WICHTERLOVO GYMNÁZIUM, OSTRAVA-PORUBA. Matematika MATURITNÍ OTÁZKY

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "WICHTERLOVO GYMNÁZIUM, OSTRAVA-PORUBA. Matematika MATURITNÍ OTÁZKY"

Transkript

1 WICHTERLOVO GYMNÁZIUM, OSTRAVA-PORUBA Matematika MATURITNÍ OTÁZKY Ostrava 2008 Tomáš Vejpustek

2 OBSAH 1 Obsah 1 Výrazy a jejich úpravy Mocniny a odmocniny Umocňování v racionálních rovnicích a nerovnicích Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy Lineární funkce Absolutní hodnota Soustava lineárních rovnic Lineární nerovnice Lineárně lomené funkce Kvadratické rovnice, nerovnice a jejich soustavy Absolutní hodnota Řešení kvadratické rovnice Soustavy lineárních a kvadratických rovnic Kvadratické nerovnice Shodná a podobná zobrazení Shodná zobrazení Identita Osová souměrnost Středová souměrnost Posunutí Otočení Analyticky Využití Homotetie Stejnolehlost kružnic Funkce, binární relace Funkce Zadání Souměrnost Periodicita Okolí bodu Monotónnost a extrémy Inflexe Spojitost funkce Spojitost v intervalu Věty o spojitosti Limita funkce Nevlastní limita Limita v nevlastním bodě Nevlastní limita v nevlastním bodě

3 OBSAH Věty o limitě Výpočet limity Inverzní funkce Binární relace Derivace Věty o derivaci L Hospitalovo pravidlo Primitivné funkce a neurčitý integrál Trojúhelník a čtyřúhelník Trojúhelník Trojúhelníková nerovnost Dělení trojúhelníků Střední příčka Výška Těžnice Kružnice opsaná a vepsaná Sinová věta Cosinová věta Obvod a obsah Rovnoramenný trojúhelník Čtyřúhelník Tětivový čtyřúhelník Tečnový trojúhelník Rovnoběžník Lichoběžník Deltoid Mnohoúhelník Řešení rovnic v oboru komplexních čísel Zavedení komplexních čísel Rovnice vyššího stupně Hornerovo schéma Rovnice s racionálními kořeny Bikvadratická rovnice Reciproké rovnice Viètovy vzorce Odmocnění komplexního čísla Obor komplexních čísel Zavedení komplexních čísel Gaussova rovina Goniometrický tvar Operace s komplexními čísly Geometrická inerpretace Moivrova věta

4 OBSAH Binomická rovnice Logaritmické, exponenciální a goniometrické fce Exponenciální funkce Exponenciální rovnice Logaritmická funkce Argument Logaritmické rovnice Logaritmické a exponenciální nerovnice Goniometrické funkce Goniometrické rovnice Kružnice, oblouk, kruh, kulová plocha, elipsa Kružnice Analytické vyjádření Obvodový a středový úhel Kulová plocha Elipsa Analytické vyjádření Poloha přímky Tečna kružnice Tečná rovina kulové plochy Tečna elipsy Mocnost bodu ke kružnici Parabola Analytické vyjádření Parabola jako graf kvadratické funkce Parabola a přímka Tečna paraboly Ohniskové vlastnosti Hyperbola Analytické vyjádření Hyperbola a přímka Tečna hyperboly Asymptoty Ohniskové vlastnosti Polohové vlastnosti bodů, přímek a rovin Omezené útvary Průsečík a průsečnice Rovnoběžnost Mimoběžnost Volné rovnoběžné promítání Osová afinita

5 OBSAH Středová kolineace Metrické vlastnosti bodů, přímek a rovin Teorie míry Odchylka Kolmost Vzdálenost Vzdálenost analyticky Vektor Vektorový prostor Lineární závislost Lineární kombinace vektorů Souřadný systém Operace s vektory Velikost vektoru Skalární součin Vektorový součin Smíšený součin Normálový vektor Parametr rovnice a nerovnice, jejich soustavy Rovnice s parametrem Nerovnice s parametrem Parametrické systémy funkcí Objemy hranatých i rotačních těles, obsah Teorie míry Obsah Primitivné funkce a neurčitý integrál Určitý integrál Integrační metody Substituce Per partes Racionální lomené funkce Nevlastní integrál Objem Další využití určitého integrálu Věty Thaletova, Pythagorova a Euklidovy Thaletova věta Pythagorova věta Obrácená věta Velká Fermatova věta Euklidovy věty Euklidova věta o výšce

