WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 1. října 2019

Transkript

1 Matematika II - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ig. Radek Fučík, Ph.D. verze:. říja 9

2 Obsah Pokročilé techiky itegrace a zobecěý Riemaův itegrál. Racioálí fukce Pokročilé techiky itegrace Zobecěý Riemaův itegrál Kuželosečky, polárí souřadice a parametrické křivky. Kuželosečky Polárí souřadice Parametrické křivky Vlastosti moži, Poslouposti 5. Vlastosti moži Omezeost a mootoie posloupostí Limity posloupostí Kovergece číselých řad 4. Sčítáí řad Kovergece a absolutí kovergece Obor kovergece mociých řad a sčítáí pomocí mociých řad 6 5. Obor kovergece mociých řad Sčítáí řad Rozvoj fukce do mocié řady 9 Předmluva Tato sbírka je složea z příkladů (viz [], [], []), ze kterých se sestavují zkouškové písemé práce k předmětu Matematika II (. ročík bakalářského studia a FJFI ČVUT v Praze). Příklady jsou uspořádáy do 6 kapitol, přičemž do zkouškové písemky je vybrá právě jede příklad z každé kapitoly. Každý příklad v této sbírce by měl jít spočítat pomocí zalostí získaých z předášky a ze cvičeí. Proto ebudete-li si vědět rady i je s jediým příkladem, eváhejte požádat svého cvičícího o kozultaci! Tato sbírka eí zdaleka hotová, další příklady mohou přibýt. Bezchybému počítáí zdar!. říja 9 Ig. Radek Fučík, Ph.D.

3 Pokročilé techiky itegrace a zobecěý Riemaův itegrál Zkouškové příklady Racioálí fukce x 4 [ 4 l x l x arctg x + C] x + 5 [ l x l x x(x ) x + C] x (x + )(x + ) [l x + l(x + ) arctg x + C] x(x + x + ) x 4 + x + x + x + (x + )(x + 4) [ l x + + l(x + 4) 8 x 5 + ( ) [l x l(x + x + ) arctg (x + ) + C] x [ 4 x4 + x l x + + x x +4 6 arctg x + C] l x + C] x (x + )(x + )(x + ) [ l x + l x + l x + + C] x + x (x ) [5 l x l x + x + C] x 5 (x ) [ 4 x4 + 4 x + 6x + x + 8 l x + C] x x + x [5 l x 4 l x + C] x + x (x ) (x + ) [ l x 4 (x ) + l x + + C] 4 x 4 6 (x + 6) [ x + [ [ l x x+ 6 arctg x + C] x x arctg x 4 ] ( ( )) l x + l(x x + ) + arctg x + C] x x + ( [ l x + + l(x x + ) ) arctg x + C] (x + ) [ x 4(+x ) + x 8(+x ) + arctg x + C] 8

4 Pokročilé techiky itegrace si x si x [ cos x cos x + C] [ x si 6x + C] cos 4 x si x [ 5 cos5 x + 7 cos7 x + C] si x cos x [ tg x + C] si x cos x [ si x 5 si5 x + C] si 4 x [ 8 x 4 si x + si 4x + C] si x cos x [ cos x cos 5x + C] si x si x cos x cos x [ si x + tg x cos πx tg x tg x 9. cos x. si x [ cotg x. si x [ 5 tg 4 x. cos 4 x. (5 x ) [ si4 x + C] si 5x + C] [ tg x x + C] [ tg πx + C] π [ tg x + l cos x + C] [ tg x + C] si x cotg x + l si x cotg x + C] si 5 x + si x + C] [ 7 tg 7 x + 5 tg 5 x + C] x [ 5 5 x + C] x [ x x l x + x + C] x 4 x [ arcsi x x 4 x + C] 4

5 x ( x ) x ( x ) x 4 x e x 9 e x x a x [ x arcsi x + C] x [ a l a x a x + C] e x e x [ ex e x l(ex + e x + ) + C] x x a [ e x e x 9 (x 4x + 4) a x x a + C] [ 9 e x e x 9 + C] [ (x ) + C] x + x + 4x + [ x + 4x + + l(x + + x + 4x + ) + C] x(8 x x ) x x [x + x + l x + C] x + x [x + 4 x + 4 l x + C] + e x x (4x + ) 5/ [ 6 (4x + )/ + 8 (4x + ) / 48 (4x + ) + C] l(x x) [x l(x x) x + C] x + x [ (x ) + x + C] si x + cos x [ l( + cos x) + C] si x cos x [ tg x + C] 5

