DEFORMAČNÍ, NAPJATOSTNÍ A PEVNOSTNÍ ANALÝZA RÁMOVÉ KONSTRUKCE.

Transkript

1 BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF SOLID MECHANICS, MECHATRONICS AND BIOMECHANICS DEFORMAČNÍ, NAPJATOSTNÍ A PEVNOSTNÍ ANALÝZA RÁMOVÉ KONSTRUKCE. STRAIN, STRESS AND STRENGTH ANALYSIS OF THE FRAME CONSTRUCTION. BACHELOR'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR VÍT KYSILKO prof. RNDr. Ing. JAN VRBKA, DrSc.,dr. h. c. BRNO 21

2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky Akademický rok: 29/21 ZADÁNÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE student(ka): Vít Kysilko který/která studuje v bakalářském studijním programu obor: Strojní inženýrství (231R16) Ředitel ústavu Vám v souladu se zákonem č.111/1998 o vysokých školách a se Studijním a zkušebním řádem VUT v Brně určuje následující téma bakalářské práce: v anglickém jazyce: Deformační, napjatostní a pevnostní analýza rámové konstrukce. Strain, stress and strength analysis of the frame construction. Stručná charakteristika problematiky úkolu: Výpočtové stanovení deformace a napjatosti a pevnostní kontrola rovinné rámové konstrukce použitím metod prosté pružnosti. Cíle bakalářské práce: Posouzení možností aplikace přístupů prosté pružnosti při pružnostně-pevnostní analýze konstrukce. Získání praktických zkušeností.

3 Seznam odborné literatury: Janíček,Ondráček,Vrbka: Mechanika těles. Pružnost a pevnost I. VUT, 1992 Gere, Timoshenko: Mechanics of Materials. Chapman and Hall, 1991 Hoschl: Pružnost a pevnost ve strojnictví. SNTL Praha, 1971 Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Ing. Jan Vrbka, DrSc.,dr. h. c. Termín odevzdání bakalářské práce je stanoven časovým plánem akademického roku 29/21. V Brně, dne L.S. prof. Ing. Jindřich Petruška, CSc. Ředitel ústavu prof. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc. Děkan fakulty

4 ABSTRAKT Bakalářské práce je zaměřená na výpočet rovinného rámu pouţívaného ke zkouškám odolnosti kompozitních trub vůči proměnlivému tlaku. Jako výpočtový model jsem pouţil zjednodušený rám zatíţený osamělými silami působícími excentricky od osy symetrie rámu. Jelikoţ na tuto úlohu nelze s úplnou přesností aplikovat teorii prosté pruţnosti a pevnosti provedl jsem 2 výpočty s různými tvary střednic. Jde o 2x vnitřně staticky neurčitou úlohu, příslušné deformační podmínky byly řešeny pouţitím Castiglianovy věty. Dominantní namáhání je ohybové, ale ve výpočtu je zakomponována také energie od normálových i posouvajících sil. V moţných nebezpečných místech byla provedena také kontrola na cyklickou únavu. Analytický výpočet, provedený v softwaru Maple 12, byl poté porovnán s výpočtem pomocí metody konečných prvků zastoupený programem Ansys Workbench 12. KLÍČOVÁ SLOVA: rovinný rám, Castiglianova věta, deformace, cyklická únava, metoda konečných prvků ABSTRACT The bachelor s thesis is intent on the computation of a plane frame which is used for test the resistance of composite tubes to a changing pressure. As a computational model I used simplified frame loaded by solitary forces which work eccentrically from the axis of symmetry of the frame. Because I cannot exactly use the theory of simple elasticity and strength in this task I make two calculations with various shapes of midline. This is twice internally statically indeterminate task, appropriate deformation conditions were solved by Castigliano s theorem. Bending stress is dominant but in calculation is also composed energy of normal and displacement forces. Inspection of cyclic fatigue was made in possible hazardous places. Analytic calculation was carried out in MAPLE 12 and it was compared with Finite Element Method analysis with Ansys Workbech 12 software. KEYWORDS: plane frame, Castigliano s theorem, deformation, cyclic fatigue, Finite Element Method 5

5 Citace: KYSILKO, V. Deformační, napjatostní a pevnostní analýza rámové konstrukce. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inţenýrství, s. Vedoucí bakalářské práce prof. RNDr. Ing. Jan Vrbka, DrSc.,dr. h. c. 6

6 ČESTNÉ PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, ţe jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně pod odborným vedením vedoucího bakalářské práce za pouţití uvedené literatury. V Brně, květen 21 7 Vít Kysilko

7 PODĚKOVÁNÍ Chtěl bych poděkovat svému vedoucímu bakalářské práce prof. RNDr. Ing. Janu Vrbkovi, DrSc., dr. h.c. za cenné rady, připomínky během uskutečnění této práce a také za velkou vstřícnost při konzultacích. Mé díky také patří celé své rodině za podporu po celou dobu mého studia. 8

8 OBSAH 1. ÚVOD ZKUŠEBNÍ RÁM Zadání úlohy Řešení Řešení se střednicí typu A Uvolnění a statická určitost úlohy Částečné uvolnění Výpočty VVÚ Výpočet s uvaţovaním energie napjatosti od ohybu Deformační podmínka pro posuv v místě působení síly N A Deformační podmínka pro úhel natočení v místě působení momentu M A Výpočet soustav rovnic Zobrazení průběhu ohybových momentů Výsledky NP při uvaţovaní energie napjatosti od ohybu Výpočet s uvaţovaním energie napjatosti od ohybu, normálových a posouvajicích sil Deformační podmínka pro posuv v místě působení síly N A Deformační podmínka pro úhel natočení v místě působení momentu M A Výsledky NP při uvaţovaní energie napjatosti od ohybu, normálových a posouvajicích sil Řešení se střednicí typu B Uvolnění a statická určitost úlohy Částečné uvolnění Výpočty VVÚ Výpočet s uvaţovaním energie napjatosti od ohybu Deformační podmínka pro posuv v místě působení síly N A Deformační podmínka pro úhel natočení v místě působení momentu M A Výpočet soustav rovnic Zobrazení průběhu ohybových momentů Výsledky NP při uvaţovaní energie napjatosti od ohybu Výpočet s uvaţovaním energie napjatosti od ohybu, normálových a posouvajicích sil Deformační podmínka pro posuv v místě působení síly N A Deformační podmínka pro úhel natočení v místě působení momentu M A Výsledky NP při uvaţovaní energie napjatosti od ohybu, normálových a posouvajicích sil Porovnání výsledků NP u obou typů střednic S uvaţováním energie napjatosti od ohybu S uvaţováním energie napjatosti od ohybu, od normálových a posouvajicích sil Výpočet statických bezpečností Ohybové napětí Nebezpečné místo v řezu x Nebezpečné místo ve vetknutí A, B Smykové napětí

9 Tahové napětí Redukované napětí Kontrolní výpočet k mezi únavy Tahové namáhání Haighův diagram Stanovení deformace pod silovým zatíţením NUMERICKÝ VÝPOČET POMOCÍ MKP Výsledky pro excentricitu e = m Maximální posuv Redukované napětí Reakce ve vetknutí Výsledky pro excentricitu e =,1 m Maximální posuv Redukované napětí Reakce ve vetknutí Výsledky pro excentricitu e =,15 m Maximální posuv Redukované napětí Reakce ve vetknutí POROVNÁNÍ ANALYTICKÉHO A NUMERICKÉHO VÝPOČTU Porovnání výsledků pouze s ohybovou energií napjatosti Porovnání výsledků s energií napjatosti od ohybu, normálových sil a posouvajicích sil Porovnání velikosti deformací ZÁVĚR SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ A ZKRATEK SEZNAM PŘÍLOH

10 1. ÚVOD Moderní počítačová technika nás všude obklopuje a bylo by škoda ji nevyuţít pro řešení komplikovaných úloh. V dnešní době plné kvalitních programů ať jsou to CAD řešení, simulační nebo matematické softwary je přímo ţádoucí jich vyuţít pro vytváření 3D modelů, kontrolních analýz vyuţitím metody konečných prvků (MKP) ale i sloţité výpočty ať uţ se jedná o virtuální i reálné zhotovení kvalitních výrobků. Cílem mé práce je deformační, napjatostní a pevnostní analýza rovinného zkušebního rámu vyuţitím přístupu prosté pruţnosti a pevnosti. Přitom jsou aplikovány dva výpočtové modely tvaru střednice. K řešení analytického výpočtu je moţnost si ověřit výsledek s numerickým výpočtem pomocí MKP. Samotná metoda konečných prvků je velice výkonný nástroj pro zjištění poţadovaných pevnostních, deformačních i napjatostních analýz, ale je nutno k ní přistupovat s určitým odstupem, jelikoţ při nesprávném interpretování analytické úlohy v této metodě, můţe dojít ke značné odlišnosti výsledků. Analyzovaný zkušební rám se pouţívá k testům odolnosti rozměrných kompozitních sklolaminátových trub vyráběných metodou odstředivého lití vůči vnitřnímu přetlaku vody, který můţe vzniknout například při hydraulickém rázu. Tyto trubky jsou pouţity například pro brněnský přivaděč pitné vody. 11

