Heuristiky UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY. Vypracovala:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Heuristiky UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY. Vypracovala:"

Transkript

1 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Heuristiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Jaroslav Marek, Ph.D. Rok odevzdání: 2008 Vypracovala: Lucie Koděrová ME, III. ročník

2 Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala samostatně za odborného vedení Mgr. Jaroslava Marka Ph.D. Dále prohlašuji, že veškeré podklady, ze kterých jsem čerpala, jsou uvedeny v seznamu literatury. V Olomouci dne 8. dubna 2008

3 Poděkování Ráda bych poděkovala Mgr. Jaroslavu Markovi, Ph.D. za jeho trpělivost, úsilí, rady a čas, který mi věnoval při konzultacích.

4 Obsah Úvod 4 1 Globální optimalizace Metody klasické optimalizace Řešení optimalizačních úloh pomocí stochastických algoritmů Problematika využívání stochastických algoritmů Evoluční algoritmy Testovací funkce 9 3 Algoritmy pro globální optimalizaci Genetické algoritmy Slepé prohledávání Horolezecký algoritmus Algoritmus SOMA Diferenciální evoluce (DE) Metoda simulovaného žíhání Fyzikální interpretace žíhání tuhého tělesa Metropolisův algoritmus Simulované žíhání Simulované žíhání s elitizmem Paralelní simulované žíhání Vlastní algoritmus RYPOŠ Aplikace heuristik 28 5 Testování uvedených algoritmů praktická část 29 6 Závěr 36 Literatura 38 Přílohy 40

5 Úvod Optimalizační problémy jsou s naším běžným životem provázány pevněji, než by se mohlo zdát. Setkáme se s nimi například při hledání nejvhodnějších dokumentů obsahujících požadované informace, při objevování nejzajímavějších informací v dostupných datech, rozmisťování strojů ve výrobní hale tak, aby zabíraly co nejméně místa, a při dalších činnostech, kdy můžeme výsledné hodnoty získat pouze empiricky. Optimalizací rozumíme postup zaměřený na nalezení určitého vyhovujícího řešení nějaké úlohy. Protože deterministické algoritmy mnohdy při řešení úlohy globální optimalizace selhávaly, začaly být nahrazovány algoritmy heuristickými. Moderní informatika se při navrhování nových algoritmů, postupů a metod inspiruje v okolním světě, převážně v přírodě. Darwinova evoluční teorie posloužila odborníkům jako základ evolučních algoritmů, které tvoří aktuální problematiku informatiky a numerické matematiky. Počítačové simulace evolučních algoritmů mohou vědcům pomoci získat odpovědi na různé důležité otázky z biologie, psychologie, sociologie atd. Vznikly také evoluční algoritmy, které svoji inspiraci nehledaly v živé přírodě, ale ve fyzice. Patří mezi ně metoda simulovaného žíhání (Simulated Annealing, SA), která vychází z představ evoluce termodynamických systémů. Objasnění principu metody simulovaného žíhání a její implementace je jedním z cílů této bakalářské práce. Hlavním úkolem je obeznámit čtenáře s problémem stochastické optimalizace, zmínit problémy spojené s použitím stochastických algoritmů pro hledání globálních extrémů (slepého prohledávání, horolezeckých algoritmů, zakázaného hledání, simulovaného žíhání, genetických algoritmů, diferenciální evoluci). Potřeba porovnat úspěšnost jednotlivých algoritmů vedla k zavedení tzv. testovacích funkcí. V práci provedeme vyhodnocení úspěšnosti uvedených algoritmů na těchto testovacích funkcích (např. Ackleyho funkce, De Jongova funkce, Griewangkova funkce, Rastrigova funkce, Rosenbrockovo sedlo, Schwefelova funkce). V práci navrhneme vlastní algoritmus a prozkoumáme jeho úspěšnost. 4

6 1. Globální optimalizace Při řešení problému globální optimalizace (podrobněji popsáno např. v [1]) hledáme pro danou účelovou funkci f : D R, D R d, (1) bod x tak, aby x = arg min x D f(x). (2) Bod x* se nazývá globální minimum. Pro jednoduchost budeme uvažovat, že D je souvislá množina tvaru D = d a i, b i, a i < b i, i = 1,..., d. (3) i=1 Pod pojmem heuristika budeme chápat nedeterministické pravidlo, které z bodů více či méně náhodně generované populace vytváří posloupnost bodů, které aproximují globální minimum Metody klasické optimalizace Než se začneme zabývat stochastickými metodami optimalizace minima, zmíníme nejprve základní klasické metody pro řešení těchto úloh. Klasickými metodami se rozumí takové, které se opírají o podmínky optimality (podrobně je studováno např. ve skriptech [2]). Pro diferencovatelnou funkci f stanovíme stacionární body, tj. všechna řešení rovnice grad f(x) = 0. Ty z nich, v nichž je Hessova matice pozitivně definitní, jsou body minima. Hessova matice má tvar ( ) f(x) H = i, j = 1,..., n. (4) x i x j Pozitivně definitní je taková matice A, pro kterou platí: x Ax > 0 pro každý nenulový vektor x R d, všechna vlastní čísla matice A jsou kladná, 5

7 všechny hlavní minory M 1, M 2,..., M d matice A jsou kladné. Poznámka. Minor příslušný k prvku a i,j matice A je determinant matice A i,j, kterou získáme z matice A odstraněním i-tého řádku a j-tého sloupce. Pokud nemáme podrobnější informace o účelové funkci f, každá z následujících metod určuje v případě optimalizace bez omezení lokální řešení. Metody pro řešení úloh nepodmíněné optimalizace rozdělujeme do tří kategorií podle požadavků na hladkost funkce f. Metody přímého výběru nevyžadují výpočty derivací. Speciální spádové metody vyžadují výpočet gradientů (např. metoda největšího spádu, kvazinewtonovské metody). Newtonova metoda vyžaduje výpočet druhých derivací. Protože případy globální optimalizace řešíme často především v praxi, je velmi důležité zabývat se také teoretickou stránkou, všeobecnou úlohou globální optimalizace. Mnohdy velmi jednoduchá formulace celého optimalizačního problému může být matoucí a vyvolávat dojem, že určení deterministického algoritmu řešícího všeobecnou úlohu globální optimalizace je jednoduché. Ve skutečnosti analýza ukazuje, že takovýto deterministický algoritmus neexistuje. Dále budeme tedy uvažovat pro řešení těchto problémů stochastické algoritmy Řešení optimalizačních úloh pomocí stochastických algoritmů Alternativou pro řešení složitých optimalizačních příkladů je použití stochastických algoritmů, především evolučních algoritmů, jejichž popularita stále roste. Tak zvané heuristické metody jsou vesměs založeny na principu postupného zlepšování řešení. Tyto algoritmy nám sice umožní nalézt globální optimum, ale v průběhu hledání nejsme schopni určit ani vzdálenost aktuálně dosaženého řešení od globálního optima, ani s jakou pravděpodobností může být globálního optima dosaženo. 6

8 Evoluční algoritmy jsou typické svojí robustností schopností řešit obtížné optimalizační úlohy, nebo úlohy, ve kterých potřebujeme o něčem rozhodnout. Lze je charakterizovat vlastnostmi jako je multimodálnost a multikriteriálnost. Jejich nasazení je efektivní v úlohách, které lze definovat následovně: Prostor řešení je příliš rozsáhlý a chybí odborná znalost, která by umožnila zúžit prostor slibných řešení. Nelze provést matematickou analýzu problému. Tradiční metody selhávají. Jde o úlohy s mnohačetnými extrémy, kritérii a omezujícími podmínkami. Evoluční algoritmy mají v praxi široké použití v různorodých odvětvích od strojového plánování až po ekonomii a psychologii. Je však třeba poukázat na jisté nevýhody evolučních algoritmů Problematika využívání stochastických algoritmů Úlohy, které jsou pro nás deterministicky neřešitelné, nám pomáhají vyřešit stochastické algoritmy. Tím se sice dozvíme výsledek složitého úkolu, ale musíme vzít na vědomí, že používání heuristických metod je spojeno s problémy ovlivňujícími kvalitu řešení. Tato podkapitola vychází ze zdroje [3]. Na rozdíl od jiných optimalizačních metod stanovují evoluční algoritmy optimum dané funkce pouze na základě práce s jejími funkčními hodnotami. Získání těchto funkčních hodnot bývá často hodně nákladné a časově náročné. Blíží se proto k optimu velmi pomalu vzhledem k jiným optimalizačním metodám, které navíc využívají ještě informace o gradientu cílové funkce, případně o jejích druhých derivacích. Pokud ovšem známe z předchozích zkušeností hodnoty cílové funkce, můžeme pro optimalizaci sestrojit aproximaci založenou na základě této databáze. Původní funkci potom používáme pouze pro ověřování výsledků získaných pomocí její aproximace. Tímto postupem můžeme docílit snížení nákladů na testování. Dále bychom si měli před užitím evolučního algoritmu uvědomit, že daný konkrétní typ algoritmu se hodí pro řešení jen určitého okruhu problémů. Evoluční 7