6 si x si x 56. [tg x cos x x + C] x + x [ (x + ) + x + C] 57. x l x x + 4 x [ l( x + 4 ) l x + x C] x arcsi x [ x arcsi x + ( x ) / 9 ( x ) + C] e x [l e x x + C] x 4( + x 4 ) [ x + x 4 l( + x 4 )] [ l(x ) + x + l( x ) l( + x)]. Zobecěý Riemaův itegrál 6. Spočítejte 64. Spočítejte 65. Spočítejte 66. Spočítejte 67. Spočítejte 68. Spočítejte 69. Spočítejte x 4x + [Diverguje.] (x + x + ) [ 4 9 π ] x + x x x 4 [ l ] ( + x ) [ π ] ( + x ) [ π 6 ] x ( x 4 )( + x ) [ π 4 ] [ π ] 6

7 7. Spočítejte 7. Spočítejte + + d x x( + x) x ( + x ) [l ] [ π 4 ] 7. Spočítejte 8 x / [6] 7. Spočítejte x [ π ] 74. Spočítejte x 4 x [] 75. Spočítejte 5 x x 9 [4] 76. Rozhoděte o kovergeci + e px [Diverguje pro p. Jiak koverguje.] 77. Rozhoděte o kovergeci 78. Spočítejte x l x + e l x x [Diverguje.] [ 4 ] 79. Spočítejte + + x [π] 8. Rozhoděte o kovergeci 8. Rozhoděte o kovergeci 8. Rozhoděte o kovergeci + x x(x + ) x 4 [Diverguje.] [Diverguje.] [Diverguje.] 7

8 8. Rozhoděte o kovergeci + cosh x [Diverguje.] 84. Spočítejte l x [-] 85. Rozhoděte o kovergeci 86. Spočítejte 87. Spočítejte 88. Spočítejte 89. Spočítejte x [] 4 x + x [ π ] x + x x x 4 [ ] arctg x ( + x ) + x [ π ] [ π ] 9. Spočítejte arcsi x x 9. Rozhoděte o kovergeci + x + x 5 [ π 8 ] [Koverguje.] 9. Rozhoděte o kovergeci 9. Rozhoděte o kovergeci + + x [Koverguje.] ( + x 5 ) /6 [Diverguje.] 94. Rozhoděte o kovergeci 95. Rozhoděte o kovergeci 96. Rozhoděte o kovergeci + π + + e si x x [Koverguje.] l x x x + l x 8 [Koverguje.] [Diverguje.]

9 97. Rozhoděte o kovergeci 98. Rozhoděte o kovergeci 99. Rozhoděte o kovergeci. Rozhoděte o kovergeci. Rozhoděte o kovergeci x x 4 x + x x + x x + x + arctg x x x + x [Koverguje.] [Koverguje.] [Diverguje.] [Koverguje.] [Koverguje.]. Rozhoděte o kovergeci. Spočítejte + x l x + l( + x) x [Koverguje.] [Diverguje.] 9

