1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie"

Transkript

1 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho azývat bodem v ekoeču. Možiu C { } ozačíme symbolem C a azveme ji uzavřeou Gaussovou roviou. Pro bod ekoečo defiujeme ásledující operace: 1. pro všecha komplexí čísla z defiujeme z <, 2. =, 3. z + = + z = pro všecha z C, 4. z = z = pro všecha z C \ {0}, 5. z/ = 0 pro všecha z C, 6. z/0 = pro všecha z C \ {0}, 7. /z = pro všecha z C, = 1, 0 = 1. Abychom mohli vyjádřit blízkost ějakého komplexího čísla z komplexímu číslu z 0, defiujeme ε-okolí bodu z 0 : U(z 0, ε) = {z C z z 0 < ε}. Geometricky vyjádřeo představuje možia U(z 0, ε) vitřek kruhu se středem v bodě z 0 a poloměrem ε. Jak se později ukáže je také účelé zavést tzv. prstecové ε-okolí bodu z 0 : P (z 0, ε) = U(z 0, ε) \ {z 0 }. Prstecové ε-okolí je tedy ε-okolí s vyjmutým středem. Nakoec dodefiujeme ještě ε-okolí bodu v ekoeču, abychom mohli popsat, že se blížíme k : U(, ε) = {z C z > 1 ε }. Geometricky vyjádřeo představuje možia U(, ε) vějšek kruhu se středem v počátku o poloměru ε. Je zřejmé, že pokud budeme ε zmešovat k 0, poroste poloměr tohoto kruhy ade všechy meze. 2 Poslouposti komplexích čísel V této části zavedeme pojem poslouposti komplexích čísel a pojem ity poslouposti komplexích čísel. Posloupost komplexích čísel je ějaká fukce f : N C, která přiřazuje každému přirozeému číslu ějaké komplexí číslo: f(1), f(2), f(3),..., f(),... 1

2 Protože defiičí obor každé takové fukce je stejý, zjedodušujeme zápis pomocí idexů: z 1, z 2, z 3,..., z,..., ebo také zkráceě píšeme {z } =1. Geometricky je možé si posloupost {z } =1 představit jako možiu bodů z v roviě, které jsou očíslováy přirozeými čísly. Defiice 2.1 Řekeme, že posloupost {z } =1 má itu z C (ebo koverguje k bodu z C ), jestliže pro každé ε > 0 existuje 0 N tak, že pro všecha přirozeá čísla > 0 platí z U(z, ε). Jsou-li tyto podmíky splěy, píšeme: z = z. Ujasěme si, co tato defiice vyjadřuje. Pokud posloupost má itu z, zameá to, že pro kruh s libovolým kladým poloměrem ε se středem v bodě z, jsme schopi alézt takový idex 0, že všechy body s idexem vyšším ež 0 už musí ležet uvitř tohoto kruhu. Jiými slovy to zameá, že jsme schopi dostat se body této poslouposti libovolě blízko bodu z. Ještě jiak ekvivaletě řečeo: pro každý kruh s kladým poloměrem ε se středem v bodě z platí, že mimo teto kruh se může alézat pouze koečě moho bodů poslouposti (a tudíž uvitř ekoečě moho). Věta 2.2 Každá posloupost má ejvýše jedu itu. Důkaz: Promysleme si, že důkaz plye okamžitě z defiice ity. Předpokládejme, že pro ějakou posloupost existuje více ež jeda ita (tedy alespoň dvě růzé). Vezměme tedy dvě růzé ity a ozačme je z a w. Vezmeme-li dostatečě malé poloměry (apř. z w /2) můžeme alézt dva kruhy K z a K w se středy v z a w tak, že emají žádý společý vitří bod. Jak jsme pozameali výše, z defiice ity plye, že uvitř kruhu K z se musí vyskytovat ekoečě moho bodů poslouposti a vě je koečě moho, ale stejé tvrzeí platí podle předpokladu i pro K w, což je spor, protože vitřky kruhů K z a K w emají žádý společý bod (akreslete si obrázek!). Všiměme si jedé užitečé vlastosti it. Pojem ity je atolik silý, že pokud má posloupost {z } =1 itu, z = z, bude již každá její podposloupost kovergovat ke stejému z. Podposloupost poslouposti {z } =1 je pro ás taková posloupost, která vzike odebráím koečě ebo ekoečě moha prvků poslouposti {z } =1 tak, že zbude stále ještě ekoečě moho čleů. Typicky koečým odebráím může být vypuštěí počátečího segmetu, t.j. uvažujeme je prvky s idexem vyšším ež ějaké přirozeé číslo. Odebráí ekoečě moha prvků můžeme ukázat apř. a podposlouposti vziklé odebráím všech prvků s lichým idexem, dostaeme tedy z 2, z 4, z 6,..., z 2,... Napišme ještě defiici podposlouposti formálě. 2