9 algoritmy nejsou tedy vhodné pro řešení všech úloh. Neměli bychom proto také zapomínat na škálu klasických metod (např. uvedených v kapitole 1.1), které jsou schopny vyřešit řadu optimalizačních úloh s relativně nízkou výpočetní náročností. Shrnutí nevýhod evolučních algorimů: Pro mnohé úlohy je typická velká časová náročnost. Nelze otestovat, zda se jedná o globální optimum. Pro příliš rozsáhlé úlohy poskytují řešení příliš vzdálená od optima. Ukončení optimalizace je předem určené na základě časového limitu nebo stagnace kriteriální funkce Evoluční algoritmy Evoluční algoritmy jsou algoritmy založené na základě Darwinovy evoluční teorie vývoje populací. Vycházejí tedy z poznatků převzatých z života v přírodě a aplikují zákonitosti, které použil Darwin ve své teorii. Populací chápeme všeobecné vyjádření sledu generací. Při práci s populacemi využívají evoluční algoritmy také evolučních operátorů: selekce, křížení a mutace. selekce předpokládáme, že nejsilnější jedinci z populace mají větší pravděpodobnost přežít a předat své vlastnosti, křížení dva nebo více jedinců z populace si vymění informace a vzniknou noví jedinci, kteří kombinují vlastnosti rodičů, mutace informace zakódovaná v jedinci může být náhodně změněna. Předpis evolučního algoritmu bez explicitní mutace (viz [1]): procedura EA vygenerujeme P (populaci o N bodech náhodně vybranou z D) repeat najdeme nejhorší bod v P, x worst, s nejlepší hodnotou f zkopírujeme M nejlepších bodů z P do nové populace Q, 1 M < N repeat 8

10 repeat vygenerujeme nový zkušební bod y podle heuristiky aplikované na P until f(y) x worst zapisujeme nové zkušební body do Q until Q není tvořeno N body nahradíme P za Q dokud není splněna ukončovací podmínka end Za heuristiku zde považujeme libovolné nedeterministické pravidlo generující nový bod y D, většinou tím míníme postup užívající evoluční operátory, který z bodů v generaci P vygeneruje nový bod y D. 2. Testovací funkce Pro testování spolehlivosti a úspěšnosti algoritmů jsou využívány speciální testovací funkce, jejichž hodnotu globálního minima známe a u nichž je úloha optimalizace extrému velmi složitá. Pro praktické testování bylo použito těchto šest funkcí: Ackleyho funkce, první De Jongova funkce, Griewangkova funkce, Rastrigova funkce, Rosenbrockovo sedlo (Druhá De Jongova funkce) a Schwefelova funkce. Jejich funkční předpisy, definiční obory a reálné hodnoty minima jsou převzaté z [4] a jsou uvedeny u jednotlivých grafů (viz obr. 2.1 a) f)), které byly vykresleny pomocí Matlabu vždy pro případ Dim = d = 2. 9

11 a) Ackleyho funkce D = 30, 30 30, 30, minimum x = (0,..., 0), f(x) = 0 funkční předpis: f(x) = Dim 1 i=1 (20 + e (x 2 i 1 x2 i ) e 0.5(cos(2πxi+1)+cos(2πxi)) ) b) První DeJongova funkce D = 5.12, , 5.12, minimum x = (0,..., 0), f(x) = 0 funkční předpis: f(x) = Dim i=1 x2 i c) Griewangkova funkce D = 600, , 600, minimum x = (0,..., 0), f(x) = 0 funkční předpis: f(x) = Dim xi i=1 cos( i + Dim x 2 i i= ) Obr. 2.1: Testovací funkce, předpisy, globální minima a jejich funkční hodnoty

12 d) Rastrigova funkce D = 5.12, , 5.12, minimum x = (0,..., 0), f(x) = 0 funkční předpis: f(x) = 10 Dim Dim i=1 (x2 i 10 cos(2πx i)) e) Rosenbrockovo sedlo D = 2.048, , 2.048, minimum x = (1,..., 1), f(x) = 0 funkční předpis: f(x) = Dim 1 i=1 (100(x 2 i x i+1) 2 + (1 x i ) 2 ) f) Schwefelova funkce D = a, a a, a, a = , minimum x = (420.97,..., ), f(x) = d funkční předpis: f(x) = Dim i=1 x i sin( x i ) Obr. 2.1: Testovací funkce, předpisy, globální minima a jejich funkční hodnoty

13 3. Algoritmy pro globální optimalizaci Heuristiky můžeme popsat jako zkratkovitý postup hledání založený na zkušenostech, poskytující řešení v přijatelném čase, ale bez záruky na správný výsledek. Lze je použít, pokud na řešení úlohy neexistuje jednoznačný algoritmus, nebo je hledání pomocí něj příliš zdlouhavé. Vzhledem k obtížnosti problematiky globální optimalizace se mnohdy musíme spokojit pouze s určitou pravděpodobností, že při hledání uspějeme. Záměrem je umět poznat a zkoušet řídit pravděpodobnost správného řešení. Určit, jaké minimální množství pokusů musíme provést, abychom se dostali na přiměřenou hladinu rizika neúspěchu. Existuje celá řada užívaných algoritmů, které pomáhají řešit optimalizační úlohy. Pro bližší seznámení jsem si vybrala metody: genetické algoritmy, slepé prohledávání, horolezecké algoritmy, zakázané hledání, simulované žíhání, diferenciální evoluci a algoritmus SOMA. Princip fungování stochastických algoritmů je dobře popsán ve zdrojích [6], [7] a [12] Genetické algoritmy Genetické algoritmy jsou druhem evolučních algoritmů, jsou nejlépe popsány ve zdrojích [3], [5]. Jejich základní myšlenka spočívá v zakódování informace při hledání tak, aby slabší generace byla v dalším kroku nahrazena lepší generací. Při hledání optima můžeme považovat body na funkci za části dědičného materiálu a potom uplatnit evoluční operátory (křížení, mutace), stejně jako je pozorujeme v přírodě. Řízení heuristiky je možné pomocí parametrizace nebo selekce. Nabízí se zde možnosti jako: Mutaci a křížení lze řídit elitářstvím, řízenou mutací (určíme sílu mutace a její úbytek v průběhu generace), řízením křížení (určíme procentuální část neelitního podílu populace, která se bude křížit). Nastavením maximálního počtu generací. 12

14 Řízením výběru rodiče na základě jeho fitness (síla, robustnost, ohodnocení). Porovnávání fitness pro snazší nalezení vhodných rodičů pro budoucí generaci. Handicapováním oblasti hledání, o které víme, že zde pravděpodobně globální extrém neleží. Užití vyhledávacího algoritmu na dohledání optima poté, co genetické algoritmy ukončily svou činnost Slepé prohledávání Nejjednodušším způsobem hledání optimálního řešení je jeho náhodné (stochastické) hledání. Vygeneruje se náhodné řešení a toto řešení se vyzkouší, t.j. vyhodnotí se jeho fitness funkce. První řešení je zaznamenáno vždy, dále zaznamenáváme jen ta řešení, kdy je fitness nového nalezeného minima větší než fitness nejlepšího doposud nalezeného. Pokračuje se generováním dalšího řešení a jeho vyzkoušením. Důležitým faktorem je tu náhodnost každé iterace. Každé minimum je nalezeno bez souvislosti s předcházejícími. Mohlo by se zdát, že optimalizace v této formě nemá praktické uplatnění. Této metodě sice chybí cílenost vývoje (tzv. selekční tlak ), ale na druhou stranu se úspěšně vyhýbá problému uváznutí v lokálním minimu, který je typický pro gradientní metody. Vyhovující řešení může být nalezeno na několik málo pokusů, stejně tak nemusí být nalezené vůbec (zvlášť při vícerozměrné úloze). Proto se náhodné prohledávání stavového prostoru používá především na inicializaci některých jiných metod, zejména metod založených na množině řešení (populaci). Popsaný algoritmus má v programu Matlab tento předpis: function [x,fx] = blindsearch(fn name, a, b, t) % vstupní parametry: % fn_name minimalizovaná funkce (M file) % a,b řádek vektorů, hranice prohledávacího prostoru 13

15 % t číslo iterace % výstupní parametry: % fx nalezená minimální funkční hodnota % x hledáním nalezeného minima d=length(a); fx=realmax; for i = 1 : t y=a+(b-a).*rand(1,d); fy= feval(fn name, y); if fy < fx x=y f(x)=f(y) end end 3.3. Horolezecký algoritmus Slepý algoritmus můžeme dále proměnit na tzv. horolezecký algoritmus (hill climbing), kde se iteračně hledá nejlepší lokání řešení v určitém okolí, a to je v dalším kroku použito jako střed nové oblasti. Základním principem horolezeckého algoritmu je tedy prohledání lokálního okolí nejlepšího nalezeného řešení (nebo náhodně vygenerovaného řešení na začátku optimalizace). Namísto náhodného hledání dalšího řešení se použije nejlepší doposud nalezené řešení (střed oblasti), ve kterém se vytvoří určitá malá změna (např. změníme 5 % parametrů tohoto řešení). Nový bod se přijme, pokud je lepší než ten, ze kterého vznikl. Pokud je horší, opět se provede jiná malá změna nejlepšího řešení. Z principu průběhu horolezeckého algoritmu je patrná silná závislost mezi předcházejícím a novým řešením. Horolezecké algoritmy jsou typické rychlým zjištěním lokálního extrému, ve kterém uváznou, pokud se v prohledávaném okolí nenachází lepší řešení. Proto se horolezecké metody při optimalizaci používají na dotáhnutí do extrému řešení 14

16 nalezeného jinou metodou. Jiné varianty horolezeckého algoritmu jsou horolezecký algoritmus s učením a zakázané hledání (tabu search). Průběh horolezeckého algoritmu (viz [8], str. 43): procedura horolezecký algoritmus begin generování P (populace o N bodech náhodně vybranou z D) repeat localpoint = false náhodně z populace vyber bod v a urči jeho funkční hodnotu repeat vyber všechny nové body z okolí v c vyber bod v n ze sady nových bodů s nejmenší hodnotou if hodnota v n lepší než hodnota v c then hodnota v c = v n else localpoint = true until localpoint t=t+1 if v c je lepší než nejlepší bod v then hodnota v = v c until t=max end 3.4. Algoritmus SOMA Optimalizační algoritmus SOMA (Self-Organizing migrating algorithm), jehož autorem je Ivan Zelinka (viz [4]), je charakteristický především prací s populací řešení, uplatňují se v něm strategie soutěže a spolupráce. V algoritmu SOMA se nevytváří žádní noví jedinci, dochází pouze k jejich přemisťování ve stavovém prostoru. Samoorganizace prostoru, o které se hovoří v názvu algoritmu, vzniká v důsledku vzájemného působení jedinců populace v průběhu jejich pohybu. 15