6 OBSAH Euklidova věta o odvěsně Kombinatorika Základní pravidla kombinatoriky Faktoriál Kombinační číslo Vlastnosti kombinačního čísla Pascalův trojúhelník Binomická věta k-členné skupiny Variace Permutace bez opakování Permutace s opakováním Kombinace Dirichletův princip Pravděpodobnost a statistika Klasická pravděpodobnost Sjednocení jevů Nezávislost jevů Bernoulliho schéma Podmíněná pravděpodobnost Úplná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Statistika Popisná statistika Dvourozměrná statistika Posloupnost Určení posloupnosti Vlastnosti posloupností Aritmetická posloupnost Geometrická posloupnost Úrokování Limita posloupnosti Věty o limitách Nekonečná řada Nekonečná geometrická řada Eulerovo číslo Základy diferenciálního počtu Okolí bodu Monotónnost a extrémy Inflexe Spojitost funkce Spojitost v intervalu

7 OBSAH Věty o spojitosti Limita funkce Nevlastní limita Limita v nevlastním bodě Nevlastní limita v nevlastním bodě Věty o limitě Výpočet limity Asymptota funkce Derivace Věty o derivaci L Hospitalovo pravidlo Derivace elementárních funkcí Fyzikální význam Průběh funkce Monotónnost Inflexe Postup Výroková logika, důkazové metody Složený výrok Predikát Úsudek Matematické důkazy Přímý důkaz Nepřímý důkaz Důkaz sporem Matematická indukce Množiny číselné a bodové Mohutnost množiny Množinové operace Grupa Číselné obory Přirozená čísla N Celá čísla Z Racionální čísla Reálná čísla Interval Vennovy diagramy Užití trigonometrie ve slovních úlohách Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Sinová věta Cosinová věta Obsah trojúhelníka Poloměry kružnic

8 OBSAH 7 26 Platónská tělesa 103

9 1 VÝRAZY A JEJICH ÚPRAVY 8 1 Výrazy a jejich úpravy Vzorce (a+b) 2, (a+b) 3, a 2 b 2, a 3 +b 3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti logaritmů, vztahy mezi goniometrickými funkcemi, slovní úlohy na sestavování výrazů. Vztahy mezi goniometrickými funkcemi, logaritmickými a exponenciálním funkcemi jsou v otázce zabývající se těmito funkcemi. Dělení mnohočlenů a polynomy viz 7, strana Co se týče vzorců typu (a+b) n binomická věta v kombinatorice. a 2 b 2 = (a + b)(a b) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) Není moc co dokazovat prostě to roznásobte Mocniny a odmocniny Níže uvedená definice není úplná, pro záporná čísla se musí dodefinovat dělením, pro racionální odmocněním. Pro definici na reálná čísla lze použít limita. a } a a {{ a a } b = a b, b N Odmocňování je opačná operace k umocňování. Zatímco liché umocňování zachovává znaménko a tudíž je zachovává i liché odmocňování, sudé odmocňování je nezachovává: x 2k = ( x) 2k, k N Proto v argumentu sudé odmocniny nemůže být záporné číslo 2 a odmocnina kladného čísla má vždy dva výsledky ( 0 = 0): x2 = a x = a x = ±a Umocňování v racionálních rovnicích a nerovnicích Umocnění celé rovnice je neekvivalentní úprava, je tedy nutné provést zkoušku, která vyřadí pirátské kořeny. Iracionální nerovnici můžeme umocnit pouze, jsou-li obě její strany nezáporné. 1 Komu se chce používat složité dělení, když existuje Hornerovo schéma... 2 Komplexní čísla...

