Provedeme-li tuto transformaci v obecném modelu soustavy ve tvaru

Transkript

1 7. Redukce počtu tupňů volnoti O životnoti a polehlivoti outav rozhoduí do značné íry eí dynaické vlatnoti. Proto e outavy u nich e předpokládá dynaické zatěžovaní iž v návrhu podrobuí dynaický analýzá. Při odvozování ateatických odelů e za účele repektování co nevětší ožné íry hody geoetrií reálného tělea nebo outavy a z důvodů zenšení chyb způobených aproxiacei volí velký počet tupňů volnoti. Počet tupňů volnoti ůže být až řádu 1 6. akto etavené odely však neuožňuí efektivní a rychlý způob výpočtu dynaických vlatnotí. Proto e využívá ožnoti že pro zišťování dynaických vlatnotí tačí využít en oezené frekvenční páo ve které předpokládáe buzené outavy (ev. náobek tohoto páa) a proto ůžee ateatický potupe nížit počet tupňů volnoti tělea nebo outavy za předpokladu že nedode k výrazný zěná dynaických vlatnotí. ento proce e nazývá redukce počtu tupňů volnoti nebo také někdy kondenzace. Redukci počtu tupňů volnoti i tedy ůžee ednoduše definovat ako tranforaci odelu z protoru dienze n do protoru dienze přičež platí že n a dode k přibližnéu zachování základních dynaických vlatnotí v ité frekvenční intervalu. Rozah redukce lze zadat podle náleduící forule: Požaduee-li u redukovaného odelu vypočítat p prvních vlatních frekvencí blízkých vlatní frekvencí neredukovaného odelu uí počet redukovaných tupňů volnoti n plňovat podínku: { p p } n= in Redukce tranforací zobecnělých ouřadnic poto předpi tvaru Měe tranforační atici obecně typu [ n ]. ranforaci ouřadnic rozuíe () t = () t q x. Provedee-li tuto tranforaci v obecné odelu outavy ve tvaru () t + () t + () t = ( t) Mx Bx Kx f A vynáobíe-li celou rovnici zleva aticí () t + () t + () t = ( t) Mx Bx Kx f S aticei řádu kde M = M B = B a vektore buzení dienze f () t = f() t K = K dotanee redukovanou outavu ve Je-li některá z atic MBK neyetrická doporučue e také neyetrická tranforace typu

2 = 1 M B= B 1 M K = K pro 1 1. Za tranforační atici ůžee vybrat odální ubatici = V loženou z vlatních vektorů konzervativního odelu outavy. Pohybová rovnice poto přede do travu kde () t + () t + ( + ) ( t) = ( t) x V BV x Λ VKV x Vf a ( 1 ) Λ = VKV = diag Ω Ω Ω V případě že e edná o labě nekonzervativní outavu přede redukovaný odel do tvaru () t + () t + () t = ( t) x D x Λ x V f S diagonálníi aticei ( ) D = diag b Ω b Ω b Ω r1 1 r r ( 1 ) Λ = diag Ω Ω Ω. 7. Guyanova redukce (Statická redukce) Jedná e o veli rozšířenou etodu. Spočívá v rozdělení počtu tupňů volnoti na tzv. ater tupňů volnoti a n tzv. lave tupňů volnoti přičež platí že n. Mezi tzv. lave tupně volnoti ůžee vybírat en ty tupně volnoti ve kterých nepůobí žádné vněší budící íly. Model outavy e poto převede do tvaru M M q B B q K K q f + + = M M q B B q K K q kde atice typu X ( X= M B K ) ou yetrické řádu atice X ou také yetrické rádu n a atice X = X ou řádu [ n ] a obecně neuí být yetrické. Rozepíšee-li druhý řádek v předchozí rovnici a zanedbáe-li etrvačné a tluící íly dotanee tzv. kvazitatickou podínku rovnováhy ve tvaru K q + K q = Za předpokladu že atice K e regulární dotanee q = K K q 1 zv. lave ouřadnice eliinuee náleduící tranforací q I I = q = q K K K K Matice redukovaného odelu pak aí tvar () t

