Analytická geometrie

Transkript

1 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí : : VV V TV V součet vektorů souči čísl vektoru Řekeme že V je vektorový prostor d tělesem T s vektorovými opercemi právě když pltí iomy vektorového prostoru : S) Komuttiví záko pro vektorové sčítáí : V bv b b S) Asocitiví záko pro vektorové sčítáí : V bv cv ( bc) ( b) c

2 Vektorový prostor S) Eistece ulového vektoru : θ θ V V S) Eistece opčého vektoru : θ b b V V Opčý vektor k vektoru zčíme obvykle uárím míus tj. = -b. N) Asocitiví záko pro ásobeí vektoru číslem: N) Násobeí jedičkou : ) ( ) ( V T T V Vektorový prostor T Buď T číselé těleso přirozeé číslo moži V pk moži -tic ve tvru: kde α ž α jsou čísl z těles T. Defiujme operce jko b Jelikož všechy operce se provádějí jko stdrdí po složkách složky jsou čísl iomy vektorového prostoru jsou splěy (čísl je evidetě splňují). Speciálě pro těles R ebo C zčíme prostory R ebo C. N středí škole se studeti setkávjí s vektorovými prostory R ebo R.

3 Vektorový prostor šipek Buď T = R reálé číselé těleso moži V moži všech geometrických orietových úseček. Její prvky jsou tedy jkési šipky. Defiujme operce tkto: b součet defiujeme pomocí rovoběžíkového prvidl ásobeí defiujeme jko γ-ásobé prodloužeí Pltí v tkto defiovém prostoru iomy? Bezesporu o. Stejě se dá defiovt prostor šipek i v D. Prostor šipek je vhodý zejmé při vizulizci. Lieárí kombice Buď V vektorový prostor d tělesem T. Souborem vektorů délky rozumíme uspořádou -tici (tj. závisí pořdí): Říkáme že vektor je lieárí kombicí souboru ( ) právě když eistuje tková -tice ( α α ) čísel z těles T tk že i i i Čísl α i zýváme koeficiety lieárí kombice. Jsou-li všech ulová říkáme tkové kombici triviálí výsledek je ulový vektor.

4 4 Lieárí obl Nechť je soubor vektorů z V. Možiu všech lieárích kombicí tohoto souboru zýváme jeho lieárím oblem zčíme Lieárí obl ) ) ) Proházíme-li vektory v souboru jeho lieárí obl se ezměí. 4) Nechť je soubor vektorů z V. Pltí: θ y y y y T Poz. Lieárí obl souboru vektorů je rověž vektorovým prostorem. Předchozí vět ukzuje že operce ěm jsou uzvřeé pltí-li iomy celém prostoru tím spíše pltí jeho podmožiě (což lieárí obl je).

5 Báze dimeze Nechť je soubor vektorů z V. Pokud pltí ) ) Soubor je lieárě ezávislý V říkáme že prostor V má koečou bázi soubor zýváme bází prostoru V. Nechť V je vektorový prostor. Pokud eistuje tkové přirozeé číslo že eistuje - čleý LN soubor vektorů z V libovolý + prvkový soubor vektorů z V je lieárě závislý říkáme že prostor V má koečou dimezi defiujeme dim V =. Pokud tkové číslo eeistuje tj. lze jít LN soubor vektorů o zcel libovolém počtu prvků říkáme že prostor V má ekoečou dimezi defiujeme dim V =. Buď V vektorový prostor. Pltí dim V N Ve V eistuje -čleá báze. Báze dimeze prostoru T Tvrdíme že dim T =. K tomu je třeb lézt ějkou bázi o čleech. Soubor vektorů e e e e e e e e ve tvru je tzv. stdrdí bází T. Soubor je LN zcel zjevě -čleý je tké kždý vektor lze pomocí ěj vyjádřit jko i ei i 5

6 Souřdice Zvolíme-li bázi pk se ám operce s jkýmkoliv vektorovým prostorem redukují operce s -ticemi číslic souřdicemi. To zmeá že všechy vektorové prostory o shodé koečé dimezi s tělesem T jsou v lgebře ekvivletí s prostorem T (4) (66) (4) Vět zjišťuje že můžeme používt 9 0 podobé 4ákresy 5 jko teto. Předpokládáme při ich utomticky že souřdice v obou prostorech jsou ve stdrdích bázích. Sklárí souči vektorů.b výsledkem je reálé číslo (sklár) v roviě: v prostoru dim : ( ; ) ( ; ;...; ) b ( b ; b ) b ( b; b;...; b ). b b. b.. b. b. b.... b odchylk vektorů cos. b. b 6

7 Vektorový souči b - je defiová je v prostoru dim (e v roviě) - výsledkem je vektor w b w (. b. b;. b b ;. b. b ) - pro výsledý vektor w pltí w w b Obsh S rovoběžíku určeého vektory b je velikost vektorového součiu b S Prmetrická rovice přímky Přímk je dá bodem A směrovým vektorem u. u X.u X X X = A + u X = A +.u X = A +.u A RNDr. Jiří Kocourek 7

8 Prmetrická rovice přímky Všechy body X = A + t.u kde t je z R leží přímce. Všechy body této přímky lze tkovým způsobem vyjádřit. X p u X X = A + u X = A +.u X 5 X 6 A X X 4 X p X A t u ; t R X = A +.u X 4 = A + /. u X 5 = A + (-). u X 6 = A + (- /). u Příkld GeoGebr-primk.ggb 8

9 Prmetrická rovice roviy X X v u + v v A u u X X = A + u X = A + v X = A + u + v RNDr. Jiří Kocourek Prmetrická rovice roviy v Všechy body X = A + t u + s v kde ts jsou libovolá reálá čísl leží v jedé roviě. Všechy body této roviy lze vyjádřit tkovým způsobem. A u X X A t u sv; t s R RNDr. Jiří Kocourek Vektorový souči 9

10 Obecá rovice přímky X p by c 0 p ( ; b) ( X P) X[ ; y] X p P[ p ; p] X P (pokud X P) X P 0 p y p b 0 by p bp 0 P... pevě zvoleý bod přímce p X... libovolý bod přímky p... kolmý (ormálový) vektor k přímce p (v roviě ž ásobek urče jedozčě) (pltí i pro X=P) p bp c ozčíme: Obecá rovice roviy ( b c) X by cz d 0 ( X P) P[ p p p] X X P (pokud X P) X P 0 (pltí i pro X=P) p y p b z p c 0 by cz p bp cp 0 ozčíme: p bp cp d X[ y z] P... pevě zvoleý bod v roviě X... libovolý bod roviy... kolmý (ormálový) vektor) 0

11 X by cz d 0 Obecá rovice roviy v prostoru b c d R; 0b 0 c 0 ( b c) P[ p p p] ( X P) X[ y z] P... pevě zvoleý bod v roviě X... libovolý bod roviy... kolmý (ormálový) vektor k roviě (v prostoru ž ásobek urče jedozčě) Pozámk: p P X Pro přímku v prostoru epltí: X p X P V prostoru elze vyjádřit přímku obecou rovicí! Npříkld rovice y 5 0 je v prostoru rovicí roviy ikoli přímky.

12 Průsečice rovi : y z 0 (CFH) : y z 0 (BDG) r t; t; t R