Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?"

Transkript

1 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí platí. Předpokládejme, že tvrzeí platí pro a dokazujme jej pro + 1. Máme, že (1 + x) +1 = (1 + x)(1 + x) a podle idukčího předpokladu je (1 + x) 1 + x. Protoˇze 1 + x 0, je také (1+x) +1 = (1+x)(1+x) (1+x)(1+x) = 1+x+x+x = 1+(+1)x+x 1+(+1)x, ( ) ebot sčítaec x je ezáporé číslo. Tím jsme ukázali, že (1 + x) ( + 1)x a důkaz je hotov. (b) Pokud předpokládáme x, pak předchozí důkaz eprojde, ebot 1 + x můˇze být záporé číslo a prví erovost a řádku ( ) emusí být pravdivá. Pro důkaz můˇzeme použít idukci ob jede čle: pro = 1 a = tvrzeí platí, ebot 1 + x = 1 + x, (1 + x) = 1 + x + x 1 + x. Předpokládejme, ˇze tvrzeí platí pro a dokazujme ho pro +. (!) Předpokládáme tedy, že (1 + x) 1 + x. Potom také (1 + x) + = (1 + x) (1 + x) (1 + x) (1 + x), ebot (1 + x) je kladé číslo (a přeásobeím kladým číslem se smysl erovosti eměí). Zbývá ukázat, zda (1 + x) (1 + x)? 1 + ( + )x. Na pravé a levé straě dostaeme po rozásobeí po zkráceí a vytkutí 1 + x + x + x + x + x 3? 1 + x + x x + x + x 3? 0 x (1 + + x)? 0 Posledí erovost je pravdivá, právě kdyˇz x 0, tedy pokud x 1 pro kaˇzdé přirozeé. Coˇz samozřejmě kaˇzdé x splňuje. Posledí erovost tedy pravdivá je a díky tomu, že jsme používali pouze ekvivaletí úpravy, jsou pravdivé také všechy předcházející. (c) Nerovost eplatí obecě. Například eplatí pro = 3 a x = 4 (dosad te si). Lze dokázat o ěco složitějšími prostředky, že pro každé x < existuje přirozeé takové, že Beroulliova erovost eplatí. 1 1 ) Aˇz budete umět počítat limity, bude pro vás sadé ukázat, ˇze lim (1 + x) ( + 1)x =, coˇz zhruba řečeo zameá ejeom, ˇze (1+x) +1 je meší eˇz 1+(+1)x pro hodě velká, ale dokoce mohem meší. 1

2 Cvičeí 1.. Dokažte erovost mezi aritmetickým a geometrickým průměrem kladých čísel. To jest, kdykoliv N a x 1,..., x 0, potom x x x 1 x... x Prví řešeí: Pro = 1 tvrzeí platí. Předpokládejme, že platí pro a dokazujme pro + 1. Ozačme µ = x x + x Chceme dokázat, ˇze µ +1 x 1 x... x x +1. Pokud x 1 =... = x +1, potom tvrzeí zřejmě platí. Pokud si ejsou všecha čísla rova, existuje alespoň jedo, které je větší ež průměr µ a alespoň jedo, které je meší ež průměr µ. Případým přezačeím můžeme bez újmy a obecosti předpokládat, že x > µ a x +1 < µ. Tudíž x µ + x +1 µ µ x x +1 = (x µ)(µ x +1 ) > 0. ( ) Nyí poloˇzme x = x + x +1 µ. Zřejmě tedy x je kladé číslo. A platí, ˇze tudíˇz tedy a tedy x = x + x +1 µ x µ > 0, ( + 1)µ = x x + x +1, µ = x x 1 + (x + x +1 µ), µ = x x 1 + x, µ = x x 1 + x. Tudíˇz µ je aritmetický průměr čísel x 1,..., x 1, x a podle idukčího předpokladu musí být větší eˇz jejich geometrický průměr. Tudíˇz eboli Odtud máme, ˇze Pokud dokážeme, že jsme hotovi. K tomu stačí dokázat, ˇze µ x 1... x 1 x, µ x 1... x 1 x. µ +1 x 1... x 1 x µ. x 1... x 1 x µ x 1... x 1 x x +1, x µ x x +1. Je ale x µ x x +1 = (x + x +1 µ)µ = x µ + x +1 µ µ x x +1 > 0