3 kde = X = X K K X X K K + K K X K K X M Ba () t = () t x q. Redukovaná atice tuhote ednodušší a á tvar K = K K K K. 1 ranforovaný vektor buzení f ( t) e identický původní. Vzhlede k tou že pro odvození redukovaných atic bylo použito kvazitatické podínky rovnováhy e Guyanova redukce aplikovatelná na labě tluené outavy které plňuí podínku nory ubatic atice hotnoti M M M éto podínky e dá doáhnout výběre tzv. ater ouřadnic kole kterých e outředěna hota. V případě diagonálně doinantních atic M a K pouzuee přílušnot kii k tzv. ater ouřadnici podle velikoti poěru γ ii = vzhlede k nevyšší očekávané ii frekvenci buzení ω ax. Pro γ ii > ωax lze i-tou ouřadnici zařadit ezi tzv. lave. Guyanova redukce e veli výhodná etavuee-li odel etodou konečných prvků hotu uíťuee en do vybraných uzlů. Zobecnělé pouvy těchto uzlů ou pak outředěny do vektoru q a otatní zobecnělé pouvy uzlů ou outředěny do vektoru q. Poto e redukovaná atice hotnoti ve tvaru M M = a při zanedbání tluících il e kvazitatická podínka rovnováhy plněna přeně. Redukovaný odel () t () t Mq + Kq = aproxiue vlatních frekvencí a vlatních ubrektorů vyhovuící rovnící K Ω M v =. ( ) Vlatní vektory původního odelu dotanee tranforací v v = v 7.3 Paraetrická redukce ato redukce e založena na nahrazení původního odelu o n tupních volnoti ednodušší veli čati dikrétní lineární odele přede dané truktury o enší počtu tupňů volnoti. íle e opět výpočet paraetrů náhradního odelu t. vlatních vektorů v i dienze přílušeící zpravidla frekvenčně nenižší vlatní frekvencí Ω i původního neredukovaného odelu. Vlatní vektory v i vzniknou z vlatních vektorů v i vypuštění ouřadnic přílušeící eliinovaný zobecněný ouřadnicí. Zachovaí e en

4 ouřadnice odpovídaící pouvů a natočené vybraných uzlů kontrukce. Jou to uzly které: - aí ezi ebou vazby ež e dále analyzuí - ou půobišti budících il - ou íty outředění hoty - ou íty lokalizace paraetrů které e dále analyzuí Princip etody e založen na plnění podínek ortogonality vlatních vektorů redukovaného odelu { } vmv = δi vkv = δiωi i 1 kde δ i e Kroneckerovo delta. Dále předpokládáe yetrické atice MK redukované outavy hotnotních paraetrech upořádaných do vektoru a k tuhotních paraetrech upořádaných do vektoru k. Prvky atic MK ou lineárníi funkcei hotnotních rep. tuhotních paraetrů. Proto exitue pro každý vlatní vektor v i tranforační vztahy Mv = X Kv = Y k kde a k ou hledané vektory hotnotních rep. tuhotních paraetrů. Matice X Y ou typu [ n ] rep. [ n k ].Jeich prvky ou vyádřeny poocí ouřadnic vlatních vektorů v poocí vztahů { } vx. = δi vyk = δiωi i 1 Zapíšee-li tyto výrazy pro všechny ožné kobinace i a dotanee dvě outavy algebraických lineárních rovnic vx vy 1 1 Ω 1 vx 1 vy 1 vx 1 vy 1 1 k1 vx 1 vy k Ω vx 3 = vy 3 = k k vx vy v 1 X v Y Ω nebo také ve tvaru Φ = δ Ψk = δ 1

