1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie"

Transkript

1 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho azývat bodem v ekoeču. Možiu C { } ozačíme symbolem C a azveme ji uzavřeou Gaussovou roviou. Pro bod ekoečo defiujeme ásledující operace: 1. pro všecha komplexí čísla z defiujeme z <, 2. =, 3. z + = + z = pro všecha z C, 4. z = z = pro všecha z C \ {0}, 5. z/ = 0 pro všecha z C, 6. z/0 = pro všecha z C \ {0}, 7. /z = pro všecha z C, = 1, 0 = 1. Abychom mohli vyjádřit blízkost ějakého komplexího čísla z komplexímu číslu z 0, defiujeme ε-okolí bodu z 0 : U(z 0, ε) = {z C z z 0 < ε}. Geometricky vyjádřeo představuje možia U(z 0, ε) vitřek kruhu se středem v bodě z 0 a poloměrem ε. Jak se později ukáže je také účelé zavést tzv. prstecové ε-okolí bodu z 0 : P (z 0, ε) = U(z 0, ε) \ {z 0 }. Prstecové ε-okolí je tedy ε-okolí s vyjmutým středem. Nakoec dodefiujeme ještě ε-okolí bodu v ekoeču, abychom mohli popsat, že se blížíme k : U(, ε) = {z C z > 1 ε }. Geometricky vyjádřeo představuje možia U(, ε) vějšek kruhu se středem v počátku o poloměru ε. Je zřejmé, že pokud budeme ε zmešovat k 0, poroste poloměr tohoto kruhy ade všechy meze. 2 Poslouposti komplexích čísel V této části zavedeme pojem poslouposti komplexích čísel a pojem ity poslouposti komplexích čísel. Posloupost komplexích čísel je ějaká fukce f : N C, která přiřazuje každému přirozeému číslu ějaké komplexí číslo: f(1), f(2), f(3),..., f(),... 1

2 Protože defiičí obor každé takové fukce je stejý, zjedodušujeme zápis pomocí idexů: z 1, z 2, z 3,..., z,..., ebo také zkráceě píšeme {z } =1. Geometricky je možé si posloupost {z } =1 představit jako možiu bodů z v roviě, které jsou očíslováy přirozeými čísly. Defiice 2.1 Řekeme, že posloupost {z } =1 má itu z C (ebo koverguje k bodu z C ), jestliže pro každé ε > 0 existuje 0 N tak, že pro všecha přirozeá čísla > 0 platí z U(z, ε). Jsou-li tyto podmíky splěy, píšeme: z = z. Ujasěme si, co tato defiice vyjadřuje. Pokud posloupost má itu z, zameá to, že pro kruh s libovolým kladým poloměrem ε se středem v bodě z, jsme schopi alézt takový idex 0, že všechy body s idexem vyšším ež 0 už musí ležet uvitř tohoto kruhu. Jiými slovy to zameá, že jsme schopi dostat se body této poslouposti libovolě blízko bodu z. Ještě jiak ekvivaletě řečeo: pro každý kruh s kladým poloměrem ε se středem v bodě z platí, že mimo teto kruh se může alézat pouze koečě moho bodů poslouposti (a tudíž uvitř ekoečě moho). Věta 2.2 Každá posloupost má ejvýše jedu itu. Důkaz: Promysleme si, že důkaz plye okamžitě z defiice ity. Předpokládejme, že pro ějakou posloupost existuje více ež jeda ita (tedy alespoň dvě růzé). Vezměme tedy dvě růzé ity a ozačme je z a w. Vezmeme-li dostatečě malé poloměry (apř. z w /2) můžeme alézt dva kruhy K z a K w se středy v z a w tak, že emají žádý společý vitří bod. Jak jsme pozameali výše, z defiice ity plye, že uvitř kruhu K z se musí vyskytovat ekoečě moho bodů poslouposti a vě je koečě moho, ale stejé tvrzeí platí podle předpokladu i pro K w, což je spor, protože vitřky kruhů K z a K w emají žádý společý bod (akreslete si obrázek!). Všiměme si jedé užitečé vlastosti it. Pojem ity je atolik silý, že pokud má posloupost {z } =1 itu, z = z, bude již každá její podposloupost kovergovat ke stejému z. Podposloupost poslouposti {z } =1 je pro ás taková posloupost, která vzike odebráím koečě ebo ekoečě moha prvků poslouposti {z } =1 tak, že zbude stále ještě ekoečě moho čleů. Typicky koečým odebráím může být vypuštěí počátečího segmetu, t.j. uvažujeme je prvky s idexem vyšším ež ějaké přirozeé číslo. Odebráí ekoečě moha prvků můžeme ukázat apř. a podposlouposti vziklé odebráím všech prvků s lichým idexem, dostaeme tedy z 2, z 4, z 6,..., z 2,... Napišme ještě defiici podposlouposti formálě. 2