3 Defiice 2.3 Nechť {z } =1 je posloupost komplexích čísel. Potom podposloupostí poslouposti {z } =1 máme a mysli ásledující posloupost: {z g(k) } k=1, kde g : N N je ějaká rostoucí fukce. Fukce g vybírá prvky této podposlouposti, t.j. každému k N přiřadí idex prvku poslouposti {z } =1, který echceme odebrat. Věta 2.4 Je-li z = z, pak pro každou podposloupost {z g(k) } k=1 platí: z g(k) = z. k Důkaz: Musíme ukázat, že uvitř každého kruhu s kladým poloměrem ε se středem v bodě z leží ekoečě moho prvků podposlouposti {z g(k) } k=1. Protože z = z, víme, že uvitř každého takového kruhu leží ekoečě moho prvků poslouposti {z } =1 a vě je koečě moho popř. žádý. Odebereme-li ějaké prvky poslouposti {z } =1, je zřejmé, že mezi koečě moha body vě kruhu může zůstat maximálě koečě moho bodů podposlouposti {z g(k) } k=1. Protože ale podposloupost {z g(k)} k=1 má ekoečě moho bodů, musí jich uvitř kruhu ležet ekoečě moho. Což zameá, že {z } =1 a {z g(k) } k=1 mají stejou itu. Pozor ale! Pokud víme, že ějaká podposloupost {z g(k) } k=1 koverguje k bodu z, emůžeme o kovergeci poslouposti {z } =1 ic říct. Např. podposloupost lichých čleů poslouposti {( 1) } =1 má itu 1, kdežto posloupost {( 1) } =1 itu emá. Nicméě platí ásledující věta. Věta 2.5 Vzike-li podposloupost {z g(k) } k=1 z poslouposti {z } =1 odebráím je koečě moha čleů a k z g(k) = z, pak z = z. Důkaz: Protože {z g(k) } k=1 vzikla odebráím koečě moha čleů, můžeme alézt posledí odebraý čle z m (t.j. pro všechy odebraé čley z máme m). Sestavme yí ovou podposloupost {z h(k) } k=1 tak, že h(k) = m + k. Podposloupost {z h(k) } k=1 obsahuje tedy čley z m+1, z m+2, z m+3,... Potom je zřejmé, že {z h(k) } k=1 je podposloupost eje {z } =1 ale i {z g(k) } k=1. Jelikož k z g(k) = z, dostaeme z Věty 2.4, že také k z h(k) = z. Tedy pro každé ε > 0 existuje idex k 0 takový, že pro všecha k > k 0 platí z h(k) U(z, ε). Abychom dokázali, že z = z musíme alézt takový idex 0, aby pro všecha > 0 platilo z U(z, ε). Vezměme 0 = k 0 +m, potom pro každé > 0 máme m > k 0 a tedy z h( m) U(z, ε). Protože ale z = z h( m) je rověž i z U(z, ε) a důkaz je dokoče. Další užitečou vlastostí pro vyšetřováí it posloupostí komplexích čísel je vztah mezi posloupostmi {z } =1 a { z } =1. Uvědomme si, že { z } =1 je posloupost reálých čísel, jak jí záte z prvího kurzu reálé aalýzy. 3