3 podle vztahu ( ). Jsme hotovi. QED (Z důkazu je avíc vidět, ˇze pokud si ejsou všecha čísla rova, pak je erovost ostrá.) Druhé řešeí zpětou idukcí: 1. Pro = lze tvrzeí dokázat čistě algebraicky. Nerovost x 1 + x x 1 x je pro ezáporá čísla x 1, x po umocěí postupě ekvivaletí erovostem (x 1 + x ) 4 x 1 + x 1 x + x 4 x 1 x x 1 x 0 a posledí erovost je pravdivá. x 1 x 1 x + x 0 4 (x 1 x ) 0 4. Pokud = k, kde k je přirozeé číslo, pak můˇzeme pouˇzít idukci přes k. Pro k = 1 jsme tvrzeí dokázali výše. Platí-li pro k 1, pak pro k jej dostaeme ásledově: x x k k = yí použijeme idukčí předpoklad pro k 1 x x k 1 + x k x k k 1 k 1 k 1 x1... x k 1 + k 1 x k x k a yí pro k = 1 k 1 x1... x k 1 k 1 x k x k = k x1... x k 1x k x k 3. Nakoec, pokud je libovolé přirozeé číslo, potom bud k takové, ˇze k >. Bud µ = x x a položme x +1 = x + =... = x k = µ. Potom µ = x x = m (x x ) m = x x + m (x x ) m = x x m m > > m x 1... x m = m x 1... x m µ m, odkud přímočaře plye, že µ m > x 1... x µ m, a tedy µ > x 1... x, µ > x 1... x, coˇz jsme chtěli dokázat. QED 3

4 Cvičeí 1.3. Dokažte idukcí, že pro každé přirozeé platí ( ) + 1!. Pro = 1 tvrzeí platí, ebot 1! = 1 a ( 1+1 )1 = 1. Předpokládejme, ˇze tvrzeí platí pro pevě zvoleé N a dokazujme jej pro + 1. Je ( ) + 1 ( + 1)! =! ( + 1) ( + 1) = ( + 1)+1. Zbývá dokázat, ˇze coˇz je ekvivaletí erovosti ( + 1) +1 ( + )+1 +1, ( ) Vyuˇzitím Beroulliovy erovosti s + 1 amísto ale máme čímž je důkaz hotov. QED ( ) +1 ( + = ) =, 4

5 Druhý prosemiář Cvičeí.1. Rozhoděte o pravdivosti a egujte výrok x N y N z N : (z > x = y < z). Výrok je pravdivý, volte y > x. Negace má tvar x N y N z N : (z x y < z). Lze ahlédout, že výrok je epravdivý. At volíme x jakkoli, při volbě y = x podmíka vpravo emůže platit pro žádé z, ebot eí současě možé, aby z x a z > x = y. Cvičeí.. Rozhoděte, zda platí ((a = b) = c) (a = (b = c)). Tvrzeí eplatí obecě. Platí, pokud c je pravdivý výrok ebo a je pravdivý a b a c epravdivé. Řešit lze bud pravděpodobostí tabulkou, aebo úpravami pomocí tautologií (p = q) ( p q), (p q) p q. Potom je zatímco [(a = b) = c] [( a b) = c] [ ( a b) c] [(a b) c], [a = (b = c)] [a = ( b c)] [ a ( b c)] [ a b c]. Cvičeí.3. Rozhoděte, zda platí (A B) C = A (B C), pro libovolé možiy A, B a C, kde A B = (A \ B) (B \ A). Ao, tvrzeí platí. Lze dokazovat pomocí Veových diagramů ebo lze postupě ahlédout, ˇze x (A B), pokud leˇzí v A ebo v B, ale e v obou zároveň, a tudíˇz x (A B) C, pokud leží v C ebo v A B, ale e v obou zároveň. Tudíž x (A B) C, právě když x leží v A, B ebo C, ale ikoli ve dvou či všech třech zároveň. Zcela aalogicky lze postupovat i ve druhém případě, vyjde totéž. Cvičeí.4. Dokažte de Morgaova pravidla: A \ i I B i = i I(A \ B i ) A \ i I B i = i I(A \ B i ) Dokaˇzme (A \ B i ) (A \ B i ). Budiˇz x (A \ B i ). To zameá, ˇze x leˇzí v A a eleˇzí v průiku B i. Tudíž existuje i 0 I, že x eleží v B i0, tudíž leží v A \ B i0 a tudíž i ve sjedoceí (A \ B i ). Dokažme yí opačou ikluzi, (A \ B i ) (A \ B i ). Pokud x (A \ B i ), pak existuje i 0, že x A a x B i0. Tudíž x B i, a tudíž x A \ B i. Druhé pravidlo se dokazuje podobě. 5