17 V Algoritmu SOMA chápeme souřadnice jedince ve stavovém prostoru jako hodnoty parametrů, což umožňuje dobrou geometrickou interpretovatelnost a detailní vykreslení průběhu algoritmu. Vycházíme z náhodného počtu jedinců, u kterých vyhodnotíme jejich fitness. Na základě té se určí nejlepší jedinec lídr. Pak vytvoříme další populaci, ve které se každý jedinec mimo lídra pokusí najít vhodnější polohu v prostoru skoky určité délky po přímce směrem k vůdci. Skoky mají normální rozdělení se střední hodnotou, kterou je délka skoku, a rozptylem, který způsobuje nárůst diverzity v populaci. Po absolvování celé cesty se jedinec v další populaci usadí na nejvýhodnějším místě z celé trasy. Obr. 3.1: Znázornění průběhu algoritmu SOMA, viz [9] Migrace jedince (A) směrem k lídrovi (L). Jedinec se pohybuje skoky a ohodnocuje každou pozici (prázdné kroužky), na kterou skočí. Po průchodu celé trajektorie se usadí na té pozici, která měla nejlepší ohodnocení (viz obr. 3.1, bod B). Původní populaci tvoří modré body a červený lídr. Variací algoritmu SOMA je mnoho, uvedeme zde jen dvě základní: All-to-one Všichni k jedinému. Základní variace algoritmu, kdy všichni jedinci z populace migrují k statickému lídrovi. All-to-All Všichni ke všem. V této variaci neexistuje lídr, každý jedinec migruje ke všem ostatním, což zvyšuje výpočetní náročnost, prohledávaný prostor 16

18 a pravděpodobnost nalezení globálního extrému. Dalšími variantami jsou například: All-to-One-Rand Všichni k jedinému náhodně, All-To-All-Adaptive Adaptivně všichni ke všem, Clusters Svazky. Jednotlivé varianty jsou popsány v [4] a [9] Diferenciální evoluce (DE) Nová populace Q je v algoritmu diferenciální evoluce vytvářena tak, že pro každý bod ze staré populace P se vytvoří jeho potenciální konkurent y. Do nové populace zahrneme ten z této dvojice bodů, který má nižší funkční hodnotu. Zkřížíme-li bod u a bod x i tak, že kterýkoliv prvek x ij nahradíme hodnotou u j s pravděpodobností C, získáme nového potenciálního konkurenta y. Nejčastěji používané postupy na generování nového bod u jsou: Postup RAND, který generuje bod u ze třech bodů ze staré populace podle vztahu: u = r 1 + F (r 1 r 3 ), (5) kde r 1, r 2 a r 3 jsou navzájem různé body náhodně vybrané z populace P mimo aktuálního bodu x i, F je vstupný parametr. Heuristika BEST využívá modifikace bodu x best, nejlepšího bodu z populace P podle vztahu: u = x best + F (r 1 + r 2 r 3 r 4 ), (6) kde r 1, r 2, r 3 a r 4 jsou vzájemně různé náhodně vybrané body z populace P různé od aktuálního bodu x i od bodu x best s nejnižší funkční hodnotou v P. F > 0 je vstupní parametr. Nový vektor y vznikne křížením vektoru u a náhodně vybraného vektoru x tak, že každá složka x i je přepsána hodnotou u i s pravděpodobností C. C 0, 1 je další vstupní parametr heuristiky. { ui pro U < C nebo i = j y i = x i jinak i = 1, 2,..., d, (7) Kde U je náhodná veličina rovnoměrně rozdělená na intervalu 0, 1) a j je náhodně 17

19 vybraný index složky vektoru zabezpečující přepis alespoň jedné složky vektoru x při jakékoliv volbě hodnoty C. Agoritmus DE je vhodný pro použití především díky poměrně výpočetně nenáročnému generování bodu y i celkové jednoduchosti. Velkou pozornost musíme ale věnovat výběru vstupních hodnot F a C, na které je algoritmus velmi citlivý. Žádná z těchto heuristik nezaručuje, že vygenerovaný bod y bude ležet v D. Pokud nastane tento případ, je aplikována tzv. perturbace, která zrcadlově překlopí souřadnici y i a, b Metoda simulovaného žíhání Doposud byly v této práci zmíněny pouze algoritmy, jejichž princip je založen na poznatcích z biologie. Metoda simulovaného žíhání (Simulated Annealing, ozn. SA) patří mezi stochastické optimalizační algoritmy, které mají základ ve fyzice. Počátkem 80. let přišli Kirkpatrick, Gelatt, Vecchi a Černý s myšlenkou, že problém hledání globálního minima funkce lze realizovat podobným způsobem jako žíhání tuhého tělesa. Tento princip nazvali metodou simulovaného žíhání. Metoda simulovaného žíhání je velmi dobře zpracovaná ve zdrojích [6], [7], [10], [12] Fyzikální interpretace žíhání tuhého tělesa Termín žíhání označuje ve fyzice proces, při kterém je těleso vyhřáté v peci na vysokou teplotu a postupným pomalým ochlazováním (= žíháním) se odstraňují vnitřní defekty tělesa. Vlivem vysoké teploty se částice dané látky v tělese náhodně uspořádají v prostoru (těleso je roztopené). Pravděpodobnost zániku defektů krystalické mřížky je při vysoké teplotě velmi velká. Pomalým ochlazováním potom docílíme také snižování pravděpodobnosti vzniku nových defektů. Při postupném ochlazování se částice ustalují do rovnovážné polohy, čímž celková energie tělesa a tím i defektovost klesá. Je-li proces ochlazování dostatečně pomalý, potom je za každé teploty T žíhané těleso v rovnovážném stavu. Tento stav popisuje Boltzmannovo rozdělení 18

20 pravděpodobnosti toho, že při teplotě T je těleso ve stavu i s energií E i. kde T je Boltzmannova konstanta a W T (E i ) = 1 Q(T ) e Ei kt, (8) Q(T ) = i e E i kt, (9) když i v sumě reprezentuje všechny stavy tělesa. S klesající teplotou T preferuje Boltzmannovo rozdělení stavy s nižší energií. V případě, že se teplota blíží k nule, má stav s minimální energií nenulovou pravděpodobnost. Existuje analogie tohoto přírodního procesu s procesem řešení optimalizačních problémů Metropolisův algoritmus Postup simulovaného žíhání je založen na simulování fyzikálních procesů probíhajících při odstraňování defektů krystalické mřížky. Je to zároveň také varianta horolezeckého algoritmu, v němž jsou heuristické kroky směrem k horšímu řešení řízeny s určitou pravděpodobností. V roce 1953 navrhl N. Metropolis se svými kolegy jednoduchý algoritmus založený na metodě Monte Carlo, která funguje na tomto principu: Nechť je daný aktuální stav systému, určený polohou částic tělesa. Potom jsou částice jemně posunuty a tím je způsobena malá náhodná symetrická porucha (tj. pravděpodobnost změny stavu A na stav B vlivem poruchy, musí být stejná jako změna stavu B na A). Poruchy jsou generovány dokud rozdíl energií aktuálního a porušeného stavu E není nezáporný. Potom je pravděpodobnost přijetí porušeného stavu do dalšího procesu určena vztahem P r = min ) (1, e ( E) kt. (10) Toto pravidlo přijetí porušeného stavu nazýváme Metropolisovým kritériem. Řídíme-li se tímto kritériem a aplikujeme-li jej na velký počet poruch, dostaneme systém tepelné rovnováhy. Tato forma metody Monte Carlo se nazývá Metropolisův algoritmus. Malá náhodná změna řešení (perturbation) potom odpovídá 19

21 kmitání částic při žíhání tuhého tělesa a ochlazování je postupné snižování pravděpodobnosti, se kterou v dalším kroku akceptujeme horší řešení. Účelem Metropolisova algoritmu je především zabránit uváznutí v lokálním extrému tím, že za určitých podmínek přijmeme za lepší řešení i to, které má mírně nižší fitness funkci než předcházející nejlepší řešení Simulované žíhání Simulované žíhání je variantou horolezeckého algoritmu, v němž kroky heuristiky směřují k horšímu řešení s určitou pravděpodobností. Je to sekvence Metropolisových algoritmů s postupným snižováním teploty, přičemž vycházíme vždy z výstupů předcházejícího běhu Metropolisova algoritmu. Na začátku optimalizačního procesu můžeme tento algoritmus přirovnat k stochastickému prohledávání stavového prostoru, ale v závěru průběhu je již spíše verzí horolezeckého algoritmu. Implementace Metropolisova algoritmu (viz [8]): procedura Metropolisuv algoritmus(input: x ini, k max, T ; output : x out ); begin k = 0; x = x ini ; while k < k max do begin k =k+1; x = O pertur (x); P r = min(1, exp( (f(x ) f(x))/t ); end if náhodné číslo P r then x = x end x out = x V algoritmu x ini označuje počáteční stav, k max je maximální počet kroků, O pertur (x) reprezentuje malou změnu ze stavu x do stavu x. V algoritmu se použije Metropolisovo kritérium za teploty T a výstupem je poslední stav x out. 20