3 Defiice 2.3 Nechť {z } =1 je posloupost komplexích čísel. Potom podposloupostí poslouposti {z } =1 máme a mysli ásledující posloupost: {z g(k) } k=1, kde g : N N je ějaká rostoucí fukce. Fukce g vybírá prvky této podposlouposti, t.j. každému k N přiřadí idex prvku poslouposti {z } =1, který echceme odebrat. Věta 2.4 Je-li z = z, pak pro každou podposloupost {z g(k) } k=1 platí: z g(k) = z. k Důkaz: Musíme ukázat, že uvitř každého kruhu s kladým poloměrem ε se středem v bodě z leží ekoečě moho prvků podposlouposti {z g(k) } k=1. Protože z = z, víme, že uvitř každého takového kruhu leží ekoečě moho prvků poslouposti {z } =1 a vě je koečě moho popř. žádý. Odebereme-li ějaké prvky poslouposti {z } =1, je zřejmé, že mezi koečě moha body vě kruhu může zůstat maximálě koečě moho bodů podposlouposti {z g(k) } k=1. Protože ale podposloupost {z g(k)} k=1 má ekoečě moho bodů, musí jich uvitř kruhu ležet ekoečě moho. Což zameá, že {z } =1 a {z g(k) } k=1 mají stejou itu. Pozor ale! Pokud víme, že ějaká podposloupost {z g(k) } k=1 koverguje k bodu z, emůžeme o kovergeci poslouposti {z } =1 ic říct. Např. podposloupost lichých čleů poslouposti {( 1) } =1 má itu 1, kdežto posloupost {( 1) } =1 itu emá. Nicméě platí ásledující věta. Věta 2.5 Vzike-li podposloupost {z g(k) } k=1 z poslouposti {z } =1 odebráím je koečě moha čleů a k z g(k) = z, pak z = z. Důkaz: Protože {z g(k) } k=1 vzikla odebráím koečě moha čleů, můžeme alézt posledí odebraý čle z m (t.j. pro všechy odebraé čley z máme m). Sestavme yí ovou podposloupost {z h(k) } k=1 tak, že h(k) = m + k. Podposloupost {z h(k) } k=1 obsahuje tedy čley z m+1, z m+2, z m+3,... Potom je zřejmé, že {z h(k) } k=1 je podposloupost eje {z } =1 ale i {z g(k) } k=1. Jelikož k z g(k) = z, dostaeme z Věty 2.4, že také k z h(k) = z. Tedy pro každé ε > 0 existuje idex k 0 takový, že pro všecha k > k 0 platí z h(k) U(z, ε). Abychom dokázali, že z = z musíme alézt takový idex 0, aby pro všecha > 0 platilo z U(z, ε). Vezměme 0 = k 0 +m, potom pro každé > 0 máme m > k 0 a tedy z h( m) U(z, ε). Protože ale z = z h( m) je rověž i z U(z, ε) a důkaz je dokoče. Další užitečou vlastostí pro vyšetřováí it posloupostí komplexích čísel je vztah mezi posloupostmi {z } =1 a { z } =1. Uvědomme si, že { z } =1 je posloupost reálých čísel, jak jí záte z prvího kurzu reálé aalýzy. 3