11 2. ZKUŠEBNÍ RÁM 2.1. ZADÁNÍ ÚLOHY Proveďte pevnostní kontrolu zkušebního rámu pomocí metod prosté pruţnosti, posuďte vliv polohy silového zatíţení na deformaci a napjatost rámu. Dále proveďte kontrolu na cyklickou únavu v nebezpečných místech. Pouţijte 2 různé tvary střednice. Rám se pouţívá ke zkoušení trubek o vnitřním průměru DN 98 vůči odolnosti proti proměnlivému tlaku 6,4 MPa. Tlak působí na 2 kruhová čela. Po přepočtu tlaku vychází maximální síla na obě čela na níţe uvedenou hodnotu. Zadané parametry: Tlak: p = 6,4 MPa Průměr: D =,98 m Síla: F = N Materiál: Ocel Celkové vnější rozměry: 8,3 m x 1,6 m Přesné geometrické rozměry rámu vychází z 3-D modelu [7] vytvořeného v programu Inventor 21 [5]. Obr. 1 Zkušební rám 12

12 2.2. ŘEŠENÍ K řešení problému nelze pouţít zmíněný 3D model v Inventoru [5]. Musel jsem jej převést na model vhodný k analytickému výpočtu pomocí přístupu prosté pruţnosti a pevnosti. Problém spočíval ve vytvoření vhodného tvaru střednic. Nakonec jsem zvolil dva tvary střednice (typ A a typ B) a budu porovnávat získané výsledky [1] ŘEŠENÍ SE STŘEDNICÍ TYPU A První tvar střednice se snaţí dodrţovat co nejpřesněji tvar modelu a proto je tedy skokově proměnný. Nepouţil jsem v místech skloněné střednice kolmého průřezu vůči střednici, jak ukládá teorie, nýbrţ rovnoběţné s vodorovnou osou a to z důvodu problematického výpočtu kvadratického momentu kolmého průřezu. Model k analytickému výpočtu lze nalézt na obr. 2 a obr. 3. Síla je umístěna mimo osu symetrie. Její poloha je určena proměnnou souřadnicí e [1]. Rozměry: a = 3,475 m b =,7 m e (,15) m Materiálové konstanty [2]: E = 2, MPa μ =,3 E G = 2 1 μ = 8,7 11 MPa β = 1,2 Obr. 2 Tvar střednice typu A Obr. 3 3D model se střednicí typu A 13

13 UVOLNĚNÍ A STATICKÁ URČITOST ÚLOHY Rám má dvě geometrické osy symetrie, ale jen jednu osu symetrie silového působení. Proto rozdělím rám na dvě části řezem pomocí svislé osy symetrie z. Uvolnění rámu provedu v polovině délky rámu. Zavedu v těchto místech momenty a normálové síly. Z důvodu symetrie úlohy jsou pak posouvající síly T nulové [1]. Statická určitost úlohy s: Obr. 4 Uvolnění levé části rámu Neznámé parametry (NP): {N A, N B, M A, M B } = 4 (1) Počet pouţitelných podmínek: = 2 (2) Statická určitost úlohy: s = - = 4 2 = 2 (3) Úloha je 2x staticky neurčitá. Rovnice statické rovnováhy: F x : N A N B F = F z : = M B : M A F b e M B N A 2b = (4) (5) (6) 14

14 ČÁSTEČNÉ UVOLNĚNÍ Pro řešení úlohy je nutné převést částečné uvolnění na úroveň úlohy formálně staticky určité a formulovat 2 deformační podmínky, které řešíme pomocí Castiglianovy věty. V místě A zabráníme posuvu a natočení [1]. Deformační podmínky: Obr. 5 Částečné uvolnění u A = W = A = W = γ γ My(s) E J y My s E J y My ds = My ds = (7) (8) Energie napjatosti a ohybový moment musí být matematicky vyjádřeny následovně [1]. W = W N A, M A (9) My = My N A, M A (1) 15

15 VÝPOČTY VVÚ Průběhy vnitřních výsledných účinků (VVÚ) stanovíme standardně pomocí podmínek rovnováhy části rámu uvolněných místními řezy. Úlohu je nutné řešit na více místech, kde hranicemi je změna průřezu, změna střednice, případně silové zatíţení. V jednotlivých řezech zavedu síly a momenty potřebné k VVÚ [1]. Obr. 6 Rám rozdělený jednotlivými řezy 16

16 ŘEZ x 1 F x : N x1 N A = Obr. 7 Uvolnění v řezu x 1 F y : T x1 = M R : M x1 M A = N x1 = N A (11) T x1 = (12) M x1 = M A (13) Jy x 1 = 2 π D4 d 4 64 S x 1 = 2 π D2 d 2 4 = 2 π,1684, = 2 π,1682, (14) (15) Obr. 8 Geometrie v místě řezu x 1 Obr. 9 3D pohled na řez x 1 17

17 ŘEZ x 2 Obr. 1 Uvolnění v řezu x 2 F x : N x2 N A = F y : T x2 = M R : M x2 M A = N x2 = N A (16) T x2 = (17) M x2 = M A (18) Jy x 2 = Jy x 1 2 b3 h 12 = Jy x 1 2,45 3,7,26,6 x 2 12 S x 2 = S x 1 2 b h = S x 1 2,45,7,26,6 x 2 (19) (2) Obr. 11 Geometrie v místě řezu x 2 Obr. 12 3D pohled na řez x 2 18

18 ŘEZ x 3 Obr. 13 Uvolnění v řezu x 3 F x : N x3 N A = F y : T x3 = M R : M x3 M A = N x3 = N A (21) T x3 = (22) M x3 = M A (23) Jy x 3 = Jy x 1 2 b3 h 12 = 2,453,33 12 (24) S x 3 = S x 1 2 b h = 2,45,33 (25) Obr. 14 Geometrie v místě řezu x 3 Obr. 15 3D pohled na řez x 3 19

19 ŘEZ x 4 Obr. 16 Uvolnění v řezu x 4 F x : N x4 N A = F y : T x4 = M R : M x4 M A = N x4 = N A (26) T x4 = (27) M x4 = M A (28) Jy x 4 = b3 h 12 =, (29) S x 4 = b h =,45 1 (3) Obr. 17 Geometrie v místě řezu x 4 Obr. 18 3D pohled na řez x 4 2

20 ŘEZ x 5 Obr. 19 Uvolnění v řezu x 5 F x : N x5 N A sin α = F y : T x5 N A cos α = M R : M x5 M A N A x 5 cos α = N x5 = N A sin α (31) T x5 = N A cos α (32) M x5 = M A N A x 5 cos α = (33) Jy x 5 =,6,6 b h3 12 = 2,375,55 2,375 2 x (34) S x 5 = b h =,6,6 2,375,55 2,375 2 x 5 (35) Obr. 2 Geometrie v místě řezu x 5 Obr. 21 3D pohled na řez x 5 21

21 ŘEZ x 6 c 5y = c 5 cos α Obr. 22 Uvolnění v řezu x 6 F x : T x6 N A = F y : N x6 = M R : M x6 M A N A (c 5y x 6 ) = N x6 = (36) T x6 = N A (37) M x6 = M A N A (c 5y x 6 ) (38) Jy x 6 = b h3 12 =,6 1, (39) S x 6 = b h =,6 1,35 (4) Obr. 23 Geometrie v místě řezu x 6 Obr. 24 3D pohled na řez x 6 22

22 ŘEZ x 7 c 5y = c 5 cos α Obr. 25 Uvolnění v řezu x 7 F x : T x7 N A F = F y : N x7 = M R : M x7 M A N A c 5y c 6 x 7 F x 7 = N x7 = (41) T x7 = N A F (42) M x7 = M A N A c 5y c 6 x 7 F x 7 (43) Jy x 7 = b h3 12 =,6 1, (44) S x 7 = b h =,6 1,35 (45) Obr. 26 Geometrie v místě řezu x 7 Obr. 27 3D pohled na řez x 7 23

23 ŘEZ x 8 Obr. 28 Uvolnění v řezu x 8 F x : T x8 N A F = F y : N x8 = M R : M x8 M A N A b x 8 F (c 7 x 8 ) = N x8 = (46) T x8 = N A F (47) M x8 = M A N A b x 8 F (c 7 x 8 ) (48) Jy x 8 = b h3 12 =,6 1, (49) S x 8 = b h =,6 1,35 (5) Obr. 29 Geometrie v místě řezu x 8 Obr. 3 3D pohled na řez x 8 24