4 Věta 2.6 Je-li z = z, pak z = z. Je-li z rova 0 respektive, pak je také z rova 0 respektive. Důkaz: Pro prví část věty musíme ukázat, že pro všecha ε > 0 ajdeme takový idex 0, že pro všecha > 0 platí z z < ε. Protože z = z, máme pro všecha ε > 0 takový idex 0, že pro všecha > 0 platí z U(z, ε), což z defiice okolí zameá z z < ε. Využijme vztahu z z z z (viz zápis z cvičeí 1). Dostáváme tedy z z z z < ε, což jsme měli ukázat. (Promyslete si důkaz druhé části věty!) Pokud je ita poslouposti koečá, můžeme převést podle ásledující věty problém hledáí ity poslouposti komplexích čísel a hledáí dvou it posloupostí reálých čísel. Věta 2.7 K tomu, aby existovala koečá z = z, je uté a postačující, aby existovaly koečé Re z = a, Je-li podmíka splěa je z = a + jb. Im z = b. Důkaz: Protože věta vyjadřuje ekvivaleci mezi existecí koečých it, má důkaz dvě části. (1) Z předpokladu existece koečé z = z musíme ukázat, že Re z = a a Im z = b existují a jsou koečé a avíc platí z = a + jb. (2) Naopak z předpokladu existece koečých it Re z = a a Im z = b dokázat, že z = z = a + jb. (Důkaz si promyslete a akreslete si obrázek!). Podobě jako pro poslouposti reálých čísel máme i pro poslouposti komplexích čísel ásledující tvrzeí: Tvrzeí 2.8 Nechť existují z = z, w = w. Pak pokud výrazy a pravých straách mají smysl, platí ásledující: 1. (z + w ) = z + w, 2. (z w ) = zw, 3. (z /w ) = z/w. Příklad 2.9 Vypočtěte Protože platí ( + j si 1 ). =, si 1 = 0, 4

5 dostaeme podle Tvrzeí 2.8 ( + j si 1 ) = + j si 1 = + j0 =. Příklad 2.10 Vypočtěte [2 + j( 1) ]. Protože ( 1) eexistuje, emůžeme použít Tvrzeí 2.8 jako v předchozím příkladě. Je jasé, že body poslouposti se s rostoucím idexem budou vzdalovat od bodu 0 (akreslete si obrázek!). Pokud tedy ukážeme, že moduly prvků poslouposti rostou ade všechy meze, dostaeme podle Věty 2.6, že [ 2 + j( 1) ] =. Pro moduly ovšem platí ásledující erovosti: 2 + j( 1) Re( 2 + j( 1) ) = 2. A poěvadž 2 =, dostáváme, že 2 + j( 1) =. Příklad 2.11 Vypočtěte pro z C pevé číslo z, kde ( z = 1 + ) z. Je zřejmé, že kdybychom se sažili rozložit prvky poslouposti a reálou a imagiárí část, museli bychom se potýkat s biomickým rozvojem závorky (1 + z ). Jak jsme ukázali a koci textu k předchozímu cvičeí, daleko saději můžeme mocěí provádět v expoeciálím tvaru komplexího čísla. Převedeme tedy každý čle poslouposti z do expoeciálího tvaru a budeme hledat itu modulů z a argumetů arg z. Musíme ale být opatrí. Komplexí číslo z můžeme jedozačě vyjádřit v expoeciálím tvaru je pokud z 0 (pro z = 0 emůžeme jedozačě vyjádřit argumet). Nicméě ěkteré čley z mohou v pricipu být ulové. Podívejme se tedy za jakých podmíek bude platit z = 0. Dostáváme tedy (1 + z ) = 0, ale to je možé je pokud 1 + z = 0 eboli = z. To zameá, že pokud je z záporé celé číslo, bude pro = z platit z = 0. Tedy jede čle poslouposti bude ulový. Pokud z eí záporé celé číslo, ebude žádý čle z ulový. Z uvedeého vyplývá, že maximálě jede čle poslouposti {z } =1 může být ulový. Podle Vět 2.4, 2.5 můžeme takový čle odebrat aiž bychom změili výsledou itu. Vyjádřeme ejprve moduly z. Ozačme z = x + jy, pak ( z = 1 + z ) 1 z = + = 1 + x + j y. Protože 1 + x + j y = (1 + x )2 + ( y )2, dostaeme z = [ ( 1 + ) x 2 ( y ) ]