4 Věta 2.6 Je-li z = z, pak z = z. Je-li z rova 0 respektive, pak je také z rova 0 respektive. Důkaz: Pro prví část věty musíme ukázat, že pro všecha ε > 0 ajdeme takový idex 0, že pro všecha > 0 platí z z < ε. Protože z = z, máme pro všecha ε > 0 takový idex 0, že pro všecha > 0 platí z U(z, ε), což z defiice okolí zameá z z < ε. Využijme vztahu z z z z (viz zápis z cvičeí 1). Dostáváme tedy z z z z < ε, což jsme měli ukázat. (Promyslete si důkaz druhé části věty!) Pokud je ita poslouposti koečá, můžeme převést podle ásledující věty problém hledáí ity poslouposti komplexích čísel a hledáí dvou it posloupostí reálých čísel. Věta 2.7 K tomu, aby existovala koečá z = z, je uté a postačující, aby existovaly koečé Re z = a, Je-li podmíka splěa je z = a + jb. Im z = b. Důkaz: Protože věta vyjadřuje ekvivaleci mezi existecí koečých it, má důkaz dvě části. (1) Z předpokladu existece koečé z = z musíme ukázat, že Re z = a a Im z = b existují a jsou koečé a avíc platí z = a + jb. (2) Naopak z předpokladu existece koečých it Re z = a a Im z = b dokázat, že z = z = a + jb. (Důkaz si promyslete a akreslete si obrázek!). Podobě jako pro poslouposti reálých čísel máme i pro poslouposti komplexích čísel ásledující tvrzeí: Tvrzeí 2.8 Nechť existují z = z, w = w. Pak pokud výrazy a pravých straách mají smysl, platí ásledující: 1. (z + w ) = z + w, 2. (z w ) = zw, 3. (z /w ) = z/w. Příklad 2.9 Vypočtěte Protože platí ( + j si 1 ). =, si 1 = 0, 4

5 dostaeme podle Tvrzeí 2.8 ( + j si 1 ) = + j si 1 = + j0 =. Příklad 2.10 Vypočtěte [2 + j( 1) ]. Protože ( 1) eexistuje, emůžeme použít Tvrzeí 2.8 jako v předchozím příkladě. Je jasé, že body poslouposti se s rostoucím idexem budou vzdalovat od bodu 0 (akreslete si obrázek!). Pokud tedy ukážeme, že moduly prvků poslouposti rostou ade všechy meze, dostaeme podle Věty 2.6, že [ 2 + j( 1) ] =. Pro moduly ovšem platí ásledující erovosti: 2 + j( 1) Re( 2 + j( 1) ) = 2. A poěvadž 2 =, dostáváme, že 2 + j( 1) =. Příklad 2.11 Vypočtěte pro z C pevé číslo z, kde ( z = 1 + ) z. Je zřejmé, že kdybychom se sažili rozložit prvky poslouposti a reálou a imagiárí část, museli bychom se potýkat s biomickým rozvojem závorky (1 + z ). Jak jsme ukázali a koci textu k předchozímu cvičeí, daleko saději můžeme mocěí provádět v expoeciálím tvaru komplexího čísla. Převedeme tedy každý čle poslouposti z do expoeciálího tvaru a budeme hledat itu modulů z a argumetů arg z. Musíme ale být opatrí. Komplexí číslo z můžeme jedozačě vyjádřit v expoeciálím tvaru je pokud z 0 (pro z = 0 emůžeme jedozačě vyjádřit argumet). Nicméě ěkteré čley z mohou v pricipu být ulové. Podívejme se tedy za jakých podmíek bude platit z = 0. Dostáváme tedy (1 + z ) = 0, ale to je možé je pokud 1 + z = 0 eboli = z. To zameá, že pokud je z záporé celé číslo, bude pro = z platit z = 0. Tedy jede čle poslouposti bude ulový. Pokud z eí záporé celé číslo, ebude žádý čle z ulový. Z uvedeého vyplývá, že maximálě jede čle poslouposti {z } =1 může být ulový. Podle Vět 2.4, 2.5 můžeme takový čle odebrat aiž bychom změili výsledou itu. Vyjádřeme ejprve moduly z. Ozačme z = x + jy, pak ( z = 1 + z ) 1 z = + = 1 + x + j y. Protože 1 + x + j y = (1 + x )2 + ( y )2, dostaeme z = [ ( 1 + ) x 2 ( y ) ]

