1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie"

Transkript

1 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho azývat bodem v ekoeču. Možiu C { } ozačíme symbolem C a azveme ji uzavřeou Gaussovou roviou. Pro bod ekoečo defiujeme ásledující operace: 1. pro všecha komplexí čísla z defiujeme z <, 2. =, 3. z + = + z = pro všecha z C, 4. z = z = pro všecha z C \ {0}, 5. z/ = 0 pro všecha z C, 6. z/0 = pro všecha z C \ {0}, 7. /z = pro všecha z C, = 1, 0 = 1. Abychom mohli vyjádřit blízkost ějakého komplexího čísla z komplexímu číslu z 0, defiujeme ε-okolí bodu z 0 : U(z 0, ε) = {z C z z 0 < ε}. Geometricky vyjádřeo představuje možia U(z 0, ε) vitřek kruhu se středem v bodě z 0 a poloměrem ε. Jak se později ukáže je také účelé zavést tzv. prstecové ε-okolí bodu z 0 : P (z 0, ε) = U(z 0, ε) \ {z 0 }. Prstecové ε-okolí je tedy ε-okolí s vyjmutým středem. Nakoec dodefiujeme ještě ε-okolí bodu v ekoeču, abychom mohli popsat, že se blížíme k : U(, ε) = {z C z > 1 ε }. Geometricky vyjádřeo představuje možia U(, ε) vějšek kruhu se středem v počátku o poloměru ε. Je zřejmé, že pokud budeme ε zmešovat k 0, poroste poloměr tohoto kruhy ade všechy meze. 2 Poslouposti komplexích čísel V této části zavedeme pojem poslouposti komplexích čísel a pojem ity poslouposti komplexích čísel. Posloupost komplexích čísel je ějaká fukce f : N C, která přiřazuje každému přirozeému číslu ějaké komplexí číslo: f(1), f(2), f(3),..., f(),... 1

2 Protože defiičí obor každé takové fukce je stejý, zjedodušujeme zápis pomocí idexů: z 1, z 2, z 3,..., z,..., ebo také zkráceě píšeme {z } =1. Geometricky je možé si posloupost {z } =1 představit jako možiu bodů z v roviě, které jsou očíslováy přirozeými čísly. Defiice 2.1 Řekeme, že posloupost {z } =1 má itu z C (ebo koverguje k bodu z C ), jestliže pro každé ε > 0 existuje 0 N tak, že pro všecha přirozeá čísla > 0 platí z U(z, ε). Jsou-li tyto podmíky splěy, píšeme: z = z. Ujasěme si, co tato defiice vyjadřuje. Pokud posloupost má itu z, zameá to, že pro kruh s libovolým kladým poloměrem ε se středem v bodě z, jsme schopi alézt takový idex 0, že všechy body s idexem vyšším ež 0 už musí ležet uvitř tohoto kruhu. Jiými slovy to zameá, že jsme schopi dostat se body této poslouposti libovolě blízko bodu z. Ještě jiak ekvivaletě řečeo: pro každý kruh s kladým poloměrem ε se středem v bodě z platí, že mimo teto kruh se může alézat pouze koečě moho bodů poslouposti (a tudíž uvitř ekoečě moho). Věta 2.2 Každá posloupost má ejvýše jedu itu. Důkaz: Promysleme si, že důkaz plye okamžitě z defiice ity. Předpokládejme, že pro ějakou posloupost existuje více ež jeda ita (tedy alespoň dvě růzé). Vezměme tedy dvě růzé ity a ozačme je z a w. Vezmeme-li dostatečě malé poloměry (apř. z w /2) můžeme alézt dva kruhy K z a K w se středy v z a w tak, že emají žádý společý vitří bod. Jak jsme pozameali výše, z defiice ity plye, že uvitř kruhu K z se musí vyskytovat ekoečě moho bodů poslouposti a vě je koečě moho, ale stejé tvrzeí platí podle předpokladu i pro K w, což je spor, protože vitřky kruhů K z a K w emají žádý společý bod (akreslete si obrázek!). Všiměme si jedé užitečé vlastosti it. Pojem ity je atolik silý, že pokud má posloupost {z } =1 itu, z = z, bude již každá její podposloupost kovergovat ke stejému z. Podposloupost poslouposti {z } =1 je pro ás taková posloupost, která vzike odebráím koečě ebo ekoečě moha prvků poslouposti {z } =1 tak, že zbude stále ještě ekoečě moho čleů. Typicky koečým odebráím může být vypuštěí počátečího segmetu, t.j. uvažujeme je prvky s idexem vyšším ež ějaké přirozeé číslo. Odebráí ekoečě moha prvků můžeme ukázat apř. a podposlouposti vziklé odebráím všech prvků s lichým idexem, dostaeme tedy z 2, z 4, z 6,..., z 2,... Napišme ještě defiici podposlouposti formálě. 2

