Cyklické soustavy rovnic

Transkript

1 Cyklické soustavy rovnic Vít Vejtek Musil Abstrakt. Příspěvek se věnuje vybraným partiím ze soustav nelineárních rovnic cyklickým soustavám a metodám jejich řešení. Součástí příspěvku je sada cvičení snávody. Běžné středoškolské postupy při řešení soustav často selhávají pro soustavy rovnic nelineárních. Přesto existuje několik metod, které fungují na celou řadu cyklických soustav.připomeňmesi,žesoustavurovnicvproměnných x 1,x 2,...,x n nazveme cyklickou,pokudpřitzv.cyklickézáměně x 1 x 2,x 2 x 3,...,x n x 1 dostaneme tutéž soustavu. Procyklickousoustavutedytriviálněplatí,žepokudje[t 1,...,t n ]jejímřešením, pak každá cyklická záměna je rovněž řešením. Začněme příkladem, na kterém si ukážeme hned několik metod. Příklad. Řešte cyklickou soustavu ve třech proměnných x= 4y2 1+4y 2. Poznámka. Pro úsporu většinou nebudeme psát všechny rovnice, stačí nám znát první a počet proměnných. Všechny ostatní získáme cyklickou záměnou proměnných, které doplňujeme buď podle abecedy nebo s rostoucími indexy. Řešení.(Sečti a učtvercuj) Všimněme si, že zlomky na pravé straně nabývají pouze hodnot z intervalu 0, 1), řešení tedy hledáme právě v tomto oboru. Sečtením všech tří rovnic dostáváme 4x 2 4y2 4z2 1+4x2+ 1+4y2+ 1+4z2= x+y+z. Převedením na jednu stranu a úpravou dostáváme x(2x 1) 2 1+4x 2 + y(2y 1)2 z(2z 1)2 1+4y z 2 =0. Na levé straně máme součet tří nezáporných čísel a vpravo nulu. Rovnost nastává tehdy a jen tehdy, jsou-li všechny sčítance nulové. Pro x máme dvě možnosti, buď 25

2 CYKLICKÉ SOUSTAVY ROVNIC x=0,nebo x=1/2.dosazenímdotřetírovnicespočítámehodnotu yanásledně zdruhédostaneme z.celkemmámeprávědvěřešení[x,y,z]=[0,0,0]a[x,y,z]= [1/2, 1/2, 1/2]. Řešení.(Uspořádej poprvé) Označmesi f(x)=4x 2 /(1+4x 2 ).Pak flzeupravit do tvaru 1 f(x)= 1+ 1, 4x 2 odkudjesnadnovidět,že fjenaintervalu 0,1)rostoucí.Mámedvěmožnosti: (1) x y.potom f(x) f(y),cožjetotéžjako z x.opětaplikujeme f a máme f(z) f(x),neboli y z.celkem x y z x. (2) x y.postupujemestejněadokážeme x y z x. Musítedyplatit x=y=z,cožredukujesoustavunajednukvadratickourovnici, kterou snadno vyřešíme. Řešení.(Uspořádej podruhé) Buď f jakovýše.snadnoseukáže,že f(x) x. Potom aplikací této nerovnosti na všechny neznámé obdržíme anutně x=y= z.dopočetjenasnadě. x f(x)=z f(z)=y f(y)=x Řešení.(Substituce) Nahraďme x = tan(α)/2, y = tan(β)/2 a y = tan(γ)/2 pro α, β, γ 0, π/2). Dosadíme do zadaných rovnic a všechny vynásobíme. Pomocí goniometrických vzorců upravíme do tvaru tanαtanβtanγ ( 1 sin(2α)sin(2β)sin(2γ) ) =0, odkudbuďněkterézčísel α, βnebo γjerovnonule(tomuodpovídářešení x=y= z=0),nebojsouvšechnarovna π/4(čemužodpovídářešení x=y=z=1/2). Vyřešme si ještě další příklad, kde místo součtů budeme sledovat rozdíl. Příklad. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic x+y 2 = y 3, y+x 2 = x 3. Řešení.(Odečti a rozlož) Odečtěme od sebe obě rovnice Druhou závorku můžeme dále upravit (x 3 y 3 ) (x 2 y 2 )+(x y)=0, (x y)(x 2 +xy+y 2 x y+1)=0. x 2 +xy+y 2 x y+1= 1 2 (x+y) (x 1) (y 1)2. (MO 57 A III 1) Všechny čtverce nemohou být současně nulové, a proto je druhá závorka kladná. Musí tedybýt x=yasoustavadegenerujenajednurovnici,kterousnadnovyřešíme. 26

