Technická univerzita v Liberci. cvičebnice k předmětu MECHANIKA TEKUTIN

Transkript

1 Technická univerzita v Liberci Fakulta mechatroniky a mezioborových inženýrských studií cvičebnice k předmětu MECHANIKA TEKUTIN J. ŠEMBERA Katedra modelování procesů Liberec 00

2

3 Obsah Úvod 5 Příklady ke cvičení 6. Základní veličiny, jednotky a vztahy Hydrostatika Rozměrová analýza Stacionární proudění Nestacionární proudění Silové účinky proudu Analytické řešení rovnic proudění Další příklady Řešení a výsledky příkladů Použitá literatura 36 3

4

5 Úvod Vážení studenti, cílem cvičení k předmětu Mechanika tekutin je naučit studenta provádět běžné rutinní výpočty v oboru mechaniky tekutin, které jsou založeny na použití základních a experimentálních vztahů mezi stavovými veličinami. Právě tato tématika je zpracována textu, který se vám dostává do rukou. Jsme přesvědčeni, že text účelně doplňuje cvičení a pomůže vám při přípravě na písemnou část zkoušky. Přejeme hodně hezkých zážitků při studiu Mechaniky tekutin, při odkrývání vzájemných souvislostí a vztahů. 5

6 Kapitola Příklady ke cvičení. Základní veličiny, jednotky a vztahy tlak p[pa = kg/m/s ] síla F [N = kgm/s ] objem V [m 3 ] hustota ρ[kg/m 3 ] teplota T [K] součinitel stlačitelnosti ε[pa ] součinitel tepelné roztažnosti γ[k ]. atmosférický tlak p a = 00kPa. hustota vody ρ v = 000kg/m 3 gravitační zrychlení g =. 9,8m/s součinitel stlačitelnosti vody ε v = 4,6 0 0 Pa součinitel tepelné roztažnosti vody γ v =,8 0 4 K. hustota vzduchu ρ vz =,3kg/m 3 stlačitelnost: V = V 0 ε p tepelná roztažnost: V = V 0 γ T hydrostatický tlak: p = hρg ideální plyn: pv = RT Příklad.. Manometr ukazuje přetlak v potrubí 3,4m vodního sloupce. Jaký je přetlak v Pa a jaký je tlak v potrubí? Příklad.. Potrubí o objemu 50l je naplněno vodou pod atmosférickým tlakem. Kolik vody do něj musíme dočerpat, abychom trojnásobně zvýšili tlak? Příklad..3 Potrubí o objemu 50l je plné vody o teplotě 5 C. Na jakou teplotu musíme vodu ohřát, abychom tlak zvýšili z atmosférického tlaku na trojnásobek? 6

7 .. Hydrostatika 7 Příklad..4 Potápěč v hloubce 70m vydechne bublinu vzduchu o průměru 7cm. Jaký průměr bude mít tato bublina těsně pod hladinou? Napište pohybovou rovnici bubliny. Příklad..5 Máme sud s padesáti litry piva právě naražený ruční pípou. Tlak uvnitř sudu je stejný jako v okolní atmosféře (z pípy tedy nic neteče). Kolik vzduchu je třeba napumpovat do sudu, aby pak bez dalšího pumpování bylo možno načepovat právě 0 piv (tj. 5l kapaliny)? Sud má tvar válce o vnitřním průměru d = 30cm a výšce v s = 75cm, ústí pípy je h p = 40cm nad sudem. Pivo považujeme za ideální kapalinu o hustotě ρ v = 000kg/m 3. Příklad..6 Jaký je tlak v hloubce 800m pod hladinou moře, je-li mořská voda a) nestlačitelná (ρ = 060kg/m 3 ) b) stlačitelná (ε = Pa ).. Hydrostatika Hydrostatický tlak Příklad.. Do jaké výšky nad hladinu vyzvedneme velmi těsným velmi pomalým pístem vodu v trubici, působí-li na hladinu atmosférický tlak. Příklad.. Vyřešte příklad.. s předpokladem, že teplota vody je 70 C víte-li, že tlak nasycených vodních par při této teplotě je 3kPa. Příklad..3 V zařízení na obrázku jsou tři tekutiny: () voda o hustotě ρ = 000kg/m 3, () vzduch (ρ =,kg/m 3 ). Určete tekutinu (3) (přesněji její hustotu), víte-li, že h = 40mm, h = 00mm, h 3 = 50mm, h 4 = 45mm. Podtlak v nádrži je p N p a = 0,05MPa. ³ ÔÆ ½µ ² ³ ¾µ ³ Ô ½ ² ± ² ± ¾ µ

8 8 Kapitola. Příklady ke cvičení Příklad..4 Máme dva spojené válce o průměrech d = 0cm a d = 3,5cm naplněné vodou. Na obou jsou písty o hmotnostech m = 5kg a m. Určete hmotnost pístu m, víte-li, že rozdíl hladin ve válcích je h = 3cm (vyšší hladina je v prvním válci). Příklad..5 Ve vaně tvaru kvádru (m m 5m(výška)) je 0t vody a 70t rtuti. Určete průběh tlaku působícího na stěnu vany. (ρ Hg = 3600kgm 3 ) Ñ ½µ ¾µ ¾Ñ ¾Ñ ½ ¾ Příklad..6 Šikmá stěna dělí vodní nádrž na dvě různě hluboké části (viz obrázek). Určete velikost a působiště výsledné síly, je-li α = 60, h = m, h = m, stěna je široká 5m a hustota vody je 000kg/m 3. ½ «¾ Příklad..7 Dvě nádoby s vodou a rtutí jsou odděleny záklopkou pohyblivou v bodě A (viz obrázek). Určete, jak vysoko může dosahovat rtuť, aby přepážka nepoklesla (zanedbejte hmotnost přepážky). À ¾ Ç ½ α = 30 a = 0cm h = 35cm ρ H O = 000kg/m 3 ρ Hg = 3600kg/m 3 Õ «À ¾

9 .. Hydrostatika 9 Vztlak a plování těles Příklad..8 Jaký objem dřevěného tělesa o hustotě ρ dřeva = 70kg/m 3 a objemu V = 0,5m 3 bude vyčnívat při plavání ve vodě? Příklad..9 Nádoba je naplněna dvěma nemísitelnými kapalinami o hustotách ρ = 850kg/m 3 a ρ = 000kg/m 3. V nádobě plave zcela ponořený kvádr o hustotě ρ k = 90kg/m 3. Jeho výška je h = cm. Určete vzájemnou polohu kapalin a kvádru. Příklad..0 V nádobě se třemi nemísitelnými kapalinami plove koule o průměru d. Je ponořena ve třetí kapalině do hloubky b a vyčnívá ze druhé kapaliny do první do výšky a. Určete její hustotu. ½µ ¾µ ρ = 860kg/m 3 ρ = 000kg/m 3 ρ 3 = 00kg/m 3 d = 80cm a = 0cm b = 0cm µ Objem kulového vrchlíku o poloměru r a výšce a je V = πa (3r a). 3 Příklad.. Otvor ve dně nádrže je uzavřen zátkou tvaru komolého kužele. Určete sílu nutnou na uvolnění zátky. Tření zanedbejte. Ô À D = 30mm H = 50mm h = 0mm ρ = 000kg/m 3 d = 5mm h = 5mm m = 30g Ô ½ objem komolého kužele: V = π 3 v(r + rr + R )

