Tradiční míry diverzity a citlivost mocninných entropií

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Tradiční míry diverzity a citlivost mocninných entropií"

Transkript

1 Původní práce cs7 Tradiční míry diverzity a citlivost mocninných entropií Martin Horáček,2, Jana Zvárová,2 Centrum biomedicínské informatiky, Ústav informatiky AV ČR, vvi, Praha, Česká republika 2 Ústav hygieny a epidemiologie lékařské fakulty Univerzity Karlovy v Praze, Česká republika Souhrn Cíle: Zabývali jsme se tradičními mírami diverzity a jejich odhady Zkoumali jsme způsoby, jak porovnávat citlivost různých měr diverzity na změny Metody: Navrhli jsme nový typ odhadu pro míry diverzity V simulační studii jsme srovnali jeho vlastnosti, zejména vychýlení a rozptyl, se třemi zavedenými odhady Zavedli jsme funkci, kterou jsme nazvali citlivost na změny míry diverzity H a studovali jsme její vlastnosti Výsledky: Navržený odhad je v mnoha situacích srovnatelný či lepší než zavedené typy odhadů Citlivost na změny má srozumitelnou interpretaci a jednoduchý tvar Závěry: Citlivost míry diverzity na změny může být využita ke srovnání chování různých měr diverzity a k vybrání těch měr, které jsou nejvhodnější pro daný problém Kontakt: Mgr Martin Horáček Centrum biomedicínské informatiky, Ústav informatiky AV ČR, vvi Adresa: Pod Vodárenskou věží 2, 82 7 Praha E mail: Mgr Martin Horáček Klíčová slova diverzita, entropie, odhady diverzity, citlivost EJBI 2; 7(:7 2 zasláno: 29 září 2 přijato: 24 října 2 publikováno: 2 listopadu 2 Úvod V tomto článku se zabýváme funkcemi, jejichž cílem je vhodně a jednoduše zachytit míru diverzity zvolené populace Může nás zajímat například genetická diverzita - diverzita alel zvoleného genu, druhová diverzita ve zvolené lokaci, ale také jazyková či ekonomická diverzita Zejména se budeme zabývat situací, kdy míra diverzity populace závisí pouze na pravděpodobnostech p i, že náhodné vybraný člen populace má právě znak i z r možných navzájem se vylučujících znaků Při splnění několika dalších předpokladů (popsaných v následujícím odstavci, které lze intuitivně očekávat od funkce, která měří populační diverzitu, se tyto funkce často souhrně nazývají tradiční míry diverzity Formálně zapsáno, tradiční míra diverzity je reálná funkce H definovaná na { } r = p = (p,, p r : p i =, p i i, která splňuje je nezáporná, je symetrická vzhledem k permutacím, je minimální, když pro nějaký index i platí p i = (v populaci se vyskytuje jen jeden znak je maximální, když p i /r (znaky jsou rovnoměrně zastoupeny, když se zvetší jedna pravděpodobnost p i na úkor jiné menší pravděpodobnosti p j, hodnota H(p se nezvětší Pro ověřování těchto požadavků může být užitečné si všimnout, že když je funkce H : r R + nezáporná a Schur-konkávní, splňuje všech pět požadavků (viz 3 Existuje několik často používaných tradičních měr diverzity Nejznámější z nich uvádíme v následující sekci Většinu z nich lze zahrnout pod takzvané f-entropie, navržené Zvárovou, nebo jsou s touto rodinou zobecněných entropií úzce spjaty Tyto f-entropie, jejich vlastnosti c 2 EuroMISE sro EJBI Ročník 7 (2, číslo