10 Kuželosečky, polárí souřadice a parametrické křivky Zkouškové příklady. Kuželosečky. Napište rovici paraboly, když záte V = (, ), F = (, ). [y = 8x]. Napište rovici paraboly, když záte V = (, ), F = (, ). [(x + ) = (y )]. Napište rovici paraboly, když záte F = (, ), d : y =. [4y = (x ) ] 4. Napište rovici paraboly, když záte F = (, ), d : x =. [(y ) = (x /)] 5. Popište a ačrtěte parabolu y = x. [V = (, ), F = (/, ), d : x = /] 6. Popište a ačrtěte parabolu y = 4x. [V = (, /), F = (, /8), d : y = 5/8] 7. Popište a ačrtěte parabolu (x + ) = 8y. [V = (, /), F = (, /), d : y = 7/] 8. Popište a ačrtěte parabolu x = y + y +. [V = (/4, /), F = (, /), d : x = /] 9. Nalezěte rovice všech parabol, které prochází bodem (5, 6), mají řídící přímku y = a osu x =. [y = x 4x + 7; 8y = x 4x + ]. Nalezěte rovici paraboly, která má horizotálí osu, vrchol V = (, ) a prochází bodem ( 6, ).. Napište rovici elipsy, když záte (a je hlaví poloosa): F = (, ), F = (, ), a =. [ x 9 + y 8 = ]. Napište rovici elipsy, když záte (a je hlaví poloosa): F = (, ), F = (, 9), a = 5. (x ) (y 6) [ + = ] 6 5. Napište rovici elipsy, když záte (a je hlaví poloosa): S = (, ), F = (, ), a = 5. (x ) (y ) [ + = ] 5 4. Napište rovici elipsy, když záte (a je hlaví poloosa): a = 5, V = (, ), V = (, 4). (x ) (y + ) [ + = ] Popište a ačrtěte elipsu x + y =. [S = (, ), F = (, ± ), a = 6, b = ] 6. Popište a ačrtěte elipsu 4x + 9y 8y = 7. [S = (, ), F = (± 5, ), a =, b = ] 7. Popište a ačrtěte elipsu 4(x ) + y = 64. [S = (, ), F = (, ±4 ), a = 8, b = 4] 8. Nalezěte rovice hyperboly, když záte F = (, ), F = (, ), a = Nalezěte rovice hyperboly, když záte F = ( 5, ), F = (5, ), a =. [ y 5 x 44 = ] [ x 9 (y ) 6 = ]

11 . Nalezěte rovice hyperboly, když záte F = (, ), F = (, ), a = /4. [6y 6 5 (x + ) = ]. Popište a ačrtěte hyperbolu x 9 y 6 =. [S = (, ), a =, V = (±, ), F = (±5, ), y = ± 4 x]. Popište a ačrtěte hyperbolu (x ) 9 (y ) 6 =. [S = (, ), a =, V = (4, ), V = (, ), F = (6, ), F = ( 4, ), y = ± 4 (x ) + ]. Popište a ačrtěte hyperbolu 4x 8x y + 6y =. 4. Popište a ačrtěte kuželosečku x 4y x + 4 =. 5. Popište a ačrtěte kuželosečku x + y + 6x + 8 =. [S = (, ), a =, V = (, 5), V = (, ), F, = (, ± 5), y = x +, y = x + 5] [S = (5, ), a =, V = (5, ±), F = (5, ± 5), y = ± (x 5)] 6. Popište a ačrtěte kuželosečku y + 4y + x + =. [V = (, ), F = (, ), d : x = ] 7. Popište a ačrtěte kuželosečku 9x + 5y + y + 99 =. 8. Popište a ačrtěte kuželosečku 7x 5y + 4x 4y = Popište a ačrtěte kuželosečku (x 4y)(4x + 9y 6) =. [S = (, ), F = (± 4 5, ), a =, b = 5 ]. Polárí souřadice. Převed te z polárích do kartézských souřadic [, ] π. [[, ] k ] p. Převed te z polárích do kartézských souřadic [, π] p. [[, ] k ]. Převed te z polárích do kartézských souřadic [, ] π [ ]. Převed te z polárích do kartézských souřadic [, ] π 4. Napište všecha vyjádřeí v polárích souřadicích bodu [, ] k. 5. Napište všecha vyjádřeí v polárích souřadicích bodu [, ] k. 6. Napište všecha vyjádřeí v polárích souřadicích bodu [, ] k. 7. Napište všecha vyjádřeí v polárích souřadicích bodu [4, 4] k.. [ p,. [[, ] k ] p k ] [ [, π + kπ] p = [, π + kπ] p ] [[, π + kπ] p = [, kπ] p] [ [, [ 7 4 ]p π + kπ = ], 4 π + kπ ] p [ [ 8, π 6 + kπ] p = [ 8, 7 6 π + kπ]p]