22 Algoritmus Simulovaného žíhání (obsahuje výše uvedený Metropolisův algoritmus) lze popsat takto: procedura Simulovane zihani(input : T min, T max, k max, α; output : x opt ); begin x ini = náhodně vygenerovaný vektor z D; T = T max ; while T > T min do begin Metropolisuv algoritmus (x ini, x out, k max, T ); x ini = x out T = αt end end x opt = x out Algoritmus je zahájen vygenerováním počátečního stavu x ini a maximální teplotou T max. Cyklus while se opakuje se snižující teplotou k max krát. Výstupem je konečný zamrzlý stav x out. Parametr α volíme z intervalu 0 < α < 1 a jde o koeficient snižování teploty. Algoritmus je ukončen, pokud je teplota snížena na minimum a za této teploty již není žádný stav s vyšší funkční hodnotou, který bychom mohli akceptovat. Fyzikální systém okolní podmínky energie základní stav rychlost ochlazování teplota obezřetné žíhání Optimalizační problém množina přípustných řešení hodnotící funkce optimalizační podmínka lokální vyhledávání kontrolní parametr simulované žíhání Tab. 3.1: Tabulka ekvivalentů fyzikálního a optimalizačního pojetí (viz [8]) 21

23 Simulované žíhání s elitizmem Za simulované žíhání s elitizmem považujeme pozměněnou variantu základního simulovaného žíhání s tím rozdílem, že za počáteční stav považujeme nejlepší řešení, které bylo zjištěno při předchozích průbězích za vyšší teploty. V původní verzi byl počátečním stavem výsledný stav předchozího Metropolisova algoritmu při stejné teplotě T. Nevýhody této varianty: nedostatečně velká konstanta k max, pro diskrétní kroky teploty není Metropolisův algoritmus v tepelné rovnováze, protože vlivem změněné počáteční podmínky může pro nižší teploty nastat stav, kdy výsledné řešení Metropolisova algoritmu odpovídá lokálnímu minimu, které se liší od globálního minima Paralelní simulované žíhání Tato verze obecného simulovaného žíhání je vyjímečná svou úspěšností i při řešení složitých kombinatorických problémů, kdy by obecná verze neuspěla. Základní myšlenka spočívá v aplikaci simulovaného žíhání na množinu P stavů x, x, x,..., které jsou sladěny tak, že Metropolisovy algoritmy probíhají ve všech současně se stejnou teplotou. V práci se stavy zde používáme operaci křížení převzatou z genetických algoritmů. Nechť existují dva rodičovské stavy x = (x 1, x 2,..., x N ) a x = (x 1, x 2,..., x N ) délky N. Jejich křížením potom získáme potomky definované takto: z = (x 1, x 2,..., x r, x r+1,... x N), (11) z = (x 1, x 2,..., x r, x r+1,... x N ), (12) kde r je náhodně vybraný bod křížení, 1 < r < N. Zda jsou nové stavy akceptovány, řeší Metropolisův algoritmus aplikovaný zvlášť na páry (x, z) a (x, z ). Akceptujeme-li pomocí MA nový stav z, obnovíme množinu P nahrazením z za x. 22

24 Výsledkem je nejlepší řešení z množiny P, tj. množiny řešení vycházející z dokončeného simulovaného žíhání. Paralelní simulované žíhání znázorňuje následující obrázek. Na jednotlivé stavy znázorněné černými obdélníky jsou aplikované nezávislé Metropolisovy algoritmy se stejnou teplotou T. Interakce mezi stavy je znázorněna šipkami, probíhá s malou pravděpodobností 0 < P cross << 1. Obr. 3.2: Znázornění paralelního simulovaného žíhání Vlastní algoritmus RYPOŠ Při vytváření vlastního algoritmu jsme vycházeli z chování australského hlodavce rypoše žijícího v podzemních chodbách pod povrchem pouště. Rypoš patří mezi živočišné druhy tvořící kolonie se sociálním uspořádáním a hierarchií podobnou hmyzu. V kolonii se rozmnožuje jen jedna samice královna, k páření má několik plodných samců a zbytek kolonie tvoří nerozmnožující se dělníci. Z toho vyplývá, že dělníci jsou více spřízněni s královnou, než sami se sebou, a jejich rozmnožování je nevýhodné. Naopak královna rodí efektivní potomstvo nesoucí veškeré v populaci se vyskytující geny. Tím se zároveň zvyšuje úspěšnost i četnost kolonie Obr. 3.3: Rypoš lysý. 23

25 Princip fungování algoritmu RYPOŠ: Nejprve náhodně vygenerujeme původní populaci o 10 jedincích (žlutá kolečka). Poté vybíráme místa, kde mohou vzniknout hnízda (červený čtverec). První hnízdo je zvoleno v prvním generovaném bodě populace, jako další jsou zaznamenána jen ta hnízda, která mají lepší funkční hodnotu, než v historii nalezené hnízdo. Ostatní žluté body se stávají dělníky, kteří se budou starat o shánění potravy pro kolonii. Dále je náhodně vygenerována královna (modrá hvězdička). Královna si vybírá ženicha (hnízdo, bílý čtverec) podle dvou hledisek: buď zvolí takové hnízdo, které je nejblíž (ženichovy feromony na ni působí nejvíce, je jejímu srdci nejblíž). Nebo zvolí hnízdo v bodě s nejnižší funkční hodnotou, protože tento ženich je pro ni nejlepší, je nejbohatší. Je také středem pro generování další populace. Královna má s ženichem 10 potomků (modrá kolečka), kteří jsou v našem případě generováni z normálního rozdělení kolem vybraného hnízda. Všechny potomky z jednoho vrhu posouváme o stejnou vzdálenost (disperzi) závislou na pořadí vrhu (číslu iterace). V případě, že noví potomci leží mimo definiční obor (prohledávaný prostor), jsou pomocí funkce zrcad, která je vlastně středovou souměrností, překlopeny podle hnízda zpět do našeho definičního oboru. Nyní máme k dispozici 20 jedinců, ale pro tak velkou kolonii by v okolí nebyl dostatek hlíz, a proto musí ti jedinci, kteří nejsou dost dobří (mají nejhorší funkční hodnotu) odejít. Královna již splnila svou funkci a také kolonii opouští. Máme tedy opět kolonii nejlepších 10 rypošů složenou z jedinců původní populace i z přeživších potomků (světle modrá kolečka). Nyní se opět náhodně objeví (vygeneruje) královna a cyklus rození probíhá znovu dokola. Pro zachování integrity s ostatními algoritmy bylo generováno vždy v každé iteraci 10 bodů a náš cyklus byl ukončen po 20 vrzích. Jako 24

26 aproximace minima (řešení) je vyhodnocen jedinec s nejlepším hnízdem ze všech iterací. Pro ilustraci zde uvádíme grafické znázornění průběhu algoritmu RYPOŠ při testování Schwefelovy funkce. Z 20 iterací jsou na obr. 3.4 zobrazeny 1., 5., 10., 15. a 20. iterace. Oscilace mezi vybranými hnízdy je způsobena možností volby způsobu, kterým může královna vybrat hnízdo. Zabraňujeme tak uváznutí v lokálním extrému. Na obr. 3.5 je krabičkový diagram pro funkce Ackleyho, první De Jongovu, Griewangkovu, Rastrigovu a pro Rosenbrockovo sedlo vytvořený z funkčních hodnot získaných testováním algoritmu RYPOŠ. Schwefelova funkce byla z tohoto diagramu vynechána, protože naměřené odchylky od funkční hodnoty reálného minima byly příliš vysoké v porovnání s daty z testování ostatních funkcí. Na ose y by bylo příliš velké rozpětí mezi krajními hodnotami a diagram by byl nepřehledný. V porovnání s jinými algoritmy je ale Schwefelova funkce otestováná algoritmem RYPOŠ se srovnatelnými výsledky. Větší odchylky jsou dány složitostí funkce. 25

27 Schwefelova funkce 1. iterace algoritmu RYPOŠ 5. iterace algoritmu RYPOŠ 10. iterace algoritmu RYPOŠ 15. iterace algoritmu RYPOŠ Schwefelova funkce: f(x) = Dim i=1 x i sin( x i ) D = a, a a, a, a = minimum x = (420.97,..., ), f(x) = d nalezená aproximace minima: ( , ), f(x) = iterace algoritmu RYPOŠ Obr. 3.4: Populace v několika iteracích u algoritmu RYPOŠ

28 Krabičkový diagram 1 Ackleyova funkce 2 DeJongova funkce 3 Griewangkova funkce 4 Rastringova funkce 5 Rosenbrockovo sedlo Obr. 3.5: Výsledek testování algoritmu RYPOŠ 27

29 4. Aplikace heuristik V posledních letech se rozmohlo používání heuristik v různých oblastech vědy od psychologie, informatiky, matematiky až po ekonomii a jiné podobné vědy. V ekonomii se heuristiky používají zejména na zjišťování minimálních nákladů spojených s určitým výkonem. Časté je také jejich využití v logistických úlohách, kde se může jednat o zefektivnění umístění skladů, centrálních středisek nebo jiných základen tak, aby náklady na dopravu do odbytových míst byly co nejnižší. K výpočtu je třeba zjistit souřadnice odbytových míst a vektor vah, kterým jsou počty cest uskutečněných do odbytových cílů. Hledáme souřadnice (x, y) pro umístění skladu. Funkci, jejíž minimum budeme zjišťovat, získáme načítáním euklidovských vzdáleností bodů, ve kterých jsou umístěna odbytová místa, a imaginárního bodu pro umístění skladu (x, y) násobených příslušnou složkou z vektoru vah. Pro určení minima této funkce můžeme použít libovolný algoritmus (heuristiku). V oblasti behaviorální ekonomie se aplikují heuristiky na problém rozhodování nakupujících. V tradiční ekonomii je předpoklad plné informovanosti buď o ceně a umístění na trhu nebo o pravděpodobnosti rozdělení cen na trhu. V určitých případech, kdy nakupující vstupuje na specifický trh pouze velmi nepravidelně (trh zboží dlouhodobé spotřeby, nebo naopak trh práce),tyto předpoklady neplatí. V behaviorální ekonomii rozlišujeme tři heuristiky pro řešení tohoto problému popsané ve zdroji [11]: Přizpůsobivou heuristiku (prvotní ideu výše přijatelné ceny měnící se v závislosti na aktuálních cenách objevených během hledání řešení), Bargainovu heuristiku (ideu o výši přijatelné ceny založené na určitém rozptylu od odhadované průměrné ceny získané z cen objevených během hledání) a vývojovou heuristiku (myšlenku, že přijmeme takovou cenu, která je rovná předpovídané ceně nalezené v dalším kroku zvýšenou o hodnotu tohoto kroku). Heuristiky lze použít také například v teorii portfolia, kde je můžeme využít ke zjištění optimálního rozložení akcií v portfoliu. Výsledkem minimalizace je vektor vah odpovídající doporučené volbě akcií do portfolia. 28

