500/098 IV- Iovace a zkvalitěí výuky směřující k rozvoji matematické gramotosti žáků středích škol ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více