2 cs8 Horáček, Zvárová Tradiční míry diverzity a citlivost mocninných entropií a způsob, jakým je lze využít k měření diverzity, je studován a popsán například v pracích Zvárová, Vajda 2 a Horáček 3 2 Tradiční míry diverzity a jejich odhady V této sekci zavedeme nejznámější tradiční míry diverzity, jako například Simpsonův index, Shannonovu entropii, Rényiho entropii řádu α, Hillův index a další Uvedeme problematiku odhadů tradičních měr diverzity a odvodíme nový druh odhadu Část sekcí 22 a 3 byla publikována ve sborníku k 7 Letní škole výpočetní biologie 4 2 Příklady tradičních měr diverzity Mezi nejčastěji zmiňované a používané tradiční míry diverzity patří počet znaků (napříkal alel nebo druhů H (p = I (, (p i, kde I značí funkci identity, Simpsonův index a Shannonova entropie H 2 (p = H (p = p 2 i p i ln p i Tyto tři míry jsou zobecněny parametrickou rodinou mocninných entropií H α (p = (α (, pro α >, α, limitně dodefinovanou pro α = (pak dostaneme počet znaků a pro α = (dostaneme Shannonovu entropii Když je α = 2, dostaneme Simpsonův index Mezi další často používané indexy patří γ-entropická funkce ( γ H A,γ (p = ( γ, γ >, γ, Hillův index H H,α (p = ( EJBI Ročník 7 (2, číslo p /γ i α, pro α >, α a Rényiho entropie řádu α ( H R,α (p = ( α ln, pro α >, α Limitním dodefinováním všech těchto indexů pro α = dostaneme Shannonovu entropii Tyto a další zobecňující parametrické jsou užitečné různými způsoby Lze z nich vybírat vhodný index pro měření zvoleného druhu diverzity, lze je však také použít ke zlepšení procedur založených na tradiční Shannonově entropii Nahradíme-li tuto entropii vhodným parametrických indexem, můžeme volbou parametru docílit zlepšení dotyčné procedury Tento postup je použit například v práci Andrade, Wang 5 22 Odhady tradičních měr diverzity Nechť p = {p,, p r } r je vektor neznámých pravděpodobností p i, že jedinec náhodně vybraný z populace má znak A i z r možných znaků V této situaci se odhad míry diverzity H(p často provádí na základě relativních frekvencí ˆp n = (X /n,, X r /n = (ˆp i,, ˆp r, napozorovaných v náhodné výběru s vracením o rozsahu n Rozdělení vektoru X = (X,, X r pak je multinomické M(n, p Míru diverzity lze odhadnout různými způsoby a vlastnosti zvoleného odhadu, zejména jeho vychýlení a rozptyl, případně jejich střední čtvercová chyba, závisí jak na použité míře diverzity, tak na dané populaci Zřejmě nejčastěji používaný je takzvaný plug-in odhad Jeho princip spočívá v jednoduchém nahrazení neznámých pravděpodobností p i napozorovanými frekvencemi ˆp i a jejich dosazením H(ˆp Ačkoli jsou frekvence ˆp i nestranným odhadem pravděpodobností p i, plud-in odhad není obecně nestranný V některých případech lze jeho vychýlení opravit Je to možné například u odhadu Simpsonova indexu, pro jehož střední hodnotu platí EH 2 (ˆp n = n 2 EX 2 i = n 2 varxi + (EX i 2 = n 2 npi ( p i + n 2 p 2 i = ( n H 2 (p Nevychýlený odhad Simsonova indexu je tedy Ĥ 2 (ˆp n = n(n H 2 (ˆp n U jiných měr diverzity je ale většinou obtížné či dokonce nemožné nalézt vhodnou korekci plug-in odhadu Lze například ukázat, že pro Shannonovu entropii nevychýlený odhad neexistuje (Blyth 6 Několik autorů se zabývalo tímto problémem a navrhli sofistikovanější typy odhadů Uvádíme zde odhad navržený Bonachelou a kol 7 zvaný c 2 EuroMISE sro