10 0 Kapitola. Příklady ke cvičení Příklad.. Jakou hydrostatickou silou nadzvedává kov horní část slévárenské formy na obrázku? Á Ê ½ Ê ¾ À R = 0,3m R = 0,38m d = 0,05m H = 0,6m ρ = 7300kg/m 3 Kapalina v poli zrychlení Příklad..3 Kbelík s vodou je ve výtahu. Hladina je 40cm nade dnem. Určete hydrostatický tlak na dno, je-li zrychlení výtahu,5ms a má směr a) dolů, b) nahoru; c) určete pohyb, při němž nebude na dno působit hydrostatický tlak. Příklad..4 Nákladní auto s kvádrovou korbou o rozměrech d š h = 5,5m veze 00hl kapaliny. Jakou může jet nejvýše rychlostí, aby nevylil náklad, předpokládáme-li, že v případě nebezpečí úplně zabrzdí z plné rychlosti za 5s? Zanedbejte možné překmity hladiny a předpokládejte, že kapalina je po celou dobu v ustáleném stavu (hladina je stále rovná). Příklad..5 Kvádrová vana na nakloněné rovině: rozměry podstavy d s, objem vody ve vaně V, úhel naklonění roviny α. Vanu táhneme se zrychlením a. a) Jaký je úhel naklonění hladiny β? b) Jaký tlak působí na spodní roh vany? «

11 .3. Rozměrová analýza Příklad..6 V nádobě tvaru válce o poloměru 5cm je 0cm vody. Nádobu roztočíme na,5ot./s. Jaký je tvar hladiny a jaká je hydrostatická síla působící na dno nádoby? Ö Öµ À ¼ Příklad..7 Uzavřená válcová nádoba o průměru R = 90cm a výšce H =,8m je v klidu naplněna vodou do výšky h 0 =,05m. Jak velká plocha dna a poklice bude odkryta při otáčkách,5ot./s?.3 Rozměrová analýza Příklad.3. Turbína má otáčky 50s. Na pětkrát menším modelu s otáčkami 35s byla naměřena obvodová rychlost,65m/s. Jaké obvodové rychlosti dosáhne skutečná turbína? Příklad.3. Určete vztah pro tlak vyvolaný proudem nestlačitelné tekutiny na stojící těleso. Předpokládejte pouze závislost na hustotě a rychlosti tekutiny..4 Stacionární proudění Nevazká nestlačitelná kapalina: rovnice kontinuity: V = v S Bernouliho rovnice: hρg + p + ρv = konst. Potenciální energie+tlaková energie+kinetická energie=konst. Příklad.4. Určete rychlost proudění vody v, je-li v Prandtlově trubici na obrázku rozdíl hladin rtuti h = 4,7mm. Ú Õ ½ Õ¾ Ú¾ Ú Ô¾ Ú Ú½ ¼ ρ H O = 000kg/m 3 Ú Ô½ Ú ² ± À ρ Hg = 3600kg/m 3

12 Kapitola. Příklady ke cvičení Příklad.4. Jaký rozdíl tlaků naměří tlakoměr připojený k Venturiho trubici na obrázku? Ô ¾ Ú ¾ Ô Příklad.4.3 Jakou rychlostí bude stříkat voda z injekční stříkačky na ob- Ú ½Ô ½ rázku? D = 00mm d = 60mm ρ = 000kg/m 3 h = 50mm V = 0 m 3 /s Ô ½ ± Ô D = 5mm d = mm ρ = 000kg/m 3 F = 60N Vyjádření ztrát energie: Ztráty jsou modelovány snížením rychlosti a zmenšením skutečného průřezu, jímž tekutina protéká: Rychlostní součinitel ϕ = v skutečná v teoretická Součinitel kontrakce α = S proudu S otvoru. Průtočný objem se tedy počítá: V = v skutečná S proudu = αϕv teoretická S otvoru = µ V teoretická Zde µ = αϕ je tzv. výtokový součinitel. Výtokové součinitele pro některé případy je možno najít v [, tabulka 8]. Příklad.4.4 Kanál je ukončen jezem. Před jezem teče voda v kanálu rychlostí v =,8m/s, výška proudu přepadající vody je h = 45cm a šířka jezu i kanálu je l =,m. Výtokový součinitel přepadu je µ = 0,65. Určete průtočný objem přes jez. Ú½ Ü õ ÔÔÙ Ð

13 .4. Stacionární proudění 3 Příklad.4.5 Nádoba tvaru kvádru s obdélníkovým otvorem u dna (viz obrázek). Spočítejte průtok vody otvorem za předpokladu: a) konstantní rychlosti kapaliny v celém otvoru b) rychlostního profilu v otvoru c) se započítáním poklesu hladiny během výtoku. Ú h =,m v = 5cm a = 8cm s =,5m d = m µ = 0,7 ρ = 000kg/m 3 Příklad.4.6 Kanál je ukončen šikmou stěnou s obdélníkovým odtokovým otvorem (viz obrázek). Jaký je průtočný objem odtoku? Ú½ õ ÓØÚÓÖÙ Ü «Ú α = 60 v = 5cm s = 35cm h = 40cm µ = 0,7 v = m/s Příklad.4.7 Za jak dlouho vyteče voda z válcové nádoby nahoře otevřené s otvorem ve dně (viz obrázek)? D = 0cm d = cm À H = 50cm µ = 0,65 Vazká kapalina: Bernouliho rovnice: h ρg + p + ρα v = h ρg + p + ρα v + p z, kde α je tzv. Coriolisův součinitel, vyjadřující úpravu výpočtu střední rychlosti v = V vzhledem ke kinetické energii. S Pro turbulentní proudění je,04 α,, pro laminární proudění v kruhové trubce je α = a mezi dvěma deskami je

14 4 Kapitola. Příklady ke cvičení α =,543. Pro malé rychlosti se běžně zanedbává (α = ). Člen p z = e z ρ = h z ρg = ξρ v vyjadřuje energetické ztráty. ξ je tzv. ztrátový součinitel. Energetické ztráty značně závisí na charakteru proudění. Ten lze rozlišit podle tzv. Reynoldsova čísla Re = vd, kde d je charakteristický rozměr kanálu. Při ν Reynoldsových číslech menších než kritické Reynoldsovo číslo Re k je proudění laminární, pro Re >> Re k jde o turbulentní proudění, pro Re >Re k může docházet k oběma druhům proudění. Laminární proudění v kruhovém potrubí o průměru d: Re = vd, Re ν k = 30, ještě pro Re < 4000 může docházet k laminárnímu proudění. Weisbachův vztah: ξ = λ l 64, kde součinitel třecích ztrát λ = d Re ve čtvercovém potrubí se stranou průřezu a: Re = va; ν ξ = λ l 57, kde λ = a Re Turbulentní proudění v hydraulicky hladkém potrubí: Pro Re k Re : λ = 0,364 4 Re (Blasius) Pro 0 5 Re 0 6 : λ = 0,84 5 Re λ = (,8 log Re,5) (Konakov) v hydraulicky drsném potrubí: Pro vysoké Re nezávisí na Reynoldsově čísle, pro nízká Re na něm závisí (rozlišení vysokých a nízkých Reynoldsových čísel: viz Nikuradzeho diagram např. [, diagramy č. 8, 9]) pro vysoká Re: λ = = (Nikuradze), ( log d +,38) ( log r +,74) kde je drsnost vyjádřená v metrech, r = d. pro nízká Re: Moody: λ = { [ log ( 6,97 Re ) 0,9 ]} +0,7 d ) 0,5 (, λ = 0, 00 + ) 0,5 Re d Altšul, Filoněnko: λ = 0, ( 68 + Re d Pro nekruhový průřez je d hydraulický průměr d = 4S o, kde S je průřez a o je omočený obvod. Tabulky drsností některých materiálů jsou uvedeny v [, tabulka č. 9]. Další ztráty v ohybech potrubí, výtocích, rozdvojeních, apod. se vyjadřují pomocí součinitele místních ztrát ξ. Pro některé případy jsou ξ uvedeny v [, tabulka č. 30].