30 5. Testování uvedených algoritmů praktická část V programu Matlab 6.1 byly vygenerovány grafy testovacích funkcí uvedených v kapitole 2, spolu se zakreslenými body minima nalezenými slepým vyhledáváním (obr. 5.1), algoritmem simulovaného žíhání (obr. 5.2) a horolezeckým algoritmem (obr. 5.3). Vysvětlení značení a použité parametry: Slepé vyhledávání: žlutá kolečka = body vyhodnocené v průběhu algoritmu jako lepší červené kolečko = algoritmem nalezené minimum (nejlepší bod) Simulované žíhání: bílý čtvereček = náhodně vybraný počáteční bod žlutá kolečka = body vyhodnocené v průběhu algoritmu jako lepší fialový trojúhelník = algoritmem nalezené minimum (nejlepší bod) Parametry: T min = 0,0001, T max = 1000, α = 0,15, k max = 200. (názvy proměnných korespondují se značením použitým v kapitole 3.6 a byly zvoleny náhodně) Horolezecký algoritmus: žluté křížky = body vyhodnocené v průběhu algoritmu jako lepší červené kolečko = algoritmem nalezené minimum (nejlepší bod) U všech algoritmů byly nastaveny parametry tak, aby bylo ve všech iteracích vygenerováno 200 bodů. Např. algoritmus RYPOŠ byl testován pro 20 iterací, ve kterých bylo generováno po 10 bodech. 29

31 a) Ackleyho funkce b) první De Jongova funkce nalezené minimum x = ( , ), f(x) = c) Griewangkova funkce nalezené minimum x = ( , ), f(x) = d) Rastrigova funkce nalezené minimum x = (7.2641, ), f(x) = e) Rosenbrockova funkce nalezené minimum x = ( , ), f(x) = f) Schwefelova funkce nalezené minimum x = (0.4348, ), f(x) = nalezené minimum x = ( , ), f(x) = Obr. 5.1: Iterace a nalezená řešení ve slepém algoritmu

32 a) Ackleyho funkce b) první De Jongova funkce nalezené minimum x = (6.9286, ), f(x) = c) Griewangkova funkce nalezené minimum x = (0.0376, ), f(x) = d) Rastrigova funkce nalezené minimum x = ( , ), f(x) = e) Rosenbrockova funkce nalezené minimum x = (0.0205, ), f(x) = f) Schwefelova funkce nalezené minimum x = (0.0009, ), f(x) = nalezené minimum x = ( , ), f(x) = Obr. 5.2: Iterace a nalezená řešení v simulovaném žíhání

33 a) Ackleyho funkce b) první De Jongova funkce nalezené minimum x = (0.1013, ), f(x) = c) Griewangkova funkce nalezené minimum x = ( , ), f(x) = d) Rastrigova funkce nalezené minimum x = (1.1543, ), f(x) = e) Rosenbrockova funkce nalezené minimum x = (0.0684, ), f(x) = f) Schwefelova funkce nalezené minimum x = (0.1013, ), f(x) = nalezené minimum x = (0.1386, ), f(x) = Obr. 5.3: Iterace a nalezená řešení v horolezeckém algoritmu

34 Slepé vyhledávání, horolezecký algoritmus, simulované žíhání a algoritmus SOMA (varianta All-to-one) byly testovány 20 na každou z šesti vybraných testovacích funkcí. Data jsou v tabulkách a jsou součástí přílohy. Pro porovnání úspěšnosti jsou z výsledných nalezených funkčních hodnot vytvořeny krabičkové diagramy (obr. 5.4) vyjadřující vhodnost aplikace algoritmu pro danou funkci. Krabičkové diagramy jsou řazeny vždy v pořadí: 1 slepé vyhledávání (BS), 2 simulované žíhání (SA), 3 horolezecký algoritmus (HILL), 4 algoritmus SOMA, 5 algoritmus RYPOŠ. Nejprve připomeneme údaje, které jsou v krabičkovém diagramu znázorňovány. Obr. 5.4: Krabičkový diagram 33

35 Výsledek testování Ackleyho funkce Výsledek testování první De Jongova funkce Výsledek testování Griewangkova funkce Výsledek testování Rastrigova funkce Výsledek testování Rosenbrockova funkce Výsledek testování Schwefelova funkce Obr. 5.5: Porovnání úspěšnosti algoritmů 34

36 Vyhodnocení: Podle vzhledu box diagramů můžeme určit, jaký algoritmus byl v našem testování pro každou funkci nejvhodnější. Můžeme sledovat např. jak daleko se nachází medián (určený ze získaných aproximací minima) od známé hodnoty globálního minima. Pokud bychom dle úspěšnosti při testování jednotlivých funkcí měli použité algoritmy ocenit prvním až třetím místem, výsledky by byly následující: Funkce Ackleyho De Jongova Griewangkova Rastrigova Rosenbrockova Schwefelova 1. SOMA SOMA + SA SOMA SA BS SOMA 2. HILL RYPOŠ + BS RYPOŠ SOMA SOMA BS + RYPOŠ 3. RYPOŠ BS RYPOŠ SA Tab. 5.1: Vyhodnocení úspěšnosti algoritmů Z tabulky vyplývá, že z testovaných pěti algoritmů řeší otázku optimalizace nejlépe algoritmus SOMA. Je velmi potěšující, že algoritmus RYPOŠ je spolu je simulovaným žíháním hned na druhém místě. Lze se domnívat, že jeho úspěšnost půjde ještě zvýšit vhodnou volbou parametrů tak, aby byla v průběhu algoritmu volena vhodnější posloupnost bodů s co nejvyšší pravděpodobností konvergující k hledanému minimu. Toto optimální nastavení je u většiny uváděných algoritmů známo nebo odzkoušeno a může to být i důvod jejich větší úspěšnosti. Důležité je, že navržený algoritmus RYPOŠ obstál v konkurenci běžných algoritmů a dokonce nikdy neskončil na posledním (pátém) místě. U Schwefelovy funkce dosvědčil, že dobře řeší i optimalizační úlohu u multimodálních funkcí, aniž by uvízl v lokálním minimu. 35

37 6. Závěr V bakalářské práci jsme vysvětlili princip fungování jednotlivých stochastických algoritmů. Uvedli jsme také výhody a nevýhody jejich použití a typy úloh, kdy je jejich aplikace nejvhodnější. Dále jsme detailně popsali algoritmus simulovaného žíhání, který je jediný založen na fyzikální analogii. Dále jsme se věnovali testování algoritmů. V programu Matlab 6.1 byly pomocí m-souborů vytvořeny předpisy šesti testovacích funkcí. Pro algoritmus slepého vyhledávání, simulovaného žíhání, horolezeckého algoritmu a algoritmus SOMA jsme vždy dvacetkrát hledali aproximaci globálního minima (při stejném počtu generovaných bodů). Výsledky jsou uvedeny v tabulkách v příloze a byly použity pro vytvoření krabičkových diagramů pro jednotlivé funkce. Účelem bylo zjistit, který z algoritmů pro hledání aproximace globálního minima byl nejvhodnější. Odchylky výsledků od známé hodnoty minima jsou způsobeny především multimodálností funkce a tendencí algoritmů uváznout v lokálním minimu, na což je nejvíce náchylný horolezecký algoritmus, který v průběhu 200 iterací nedosahoval u složitějších funkcí uspokojivých výsledků. Výsledky algoritmu simulovaného žíhání mohou být trochu zklamáním. Zde ale může být problém v nastavení počátečních parametrů, především parametru α, který mění rychlost změny teploty. Úprava parametrů by mohla výsledky zlepšit. Jako nejúspěšnější je možné vyhodnotit algoritmus SOMA, kde byla testována verze All-to-one. Velkou pozornost ale mohou vzbudit i výsledky dosažené novým algoritmem RYPOŠ. Ten je založen na myšlence evolučních algoritmů a jeho průběh je popsán ve třetí kapitole. Hlavním cílem bylo dosahovat uspokojivých výsledků a omezit možnost uváznutí v lokálním minimu, což zabezpečují dvě možnosti volby hnízda. Algoritmus RYPOŠ je podle získaných výsledků srovnatelný s ostatními zde testovaným algoritmy. Výborně řeší optimalizační otázku například i u Schwefelovy funkce, která svým předpisem patří k nejnáročnějším testovacím funkcím. Během zpracování bakalářské práce jsem vylepšila své znalosti programování 36

38 a prostudovala jsem zajímavou oblast optimalizačních metod. Při zpracování této práce jsem si uvědomila, že i v matematice je prostor pro experimentování. Doufám, že se budu moci tomuto tématu věnovat v rámci diplomové práce na navazujícím studiu. Také doufám, že se mi vhodnou volbou parametrů podaří docílit zpřesnění výsledků a algoritmus RYPOŠ se stane úspěšnějším než ostatní testované a dnes používané algoritmy. 37