3 Horáček, Zvárová Tradiční míry diverzity a citlivost mocninných entropií cs9 Obrázek : Výběrový průměr a výběrový rozptyl odhadů mocninné entropie H 3/2 balanced odhad Navrhujeme modifikaci tohoto odhadu, ktérá bere v úvahu rozložení hodnot p i ve vektoru p Předpokládejme, že zvolenou míru diverzity lze zapsat ve tvaru ( H(p = F h(p i, kde F a h jsou libovolné reálné spojité funkce Tento tvar zahrnuje mimo jiné všechny indexy uvedené v předchozí části kromě počtu znaků Bonachela a kol navrhli svůj odhad ve tvaru ( Ĥ(X = F ζ(x i, kde funkce ζ je zvolena tak, aby se minimalizovala hodnota výrazu Φ 2 ζ(p i = E(ζ(X i h(p i 2 + var(ζ(x i s váhovou funkcí w(p i umožnující při minimalizaci měnit důraz kladený na různé hodnoty p i z intervalu, Pokud zanedbáme vliv funkce F a korelací, můžeme zároveň redukovat rozptyl a druhou mocninu vychýlení odhadu Vážená průměrná chyba je pak dána vztahem Φ 2 ζ(p i = Φ2 ζ (p iw(p i dp i ( Nutná podmínka pro minimalitu chyby je nulová hodnota derivací ζ(k Φ 2 ζ(p i =, k {,, n} Zvolíme proto ζ tak, aby ζ(k h 2 (p i 2h(p i n P (X i = jζ(j + j= + n j= P (X i = jζ 2 (j w(p i dp i = což se dá zjednodušit do tvaru Protože máme ζ(kp (X i = k h(p i P (X i = k w(p i dp i = P (X i = k = ζ(k = ( n p k i ( p i n k, k h(piw(pi(n kp k i ( pin k dp i w(pi(n kp k i ( pin k dp i (2 Bonachela a kol 7 odvodili podobu balanced odhadu pro mocninné entropie s váhovou funkcí rovnou jedné na celém intervalu, Nemáme-li žádnou apriorní znalost o hodnotách složek vektoru p, je přirozené pro tento vektor nepreferovat žádný bod z r Na vektor p tak můžeme nahlížet jako na realizaci náhodného vektoru Y = (Y,, Y r, která má rovnoměrné rozdělení na r Váhu w(p i je vhodné zvolit proporcionálně k očekávaným hodnotám složek p i, v tomto případě tedy jako marginální hustotu náhodné veličiny Y i Tu lze spočítat jako f(y y = ( y r 2, (r 2! y y r 2 dy r dy 2 což je až na konstantu hustota Beta rozdělení B(, r Zvolili jsme proto váhovou funkci jako w(p i = ( p i r 2 a odvodili odpovídající funkci ζ Odhad založený c 2 EuroMISE sro EJBI Ročník 7 (2, číslo