15 .4. Stacionární proudění 5 Příklad.4.8 Určete množství vody protékající jednotlivými větvemi systému. Třecí ztráty zanedbejte vůči místním ztrátám. Jaká je celková tlaková ztráta? ½ ½ ¾ ½ Ú½ Ú ¾ Ú v = 3,8m/s d = 50mm d = 5mm ξ = 5 ξ = 7 ξ 3 = 4 ξ 4 = 6 Příklad.4.9 Do válcové trubky délky l proudí terpentýnový olej rychlostí v. První část dlouhá l má průměr d, za ní je ventil a pokračuje trubka o průměru d. Určete celkovou ztrátu (p z, h z, e z ). Potrubí je hydraulicky hladké. ½ н Ú½ Ú ½ Ð ¾ ¾ l = 5m l = 3,8m ν =,8 0 6 m /s ρ = 80kg/m 3 d = 40mm d = mm v = 0,m/s ξ v = 4,85 Příklad.4.0 Dvě nádrže jsou spojené potrubím. Ze spodní nádrže volně vytéká voda, v horní je hladina uměle držena na konstantní úrovni. Na obrázku je již ustálený stav. Určete výtokovou rychlost do ovzduší, tlak nad hladinou ve spodní nádrži a ztrátový součinitel ξ ventilu mezi dvěma nádržemi. Potrubí je hydraulicky ³ hladké. p = 0,MPa p = 0,03MPa p a = 00kPa h 0 = 0,5m h = 8m h = 4m ¼ ² Ô ½ ³ ½ ½ Ô ¼ ½ ½ ½ d = 00mm l = 0m ³ Ô ¾ d = 50mm l = 5m ³ ¾ ϕ = 0,95 ϕ = 0,90 ξ = 4,5 ξ 3 =, ξ vtoku = ρ = 000kg/m 3 ν = 0, m /s Ð ½ ÚØÓÙ Ð ¾ ¾ ¾ Ð ¾

16 6 Kapitola. Příklady ke cvičení Příklad.4. Určete, jak daleko od středu čerpadla na obrázku dostříkne voda, otáčí-li se jeho horní část úhlovou rychlostí ω. Ö ¾ Ü h 0 = 50cm h = 50cm h = 50cm d = 5cm r = 75cm ω = s λ = 0,08 ξ ½ v = 0,5 ξ x = 0,3 ¼ Î Příklad.4. Určete ztrátu v difuzoru na obrázku při proudění vody. ½.5 Nestacionární proudění Ä Neustálené proudění, stlačitelná tekutina: Ú ¾ ¾ ρ = 000kg/m 3 L = 50mm d = 60mm d = 0mm v = m/s λ = 0,04 = konst. Rovnice kontinuity: ρ S v = ρ S v + () ρ Sdl; dl je elementární vzdálenost () t ve směru proudnice. Bernouliho rovnice: h ρg + p + ρv = h ρg + p + ρv + p z + () ρ vdl; () t kde poslední člen pro stálý průřez a nestlačitelnou kapalinu je roven ρal (a je zrychlení). Příklad.5. V trubici tvaru U na obrázku jsou vodní hladiny v jednotlivých ramenech drženy s rozdílem výšek h. Jak se bude pohybovat hladina, uvolníme-li hladiny (vyrovnáme-li tlak nad oběma rameny)? Zanedbejte vliv ztrát energie. ½ ² ± ¾ Ð d = 0,5cm l = 75cm h(0) = 30cm h(t) =?

17 .6. Silové účinky proudu 7 Příklad.5. Tentýž stav, jako v příkladu.5., jen započteme ztráty způsobené viskozitou kapaliny ν = 0 6 m /s. Navíc máme jiné počáteční podmínky: v čase t = 0 jsou hladiny v obou trubicích vyrovnány, ale rychlost klesání hladiny v levém rameni je v(0) = 0,3m/s. Příklad.5.3 Olej proudí potrubím na obrázku zdola nahoru. Určete tlak oleje na horním konci potrubí, znáte-li tlak na dolním konci p = 30kPa, vstupní rychlost v = m/s a zrychlení oleje a = 0,7m/s. Ztrátu na rozšíření počítejte podle vzorce z [, tab. 30]: p zx =, ρ(v v ). ¾ Á о ³ ϕ = 45 ρ = 80kg/m 3 Ê ν =, m /s Á Ú½ l = 0cm l = 450cm Á н d =,5cm d = 5,5cm ½ Ê Příklad.5.4 Z veliké nádrže odtéká voda potrubím (viz obrázek). Za jakou dobu po otevření výpusti bude rychlost na výstupu v(t) = 4,5m/s? Zanedbáváme tření a pokles hladiny. Započítáme rychlostní součinitel potrubí ϕ = 0,8. Ý «.6 Silové účinky proudu Ð Þ h = m l = 0m F = S v dṁ S v dṁ + S (p p a )( n )ds + S (p p a )( n )ds + G Kontrolní objem V je omezen kontrolní plochou S = S S S 0, kde plochou S 0 neprotéká tekutina. n i je vektor vnější normály plochy S i.

18 8 Kapitola. Příklady ke cvičení Příklad.6. Na lopatku (viz obrázek) dopadá válcový paprsek vody o průměru d rychlostí v. Určete sílu, kterou působí voda na lopatku, je-li rychlost pohybu lopatky u (stejným směrem, jako přitékající voda). Tvar lopatky zajišťuje, že paprsek vytékající vody má vzhledem k lopatce kruhový průřez též o průměru d. Ú¾ Á d = cm v = 6,5m/s u = 4m/s ϕ = 60 Ú½ Ù ³ Příklad.6. Volný proud vody dopadá svrchu kolmo na vodorovnou desku rychlostí 0m/s. Určete sílu, kterou voda působí na desku (proud je válcový s průměrem 5cm). Ô Ô Ú Ú ½ Příklad.6.3 Volný proud vody dopadá vodorovně na rotačně symetrické těleso a rozpadne se podle obrázku v úhlu ϕ = 35. Proud je válcový s průměrem cm a rychlostí 5m/s. Při ohnutí proudu nedojde ke ztrátě energie (rychlosti). Určete sílu, kterou voda působí na těleso. Ô ½ Ú ¾ Ú ³ Příklad.6.4 V zakřiveném potrubí kruhového průřezu s konstantním průměrem 0cm ohýbajícím se o 05 proudí voda. Vstupní rychlost je 8m/s, tlak na vstupu je 0,33MPa a střed vstupního průřezu je 0,85m nad středem výstupního průřezu. Určete sílu působící na zakřivenou část potrubí (zanedbejte ztráty energie). Objem kolena je 80l. ³ Æ Ú ½ Ô½ ½¼ Æ Ú¾ Ô¾