39 Literatura [1] Tvrdík, J.: Porovnání heuristik v algoritmech globální optimalizace. sborník konference Robust, JČMF, 2002, str [2] Míka, S.: Matematická optimalizace. Západočeská univerzita, Plzeň, [3] Blažek, J., Habibbala, H., Pavliska, V., Vybrané heuristiky pro globální optimalizaci a jejich implementace v Matlabu. [citováno ]. [4] Zelinka, I., Algoritmus SOMA, testovací funkce. [citováno ]. [5] Obitk, M., Genetické algoritmy: Matrice života v počítačích, 2001, [citováno ]. [6] Babjak, J., Optimalizačné algoritmy, 2003, [citováno ]. [7] Kvasnička, V., Evolučné algoritmy, 2003, [citováno ]. [8] Michalewicz, Z., Fogel D. B.: How to solve it: Modern Heuritics. Second, revised and extended edition, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, [9] Babjak, J., Algoritmus SOMA najlepšie, čo doma máme, 2003, A7C?OpenDocument&cast=1 [citováno ]. [10] Kalátová, E., Dobiáš, J., Evoluční algoritmy, 2000, alg2/e alg.htm [citováno ]. [11] Skořepa, M., Tři heuristiky pro hledání nízké ceny na málo známém trhu, 2007, [citováno ]. 38

40 [12] Majer, P., disertační práce Moderní metody rozvrhování výroby, kapitola 3: Metody řešení, majer.czweb.org/scheduling/30metody reseni.doc [citováno ]. 39

41 Přílohy Na následujících stranách jsou uvedeny výsledky z testování stochastických algoritmů pro hledání aproximace globálního minima. Údaje z přílohy sloužily pro konstrukci krabičkových diagramů. Součástí přílohy je i vložené CD obsahující vytvořené m soubory použitých testovacích funkcí a spouštěcí programy pro jednotlivé algoritmy. Všechny algoritmy jsou původní s výjimkou algoritmu SOMA, jehož varianta All-to-one byla převzata z internetové stránky Ivana Zelinky uvedené ve zdroji číslo [4]. 40

42 Výsledky testování slepým algoritmem Algoritm us Test.fce Pokus x= y= F(x,y) Test.fce Pokus x= y= F(x,y) Slepý alg. Ackleyho ,4260 De Jongova ,4614 7, ,8161-0,2364 0, ,3948-1,8736 5, ,0005 0,1619 2, ,7111 1,3539 4, ,2049 0,9601 7, ,4616-1,9264 5, ,9607 1,1104 4, ,9266 0,9266 3, ,1708-0,6330 5, ,8200-0,7244 3, ,8226 0,1777 2, ,8905-2,6199 6, ,2578-0,5345 3, ,4341-1,0538 3, ,6671 0,3647 3, ,1031 1,5053 5, ,5128 2,5243 6, ,0951-0,7133 2, Test.fce Pokus x= y= F(x,y) Test.fce Pokus x= y= F(x,y) Griew angkova 1-3, ,7564 1,0058 Rastrigova ,0445 3, , ,9346 2, ,0588 2, , ,2400 0, ,9241 3, , ,1885 1, ,0069 1, , ,9420 1, ,0440-1,0714 3, , ,5458 1, ,8666 6, ,3780-6,1144 0, ,0430 0,0188 1, , ,7798 1, ,1506-0,0394 5, , ,0559 1, ,9810 0,0594 1, , ,6318 1, ,0122-0,8850 3, , ,4366 0, ,0503 1,0950 4, , ,7197 0, ,9774 1, , , ,2039 1, ,9627-1,0488 2, , ,6573 1, ,0486 0,1171 4, , ,2827 1, ,0835 1,0804 3, , ,3274 1, ,9576-2,0139 5, , ,8394 1, ,0758 0,9222 3, , ,5616 3, ,0163-1,9378 5, , ,0070 1, ,9918 1,0115 2, ,6668-7,0743 1, ,9092 0,0006 5,2304 Test.fce Pokus x= y= F(x,y) Test.fce Pokus x= y= F(x,y) Rosenbrockova 1 0,8719 0,7520 0,0232 Schw efelova 1 197, , , ,2864 1,6170 0, , , , ,1487 1,3191 0, , , , ,9867 1,0311 0, , , , ,0741 1,1434 0, , , , ,1997 1,3936 0, , , , ,4201 0,1497 0, , , , ,8515 0,6935 0, , , , ,0097 1,0082 0, , , , ,9927 1,0053 0, , , , ,2051 1,5068 0, , , , ,6849 0,4769 0, , , , ,7595 0,5428 0, , , , ,2321 1,5733 0, , , , ,0683 0,0065 0, , , , ,9868 0,9809 0, , , , ,7763 0,6677 0, , , , ,0373 1,0565 0, , , , ,5090 0,2713 0, , , , ,9181 0,8658 0, , , ,

43 Výsledky testování simulovaným žíháním Algoritm us Test.fce Pokus x= y= F(x,y) Test.fce Pokus x= y= F(x,y) SA Ackleyho ,2276 9,0526 De Jongova e ,6392 3, ,7859 9, e ,6910-6, , ,2224 2, e ,1424 3, ,0054 0, e , , e ,7061 3, e , , e ,2804 2, ,5646-1,5686 6, e ,9506-4, , ,0260 0, ,1927 1, ,6962 3, e ,1489 1, e , , ,1165 0, , , Test.fce Pokus x= y= F(x,y) Test.fce Pokus x= y= F(x,y) Griew angkova ,3343 2,2230 Rastrigova , , , , , ,8591 4, , , , , ,3415 2, , , , , , ,9567 4, , , , , , , , , , , , , ,5978 6, ,8654 2, , , ,7525 0, Test.fce Pokus x= y= F(x,y) Test.fce Pokus x= y= F(x,y) Rosenbrockova ,0155 0,9887 Schw efelova ,0078 1, ,0290 1, ,0050 1, ,0059 1, ,0119 0, ,0021 0, ,0031 0, ,0038 0, ,0035 0, ,0096 1, ,0021 1, ,0017 0, ,0050 1, ,0043 1, ,0150 1, ,0097 0, ,0047 1, ,0041 1, ,0136 0,

Obsah. Zelinka: UI v problémech globální optimalizace BEN technická literatura 3

Obsah. Zelinka: UI v problémech globální optimalizace BEN technická literatura 3 UMÌLÁ INTELIGENCE V PROBLÉMECH GLOBÁLNÍ OPTIMALIZACE Ivan Zelinka Praha 2002 Tato publikace vznikla za podpory grantù MŠM 26500014, GAÈR 102/00/0526 a GAÈR 102/02/0204 Kniha seznamuje ètenáøe se dvìma

Více

OBSAH 1 Pøedmluva 19 2 Evoluèní algoritmy: nástin 25 2.1 Centrální dogma evoluèních výpoèetních technik... 26 2.2 Chcete vìdìt víc?... 29 3 Historická fakta trochu jinak 31 3.1 Pár zajímavých faktù...

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Simulované žíhání jako nástroj k hledání optimálního řešení

Simulované žíhání jako nástroj k hledání optimálního řešení Simulované žíhání jako nástroj k hledání optimálního řešení Michael Pokorný Střední škola aplikované kbernetik s.r.o., Hradecká 5, Hradec Králové pokorn.michael@ssakhk.cz Abstrakt Simulované žíhání je

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír

Více

1. Úvod do genetických algoritmů (GA)

1. Úvod do genetických algoritmů (GA) Obsah 1. Úvod do genetických algoritmů (GA)... 2 1.1 Základní informace... 2 1.2 Výstupy z učení... 2 1.3 Základní pomy genetických algoritmů... 2 1.3.1 Úvod... 2 1.3.2 Základní pomy... 2 1.3.3 Operátor

Více

2. RBF neuronové sítě

2. RBF neuronové sítě 2. RBF neuronové sítě Kapitola pojednává o neuronových sítích typu RBF. V kapitole je popsána základní struktura tohoto typu neuronové sítě. Poté následuje definice a charakteristika jednotlivých radiálně

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Hlavní specializace: Ekonometrie a operační výzkum Název diplomové práce Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů Diplomant: Vedoucí

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

IB108 Sada 1, Příklad 1 Vypracovali: Tomáš Krajča (255676), Martin Milata (256615)

IB108 Sada 1, Příklad 1 Vypracovali: Tomáš Krajča (255676), Martin Milata (256615) IB108 Sada 1, Příklad 1 ( ) Složitost třídícího algoritmu 1/-Sort je v O n log O (n.71 ). Necht n = j i (velikost pole, které je vstupním parametrem funkce 1/-Sort). Lehce spočítáme, že velikost pole předávaná

Více

Analytické programování v C#

Analytické programování v C# Analytické programování v C# Analytic programming in C# Bc Eva Kaspříková Diplomová práce 2008 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 2008 4 ABSTRAKT Analytické programování je metoda, která generuje

Více

Masarykova univerzita. Fakulta informatiky. Evoluce pohybu

Masarykova univerzita. Fakulta informatiky. Evoluce pohybu Masarykova univerzita Fakulta informatiky Evoluce pohybu IV109 Tomáš Kotula, 265 287 Brno, 2009 Úvod Pohyb je jedním ze základních projevů života. Zdá se tedy logické, že stejně jako ostatní vlastnosti

Více

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Dnešní program odvozování v Bayesovských sítích exaktní metody (enumerace, eliminace proměnných) aproximační metody y( (vzorkovací techniky)

Dnešní program odvozování v Bayesovských sítích exaktní metody (enumerace, eliminace proměnných) aproximační metody y( (vzorkovací techniky) Umělá inteligence II Roman Barták, KTIML roman.bartak@mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Bayesovská síť zachycuje závislosti mezi náhodnými proměnnými Pro zopakování orientovaný acyklický graf

Více

Biologicky inspirované výpočty: evoluční algoritmy

Biologicky inspirované výpočty: evoluční algoritmy Biologicky inspirované výpočty: evoluční algoritmy Testovací funkce Po této prezentaci by jste měli znát vybrané testovací funkce, které jsou používány pro otestování robustnosti evolučních algoritmů.