4 cs2 Horáček, Zvárová Tradiční míry diverzity a citlivost mocninných entropií na této funkci jsme nazvali β-odhad Popíšeme zde odvození β-odhadu pro Shannonovu entropii, tedy pro situaci, kdy h(p i = p i ln p i a F (x = x Symboly Γ, B a Ψ označují gama, beta and digamma funkce Nejprve jsme nahradili h(p i a w(p i odpovídajícími výrazy a spočítali integrál ve jmenovateli výrazu zeta ζ(x i = h(pipx i ( p i i n X i +r 2 dp i B(X i+,n X i+r Pro parciální derivace beta funkce platí B(x, y = B(x, yψ(x Ψ(x + y, x a čitatel lze tedy vyjádřit jako = h(p i p Xi i ( p i n Xi+r 2 dp i = lim α p i ln(p i p Xi i ( p i n Xi+r 2 dp i α pxi+ i ( p i n Xi+r 2 dp i = lim α α B(X i + 2, n X i + r B(X i + α + 2, n X i + r = B(X i + 2, n X i + r Ψ(n + r + Ψ(X i + 2 Funkce ζ tedy splňuje ζ(x i = X i + n + r Ψ(n + r + Ψ(X i + 2 = X i + n + r n+r k=x i+2 k a β-odhad Shannonovy entropie má tvar Ĥ (X = r X i+ n+r n+r k=x i+2 β-odhad mocninných entropií, pro které platí F (x = x a h(p i = (α (p i, lze odvodit podobným způsobem U mocninných entropií nabývá tvaru Ĥ α (X = (α r k B(n+r,α B(X i+,α EJBI Ročník 7 (2, číslo Na obrázku můžeme vidět srovnání β-odhadu, Bonachelova balanced odhadu, plug-in odhadu a Jamesova- Steinova shrinkage odhadu 8 v populaci se šesti znaky, rozdělenými v poměru 24 : : 9 : 3 : 2 : Zobrazeny jsou výběrové průměry a výběrové rozptyly odhadů spočítané z 3 pokusů Obrázky byly vytvořeny v programu R 9 Další srovnání vývěrových rozptylů a absolutních hodnot výběrového vychýlení je v tabulce Tentokrát jsme srovnávali odhady mocninných entropií H /2 a H 5/2 v populacích s p = (3, 9, 2, 2, /27 a p 2 = (2, 8, 5, 3, 3, 2, 2, 2,,,,,,,,, /46, na základě výběrů o velikosti n = 5 Tabulka : Absolute sample bias and sample variance of estimates H /2 H 5/2 bias var bias var plug-in,843,339,94, p balanced,59,43,69,8 beta,52,35,9,6 shrink,354,2,56, plug-in,7476,486,75 2 p 2 balanced,2867,28,673,2 beta,288,28,38, shrink,65,87,52,2 3 Citlivost na změny Vlastnosti indexů používaných k měření diverzity se více či méně liší Často by nás přitom zajímalo, jak by daná míra diverzity reagovala na změny frekvencí jednotlivých znaků v populaci Tímto problémem se zabývalo několik autorů, zejména Boyle a kol, kteří se zaměřili zejména na empirickou stránku věci, a Izsak, který navrhnul míru citlivosti na teoretickém základě Na základě návrhu I Vajdy zde navrhujeme míru citlivosti měr diverzity na změny ve frekvenci znaků, kterou je snadné spočítat a má intuitivní interpretaci Míru citlivosti míry diverzity H na změny ve frekvenci j-tého znaku definujeme jako kde S H (p j = lim ɛ H(p j,ɛ H(p ɛh(p p j,ɛ = (p,, p j, p j + ɛp j, p j+,, p r + ɛp j Citlivost je tedy definována jako limita výrazu relativní změna H relativní změna p j a odráží poměr relativních změn H(p a p j, když se p j změní o malou hodnotu 3 Citlivost mocninných entropií Citlivost mocninných entropií byla spočítána v práci Horáček 3 Pokud platí p i > pro všechna i {,, r}, pro tuto citlivost platí vztah S Hα (p j = α p α i (p i ij r, c 2 EuroMISE sro

5 Horáček, Zvárová Tradiční míry diverzity a citlivost mocninných entropií cs2 pokud α, a S H (p j = (p i ij ln p i p i ln p i Srovnání citlivostí mocninných entropií jsme provedli na populaci s p = (24/5, /5, 9/5, 3/5, 2/5, /5 a je zobrazeno na obrázku 2 Můžeme vidět, že s klesajícím α jsou mocninné entropie více citlivé na změny ve znacích, které jsou v populaci zastoupeny vzácně Podíváme-li se například na Shannonovu entropii, řekněme desetiprocentní nárůst v pravděpodobnosti p 5 = /25 by vedl ke zhruba desetiprocentnímu nárůstu H (p, zatímco desetiprocentní nárůst v pravděpodobnosti p = 24/5 by vyústil v asi tříprocentní snížení hodnoty H (p Malé změny v pravděpodobnosti p 2 = /5 by pak na hodnotu H (p měly jen zanedbatelný vliv Poděkování Tato práce byla podporována projektem M64 Ministerstva školství, mládeže a sportu ČR a projektem SVV Univerzity Karlovy v Praze Literatura Zvárová J: On Measures of Statistical Dependence Časopis pro pěstování matematiky 974; 99: Zvárová J, Vajda I: On Genetic Information, Diversity and Distance Methods of Inform in Medicine 26; 2: Horáček, M: Measures of biodiversity and their applications Master thesis, Charles university, Prague, supervisor J Zvárová 29 4 Horáček, M, Zvárová J: Traditional Measures of Diversity, Their Estimates and Sensitivity to Changes Proceedings of the 7th Summer School on Computational Biology 2; Andrade, M de, Wang, X: Entropy Based Genetic Association Tests and Gene-Gene Interaction Tests Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology 2; : Iss, Article 38 6 Blyth, C R: Note on estimating information Annals of Math Stat 959; 3: Bonachela, J A, Hinrichsen, H, Muñoz, M A: Entropy estimates of small data sets J of Phys A: Math and Theor 28; 4: 9 8 Hausser, J, Strimmer, K: Entropy Inference and the James- Stein Estimator, with Application to Nonlinear Gene Association Networks Journal of Machine Learning Research 29; : R Development Core Team: R: A Language and Environment for Statistical Computing R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria 2 Obrázek 2: Srovnání citlivostí na změny u mocninných entropií Boyle, T P, Smillie, G M, Anderson, J C, and Beeson, D R: A sensitivity analysis of nine diversity and seven similarity indices Research Journal Water Pollution Control Federation 99; 62: Izsak, J: Sensitivity Profiles of Diversity Indices Biom J 996; 38: c 2 EuroMISE sro EJBI Ročník 7 (2, číslo