3 VÍT VEJTEK MUSIL Řešení.(Vyjádřiaumlať) Zdruhérovnicevyjádříme y=x 3 x 2 adosadímedo první. Dostaneme rovnici devátého stupně x 9 3x 8 +3x 7 2x 6 +2x 5 x 4 x=0. Položíme-li x=y,přejdepůvodnísoustavavjedinourovnici x 3 x 3 x=0,a protopolynomnalevéstraněmusíbýtdělitelnýpolynomem x 3 x 2 x.vydělením přejdeme k rovnici ( x 3 x 2 x )( x 6 2x 5 +2x 4 2x 3 +2x 2 x+1 ) =0, jejíždruházávorkajevždykladná,neboťjilzenapsatvetvaru ( x 3 x 2) 2 ( + x 2 x ) 2 ( ) + x Kdokončenítedystačídopočístpříslušnékořenyrovnice x 3 x 2 x=0. Řešení.(Uspořádej) Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že x > y. Definujme f(x)=x 3 x 2 x.pak flzepsátjako f(x)=x(x x 1 )(x x 2 ),kde x 1 jezáporný kořenax 2 kladný(kresletesi).máme x > y=x 3 x 2, tj. 0 > f(x) astejně y < x=y 3 y 2, tj. 0 < f(y). Musítedybýt x (,x 1 ) (0,x 2 )ay (x 1,0) (x 2, ),cožsevzhledem kpředpokladu x > yredukujena x (0,x 2 ), y (x 1,0). Tovšaknenímožné,neboťprototozáporné yjeix=y 3 y 2 záporné. Pozastavme se nyní u jednotlivých metod trochu podrobněji. Sečtiaučtvercuj Nadpisjasněříká,cochcemesúlohoudělat.Základemjenaučitsevidět,zekterých členů půjdou vyrobit čtverce. Znát vzorečky pro druhou mocninu dvojčlenu a trojčlenu je nutností. Ne vždy máme hned po sečtení ve hře všechny potřebné členy, občas je potřeba si chytře nějaké přidat. Tato metoda se hodí většinou na rovnice, ve kterých se vyskytují sudé mocniny a sudé součiny(např. Nxy). 27

4 CYKLICKÉ SOUSTAVY ROVNIC Příklad. Řešte cyklickou soustavu ve třech reálných proměnných x 4 +y 2 +4=5yz. Návod. Než budeme sčítat, upravme rovnice do tvaru (x 4 4x 2 +4)+4x 2 +y 2 =5yz. Po sečtení všech rovnic dostáváme (x 2 2) (x y) 2 =0. 2 cycl. Druhásumačtvercůříká,že x=y=z,prvnípak,žejejichhodnotaje ± 2. cycl. Odečtiarozlož Odečítat budeme dvojice rovnic tak, abychom se některých proměnných zbavili. Typicky odečítáme rovnici od jí následující a dostáváme rovnici pro pouze dvě neznámé. Vše převedeme na jednu stranu a hledáme výhodný rozklad na součin. Převážně vytýkáme rozdíly x y apod. Následně diskutujeme několik možností. Příklad. Řešte cyklickou soustavu ve třech reálných proměnných x 2 +2yz=x. Návod. Sečtením všech rovnic dostáváme (x+y+z) 2 = x+y+z, odkudsoučet x+y+zjerovennulenebojedné.odečtenímdruhérovniceodprvní získáme Nyní již stačí probrat několik možností. (x y)(x+y 2z 1)=0. 28