3 Defiice 2.3 Nechť {z } =1 je posloupost komplexích čísel. Potom podposloupostí poslouposti {z } =1 máme a mysli ásledující posloupost: {z g(k) } k=1, kde g : N N je ějaká rostoucí fukce. Fukce g vybírá prvky této podposlouposti, t.j. každému k N přiřadí idex prvku poslouposti {z } =1, který echceme odebrat. Věta 2.4 Je-li z = z, pak pro každou podposloupost {z g(k) } k=1 platí: z g(k) = z. k Důkaz: Musíme ukázat, že uvitř každého kruhu s kladým poloměrem ε se středem v bodě z leží ekoečě moho prvků podposlouposti {z g(k) } k=1. Protože z = z, víme, že uvitř každého takového kruhu leží ekoečě moho prvků poslouposti {z } =1 a vě je koečě moho popř. žádý. Odebereme-li ějaké prvky poslouposti {z } =1, je zřejmé, že mezi koečě moha body vě kruhu může zůstat maximálě koečě moho bodů podposlouposti {z g(k) } k=1. Protože ale podposloupost {z g(k)} k=1 má ekoečě moho bodů, musí jich uvitř kruhu ležet ekoečě moho. Což zameá, že {z } =1 a {z g(k) } k=1 mají stejou itu. Pozor ale! Pokud víme, že ějaká podposloupost {z g(k) } k=1 koverguje k bodu z, emůžeme o kovergeci poslouposti {z } =1 ic říct. Např. podposloupost lichých čleů poslouposti {( 1) } =1 má itu 1, kdežto posloupost {( 1) } =1 itu emá. Nicméě platí ásledující věta. Věta 2.5 Vzike-li podposloupost {z g(k) } k=1 z poslouposti {z } =1 odebráím je koečě moha čleů a k z g(k) = z, pak z = z. Důkaz: Protože {z g(k) } k=1 vzikla odebráím koečě moha čleů, můžeme alézt posledí odebraý čle z m (t.j. pro všechy odebraé čley z máme m). Sestavme yí ovou podposloupost {z h(k) } k=1 tak, že h(k) = m + k. Podposloupost {z h(k) } k=1 obsahuje tedy čley z m+1, z m+2, z m+3,... Potom je zřejmé, že {z h(k) } k=1 je podposloupost eje {z } =1 ale i {z g(k) } k=1. Jelikož k z g(k) = z, dostaeme z Věty 2.4, že také k z h(k) = z. Tedy pro každé ε > 0 existuje idex k 0 takový, že pro všecha k > k 0 platí z h(k) U(z, ε). Abychom dokázali, že z = z musíme alézt takový idex 0, aby pro všecha > 0 platilo z U(z, ε). Vezměme 0 = k 0 +m, potom pro každé > 0 máme m > k 0 a tedy z h( m) U(z, ε). Protože ale z = z h( m) je rověž i z U(z, ε) a důkaz je dokoče. Další užitečou vlastostí pro vyšetřováí it posloupostí komplexích čísel je vztah mezi posloupostmi {z } =1 a { z } =1. Uvědomme si, že { z } =1 je posloupost reálých čísel, jak jí záte z prvího kurzu reálé aalýzy. 3