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

Reference 10. Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému

Reference 10. Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému Módy systému Teorie dynamických systémů Obsah Úvod 2 Příklady 2 3 Domácí úlohy 8 Reference Úvod Řešení stavových rovnic Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému ẋ(t)=ax(t)+bu(t)

Více

Analýza spolehlivosti tlakové nádoby metodou Monte Carlo

Analýza spolehlivosti tlakové nádoby metodou Monte Carlo Analýza spolehlivosti tlakové nádoby metodou Monte Carlo Jakub Nedbálek Abstrakt: Cílem práce je ukázat možnost využití Monte Carlo simulace pro studium úloh z oblasti spolehlivosti. V našem případě máme

Více

Jak se matematika poučila v biologii

Jak se matematika poučila v biologii Jak se matematika poučila v biologii René Kalus IT4Innovations, VŠB TUO Role matematiky v (nejen) přírodních vědách Matematika inspirující a sloužící jazyk pro komunikaci s přírodou V 4 3 r 3 Matematika

Více

Vícekriteriální hodnocení variant metody

Vícekriteriální hodnocení variant metody Katedra aplikované matematiky a informatiky Jihočeská Univerzita v Českých Budějovicích, Ekonomická fakulta 2010 Metody vícekriteriální hodnocení variant (VHV) Jak jsme již zmiňovali, VHV obecně neposkytuje

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Genetické algoritmy. Vysoká škola ekonomická Praha. Tato prezentace je k dispozici na: http://www.utia.cas.cz/vomlel/

Genetické algoritmy. Vysoká škola ekonomická Praha. Tato prezentace je k dispozici na: http://www.utia.cas.cz/vomlel/ Genetické algoritmy Jiří Vomlel Laboratoř inteligentních systémů Vysoká škola ekonomická Praha Tato prezentace je k dispozici na: http://www.utia.cas.cz/vomlel/ Motivace z Darwinovy teorie evoluce Přírodní

Více

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu.

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Na jiných příkladech je téma podrobně zpracováno ve skriptech

Více

Gramatická evoluce a softwarový projekt AGE

Gramatická evoluce a softwarový projekt AGE Gramatická evoluce a softwarový projekt AGE Adam Nohejl Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze http://nohejl.name/ 4. 4. 2010 Poznámka: Prezentace založené na variantách těchto slajdů

Více

Organizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Přehled témat. Co je statistika?

Organizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Přehled témat. Co je statistika? Organizační pokyny k přednášce Matematická statistika 2012 2013 Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta UK hudecova@karlin.mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

Petr Chvosta. vlevo, bude pravděpodobnost toho, že se tyč na počátku intervalu τ B nachází nad vpravo

Petr Chvosta. vlevo, bude pravděpodobnost toho, že se tyč na počátku intervalu τ B nachází nad vpravo MOLEKULÁRNÍ MOTORY Petr Chvosta. Automobil v krupobití aneb brzděním k pohybu Uvažme automobil stojící na mírném svahu a bombardovaný rovnoměrně ze všech stran obrovskými kroupami. Svah stoupá směrem doprava

Více

Řešení problému vážené splnitelnosti booleovské formule pokročilou iterativní metodou

Řešení problému vážené splnitelnosti booleovské formule pokročilou iterativní metodou Řešení problému vážené splnitelnosti booleovské formule pokročilou iterativní metodou 1 SPECIFIKACE ÚLOHY Cílem této úlohy bylo použít vybranou pokročilou iterativní metodou pro řešení problému vážené

Více

Matematika a ekonomické předměty

Matematika a ekonomické předměty Matematika a ekonomické předměty Bohuslav Sekerka, Soukromá vysoká škola ekonomických studií Praha Postavení matematiky ve výuce Zaměřím se na výuku matematiky, i když jsem si vědom, toho, že by měl být

Více

Optimalizační algoritmy inspirované chováním mravenců

Optimalizační algoritmy inspirované chováním mravenců Optimalizační algoritmy inspirované chováním mravenců Biologická analogie ACO metaheuristic Ant system a jeho modifikace Specifikace problémů Aplikace Motivace NP-hard problémy časová náročnost nalezení

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

Metody operačního výzkumu cvičení

Metody operačního výzkumu cvičení Opakování vektorové algebry domácí úkol ) Pojem vektorového prostoru praktická aplikace - je tvořen všemi vektory dané dimenze - operace s vektory (součin, sčítání, násobení vektoru skalární hodnotou)

Více

Zada ní 1. Semina rní pra ce z pr edme tu Matematický software (KI/MSW)

Zada ní 1. Semina rní pra ce z pr edme tu Matematický software (KI/MSW) Zada ní. Semina rní pra ce z pr edme tu Matematický software (KI/MSW) Datum zadání: 5.. 06 Podmínky vypracování: - Seminární práce se skládá z programové části (kódy v Matlabu) a textové části (protokol

Více

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami. Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice

Více

Základní spádové metody

Základní spádové metody Základní spádové metody Petr Tichý 23. října 2013 1 Metody typu line search Problém Idea metod min f(x), f : x R Rn R. n Dána počáteční aproximace x 0. Iterační proces (krok k): (a) zvol směr d k, (b)

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

Matematická statistika

Matematická statistika Matematická statistika Daniel Husek Gymnázium Rožnov pod Radhoštěm, 8. A8 Dne 12. 12. 2010 v Rožnově pod Radhoštěm Osnova Strana 1) Úvod 3 2) Historie matematické statistiky 4 3) Základní pojmy matematické

Více

Evoluční algoritmy. Podmínka zastavení počet iterací kvalita nejlepšího jedince v populaci změna kvality nejlepšího jedince mezi iteracemi

Evoluční algoritmy. Podmínka zastavení počet iterací kvalita nejlepšího jedince v populaci změna kvality nejlepšího jedince mezi iteracemi Evoluční algoritmy Použítí evoluční principů, založených na metodách optimalizace funkcí a umělé inteligenci, pro hledání řešení nějaké úlohy. Populace množina jedinců, potenciálních řešení Fitness function

Více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více 9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme

Více

POHYBY TĚLESA V ODPORUJÍCÍM PROSTŘEDÍ

POHYBY TĚLESA V ODPORUJÍCÍM PROSTŘEDÍ POHYBY TĚLESA V ODPORUJÍCÍM PROSTŘEDÍ Studijní text pro řešitele FO, kat. B Ivo Volf, Přemysl Šedivý Úvod Základní zákon klasické mechaniky, zákon síly, který obvykle zapisujeme vetvaru F= m a, (1) umožňuje

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 10. Mgr. David Fiedor 27. dubna 2015 Nelineární závislost - korelační poměr užití v případě, kdy regresní čára není přímka, ale je vyjádřena složitější matematickou funkcí

Více

Algoritmus Minimax. Tomáš Kühr. Projektový seminář 1

Algoritmus Minimax. Tomáš Kühr. Projektový seminář 1 Projektový seminář 1 Základní pojmy Tah = přemístění figury hráče na tahu odpovídající pravidlům dané hry. Při tahu může být manipulováno i s figurami soupeře, pokud to odpovídá pravidlům hry (např. odstranění

Více

8. Posloupnosti, vektory a matice

8. Posloupnosti, vektory a matice . jsou užitečné matematické nástroje. V Mathcadu je často používáme například k rychlému zápisu velkého počtu vztahů s proměnnými parametry, ke zpracování naměřených hodnot, k výpočtům lineárních soustav

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech

3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech 3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech V předchozích dvou kapitolách jsme zjistili, jak se zobrazují tělesa ve středovém promítání a hlavně v lineární perspektivě, a jak pomocí těchto promítání vytvořit

Více

Matematika I Lineární závislost a nezávislost

Matematika I Lineární závislost a nezávislost Matematika I Lineární závislost a nezávislost RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Co u¾ známe? vektory - základní operace

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

Implementace A* algoritmu na konkrétní problém orientace v prostoru budov

Implementace A* algoritmu na konkrétní problém orientace v prostoru budov Implementace A* algoritmu na konkrétní problém orientace v prostoru budov Popis problému Orientaci ve známém prostředí lze převést na problém nalezení cesty z místa A do místa B. Obecně platí, že robot

Více

Metoda Monte Carlo, simulované žíhání

Metoda Monte Carlo, simulované žíhání co byste měli umět po dnešní lekci: integrovat pomocí metody Monte Carlo modelovat jednoduché mnočásticové systémy (Brownův pohyb,...) nalézt globální minimum pomocí simulovaného žíhání Určení čísla metodou

Více

Katedra kybernetiky skupina Inteligentní Datové Analýzy (IDA) 9. dubna 2009. Filip Železný (ČVUT) Vytěžování dat 9.

Katedra kybernetiky skupina Inteligentní Datové Analýzy (IDA) 9. dubna 2009. Filip Železný (ČVUT) Vytěžování dat 9. Vytěžování dat Filip Železný Katedra kybernetiky skupina Inteligentní Datové Analýzy (IDA) 9. dubna 2009 Filip Železný (ČVUT) Vytěžování dat 9. dubna 2009 1 / 22 Rozhodovací pravidla Strom lze převést

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.

Více

Markov Chain Monte Carlo. Jan Kracík.

Markov Chain Monte Carlo. Jan Kracík. Markov Chain Monte Carlo Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Princip Monte Carlo integrace Cílem je (přibližný) výpočet integrálu I(g) = E f [g(x)] = g(x)f (x)dx. (1) Umíme-li generovat nezávislé vzorky x (1),

Více

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.