6 Cvičeí.5. Charakterizujte zobrazeí f : M L, pro která platí: (a) A M : f 1 (f(a)) = A (c) A, B M : f(a B) = f(a) f(b) (e) A, B M : f(a \ B) f(a) \ f(b) (b) B L : f(f 1 (B)) = B (d) A, B M : f(a \ B) f(a) \ f(b) (f) A, B M : f(a B) = f(a) f(b) (a) Pro f prosté. Pokud eí, existují x, y A se stejým obrazem f(x) = f(y). Je tedy f({x}) = {f(x)}, ale f 1 (f({x})) = f 1 ({f(x)}) {x, y}. Pokud je, kaˇzdému prvku odpovídá právě jede obraz. Je-li x A, pak f(x) f(a), a tudíˇz existuje x f 1 (f(a)) tak, že f( x) = f(x). Protože f je prosté, je x = x, a tudíž x f 1 (f(a)). Naopak, je-li x f 1 (f(a)), pak f(x) f(a), a tudíž utě x A, ebot f je prosté. Pokud by totiž z A a f(z) f(a), pak f(z) má ějaký vzor v A, utě tedy odlišý od x, což je spor s tím, ˇze f je prosté. (b) Rovost platí pro zobrazeí f a L, kde L je cílová moˇzia. Pokud f eí a, vol B = L. Potom f 1 (L) = D f je defiičí obor f, ale f(f 1 (L)) = f(d f ) L, protoˇze f eí a. Pokud f je zobrazeí a L, pak rovost platí. Je-li y A L, pak podle předpokladu, že jde o zobrazeí a, má alespoň jede vzor x f 1 (A), že f(x) = y. Ale y = f(x) f(f 1 (A)), tudíž jeda ikluze je dokázáa. Opačá ikluze se dokáže takto: je-li y f(f 1 (B)), potom y je obraz f(x) pro ějaký prvek x f 1 (B). Ale teto prvek je v možiě vzorů B, existuje tedy ỹ B takové, ˇze f(x) = ỹ. Protoˇze zobrazeí má jedozačě určeý obraz, je utě y = ỹ, a tudíˇz y B. QED (c) Platí pro libovolé zobrazeí f. Je-li y f(a) f(b), potom y má vzor v A ebo B, tedy y má vzor v A B, tudíž y f(a B). Naopak, pokud y f(a B), potom má vzor v A B, tudíž má vzor v A ebo v B, a tudíž patří do f(a) či do f(b), je tedy y f(a) f(b). QED (d) Pro f prosté. Pokud f eí prosté, potom existují x a y se stejým obrazem f(x) = f(y). Vol A = {x} a B = {y}. Potom f(a \ B) = {f(x)}, ale f(a) \ f(b) = {f(x)} \ {f(x)} =. Naopak, je-li f prosté, potom platí dokoce rovost (viz e)). Každopádě, je-li y f(a \ B), pak má vzor x A \ B, a tudíˇz f(x) f(a), a přitom f(x) f(b) kvůli prostotě: kdyby f(x) f(b), měl by prvek f(x) ještě jede vzor v B odlišý od x, coˇz elze. Tudíˇz f(x) f(a) \ f(b). QED (e) Platí pro libovolé zobrazeí f. Je-li y f(a) \ f(b), pak y f(a), tudíž y má vzor x A, a přitom teto vzor emůže ležet v B, ebot f(x) = y f(b). Tudíž x A \ B, a tedy y = f(x) f(a \ B). QED (f) Pro obecé zobrazeí f platí pouze jeda ikluze, a to f(a B) f(a) f(b). Je-li totiˇz y f(a B), pak y má vzor x A B, tudíˇz f(x) f(a) i f(x) f(b), a tedy y = f(x) f(a) f(b). Naopak, pokud y f(a) f(b), pak musí mít vzor x 1 A a vzor x B, ale tyto vzory emusí být utě stejé. Pokud položíme A = {x 1 } a B = {x }, pak f(a B) = f({ }) =, ale pochopitelě f(a) f(b). Nahlédeme, že rovost opět obecě platí, pokud f je prosté. Předchozí příklad ukazuje, že rovost platit emůže, pokud f prosté eí. Naopak, pokud f je prosté a y f(a) f(b) a x 1 A, x B jsou vzory, pak díky prostotě je utě x 1 = x = x, kde tedy x A B, a tudíˇz y = f(x) f(a B). QED. Cvičeí.6. ( ) Je zobrazeí f : N N N defiovaé předpisem prosté? f(x, y) = (x + y)(x + y + 1) 6 + y