24 ŘEZ x 9 F x : N x9 N A sin α F sin α = F y : T x9 N A cos α F cos α = Obr. 31 Uvolnění v řezu x 9 M R : M x9 M A N A cos α b c 8 cos α x 9 F cos α c 7 c 8 cos α x 9 = N x9 = N A sin α F sin α (51) T x9 = N A cos α F cos α (52) M x9 = M A N A cos α b c 8 cos α x 9 F cos α c 7 c 8 cos α x 9 (53) Jy x 9 =,6 1,35 b h3 12 = 2,375,55 2,375 x (54) S x 9 = b h =,6 1,35 2,375,55 2,375 x 2 9 (55) Obr. 32 Geometrie v místě řezu x 9 Obr. 33 3D pohled na řez x 9 25

25 ŘEZ x 1 Obr. 34 Uvolnění v řezu x 1 F x : N x1 N A F = F y : T x1 = M R : M x1 M A N A 2b F (c 7 b) = N x1 = N A F (56) T x1 = (57) M x1 = M A N A 2b F (c 7 b) (58) Jy x 1 = b3 h 12 =, (59) S x 1 = b h =,45 1 (6) Obr. 35 Geometrie v místě řezu x 1 Obr. 36 3D pohled na řez x 1 26

26 ŘEZ x 11 Obr. 37 Uvolnění v řezu x 11 F x : N x11 N A F = F y : T x11 = M R : M x11 M A N A 2b F (c 7 b) = N x11 = N A F (61) T x11 = (62) M x11 = M A N A 2b F (c 7 b) (63) Jy x 11 = Jy x 1 2 b3 h 12 = Jy x 1 2,453,33 12 (64) S x 11 = S x 1 2 b h = S x 1 2,45,33 (65) Obr. 38 Geometrie v místě řezu x 11 Obr. 39 3D pohled na řez x 11 27

27 ŘEZ x 12 Obr. 4 Uvolnění v řezu x 12 F x : N x12 N A F = F y : T x12 = M R : M x12 M A N A 2b F (c 7 b) = N x12 = N A F (66) T x12 = (67) M x12 = M A N A 2b F (c 7 b) (68) Jy x 12 = Jy x 1 2 b3 h 12 = Jy x 1 2,45 3,33,26,6 x S x 12 = S x 1 2 b h = S x 1 2,45,33,26,6 x 12 (69) (7) Obr. 41 Geometrie v místě řezu x 12 Obr. 42 3D pohled na řez x 12 28

28 ŘEZ x 13 Obr. 43 Uvolnění v řezu x 13 F x : N x13 N A F = F y : T x13 = M B : M x13 M A N A 2b F (c 7 b) = N x13 = N A F (71) T x13 = (72) M x13 = M A N A 2b F (c 7 b) (73) Jy x 13 = 2 π D4 d 4 64 S x 13 = 2 π D2 d 2 4 = 2 π,1684, = 2 π,1682, (74) (75) Obr. 44 Geometrie v místě řezu x 13 Obr. 45 3D pohled na řez x 13 29

29 VÝPOČET S UVAŽOVANÍM ENERGIE NAPJATOSTI OD OHYBU Z důvodů velkého rozsahu vyjádření jednotlivých integrálů, vyjádřím pouze 1. integrál, zbylé uvádím v přílohách DEFORMAČNÍ PODMÍNKA PRO POSUV V MÍSTĚ PŮSOBENÍ SÍLY N A Deformační podmínku (7) zde uvádím z důvodu přehlednosti [1]. u A = W = u A = W = γ x 1 My(s) E J y x 12 Mx 1 E Jy x 1 x 4 x 6 x 8 x 1 My ds Mx 4 E Jy x 4 Mx 6 E Jy x 6 Mx 8 E Jy x 8 Mx 1 Mx 1 E Jy x 1 Mx 12 E Jy x 12 = dx 1 Mx 4 Mx 6 Mx 8 Mx 12 Mx 1 x 2 dx 4 dx 6 dx 8 dx 12 Mx 2 E Jy x 2 x 5 x 7 x 9 dx 1 x 13 Mx 5 E Jy x 5 Mx 7 E Jy x 7 Mx 9 E Jy x 9 x 11 Mx 2 Mx 11 E Jy x 11 Mx 13 E Jy x 13 dx 2 Mx 5 Mx 7 Mx 9 Mx 13 x 3 dx 5 dx 7 dx 9 Mx 11 Mx 3 E Jy x 3 dx 11 dx 13 = Mx 3 dx 3 (7) (76) Následuje vyjádření předchozích vztahů v programu Maple [4]. 3

30 31

31 DEFORMAČNÍ PODMÍNKA PRO ÚHEL NATOČENÍ V MÍSTĚ PŮSOBENÍ MOMENTU M A Deformační podmínku (8) zde uvádím z důvodu přehlednosti [1]. φ A = W = φ A = W = γ x 1 x 12 My(s) E J y Mx 1 E Jy x 1 x 4 x 6 x 8 x 1 My ds Mx 4 E Jy x 4 Mx 6 E Jy x 6 Mx 8 E Jy x 8 Mx 12 E Jy x 12 Mx 1 E Jy x 1 Mx 1 = Mx 4 Mx 6 Mx 8 Mx 12 dx 1 Mx 1 x 2 dx 4 dx 6 dx 8 dx 12 Mx 2 E Jy x 2 x 5 x 7 x 9 dx 1 x 13 Mx 5 E Jy x 5 Mx 7 E Jy x 7 Mx 9 E Jy x 9 x 11 Mx 13 E Jy x 13 Mx 2 Mx 11 E Jy x 11 Mx 5 Mx 7 Mx 9 dx 2 Mx 13 dx 5 dx 7 dx 9 x 3 Mx 11 Mx 3 E Jy x 3 dx 11 dx 13 = Mx 3 (8) dx 3 (77) Následuje vyjádření předchozích vztahů v programu Maple [4]. 32

32 33

33 VÝPOČET SOUSTAV ROVNIC Rovnice statické rovnováhy spolu s rovnicemi deformačních podmínek řeším pomocí softwaru Maple 12 [4]. Výpočet umoţňuje měnit excentricitu e, a to v rozsahu,15 m. Výsledky NP poté pouţiji pro znázornění ohybových momentů [1]. Výpočet je rozsáhlý a proto ho uvádím v příloze ZOBRAZENÍ PRŮBĚHU OHYBOVÝCH MOMENTŮ Zobrazení provedu pro 3 různé polohy síly F. Vypočtené NP jsou vţdy zobrazeny pod grafickým znázorněním. e = m Obr. 46 Průběh momentu, e = m Síla ve vetknutí Moment ve vetknutí Maximální moment N A = 2, N M A = 879,74 Nm M omax = 1, Nm N B = 2, N M B = 879,74 Nm 34

34 e =.1 m Obr. 47 Průběh momentu, e =,1 m Síla ve vetknutí Moment ve vetknutí Maximální moment N A = 2, N M A = 933,31 Nm M omax = 1, Nm N B = 2,7 1 6 N M B = 88,77 Nm Obr. 48 Průběh momentu, e =,15 m e =.15 m Síla ve vetknutí Moment ve vetknutí Maximální moment N A = 2, N M A = 952,79 Nm M omax = 1, Nm N B = 1, N M B = 767,54 Nm 35

35 e = m VÝSLEDKY NP PŘI UVAŽOVANÍ ENERGIE NAPJATOSTI OD OHYBU Síla ve vetknutí Moment ve vetknutí Maximální moment N A = 2, N M A = 879,74 Nm M omax = 1, Nm N B = 2, N M B = 879,74 Nm e =.1 m Síla ve vetknutí Moment ve vetknutí Maximální moment N A = 2, N M A = 933,31 Nm M omax = 1, Nm N B = 2,7 1 6 N M B = 88,77 Nm e =.15 m Síla ve vetknutí Moment ve vetknutí Maximální moment N A = 2, N M A = 952,79 Nm M omax = 1, Nm N B = 1, N M B = 767,54 Nm VÝPOČET S UVAŽOVANÍM ENERGIE NAPJATOSTI OD OHYBU, NORMÁLOVÝCH A POSOUVAJICÍCH SIL Výpočet VVÚ v předchozí kapitole neuvaţoval všechny 3 druhy energie. V této kapitole provedu výpočet znovu. V příslušné kapitole poté porovnám všechny výsledky. Některé členy v deformačních podmínkách nejsou vypsány, jelikoţ v daném řezu ţádná síla N(x) či moment My(x) nepůsobí a tudíţ je parciální derivace rovna nule. Grafické znázornění neprovádím, jelikoţ stejné s předchozí kapitolou, liší se pouze ve velikostech reakcí [1]. 36