5 VÍT VEJTEK MUSIL Uspořádej Uspořádání proměnných jde použít pro soustavy rovnic o dvou proměnných nebo soustavy nejvýše tří rovnic pro tři neznámé. Na větší soustavy obecně použít nejde, neboť pro větší množství proměnných existuje velmi mnoho možných uspořádání. Tentoprincipsehodípřevážněprosoustavy,projejichžřešeníplatí x 1 = x 2 = =x n.žekaždácyklickásoustavatakovéřešenímítnemusí,jevidětzpříkladu 26 ve cvičení. Většinu uspořádatelných soustavporazímepomocíjednohoznásledujícíchdvou lemmat. Lemma1. Buďte f,g:i RfunkcerostoucínaintervaluI R.Potomprořešení soustavy f(x 1 )=g(x 2 ) f(x 2 )=g(x 3 ).. f(x n )=g(x 1 ) platí x 1 = x 2 = =x n. Lemma 2. Buďte I Rintervalahfunkceneklesajícínaintervalu I.Nechť funkce F:I I Rsplňujeprokaždé z I x y F(x,z) F(y,z), x y F(z,x) F(z,y). Potom pro řešení soustavy F(x,y)=h(z) F(y,z)=h(x) F(z,x)=h(y) platí h(x)=h(y)=h(z).je-linavíc hrostoucí,je x=y= z. Příklad. Řešte cyklickou soustavu v reálných proměnných a až z a 5 = b+b 5. Návod. Položme f(a)=a 5 a g(b)=b+b 5 apoužijemelemma1. Příklad. Řešte cyklickou soustavu ve třech reálných proměnných (x+y) 3 = z. Návod. Položme F(x,y)=(x+y) 3 a h(z)=z.aplikacílemmatu2dostáváme,že x=y= z,azbytekdopočítámesnadno. 29

6 CYKLICKÉ SOUSTAVY ROVNIC Další tipy Mezi další metody patří v úvodu naznačená substituce. Nahrazujeme proměnné či výrazy takovými funkcemi, pro které se situace výrazně zjednoduší. Pro goniometrické funkce platí mnoho identit, které lze s výhodou používat a někdy mohou být dobrým vodítkem pro volbu substituce. Kromě sčítání a odečítání rovnic může být účelné i jejich znásobení. Předtím je však dobré si rozmyslet, který člen dát na kterou stranu rovnice. Dalším trikem je použití nerovností. Může se nám podařit ukázat, že rovnice platí, právě když nastává rovnost v nerovnosti. Při počítání se snažíme zachytit okamžik, kdy již lze všechno vypočítat, tj. vyjádřit a dosadit. Uhodnout řešení. Podle řešení jde často poznat metoda řešení. Nikdy nezapomínejme na zkoušku. Cvičení Nebude-li řečeno jinak, řešíme cyklickou soustavu ve třech reálných proměnných. Příklad1. x 2 = xy. Příklad2. x+6=y 3. Příklad3. x 2 +1=2y. Příklad4. x= 1 y + 1 z. Příklad5. x 3 +1=2y. Příklad6. x+2y= 6z 1. Příklad7. x(x+1)=y(z+1). Příklad8. (x+y) 4 = z. Příklad9. x 2 3y+4=z. Příklad10. x 2 1=y+z. Příklad11. x 3 =2y 3 +y 2. Příklad12. x y z= x. Příklad13. x 4 +1=2yz. Příklad14. x 3 = y x+8. Příklad 15. x2 y=z 1. 30