19 .7. Analytické řešení rovnic proudění 9 Příklad.6.5 Ze zahradního ostřikovače upevněného otočně na svislé ose na rameni délky l (na obrázku je pohled shora) vystřikuje otvorem o průměru d = 5mm voda rychlostí v = 3,7m/s. Určete ³ sílu, kterou je třeba působit v polovině ramene, aby se ostřikovač nepohyboval. Ð Ð ¾ Ú Součinitel odporu a vztlaku: Síla, kterou působí proud tekutiny na obtékané těleso se může vyjadřovat pomocí součinitele odporu c x a součinitele vztlaku c L. Odporová síla se pak vypočte podle vzorce F x = c x S x ρv, kde S x je čelní průřez obtékaného tělesa, v rychlost tekutiny a člen ρv se označuje jako kinetický tlak. Působí tím směrem, kterým proudí tekutina. Vztlaková síla se počítá podle podobného vzorce F L = c L S x ρv. Působí kolmo na sílu odporovou. Příklad.6.6 Automobil jede rychlostí v = 90km/h. Plocha jeho čelního průřezu je S x =,3m a součinitel odporu je c x = 0,46. Určete aerodynamický odpor a výkon potřebný k jeho překonání. Hustota vzduchu je ρ =,5kg/m 3. Příklad.6.7 Obdélníková šikmá střecha o rozměrech 6 8m vzdoruje větru o rychlosti v = m/s. Střecha svírá úhel 40 s vodorovinou, vítr vane vodorovně kolmo na hranu střechy. Součinitel odporu je c x = 0, a součinitel vztlaku c L = 0,6. Určete výslednou sílu působící na střechu. Hustota vzduchu je ρ =,5kg/m 3..7 Analytické řešení rovnic proudění Příklad.7. Určete tvar rychlostního profilu a závislost tlaku pro ustálené proudění nestlačitelné vazké tekutiny kruhovým potrubím, je-li proudění osově symetrické a rychlost je rovnoběžná s osou trubky. Určete pro hodnoty: R = 30cm, ν = 0 6 m /s, ρ = 000kg/m 3, V = 905l/s. Příklad.7. Turbulentní proud vody v kruhové trubce: určete pro dané Re příslušnou maximální rychlost (rychlost v ose potrubí), tvar rychlostního profilu a objemový ( průtok, víte-li, že platí mocninový zákon pro profil rychlosti: v(r) = v y ) n, max d kde y = d r a pro n platí tzv. Grimsonova formule ve tvaru = 0,9895 ln Re 0,604. Výpočet proveďte pro Re = 503, d = 5cm, ρ = n 000kg/m 3, ν = 0 6 m /s.

20 0 Kapitola. Příklady ke cvičení.8 Další příklady Příklad.8. Určete celkovou sílu působící na část potrubí na obrázku: н Ô½ ² Ро Ú l = m l = 5m l 3 = m d = 4cm p = 50kPa v = m/s ρ = 000kg/m 3 Příklad.8. Určete okamžité zrychlení proudění v trubičce spojující dvě veliké nádrže (jde o neustálené proudění). Ô ½ Ð Ú Příklad.8.3 Určete tlak p na výstupu z nakreslené části potrubí. Ô½ ½ н Ú½ Ú ½ о Ô ¾ ¾ ¾ Ô¾ p = 00kPa p = 00kPa l = m d = mm h = 3,5m v = m/s ρ = 000kg/m 3 ν = 0 6 m /s ξ = p = 00kPa l = m l = m d = 0,5mm d = mm v = m/s a = 0,m/s ρ = 000kg/m 3 ν = 0 6 m /s ξ v = 0,

21 Kapitola Řešení a výsledky příkladů Řešení příkladu..: p + = hρ v g = 3, ,8 = 33354Pa p = p a + p + = ,35 = 33,34kPa [ 33,35kPa ] Řešení příkladu..: V = V 0 ε v p, V 0 V = 50l = 0,05m 3, p = p a = 00kPa V 0 V = V 0 ( ε v p). = 0, m 3 V 0 = V 0 V = 0,05 ε v p 4, V = V 0 (V 0 V ) = 0, ,05 = 0, m 3 = 4,6ml [ 4,6ml ] Řešení příkladu..3: roztažnost: V = V 0 γ v T, stlačitelnost: V = V 0 ε v p V 0 γ v T = V 0 ε v p T = εv γ v p = 4, = 0,5K,8 0 4 [ 5,5 C ] Řešení příkladu..4: Stavová rovnice plynu: pv = konst. Tlak v hloubce h: p(h) = p a + hρ v g p(70)v (70) = p(0)v (0) (p a + 70ρ v g) π 6 d(70)3 π = p a 6 d(0)3 d(0) = 3 pa+70ρvg p a d(70) =. 3,9cm Vztlaková síla: F vz (h) = V (h)ρ v g Gravitační síla: F g = mg = V (0)ρ vzduchu g Rovnováha sil: ḧm = F g F vz ḧ = g( ρv V (h)) = g g ρ v ( ) m π ρ g g v 6 d(h)3 π ρ vzduchu = g ρv p a 6 d(0)3 ρ vzduchu p a+hρ vg (h je označení pro hloubku) Poznámka: V (h) ρ vzduchu = V (0)

22 Kapitola. Řešení a výsledky příkladů Existuje teoretická hloubka, kdy bublina začne klesat (tj. kdy gravitační síla převáží nad vztlakovou) tehdy bude hustota vzduchu rovna hustotě vody a vzduch se ve vodě rozpustí... [ 3,9cm; ḧ = g ρv p a ] ρ vzduchu p a+hρ vg Řešení příkladu..5: Stav po načepování 0 piv: hladina piva v sudu je ve výšce v, ústí pípy je ve výšce h nad hladinou: v + h = v s + h p = 5cm. Objem piva v sudu je π 4 d v = 45l v = 63,67cm, h = 5,33cm. Tlak vzduchu nad hladinou piva: p = p a + hρ v g = 05035,47Pa Objem vzduchu nad hladinou piva při tlaku p: V = π 4 d (0,75 v) = 8,0l Objem téhož vzduchu při tlaku p a : p a V a = pv V a = p p a V = 8,4l Objem vzduchu v sudu před čepováním: V 0 = 0,75 π 4 d 0,05 = 3,0l Objem dopumpovaného vzduchu V + = V a V 0 = 5,40l. [ 5,40l ] Řešení příkladu..6: a) p = p a + ρgh = ,8 800 = 8,489MPa b) dv = εv dp dv = εdp V m = ρv 0 = dm = dρv + ρdv dv = dρ V ρ dp = ρgdh dρ ρ = ερgdh dh = εg εgρ 0 ρ = ρ 0 dp = ρgdh = ε ρ 0 hεg dρ h = + c ρ εg ρ 0, kde pro h = 0 je ρ = ρ 0 c 0 = dρ ρ p = ε ln ρ + c, kde při ρ = ρ 0 je p = p a c = p a ε ln ρ 0 p = ε ln ρ ρ 0 + p a p(h) = ε ln ρ 0 hεg + p a p(h = 800m) = 8,438MPa [ a) p = 8,489MPa; b) p = 8,438MPa ] Řešení příkladu..: Minimální možný tlak na hladině v trubici pod pístem je 0Pa. Maximální možný podtlak je tedy p a = 00kPa. Takový tlak bude vyrovnán hydrostatickým tlakem vodního sloupce v trubici: p a = h ρ v g h = p a /ρ v /g = 00000/000/9,8. = 0,m [ 0,m ] Řešení příkladu..: p a p par = h ρ v g h = (p a p par )/ρ v /g = ( )/000/9,8. = 7,0m [ 7,0m ] Řešení příkladu..3: Tlak na rozhraní ve výšce h označíme p h a podobně: p h = p N + ρ g(h h ) p h3 = p h + ρ g(h h 3 ) = p N + ρ g(h h ) + ρ g(h h 3 ) p a = p h4 = p h3 + ρ 3 g(h 3 h 4 ) = p N + ρ g(h h ) + ρ g(h h 3 ) + ρ 3 g(h 3 h 4 ) ρ 3 = pa p N ρ g(h h ) ρ g(h h 3 ). g(h 3 h 4 = 358kg/m 3 )