Více

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LII 6 Číslo 3, 2004 Gasser-Müllerův odhad J. Poměnková Došlo: 8.

Více

Umělá inteligence I. Roman Barták, KTIML. roman.bartak@mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak

Umělá inteligence I. Roman Barták, KTIML. roman.bartak@mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Umělá inteligence I Roman Barták, KTIML roman.bartak@mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Na úvod Agent s reflexy pouze převádí současný vjem na jednu akci. Agent s cílem umí plánovat několik akcí

Více

Elektrotechnická fakulta

Elektrotechnická fakulta ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Elektrotechnická fakulta OPTIMÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ A ŘÍZENÍ Jan Štecha Katedra řídicí techniky 1999 Předmluva Toto skriptum je určeno posluchačům 4. ročníku oboru technická

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

Modely diskrétní náhodné veličiny. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Modely diskrétní náhodné veličiny. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Po(λ) je možné použít jako model náhodné veličiny, která nabývá hodnot 0, 1, 2,... a udává buď počet událostí,

Více

2.1 Podmínka typu case Cykly Cyklus s podmínkou na začátku Cyklus s podmínkou na konci... 5

2.1 Podmínka typu case Cykly Cyklus s podmínkou na začátku Cyklus s podmínkou na konci... 5 Obsah Obsah 1 Řídicí struktury 1 2 Podmínka 1 2.1 Podmínka typu case......................... 2 3 Příkaz skoku 3 4 Cykly 4 4.1 Cyklus s podmínkou na začátku................... 4 4.2 Cyklus s podmínkou

Více

ENVIRONMENTÁLNÍ OPTIMALIZACE KOMŮRKOVÉ ŽELEZOBETONOVÉ DESKY

ENVIRONMENTÁLNÍ OPTIMALIZACE KOMŮRKOVÉ ŽELEZOBETONOVÉ DESKY ENVIRONMENTÁLNÍ OPTIMALIZACE KOMŮRKOVÉ ŽELEZOBETONOVÉ DESKY Ctislav Fiala, Petr Hájek 1 Úvod Optimalizace v environmentálních souvislostech se na přelomu tisíciletí stává významným nástrojem v oblasti

Více

Informatika Algoritmy

Informatika Algoritmy Informatika Algoritmy Radim Farana Podklady předmětu Informatika pro akademický rok 2010/2011 Obsah Algoritmus. Vlastnosti algoritmu. Popis algoritmu. Hodnocení algoritmů. Příklady algoritmů. Algoritmus

Více

Cyklické změny v dynamice sluneční konvektivní zóny

Cyklické změny v dynamice sluneční konvektivní zóny Cyklické změny v dynamice sluneční konvektivní zóny P. Ambrož, Astronomický ústav AVČR, Ondřejov, pambroz @asu.cas.cz Abstrakt Na základě analýzy rozsáhlého materiálu evoluce fotosférických pozaďových

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14.června

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

LBP, HoG Ing. Marek Hrúz Ph.D. Plzeň Katedra kybernetiky 29. října 2015

LBP, HoG Ing. Marek Hrúz Ph.D. Plzeň Katedra kybernetiky 29. října 2015 LBP, HoG Ing. Marek Hrúz Ph.D. Plzeň Katedra kybernetiky 29. října 2015 1 LBP 1 LBP Tato metoda, publikovaná roku 1996, byla vyvinuta za účelem sestrojení jednoduchého a výpočetně rychlého nástroje pro

Více

(n, m) (n, p) (p, m) (n, m)

(n, m) (n, p) (p, m) (n, m) 48 Vícerozměrná kalibrace Podobně jako jednorozměrná kalibrace i vícerozměrná kalibrace se používá především v analytické chemii Bude vysvětlena na příkladu spektroskopie: cílem je popis závislosti mezi

Více

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav

Více

DETEKCE DISKREDIBILITY SENZORU U KOTLE NA BIOMASU OPTIMALIZAČNÍMI ALGORITMY

DETEKCE DISKREDIBILITY SENZORU U KOTLE NA BIOMASU OPTIMALIZAČNÍMI ALGORITMY DETEKCE DISKREDIBILITY SENZORU U KOTLE NA BIOMASU OPTIMALIZAČNÍMI ALGORITMY Ing. D. Klimánek *, Doc. Ing. B. Šulc, Csc. *, Ing. J. Hrdlička ** * Ústav řídicí a přístrojové techniky, FS ČVUT v Praze, Technická

Více

Genetické algoritmy a jejich praktické využití

Genetické algoritmy a jejich praktické využití Genetické algoritmy a jejich praktické využití Pavel Šturc PB016 Úvod do umělé inteligence 21.12.2012 Osnova Vznik a účel GA Princip fungování GA Praktické využití Budoucnost GA Vznik a účel GA Darwinova

Více

skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi):

skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi): Klíčová slova: simplexová metoda 1 Simplexová metoda Postup výpočtu: 1. Nalezení výchozího řešení. 2. Test optima: pokud je řešení optimální výpočet končí, jinak krok 3. 3. Iterační krok, poté opět test

Více

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Implementace numerických metod v jazyce C a Python

Implementace numerických metod v jazyce C a Python Fakulta elektrotechnická Katedra matematiky Dokumentace k semestrální práci Implementace numerických metod v jazyce C a Python 2013/14 Michal Horáček a Petr Zemek Vyučující: Mgr. Zbyněk Vastl Předmět:

Více

ZÁKLADY PROGRAMOVÁNÍ. Mgr. Vladislav BEDNÁŘ 2014 5, 5.1 a 5.2 8/14

ZÁKLADY PROGRAMOVÁNÍ. Mgr. Vladislav BEDNÁŘ 2014 5, 5.1 a 5.2 8/14 ZÁKLADY PROGRAMOVÁNÍ Mgr. Vladislav BEDNÁŘ 2014 5, 5.1 a 5.2 8/14 Co je vhodné vědět, než si vybereme programovací jazyk a začneme programovat roboty. 1 / 18 0:40 Algoritmus Algoritmem by se dal nazvat

Více

Matematika pro kombinované studium BOZO. Konzultace pátá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz

Matematika pro kombinované studium BOZO. Konzultace pátá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz Učební texty ke konzultacím předmětu Matematika pro kombinované studium BOZO Konzultace pátá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/ Obsah konzultace:

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více

REGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB

REGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB 62 REGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB BEZOUŠKA VLADISLAV Abstrakt: Text se zabývá jednoduchým řešením metody nejmenších čtverců v prostředí Matlab pro obecné víceparametrové aproximační funkce. Celý postup

Více

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru 3 Vlny 3.1 Úvod Vlnění můžeme pozorovat například na vodní hladině, hodíme-li do vody kámen. Mechanické vlnění je děj, při kterém se kmitání šíří látkovým prostředím. To znamená, že například zvuk, který

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

ROZPOZNÁVÁNÍ AKUSTICKÉHO SIGNÁLU ŘEČI S PODPOROU VIZUÁLNÍ INFORMACE

ROZPOZNÁVÁNÍ AKUSTICKÉHO SIGNÁLU ŘEČI S PODPOROU VIZUÁLNÍ INFORMACE TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky a mezioborových inženýrských studií ROZPOZNÁVÁNÍ AKUSTICKÉHO SIGNÁLU ŘEČI S PODPOROU VIZUÁLNÍ INFORMACE AUTOREFERÁT DISERTAČNÍ PRÁCE 2005 JOSEF CHALOUPKA

Více

Matematika I: Aplikované úlohy

Matematika I: Aplikované úlohy Matematika I: Aplikované úlohy Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava 260. Řy 283 - Pálkař Zadání Pálkař odpálí míč pod úhlem α = 30 a rychlostí

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha V.E... gumipuk 8 bodů; průměr 4,40; řešilo 25 studentů Závaží o hmotnosti m na gumičce délk l 0 je zavěšeno v pevném bodě o souřadnicích = = 0 a = 0. Z os, která je horizontálně, závaží pouštíme.

Více

Projekční algoritmus. Urychlení evolučních algoritmů pomocí regresních stromů a jejich zobecnění. Jan Klíma

Projekční algoritmus. Urychlení evolučních algoritmů pomocí regresních stromů a jejich zobecnění. Jan Klíma Urychlení evolučních algoritmů pomocí regresních stromů a jejich zobecnění Jan Klíma Obsah Motivace & cíle práce Evoluční algoritmy Náhradní modelování Stromové regresní metody Implementace a výsledky

Více

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a

Více

Studentská tvůrčí a odborná činnost STOČ 2015

Studentská tvůrčí a odborná činnost STOČ 2015 Studentská tvůrčí a odborná činnost STOČ 2015 NÁVRH A REALIZACE ALGORITMU PRO SYSTÉM LIMITNÍHO OZAŘOVÁNÍ David OCZKA Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky

Více

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem 1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval

Více

Princip řešení soustavy rovnic

Princip řešení soustavy rovnic Princip řešení soustavy rovnic Tomáš Kroupa 20. května 2014 Tento studijní materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Obsah Formulace úlohy Metody řešení

Více

Pracovní text a úkoly ke cvičením MF002

Pracovní text a úkoly ke cvičením MF002 Pracovní text a úkoly ke cvičením MF002 Ondřej Pokora, PřF MU, Brno 11. března 2013 1 Brownův pohyb (Wienerův proces) Základním stavebním kamenem simulací náhodných procesů popsaných pomocí stochastických

Více

Hledání extrémů funkcí

Hledání extrémů funkcí Hledání extrémů funkcí Budeme se zabývat téměř výhradně hledáním minima. Přes nost nalezeného extrému Obecně není hledání extrému tak přesné jako řešení rovnic. Demonstrovat to můžeme na příkladu hledání

Více

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012 Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z

Více

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických

Více