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LII 6 Číslo 3, 2004 Gasser-Müllerův odhad J. Poměnková Došlo: 8.

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Klasifikační metody pro genetická data: regularizace a robustnost

Klasifikační metody pro genetická data: regularizace a robustnost Odd medicínské informatiky a biostatistiky Ústav informatiky AV ČR, vvi Práce vznikla za finanční podpory Nadačního fondu Neuron na podporu vědy Klasifikační metody pro genetická data Regularizovaná klasifikační

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

BAYESOVSKÉ ODHADY. Michal Friesl V NĚKTERÝCH MODELECH. Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni

BAYESOVSKÉ ODHADY. Michal Friesl V NĚKTERÝCH MODELECH. Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni BAYESOVSKÉ ODHADY V NĚKTERÝCH MODELECH Michal Friesl Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Slunce Řidiči IQ Regrese Přežití Obvyklý model Pozorování X = (X 1,..., X

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Statistické testování hypotéz II

Statistické testování hypotéz II PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 9 Statistické testování hypotéz II Přehled testů, rozdíly průměrů, velikost účinku, síla testu Základní výzkumné otázky/hypotézy 1. Stanovení

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 1 ČHMÚ, OPZV, Na Šabatce 17, 143 06 Praha 4 - Komořany sosna@chmi.cz, tel. 377 256 617 Abstrakt: Referát

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu 1 Odhady parametrů 11 Bodové odhady Mějme lineární regresní model (LRM) kde Y = y 1 y 2 y n, e = e 1 e 2 e n Y = Xβ + e, x 11 x 1k, X =, β = x n1

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více 9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme

Více

Kontingenční tabulky. (Analýza kategoriálních dat)

Kontingenční tabulky. (Analýza kategoriálních dat) Kontingenční tabulky (Analýza kategoriálních dat) Agenda Standardní analýzy dat v kontingenčních tabulkách úvod, KT, míry diverzity nominálních veličin, některá rozdělení chí kvadrát testy, analýza reziduí,

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Využití a zneužití statistických metod v medicíně

Využití a zneužití statistických metod v medicíně Využití a zneužití statistických metod v medicíně Martin Hynek Gennet, Centre for Fetal Medicine, Prague EuroMISE Centre, First Faculty of Medicine of Charles University in Prague Statistika Existují tři

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

KOMPRESE OBRAZŮ. Václav Hlaváč. Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání. hlavac@fel.cvut.

KOMPRESE OBRAZŮ. Václav Hlaváč. Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání. hlavac@fel.cvut. 1/24 KOMPRESE OBRAZŮ Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz http://cmp.felk.cvut.cz/ hlavac KOMPRESE OBRAZŮ, ÚVOD 2/24 Cíl:

Více

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat? Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,

Více

Matematické přístupy k pojištění automobilů. Silvie Kafková. 3. 6. září 2013, Podlesí

Matematické přístupy k pojištění automobilů. Silvie Kafková. 3. 6. září 2013, Podlesí Matematické přístupy k pojištění automobilů Silvie Kafková 3. 6. září 2013, Podlesí Obsah 1 Motivace 2 Tvorba tarifních skupin a priori 3 Motivace Obsah 1 Motivace 2 Tvorba tarifních skupin a priori 3

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

O MOŽNOSTI ADJUSTACE IMISNÍCH KONCENTRACÍ NA METEOROLOGICKÉ PODMÍNKY. RNDr. Josef Keder, CSc.