4 Věta 2.6 Je-li z = z, pak z = z. Je-li z rova 0 respektive, pak je také z rova 0 respektive. Důkaz: Pro prví část věty musíme ukázat, že pro všecha ε > 0 ajdeme takový idex 0, že pro všecha > 0 platí z z < ε. Protože z = z, máme pro všecha ε > 0 takový idex 0, že pro všecha > 0 platí z U(z, ε), což z defiice okolí zameá z z < ε. Využijme vztahu z z z z (viz zápis z cvičeí 1). Dostáváme tedy z z z z < ε, což jsme měli ukázat. (Promyslete si důkaz druhé části věty!) Pokud je ita poslouposti koečá, můžeme převést podle ásledující věty problém hledáí ity poslouposti komplexích čísel a hledáí dvou it posloupostí reálých čísel. Věta 2.7 K tomu, aby existovala koečá z = z, je uté a postačující, aby existovaly koečé Re z = a, Je-li podmíka splěa je z = a + jb. Im z = b. Důkaz: Protože věta vyjadřuje ekvivaleci mezi existecí koečých it, má důkaz dvě části. (1) Z předpokladu existece koečé z = z musíme ukázat, že Re z = a a Im z = b existují a jsou koečé a avíc platí z = a + jb. (2) Naopak z předpokladu existece koečých it Re z = a a Im z = b dokázat, že z = z = a + jb. (Důkaz si promyslete a akreslete si obrázek!). Podobě jako pro poslouposti reálých čísel máme i pro poslouposti komplexích čísel ásledující tvrzeí: Tvrzeí 2.8 Nechť existují z = z, w = w. Pak pokud výrazy a pravých straách mají smysl, platí ásledující: 1. (z + w ) = z + w, 2. (z w ) = zw, 3. (z /w ) = z/w. Příklad 2.9 Vypočtěte Protože platí ( + j si 1 ). =, si 1 = 0, 4

5 dostaeme podle Tvrzeí 2.8 ( + j si 1 ) = + j si 1 = + j0 =. Příklad 2.10 Vypočtěte [2 + j( 1) ]. Protože ( 1) eexistuje, emůžeme použít Tvrzeí 2.8 jako v předchozím příkladě. Je jasé, že body poslouposti se s rostoucím idexem budou vzdalovat od bodu 0 (akreslete si obrázek!). Pokud tedy ukážeme, že moduly prvků poslouposti rostou ade všechy meze, dostaeme podle Věty 2.6, že [ 2 + j( 1) ] =. Pro moduly ovšem platí ásledující erovosti: 2 + j( 1) Re( 2 + j( 1) ) = 2. A poěvadž 2 =, dostáváme, že 2 + j( 1) =. Příklad 2.11 Vypočtěte pro z C pevé číslo z, kde ( z = 1 + ) z. Je zřejmé, že kdybychom se sažili rozložit prvky poslouposti a reálou a imagiárí část, museli bychom se potýkat s biomickým rozvojem závorky (1 + z ). Jak jsme ukázali a koci textu k předchozímu cvičeí, daleko saději můžeme mocěí provádět v expoeciálím tvaru komplexího čísla. Převedeme tedy každý čle poslouposti z do expoeciálího tvaru a budeme hledat itu modulů z a argumetů arg z. Musíme ale být opatrí. Komplexí číslo z můžeme jedozačě vyjádřit v expoeciálím tvaru je pokud z 0 (pro z = 0 emůžeme jedozačě vyjádřit argumet). Nicméě ěkteré čley z mohou v pricipu být ulové. Podívejme se tedy za jakých podmíek bude platit z = 0. Dostáváme tedy (1 + z ) = 0, ale to je možé je pokud 1 + z = 0 eboli = z. To zameá, že pokud je z záporé celé číslo, bude pro = z platit z = 0. Tedy jede čle poslouposti bude ulový. Pokud z eí záporé celé číslo, ebude žádý čle z ulový. Z uvedeého vyplývá, že maximálě jede čle poslouposti {z } =1 může být ulový. Podle Vět 2.4, 2.5 můžeme takový čle odebrat aiž bychom změili výsledou itu. Vyjádřeme ejprve moduly z. Ozačme z = x + jy, pak ( z = 1 + z ) 1 z = + = 1 + x + j y. Protože 1 + x + j y = (1 + x )2 + ( y )2, dostaeme z = [ ( 1 + ) x 2 ( y ) ]