36 DEFORMAČNÍ PODMÍNKA PRO POSUV V MÍSTĚ PŮSOBENÍ SÍLY N A u A = W = u A = W = x 4 x 7 x 1 x 13 x 3 x 9 x 12 x 6 x 9 Mx 4 E Jy x 4 Mx 7 E Jy x 7 Mx 1 E Jy x 1 Mx 13 E Jy x 13 Nx 3 E S x 3 Nx 9 E S x 9 Nx 12 E S x 12 β Tx 6 G S x 6 β Tx 9 G S x 9 γ x 1 My(s) E J y Mx 1 E Jy x 1 Mx 4 Mx 7 Mx 1 Mx 13 Nx 3 Nx 9 Nx 12 Tx 6 Tx 9 dx 4 dx 7 dx 3 dx 9 My ds Mx 1 x 5 x 8 dx 1 dx 13 x 4 x 1 dx 12 dx 6 x 7 dx 9 = dx 1 Mx 5 E Jy x 5 Mx 8 E Jy x 8 x 11 x 1 Nx 4 E S x 4 Nx 1 E S x 1 x 13 β Tx 7 G S x 7 γ x 2 Mx 11 E Jy x 11 Nx 1 E S x 1 N(s) E S s Mx 2 E Jy x 2 Mx 5 Mx 8 Nx 4 Nx 13 E S x 13 dx 5 dx 8 Mx 11 Nx 1 Nx 1 Tx 7 dx 4 Nx 13 N ds Mx 2 x 6 x 9 dx 11 dx 1 x 5 dx 1 dx 7 dx 2 Mx 6 E Jy x 6 Mx 9 E Jy x 9 x 2 Nx 5 E S x 5 x 11 dx 13 x 8 x 12 Nx 2 γ x 3 E S x 2 β T(s) G S s Mx 3 E Jy x 3 Mx 6 Mx 9 Mx 12 E Jy x 12 Nx 5 Nx 11 E S x 11 x 5 β Tx 8 G S x 8 β Tx 5 G S x 5 Tx 8 Nx 2 dx 5 Nx 11 dx 6 dx 9 Tx 5 dx 8 T ds Mx 3 Mx 12 dx 2 dx 11 dx 5 dx 3 dx 12 = (78) (79) 37

37 φ A = W = φ A = W = DEFORMAČNÍ PODMÍNKA PRO ÚHEL NATOČENÍ V MÍSTĚ PŮSOBENÍ MOMENTU M A γ x 1 x 12 My(s) E J y Mx 1 E Jy x 1 x 4 x 6 x 8 x 1 My ds Mx 4 E Jy x 4 Mx 6 E Jy x 6 Mx 8 E Jy x 8 Mx 12 E Jy x 12 Mx 1 E Jy x 1 Mx 1 Mx 4 Mx 6 Mx 8 Mx 12 γ dx 1 Mx 1 N(s) E S s x 2 dx 4 dx 6 dx 8 dx 12 N ds Mx 2 E Jy x 2 x 5 x 7 x 9 dx 1 x 13 Mx 5 E Jy x 5 Mx 7 E Jy x 7 Mx 9 E Jy x 9 x 11 Mx 13 E Jy x 13 γ Mx 2 Mx 11 E Jy x 11 Mx 5 Mx 7 Mx 9 β T(s) G S s dx 2 Mx 13 dx 5 dx 7 dx 9 x 3 Mx 11 T ds Mx 3 E Jy x 3 dx 11 dx 13 = = Mx 3 (8) dx 3 (81) e = m VÝSLEDKY NP PŘI UVAŽOVANÍ ENERGIE NAPJATOSTI OD OHYBU, NORMÁLOVÝCH A POSOUVAJICÍCH SIL Síla ve vetknutí Moment ve vetknutí Maximální moment N A = 2, N M A = 879,74 Nm M omax = 1, Nm N B = 2, N M B = 879,74 Nm e =.1 m Síla ve vetknutí Moment ve vetknutí Maximální moment N A = 2, N M A = 44,86 Nm M omax = 1, Nm N B = 2,7 1 6 N M B = 131,22 Nm e =.15 m Síla ve vetknutí Moment ve vetknutí Maximální moment N A = 2, N M A = 214,86 Nm M omax = 1, Nm N B = 1, N M B = 156,22 Nm 38

38 2.4. ŘEŠENÍ SE STŘEDNICÍ TYPU B Druhý tvar střednice je kolmý, a proto byl výpočet jednodušší. V místě působení síly jsem musel upravit tvar rámu, aby byla zachována moţnost výpočtu kvadratických momentů průřezu. Model k analytickému lze nalézt na obr. 49. Síla je opět umístěna mimo osu symetrie. Její poloha je určena proměnnou souřadnicí e [1]. Rozměry: a = 3,1 m b =,7 m e (,15) m Obr. 49 Tvar střednice typu B Obr. 5 3D model se střednicí typu B 39

39 UVOLNĚNÍ A STATICKÁ URČITOST ÚLOHY Rám má dvě geometrické osy symetrie, ale jen jednu osu symetrie silového působení. Proto rozdělím rám na dvě části řezem pomocí svislé osy symetrie z. Uvolnění rámu provedu v polovině délky rámu. Zavedu v těchto místech momenty a normálové síly. Z důvodu symetrie úlohy jsou pak posouvající síly T nulové [1]. Obr. 51 Uvolnění levé části rámu Statická určitost úlohy s: Neznámé parametry (NP): {N A, N B, M A, M B } = 4 (1) Počet pouţitelných podmínek: = 2 (2) Statická určitost úlohy: s = - = 4 2 = 2 (3) Úloha je 2x staticky neurčitá. Rovnice statické rovnováhy: F x : N A N B F = F y : = M B : M A F b e M B N A 2b = (4) (5) (6) 4

40 ČÁSTEČNÉ UVOLNĚNÍ Pro řešení úlohy je nutné převést částečné uvolnění na úroveň úlohy formálně staticky určité a formulovat 2 deformační podmínky, které řešíme pomocí Castiglianovy věty. V místě A zabráníme posuvu a natočení [1]. Deformační podmínky: Obr. 52 Částečné uvolnění u A = dw dn A = A = dw dm A = γ γ My(s) E J y My s E J y My ds = My ds = (7) (8) Energie napjatosti a ohybový moment musí být matematicky vyjádřeny následovně [1]. W = W N A, M A (9) My = My N A, M A (1) 41

41 VÝPOČTY VVÚ Průběhy vnitřních výsledných účinků (VVÚ) stanovíme standardně pomocí podmínek rovnováhy části rámu uvolněných místními řezy. Úlohu je nutné řešit na více místech, kde hranicemi je změna průřezu, změna střednice, případně silové zatíţení. V jednotlivých řezech zavedu síly a momenty potřebné k VVÚ [1]. Obr. 53 Rám rozdělený jednotlivými řezy 42

42 ŘEZ x 1 F x : N x1 N A = Obr. 54 Uvolnění v řezu x 1 F y : T x1 = M R : M x1 M A = N x1 = N A (11) T x1 = (12) M x1 = M A (13) Jy x 1 = 2 π D4 d 4 64 S x 1 = 2 π D2 d 2 4 = 2 π,1684, = 2 π,1682, (14) (15) Obr. 55 Geometrie v místě v řezu x 1 Obr. 56 3D pohled na řez x 1 43

43 ŘEZ x 2 Obr. 57 Uvolnění v řezu x 2 F x : N x2 N A = F y : T x2 = M R : M x2 M A = N x2 = N A (16) T x2 = (17) M x2 = M A (18) Jy x 2 = Jy x 1 2 b3 h 12 = Jy x 1 2,45 3,7,26,6 x 2 12 S x 2 = S x 1 2 b h = S x 1 2,45,7,26,6 x 2 (19) (2) Obr. 58 Geometrie v místě řezu x 2 Obr. 59 3D pohled na řez x 2 44

44 ŘEZ x 3 Obr. 6 Uvolnění v řezu x 3 F x : N x3 N A = F y : T x3 = M R : M x3 M A = N x3 = N A (21) T x3 = (22) M x3 = M A (23) Jy x 3 = Jy x 1 2 b3 h 12 = 2,453,33 12 (24) S x 3 = S x 1 2 b h = 2,45,33 (25) Obr. 61 Geometrie v místě řezu x 3 Obr. 62 3D pohled na řez x 3 45

45 ŘEZ x 4 Obr. 63 Uvolnění v řezu x 4 F x : N x4 N A = F y : T x4 = M R : M x4 M A = N x4 = N A (26) T x4 = (27) M x4 = M A (28) Jy x 4 = b3 h 12 =, (29) S x 4 = b h =,45 1 (3) Obr. 64 Geometrie v místě řezu x 4 Obr. 65 3D pohled na řez x 4 46

46 ŘEZ x 5 Obr. 66 Uvolnění v řezu x 5 F x : N x5 = F y : T x5 N A = M R : M x5 M A N A x 5 = N x5 = (82) T x5 = N A (83) M x5 = M A N A x 5 (84) Jy x 5 = 2,375 b h3,6,6 12 =,55 12 S x 5 = b h =,6,6 2,375,55 x 5 x 5 3 (85) (86) Obr. 67 Geometrie v místě řezu x 5 Obr. 68 3D pohled na řez x 5 47