6 Dále vyjádřeme argumety arg z = arg(1+ z ). Ozačme w = 1+ x +j y. Protože w = 1, víme, že od určitého 0 budou všechy w ležet uvitř kruhu o poloměru 1 se středem v bodě 1, což zameá, že arg w ( π/2, π/2) (poloměr 1 zde představuje ε a volili jsme ho tak abychom splili výše uvedeou podmíku a argumety akreslete si obrázek!). Proto zahodíme-li prvích 0 čleů poslouposti, můžeme psát arg w = arcta y 1 + x, protože pro argumety z itervalu ( π/2, π/2) určuje fukce arcta argumety již jedozačě. Dostáváme tedy arg z = arg(w ) = arcta y 1 + x. Teď již je zbývá určit z a arg z. [ ( z = 1 + x 2 ( y ) ] [ = ) e 2 l (1+ x ) 2 +( ) y 2]. Dále [ ( 2 l 1 + ) x 2 ( y ) ] 2 + = [1 2 l + 2 x + x2 + y 2 ] 2. Zaveďme ovou proměou h = 1, potom předchozí itu můžeme vyjádřit jako h 0 1 2h l [ 1 + 2xh + (x 2 + y 2 )h 2] = h 0 2x + 2(x 2 + y 2 )h 2[1 + 2xh + (x 2 + y 2 )h 2 ] = x, kde a výpočet předposledí rovosti jsme použili L Hospitalovo pravidlo. Máme tedy z = e x. Pro arg z dostáváme y arg z = arcta 1 + x Pomocí L Hospitalova pravidla máme 1 h 0 h arcta yh 1 + xh = h 0 Nakoec tedy ( yh 1+xh 1 = h 0 h arcta yh 1 + xh. ) 2 y(1 + xh) yhx (1 + xh) 2 = y. z = z j arg z e = z ej arg z = e x e jy. 6

7 3 Limita fukce komplexí proměé Jedozačou komplexí fukcí komplexí proměé pro ás bude zobrazeí f : D C, kde D C. Často budeme pro zápis hodoty v bodě f(z) používat rozklad a reálou a imagiárí část, t.j. f(z) = u(x, y) + jv(x, y), kde z = x + jy, u(x, y) = Re f(z) a v(x, y) = Im f(z). Defiice 3.1 Nechť M je podmožia C. Bod a C azveme hromadým bodem možiy M právě tehdy, když libovolé prstecové okolí P (a, ε), ε > 0, obsahuje alespoň jede bod možiy M. Z defiice plye, že v každém P (a, ε) leží ekoečě moho bodů M. Vezmeme-li totiž P (a, 1 ), dostaeme, že pro všecha taková, že 1 < ε platí P (a, 1 ) M. Defiice 3.2 Řekeme, že fukce f : D C má v bodě z 0 C itu L C vzhledem k možiě M D právě tehdy, jestliže platí: 1. bod z 0 je hromadým bodem možiy M, 2. pro všecha ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro všecha z P (z 0, δ) M platí f(z) U(L, ε). Pak píšeme z z 0 f(z) = L. Pokud M = D pak popis vzhledem k možiě D vyecháváme a píšeme je f(z) = L. z z 0 Věta Každá fukce f : D C má v bodě z 0 aejvýš jedu itu. Navíc pokud z z0 f(z) = L, pak pro všechy M D platí z z 0 f(z) = L. 2. Nechť z 0 = x 0 + jy 0. Pak existuje koečá z z 0 f(z) = a + jb právě když existují koečé (x, y) (x 0, y 0 ) (x, y) M u(x, y) = a, (x, y) (x 0, y 0 ) (x, y) M v(x, y) = b. 7