12 8. Prověřte symetrii křivky r = + cos ϕ. [dle osy x] 9. Prověřte symetrii křivky r(si ϕ + cos ϕ) =. [eí symetrická] 4. Prověřte symetrii křivky r si ϕ =. [dle počátku (obou os)] 4. Prověřte v polárích souřadicích symetrii křivky x (y ) =. [dle počátku a obou os] 4 4. Spočtěte plochu v křivce r = a cos ϕ; ϕ [ π, π ]. [ 4 πa ] 4. Spočtěte plochu v křivce r = a cos ϕ; ϕ [ π 4, π 4 ]. [ a ] 44. Spočtěte plochu v křivce r = a si ϕ. [ πa ] 45. Spočtěte plochu mezi křivkami r = cos ϕ, r = cos ϕ; ϕ [, π 4 ]. [ 6 π + 8 ] ( 46. Spočtěte plochu mezi křivkami r = a 4 cos ϕ ) ; ϕ [, π cos ϕ 4 ]. [ 5 a ] 47. Spočtěte plochu mezi křivkami r = e ϕ, r = e ϕ ; ϕ [, π]. [ 4 (eπ + e π )] 48. Spočtěte plochu uvitř r = 4 a apravo od křivky r = cos ϕ. [ π/ π/ (6 4 6 cos )dϕ = ϕ π 4 ] 49. Spočtěte plochu uvitř r = 4 a mezi ϕ = π a r = cos ϕ. 5. Spočtěte plochu vě r = + cos ϕ a uvitř r = cos ϕ. [π + ]. Parametrické křivky 5. Nalezěte teču (tečy) ke křivce x = t, y = cos πt v bodě t =. [y = ] 5. Nalezěte teču (tečy) ke křivce x = t, y = ( t) v bodě t =. [x + y = ] 5. Nalezěte teču (tečy) ke křivce x = cos t, y = si t v bodě t = π 4. [x + y = ] 54. Nalezěte teču (tečy) ke křivce r = 4 si ϕ v bodě ϕ =. [x + y 8 = ] 55. Nalezěte teču (tečy) ke křivce r = 56. Nalezěte teču (tečy) ke křivce r = 4 5 cos ϕ v bodě ϕ = π. [x 5y + 4 = ] si ϕ cos ϕ si ϕ + cos ϕ v bodě ϕ =. [x + y + = ] 57. Nalezěte body, kde má křivka vertikálí a horizotálí tečy x = t t, y = t +. [vert. [, ], [, ]] 58. Nalezěte body, kde má křivka vertikálí a horizotálí tečy x = 4 si t, y = 4+ cos t. [horiz. [, 7], [, ], vert. [, 4], [7, 4]] 59. Nalezěte body, kde má křivka vertikálí a horizotálí tečy x = t t, y = t t +t. [horiz. [, ± 9 ], vert. [, ]]

13 6. Nalezěte body, kde má křivka vertikálí a horizotálí tečy x = cos t, y = si t. [horiz. [±, ±], vert. [±, ]] 6. Spočtěte délku křivky x = t, y = t ; t [, ]. 6. Spočtěte délku křivky r = ( + cos ϕ) ; ϕ [, π ]. [ + l( + )] 6. Spočtěte délku křivky r = a si ϕ ; ϕ [, π]. [ πa] 64. Spočtěte délku křivky x = e t si t, y = e t cos t; t [, π]. [ (e π )] 65. Spočtěte délku křivky r = e ϕ ; ϕ [, π]. [ 5(e 4π )] ( ) 66. Spočtěte délku křivky f(x) = l ; x [, π cos x 4 ]. [l( + )] 67. Spočtěte délku křivky f(x) = x x l(x + x ); x [, ]. [ ] 68. Spočtěte délku křivky x = t si t, y = cos t; t [, π]. [8] 69. Spočtěte délku křivky x = cos t + t si t, y = si t t cos t; t [, π]. [π ] 7. Spočtěte povrch rotačího tělesa (dle x) y = px; x [, 4p]. [ 5 πp ] 7. Spočtěte povrch rotačího tělesa (dle x) 6a xy = x 4 + a 4 ; x [a, a]. [ 47 6 πa ] 7. Spočtěte povrch rotačího tělesa (dle x) x = t, y = t; t [, 8]. [ 5 5 π] 7. Spočtěte povrch rotačího tělesa (dle x) r = e ϕ ; ϕ [, π ]. [[ 5 π(e π + )]] 74. Spočtěte povrch rotačího tělesa (dle x) 4y = x ; x [, ]. [ 6 4 π] 75. Spočtěte povrch rotačího tělesa (dle x) x = cos t, y = si t; t [, π 6 ]. [4π( )] 76. Načrtěte a popište křivku r = + si ϕ. 77. Nalezěte body, ve kterých má křivka x(t) = 4 si t, y(t) = 4 + si t vertikálí a horizotálí tečy. 78. Určete plochu, která je společá křivkám r = a [ cos ϕ; ϕ π, π ] a r = a si ϕ; ϕ [, π]. 79. Načrtěte křivku r = si ϕ. 8. Načrtěte křivku x(t) = 4t, y(t) = t. 8. Spočtěte délku křivky x = 4 y l y; y [, e]. [ e + 4 ] 8. Spočtěte obsah plochy, která leží uvitř křivky r = cos ϕ a vě křivky r =.

