Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy

Transkript

1 Přednáška 0 Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy Diferenciální rovnice ohybu prutu Schwedlerovy věty Rovnováha na segmentech prutu Clebschova metoda integrace Vliv teploty na průhyb a křivost prutu Příklady Copyright (c) 011 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1. or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Tets, and no Back-Cover Tets. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at 1

2 Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy 0 MPa 5 MPa 10 MPa 15 MPa Isolinie napětí 1 /8 0 5, ma = =15.0 MPa 1 / kn/m' 0.5 m tl. 0.1 m 5m E=10 GPa, deformace 500 zvětšeny

3 Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy 10 MPa 0 MPa 10 MPa 0 MPa 0 MPa Vrub na nosníku 0 kn/m' 10 MPa 1 /8 0 5, ma = =41.67 MPa 1 / m tl. 0.1 m 5m E=10 GPa, deformace 00 zvětšeny

4 Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy 5 MPa 0 MPa Tato nosná stěna nesplňuje Bernoulli Navierovu hypotézu: Ztráta rovinnosti průřezů Ztráta kolmosti průřezů Neutrální osa není spojnicí těžišť průřezů 5 MPa Nelze tedy modelovat jako nosník 10 MPa Pro analýzu napjatostního stavu je nutné použít teorii D či D napjatosti (napjatost stěn, napjatost D těles) 0 kn/m' 1m 0.5 m tl. 0.1 m E=10 GPa, deformace 000 zvětšeny 4

5 Důsledky kolmosti průřezu na střednici ohyb My us() ws() z dw s dw tan = = ϕ() Pro malé rotace, 1, lze aproimovat dw tan, = d d w Geometrická rovnice pro B N model, = = geometricky lineární model 5

6 Rovnice rovnováhy pro segment prutu Vz() Vnější síly (zatížení) My(+ ) N() f(+ /) N(+ ) My() fz(+ /) Vz(+ ) V z V z f z / =0 dv z d V z df z V z V z f =0 z! dv z = f z =0 0 =0 0 ] 1. Schwedlerova věta M y M y V z dm y =V z [ V z =0. Schwedlerova věta 6

7 Rovnice rovnováhy pro segment prutu dn = f dv z = f z dm y =V z d M y = f z 7

8 Tontiho diagram pro ohýbaný prut Přemístění Vnější síly d d w EI =f z y w Geometrické rovnice f z Statické rovnice = d w Přetvoření M y =EI y Materiálové rovnice d My =f z Vnitřní síly M y, z 8

9 Diferenciální rovnice ohybové čáry d d w EI y =f z Umožňuje řešit i staticky neurčité prutové konstrukce Obyčejná lineární diferenciální rovnice 4. řádu Na každém konci prutu jsou dvě okrajové podmínky Předepsaná V statická o.p. z Předepsaný My statická o.p. Předepsané natočení ϕy= w' kinematická o.p. Předepsaný průhyb w kinematická o.p. Pokud je EIy konstantní a My je jednoznačně určen (stat. určitá konstrukce), používá se často tvar diferenciální rovnice. řádu, jedna o.p. pro každý konec EI y w ' ' = M y 9

10 Okrajové podmínky pro ohýbaný prut, dif. rov. 4. řádu V každém koncovém průřezu se předepisuje 1. okrajová podmínka w nebo V z (pro konst. EI y V z = EI y w ' ' ' ) a zároveň. okrajová podmínka y = w ' nebo M y (pro konst. EI y M y = EI y w ' ' ) w 0 =0 M y 0 =0 w 0 =0 w ' 0 =0 V z 0 =0 M y 0 =0 Volný konec prutu Symetrická konstrukce Symetrické zatížení Osa symetrie w ' 0 =0 V z 0 =0 10

11 Příklad spojitě zatížená konzola fz=10 kn/m' d d w EI =f z y m EIy= knm První dvojnásobná integrace dv z = f z, V z= 10 C 1 0 dm y =V z, M y = 5 0 C Konstanty C1 a C lze určit přímo z reakcí 45 EI y w ' ' = M y = Druhá dvojnásobná integrace 5 EI y w '= C, w ' 0 =0 C =0 5 EI y w= C 4, w 0 =0 C 4 =0 1 Průhyb konce konzoly w =10.15 mm 11