47 ŘEZ x 6 Obr. 69 Uvolnění v řezu x 6 F x : N x6 = F y : T x6 N A = M R : M x6 M A N A (c 5 x 6 ) = N x6 = (36) T x6 = N A (37) M x6 = M A N A (c 5 x 6 ) (87) Jy x 6 = b h3 12 =,6 1, (39) S x 6 = b h =,6 1,35 (4) Obr. 7 Geometrie v místě řezu x 6 Obr. 71 3D pohled na řez x 6 48

48 ŘEZ x 7 Obr. 72 Uvolnění v řezu x 7 F x : N x7 = F y : T x7 N A F = M R : M x7 M A N A c 5 c 6 x 7 F x 7 = N x7 = (41) T x7 = N A F (42) M x7 = M A N A c 5 c 6 x 7 F x 7 (88) Jy x 7 = b h3 12 =,6 1, (44) S x 7 = b h =,6 1,35 (45) Obr. 73 Geometrie v místě řezu x 7 Obr. 74 3D pohled na řez x 7 49

49 ŘEZ x 8 Obr. 75 Uvolnění v řezu x 8 F x : N x8 = F y : T x8 N A F = M R : M x8 M A N A b x 8 F (c 7 x 8 ) = N x8 = (46) T x8 = N A F (47) M x8 = M A N A b x 8 F (c 7 x 8 ) (48) Jy x 8 = b h3 12 =,6 1, (49) S x 8 = b h =,6 1,35 (5) Obr. 76 Geometrie v místě řezu x 8 Obr. 77 3D pohled na řez x 8 5

50 ŘEZ x 9 Obr. 78 Uvolnění v řezu x 9 F x : N x9 = F y : T x9 N A F = M R : M x9 M A N A b c 8 x 9 F c 7 c 8 x 9 = N x9 = (89) T x9 = N A F (9) M x9 = M A N A b c 8 x 9 F c 7 c 8 x 9 (91) 2,375 b h3,6 1,35 x Jy x 9 = 12 =, S x 9 = b h =,6 1,35 2,375,55 x 9 3 (92) (93) Obr. 79 Geometrie v místě řezu x 9 Obr. 8 3D pohled na řez x 9 51

51 ŘEZ x 1 Obr. 81 Uvolnění v řezu x 1 F x : N x1 N A F = F y : T x1 = M R : M x1 M A N A 2b F (c 7 b) = N x1 = N A F (56) T x1 = (57) M x1 = M A N A 2b F (c 7 b) (58) Jy x 1 = b3 h 12 =, (59) S x 1 = b h =,45 1 (6) Obr. 82 Geometrie v místě řezu x 1 Obr. 83 3D pohled na řez x 1 52

52 ŘEZ x 11 Obr. 84 Uvolnění v řezu x 11 F x : N x11 N A F = F y : T x11 = M R : M x11 M A N A 2b F (c 7 b) = N x11 = N A F (56) T x11 = (57) M x11 = M A N A 2b F (c 7 b) (58) Jy x 11 = Jy x 1 2 b3 h 12 = Jy x 1 2,453,33 12 (59) S x 11 = S x 1 2 b h = S x 1 2,45,33 (6) Obr. 85 Geometrie v místě řezu x 11 Obr. 86 3D pohled na řez x 11 53

53 ŘEZ x 12 Obr. 87 Uvolnění v řezu x 12 F x : N x12 N A F = F y : T x12 = M R : M x12 M A N A 2b F (c 7 b) = N x12 = N A F (66) T x12 = (67) M x12 = M A N A 2b F (c 7 b) (68) Jy x 12 = Jy x 1 2 b3 h 12 = Jy x 1 2,45 3,33,26,6 x S x 12 = S x 1 2 b h = S x 1 2,45,33,26,6 x 12 (69) (7) Obr. 88 Geometrie v místě řezu x Obr. 89 3D pohled na řez x 12

54 ŘEZ x 13 Obr. 9 Uvolnění v řezu x 13 F x : N x13 N A F = F y : T x13 = M B : M x13 M A N A 2b F (c 7 b) = N x13 = N A F (71) T x13 = (72) M x13 = M A N A 2b F (c 7 b) (73) Jy x 13 = 2 π D4 d 4 64 S x 13 = 2 π D2 d 2 4 = 2 π,1684, = 2 π,1682, (74) (75) Obr. 91 Geometrie v místě řezu x 13 Obr. 92 3D pohled na řez x 13 55

55 VÝPOČET S UVAŽOVANÍM ENERGIE NAPJATOSTI OD OHYBU Z důvodů velkého rozsahu vyjádření jednotlivých integrálů, vyjádřím pouze 1. integrál, zbylé uvádím v přílohách DEFORMAČNÍ PODMÍNKA PRO POSUV V MÍSTĚ PŮSOBENÍ SÍLY N A Deformační podmínku (7) zde uvádím z důvodu přehlednosti [1]. u A = W = u A = W = γ x 1 My(s) E J y x 12 Mx 1 E Jy x 1 x 4 x 6 x 8 x 1 My ds Mx 4 E Jy x 4 Mx 6 E Jy x 6 Mx 8 E Jy x 8 Mx 1 Mx 1 E Jy x 1 Mx 12 E Jy x 12 = dx 1 Mx 4 Mx 6 Mx 8 Mx 12 Mx 1 x 2 dx 4 dx 6 dx 8 dx 12 Mx 2 E Jy x 2 x 5 x 7 x 9 dx 1 x 13 Mx 5 E Jy x 5 Mx 7 E Jy x 7 Mx 9 E Jy x 9 x 11 Mx 2 Mx 11 E Jy x 11 Mx 13 E Jy x 13 dx 2 Mx 5 Mx 7 Mx 9 Mx 13 x 3 dx 5 dx 7 dx 9 Mx 11 Mx 3 E Jy x 3 dx 11 dx 13 = Mx 3 dx 3 (7) (94) Následuje vyjádření předchozích vztahů v programu Maple [4]. 56

56 57

57 DEFORMAČNÍ PODMÍNKA PRO ÚHEL NATOČENÍ V MÍSTĚ PŮSOBENÍ MOMENTU M A Deformační podmínku (8) zde uvádím z důvodu přehlednosti [1]. φ A = W = φ A = W = γ x 1 x 12 My(s) E J y Mx 1 E Jy x 1 x 4 x 6 x 8 x 1 My ds Mx 4 E Jy x 4 Mx 6 E Jy x 6 Mx 8 E Jy x 8 Mx 12 E Jy x 12 Mx 1 E Jy x 1 Mx 1 = Mx 4 Mx 6 Mx 8 Mx 12 dx 1 Mx 1 x 2 dx 4 dx 6 dx 8 dx 12 Mx 2 E Jy x 2 x 5 x 7 x 9 dx 1 x 13 Mx 5 E Jy x 5 Mx 7 E Jy x 7 Mx 9 E Jy x 9 x 11 Mx 13 E Jy x 13 Mx 2 Mx 11 E Jy x 11 Mx 5 Mx 7 Mx 9 dx 2 Mx 13 dx 5 dx 7 dx 9 x 3 Mx 11 Mx 3 E Jy x 3 dx 11 dx 13 = Mx 3 (8) dx 3 (95) Následuje vyjádření předchozích vztahů v programu Maple [4]. 58

58 59

59 VÝPOČET SOUSTAV ROVNIC Rovnice statické rovnováhy spolu s rovnicemi deformačních podmínek řeším pomocí softwaru Maple 12 [4]. Výpočet umoţňuje měnit excentricitu e, a to v rozsahu,15 m. Výsledky NP poté pouţiji na znázornění ohybových momentů. Výpočet je rozsáhlý a proto ho uvádím v příloze [1] ZOBRAZENÍ PRŮBĚHU OHYBOVÝCH MOMENTŮ Zobrazení provedu pro 3 různé polohy síly F. Vypočtené NP jsou vţdy zobrazeny pod grafickým znázorněním. e = m Obr. 93 Průběh momentu, e = m Síla ve vetknutí Moment ve vetknutí Maximální moment N A = 2, N M A = 755,44 Nm M omax = 1, Nm N B = 2, N M B = 755,44 Nm 6

60 Obr. 94 Průběh momentu, e =.1 m e =.1 m Síla ve vetknutí Moment ve vetknutí Maximální moment N A = 2, N M A = 798,54 Nm M omax = 1, Nm N B = 2,7 1 6 N M B = 694,94 Nm Obr. 95 Průběh momentu, e =.15 m e =.15 m Síla ve vetknutí Moment ve vetknutí Maximální moment N A = 2, N M A = 812,78 Nm M omax = 1, Nm N B = 1, N M B = 658,93 Nm 61