5 Matice ΦΨ ou typu ( + 1/ ) rep. ( + ) lze hledat ako iniu nore vážených reziduí 1/ k a bývaí přeurčené. Řešení ( ) ( ) r = G Φ δ r = G Ψk δ 1 1 Kde G e diagonální atice nezáporných váhových koeficientů. ěito koeficienty e ožno preferovat přenot plnění některých podínek ortogonality na úkor iných. Z podínek inia Euklidovkých nore reziduí ( rr 1 1) ( rr ) = = k dotanee dvě outavy algebraických rovnic Φ G Φ = Φ G δ Ψ G Ψk = Ψ G δ 1 pro hledané hotnotní rep. tuhotní paraetry redukovaného odelu. Podínkou eích řešitelnote regulárnot obdélníkových atic Φ a Ψ. Po tanovení paraetrů redukovaného odelů e účelné provét kontrolní výpočet eho vlatních frekvencí a vlatních vektorů a ty porovnat přílušnýi hodnotai původního odelu. V případě špatné hody e ožno provét ladění odelu poocí váhových koeficientů v atici G event. zěnou truktury redukovaného odelu. 7.4 Metoda odální yntézy V oučané době e tále čatěi etkáváe úlohai odelování kitání echanických outav ložených z několika uboutav navzáe poených dikrétníi pružně vikózníi vazbai. Každá uboutava izolovaná od otatních e charakterizována aticei hotnoti tuhoti a tluení které ohou být obecně neyetrické a ůžee e obecně zapat ako oučet eich yetrické a neyetrické čáti B = B + B K = K + K. a a Kitavý pohyb uboutavy začleněného do outavy pak lze vyádřit v aticové tvaru E Mq () t + Bq () t + Kq ( t) = f + f ( t) kde vektor zobecněných ouřadnic q ( t) e definován ve vé lokální ouřadnicové ytéu. Vektor f E předtavue vněší buzení uboutavy E vektor f () t předtavue ilové půobení otatních ubotav vázaných e uboutavou poocí pružně vikózních vazeb.

6 Dále ěe Λ a V pektrální a odální atici konzervativní čáti odelu uboutavy Mq () t + K q () t =. Matice Λ a V plňuí podínky ortogonality VMV= I VK V= Λ Množinu všech vlatních tvarů kitu každé uboutavy rozdělíe na hlavních (ater) tvarů a na nožinu vedleších (lave) tvarů. Přípěvky hlavních tvarů e do dynaické odezvy outavy budou započítávat přípěvky vedleších tvarů e započítávat nebudou. Překupíe-li pořadí všech vlatních tvarů tak že na začátku odální atice bude hlavních vlatních tvarů a pak budou náledovat vedleší tvary poto ůžee odální a pektrální atici zapat v náleduící tvaru Λ V = V V Λ = Λ. Provedee tranforaci ouřadnic () t = () t q V x kde x () t e vektor hlavních odálních ouřadnic izolované uboutavy. Po pronáobení zleva aticí V dotanee () t () t ( ) () t x + VB V x + Λ + VK a V x =. E = V f + f = 1 N Pro všechna lze tento výraz přepat do globálního tvaru kde () t + () t + ( + ) () t = + () t x B x Λ K x V f f E a ( ) a diag ( a ) ( ) ( ) () () B = diag V B V K = V K V Λ = diag Λ V = diag V x t = x t E E f = f f () t = f () t Globální vektor vazbových il f e definován f E p E = q q D

7 kde E p e potenciální energie a E D e diipativní energie funkce vazby ezi uboutavai. U lineárních vazeb lze vektor f vyádřit poocí atice tuhoti K a atice tluení B ve tvaru f () () I = Kq t Bq t + f ( t) I kde f () t e vektor vnitřního kineatického buzení. V případě tacionárních vazeb e roven nule. ranforační vztahy e poto ůžou vyádřit ve tvaru q() t = V x () t. Dotáváe tak redukovaný odel outavy ve tvaru () t ( ) () t ( ) () t x + B+ V B V x + Λ + K + V K V x =. I E = V f () t + f () t a ato outava e iž řádu. Počet tupňů volnoti e roven oučtu hlavních tvarů kitu všech uboutav. Metoda e dotatečně přená při vhodné výběru hlavních tvarů kitů a to i při značné nížení tupňů volnoti. ento odel lze náledně použít pro další analýzy. Hlavní přednotí etody e to že e etavue odel na základě neúplného počtu vlatních hodnot konzervativních čátí izolovaných uboutav. Míto řešení probléu vlatních hodnot outavy o velké počtu tupňů volnoti řeší e několik probléů vlatních hodnot uboutav. Suboutavy e ohou řešit nezávile ve vých lokálních ouřadnicových ytéech. Lze e řešit i každý v iné výpočtové protředí. Využití takto redukovaného odelu e efektivní pro ladění a optializaci které ou založené na iteračních potupech nebo nohonáobné opakování dynaické analýzy.