23 3 [ 358kg/m 3 (rtuť) ] Řešení příkladu..4: Hydrostatický tlak kapaliny vyvažuje rozdíl tlaků způsobených písty: p = m g/s = 4m g/π/d = 0 9,8/3,45/0,0 =. 645Pa p = m g/s = 4m g/π/d = 4 9,8m /3,45/0,085 =. 685,4m Pa p h = h ρ v g =. 0, ,8 = 94,3Pa p + p h = p.. m = ( ,3)/685,4 = 9,54kg [ 9,54kg ] Řešení příkladu..5: Jde o nemísitelné kapaliny leží na sobě. Rtuť je těžší, tedy leží vespod. V Hg = m Hg ρ Hg = 5,47m 3 h = V Hg =,87m V H O = m H O = ρ 0m3 H h O = V H O =,5m Zvolíme kartézskou soustavu souřadnic s počátkem v některém spodním rohu vany se svislou osou z. Tlak nebude záviset na souřadnicích x, y, ale jen na z. V rozsahu z (h +h,5m) bude zevnitř působit pouze atmosférický tlak, v intervalu z (h, h + h ) bude půobit navíc hydrostatický tlak sloupce vody: p(z) = (h + h z)ρ H Og + p a. V rozmezí z (0, h ) bude působit atmosférický tlak, tlak celého sloupce vody a části sloupce rtuti: p(z) = (h z)ρ Hg g +h ρ H Og +p a. Ô Þµ ¾È ½¾ È [ ½¼¼È ½ ¾Ñ Ñ Ñ Þ ] Řešení příkladu..6: Síla z levé strany: F = pds = s h p(h) dh S 0 sρg sin α h = 36N Síla z pravé strany: F = sρg sin α h = 890N = s sin α sin α h 0 (h h)ρgdh = Působiště síly = bod, ve kterém působení síly vyvolá stejný moment, jako když je síla rozložená: Vyrovnáme momenty vzhledem k průsečnici stěny a dna: h M = F y = F p = h p(h)s h dh h sin α 0 sin α sin α p = h 3 Podobně h p = h 3 Celková síla F = F F = 8487N, působiště vyrovnáním momentů: F hp sin α = F h p sin α F h p sin α h p = F h F h 3F = 0,78m [ 8487N; 0,78m nade dnem ]

24 4 Kapitola. Řešení a výsledky příkladů Řešení příkladu..7: Srovnání momentů sil zleva a zprava M H O = a sin α gρ 0 H O (h +a sin α x) s x dx =... = ρ sin α sin α H Ogsa [ h + a sin α] 6 M Hg = h gρ 0 Hg (h x) s x dx =... = ρ Hggs sin α sin α sin α 6 h3 M H O = M Hg h = 3 ρh Oa sin α[3h +a sin α]. ρ Hg = 0,095m. [ 0,095m ] Řešení příkladu..8: ρ dřeva V = ρ v V 0 V 0 = ρ dřeva ρ v V = 70 0,5 = 0,8m3 000 [ Vyčnívá 0,07m 3 dřeva. ] Řešení příkladu..9: Kapalina o vyšší hustotě (ρ ) bude pod kapalinou o nižší hustotě (ρ ). ρ < ρ k < ρ kvádr bude plovat na rozhraní. Určíme jeho ponoření v druhé kapalině (označíme je h ): Vztlaková síla působící na kvádr je h S ρ + (h h ) S ρ, kde S je plocha podstavy kvádru. Gravitační síla působící na kvádr je h S ρ k. h S ρ + (h h ) S ρ = h S ρ k h S(ρ ρ ) = hs(ρ k ρ ) h = ρ k ρ ρ ρ h = 70 = 5,6cm 50 [ Kvádr plove na kapalině ponořen 5,6cm ] Řešení příkladu..0: V = πa ( 3d a), V 3 3 = πb ( 3d b), V = 4π d3, V = V V V 3. ρ V + ρ V + ρ 3 V 3 = ρv ρ = ρ V +ρ V +ρ 3 V 3 = 986,73kg/m 3 V [ 986,73kg/m 3 ] Řešení příkladu..: Síla dolů je způsobena gravitací a vahou vody v objemu V + = π D (H h 4 ). Síla nahoru je způsobena vztlakem objemu V = π h [D + d D d ] + V + π d 4 (H h ), kde d = d + D d(h h h ) = 6.7mm. À Î Î Î ½ ½ F = mg + V + ρg V ρg = 3N

25 5 Řešení příkladu..: Vztlak způsobí objem nad odlitkem: Î Á Ê ½ Ê ¾ À V = πr H π d 4 (H R ) 3 πr3 = 0,5m 3 F = V ρg = 5385N [ 3N ] [ 5385N ] Řešení příkladu..3: p = h ρ a c (a c je celkové zrychlení). a) p = h ρ (g a) = 0, ,3 = 94Pa b) p = h ρ (g + a) = 0,4 000,3 = 494Pa c) p = h ρ (g + a) = 0 g = a setrvačné zrychlení působí proti gravitačnímu volný pád výtahu. [ 94Pa; 494Pa; volný pád ] Řešení příkladu..4: Předpokládáme, že hladina kapaliny se rychle ustaluje kolmo k působícímu zrychlení. Kromě gravitačního zrychlení bude při brždění působit setrvačné zrychlení o velikosti rovné zbrždění automobilu. Směr setrvačného zrychlení je totožný se směrem jízdy a je kolmý na směr gravitačního zrychlení. Součet obou zrychlení musí působit takovým směrem, aby se hladina neustálila nad okrajem korby, tj. sklon zrychlení vůči svislici nesmí být větší než arccotg(,5/0,5), tj. velikost setrvačného zrychlení nesmí být větší než 0,5/,5 g = 0,g. =,96m/s. Tedy rychlost automobilu před zbržděním nesmí být víc než 5,96 = 9,80m/s = 35,8km/h. [ 35,3km/h ] Řešení příkladu..5: a) Sínová věta: sin β a = sin( π α) g a = cos α g a β = arcsin( a cos α g a ) Õ Õ «Õ ¾ «Æ «