10 2 LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY 9 2 Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy Početně i graficky, s absolutní hodnotou i bez; vlastnosti lineárních funkcí rostoucí, klesající, konstantní, omezená, intervaly, definiční obor, obor hodnot funkce, užití ve slovních úlohách. Nevím, proč mi to příjde neskutečně primitivní. Pozor na příklady. 2.1 Lineární funkce f(x) = kx + q, D f = R, H f = R Kde q R, k R. Grafem je přímka, přičemž k je její směrnice (k = tg ϕ). Není omezená, je monotónní a je zároveň konvexní i konkávní. Je prostá. Monotónnost: rostoucí pro k R + klesající pro k R V každém bodě je spojitá a má derivaci. Speciálním případem je přímá úměrnost, pro q = 0, která je lichá. Pro její kořen platí: x = q k 2.2 Absolutní hodnota Absolutní hodnota celé funkce (f(x) = kx + q ) zobrazí její část pod osou x souměrně podle této osy, absoulutní hodnota argumentu (f(x) = k x +q) ji činí souměrnou podle podle osy y. Rovnice s absolutní hodnotou řešíme nalezením nulového bodu, ve kterém je nulová, a rozdělením na intervaly. 2.3 Soustava lineárních rovnic Pro více proměnných má lineární funkce tvar: f(x 1, x 2,..., x n ) = n k i x i + q Předvedu jak řešit soustavu linárních rovnic pomocí matice, ostatní metody jsou primitivní. Abychom mohli jednznačně určit kořeny, potřebujeme n rovnic, přičemž žádné dvě nejsou svou lineární kombinací (když máme vektor f 1 (k 1 ; k 2 ;... ; k n ) = cf 2 (l 1 ; l 2 ;... ; l n )). Lineární funkce můžeme zapsat do matice: i=1

11 2 LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY 10 k 11 k k 1n q 1 k 21 k k 2n q k n1 k n2... k nn q n Přičemž ji lineárními kombinacemi řádkových vektorů (ke každému řádku můžeme přičíst násobek jiného řádku), upravíme na Gaussův tvar (tj. pod hlavní diagonálou a ii budou nuly). Pokud má matice menší hodnost než maximální (dáno počtem řádků původní matice), má nekonečně mnoho nebo nula kořenů. Záleží na hodnosti matice doplněné o poslední sloupec. Pokud je stejná, zvolíme jeden kořen jako parametr. Pokud je větší, kořeny neexistují. V tomto tvaru zjistíme x n. Další kořeny zjišťujeme zpětným dosazováním nebo eliminací prvků nad hlavní diagonálou. Mějme soustavu rovnic: x + 3y + 2z = 5 2x + y + 3z = 4 x + 7y + 2z = 7 Převedeme na matici a upravíme do Gaussova tvaru: Je jasné, že poslední dva řádkové vektory jsou svou lineární kombinací a matice i doplněná matice mají stejnou hodnost. Proto zvolíme z R. Zpětným dosazením: 2(z 3) 5y 2z = 6 y = 5 x (z 3) + 2z = 5 x = 4z 5 5 Kořeny rovnice tedy jsou: {[ K = 2.4 Lineární nerovnice 4z + 3 ; 5 ] } 2(z 3) ; z : z R 5 Určuje binární relaci polorovinu pod nebo nad přímkou.

12 2 LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY Lineárně lomené funkce S x ve jmenovateli. Všeobecně je to podíl dvou lineárních funkcí: f(x) = k { 1x + q 1, D f = R \ q } { } 2 k1, H f = R \ k 2 x + q 2 k 2 k 2 Pokud nejsou funkce lineárně závislé, je její kořen q1 k 1. Vhodnou úpravou lzou převést na tvar: f(x) = a { kx + q + b, D f = R \ q }, H f = R \ {b} k Grafem je hyperbola. Asymptoty jsou dány přímkami x = k q je pak jejich průsečíkem. Je prostá. Dělí se na dvě větve: ( ) levou x ; k q ) pravou x ( kq ; a y = b. Střed Pokud a k > 0, jsou větve klesající, levá je konkávní a v posunutém třetím kvadrantu a pravá konvexní a v posunutém prvním kvadrantu. Pokud a k < 0, jsou větve rostoucí, levá je konvexní a v posunutém druhém kvadrantu a pravá konkávní a v posunutém čtvetém kvadrantu.