7 Ptáme se, zda z rovosti (x 1 + y 1 )(x 1 + y 1 + 1) + y 1 = (x + y )(x + y + 1) uˇz utě vyplývá, ˇze x 1 = x a y 1 = y za předpokladu, ˇze jde o přirozeá čísla. Poloˇzme yí u 1 = x 1 + y 1 a u = x + y. Tedy máme u 1 (u 1 + 1) + y 1 = u (u + 1) + y. 1. Sado ahlédeme, že pokud u 1 = u, potom zlomky jsou stejé, zkrátí se, a tedy utě y 1 = y. Ale pokud y 1 = y a u 1 = u, to jest x 1 + y 1 = x + y, pak utě také x 1 = x.. Pokud u 1 u, pak jedo z těchto přirozeých čísel je větší. Bez újmy a obecosti třeba u. Protože pro libovolé přirozeé číslo platí, že + y = dostáváme pomocí tohoto vztahu, ˇze rovost ( + 1), lze přepsat do tvaru u 1 (u 1 + 1) + y 1 = u (u + 1) + y u 1 + y 1 = u 1 + (u 1 + 1) u + y a odečteím stejých sčítaců a levé i pravé straě dostaeme, ˇze Protože u 1 = x 1 + y 1, máme a tudíˇz y 1 = (u 1 + 1) + (u 1 + ) u + y. y 1 = (x 1 + y 1 + 1) + (u 1 + ) u + y, 0 = (x 1 + 1) + (u 1 + ) u + y. Nyí a levé straě je ula, zatímco a pravé je přirozeé číslo. Rovost tedy astat emůˇze. Cvičeí.7. Vyšetřete bez použití derivace, a kterých itervalech jsou ásledující reálé fukce mootóí: (a) f(x) = 3x+ (b) f(x) = x + 1 x 3 x (c*) f(x) = 3 si x + cos x (d*) f(x) si x + 3 si x (a) Je 3x + x 3 = 3(x + ) 3 (x 3) = 3(x ) 3 (x 3) = = 3(x 3) (x 3) = (x 3). Fukce y 1 = 3 je kostatí, fukce y = 9 + je zřejmě mootóí a itervalech (, 3) (x 3 ) a ( 3, + ). Totéˇz tedy platí i o původí fukci. 7

8 (b) Řešme, kdy x+ 1 = x +1 je mootóí. Na itervalu (0, + ) řešme erovici f(x) > f(y), x x po dosazeí x + 1 > y + 1. x y Díky kladosti x, y x y + y > y x + x x y y x + y x > 0 xy(x y) + (y x) > 0 (x y)(xy 1) > 0 Posledí levá straa je kladá, pokud x > y a xy > 1 ebo x < y a xy < 1. Rozeberme ásledující případy: 1. Pokud x = 1, potom (1 y)(y 1) = (y 1) < 0 vždy (kromě y = 1), tudíž v bodě 1 má fukce ostré miimum vzhledem k itervalu (0, + ).. Pokud x < 1 a y < 1, potom xy < 1 a z erovosti x < y vyplývá (x y)(xy 1) > 0, tudíˇz f(x) > f(y) a a (0, 1) je tedy fukce klesající. 3. Pokud x > 1 a y > 1, potom xy > 1. Z erovosti x > y pak vyplývá, ˇze f(x) > f(y) a fukce je a itervalu (1, + ) rostoucí. 4. Protože f je lichá fukce, je klesající a ( 1, 0) a rostoucí a (, 1) a v bodě 1 má ostré maximum vzhledem k itervalu (, 0). (c*) Platí, že a + b si(cx + d) = a + b si(cx) cos d + b cos(cx) si d. Potřebuji, aby c = 1, b cos d = 3, b si d = 1 a a = 0. Odtud vyplývá, ˇze a b =. Tudíž jsme dostali rovost a zbytek je zřejmý. (d*) Protože si x = výše máme, ˇze Zbytek je zřejmý. b si d b cos d = 1 = tg d = 1 = d = π si x + cos x = si(x + π 6 ) 1+cos x, je si x + 3 si x = 1 + cos x + 3 si x a podobě jako cos x + 3 si x = si(4x + π 6 ). Cvičeí.8. Zjistěte předpis pro složeá zobrazeí f f a f f f pro f(x) = 1 1 x. obdobě (f f)(x) = f(f(x)) = (f f f)(x) = f(f(f(x))) = 1 1 f(x) = 1 1 1, 1 x 1 1 f(f(x)) = f(x) = x Cvičeí.9. Určete obor hodot reálé fukce f(x) = 6x + 3x