61 e = m VÝSLEDKY NP PŘI UVAŽOVANÍ ENERGIE NAPJATOSTI OD OHYBU Síla ve vetknutí Moment ve vetknutí Maximální moment N A = 2, N M A = 755,44 Nm M omax = 1, Nm N B = 2, N M B = 755,44 Nm e =.1 m Síla ve vetknutí Moment ve vetknutí Maximální moment N A = 2, N M A = 798,54 Nm M omax = 1, Nm N B = 2,7 1 6 N M B = 694,94 Nm e =.15 m Síla ve vetknutí Moment ve vetknutí Maximální moment N A = 2, N M A = 812,78 Nm M omax = 1, Nm N B = 1, N M B = 658,93 Nm VÝPOČET S UVAŽOVANÍM ENERGIE NAPJATOSTI OD OHYBU, NORMÁLOVÝCH A POSOUVAJICÍCH SIL Výpočet VVÚ v předchozí kapitole neuvaţoval všechny 3 druhy energie. V této kapitole provedu výpočet znovu. V příslušné kapitole poté porovnám všechny výsledky. Některé členy v deformačních podmínkách nejsou vypsány, jelikoţ v daném řezu ţádná síla N(x) či moment My(x) nepůsobí a tudíţ je parciální derivace rovna nule. Grafické znázornění neprovádím, jelikoţ stejné s předchozí kapitolou, liší se pouze ve velikostech reakcí [1]. 62

62 DEFORMAČNÍ PODMÍNKA PRO POSUV V MÍSTĚ PŮSOBENÍ SÍLY N A u A = W = u A = W = x 4 x 7 x 1 x 13 x 3 x 9 x 12 x 6 x 9 Mx 4 E Jy x 4 Mx 7 E Jy x 7 Mx 1 E Jy x 1 Mx 13 E Jy x 13 Nx 3 E S x 3 Nx 9 E S x 9 Nx 12 E S x 12 β Tx 6 G S x 6 β Tx 9 G S x 9 γ x 1 My(s) E J y Mx 1 E Jy x 1 Mx 4 Mx 7 Mx 1 Mx 13 Nx 3 Nx 9 Nx 12 Tx 6 Tx 9 dx 4 dx 7 dx 3 dx 9 My ds Mx 1 x 5 x 8 dx 1 dx 13 x 4 x 1 dx 12 dx 6 x 7 dx 9 = dx 1 Mx 5 E Jy x 5 Mx 8 E Jy x 8 x 11 x 1 Nx 4 E S x 4 Nx 1 E S x 1 x 13 β Tx 7 G S x 7 γ x 2 Mx 11 E Jy x 11 Nx 1 E S x 1 N(s) E S s Mx 2 E Jy x 2 Mx 5 Mx 8 Nx 4 Nx 13 E S x 13 dx 5 dx 8 Mx 11 Nx 1 Nx 1 Tx 7 dx 4 Nx 13 N ds Mx 2 x 6 x 9 dx 11 dx 1 x 5 dx 1 dx 7 dx 2 Mx 6 E Jy x 6 Mx 9 E Jy x 9 x 2 Nx 5 E S x 5 x 11 dx 13 x 8 x 12 Nx 2 γ x 3 E S x 2 β T(s) G S s Mx 3 E Jy x 3 Mx 6 Mx 9 Mx 12 E Jy x 12 Nx 5 Nx 11 E S x 11 x 5 β Tx 8 G S x 8 β Tx 5 G S x 5 Tx 8 Nx 2 dx 5 Nx 11 dx 6 dx 9 Tx 5 dx 8 T ds Mx 3 Mx 12 dx 2 dx 11 dx 5 dx 3 dx 12 = (78) (79) 63

63 A = W = A = W = DEFORMAČNÍ PODMÍNKA PRO ÚHEL NATOČENÍ V MÍSTĚ PŮSOBENÍ MOMENTU M A γ x 1 x 12 My(s) E J y Mx 1 E Jy x 1 x 4 x 6 x 8 x 1 My ds Mx 4 E Jy x 4 Mx 6 E Jy x 6 Mx 8 E Jy x 8 Mx 12 E Jy x 12 Mx 1 E Jy x 1 Mx 1 Mx 4 Mx 6 Mx 8 Mx 12 γ dx 1 Mx 1 N(s) E S s x 2 dx 4 dx 6 dx 8 dx 12 N ds Mx 2 E Jy x 2 x 5 x 7 x 9 dx 1 x 13 Mx 5 E Jy x 5 Mx 7 E Jy x 7 Mx 9 E Jy x 9 x 11 Mx 13 E Jy x 13 γ Mx 2 Mx 11 E Jy x 11 Mx 5 Mx 7 Mx 9 β T(s) G S s dx 2 Mx 13 dx 5 dx 7 dx 9 x 3 Mx 11 T ds Mx 3 E Jy x 3 dx 11 dx 13 = = Mx 3 (8) dx 3 (81) e = m VÝSLEDKY NP PŘI UVAŽOVANÍ ENERGIE NAPJATOSTI OD OHYBU, NORMÁLOVÝCH A POSOUVAJICÍCH SIL Síla ve vetknutí Moment ve vetknutí Maximální moment N A = 2, N M A = 755,44 Nm M omax = 1, Nm N B = 2, N M B = 755,44 Nm e =.1 m Síla ve vetknutí Moment ve vetknutí Maximální moment N A = 2, N M A = 299,2 Nm M omax = 1, Nm N B = 2,7 1 6 N M B = 1194,28 Nm e =.15 m Síla ve vetknutí Moment ve vetknutí Maximální moment N A = 2, N M A = 63,77 Nm M omax = 1, Nm N B = 1, N M B = 147,95 Nm 64

64 2.5. POROVNÁNÍ VÝSLEDKŮ NP U OBOU TYPŮ STŘEDNIC Nyní porovnám výsledky od obou typů střednic a to z důvodu pouţití výsledků k určení statické bezpečnosti, i k určení bezpečnosti vzhledem k cyklické únavě S UVAŽOVÁNÍM ENERGIE NAPJATOSTI OD OHYBU W = W (M) Parametr Typ A Typ B diference e = m N A [N] 2, , N B [N] 2, , M A [Nm] 879,74 755,44 124,3 M B [Nm] 879,74 755,44 124,3 M omax [Nm] -1, , Parametr Typ A Typ B diference e =.1 m N A [N] 2, , N B [N] 2, ,7 1 6 M A [Nm] 933,31 798,54 134,77 M B [Nm] 88,77 694,94 113,83 M omax [Nm] -1, , Parametr Typ A Typ B diference e =.15 m N A [N] 2, , N B [N] 1, , M A [Nm] 952,79 812,78 14,1 M B [Nm] 767,54 658,93 18,61 M omax [Nm] -1, ,

65 S UVAŽOVÁNÍM ENERGIE NAPJATOSTI OD OHYBU, OD NORMÁLOVÝCH A POSOUVAJICÍCH SIL W = W (M, T, N) Parametr Typ A Typ B diference e = m N A [N] 2, , N B [N] 2, , M A [Nm] 879,74 755,44 124,3 M B [Nm] 879,74 755,44 124,3 M omax [Nm] -1, , Parametr Typ A Typ B diference e =.1 m N A [N] 2, , N B [N] 2, ,7 1 6 M A [Nm] 44,86 299,2 141,66 M B [Nm] 131, ,28 16,95 M omax [Nm] -1, , Parametr Typ A Typ B diference e =.15 m N A [N] 2, , N B [N] 1, , M A [Nm] 214,11 63,78 15,33 M B [Nm] 156,22 147,94 98,28 M omax [Nm] -1, , Z porovnání plyne, ţe oba tvary střednic z hlediska výsledků jsou velmi podobné. Při uvaţování energie napjatosti od ohybu, normálových a posouvajících sil se hodnoty ohybových momentů liší pouze v místech A a B, které jsou ovšem oproti maximálnímu ohybovému momentu zanedbatelné. 66

66 2.6. VÝPOČET STATICKÝCH BEZPEČNOSTÍ V rámu je několik míst, které je potřeba zkontrolovat vůči meznímu stavu pruţnosti. V rámu působí ohybové namáhání ale i smykové a tahové. Z výsledků z této kapitoly poté budu vycházet při posuzování únavy [2]. Pro ocel je mez kluzu Re = 35 MPa [3] OHYBOVÉ NAPĚTÍ NEBEZPEČNÉ MÍSTO V ŘEZU x 7 Maximální ohybový moment je maximální v místě působení síly F viz Obr. 96 při excentricitě e =. Obr. 96 Nebezpečná místo pro ohybové napětí Kvadratický moment průřezu (x 7 ): Jy x 7 = b h3 12 =,6 1, =,123 m 4 (44) Modul průřezu v ohybu (x 7 ): W o7 = Jy x 7 h 2 =,123,675 =,1822 m3 (96) Maximální ohybové napětí (x 7 ): σ o7 = M o7 1, = W σ7,1822 = 92,7 16 Pa = 92,7 MPa (97) 67