13 3 KVADRATICKÉ ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY 12 3 Kvadratické rovnice, nerovnice a jejich soustavy Početně i graficky, s absolutní hodnotou i bez, vlastnosti kvadratických funkcí, rostoucí, klesající, omezená, definiční obor a obor hodnot funkce, vlastnosti kořenů, soustavy lineárních a kvadratických rovnic, extrémy funkce s užitím diferenciálního počtu, slovní úlohy. f(x) = ax 2 + bx + c, a R, D f = R Grafem je parabola. Její vrchol a tedy globální extrém můžeme určit úpravou na čtverec nebo derivací, je tedy omezená. Monotónní je pouze na intervalech a má jednotnou inflexi. Na celém svém definičním oboru je spojitá a má na něm derivaci. Není prostá a pokud b = 0, je sudá. Rozlišujeme dva typy: a R + Vrchol je globální minimum, je tedy omezená zespoda. V intervalu ( ; x V ) je klesající, v jeho doplňku rostoucí. Je konvexní. a R Vrchol je globální maximum, je tedy omezená shora. V intervalu ( ; x V je rostoucí, v jeho doplňku klesající. Je konkávní. Můžeme říci, že hodnota a určuje rychlost růstu paraboly, hodnota b posunutí rovnoběžně s osou prvního a třetího kvadrantu a c posunutí rovnoběžné s osou x. 3.1 Absolutní hodnota Absolutní hodnota celé funkce zobrazí její část pod osou x souměrně podle této osy. Na člen druhého stupně nemá vliv ( x 2 = x 2 ) a absolutní hodnota prvního členu ji činí souměrnou podle osy y. Řešením je rozdělení intervalů podle nulových bodů (tj. bodů, kde argument absolutní hodnoty je nulový). 3.2 Řešení kvadratické rovnice Kromě rozložení na součin kořenových činitelů (a(x x 1 )(x x 2 )) lze použít pro rovnici v normovaném tvaru (a = 1) Viètovy vzorce, které odpovídají tomuto rozložení: x 2 + px + q = 0, x 1 + x 2 = p, x 1 x 2 = q Univerzálním postupem je řešení pomocí dikriminantu: D = b 2 4ac Podle hodnoty diksriminantu rozeznáváme: D > 0 Dva rozdílné reálné kořeny funkce protíná osu x ve dvou bodech.

14 3 KVADRATICKÉ ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY 13 D = 0 Jeden dvojnásobný reálný kořen funkce se osy x dotýká. D < 0 Žádný reálný kořen 3 funkce osu x neprotíná, platí tedy: f(x) R + a R + f(x) R a R Pro D 0 jsou pak kořeny rovnice: x 1,2 = b ± D 2a Kořeny jsou vždy souměrné podle vrcholu. 3.3 Soustavy lineárních a kvadratických rovnic Pro dvě proměnné má kvadratická funkce tvar: f(x; y) = ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f Soustava s lineárními rovnicemi se typicky řeší vyjádřením jedné proměnné z lineární rovnice a jejím dosazením do rovnice kvadratické. 3.4 Kvadratické nerovnice Určují binární relaci, část roviny, která je pod nebo nad křivkou. 3 Viz komplexní čísla.

15 4 SHODNÁ A PODOBNÁ ZOBRAZENÍ 14 4 Shodná a podobná zobrazení Definice, vlastnosti, konstrukční úlohy s užitím shodných a podobných zobrazení, skládání shodných zobrazení, řešení metodami analytické geometrie, stejnolehlost definice, aplikace. Zobrazení je předpis, kterým se přiřazuje každému prvku jedné množiny jednoznačně prvek jiné množiny. V geometrii je zobrazení předpis, který přiřazuje každému bodu v daném prostoru (například rovině) jiný bod tohoto prostoru. Samodružným bodem (také invariantním) vzhledem k danému zobrazení nazýváme bod, který se zobrazí sám na sebe. Samodružným útvarem rozumíme ten, který se zobrazí sám na sebe. Může být samodružný bodově, kdy je každý jeho bod samodružný, nebo jen útvarově. Pokud máme dvě zobrazení A B a B C, rozumíme složením zobrazení A C. 4.1 Shodná zobrazení Zobrazení, při kterém se všechny míry zachovávají (viz teorie míry). Můžeme je brát jako speciální případ afinních zobrazení, při kterých se zachovává rovnoběžnost. Platí pro ně základní vlastnosti: Složením shodných zobrazení vzniká opět zobrazení. Pro každé shodné zobrazení existuje inverzní shodné zobrazení, přičemž složením zobrazení s jeho inverzním zobrazením vzniká identické zobrazení (viz níže). Shodné zobrazení a zobrazení k němu inverzní jsou vždy stejného typu. Budeme projednávat především shodná zobrazení v rovině Identita Speciální případ shodného zobrazení, kdy jsou všechny body samodružné. Jedná se tedy o zobrazení, které přiřazuje každému prvku množiny tentýž prvek Osová souměrnost A A Osová souměrnost je dána přímkou (osou), jejíž body samodružné. Vzor a obraz bodu jsou od osy stejně vzdálené, přičemž jejich pravoúhlý průmět na osu je shodný. Proto jsou také všechny přímky kolmé na osu samodružné. O(o) : A A, o o