9 Úpravou máme, ˇze 6x + 3x + 1 = 6 (x + 1 ) ( x + 1 = 6 x + 1 ) , odkud vidíme, že H f = 1 6 4, + ), protože je zámo, že kvadratická fukce (x ) abývá hodot mezi ulou (včetě) a +. Další příklady Cvičeí.10. Necht A, A 1, A X a B, B 1, B Y. Ukažte, že pro daé zobrazeí f : X Y obecě platí: (a) f(a 1 A ) = f(a 1 ) f(a ) (b) f(a 1 A ) f(a 1 ) f(a ) (Pro která f platí rovost?) (c) f 1 (B 1 B ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B ) (d) f 1 (B 1 B ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B ) (e) f(a) B A f 1 (B) (f) f(f 1 (B)) B (Pro která f platí rovost?) (g) f 1 (f(a)) A (Pro která f platí rovost?) (h) A 1 A = f(a 1 ) f(a ) (i) B 1 B = f 1 (B 1 ) f 1 (B ) (j) f 1 (Y \ B) = Y \ f 1 (B) (k) (f A ) 1 (B) = A f 1 (B) (l) f 1 (B 1 \ B ) = f 1 (B 1 ) \ f 1 (B ) (m) f(a 1 \ A ) f(a 1 ) \ f(a ) (Pro která f platí rovost?) Řešeí částí (a)-(d) je obsažeo v ásledujícím obecějším cvičeí. (e) Je-li f(a) B a x A, potom f(x) f(a), tedy f(x) B, a tudíž x f 1 (B). Naopak, je-li A f 1 (B) a y f(a), potom existuje x A tak, že f(x) = y. Ale potom x f 1 (B) a tudíˇz existuje y B tak, ˇze f(x) = y. Protoˇze obraz zobrazeí je jedozačě urče, je y = f(x) = y, a tedy y = y B. (f) Rovost platí pro zobrazeí f a L, kde L je cílová moˇzia. Pokud f eí a, vol B = L. Potom f 1 (L) = D f je defiičí obor f, ale f(f 1 (L)) = f(d f ) L, protože f eí a. Pokud f je zobrazeí a L, pak rovost platí. Je-li y A L, pak podle předpokladu, že jde o zobrazeí a, má alespoň jede vzor x f 1 (A), že f(x) = y. Ale y = f(x) f(f 1 (A)), tudíž jeda ikluze je dokázáa. Opačá ikluze se dokáže takto: je-li y f(f 1 (B)), potom y je obraz f(x) pro ějaký prvek x f 1 (B). Ale teto prvek je v moˇziě vzorů B, existuje tedy ỹ B takové, ˇze f(x) = ỹ. Protoˇze zobrazeí má jedozačě určeý obraz, je utě y = ỹ, a tudíˇz y B. QED (g) Pro f prosté. Pokud eí, existují x, y A se stejým obrazem f(x) = f(y). Je tedy f({x}) = {f(x)}, ale f 1 (f({x})) = f 1 ({f(x)}) {x, y}. Pokud je, každému prvku odpovídá právě jede obraz. Je-li x A, pak f(x) f(a), a tudíž existuje x f 1 (f(a)) tak, že f( x) = f(x). Protože f je prosté, je x = x, a tudíž x f 1 (f(a)). Naopak, je-li x f 1 (f(a)), pak f(x) f(a), a tudíˇz utě x A, ebot f je prosté. Pokud 9