O MOŽNOSTI ADJUSTACE IMISNÍCH KONCENTRACÍ NA METEOROLOGICKÉ PODMÍNKY. RNDr. Josef Keder, CSc. O MOŽNOSTI ADJUSTACE IMISNÍCH KONCENTRACÍ NA METEOROLOGICKÉ PODMÍNKY RNDr. Josef Keder, CSc. Zadání úlohy V souladu s požadavkem zadavatele (MŽP) bude zpracována metodika, umožňující oprostit průměrné

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo

Více

Fisher M. & al. (2000): RAPD variation among and within small and large populations of the rare clonal plant Ranunculus reptans (Ranunculaceae).

Fisher M. & al. (2000): RAPD variation among and within small and large populations of the rare clonal plant Ranunculus reptans (Ranunculaceae). Populační studie Fisher M. & al. (2000): RAPD variation among and within small and large populations of the rare clonal plant Ranunculus reptans (Ranunculaceae). American Journal of Botany 87(8): 1128

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více

nské informatice Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. informatiku, nské informatiky Ústav informatiky AV ČR R v.v.i. http://www.euromise.

nské informatice Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. informatiku, nské informatiky Ústav informatiky AV ČR R v.v.i. http://www.euromise. Vzdělávání v biomedicínsk nské informatice a ezdraví s podporou informačních a komunikačních technologií Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Evropské centrum pro medicínskou informatiku, statistiku a epidemiologii

Více

EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy

EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy Ekonometrická analýza proces, skládající se z následujících fází: a) specifikace b) kvantifikace c) verifikace d) aplikace Postupné zpřesňování jednotlivých

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

MSA-Analýza systému měření

MSA-Analýza systému měření MSA-Analýza systému měření Josef Bednář Abstrakt: V příspěvku je popsáno provedení analýzy systému měření v technické praxi pro spojitá data. Je zde popsáno provedení R&R studie pomocí analýzy rozptylu

Více

Cvičení z optimalizace Markowitzův model

Cvičení z optimalizace Markowitzův model Cvičení z optimalizace Markowitzův model Vojtěch Franc, 29 1 Úvod V tomto cvičení se budeme zabývat aplikací kvadratického programování v ekonomii a sice v úloze, jejímž cílem bude optimalizovat portfolio

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036 Příklad : Statistika A, doc. Kropáč, str. 6, příklad 2 K benzínovému čerpadlu přijíždí průměrně 4 aut za hodinu. Určete pravděpodobnost, že během pěti minut přijede nejvýše jedno auto. Pokus: Zjištění,

Více

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) 1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

STATISTIKA jako vědní obor

STATISTIKA jako vědní obor STATISTIKA jako vědní obor Cílem statistického zpracování dat je podání informace o vlastnostech a zákonitostech hromadných jevů. Statistika se zabývá popisem hromadných jevů - deskriptivní, popisná statistika

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 7: Časově řady, autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Časové řady Data: HDP.wf1

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

Optimalizace portfolia a míry rizika. Pavel Sůva

Optimalizace portfolia a míry rizika. Pavel Sůva Základní seminář 6. října 2009 Obsah Úloha optimalizace portfolia Markowitzův model Míry rizika Value-at-Risk Conditional Value-at-Risk Drawdown míry rizika Minimalizační formule Optimalizační modely Empirická

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

Analýza výsledků testu čtenářské gramotnosti v PRO23 2010/11

Analýza výsledků testu čtenářské gramotnosti v PRO23 2010/11 Analýza výsledků testu čtenářské gramotnosti v PRO23 2010/11 Zpracoval: www.scio.cz, s.r.o. (15. 2. 2012) Datové podklady: výsledky a dotazníky z PRO23, test čtenářské gramotnosti, www.scio.cz, s.r.o.

Více

Pro bodový odhad při základním krigování by soustava rovnic v maticovém tvaru vypadala následovně:

Pro bodový odhad při základním krigování by soustava rovnic v maticovém tvaru vypadala následovně: KRIGING Krigování (kriging) označujeme interpolační metody, které využívají geostacionární metody odhadu. Těchto metod je celá řada, zde jsou některé příklady. Pro krigování se používá tzv. Lokální odhad.