16 4 SHODNÁ A PODOBNÁ ZOBRAZENÍ 15 Osová souměrnost je sama sobě inverzní. Útvar nazýváme osově souměrným, pokud se v nějaké osové souměrnosti zobrazí sám na sebe. V rovině převrací orientaci útvarů jedná se tedy o nepřímé zobrazení. Osové zobrazení je výjimečné tím, že z konečného počtu osových souměrností lze v rovině složit všechna shodná zobrazení. Pak obecně platí, že zobrazení složená ze sudého počtu osových souměrností jsou přímá, z lichého nepřímá Středová souměrnost Středová souměrnost je dána bodem (středem), který je samodružný. Vzor a obraz bodu leží na opačných polopřímkách ze středu, ve stejné vzdálenosti od něj. Všechny přímky procházející středem jsou samodružné. S(S) : A A, S S Středová souměrnost je sama sobě inverzní. Útvar nazýváme středově souměrným, pokud se v nějaké souměrnosti zobrazí sám na sebe. Lze ji složit ze dvou kolmých osových souměrností, kde {S} = o 1 o 2, nebo ji lze brát jako otočení o π kolem daného středu Posunutí Také translace. Je dáno vektorem posunutí prakticky tedy v souřadném systému změní všechny body danou souřadnici o stejnou hodnotu. Nemá žádné samodružné body, ale všechny přímky ve směru vektoru posunutí jsou samodružné. τ( a)a A, A = A + a Inverzí posunutí je posunutí s opačným vektorem. Lze jej složit ze dvou osových souměrností, přičemž platí: o 1 o 2 = a Otočení Také rotace. Je dána bodem (středem) a orientovaným úhlem. Střed je samodružný a všechny ostatní body se zobrazují tak, že <) ASA je shodná s velikostí úhlu otočení. R(S; ±α) : A A <) ASA = α, S S Inverze je otočení se stejným středem a úhlem s opačným znaménkem. Lze jej složit ze dvou osových souměrností, přičemž platí: {S} = o 1 o 2, ϕ(o 1, o 2 ) = α Analyticky Nejjednodušší je vektorové posunutí, zde lze uplatnit přičíátní vektorů. Středová souměrnost lze vyjádřit: A = A + 2 AS A = 2S A

17 4 SHODNÁ A PODOBNÁ ZOBRAZENÍ 16 Při osové souměrnosti můžeme využít toho, že bod A 0, průmět bodu A na osu, je středem souměrnosti úsečky AA. Protože AA o, postupujeme podobně jako při počítání vzdálenosti bodu od přímky (viz metrické vlastnosti). Při rotaci vycházíme z toho, že ϕ( SA; SA ) = α a skalárního součinu Využití SA SA = SA SA cos α Při konstrukci využíváme shodná zobrazení především u souměrných útvarů. 4.2 Homotetie Jedná se o podobné zobrazení, tedy zachovávají se poměry mír a úhly. Zároveň je afinní, zachovává se tedy rovnoběžnost. Je dána bodem (středem) a koeficientem podobnosti κ R. Úsečce AB přiřazuje úsečku o délce κ AB. Střed je samodružný, stejně tak všechny přímky jím procházející. H(S; κ) : A A, SA = κ SA (κ > 0 A SA κ < 0 A SX) Inverzním zobrazením je homotetie se stejným středem a opačným koeficientem κ = 1 κ. Analyticky platí: SA = κ SA Využívá se především, jsou-li útvary v nějakém poměru Stejnolehlost kružnic Každé dvě kružnice jsou stejnolehlé podle dvou středů. Není bez zajímavosti, že středy homotetie leží na středně kružnic, a jsou-li mimo kružnice, leží na společných tečnách kružnic. H(S 1 ; κ) : k k H(S 2 ; κ) : k k