6 Dále vyjádřeme argumety arg z = arg(1+ z ). Ozačme w = 1+ x +j y. Protože w = 1, víme, že od určitého 0 budou všechy w ležet uvitř kruhu o poloměru 1 se středem v bodě 1, což zameá, že arg w ( π/2, π/2) (poloměr 1 zde představuje ε a volili jsme ho tak abychom splili výše uvedeou podmíku a argumety akreslete si obrázek!). Proto zahodíme-li prvích 0 čleů poslouposti, můžeme psát arg w = arcta y 1 + x, protože pro argumety z itervalu ( π/2, π/2) určuje fukce arcta argumety již jedozačě. Dostáváme tedy arg z = arg(w ) = arcta y 1 + x. Teď již je zbývá určit z a arg z. [ ( z = 1 + x 2 ( y ) ] [ = ) e 2 l (1+ x ) 2 +( ) y 2]. Dále [ ( 2 l 1 + ) x 2 ( y ) ] 2 + = [1 2 l + 2 x + x2 + y 2 ] 2. Zaveďme ovou proměou h = 1, potom předchozí itu můžeme vyjádřit jako h 0 1 2h l [ 1 + 2xh + (x 2 + y 2 )h 2] = h 0 2x + 2(x 2 + y 2 )h 2[1 + 2xh + (x 2 + y 2 )h 2 ] = x, kde a výpočet předposledí rovosti jsme použili L Hospitalovo pravidlo. Máme tedy z = e x. Pro arg z dostáváme y arg z = arcta 1 + x Pomocí L Hospitalova pravidla máme 1 h 0 h arcta yh 1 + xh = h 0 Nakoec tedy ( yh 1+xh 1 = h 0 h arcta yh 1 + xh. ) 2 y(1 + xh) yhx (1 + xh) 2 = y. z = z j arg z e = z ej arg z = e x e jy. 6

7 3 Limita fukce komplexí proměé Jedozačou komplexí fukcí komplexí proměé pro ás bude zobrazeí f : D C, kde D C. Často budeme pro zápis hodoty v bodě f(z) používat rozklad a reálou a imagiárí část, t.j. f(z) = u(x, y) + jv(x, y), kde z = x + jy, u(x, y) = Re f(z) a v(x, y) = Im f(z). Defiice 3.1 Nechť M je podmožia C. Bod a C azveme hromadým bodem možiy M právě tehdy, když libovolé prstecové okolí P (a, ε), ε > 0, obsahuje alespoň jede bod možiy M. Z defiice plye, že v každém P (a, ε) leží ekoečě moho bodů M. Vezmeme-li totiž P (a, 1 ), dostaeme, že pro všecha taková, že 1 < ε platí P (a, 1 ) M. Defiice 3.2 Řekeme, že fukce f : D C má v bodě z 0 C itu L C vzhledem k možiě M D právě tehdy, jestliže platí: 1. bod z 0 je hromadým bodem možiy M, 2. pro všecha ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro všecha z P (z 0, δ) M platí f(z) U(L, ε). Pak píšeme z z 0 f(z) = L. Pokud M = D pak popis vzhledem k možiě D vyecháváme a píšeme je f(z) = L. z z 0 Věta Každá fukce f : D C má v bodě z 0 aejvýš jedu itu. Navíc pokud z z0 f(z) = L, pak pro všechy M D platí z z 0 f(z) = L. 2. Nechť z 0 = x 0 + jy 0. Pak existuje koečá z z 0 f(z) = a + jb právě když existují koečé (x, y) (x 0, y 0 ) (x, y) M u(x, y) = a, (x, y) (x 0, y 0 ) (x, y) M v(x, y) = b. 7

8 Podobě jako pro ity posloupostí platí ásledující tvrzeí: Tvrzeí 3.4 Nechť existují f(z) = L, z z 0 g(z) = K. z z 0 Pak pokud výrazy a pravých straách mají smysl, platí ásledující: 1. z z0 (f(z) + g(z)) = L + K, 2. z z0 (f(z)g(z)) = LK, 3. z z0 (f(z)/g(z)) = L/K. Příklad 3.5 Vypočtěte z j (z 4 + 1). Podle Tvrzeí 3.4 můžeme psát: z j (z4 + 1) = j = = 2. z Příklad 3.6 Vypočtěte 1 z 1 z 1. Tady emůžeme postupovat stejě jako v předchozím příkladě, protože bychom dostali 0 0. Nicméě platí z 1 z 1 = (z 1)(z 1 + z z + 1) = z 1 + z z + 1. z 1 Takže z 1 z 1 z 1 = z 1 (z 1 + z z + 1) =. Příklad 3.7 Ukažte, že ásledující ita eexistuje z 0 2xy x 2 + y 2 + j x2 y + 1. Pokud by ita v bodě 0 existovala, musela by podle Věty 3.3 existovat i vzhledem všem podmožiám M D. Zvolme ejprve M = {(x, y) D y = 0}, tz. prvky D ležící a reálé ose. Potom z 0 2xy x 2 + y 2 + j x2 y + 1 = z 0 0 x 2 + jx2 = 0 + j0 = 0. Nyí zvolme M = {(x, y) D x = y}, 8