26 6 Kapitola. Řešení a výsledky příkladů b) p = p a + Hρ g a, H je výška hladiny ve směru zrychlení g a... H =... = ( V + dtg(α β)) cos(α β) d s p = p a + ρ v g a ( V cos(α β) + d sin(α β)) ds [ β = arcsin( a cos α);p = p g a a + ρ v g a ( V cos(α β) + d sin(α β)) ] ds Řešení příkladu..6: Hladina bude v každém bodě kolmá k působícímu zrychlení (to je indukováno gravitací a rotací). Výška hladiny h(r) bude z důvodu symetrie záviset jen na vzdálenosti od středu rotace. Setrvačné zrychlení způsobené rotací: a r (r) = rω, kde úhlová rychlost ω = π,5s. ÐÒ Ö Öµ Ö Öµ «Öµ tgα(r) = ar(r) g h(r ) = H 0 + r = d dr h(r) 0 a r(r) g dr = H 0 + ω g r H 0 určíme porovnáním objemů: V = R 0 πrh(r)dr =... = π(h 0R + ω 4g R4 ) = Í = V 0 = πr. h 0 H 0 = h 0 ω 4g R = 0,0584m Určení tlaku na dno: přírůstek tlaku v hloubce x na kružnici r: dp(x, r) = ρg( dx) + ρa r (r)dr p(x, r ) = x H 0 ρg( dx) + r 0 ρa r(r)dr =... = ρ[g(h 0 x ) + ω r ]. Tlak na dno je tedy p(0, r). Síla na dno F = R 0 p(0, r)πrdr =... = πρr [gh ω R ] = 385,9N [ h(r) = 0, ,530r ;F = 385,9N ] Řešení příkladu..7: Ö ½ Ö ¾ Ê Jako v příkladu..6: h(r) = H 0 + ω g r Skutečná hladina je ale h(r) = max{0; min{,8; h(r)}}. Srovnáním objemů: r r πrh(r)dr + (R r)πh = = V 0 = πr,05 a přitom h(r ) = 0, tj. H 0 + ω r = 0 g a h(r ) = H, tj. H 0 + ω r = H g řešením této soustavy dostáváme: r = R ( h 0 ) + Hg = 0,37m H ω a r = R ( h 0 ) Hg = 0,335m. H ω [ r = 0,4m, r = 0,34m ] Řešení příkladu.3.: Vystupují zde veličiny: průměr d[m], otáčky ω[s ], obvodová rychlost v[m/s].

27 7 Rozměrová matice: m s ( d ω v 0 0 ) ( 0 0 dω/v = konst. d ω /v = d ω /v v = (d /d ) ω /ω v = 5 50/35,65. = 8,93m/s ) [ 8,93 m/s ] Řešení příkladu.3.: Vystupují zde veličiny: tlak p[pa = kg/m/s ], hustota ρ[kgm 3 ], rychlost v[m/s]. p ρ v kg 0 0 Rozměrová matice: m 3 0 s p/v /ρ = konst. p = konst. ρ v Poznámka: Konstanta vystupující v tomto vztahu se nazývá Eulerova konstanta a značí se Eu. Závisí na geometrických podmínkách (tvaru a poloze tělesa vůči proudění) i na druhu proudění. Řešení příkladu.4.: Bernouliho rovnice: h ρ H Og + p + ρ H Ov = h ρ H Og + p + ρ H Ov. h = h, v = 0, v = v p = p + ρ H Ov v = (p p ) ρ H O p = p + h(ρ Hg ρ H O)g v = h(ρhg ρ H O)g ρ H O. =,9m/s [ p = Eu ρ v ] Poznámka: p p je tzv. dynamický tlak, p tzv. statický tlak a p celkový tlak Řešení příkladu.4.: Rovnice kontinuity: V = v S = v S v = 4 V ; v πd = 4 V πd Bernouliho rovnice: h ρg + p + ρv = h ρg + p + ρv p p = (h h )ρg + ρ(v v ( ) ) p = ρ[ hg + 4 V π ( )] =. 695Pa d 4 D 4 Řešení příkladu.4.3: Rovnice kontinuity: v S = v S v = d D v [,9m/s ] [ 695Pa ]

28 8 Kapitola. Řešení a výsledky příkladů rovnováha sil: F + p a S = p S p = F S + p a = 4F πd + p a Bernouliho rovnice: h ρg + p + ρv = h ρg + p + ρv, h = h, p = p a 4F + p πd a + ρ d4 v D 4 = p a + ρv v = 4F πd ρ D4 d 4 D 4 v = 8D F πρ(d 4 d 4 ). = 5,6m/s [ 5,6m/s ] Řešení příkladu.4.4: Bernoulliho rovnice: xρg + ρv (x) = ρv v (x) = v + gx V = µ h v 0 (x)ldx = µl h 0 v + gxdx = µl v +gh y v dy = µl ( v g 3g + gh 3 v) 3 =,m 3 /s. [,m 3 /s ] Řešení příkladu.4.5: a) Bernoulliho rovnice: 0ρ H Og ρ H O0 = (h + v)ρg ρv v = (h + v)g V = µv S = µav (h + v)g = 0,066m 3 /s b) (h + x)ρg + ρv (x) = 0 v (x) = g(h + x) V = µa v v 0 (x)dx = gµa h+v y dy = µa g h 3 ((h+v)3/ h 3/ ) = 0,066m 3 /s c) H = H(t), H(0) = h : d V (t) = µa g ((H(t) + dt 3 v)3/ H(t) 3/ ) V (t) = dsh(t) d V (t) = µa g V (t) (( + v) 3/ V (t) dt 3 ds ds... nutno řešit numericky (například nahradit časovou derivaci diferenčním členem V (k+) V (k), kde horní index označuje pořadí časového kroku a t délku t časového kroku, a nahrazení členů V (t) na pravé straně hodnotami v minulém časovém kroku V (k). 3/ ) [ a), b) 0,066m 3 /s, c) V (k+) = V (k) tµa g V (k) (( 3 ds + v) 3/ V (k) 3/ ds ), V (0) = dsh, V (k t) = V (k+) V (k) t ] Řešení příkladu.4.6: Bernoulliho rovnice: ρv = ρv (x) ρgx v (x) = gx + v V = µs h+v sin α v h (x) dx = [ µs sin α 3g sin α (g(h + v sin α) + v ) 3/ (gh + v) 3/] = 0,9m 3 /s [ 0,9m 3 /s ] Řešení příkladu.4.7: Bernoulliho rovnice: h(t)ρg = ρv (t), h(0) = H v(t) = gh(t) dv (t) = V (t) = µπ d D D dh v(t), V (t) = π h(t) π = µπ d g h dt dt 4 dh h = µ ( d ( D) gdt h + C = µ d D) gt t = 0 h = H : C = H t = ( H h) ( D ) µ d g t h=0 = ( H µ D ) g d = 49,s [ 49,s ]

29 9 Řešení příkladu.4.8: Rovnice kontinuity: v S = v S + v 3 S Rovnost tlaků na roztoku i soutoku p z = p z : (ξ + ξ + ξ 3 )ρ v = ξ 4 ρ v 3 d Z obou rovnic: v = v =,698m/s v 3 = ξ +ξ +ξ 3 ξ 4 d d + ξ +ξ +ξ 3 ξ 4 d d + ξ +ξ +ξ 3 ξ 4 d v = 4,406m/s V = v πd 4 = 0,34m 3 /s, V 3 = v 3 πd 4 = 0,054m 3 /s, p z = ξ 4 ρ v 3 = 58,kPa [ V = 0,34m 3 /s, V 3 = 0,054m 3 /s, p z = 58,kPa ] Řešení příkladu.4.9:. úsek: v = 0,m/s, Re = v d = 835 < Re ν k = 30 laminární proudění λ = 64 Re = 34, ( ) d. úsek: v = v d =,m/s, Re = v d = 66 > Re ν k turbulentní pr. Blasius: λ = 0,364 4 Re = 35, l h z = λ v v d g + ξ l v g + λ v d g = 0,9m p z = h z ρg = 845Pa; e z = pz = gh ρ z =,49J/kg [ h z = 0,9m; p z = 845Pa; e z =,49J/kg ] Řešení příkladu.4.0: ( ) Bernoulliho rovnice: p + h 0 ρg + ρ0 = p + 0ρg + ρ v ϕ v = ϕ p p +h 0ρg =,85m/s ρ Rovnice kontinuity: v πd = v πd v 4 4 = d v d = 0,8m/s Bernoulliho rovnice: p + h ρg + ρ0 = p a + 0ρg + ρv + p z p = p a + ρv h ρg + p z ( ) Vyjádření ztrát na výtoku: ρv + ξ vytok ρv = ρ v ϕ ξvytok = ϕ Ztráty v potrubí do ovzduší: Re = v d = >> Re ν k turbulentní proudění (λ = 0,84 5 [( ) ] = 0,0789) Re p z = + λ l ϕ d + ξ + ξ 3 ρv = 589Pa p = 697Pa Bernoulliho rovnice: p + h ρg = p + p z p z = p p + h ρg = 7kPa Re = v d = >> Re ν k turbulentní proudění (λ = 0,84 5 Re = 0,05594) [( ) ] l p z = + λ ϕ d + ξ + ξ vtoku ρv ( ) ξ = p z l λ ρv ϕ d ξ vtoku = 4,4 [ v = 0,8m/s, p = 697Pa, ξ = 4,4 ] Řešení příkladu.4.: Bernoulliho rovnice mezi body na hladině a v ohybu čerpadla: p a = p + ρv +