12 1

13 Příklad spojitě zatížený oboustanně vetknutý nosník fz=10 kn/m' m EIy=10000 knm d d w EI y =f z 0= C C 1=15, C = 7.5 Alt. 1 - řešení přímou integrací na stat. neurčitém nosníku První dvojnásobná integrace dv z = f z, V z= 10 C1 dm y =V z, M y = 5 C 1 C EI y w ' ' = M y =5 C 1 C Druhá dvojnásobná integrace C 5 EI y w '= 1 C C, w ' 0 =0 C =0 w ' =0 0= C 1 C 5 4 C1 C EI y w= C 4, w 0 =0 C 4 =0 1 6 w =0 0= C1 4.5 C 5 4 EI y w= Průhyb středu nosníku w 1.5 =0.1 mm 1

14 14

15 Příklad spojitě zatížený oboustanně vetknutý nosník C fz=10 kn/m' C1 m w 0 =w ' 0 =0 EIy= knm 0= C C 1=15, C = 7.5 Alt. - řešení pomocí staticky určitého nosníku V z = 10 C 1 M y = 5 C 1 C EI y w ' '= M y =5 C 1 C Dvojnásobná integrace stejně jako v Alt. 1 5 C1 EI y w '= C C, w ' 0 =0 C =0 w ' =0 0= C 1 C 5 4 C1 C EI y w= C 4, w 0 =0 C 4 =0 1 6 w =0 0= C1 4.5 C 5 EI y w=

16 Odvoďte vzorce pro průhyby a koncové síly EIy=kost. F L 1 FL w L = EI y F L/ L/ 1 FL w L / = 48 EI y fz fz L L 4 1 fzl w L = 8 EI y 1 FL 8 4 f L 5 z w L / = 84 EI y 1 FL 8 F L/ L/ F F w L / = 1 FL 19 EI y 1 fz L 1 fz L fz 1 fz L 1 L 4 f L 1 z w L / = 84 EI y fz L 16

17 Podmínky spojitosti na intervalech Při nespojitém (osamělém) zatížení je možné integrovat po částech, platí podmínky spojitosti pro w', w F=1 kn a I. II. b 1m 9 kn c m kn n intervalů 4n integračních konstant (n integračních konstant při zadané funkci My) intervaly, 4 okraje, integračních konstant 8 dif.r.4.řádu, (4 dif.r..řádu) EIy=10000 knm II. interval - ponechám proměnnou I. interval Integrace pomocí Clebschovy metody M y =9 1 1 M y =9 EI y w ' ' = EI y w ' ' = 9 Spojitost natočení v průřezu b EI y w '= C1 EI y w '= 4.5 C 1 EI w= C 1 EI y w= 1.5 C 1 C, w 0 =0 Spojitost průhybu y w 4 =0 C1 =10.5 = w= w= EI y EI y 17

18 18

19 Clebschova metoda integrace Vhodná pouze pro nosníky, kde EIy = konst. Pro libovolný počet intervalů zredukuje celkový počet integračních konstant na dvě (pro dif. r.. řádu) Zásady integrace 1) Systém souřadnic volit jednotně pro celý nosník ) Po částech spojité zatížení je nutné vhodně odečítat. Chybějící spojité zatížení na dalším intervalu nahradit protizatížením užitím principu superpozice. Celkové zatížení pak odpovídá zatížení zadanému. ) Moment vyjádřit jako součet momentu z předchozího intervalu a dalšího členu 4) Osamělý moment nutno integrovat přes d( a) 5) Výrazy tvaru ( a)n integrovat v uzavřeném tvaru tak, aby na rozhraní intervalů byly rovny nule (jako při substituci t= a, =dt) 19

20 Příklad Clebschova metoda I. fz=1 kn/m' II. knm 5 kn m EIy=konst. m I. interval M y= EI y w ' '= Spojitost natočení EI y w '= C Spojitost EI y w= C 1 C průhybu w ' 0 =, w 0 = EI y EI y 80 w ' =, w = EI y EI y fz=1 kn/m' knm 5 kn II. interval M y= 5 EI y w ' ' = 5 EI y w ' = 5 C EI y w= 5 C 1 C w ' 4 =0 C1 = 18 w 4 =0 C = 0