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti

Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti Zvířata zařazená do hodnocení V modelu plemene H jsou hodnoceny krávy s podílem krve H nebo 75% a výše. V modelu plemene C jsou hodnoceny krávy s podílem krve

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9téma Princip testování hypotéz, jednovýběrové testy V minulé hodině jsme si ukázali, jak sestavit intervalové odhady pro některé číselné charakteristiky normálního

Více

5EN306 Aplikované kvantitativní metody I

5EN306 Aplikované kvantitativní metody I 5EN306 Aplikované kvantitativní metody I Přednáška 10 Zuzana Dlouhá Předmět a struktura kurzu 1. Úvod: struktura empirických výzkumů 2. Tvorba ekonomických modelů: teorie 3. Data: zdroje a typy dat, význam

Více

Stochastické modely v procesu identifikace

Stochastické modely v procesu identifikace cs44 Původní práce Stochastické modely v procesu identifikace Dalibor Slovák, Jana Zvárová,2 2 Centrum biomedicínské informatiky, Ústav informatiky AV ČR, Praha, Česká republika Ústav hygieny a epidemiologie,

Více

Farmakoekonomika pro praxi: Analýza senzitivity

Farmakoekonomika pro praxi: Analýza senzitivity Farmakoekonomika pro praxi: Analýza senzitivity MUDr. Michal Prokeš INFOPHARM a.s. www.drugagency.cz Farmakoekonomie vždy porovnává náklady a přínosy léčebné intervence Náklady na zdravotní péči: Výsledky

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Západočeská univerzita. Lineární systémy 2

Západočeská univerzita. Lineární systémy 2 Západočeská univerzita FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD Lineární systémy Semestrální práce vypracoval: Jan Popelka, Jiří Pročka 1. květen 008 skupina: pondělí 7-8 hodina 1) a) Jelikož byly měřící přípravky nefunkční,

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

Klíčová slova prediktory absolvování studia medicíny, logistická regrese, ROC křivky

Klíčová slova prediktory absolvování studia medicíny, logistická regrese, ROC křivky STUDIUM SOUVISLOSTÍ MEZI ÚSPĚŠNOSTÍ STUDIA MEDICÍNY, ZNÁMKAMI STUDENTŮ NA STŘEDNÍ ŠKOLE A VÝSLEDKY PŘIJÍMACÍCH ZKOUŠEK 1 Čestmír Štuka, Petr Šimeček Anotace Studie analyzuje úspěšnost studentů přijatých

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír

Více

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani

Více

Nejistota měření. Thomas Hesse HBM Darmstadt

Nejistota měření. Thomas Hesse HBM Darmstadt Nejistota měření Thomas Hesse HBM Darmstadt Prof. Werner Richter: Výsledek měření bez určení nejistoty měření je nejistý, takový výsledek je lépe ignorovat" V podstatě je výsledek měření aproximací nebo

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

Cvičení 11. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.

Cvičení 11. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. 11 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny

Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny Online: http://www.sclpx.eu/lab2r.php?exp=2 V tomto experimentu vycházíme z pojetí klasického pokusu s pružinovým oscilátorem. Z periody kmitů se obvykle

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

Informační technologie a statistika 1

Informační technologie a statistika 1 Informační technologie a statistika 1 přednášející: konzul. hodiny: e-mail: Martin Schindler KAP, tel. 48 535 2836, budova G po dohodě martin.schindler@tul.cz naposledy upraveno: 21. září 2015, 1/33 Požadavek

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

V. Riemannův(dvojný) integrál

V. Riemannův(dvojný) integrál V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

Základní radiometrické veličiny

Základní radiometrické veličiny Základní radiometrické veličiny Radiometrické veličiny se v textech, se kterými jsem se setkal, zavádějí velmi formálně, např. iradiance E= dφ da.pokusiljsemsepřesnějipopsat,cojednotlivéfunkceznamenají.formálnízápisyjsouzde

Více