14 8. Spočtěte povrch rotačího tělesa (dle osy x) x(t) = cos t, y(t) = si t; t [, π 6 ]. [4π( )] 84. Nalezěte body, ve kterých má křivka x(t) = 4 cos t, y(t) = 4 + cos t vertikálí a horizotálí tečy. 85. Nalezěte body, ve kterých má křivka x(t) = + 4 si t, y(t) = 4 cos t vertikálí a horizotálí tečy. Načrtěte křivku. 4

15 Vlastosti moži, Poslouposti Rozcvička Vyšetřete omezeost možiy { N } Vyšetřete omezeost možiy {( x) + 5 x [, ]} Vyšetřete omezeost možiy {x + 5x 6 x [, + )} { } Vyšetřete omezeost možiy N + [shora] [omezeá] [zdola] [zdola] Zkouškové příklady. Vlastosti moži { + + }. Dokažte if N = + 5 { + + }. Dokažte sup N = { ( ) ( + ) }. Dokažte if N = { ( ) ( + ) } 4. Dokažte sup N = { + ( ) 5. Dokažte sup + ( ) + } N = { + ( ) 6. Dokažte if + ( ) + } N = { x + x } 7. Dokažte if x > = x + 5x { x + x } 8. Dokažte sup x > = + x + 5x 9. Dokažte if{ + N } = { } x + x. Dokažte, že sup : x > = x + x. Omezeost a mootoie posloupostí. Vyšetřete mootoii a omezeost poslouposti a = + ( ) mootoí] [omezeá zdola, shora /, eí. Vyšetřete mootoii a omezeost poslouposti a = + rostoucí] [omezeá zdola /, eomezeá shora, 5

16 . Vyšetřete mootoii a omezeost poslouposti a = 4. Vyšetřete mootoii a omezeost poslouposti a = rostoucí] Vyšetřete mootoii a omezeost poslouposti a = + 6. Vyšetřete mootoii a omezeost poslouposti a = l + 7. Vyšetřete mootoii a omezeost poslouposti a = 8. Vyšetřete mootoii a omezeost poslouposti a = ( + ) 4 [shora, zdola 4/5 5, rostoucí] [zdola /5, shora eomezeá, [zdola, shora /, klesající] [zdola, shora l, rostoucí] [shora 4, zdola, klesající] [zdola, shora, rostoucí] 9. Vyšetřete mootoii a omezeost poslouposti a = ( ) + [shora -, eí zdola, klesající]. Vyšetřete mootoii a omezeost poslouposti a = [zdola /, shora, rostoucí] ( ) π. Vyšetřete mootoii a omezeost poslouposti a = si [zdola, shora, klesající] +. Vyšetřete mootoii a omezeost poslouposti a = +. Vyšetřete mootoii a omezeost poslouposti a = 4. Vyšetřete mootoii a omezeost poslouposti a =. Limity posloupostí 5. lim lim + ( ) 7. lim + ( ) 8. lim tg π l( + ) + [zdola, shora /, klesající] [zdola, shora / l, klesající] ( + ) [zdola /4, shora eí, rostoucí] ( + ) 9. lim + ( ) [ 4 9 ] [] [eex] [] []. lim lim cos π + [ ] [eex] 6

17 . lim + e/. lim l() l( + ) lim + ( 5. lim + ) + 6. lim + ( + ) cos 7. lim + ( + ) si e π 8. lim lim l + l( + ) ( ) 4. lim + l( + ) 4. lim + + x 4. lim +! 4. lim + α/ [] [] [ ] [e ] [+ ] [] [] [l 9] [] [] [] [, α > ] lim + 4 [] 45. lim + ( + )/(+) [] 46. lim ( + )/ lim e x + [] [] 48. lim + + x [π] l 49. lim + [] 5. lim / + +/ x 7