9 tz. prvky D ležící ose prvího kvadratu. Potom z 0 2xy x 2 + y 2 + j x2 y + 1 = z 0 2x 2 2x 2 + j x2 x + 1 = 1 + j0 = 1. Vzhledem k tomu, že jsme v jedotlivých případech volby M dospěli k růzým výsledkům, plye z Věty 3.3 eexistece zadaé ity. Příklad 3.8 Vypočtěte x 2 z 0 z. Protože x = Re z, máme x z. Můžeme tedy modul f(z) omezit ásledově: f(z) = x 2 z = x 2 z x 2 x = x z. Je zřejmé, že když z 0, tak i z 0. Protože ale f(z) z, dostáváme, že f(z) 0. A z toho plye, že 4 Spojitost a derivace x 2 z 0 z = 0. Spojitost komplexí fukce defiujeme podobě jako v pro fukce reálé proměé. Defiice 4.1 Řekeme, že komplexí fukce f : D C, D C, je spojitá v bodě z 0 D právě tehdy, když z z0 f(z) = f(z 0 ). Pokud je f spojitá v každém bodě D, říkáme, že f je spojitá. Uvědomme si tedy, že pro spojitost fukce f v bodě z 0 musí být splěy ásledující tři předpoklady: 1. f(z 0 ) je defiováa, 2. z z0 f(z) existuje, 3. z z0 f(z) = f(z 0 ). Rověž derivaci komplexí fukce je možé zavést obdobě jako v reálé aalýze. Defiice 4.2 Nechť fukce f je defiováa v ějakém okolí U(z 0, ε), ε > 0, bodu z 0 C. Říkáme, že f má derivaci v bodě z 0 pokud existuje koečá f(z) f(z 0 ) f(z 0 + h) f(z 0 ) = = f (z 0 ). z z 0 z z 0 h 0 h 9

10 Věta o derivaci součtu, součiu, podílu a složeé fukce je zcela stejá jako záte z reálé aalýzy. Věta 4.3 Nechť existují f (z 0 ) a g (z 0 ) potom 1. (f + g) (z 0 ) = f (z 0 ) + g (z 0 ), 2. (f g) (z 0 ) = f (z 0 ) g (z 0 ), 3. (fg) (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) + f(z 0 )g (z 0 ), 4. ( f g ) (z 0 ) = f (z 0)g(z 0) f(z 0)g (z 0) g 2 (z 0), 5. pokud avíc existuje f (g(z 0 )) pak [f(g(z 0 ))] = f (g(z 0 ))g (z 0 ). Následující věta má zásadí výzam eje pro výpočet derivace, ale i pro určováí bodů, ve kterých má fukce derivaci. Věta 4.4 Fukce f(z) = u(x, y) + jv(x, y) má v bodě z 0 = x 0 + jy 0 derivaci právě tehdy, když 1. fukce u a v mají v bodě (x 0, y 0 ) totálí difereciál, 2. jsou splěy Cauchyovy-Riemaovy podmíky (C-R podmíky) v bodě (x 0, y 0 ): u x = v y, v x = u y. Pokud f (z 0 ) existuje, platí f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 ) + j v x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) j u y (x 0, y 0 ). Připomíám, že k tomu aby byla splěa 1.podmíka, stačí aby byly parciálí derivace u a v spojité v bodě (x 0, y 0 ) (viz kurz o fukcích více proměých). Příklad 4.5 Ukažte, že platí (z 2 ) = 2z. Rozložme fukci z 2 a reálou a imagiárí část. z 2 = (x + jy) 2 = x 2 y 2 + j2xy. Máme tedy u(x, y) = x 2 y 2 a v(x, y) = 2xy. Spočtěme jedotlivé parciálí derivace. u x = 2x u y = 2y v x = 2y v y = 2x Je zřejmé, že všechy parciálí derivace jsou spojité fukce, což zameá, že 1.podmíka Věty 4.4 je splěa v každém bodě (x, y). Navíc C-R podmíky 10

11 jsou splěy v každém bodě (x, y). To zameá, že derivace (z 2 ) existuje v každém bodě z = x + jy a platí (z 2 ) = u x + j v = 2x + j2y = 2(x + jy) = 2z. x Příklad 4.6 Určete, kde existuje (z 2 ). Rozložme fukci z 2 a reálou a imagiárí část. z 2 = (x jy) 2 = x 2 y 2 j2xy. Máme tedy u(x, y) = x 2 y 2 a v(x, y) = 2xy. Spočtěme jedotlivé parciálí derivace. u x = 2x u y = 2y v x = 2y v y = 2x Je zřejmé, že všechy parciálí derivace jsou spojité fukce, což zameá, že 1.podmíka Věty 4.4 je splěa v každém bodě (x, y). Ovšem z C-R podmíek plye, že 2x = 2x a 2y = 2y. Tyto rovice jsou splěy je v bodě (0, 0). To zameá, že derivace (z 2 ) existuje je v bodě z = 0 a platí (z 2 ) = u v (0, 0) + j (0, 0) = 0 + j0 = 0. x x 11