18 5 FUNKCE, BINÁRNÍ RELACE 17 5 Funkce, binární relace Definice, vlastnosti, obory funkce; grafické řešení rovnic s absolutní hodnotou i bez; limita a spojitost funkce, inverzní relace, základní typy funkcí; aplikace grafů funkcí a binárních relací, derivace funkce, primitivní funkce Základní typy funkcí z ostatních otázek. Zobrazení je předpis, který přiřazuje prvkům množiny jednoznačně prvky jiné množiny. Jednoznačnost znamená, že prvku zobrazované množiny je přiřazen nejvýše jeden prvek druhé množiny. f : A B Množině všech prvků, kterým lze přiřadit zobrazením prvek jiné množiny, se nazývá definiční obor (D f A). Skutečnost, že prvek x A se zobrazí na prvek y B lze zapsat: y = f(x) Obraz množiny X A je množina Y B, která je množinou všech zobrazených prvků množiny X. Speciálním případem je obor hodnot (H f B), který je zobrazením definičního oboru (H f = f(d f )). Surjekce Je zobrazení f : D f H f. Injekce Také prosté zobrazení. Různým prvkům přiřazuje různé obrazy. x 1, x 2 A, x 1 x 2 y B, y = f(x 1 ) = f(x 2 ) Bijekce Zároveň injekce a surjekce každému prvku výchozí množiny přiřazuje právě jeden prvek cílové množiny. 5.1 Funkce Zobrazení z množiny M do množiny čísel (nebo vektorů). Úžeji pak mluvíme o spojitém zobrazení, které zobrazuje ze spojité množinu čísel do spojité množiny čísel. Nejčastější je f : R R. Pokud jde o diskrétní zobrazení, mluvíme o posloupnosti Zadání Funkci můžeme analyticky definovat různými způsoby. Explicitně y = f(x) Implicitně F (x, y) = 0 Parametricky Soustavou rovnic, kde t je parametr. x = f 1 (t), y = f 2 (t)

19 5 FUNKCE, BINÁRNÍ RELACE Souměrnost Důležité jsou především dva druhy souměrnosti. Pro oba platí, že definiční obor je souměrný, tedy x D f x D f. sudá funkce Souměrná podle osy y. Platí pro ni: Pozor, nikdy není prostá! f(x) = f( x) lichá funkce Souměrná podle počátku. Platí pro ni: Periodicita Funkce je periodická s periodou t, platí-li: f(x) = f( x) t R x D f : f(x + t) = f(x) Primitivní perioda je nejmenší kladná perioda. 5.2 Okolí bodu Okolí bodu je bod a blízké body v danném topologickém prostoru. V oboru reálných čísel se ε-okolím bodu a (ε R + ) rozumí interval U ε (a) = (a ε; a+ε). Pro každý x bod okolí platí x a < ε. Prakticky se tedy jedná o interval. Levé okolí bodu je interval (a ε; a. Pravé okolí bodu je interval a; a + ε). Prstencové okolí bodu je pak okolí bez bodu samotného. Pro jeho každý bod x tedy platí 0 < x a < ε. 5.3 Monotónnost a extrémy Lokální extrém je bod funkce, jehož funkční hodnota je vyšší (maximum) nebo nižší (minimum) než hodnoty bodů v některém jeho okolí. V bodě a je lokální maximum, pokud platí: ε R + x R, 0 < x a < ε, f(a) > f(x) Analogicky, v bodě a je lokální minimum, pokud platí: ε R + x R, 0 < x a < ε, f(a) < f(x) Pokud je okolím bodu celý definiční obor, hovoříme o globálním extrému. Fuknce je monotónní v danném otevřeném intervalu (tedy okolí bodu), pokud je v něm spojitá a nenacházejí se v něm žádné lokální extrémy. Rozlišujeme více druhů monotónnosti podle toho, co platí pro libovolné body x 1 a x 2 z daného intervalu (původně se definuje pro okolí bodu):