18 5. lim + 5. lim + 5. lim lim lim lim ( / ) e x ( + x / ) si x ( 57. lim t + x, x >, t > + ) 58. lim lim [] [ e ] [] [] [e x ] [] [] [ ] 6. lim lim + [ ] lim lim + ( + )( + ) [ 8 ] [+ ] 64. lim cos(π) si(π) + ( ) / 65. lim lim cos π + si π ( 67. lim + ) + l(( + )) 68. lim lim + ( l ( + )) [] [] [] [+ ] [] 8

19 π 7. lim + l π 7. lim + x 7. lim [ ] [] 7. lim lim lim lim ( + ) lim lim [+ ] [] [+ ] [ ] [] [+ ] 79. lim + 8. lim [ ] ( ) [ ] 8. lim [] lim + [ ] lim lim + ( + + ) [ ] [e] ) ( lim ( ) lim lim + ( + + ) l( + ) 88. lim + l( ) l( + e ) 89. lim + l( + e ) [ e ] [e] [ e] [ 5 ] [ ] 9

20 9. Spočtěte lim + +5 ( + ) 5 [e ] si(e π) 9. Spočtěte lim Spočtěte lim + si [] 9. Spočtěte lim + ( + ) 5 [] 94. Spočtěte lim + ( + + ) 95. Spočtěte lim Spočtěte lim + ( ( ) ( )) + ( ) 6 + ( ) + l + l +! ( ) Spočtěte lim ( ) 98. Spočtěte lim Spočtěte lim +. Spočtěte lim + ( ) + () ( ) + + () + (!) ()! [ e] [e] [e / ] [] [ 4 ]. Spočtěte lim + ( 5) +5 ( + 5) 5 [e ]

21 4 Kovergece číselých řad Rozcvička Zkouškové příklady 4. Sčítáí řad. Sečtěte k= (k + )(k + ) [ 4 ]. Sečtěte. Sečtěte 4. Sečtěte 5. Sečtěte 6. Sečtěte 7. Sečtěte k= = = = = = ( + ) ( + ) 67 ( ) 4 [ ] [ 8 ] [ ] [ ] [4] [ ] 8. Sečtěte = [ ] 9. Sečtěte = + [4] 4. Kovergece a absolutí kovergece. Vyšetřete kovergeci řady = + [koverguje]. Vyšetřete kovergeci řady = ( + ) [koverguje]. Vyšetřete kovergeci řady. Vyšetřete kovergeci řady = = + [diverguje] [diverguje]

22 4. Vyšetřete kovergeci řady = arctg + [koverguje] 5. Vyšetřete kovergeci řady 6. Vyšetřete kovergeci řady = = ( ) 4 l [diverguje] [diverguje] 7. Vyšetřete kovergeci řady = + [diverguje] 8. Vyšetřete kovergeci řady 9. Vyšetřete kovergeci řady. Vyšetřete kovergeci řady. Vyšetřete kovergeci řady. Vyšetřete kovergeci řady. Vyšetřete kovergeci řady 4. Vyšetřete kovergeci řady 5. Vyšetřete kovergeci řady 6. Vyšetřete kovergeci řady = = = = l e = = = = = l! ( ) + [koverguje] [diverguje] [diverguje] [koverguje] [koverguje] [koverguje] [koverguje] 7. Vyšetřete kovergeci řady 8. Vyšetřete kovergeci řady 9. Vyšetřete kovergeci řady = = =! [diverguje] l l

23 . Vyšetřete kovergeci řady = ( ) [koverguje]. Vyšetřete kovergeci řady. Vyšetřete kovergeci řady. Vyšetřete kovergeci řady 4. Vyšetřete kovergeci řady 5. Vyšetřete kovergeci řady 6. Vyšetřete kovergeci řady 7. Vyšetřete kovergeci řady 8. Vyšetřete kovergeci řady 9. Vyšetřete kovergeci řady 4. Vyšetřete kovergeci řady 4. Vyšetřete kovergeci řady 4. Vyšetřete kovergeci řady = = = = = = +!! ( + )! ( ) / l ( ) / l ( ) + (+/) = = = = = = l e l ( + ) (5 + )!()! ()! l 5/4 [diverguje] [koverguje] [diverguje] [diverguje] [diverguje] [koverguje] [koverguje] 4. Vyšetřete kovergeci a absolutí kovergeci řady = ( ) l [koverguje eabsolutě] 44. Vyšetřete kovergeci řady =! [diverguje] 45. Vyšetřete kovergeci a absolutí kovergeci řady = ( ) + [koverguje eabsolutě]