8 Podobě jako pro ity posloupostí platí ásledující tvrzeí: Tvrzeí 3.4 Nechť existují f(z) = L, z z 0 g(z) = K. z z 0 Pak pokud výrazy a pravých straách mají smysl, platí ásledující: 1. z z0 (f(z) + g(z)) = L + K, 2. z z0 (f(z)g(z)) = LK, 3. z z0 (f(z)/g(z)) = L/K. Příklad 3.5 Vypočtěte z j (z 4 + 1). Podle Tvrzeí 3.4 můžeme psát: z j (z4 + 1) = j = = 2. z Příklad 3.6 Vypočtěte 1 z 1 z 1. Tady emůžeme postupovat stejě jako v předchozím příkladě, protože bychom dostali 0 0. Nicméě platí z 1 z 1 = (z 1)(z 1 + z z + 1) = z 1 + z z + 1. z 1 Takže z 1 z 1 z 1 = z 1 (z 1 + z z + 1) =. Příklad 3.7 Ukažte, že ásledující ita eexistuje z 0 2xy x 2 + y 2 + j x2 y + 1. Pokud by ita v bodě 0 existovala, musela by podle Věty 3.3 existovat i vzhledem všem podmožiám M D. Zvolme ejprve M = {(x, y) D y = 0}, tz. prvky D ležící a reálé ose. Potom z 0 2xy x 2 + y 2 + j x2 y + 1 = z 0 0 x 2 + jx2 = 0 + j0 = 0. Nyí zvolme M = {(x, y) D x = y}, 8

9 tz. prvky D ležící ose prvího kvadratu. Potom z 0 2xy x 2 + y 2 + j x2 y + 1 = z 0 2x 2 2x 2 + j x2 x + 1 = 1 + j0 = 1. Vzhledem k tomu, že jsme v jedotlivých případech volby M dospěli k růzým výsledkům, plye z Věty 3.3 eexistece zadaé ity. Příklad 3.8 Vypočtěte x 2 z 0 z. Protože x = Re z, máme x z. Můžeme tedy modul f(z) omezit ásledově: f(z) = x 2 z = x 2 z x 2 x = x z. Je zřejmé, že když z 0, tak i z 0. Protože ale f(z) z, dostáváme, že f(z) 0. A z toho plye, že 4 Spojitost a derivace x 2 z 0 z = 0. Spojitost komplexí fukce defiujeme podobě jako v pro fukce reálé proměé. Defiice 4.1 Řekeme, že komplexí fukce f : D C, D C, je spojitá v bodě z 0 D právě tehdy, když z z0 f(z) = f(z 0 ). Pokud je f spojitá v každém bodě D, říkáme, že f je spojitá. Uvědomme si tedy, že pro spojitost fukce f v bodě z 0 musí být splěy ásledující tři předpoklady: 1. f(z 0 ) je defiováa, 2. z z0 f(z) existuje, 3. z z0 f(z) = f(z 0 ). Rověž derivaci komplexí fukce je možé zavést obdobě jako v reálé aalýze. Defiice 4.2 Nechť fukce f je defiováa v ějakém okolí U(z 0, ε), ε > 0, bodu z 0 C. Říkáme, že f má derivaci v bodě z 0 pokud existuje koečá f(z) f(z 0 ) f(z 0 + h) f(z 0 ) = = f (z 0 ). z z 0 z z 0 h 0 h 9

10 Věta o derivaci součtu, součiu, podílu a složeé fukce je zcela stejá jako záte z reálé aalýzy. Věta 4.3 Nechť existují f (z 0 ) a g (z 0 ) potom 1. (f + g) (z 0 ) = f (z 0 ) + g (z 0 ), 2. (f g) (z 0 ) = f (z 0 ) g (z 0 ), 3. (fg) (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) + f(z 0 )g (z 0 ), 4. ( f g ) (z 0 ) = f (z 0)g(z 0) f(z 0)g (z 0) g 2 (z 0), 5. pokud avíc existuje f (g(z 0 )) pak [f(g(z 0 ))] = f (g(z 0 ))g (z 0 ). Následující věta má zásadí výzam eje pro výpočet derivace, ale i pro určováí bodů, ve kterých má fukce derivaci. Věta 4.4 Fukce f(z) = u(x, y) + jv(x, y) má v bodě z 0 = x 0 + jy 0 derivaci právě tehdy, když 1. fukce u a v mají v bodě (x 0, y 0 ) totálí difereciál, 2. jsou splěy Cauchyovy-Riemaovy podmíky (C-R podmíky) v bodě (x 0, y 0 ): u x = v y, v x = u y. Pokud f (z 0 ) existuje, platí f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 ) + j v x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) j u y (x 0, y 0 ). Připomíám, že k tomu aby byla splěa 1.podmíka, stačí aby byly parciálí derivace u a v spojité v bodě (x 0, y 0 ) (viz kurz o fukcích více proměých). Příklad 4.5 Ukažte, že platí (z 2 ) = 2z. Rozložme fukci z 2 a reálou a imagiárí část. z 2 = (x + jy) 2 = x 2 y 2 + j2xy. Máme tedy u(x, y) = x 2 y 2 a v(x, y) = 2xy. Spočtěme jedotlivé parciálí derivace. u x = 2x u y = 2y v x = 2y v y = 2x Je zřejmé, že všechy parciálí derivace jsou spojité fukce, což zameá, že 1.podmíka Věty 4.4 je splěa v každém bodě (x, y). Navíc C-R podmíky 10