10 by totiˇz z A a f(z) f(a), pak f(z) má ějaký vzor v A, utě tedy odlišý od x, coˇz je spor s tím, ˇze f je prosté. (h) Bud A 1 A a y f(a 1 ). Potom existuje x A 1, že y = f(x). Ale pak x A, a tudíž y = f(x) f(a ). (i) Viz obecější (l). (k) Pokud x A f 1 (B), potom f(x) f(a) f(f 1 (B)) f(a) B (užije se (f)). Naopak, pokud x (f A ) 1 (B), potom samozřejmě x A f 1 (B). QED (l) Pokud x f 1 (B 1 \ B ), pak f(x) B 1 \ B, tudíˇz f(x) B 1, a tedy x f 1 (B 1 ), ale f(x) B, tudíˇz f(x) f 1 (B ). Naopak, pokud x f 1 (B 1 ) \ f 1 (B ), potom f(x) B 1, ale f(x) B, tudíž f(x) B 1 \ B, a tudíž x f 1 (B 1 \ B ). QED (m) Je-li y f(a) \ f(b), pak y f(a), tudíž y má vzor x A, a přitom teto vzor emůže ležet v B, ebot f(x) = y f(b). Tudíž x A \ B, a tedy y = f(x) f(a \ B). QED Rovost platí pro f prosté. Pokud f eí prosté, potom existují x a y se stejým obrazem f(x) = f(y). Vol A = {x} a B = {y}. Potom f(a \ B) = {f(x)}, ale f(a) \ f(b) = {f(x)} \ {f(x)} =. Naopak, je-li f prosté, potom platí dokoce rovost (viz e)). Kaˇzdopádě, je-li y f(a \ B), pak má vzor x A \ B, a tudíž f(x) f(a), a přitom f(x) f(b) kvůli prostotě: kdyby f(x) f(b), měl by prvek f(x) ještě jede vzor v B odlišý od x, což elze. Tudíž f(x) f(a) \ f(b). QED Cvičeí.11. Necht I je možia, A i X a B i Y pro každé i I. Ukažte, že pro daé zobrazeí f : X Y obecě platí: (a) f( i I A i ) = i I f(a i ) (b) f( i I A i ) i I f(a i ) (Pro která f platí rovost?) (c) f 1 ( i I B i ) = i I f 1 (B i ) (d) f 1 ( i I B i ) = i I f 1 (B i ) (a) Je-li y f( A i ), potom existuje x A i, ˇze f(x) = y. Potom ale x A i0 pro ějaké i 0 I, tudíž f(x) f(a i0 ), a tedy y = f(x) f(a i ). Naopak, je-li y f(a i ), potom y f(a i0 ) pro ějaké i 0 I, tudíž existuje x A i0 tak, že f(x) = y. Ale tudíž x A i, a tedy y = f(x) f( A i ). QED (b) Je-li y f( A i ), potom existuje x A i tak, že f(x) = y. Tudíž pro každé i I je x A i, a tedy pro kaˇzdé i I je f(x) A i, tudíˇz y = f(x) f(a i ). Opačá ikluze platí, právě kdyˇz je zobrazeí f prosté: pokud f prosté eí, pak existují x, y X tak, ˇze f(x) = f(y). Defiujme A 1 = {x} a A = {y}. Pak f(a 1 A ) = f( ) =, ale f(a 1 ) f(a ) = {f(x)}. Naopak, je-li f prosté a y f(a i ), pak y f(a i ) pro každé i I a existují vzory x i A i tak, že f(x i ) = y. Ale u prostého zobrazeí může být vzor pouze jede, tudíž x i = x j pro každé i, j I, a tedy pro x := x i máme, že x A i. Tudíž y = f(x) f( A i ). QED (c) Je-li x f 1 ( B i ), pak f(x) B i, tudíˇz f(x) B i0 pro vhodé i 0 I, a tedy x f 1 (B i0 ), tudíˇz x f 1 (B i ). Naopak, je-li x f 1 (B i ), pak x f 1 (B i0 ) pro vhodé i 0 I, tudíˇz f(x) B i0, tudíˇz f(x) B i, tudíˇz x f 1 ( B i ). QED (d) Je-li x f 1 ( B i ), pak f(x) B i, tudíž f(x) B i pro všecha i I, a tedy x f 1 (B i ) pro všecha i I, tudíž x f 1 (B i ). Naopak, je-li x f 1 (B i ), pak x f 1 (B i ) pro všecha i I, tudíž f(x) B i pro všecha i I, tudíž f(x) B i, tudíž x f 1 ( B i ). QED 10

11 3 Třetí prosemiář Z předchozího: de Morgaova pravidla. Cvičeí 3.1. Dokažte de Morgaova pravidla: A \ B i = \ B i ) i I i I(A A \ i I B i = i I(A \ B i ) Dokaˇzme (A \ B i ) (A \ B i ). Budiˇz x (A \ B i ). To zameá, ˇze x leˇzí v A a eleˇzí v průiku B i. Tudíž existuje i 0 I, že x eleží v B i0, tudíž leží v A \ B i0 a tudíž i ve sjedoceí (A \ B i ). Dokažme yí opačou ikluzi, (A \ B i ) (A \ B i ). Pokud x (A \ B i ), pak existuje i 0, že x A a x B i0. Tudíž x B i, a tudíž x A \ B i. Druhé pravidlo se dokazuje podobě. Cvičeí 3.. Dokažte z axiomů uspořádaého tělesa R, že platí (a) x < y x > y. (b) Možia je omezeá, právě když je shora i zdola omezeá. (c) Pro x, y > 0 a N platí: x > y x > y. Připomeňme, ˇze: 1. Moˇzia A R je shora omezeá, pokud existuje M R tak, ˇze pro kaˇzdé x A je x M.. Možia A R je zdola omezeá, pokud existuje m R tak, že pro každé x A je x m. 3. Možia A R je omezeá, pokud existuje K R tak, že pro každé x A je x K. Absolutí hodotu defiujeme (apříklad) jako a = max{a, a}, což můžeme, ebot z axiomů uspořádáí víme, že každá dvě reálá čísla jsou porovatelá, a tudíž platí a a ebo a a. Odtud mimochodem vyplývá, že a a i a a. Nebo můžeme absolutí hodotu defiovat takto: a = a pro a 0, a = a pro a < 0. Protoˇze pro a > 0 je zřejmě a > a (z axiomů uspořádáí), je a = a = max{a, a}. Obdobě pro a < 0 je a = a > a, tudíˇz a = max{ a, a}. Obě defiice jsou tedy ekvivaletí. Řešeí: (a) Podle axiomu svazujícímu erovost a operaci sčítáí platí x < y = x + a < y + a a R. Přičteím ( a) k oběma straám druhé erovosti podle téhoˇz axiomu ale vyplývá, ˇze x + a < y + a = x + a + ( a) < y + a + ( a) x < y, takže Odtud x < y x + a < y + a a R. ( ) x < y x + ( x) < y + ( x) 0 < y + ( x) 0 + ( y) < y + ( x) + ( y) 11