21 1

22 Příklad Clebschova metoda, integrace zprava I. II. fz=1 kn/m' 5 kn m knm EIy=konst. 18 knm t m 7 kn Obecně: =d l t = dt dm y t dv t =f z t, = V z t, EI y w ' ' = M y dt dt d w =, w '= w ' ' dt, w= w dt dt I. interval II. interval z t M y =7t 18 5 t M y =7t 18 EI y w ' ' = M y = 7t 18 t EI y w ' '= M y = 7t 18 5 t 7 EI y w ' = t 18 t C 1 Spojitost natočení 7 t t EI y w '= t 18 t t 5 C w ' t=0 =0 C 1=0 1 6 =0 7 4 EI y w= t 9 t C Spojitost t t 7 6 průhybu EI y w= t 9 t t 5 C w t =0 =0 C =0 = w ' t= =, w t= = w ' t=4 =, w t=4 = EI y EI y EI y EI y

23 Tontiho diagram pro ohýbaný prut s vlivem teploty Přemístění [ ] w Geometrické rovnice = d w Přetvoření Vnější síly d dw EI y T =f z f z Statické rovnice T d T h T = T h M y =EI y T Materiálové rovnice d My =f z Vnitřní síly M y, z

24 Příklad určete průhyb volného konce c od teploty I. a Td=+15 K 4m Th= 5 K b =1e-5 K 1 EI y =10 MNm h=0.4 m T =0.001 m 1 II. c Td=+15 K t m I. interval < 0,4 > V z =C1 M y =C 1 C M y 4 =0 C = 4C1 EI y w ' '= C 1 4C1 EI y T C1 EI y w '= 4C1 EI y T C =0 C1 T EI y w= C1 EI y C 4 6 =0 II. interval t < 0, > M y =0 EI y w ' ' = EI y T EI y w '= EI y T t C 5 w ' t=0 = C 5= 10 t EI y w= EI y T C 5 t C 6 w t =0 =0 C 6 =0 0 w t = = T = 4 mm w 4 =0 C1 =.75, C = 15 w ' 4 = Spojitost natočení v průřezu b Na intervalu I. jsou k dispozici 4 o.p., interval II. lze tedy řešit e post 4

25 5

26 Příklad konzola s proměnlivým průřezem F=1 kn a Průřez a b E=10 GPa Lineární změna šířky průřezu 0. m m Průřez b 0.1 m 0. m b=0.1 1 [m] 0.4 m V z = 1 kn, M y = 1 knm 10e EI y = 1 0. =50 1 knm 1 M y w ' '= = = / = = EI y = substituce =t 1 ln 1 C1, w' =0 C1 = ln 1 1 w= C 1 C, w =0 C = w 0 = m [ porovnání s konst. šířkou b=0.4 1 mm, b= mm ] w '= 6

27 7

28 Otázky 1. Co je izolinie napětí? Při jakých typech výpočtů se používá?. Popište závislost mezi křivostí, natočením a průhybem prutu.. Odvoďte 1. a. Schwedlerovu větu na infinitezimálním úseku prutu. Eistuje nosník s nulovým momentem a nenulovou posouvající silou? 4. Jakého řádu je diferenciální rovnice ohybové čáry? Jak se změní řád rovnice, pokud známe funkci momentu? 5. Kolik okrajových podmínek potřebujeme předepsat na diferenciální rovnici ohybové čáry 4. řádu? Lze rovnicí řešit staticky neurčité konstrukce? 6. Jakého řádu je funkce průhybu při rovnoměrném spojitém zatížení? 7. Co jsou podmínky spojitosti na nosníku a za jakých podmínek se používají? Jaký je počet podmínek ve vztahu k počtu intervalů? 8. Při integraci diferenciální rovnice 4. řádu zprava se při některých integracích mění znaménko. Vysvětlete a zdůvodněte proč. 9. Vysvětlete účinek teploty na křivost prutu a jakého stupně polynomu jsou průhyby od konstantního nerovnoměrného zatížení teplotou. Created 0/011 in OpenOffice., gnuplot 4., Ubuntu by Vít Šmilauer 8

29 Určete natočení ϕa a průhyb wc EI y =0 MNm I. a 5m b II. F=60 kn c m a b A=4 kn I. interval < 0,4 > M y = 4 EI y w ' ' =4 Spojitost natočení EI y w '=1 C 1 Spojitost průhybu EI y w=4 C1 C w 0 =0 C =0 w 5 =0 0=4 5 5C1, C 1= w ' 0 = = rad EI y 0 = w ' 0 =0.005 rad F=60 kn c w() B=84 kn II. interval < 5,7 > Integrace pomocí Clebschovy metody M y = EI y w ' ' = EI y w '=1 4 5 C 1 EI y w= C 1 C w =7 = EI y 560 = =0.08 m EI y 9