6 Dále vyjádřeme argumety arg z = arg(1+ z ). Ozačme w = 1+ x +j y. Protože w = 1, víme, že od určitého 0 budou všechy w ležet uvitř kruhu o poloměru 1 se středem v bodě 1, což zameá, že arg w ( π/2, π/2) (poloměr 1 zde představuje ε a volili jsme ho tak abychom splili výše uvedeou podmíku a argumety akreslete si obrázek!). Proto zahodíme-li prvích 0 čleů poslouposti, můžeme psát arg w = arcta y 1 + x, protože pro argumety z itervalu ( π/2, π/2) určuje fukce arcta argumety již jedozačě. Dostáváme tedy arg z = arg(w ) = arcta y 1 + x. Teď již je zbývá určit z a arg z. [ ( z = 1 + x 2 ( y ) ] [ = ) e 2 l (1+ x ) 2 +( ) y 2]. Dále [ ( 2 l 1 + ) x 2 ( y ) ] 2 + = [1 2 l + 2 x + x2 + y 2 ] 2. Zaveďme ovou proměou h = 1, potom předchozí itu můžeme vyjádřit jako h 0 1 2h l [ 1 + 2xh + (x 2 + y 2 )h 2] = h 0 2x + 2(x 2 + y 2 )h 2[1 + 2xh + (x 2 + y 2 )h 2 ] = x, kde a výpočet předposledí rovosti jsme použili L Hospitalovo pravidlo. Máme tedy z = e x. Pro arg z dostáváme y arg z = arcta 1 + x Pomocí L Hospitalova pravidla máme 1 h 0 h arcta yh 1 + xh = h 0 Nakoec tedy ( yh 1+xh 1 = h 0 h arcta yh 1 + xh. ) 2 y(1 + xh) yhx (1 + xh) 2 = y. z = z j arg z e = z ej arg z = e x e jy. 6

7 3 Limita fukce komplexí proměé Jedozačou komplexí fukcí komplexí proměé pro ás bude zobrazeí f : D C, kde D C. Často budeme pro zápis hodoty v bodě f(z) používat rozklad a reálou a imagiárí část, t.j. f(z) = u(x, y) + jv(x, y), kde z = x + jy, u(x, y) = Re f(z) a v(x, y) = Im f(z). Defiice 3.1 Nechť M je podmožia C. Bod a C azveme hromadým bodem možiy M právě tehdy, když libovolé prstecové okolí P (a, ε), ε > 0, obsahuje alespoň jede bod možiy M. Z defiice plye, že v každém P (a, ε) leží ekoečě moho bodů M. Vezmeme-li totiž P (a, 1 ), dostaeme, že pro všecha taková, že 1 < ε platí P (a, 1 ) M. Defiice 3.2 Řekeme, že fukce f : D C má v bodě z 0 C itu L C vzhledem k možiě M D právě tehdy, jestliže platí: 1. bod z 0 je hromadým bodem možiy M, 2. pro všecha ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro všecha z P (z 0, δ) M platí f(z) U(L, ε). Pak píšeme z z 0 f(z) = L. Pokud M = D pak popis vzhledem k možiě D vyecháváme a píšeme je f(z) = L. z z 0 Věta Každá fukce f : D C má v bodě z 0 aejvýš jedu itu. Navíc pokud z z0 f(z) = L, pak pro všechy M D platí z z 0 f(z) = L. 2. Nechť z 0 = x 0 + jy 0. Pak existuje koečá z z 0 f(z) = a + jb právě když existují koečé (x, y) (x 0, y 0 ) (x, y) M u(x, y) = a, (x, y) (x 0, y 0 ) (x, y) M v(x, y) = b. 7

8 Podobě jako pro ity posloupostí platí ásledující tvrzeí: Tvrzeí 3.4 Nechť existují f(z) = L, z z 0 g(z) = K. z z 0 Pak pokud výrazy a pravých straách mají smysl, platí ásledující: 1. z z0 (f(z) + g(z)) = L + K, 2. z z0 (f(z)g(z)) = LK, 3. z z0 (f(z)/g(z)) = L/K. Příklad 3.5 Vypočtěte z j (z 4 + 1). Podle Tvrzeí 3.4 můžeme psát: z j (z4 + 1) = j = = 2. z Příklad 3.6 Vypočtěte 1 z 1 z 1. Tady emůžeme postupovat stejě jako v předchozím příkladě, protože bychom dostali 0 0. Nicméě platí z 1 z 1 = (z 1)(z 1 + z z + 1) = z 1 + z z + 1. z 1 Takže z 1 z 1 z 1 = z 1 (z 1 + z z + 1) =. Příklad 3.7 Ukažte, že ásledující ita eexistuje z 0 2xy x 2 + y 2 + j x2 y + 1. Pokud by ita v bodě 0 existovala, musela by podle Věty 3.3 existovat i vzhledem všem podmožiám M D. Zvolme ejprve M = {(x, y) D y = 0}, tz. prvky D ležící a reálé ose. Potom z 0 2xy x 2 + y 2 + j x2 y + 1 = z 0 0 x 2 + jx2 = 0 + j0 = 0. Nyí zvolme M = {(x, y) D x = y}, 8