12 y < y + ( y) + ( x) y < 0 + ( x) y < x. V prví a třetí ekvivaleci jsme použili ( ), druhá je axiom o opačém prvku, třetí axiom o ulovém prvku a komutativitě sčítáí, pátá axiom o opačém prvku a šestá axiom o ulovém prvku. (b) Jestliže možia A je omezeá, potom x K pro každé x A. Evidetě K 0. Položme m = K a M = K. Potom a tudíž možia A je shora i zdola omezeá. x x K = M, x x K = m, Naopak, je-li moˇzia A shora i zdola omezeá, tj. existují m, M R tak, ˇze m x M pro kaˇzdé x A, potom pooˇzme K = max{ m, M }. Pak máme, ˇze x M M K, x m m K, a z erovostí x K a x K uˇz plye, ˇze x = max{x, x} K. (c) Bud te x, y > 0, N a x < y. Potom z axiomu uspořádáí (přeásobeí kladým číslem) máme x > y = x x > y x ax > y = x y > y y, z trazitivity potom vyplývá, ˇze x = x x > y x > y y = x x > y y = y Takto můˇzeme pokračovat -krát aebo postupovat idukcí. Naopak, bud te x, y > 0, N a x > y. Ukáˇzeme ejprve, ˇze pokud x > 0, pak 1 > 0. x Pokud by totiž 1 0, pak by po přeásobeí kladým číslem x bylo x Coˇz je evidetí spor. Dále dokáˇzeme, ˇze 1 = x 1 x 0 x = 0. Je totiˇz x > y = 1 x < 1 y. x > y = x 1 x > y 1 x = 1 > y 1 x = 1 1 y > y 1 x 1 y = 1 y > 1 x. Odtud koečě máme, ˇze x > y = x 1 = 1 x x > 1 x y > 1 y y = y 1. A dále lze postupovat idukcí. Cvičeí 3.3. Dokažte pomocí axiomů uspořádaého tělesa R (a obvyklých pravidel aritmetiky) existeci a jedozačost -té odmociy kladého reálého čísla. Tedy, je-li a R, a > 0 a N, potom existuje právě jedo reálé číslo x takové, že x = a. Jaríkovo řešeí viz odkaz a www strákách. 1

13 Defiice limity poslouposti základí limity Defiice 3.1. Řekeme, že reálé číslo L je limitou poslouposti {a }, jestliže pro každé ε > 0 existuje 0 N tak, že pro každé 0 platí a L < ε. Začíme lim a = L, popřípadě lim a = L. Defiice 3.. Řekeme, že posloupost {a } má limitu +, jestliže pro každé K R existuje 0 N tak, že pro každé 0 platí a K. Začíme lim a = +, popřípadě lim a = +. Defiice 3.3. Řekeme, že posloupost {a } má limitu, jestliže pro každé K R existuje 0 N tak, že pro každé 0 platí a K. Začíme lim a =, popřípadě lim a =. Cvičeí 3.4. Dokažte, že lim c = c pro libovolé c R. Řešeí: Volme ε > 0 libovolě. Potom samozřejmě a L = c c = 0 < ε pro kaˇzdé N, stačí tedy volit 0 = 1. 1 Cvičeí 3.5. Dokažte, že lim = 0. Řešeí: Volme ε > 0 libovolě. Potom samozřejmě a L = 1 0 = 1 < ε tehdy a je tehdy, pokud > 1. Podle Archimedova axiomu existuje přirozeé číslo ε 0 > 1. Pak je pro ε každé 0 také 0 > 1. QED ε Cvičeí 3.6. Dokažte, že lim = +. Řešeí: Volme K R. Podle Archimedova axiomu ale existuje 0 0 platí také 0 > K. QED. > K, tudíˇz pro kaˇzdé Cvičeí 3.7. Dokažte ásledující tvrzeí: (a) Pokud k je přirozeé číslo a lim a = L > 0, potom lim k a = k L. (b) Pokud k je přirozeé číslo, lim a = 0 a a 0 pro každé N, potom lim k a = 0. (c) Pokud k je přirozeé číslo a lim a = 0, potom lim k a emusí existovat. (d) Pokud k je liché přirozeé číslo a lim a = L (e utě L > 0), potom lim k a = k L. (e) Pokud k je přirozeé číslo a lim a = +, potom lim k a = +. (f) Pokud k je liché přirozeé číslo a lim a =, potom lim k a =. Řešeí: (a) Uvědomme si ejprve, ˇze existuje δ > 0 tak, ˇze L δ > 0. Od ějakého idexu počíaje je a > L δ > 0, takˇze posloupost je od ějakého čleu počíaje dobře defiováa. Klíčem je ásledující úprava: k a k L = k a k 1 a L + k a k L + k a k 3 L k a 1 L k + k L. k 1 13