30 30 Kapitola. Řešení a výsledky příkladů (h + h )ρg + p z Bernoulliho rovnice mezi ohybem čerpadla a výtokem: p + ρv = p a + ρv ρ(rω) + p z, kde člen ρ(rω) vyjadřuje potenciální energii v poli odstředivého zrychlení. Jejich kombinací: 0 = (h + h )ρg + p z + ρv ρ(rω) + p z, kde ztráty p z + p z = ( ξ v + ξ x + λ h 0+h +h ) +r ρv v = r ω (h +h )g +ξ v+ξ x+λ h 0 +h +h +r d d = 4,75m/s Doba letu vody z rovnice volného pádu: h + h = gt t = 0,63s ½ µ Ð Ö Ð ÚØ Õ ÖØ h +h g = Podle obrázku pravoúhlého trojúhelníku: l = (r + vt) + (ωrt) = 6,8m Řešení příkladu.4.: h z = λ l v při konstantním průměru a rychlosti d g dh z = λ v (l) dl h g d(l) z = l λ v (l) dl l g d(l) Rovnice kontinuity: π d v = π d 4 4 v v = ( ) d v d. Lineární vztah mezi vzdáleností od počátku rozšíření l a průměrem: d(l) = d + d d l. L h z = λ L d 4 g 0 d 4 (l) v dl = λd4 v L dl = λ d(l) g 0 (d + d d L l)5 g d4 v d d ( ) ( ) λ 8g d4 v L d d = λv d 4 d 4 L d 4 8g(d d = 0,0803m ) d 4 p z = h z ρg = 787,7Pa, e z = gh z = 0,788J/kg, ξ v = ghz = 0,3939 v L dx d d = x 5 [ 6,8m ] [ h z = 0,0803m, p z = 787,7Pa, e z = 0,788J/kg, ξ v = 0,3939 ] Řešení příkladu.5.: Bernoulliho rovnice: p a + ρ v + lρa = p a + ρ v + ρgh přitom v = v = v = ḣ ḧ ; v = a hg = al = d h = g h; řešíme substitucí h = dt l eλt : charakteristická rovnice λ = g λ l, = ±i Řešení je tedy h(t) = c e i g l t + c e i g l t, konstanty z počátečních podmínek: h(0) = c e 0 + c e 0 = c + c = 0,3; g ḣ(0) = c l ie0 g c l ie0 g = (c c )i = 0 c l = c = 0,5 Kapalina bude kmitat s periodou π 0,75 l g l. 9,6 : h(t) = 0,3 cos( 9,6 0,75 t).

31 3 [ h(t) = 0,3 cos(5,t) ] Řešení příkladu.5.: Maximální Reynoldsovo číslo: Re max = v(0)d = 500 laminární proudění ν Bernoulliho rovnice: ρgh = ρal + sgnv p z, kde p z = λ l ρ d v, kde λ = 64ν vd ztrátový tlak p z násobíme koeficientem sgnv, protože ke ztrátě dochází vždy ve směru rychlosti v. Protože sgnv p z = sgnv 64ν l ρ vd d v = 3νl ρv a přitom a = v = ḧ; v = ḣ, d dostáváme obyčejnou diferenciální rovnici ḧ + 3ν ḣ + g h = 0, kterou řešíme d l substitucí h = e λt : λ + 3ν λ + g = 0 λ d l, = 6ν 6 ± ν g 6ν ; označme k = ; K = d d 4 l d k g l h(t) = c e λ t + c e λ t = e kt (c e Kt + c e Kt ), konstanty z počátečních podm.: h(0) = c e 0 + c e 0 = c + c = 0 c = c h(t) = c e kt sinh(kt) ḣ(0) = c [ ke 0k sinh(0k) + Ke 0k cosh(0k) ] = c K = v(0) c = v(0) K h(t) = v(0) K ekt sinh(kt), kde k = ,005 = 0,64s, K = 5,07is sinh(ix) = i sin(x) h(t) = 0,3 5,07 e 0,64t sin(5,07t) [ h(t) = 0,059e 0,64t sin(5,07t) ] Řešení příkladu.5.3: Pohybová rovnice: p + ρ v = p + ρ v + ρgh + p z + ρ () adl () Rovnice kontinuity: v S = v S v = d v d a S = a S () adl = (a () l + a l ) = a (l + d l d ) l navíc h = (l + l ) cos ϕ; p z = λ d ρ v l + λ d ρ v Ztráta v první části potrubí: Re = v d = 064 < Re ν k ; λ = 64 Re = 0,060 Ztráta ve druhé části potrubí: Re = v d = 484 < Re ν k ; λ = 64 Re = 0,3 Ztráta na rozšíření (viz [, tab. 30]): p zx =, ρ(v v ) = 36,Pa p z = ρλ l d v + p zx + ρλ l d v = 3448Pa p = p + ρ v ρ v d d ) ρg(l + l ) cos ϕ p z ρa (l + d l d = 87,kPa [ p = 87,kPa ] Řešení příkladu.5.4: Teoretická rychlost bude splňovat Bernoulliho rovnici ve tvaru: ρgh + p a = ρ v + p a + ρal al + v gh = 0 dvl + dt v gh = 0 dt = t(v) = l dv = l gh v [ l gh ln gh+v gh v ] gh v + gh+v Skutečná rychlost bude však pouze ϕ-násobkem teoretické rychlosti, proto musíme určit t( v ϕ ) = dv gh l gh+ v ϕ gh ln gh v ϕ = 4,35s [ 4,35s ]