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na. Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března 2002. Abstrakt

Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března 2002. Abstrakt Algoritmus RSA Vilém Vychodil 4. břza 2002 Abstrakt Násldující podpůrý txt stručě shruj základí problmatiky při šifrováí algoritmm RSA. Sm spadá j samotý pricip algoritmu, al i základí mtody grováí vlkých

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss F. KOUTNÝ, Zlí (. 4. 777.. 855) Každé vyprávěí o ěkom, kdo žil dávo, je utě je kompilací prameů a odkazů, které v ejlepším případě pocházejí od jeho pamětíků. Rámec tohoto textu tvoří

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty)

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty) (variata s odděleým hodoceím ivestičích ákladů vyaložeých a jedotlivé privatizovaé objekty) Vypracoval: YBN CONSULT - Zalecký ústav s.r.o. Ig. Bedřich Malý Ig. Yvetta Fialová, CSc. Václavské áměstí 1 110

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

Metodika implementace Průřezového tématu Environmentální výchova I

Metodika implementace Průřezového tématu Environmentální výchova I Elektroická publikace Metodika implemetace Průřezového tématu Evirometálí výchova I Zpracovaly: Bc. Jaroslava Rozprýmová a Mgr. Milica Sedláčková Témata: 1. Zemědělství a životí prostředí 2. Ekologické

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

Klonování, embryonální kmenové buňky, aj. proč ano a proč ne

Klonování, embryonální kmenové buňky, aj. proč ano a proč ne Kloováí, embryoálí kmeové buňky, aj. proč ao a proč e Doc. MUDr. Petr Hach, Csc., Em. předosta ústavu pro histologii a embryologii 1. lékařské fakulty Uiversity Karlovy v Praze Neí určeo k dalšímu šířeí

Více

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Model péče o duševně nemocné

Model péče o duševně nemocné Model péče o duševě emocé v regiou hlavího města Prahy Zázam jedáí závěrečé koferece projektu Vzděláváí odboríků, státí správy a samosprávy v oblasti trasformace istitucioálí péče o duševě emocé Praha,

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techická uiverzita Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky ELEKTRICKÉ POHONY pro kombiovaé a distačí studium Ivo Neborák Václav Sládeček Ostrava 004 1 Doc. Ig. Ivo Neborák, CSc.,

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

Atomová hmotnostní jednotka, relativní atomové a molekulové hmotnosti Atomová hmotnostní jednotka u se používá k relativnímu porovnání hmotností

Atomová hmotnostní jednotka, relativní atomové a molekulové hmotnosti Atomová hmotnostní jednotka u se používá k relativnímu porovnání hmotností . Základí cheické výpočty toová hotostí jedotka, relativí atoové a olekulové hotosti toová hotostí jedotka u se používá k relativíu porováí hotostí ikročástic, atoů a olekul a je defiováa jako hotosti

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA RVDĚODONOST STTISTIK Gymázium Jiřího Wolkera v rostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymázia utoři projektu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiky a gymáziu Teto projekt

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla

Více

Makroekonomie cvičení 1

Makroekonomie cvičení 1 Makroekoomie cvičeí 1 D = poptávka. S = Nabídka. Q = Možství. P = Cea. Q* = Rovovážé možství (Q E ). P* = Rovovážá caa (P E ). L = Práce. K = Kapitál. C = Spotřeba domácosti. LR = Dlouhé období. SR = Krátké

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY Určováí věku a staoveí růstu ryb Ryby jsou poikilotermí obratlovci, u ichž jsou všechy biologické fukce zásadím způsobem ovlivňováy teplotou vody. To platí v plém rozsahu

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií Využití Markovových řetězců pro predikováí pohybu ce akcií Mila Svoboda Tredy v podikáí, 4(2) 63-70 The Author(s) 2014 ISSN 1805-0603 Publisher: UWB i Pilse http://www.fek.zcu.cz/tvp/ Úvod K vybudováí

Více