67 NEBEZPEČNÉ MÍSTO VE VETKNUTÍ A, B Další nebezpečné místo můţe být ve vetknutí A, B, při uvaţovaní všech druhů energií napjatosti a maximální excentricity. Kvadratický moment průřezu: Jy x 1 = 2 π D4 d 4 = 2 π,1684,112 4 (14) = 6, m 4 Modul průřezu v ohybu: W oa,b = Jy x 1 D 2 = 6,27 1 5,168 2 =,75 m 3 (98) Napětí od ohybu v místě A: σ oa = M A = 214,11 W oa,b,75 =,28 16 Pa =,28 MPa (99) Napětí od ohybu v místě B: σ ob = M B W ob = 156,22,75 = 2 16 Pa = 2 MPa (1) 68

68 SMYKOVÉ NAPĚTÍ Taktéţ v místech působení osamělých sil, vznikají v rámu smyková napětí. K výpočtu pouţiji Ţuravského vzorec [2]. τ x = T x U y Ψ b J y (11) T x7 = N (12) Statický moment průřezu: U y = z ds Ψ (13) U y = 1,352 2,6 =,547 m3 (14) Kvadratický moment průřezu: Jy x 7 = b3 h 12 = 1,353,6 12 Smykové napětí (x 7 ) =,123 m 4 (15) τ x7 = T x7 U y b J y x7 = 2,41 16,547 1,35,123 = 7, Pa = 7,938 MPa (16) 69

69 TAHOVÉ NAPĚTÍ Největší tahová síla působí v místě vetknutí A při největším vyosení síly F, tedy e =,15 m. σ NA = N A S x 1 = 2,93 16,2463 = 118,96 16 Pa = 118,96 MPa (17) REDUKOVANÉ NAPĚTÍ V místě x 7 působí zároveň ohybové a smykové napětí. Pouţiji proto podmínku pro výpočet redukovaného napětí max [1] Podmínka max σ red 1 = σ 2 2 o7 4 τ x7 (18) σ red 1 = 92, ,938 2 (19) σ red 1 = 94, Pa = 94,49 MPa (11) Bezpečnost vůči meznímu stavu pruţnosti (MSP) k c1 = Re = 35 σ red 1 94,49 = 3,24 (111) V místě vetknutí A působí tahové napětí a ohybové napětí Podmínka max σ red 2 = σ NA σ oa (112) σ red 2 = 118,96,28 (113) σ red 2 = 119,24 MPa (114) Bezpečnost vůči meznímu stavu pruţnosti (MSP) k c2 = Re = 35 σ red 2 119,24 = 2,55 (115) Z porovnání plyne, ţe nebezpečným místem je místo A, a proto v tomto místě provedeme kontrolu na únavu. 7

70 2.7. KONTROLNÍ VÝPOČET K MEZI ÚNAVY Zkušební zařízení se pouţívá ke zkoušce vysokotlakých přívodních trub pro vodu. Zkouška spočívá ve 2 fázích. Nejprve se na trubce vyvolá průhyb a pak se trubce vyvolává maximální tlak 1,5x p N coţ odpovídá 6,4 MPa pro průměr DN 98 po dobu 1 minuty. Další minutu je pak tlak sníţen aţ na nulu. Takto se celá trubka zkouší 24 hodin. Charakter napětí pro případ zkoušení odolnosti proti roztrţení je ekvivalencí míjivého cyklu, s nenulovým středním napětím [2]. Obr. 97 Grafické znázornění míjivého cyklu Vycházím z výsledků napětí v různých místech. Největší maximální ohybový moment vyšel v polovině šířky rámu, tedy vzdálenosti b. Největší tahové napětí vyšlo v místě vetknutí a je větší neţ napětí od ohybu, proto dále budu počítat pouze s tahovým namáháním [2]. 71

71 TAHOVÉ NAMÁHÁNÍ σ a = σ h σ n 2 σ m = σ h σ n 2 = 119,24 2 = 119,24 2 = 59,62 MPa = 59,62 MPa (116) (117) Jelikoţ v místě vetknutí není ţádný skok, zanedbávám veškeré vrubové účinky, které mohou sniţovat mez únavy [2]. Z materiálových listů [3] pro ocel vychází mez únavy v tahu - tlaku: σ cn = 194 MPa (118) HAIGHŮV DIAGRAM Obr. 98 Grafické znázornění bezpečnosti v Haighově diagramu Bezpečnost při cyklickém tahovém namáhání [3]: k cn = M P = 215,66 84,31 = 2,55 (118) 72

72 2.8. STANOVENÍ DEFORMACE POD SILOVÝM ZATÍŽENÍM K výpočtu opět pouţiji deformační podmínku a Castiglianovu větu. Průhyb bude největší v místě působení síly, která bude mít hodnotu excentricity rovna nule. Dále pouţiji pouze střednici typu A. Musím uvaţovat energii napjatosti od ohybového momentu ale i od normálových a posouvajících sil [1]. u F = x 1 x 4 x 7 x 1 x 13 x 3 x 9 x 12 x 6 x 9 u F = Mx 1 E Jy x 1 Mx 4 E Jy x 4 Mx 7 E Jy x 7 Mx 1 E Jy x 1 Mx 13 E Jy x 13 Nx 3 E S x 3 Nx 9 E S x 9 Nx 12 E S x 12 β Tx 6 G S x 6 β Tx 9 G S x 9 γ My(s) E J y Mx 1 F Mx 4 F Mx 7 F Mx 1 F Mx 13 F Nx 3 F Nx 9 F Nx 12 F Tx 6 F Tx 9 F My F ds dx 1 dx 4 dx 7 dx 3 dx 9 x 2 x 5 x 8 dx 1 dx 13 x 4 x 1 dx 12 dx 6 dx 9 x 7 Mx 2 E Jy x 2 Mx 5 E Jy x 5 Mx 8 E Jy x 8 x 11 x 1 Nx 4 E S x 4 Nx 1 E S x 1 x 13 β Tx 7 G S x 7 γ Mx 11 E Jy x 11 Nx 1 E S x 1 N(s) E S s Mx 2 F Mx 5 F Mx 8 F Nx 4 F Nx 13 E S x 13 N F ds dx 2 dx 5 dx 8 Mx 11 F Nx 1 F Nx 1 F Tx 7 F dx 4 Nx 13 F x 3 x 6 x 9 dx 11 dx 1 x 5 dx 1 dx 7 γ Mx 3 E Jy x 3 Mx 6 E Jy x 6 Mx 9 E Jy x 9 x 2 Nx 5 E S x 5 x 11 dx 13 x 8 x 12 Nx 2 E S x 2 β T(s) G S s Mx 3 F Mx 6 F Mx 9 F Mx 12 E Jy x 12 Nx 5 F Nx 11 E S x 11 x 5 β Tx 8 G S x 8 β Tx 5 G S x 5 Tx 8 F Nx 2 F dx 5 Nx 11 F N F ds dx 6 dx 9 Tx 5 F dx 8 dx 3 Mx 12 F dx 2 dx 11 dx 5 dx 12 (119) (12) u F =1,773 mm (121) 73

73 3. NUMERICKÝ VÝPOČET POMOCÍ MKP K realizaci výpočtu jsem vyuţil upravený 3D model [7], který odpovídá modelu pouţitého pro analytický výpočet se střednicí typu A. Program Ansys Workbench 12 [6] umoţňuje počítat s 3 různými variantami modelů a to objemovým, skořepinovým a prutovým. Jelikoţ je rám vymodelován jako objemový, převedl jsem jej na skořepinový a to z důvodu lepšího modelu sítě, kdy jednotlivé elementy sítě jsou symetričtější neţ u objemového modelu. Síť je zvolena jako velmi jemná (element o délce 1 mm), coţ má za následek sice přesný výpočet neznámých parametrů v místě vetknutí, ale nepřesný výsledek v místech geometrických skoků, protoţe dochází k singularitě. Proto jsem pouţil v místech singularity hrubší síť, kterou navrhl samotný program jako nejvhodnější. Síla je umístěna tak, ţe lze s ní pohybovat o zvolenou excentricitu. Provedl jsem opět 3 výpočty pro excentricity,,1 a,15 m. V programu Ansys [6] jsem pouţil v místech A a B vetknutí, které zabraňuje v natočení a dále pouze v posuvu ve směru působení síly. Výpočet poslouţil k ověření některých výsledků vypočtených pomocí modelu prosté pruţnosti. K určení vlivu vrubů by musela být provedena podrobnější analýza formou MKP VÝSLEDKY PRO EXCENTRICITU e = m MAXIMÁLNÍ POSUV Maximální posuv se nachází v místě působení síly, coţ dokládá následující obrázek. Obr. 99 Deformace v místě působení síly, e = m Velikost deformace ve směru působení síly u F = 2,1 mm 74

74 REDUKOVANÉ NAPĚTÍ Obr. 1 Redukované napětí, e = m REAKCE VE VETKNUTÍ Síla ve vetknutí N A = 2, N N B = 2, N Moment ve vetknutí M A = 2282 Nm M B = 2282 Nm 75

75 3.2. VÝSLEDKY PRO EXCENTRICITU e =,1 m MAXIMÁLNÍ POSUV Maximální posuv se nachází v místě působení síly, coţ dokládá následující obrázek. Obr. 11 Deformace v místě působení síly, e =,1 m Velikost deformace ve směru působení síly u F = 2,5 mm 76

