1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

Transkript

1 .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících výrzů jsou mohočley. ) x y x + y x c) x + y x + y d) x 8 x + x + 8 ) x y x + y - je mohočle dvou proměých. x 8 x + - eí mohočle (x je ve jmeovteli záporá moci x ). c) x + y x + y - eí mohočle (obshuje odmociu z x). d) x x je mohočle (obshuje zlomek, le bez ezámé ve jmeovteli). I mohočley mjí přesou defiici. Pedgogická pozámk: Zdáí ásledujícího příkldu žáci vidí tk mximálě miutu, předem říkám, že v ěm musí jít prvidelosti, podle kterých by pk dokázli přepst defiici z hlvy. N tupé boucháí do hlvy čs estčí. Př. : Přečti si defiici mohočleu, tk bys ji byl schope po schováí textu pst zpměti do sešitu. Mohočle (Polyom) s jedou proměou je výrz, který se dá zpst jko: x + x + x x + x +, kde ; ; ;...; jsou reálá čísl, je celé ezáporé číslo x je proměá. Prvidelosti logické postřehy: části (správě čley) x, číslo u x je moci, u kostty jde o dolí idex (rozlišující jedotlivá od sebe), čley jsou stejé, pouze se zmešuje číslo,, (postupě se zmešují mociy x), řd kočí čley x + (zřejmě se epíše zbytečé x = ), x je proměá (jko obvykle), je celé ezáporé číslo (vystupuje jko moci mohočleu, ulu přidáváme kvůli posledímu čleu), i jsou reálá čísl (mociy x můžeme ásobit čímkoliv). Přesá defiice mohočleu s jedou proměou

2 Mohočle (Polyom) s jedou proměou je výrz, který se dá zpst jko: x + x + x x + x +, kde ; ; ;...; jsou reálá čísl, je celé ezáporé číslo x je proměá. Názvosloví je-li říkáme, že mohočle je -tého stupě, je pk stupeň mohočleu,,...,, koeficiety mohočleu (pouze reálá čísl před mociou ezámé) čley mohočleu = souči koeficietu s odpovídjící mociou x, x ezámé (obecě se to píše tkto: čle mohočleu je výrz ve tvru k x, kde k ) x x x k bsolutí čle lieárí čle kvdrtický čle kubický čle lieárí mohočle (mohočle. řádu, čstěji se píše místo x + x + x + b ) kvdrtický mohočle (mohočle. řádu, čstěji se píše místo x + x + x + x + x + bx + c ) Pedgogická pozámk: Žáci si opisují pouze defiici, tbulku e. Údje z í si připisují pomocí šipek do defiice. Ušetří se tk hodě čsu. Pedgogická pozámk: Vždycky si povídáme o tom, že pojmeováí čleů je logické: bsolutí = eměý (bez proměé), lieárí = lieárí fukce, kvdrtický = blbout kvdrát, kubický = kubík vody (objemová jedotk). Pedgogická pozámk: Následující dv příkldy mohou působit zbytečě, le zkušeost jedozčě ukzuje, že obecé zápisy děljí studetům obrovské problémy. Ačkoliv se s imi v učebicích setkávjí poměrě čsto (ebo by se spíš setkávt měli), je velmi málo z ich se sží jkýmkoliv způsobem iterpretovt, co vlstě zmejí. Př. : Je dá mohočle π. Npiš jeho kvdrtický čle. x + x x +. Urči jeho stupeň jeho koeficiety,, Npíšeme si pod sebe obecý tvr kokrétí mohočle, porováím získáme hodoty koeficietů. x + x + x + x + x π x + Z porováí je zřejmé, že pltí: = = = π = kvdrtický čle: x.

3 Př. : Je dá mohočle x x +. Urči jeho stupeň všechy jeho koeficiety (tedy čísl,,...,, ). Urči hodotu koeficietu. = (protože ejvyšší moci x je čtvrtá) = = ( = ) = (mohočle eobshuje žádý čle s x ) = (před x je ) = ( je vždy před x když tm x eí tk to zmeá, že je vyásobeé ulou tedy = ) = ( je koeficiet bez x) = = = Pedgogická pozámk: Žáci většiou píší koeficiety s kokrétím idexem. Koeficiety s pk doděláváme s ápovědou od tbule. Pedgogická pozámk: Ve zbytku hodiy už máme přeputo je zdáí příkldů. Žáci dokáží postupovt smi. Seřzeí mohočleu Je zvykem zpisovt jedotlivé čley mohočleu v pořdí podle moci, s ejvyššími mocimi zčátku. Dodržováí této kovece usdňuje zápis, jeho kotrolu urychluje počítáí. My budeme všechy mohočley uvádět seřzeé. Př. 5: Seřď mohočley do kovečího pořdí: ) x x + + x x y x + x + xy + x ) x x + + x = x x + x + x y x x xy x x x y x xy x = Opčý mohočle Koeficiety opčého mohočleu jsou čísl ke koeficietům původímu mohočleu. Př. 6: Njdi opčý mohočle k mohočleu x x + x. Opčý mohočle: x + x x +. Součet mohočleů Mohočley sečteme tk, že sečteme koeficiety odpovídjících si čleů mohočleu (čley se stejou mociou x pokud máme jedu ezámou, pokud je ezámých víc musí být mociy všech stejé). Př. 7: Sečti mohočley. ) x + x x + 5 x x + x

4 x xy + x x y xy x + Urči koeficiet u výsledých mohočleů. ) x + x x x x + x = x + x x + Koeficiet je reálé číslo, které se chází u x =. x xy x x y xy x x x y xy xy x x = = x + x y xy + x + Koeficiet je reálé číslo, které se chází u x =. Rozdíl mohočleů Mohočley odečteme tk, že k prvímu mohočleu přičteme mohočle opčý k druhému (odečítému) mohočleu. Př. 8: Urči rozdíl mohočleů. x + x x + 5 x x + x ) ( x ) xy x x y xy x + +. ) x x x x x x x x x x x x = = = x x + x x + 9 x xy x x y xy x x xy x x y xy x + + = = = = x x y xy xy x x x x y xy x 5 Příště už budeme počítt bez mezikroku, rovou: x + x x + 5 x x + x = x x + x x + 9. Př. 9: Zjedoduš. x + x + x + x x + ) x x + x( x x + ) x ( x x ) x x x x x x x x x x = = ) = = + x x x x x x 5x x x + x x x + x x x = x x + x x + x x + x + x = x + x x + x x + x x + x = x x

5 Shrutí: Mohočle je speciálí typ výrzu, kde jsou ezámé pouze v přirozeých mociách. 5