9 tz. prvky D ležící ose prvího kvadratu. Potom z 0 2xy x 2 + y 2 + j x2 y + 1 = z 0 2x 2 2x 2 + j x2 x + 1 = 1 + j0 = 1. Vzhledem k tomu, že jsme v jedotlivých případech volby M dospěli k růzým výsledkům, plye z Věty 3.3 eexistece zadaé ity. Příklad 3.8 Vypočtěte x 2 z 0 z. Protože x = Re z, máme x z. Můžeme tedy modul f(z) omezit ásledově: f(z) = x 2 z = x 2 z x 2 x = x z. Je zřejmé, že když z 0, tak i z 0. Protože ale f(z) z, dostáváme, že f(z) 0. A z toho plye, že 4 Spojitost a derivace x 2 z 0 z = 0. Spojitost komplexí fukce defiujeme podobě jako v pro fukce reálé proměé. Defiice 4.1 Řekeme, že komplexí fukce f : D C, D C, je spojitá v bodě z 0 D právě tehdy, když z z0 f(z) = f(z 0 ). Pokud je f spojitá v každém bodě D, říkáme, že f je spojitá. Uvědomme si tedy, že pro spojitost fukce f v bodě z 0 musí být splěy ásledující tři předpoklady: 1. f(z 0 ) je defiováa, 2. z z0 f(z) existuje, 3. z z0 f(z) = f(z 0 ). Rověž derivaci komplexí fukce je možé zavést obdobě jako v reálé aalýze. Defiice 4.2 Nechť fukce f je defiováa v ějakém okolí U(z 0, ε), ε > 0, bodu z 0 C. Říkáme, že f má derivaci v bodě z 0 pokud existuje koečá f(z) f(z 0 ) f(z 0 + h) f(z 0 ) = = f (z 0 ). z z 0 z z 0 h 0 h 9

10 Věta o derivaci součtu, součiu, podílu a složeé fukce je zcela stejá jako záte z reálé aalýzy. Věta 4.3 Nechť existují f (z 0 ) a g (z 0 ) potom 1. (f + g) (z 0 ) = f (z 0 ) + g (z 0 ), 2. (f g) (z 0 ) = f (z 0 ) g (z 0 ), 3. (fg) (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) + f(z 0 )g (z 0 ), 4. ( f g ) (z 0 ) = f (z 0)g(z 0) f(z 0)g (z 0) g 2 (z 0), 5. pokud avíc existuje f (g(z 0 )) pak [f(g(z 0 ))] = f (g(z 0 ))g (z 0 ). Následující věta má zásadí výzam eje pro výpočet derivace, ale i pro určováí bodů, ve kterých má fukce derivaci. Věta 4.4 Fukce f(z) = u(x, y) + jv(x, y) má v bodě z 0 = x 0 + jy 0 derivaci právě tehdy, když 1. fukce u a v mají v bodě (x 0, y 0 ) totálí difereciál, 2. jsou splěy Cauchyovy-Riemaovy podmíky (C-R podmíky) v bodě (x 0, y 0 ): u x = v y, v x = u y. Pokud f (z 0 ) existuje, platí f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 ) + j v x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) j u y (x 0, y 0 ). Připomíám, že k tomu aby byla splěa 1.podmíka, stačí aby byly parciálí derivace u a v spojité v bodě (x 0, y 0 ) (viz kurz o fukcích více proměých). Příklad 4.5 Ukažte, že platí (z 2 ) = 2z. Rozložme fukci z 2 a reálou a imagiárí část. z 2 = (x + jy) 2 = x 2 y 2 + j2xy. Máme tedy u(x, y) = x 2 y 2 a v(x, y) = 2xy. Spočtěme jedotlivé parciálí derivace. u x = 2x u y = 2y v x = 2y v y = 2x Je zřejmé, že všechy parciálí derivace jsou spojité fukce, což zameá, že 1.podmíka Věty 4.4 je splěa v každém bodě (x, y). Navíc C-R podmíky 10