76 REDUKOVANÉ NAPĚTÍ Obr. 12 Redukované napětí, e =,1 m REAKCE VE VETKNUTÍ Síla ve vetknutí N A = 2, N N B = 2,7 1 6 N Moment ve vetknutí M A = 216 Nm M B = 2547 Nm 77

77 3.3. VÝSLEDKY PRO EXCENTRICITU e =,15 m MAXIMÁLNÍ POSUV Maximální posuv se nachází v místě působení síly, coţ dokládá následující obrázek. Obr. 13 Deformace v místě působení síly, e =,15 m Velikost deformace ve směru působení síly u F = 2,8 mm 78

78 REDUKOVANÉ NAPĚTÍ REAKCE VE VETKNUTÍ Obr. 14 Redukované napětí, e =,1 m Síla ve vetknutí N A = 2, N N B = 1, N Moment ve vetknutí M A = 1885 Nm M B = 268 Nm 79

79 4. POROVNÁNÍ ANALYTICKÉHO A NUMERICKÉHO VÝPOČTU V této části se pokusím porovnat analytický model jiţ dříve vypočítaný s modelem počítaným pomocí metody konečných prvků MKP POROVNÁNÍ VÝSLEDKŮ POUZE S OHYBOVOU ENERGIÍ NAPJATOSTI W = W (M) Parametr Typ A Typ B MKP Diference A vs. MKP e = m N A [N] 2, , , N B [N] 2, , , M A [Nm] 879,74 755, ,26 M B [Nm] 879,74 755, ,26 W = W (M) Parametr Typ A Typ B MKP Diference A vs. MKP e =,1 m N A [N] 2, , , N B [N] 2, , ,7 1 6 M A [Nm] 933,31 798, ,69 M B [Nm] 88,77 694, ,23 W = W (M) Parametr Typ A Typ B MKP Diference A vs. MKP e =,15 m N A [N] 2, , , N B [N] 1, , , M A [Nm] 952,79 812, ,21 M B [Nm] 767,54 658, ,46 8

80 4.2. POROVNÁNÍ VÝSLEDKŮ S ENERGIÍ NAPJATOSTI OD OHYBU, NORMÁLOVÝCH SIL A POSOUVAJICÍCH SIL W = W (M, N, T) Parametr Typ A Typ B MKP Diference A vs. MKP e = m N A [N] 2, , , N B [N] 2, , , M A [Nm] 879,74 755, ,26 M B [Nm] 879,74 755, ,26 W = W (M, N, T) Parametr Typ A Typ B MKP Diference A vs. MKP e =,1 m N A [N] 2, , , N B [N] 2, , ,7 1 6 M A [Nm] 44,86 299, ,14 M B [Nm] 131, , ,77 W = W (M, N, T) Parametr Typ A Typ B MKP Diference A vs. MKP e =,15 m N A [N] 2, , , N B [N] 1, , , M A [Nm] 214,11 63, ,89 M B [Nm] 156,22 147, ,78 Z porovnání plyne, ţe výsledky se sice v místech A a B liší, ale jsou zanedbatelné vůči maximálnímu ohybovému momentu POROVNÁNÍ VELIKOSTI DEFORMACÍ Parametr Typ A MKP Diference A vs. MKP e = m u F [mm] 1,773 2,6 -,233 Rozdíl ve velikosti deformaci je,2 mm, a proto lze říci, ţe analytický výpočet je správný. 81

81 5. ZÁVĚR Byly porovnány výsledky napjatostní a deformační analýzy rovinného rámu provedené pomocí přístupu prosté pruţnosti a pevnosti pro oba dva výpočtové modely střednice. V první variantě analytického výpočtu jsem pouţil střednici, odpovídající co moţná nejpřesněji 3D modelu rámu. V druhé variantě byla naopak střednice pravoúhlá a tudíţ jednodušší na výpočet. Po celé délce střednice se měnily průřezy, tudíţ by byl výpočet velice sloţitý a proto byl proveden v programu Maple 12. Z výsledků analytického výpočtu plyne, ţe oba tvary střednic jsou dostatečně přesné, neznámé parametry jako jsou ohybové momenty se od sebe liší v řádu stovek Nm. Výsledky získané pouze při uvaţování ohybové energie napjatosti byly srovnány s výsledky zohledňujícími ohybovou, normálovou a energii od T. Výsledky prokázaly, ţe zohlednění tahové a smykové napjatosti má podstatný vliv na velikost M A a M B, které avšak jsou vůči maximálnímu ohybovému napětí zanedbatelné. Z hlediska bezpečnostního, rám vychází jak na statickou bezpečnost, tak na cyklickou únavu kdy se bezpečnosti pohybují nad hodnotou 2,5. Také byl proveden výpočet na stanovení deformace pod působením síly s výsledkem 1,8 mm. Při výpočtech pomocí přístupu prosté pruţnosti a pevnosti nebyl vzat v úvahu vrubový efekt. Tímto jsou splněny cíle práce. Navíc pro porovnání správnosti vybraných výsledků jsem vyuţil také moţnost kontroly pomocí metody konečných prvků zastoupenou programem Ansys Workbech 12, která mi správnost výsledků potvrdila a poukázala na moţná nebezpečné místa rovněţ s ohledem na konstrukční vlivy vrubů. Jelikoţ model není přesný jako skutečný rám (v modelu chybí svary), lze tyto místa brát s rezervou. 82

82 6. SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ [1] JANÍČEK, P.; ONDRÁČEK, E.; VRBKA, J.; BURŠA, J.: Mechanika těles Pruţnost a pevnost I, Brno: Akademické nakladatelství CERM, s.r.o., s. ISBN: X [2] ONDRÁČEK, E., VRBKA, J., JANÍČEK, P.; BURŠA, J.: Mechanika těles Pruţnost a pevnost II, Brno: Akademické nakladatelství CERM, s.r.o., s. ISBN [3] JANÍČEK, P.; FLORIAN, Z.: Mechanika těles Úlohy z pruţnosti a pevnosti I, Brno: PC-DIR spol. s.r.o. - Nakladatelství, s. ISBN [4] JOHN WILEY & SONS: Getting started with MAPLE, New York : 24. 2nd ed. 26 s. ISBN [5] FOŘT, P., Autodesk Inventor: funkční navrhování v průmyslové praxi / 2., aktualiz. vyd. Brno : Computer Press, s. : il. ISBN [6] DADKHAH, F., ANSYS Workbench software tutorial with multimedia CD: release 11 / [Mission] : SDC Publications, c27. 1 sv. (různé stránkování): il. ISBN (broţ.) [7] KYSILKO, B.; STA ZLÍN sdruţení pouţitý 3D model zkušebního zařízení 83

83 7. SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ A ZKRATEK p [MPa] maximální tlak v trubce D [m] vnitřní průměr trubky F [N] zatěţující síla a,b [m] rozměry rámu e [m] excentricita zatěţující síly N A [N] normálová síla v místě vetknutí A M A [Nm] ohybový moment v místě vetknutí A N B [N] normálová síla v místě vetknutí B M B [Nm] ohybový moment v místě vetknutí B µ [-] počet neznámých parametrů ϑ [-] počet pouţitelných podmínek statické rovnováhy s [-] statická určitost úlohy u A [m] posuv v místě A A [m] úhel natočení v místě A W [J] energie napjatosti x [m] souřadnice řezů Nx [N] normálová síla v jednotlivých řezech Tx [N] posouvající síla v jednotlivých řezech Mx [N] ohybový moment v jednotlivých řezech Jyx [m 4 ] kvadratický moment průřezu v jednotlivých řezech b,h [m] charakteristické rozměry řezu Sx [m 2 ] plocha průřezu v jednotlivých řezech c [m] délkové rozměry částí rámu E [MPa] modul pruţnosti oceli M omax [Nm] maximální ohybový moment [-] koeficient tvaru průřezu G [MPa] modul pruţnosti ve smyku W o [m 3 ] modul průřezu v ohybu o [MPa] napětí od ohybu x [MPa] smykové napětí od posouvající síly U y [m 3 ] statický moment průřezu N [MPa] tahové napětí red1, 2 [MPa] redukované napětí k c1, 2 [-] statická bezpečnost k cn [-] bezpečnost při cyklickém namáhání a [MPa] amplituda napětí m [MPa] střední napětí h [MPa] horní napětí cyklu n [MPa] dolní napětí cyklu Re [MPa] mez kluzu M [-] délka úsečky v Haighově diagramu P [-] délka úsečky v Haighově diagramu u F [mm] posuv v místě působení síly F 84

84 8. SEZNAM PŘÍLOH I. Výpočet NP pro střednici typu A pouze s W (M) II. Výpočet NP pro střednici typu A s W (M, N, T) III. Výpočet NP pro střednici typu B pouze s W (M) IV. Výpočet NP pro střednici typu B s W (M, N, T) 85