32 3 Kapitola. Řešení a výsledky příkladů Řešení příkladu.6.: Rychlosti v a u měříme vzhledem k okolí (zemi), zatímco rychlost v je měřena relativně vůči lopatce. Zavedeme tedy rychlost v = v u a budeme vše počítat v soustavě lopatky: F = H H, kde H, resp. H je tok hybnosti vody přicházející na lopatku, resp. tok hybnosti vody opouštějící lopatku. F x = Ḣx Ḣx = ṁ(v u) ṁ( v cos ϕ) F y = Ḣy Ḣy = 0 ṁv sin ϕ Z rovnice kontinuity (v soustavě lopatky) je v u = v Hmotnostní tok (přítoku i odtoku též v soustavě lopatky) je ṁ = ρπ d (v 4 u) F x = ρπ d (v 4 u) ( + cos ϕ) = 06,0N F y = ρπ d (v 4 u) sin ϕ = 6,N Celková síla F = Fx + Fy =,4N, podstatná je však síla F x. [ F x = 06,0N; F =,4N ] Řešení příkladu.6.: F = H H F y = Ḣy Ḣy = ṁv 0 = ρπ d v v = 4909N 4 F x = Ḣx Ḣx = 0 0 = 0N F = Fx + Fy = 4909N, působí směrem dolů. Řešení příkladu.6.3: ṁ = ṁ = ρπ d v; v 4 = v F x = Ḣx Ḣx = ṁ v ṁ v x = ρπ d 4 v ( cos ϕ) = 5,N F y = Ḣy Ḣy = 0 0 = 0N F = Fx + Fy = 5,N, působí směrem doprava. [ F = 4909N ] [ F = 5,N ] Řešení příkladu.6.4: Rovnice kontinuity v = v Bernoulliho rovnice p +ρ v +ρgh = p +ρ v +0 p = p +ρgh = 338,3kPa. F x = Hx Hx ((p p a ) S ) x ((p p a ) S ) x +G x = ṁ(v x v x )+π d ((p 4 p a )+ (p p a ) cos ϕ) + 0 = π d 4 [ρv ( + cos ϕ) + ((p p a ) + (p p a ) cos ϕ)] = 94N F y = Hy Hy ((p p a ) S ) y ((p p a ) S ) y + G y = 0 ṁv y (p p a )π d d sin ϕ ρgv = π sin ϕ 4 4 [ρv + p p a ] ρgv = 493N F = Fx + Fy. = 965N. [ F =. 965N ] Řešení příkladu.6.5: l M = M F = F yl F = F y F y = Ḣy Ḣy = 0 + ṁv = ρπ d 4 v F = ρπ d v = 4,84N [ F = 4,84N ]

33 33 Řešení příkladu.6.6: F x = c x S x ρv = 0,46,3 P = F x v = 9588W,5( 90 3,6 ) = 383,5N [ F x = 383,5N, P = 9588W ] Řešení příkladu.6.7: Odporová síla F x = c x S x ρv = 0, 6 8 sin 40,5 = 536,5N působí vodorovně ve směru větru. Vztlaková síla F L = c L S x ρv = 584,0N působí směrem dolů! Celková síla F = Fx + FL = 67,3N působí pod úhlem arctg F L Fx vodorovině směrem dolů. Řešení příkladu.7.: Navier-Stokesovy rovnice v cylindrických souřadnicích: w w r + u w r ϕ + v w y u r +ν w u r + u u r ϕ + v u y + wu r w v r + u v r ϕ + v v y = p ρ ( w r + w r = 7,3 vůči [ F = 67,3N ] r + (.0.) ϕ + w r r u r ϕ w ) r p r ϕ + (.0.) ) = ρ ( u r + u r ϕ + u Rovnice kontinuity v cylindrických souřadnicích: r r (rw) + r u r + w r ϕ u r +ν y + r = p ρ y + (.0.3) ( v +ν r + v r ϕ + v y + ) v r r w ϕ + v y = 0 (.0.4) kde u, v, w jsou složky rychlosti po řadě ve směrech ϕ, y, r. Z předpokladu osové symetrie 0. ϕ Z předpokladu rovnoběžnosti rychlosti s osou trubky u = w 0. Z rovnice (.0.) p r = 0. Z rovnice (.0.) zbude identita 0 = 0. ( Rovnice (.0.3) dostane tvar v v = p + ν y ρ y Z rovnice kontinuity zbude v = 0. y Kombinací a úpravou posledních dvou rovnic: v r + v y + r p = νρ y r r ) v. r ( ) r v r. Navíc p = dp y dy

34 34 Kapitola. Řešení a výsledky příkladů a v = dv. r dr p p Integrací v souřadnici y dostáváme lineární závislost tlaku na vzdálenosti: dp = y ( ) ( ) d νρ y r dr r dv dr dy p = νρ d r dr r dv dr y Integrací v souřadnici r dostáváme kvadratický rychlostní profil: dp rdr = d ( ) ( ) r dv νρ dy dr dv = dp r + c νρ dy r dr v = dp νρ dy r +c ln r+c z okrajových podmínek: v(0) < + c = 0, v(r) = 0 c = dp dp 4νρ dy R v(r) = 4νρ dy (r R ), tj. parabolický profil rychlosti ve směru klesajícího tlaku. Vypočteme průtok integrací rychlosti: V = R π vdr rdϕ = π dp R 4 dp 8νρ V = = 0,845Pa/m 0 0 νρ dy 4 dy πr 4 p = 0,845 y, v(r) = 7,3(r 0,9) Řešení příkladu.7.: π Průtok: V = 0 d/ 0 v(y) ( d y) dydϕ = πv max ( d střední rychlost: v = 4 V = vmax = νre πd (n+)(n+) d v max = νre(n+)(n+) = 0,043m/s d V = πdνre =, m 3 /s 4 ( v = v y ) n max d = 0,043(8y) 0,3 m/s [ p = 0,845 y, v(r) = 7,3(r 0,9) ] ) (n+)(n+) = d πv max (n+)(n+) [ v(y) = 0,043(8y) 0,3 m/s; V =, m 3 /s ] Řešení příkladu.8.: F = H H p S n p S n + V ρ g = ṁv ṁv p π d n 4 p π d n 4 + (l + l + l 3 )π d ρ g 4 v = v = (v, 0); n = (, 0); n = (, 0); g = (0, g) Bernoulliho rovnice: p + l ρg + ρv = p + ρv p = p + l ρg = 00kPa F = π (, 0) 00000π (, 0) + 9π (0; 9,8) = ( 6,8; 0,9)N. [ F = ( 6,8; 0,9)N ] Řešení příkladu.8.: Proudění v trubičce: Re = vd = 000 < Re ν k laminární. λ = 64 = 0,064; ξ Re = λ l = 64 d p z = (ξ + ξ) ρv = 3500Pa Bernoulliho rovnice: p + hρg = p + p z + ρal a = p p p z+ hρg =,84m/s. ρl [ a =,84m/s ]

35 35 Řešení příkladu.8.3: Bernoulliho rovnice: p + ρv = p + ρv + p z + ρa l + ρa l Rovnice kontinuity: v = d d v = 0,5m/s; a = d a d = 0,4m/s V první části trubky: Re = v d ν = 500 < Re k λ = 64 Ve druhé části trubky: Re = v d ν = 50 < Re k λ = 64 l ξ = λ l d = 56, ξ = λ p z = (ξ + ξ v ) ρv + ξ d = 5 Re = 0,8 Re = 0,56 ρv = 44,kPa Z Bernoulliho rovnice p = p + ρv ρv p z ρa l ρa l = 55,77kPa [ p = 55,77kPa ]

36 Literatura [] P. Havlík, O. Profous: Mechanika tekutin, sbírka řešených příkladů, VŠSE Plzeň 99. [] J. Urbášek: Tabulky a diagramy fyzikálních vlastností látek, VŠST Liberec 976. [3] J. Adamec, M. Lísal, B. Váradiová: Mechanika tekutin, sbírka příkladů, ČVUT Praha 993. [4] J. Ježek: Mechanika tekutin, příklady, ČVUT Praha