24 46. Vyšetřete kovergeci a absolutí kovergeci řady =! ( ) [diverguje] 47. Vyšetřete kovergeci a absolutí kovergeci řady ( ) ( + ) = [koverguje eabsolutě] 48. Vyšetřete kovergeci a absolutí kovergeci řady 49. Vyšetřete kovergeci a absolutí kovergeci řady 5. Vyšetřete kovergeci a absolutí kovergeci řady = = = si π 4 ( ) ( ) [koverguje absolutě] [koverguje absolutě] [koverguje eabsolutě] 5. Vyšetřete kovergeci a absolutí kovergeci řady = ( + )( + ) ( ) ( + 4)( + 5) [diverguje] 5. Vyšetřete kovergeci a absolutí kovergeci řady = ( ) + ( + )( + ) [koverguje absolutě] 5. Vyšetřete kovergeci a absolutí kovergeci řady = ( ) + [koverguje eabsolutě] 54. Vyšetřete kovergeci a absolutí kovergeci řady = ( ) [koverguje absolutě] 55. Vyšetřete kovergeci řady =! [koverguje] 56. Vyšetřete kovergeci řady = 5 + [koverguje] 57. Vyšetřete kovergeci řady = ( ) ( ) + [koverguje] 58. Vyšetřete kovergeci řady = l [diverguje] 59. Rozhoděte o kovergeci a absolutí kovergeci řady = ( ) ( + + ) 6. Vyšetřete kovergeci řady = ( ) l 4

25 6. Vyšetřete kovergeci řady =! 6. Vyšetřete kovergeci řady =! 6. Rozhoděte o kovergeci řady = ( ) Vyšetřete kovergeci a absolutí kovergeci řady = cos(π) l [koverguje eabsolutě] 65. Vyšetřete kovergeci a absolutí kovergeci řady = ( ) + ( + )( + ) [koverguje eabsolutě] 66. Rozhoděte o kovergeci řady 67. Rozhoděte o kovergeci řady = = l si π [diverguje] 68. Vyšetřete kovergeci a absolutí kovergeci řady = ( ) ( ) Vyšetřete kovergeci a absolutí kovergeci řady l = [koverguje absolutě] 5

26 5 Obor kovergece mociých řad a sčítáí pomocí mociých řad Zkouškové příklady 5. Obor kovergece mociých řad.. Nalezěte obor kovergece řady x [(, )] =. Nalezěte obor kovergece řady = ()! x [R]. Nalezěte obor kovergece řady 4. Nalezěte obor kovergece řady = = ( ) x [{}] x [[, )] 5. Nalezěte obor kovergece řady = ( ) x [{}] 6. Nalezěte obor kovergece řady 7. Nalezěte obor kovergece řady 8. Nalezěte obor kovergece řady = = = x [ [, ) ] x [(, )] x [(, )] 9. Nalezěte obor kovergece řady = x [R]. Nalezěte obor kovergece řady. Nalezěte obor kovergece řady = = ( ) (x ) [R] l (x ) [(, 4)]. Nalezěte obor kovergece řady = ( ) ( ) (x + ) [ ( 5, ) ]. Nalezěte obor kovergece řady = 5 (x ) [ [ 9 5, ) 5 ] 6