7 VÍT VEJTEK MUSIL Příklad16. x 5 =5y 3 4z. Příklad17. x 2 +y+z=2. Příklad18. e x e x y = z,(x, y, znezáporná). Příklad 19. Řešte cyklickousoustavuvnezápornýchreálnýchproměnných x 1 až x 2013 x 1 + x x x x 1 = x 2. Příklad20. x 2 +y 2 +z=2. Příklad21. z+ln ( x+ x 2 +1 ) = y. Příklad22. 2x 2 +2xy+1=4z. Příklad23. x+ 1 x = 2 y 2. Příklad24. x+arctan(x+2y)=z π 3. Příklad25. x 2 +x 1=y. Příklad 26. Ověřte, že cyklická soustava ve třech proměnných 1 1 x = y mářešení[x,y,z]=[2, 1, 1 2 ].Ukažtedále,žetatosoustavanemářešení,prokteré byplatilo x=y= z. Příklad27. Řeštecyklickousoustavuvpětireálnýchproměnných x 2 1 = x 2+x 3. Příklad 28. Dokažte první lemma. Příklad 29. Dokažte druhé lemma. Návody 1.Sečtěte,upravtena (x y) 2 =0,řešení[t,t,t], t R.2.Lemma1,řešení x= y= z=2.3.sečtěte,upravtena (x 1) 2 =0,řešení x=y=z=1.4.odečtěte arozložtena(x y)(1 1 xy )=0,diskutujtemožnosti.Řešení x=y=z= ± 2. 5.Lemma1,třiřešení.6.Lemma2,řešení x=y=z= Sečtěte,upravtena (x y) 2 =0,řešení[t,t,t], t R.8. x,y,z R + 0,Lemma2na F(x,y)=(x+y)4, řešení x=y= z=0nebo16 1/3.9.Sečtěte,upravtena (x 2) 2 =0,řešení x=y=z =2.10.Odečtětearozložtena(x y)(x+y+1)=0,diskutujte možnosti.řešení x=y=z=1±2,nebo[0,0, 1]acykl.záměny.11.Lemma1, řešení x=y= z=1.12.lemma2pro F(x,y)=x( y 1),řešení x=y= z=0 nebo4.13.sečtěteaupravtena (x 2 1) 2 + (x y) 2 =0,řešení x=y= z= ±1. 14.Lemma1pro f(x)=x 3 +x,řešení x=y= z=2.15. x,y,z 1, ),Lemma 31

8 CYKLICKÉ SOUSTAVY ROVNIC 2pro F(x,y)=x+(y 1) 2, h(z)=z 2.Řešení x=y=z=1.16.lemma2, řešení[t,t,t]pro t {0,±1,±2}.17.Odečtětearozložtena(x y)(x+y 1)=0, diskutujtemožnosti.řešení x = y = z = 1 ± 3,nebo[1,1,0],[ 1, 1,2]a cykl.záměny.18.lemma2pro F(x,y)=e x (1 e y ),řešení x=y=z=0. 19.Lemma1,řešení x 1 = x 2 = = x 2013 = 0.20.Odečtětearozložtena (x z)(x+z 1)=0,diskutujtemožnosti.Řešení x=y=z= 1± 17 4,nebo [1,1,0],[ 1 2, 1 2,3 2 ]acykl.záměny.21.lemma2,řešení x=y= z=0.22.sečtěte aupravtena (x+y 1) 2 =0,řešení x=y= z= z+ 1 z = 2 x,a 2 proto x,y,z (0,1.PoužijteLemma1natomtointervalu,řešení x=y=z=1. 24.Lemma2pro F(x,y)=x+arctan(x+2y) π 3.Řešení x=y=z= Sečtenídává x 2 + y 2 + z 2 = 3,znásobenívetvaru x(x+1) = y+1dává (xyz 1)(x+1)(y+1)(z+1)=0.DiskutujtemožnostiavyužijteAGnerovnost. Řešení x=y = z = ±1.27.Ukažte,že x 1 = x 2 = =x 5.ProsporBÚNO předpokládejte,že x 2 1 jemaximálnízlevýchstran,odtudukažte,že x 1musíbýt zápornéax 2 5 <0.Řešení x 1 = x 2 = =x 5 =0nebo2.28.Předpokládejte,že x 1 x 2,pak f(x 1 ) f(x 2 ),cožjest g(x 2 ) g(x 3 )ax 2 x 3.Po nkrocíchmáme x n x 1.Stejněpro x 1 x 2.29.BÚNO xjemaximální.proberemedvěmožná uspořádání.buďte x y z.máme F(x,y)=h(z) h(x)=f(y,z) F(x,z) F(x,y)ah(x)=h(y)=h(z).Vpřípadě x z ypostupujemeobdobněazbytek snadno. Literatura a zdroje [1]J.Herman,R.Kučera,J.Šimša,MetodyřešenímatematickýchúlohI,MU, Brno, [2] Michal Rolínek, Josef Tkadlec, Seminář Umění vidět v matematice. [3] Vít Musil, Soustavy rovnic, Sborník Blansko Obůrka, jaro