14 Jmeovatel tvoří součet kladých čísel, můˇzeme jej tedy zmešit (a celý zlomek zvětšit) tím, ˇze všechy aˇz a posledí vyecháme. Dostaeme, ˇze k a k L = k a k 1 + k a k L + k a k 3 a L L k a 1 L k + k L a L k. k 1 L k 1 Volme ε > 0. Protoˇze lim a = L, existuje idex 0 tak, ˇze pro 0 je a L < ε k L k 1. Odtud ale dostaeme, že pro 0 je k a k L = k a k 1 + k a k L + k a k 3 a L L k a 1 L k + k L a L k < ε. k 1 L k 1 (b) Podle předpokladů je posloupost korektě defiováa. Volme ε > 0. Zřejmě existuje ε > 0 tak, že ε < ε k, a tudíž k ε < ε. Protože lim a = 0, existuje 0 tak, že pro 0 je a < ε, a tudíž k a = k a < k ε < ε. QED (c) Uvažte a = ( 1) a k =. Potom posloupost (a ) eí defiováa (ai v širším smyslu od ějakého čleu počíaje). (d) Pro L 0 to víme z částí (a), (b). Pro L < 0 stačí uvážit, že lim k a = lim k a = lim k a = lim k L = lim k L = lim k L. (e) Volme K > 0. Protože lim a = +, existuje 0 tak, že pro 0 je a > K k. Tudíž pro 0 je k a > K. QED (f) Aalogicky jako v (d) ebo (e). 14

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí registračí číslo projektu: CZ07/500/098 IV- Iovace a zkvalitěí výuky směřující k rozvoji matematické gramotosti žáků středích škol ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Jaroslav Hačl, CSc. Ja Šustek OSTRAVA 00 0. ÚVOD 0.. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH Průvodce studiem vstup autora do tetu, specifický

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n

U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášky M. Krupky Zmí semestr 999/ 3. Iverzí a mplctí zobrazeí V této kaptole uvádíme dvě důležté věty, které acházeí aplkace v moha oblastech matematky: Větu o verzím a větu o

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limity - 7 - Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé Spojitost a limity Defiice -okolím bodu a azýváme iterval ( a a ) Redukovaým -okolím bodu a azýváme sjedoceí itervalů a a a a Spojitost

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

3. Limity posloupností

3. Limity posloupností 3. Limity posloupostí V této kapitole bude slovo posloupost zameat zobrazeí možiy Nebo obecějimožiy NN):= { Z; N},kde N Z)domožiy Rvšech koečých) reálých čísel. Je-li a posloupost, měli bychomv souladu

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Zákoy velkých čísel Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Ig. Lubomír Kubáček, DrSc.,

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 202 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Rozklady celých

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

Internetová matematická olympiáda listopadu ročník -autorská řešení

Internetová matematická olympiáda listopadu ročník -autorská řešení Iteretová matematická olympiáda - 24. listopadu 2009 2. ročík -autorská řešeí. Na ekoečě velkém čtverečkovaém papíře si zvolte mřížový bod A, který bude počátkem. Nadále se od bodu A můžete pohybovat pouze

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1

Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1 Komplexí čísla, komplexě sdružeá čísla, opačá komplexí čísla, absolutí hodota (modul) komplexího čísla Defiice komplexího čísla Komplexí číslo je uspořádaá dvojice reálých čísel = (, ) (, ). je reálá,

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více