27 4. Nalezěte obor kovergece řady = ( + )(x ) [(, )] 5. Nalezěte obor kovergece řady 6. Nalezěte obor kovergece řady 7. Nalezěte obor kovergece řady 8. Nalezěte obor kovergece řady = = = = + x+ [(, )]! (x + ) [{ }] ( ) x [( 9, 9)] ( ) 5 (x ) [(, 7)] 9. Nalezěte poloměr kovergece mocié řady. Nalezěte poloměr kovergece mocié řady. Nalezěte poloměr kovergece mocié řady. Nalezěte poloměr kovergece mocié řady = = = = + (x + ) [ ] ()! ()! x [ 4 7e ] ( ) (!) ( + )! x [] ( ) ( ) x! e []. Nalezěte obor kovergece mocié řady 4. Nalezěte obor kovergece mocié řady 5. Nalezěte obor kovergece mocié řady 6. Nalezěte obor kovergece mocié řady 7. Nalezěte obor kovergece mocié řady = = = = = + ( ) (x + ) (x 4) + (!) ()! x ()! ()! x ( ) ( ) x e [{}] 8. Nalezěte obor kovergece mocié řady 9. Nalezěte obor kovergece mocié řady = = ( ) (x + ) [ ± ] ( 4) (x + ) [ ( 5 4, 4 ] ] 7

28 5. Sčítáí řad. Sečtěte x 5+ x [ x 5 ] =. Sečtěte x + = [ x x ]. Sečtěte x x [ ( x ) ] =. Sečtěte 4. Sečtěte = = x ( )!! [xe x ] [e] 5. Sečtěte 6. Sečtěte = = + [ 64 ] π ( ) ()! [cos π = ] 7. Sečtěte 8. Sečtěte = = ( + )! ( ) x ( ) [e ] [x arctg x l( + x )] 9. Sečtěte 4. Sečtěte 4. Sečtěte = = = + [] + ( + )5 + [l ] ( + ) + [ l ] 4. Sečtěte = ( + )x x [ ( x) ] 8

29 6 Rozvoj fukce do mocié řady Rozcvička Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci f(x) = e x. [ + x = ( )! ] Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci f(x) = e ax. [ + = a! x ] Zkouškové příklady. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci f(x) = cosh x. [ + = x ()! ]. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci f(x) = cos ax.. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci f(x) = x. 4. Do mocié řady se středem v bodě π rozviňte fukci f(x) = si x. [ 5 [ + ( ) a = x ()! ] + = ( 5 ) (x + ) ] [ + ( ) + = (+)! (x π)+ ] 5. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci f(x) = si πx. 6. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci f(x) = l( + x). 7. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci f(x) = x l x. [ + ( ) ( π ) = ()! (x ) ] [l + + ( ) + ( ) = (x ) ] [ l + ( + l )(x ) + + ( ) = ( ) (x ) ] 8. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci f(x) = x si x. 9. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci f(x) =. Do mocié řady se středem v bodě π rozviňte fukci f(x) = cos x.. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci l( x ).. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci x si x. [ + = ( x). ( ) (+)! x+ ] [ + = ( + )( + ) 5 + (x + ) ] [ + + ( ) = (x π) ()! ] [ + = [ + = x ] ( ) (+)! x+ ] 9

30 . Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci e x. 4. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci x [ + =! x ] 5. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci x. [ + = x+ ] x + ex. 6. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci x l( + x ). [ + =!+! x ] [ + ( ) + = x + ] 7. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci x e x. [ + ( ) = x! + ] 8. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci x. 9. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci + x.. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci + x. 4 x. [ + ( ) =! k= (k )x ] [ + ( ) =! k= (k )x ]. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci xe 5x.. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci (x + x ) si x. [ + = 5! x+ ] [ + ( ) = (+)! (x4+ + x 4+4 )] 4. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci x arctg x l(x + ). ( 4x 4 + 5x + 5. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci + 4x 6. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci arctg ( x + 4x 7. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci 4 l ( + x x 8. Do mocié řady se středem v bodě rozviňte fukci arcsi(x). [ + = ) arctg x. ( ) ( ) x ] [x + + ( ) + = 4 x+ ] ). [arctg + + ( ) + = + (x)+ ] ) + arctg x. [ + = x4+ 4+ ] [ + + = (+)! k= (k )xk+ ]

31 Referece [] Mareš J., Vodráčková J., Cvičeí z matematické aalýzy: Difereciálí počet, Vydavatelství ČVUT, 999 [] Pelatová E., Vodráčková J., Cvičeí z matematické aalýzy: Itegrálí počet a řady, Vydavatelství ČVUT, 998 [] Marsde J., Weistei A., Calculus II, Spriger, 985