11 jsou splěy v každém bodě (x, y). To zameá, že derivace (z 2 ) existuje v každém bodě z = x + jy a platí (z 2 ) = u x + j v = 2x + j2y = 2(x + jy) = 2z. x Příklad 4.6 Určete, kde existuje (z 2 ). Rozložme fukci z 2 a reálou a imagiárí část. z 2 = (x jy) 2 = x 2 y 2 j2xy. Máme tedy u(x, y) = x 2 y 2 a v(x, y) = 2xy. Spočtěme jedotlivé parciálí derivace. u x = 2x u y = 2y v x = 2y v y = 2x Je zřejmé, že všechy parciálí derivace jsou spojité fukce, což zameá, že 1.podmíka Věty 4.4 je splěa v každém bodě (x, y). Ovšem z C-R podmíek plye, že 2x = 2x a 2y = 2y. Tyto rovice jsou splěy je v bodě (0, 0). To zameá, že derivace (z 2 ) existuje je v bodě z = 0 a platí (z 2 ) = u v (0, 0) + j (0, 0) = 0 + j0 = 0. x x 11

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě

Více

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

ZS 2018/19 Po 10:40 T5

ZS 2018/19 Po 10:40 T5 Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1 I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti

1 Základní pojmy a vlastnosti Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

1 Nekonečné řady s nezápornými členy

1 Nekonečné řady s nezápornými členy Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) = Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův

Více

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) = NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n Jméo: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 8 0 30 Získáo [8 Uvažujte posloupost distribucí f } D R defiovaou jako f [δ kde δ a začí Diracovu distribuci v bodě a Najděte itu δ 0 + δ + této poslouposti aeb spočtěte

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci ... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

3. cvičení - LS 2017

3. cvičení - LS 2017 3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a) fx) x 5x+4 4 x b) fx) x x +4x+ c) fx) 3x 9x+ x +6x 0 d) fx) x 7x+0 4 x. Řešeí a) Nulové body čitatele a jmeovatele

Více

3. cvičení - LS 2017

3. cvičení - LS 2017 3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a fx x 5x+4 4 x b fx x x +4x+ c fx 3x 9x+ x +6x 0. Řešeí a Nulové body čitatele a jmeovatele jsou { 4}. Aby vše bylo

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.

( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N. .. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f

Více

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f

Více

1 Základní matematické pojmy Logika Množiny a jejich zobrazení... 7

1 Základní matematické pojmy Logika Množiny a jejich zobrazení... 7 Semiář z matematické aalýzy I Čížek Jiří-Kubr Mila 8 září 007 Obsah Základí matematické pojmy Logika Možiy a jejich zobrazeí 7 Reálá a komplexí čísla 6 Poslouposti 7 Základí vlastosti posloupostí 7 Limita

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n

U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášky M. Krupky Zmí semestr 999/ 3. Iverzí a mplctí zobrazeí V této kaptole uvádíme dvě důležté věty, které acházeí aplkace v moha oblastech matematky: Větu o verzím a větu o

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM

Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM Kombiatorika- 3 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické iformatiky FIT České vysoké učeí techické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétí matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 8 Evropský sociálí

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

Užití binomické věty

Užití binomické věty 9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 202 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Rozklady celých

Více

Přednáška 7: Soustavy lineárních rovnic

Přednáška 7: Soustavy lineárních rovnic Předáška 7: Soustavy lieárích rovic 7.1. Příklad (geometrie v roviě) Rozhoděte o vzájemé poloze přímky p : x y 1 a přímky a) a : x y 3, b) b : 2x 2y 3, c) c :3x 3y 3. Jak víme ze středí školy, lze o vzájemé

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená. .7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou

Více

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI 6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limity - 7 - Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé Spojitost a limity Defiice -okolím bodu a azýváme iterval ( a a ) Redukovaým -okolím bodu a azýváme sjedoceí itervalů a a a a Spojitost

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou

Více

Matematická analýza III (NMUM201)

Matematická analýza III (NMUM201) Matematická aalýza III (NMUM0) Marti Rmoutil 0. leda 09 Kapitola Nekoečé číselé řady. Základí fakta Mějme posloupost reálých čísel {a } R. Až dosud jsme se při studiu posloupostí zabývali zejméa jejich

Více