11 jsou splěy v každém bodě (x, y). To zameá, že derivace (z 2 ) existuje v každém bodě z = x + jy a platí (z 2 ) = u x + j v = 2x + j2y = 2(x + jy) = 2z. x Příklad 4.6 Určete, kde existuje (z 2 ). Rozložme fukci z 2 a reálou a imagiárí část. z 2 = (x jy) 2 = x 2 y 2 j2xy. Máme tedy u(x, y) = x 2 y 2 a v(x, y) = 2xy. Spočtěme jedotlivé parciálí derivace. u x = 2x u y = 2y v x = 2y v y = 2x Je zřejmé, že všechy parciálí derivace jsou spojité fukce, což zameá, že 1.podmíka Věty 4.4 je splěa v každém bodě (x, y). Ovšem z C-R podmíek plye, že 2x = 2x a 2y = 2y. Tyto rovice jsou splěy je v bodě (0, 0). To zameá, že derivace (z 2 ) existuje je v bodě z = 0 a platí (z 2 ) = u v (0, 0) + j (0, 0) = 0 + j0 = 0. x x 11

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limity - 7 - Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé Spojitost a limity Defiice -okolím bodu a azýváme iterval ( a a ) Redukovaým -okolím bodu a azýváme sjedoceí itervalů a a a a Spojitost

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Jaroslav Hačl, CSc. Ja Šustek OSTRAVA 00 0. ÚVOD 0.. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH Průvodce studiem vstup autora do tetu, specifický

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

5 Křivkové a plošné integrály

5 Křivkové a plošné integrály - 7 - Křivkové a plošé itegrály 5 Křivkové a plošé itegrály 51 Křivky Pozámka V této kapitole se budeme zabývat obecými křivkami v Vždy však můžeme položit = 2 či = a přejít tak k speciálím případům roviy

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor.

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor. 5 PŘEDNÁŠKA 5: Jedorozměrý a třírozměrý harmoický oscilátor. Půjde o spektrum harmoického oscilátoru emá to ic společého se spektrem atomu ebo se spektrálími čarami atomu. Liší se to právě poteciálem!

Více

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1.

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1. DIM PaS. Připomeutí pozatků ze středí školy Faktoriály a kombiačí čísla základí vzorce: ( )( 2 )...2.! =. 0! = =! ( k)! k! ( )...( k ). + = k! = k + + = k + k + 2 2 ( a + b) = a + a b+ a b +... + a b +...

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa...

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa... IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

Těžiště a moment setrvačnosti Nalezení práce polohy těžiště a momentu setrvačnosti vůči zadané ose u homogenních těles v třírozměrném prostoru.

Těžiště a moment setrvačnosti Nalezení práce polohy těžiště a momentu setrvačnosti vůči zadané ose u homogenních těles v třírozměrném prostoru. Těžiště a momet setrvačosti Naleeí práce polohy těžiště a mometu setrvačosti vůči adaé ose u homogeích těles v tříroměrém prostoru. Př. 1 Najděte těžiště a momet setrvačosti kulové vrstvy vůči rotačí ose

Více

3 - Póly, nuly a odezvy

3 - Póly, nuly a odezvy 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 5 3--5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeosu jsou kořey jmeovatele pro gs () = bs () as () jsou to komplexí čísla si: as ( i) = pokud

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více