20 5 FUNKCE, BINÁRNÍ RELACE 19 konstantní f(x 1 ) = f(x 2 ) rostoucí x 1 > x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ) klesající x 1 > x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ) nerostoucí x 1 > x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) neklesající x 1 > x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) 5.4 Inflexe Označení pro změny rychlosti růstu funkce, tedy zakřivení jejího grafu. Funkce spojitá na otevřeném intervalu (a; b) je konvexní, jsou-li všechny její funkční hodnoty intervalu pod spojnicí [a; f(a)] a [b; f(b)]. Naopak je konkávní, jsou-li všechny funkční hodnoty intervalu nad touto spojnicí. Lineární funkce je tedy zároveň konvexní a konkávní. Tedy pokud definujeme g(x) = f(b) f(a) b a x + q, přičemž g(a) = f(a) a g(b) = f(b), funkce je konvexní, platí-li: Naopak, je konkávní, jestliže: x a; b f(x) g(x) x a; b f(x) g(x) Body, ve kterých funkce mění svou inflexi se nazývají inflexní body. 5.5 Spojitost funkce Vlastnost funkce v okolí bodu (a také v bodě samotném). Funkce je spojitá v intervalu právě tehdy, když je spojitá ve všech jeho bodech, spojitou funkci si intuitivně lze představit jako funkci, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem, lépe funkci, která pro libovolně malou změně x se f(x) změní libovolně málo. Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže k libovolně malému okolí bodu f(a) můžeme najít takové okolí bodu a, že pro všechna x z tohoto okolí patří f(x) do daného okolí f(a). ε R + δ R + : x R, x a < δ f(x) f(a) < ε Pro důkaz spojitosti v bodě je třeba nalézt vztah mezi ε a δ. Funkce může být v bodě také spojitá jen zprava nebo jen zleva, kdy se pracuje s pravým nebo levým ε okolím Spojitost v intervalu Funkce je spojitá v otevřeném intervalu, je li spojitá ve všech jeho bodech. Funkce je spojitá v uzavřeném intervalu a; b, je-li spojitá ve všech bodech intervalu (a; b) a v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva.

21 5 FUNKCE, BINÁRNÍ RELACE Věty o spojitosti Pakliže jsou v bodě a spojité funkce f(x) a g(x), jsou v bodě a spojité také funkce f(x) + g(x), f(x) g(x), f(x)g(x) a f(x) g(x) (za předpokladu, že g(a) 0). Věta Bolzanova-Weierstrassova: Nechť je f(x) spojitá v intervalu a; b a platí, že f(a) f(b). Pak ke každému k f(a); f(b) existuje c a; b, pro které f(c) = k. Věta Weierstrassova: Je-li f(x) spojitá v intervalu a; b, existuje alespoň jeden bod x 1 a; b, že pro všechna x a; b platí f(x) f(x 1 ) a alespoň jedno x 2 a; b takový, že pro všechna x a; b platí f(x) (x 2 ). Tedy, je-li funkce spojitá v daném uzavřeném (!) intervalu, má v něm minimum a maximum. Darbouxova vlastnost: Nechť je f(x) spojitá na intervalu a; b a platí f(a)f(b) < 0. Pak c a; b takové, že f(c) = 0. Důsledek věty B-W pokud je funkce spojitá na intervalu, který začíná pod osou x a končí nad osou x, nebo naopak, má v tomto intervalu kořen. 5.6 Limita funkce Zatímco spojitost je vlastnost v okolí bodu, limita je vlasnost v prstencovém okolí bodu (tedy bez bodu samotného). Funkce tedy nemusí být v bodě nutně spojitá, aby v něm měla limitu a zajímat nás budou právě limity bodů nespojitosti. Limita v bodě můžeme brát jako hodnotu, kterou by funkce v bodě měla, kdyby do něj spojitě pokračovala. Funkce f má v bodě a limitu L, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu L existuje okolí bodu a takové, že pro všechna reálná čísla x z tohoto okolí (x a) náleží jejich funkční hodnoty f(x) danému okolí bodu L. lim f(x) = L ε x a R+ δ R + x R, 0 < x a < δ f(x) L < ε Můžeme opět pracovat i s jednostrannými limitami v bodě tj. pro x jdoucí k bodu zprava nebo zleva. Pak platí: Nevlastní limita lim f(x) = lim f(x) = L lim f(x) = L x a + x a x a Pokud funkce blížící se k bodu stále stoupá nebo klesá, mluvíme o nevlastní limitě, tedy že: lim f(x) = ± x a Funkce má nevlastní limtu v bodě, pokud pro každé reálné K lze zvolit δ okolí bodu takové, že hodnota všech x v něm ležících je větší (nebo menší) než K. lim f(x) = K R δ x a R+ : 0 < x a < δ f(x) > K

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 72/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Technické lyceum (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA G5 VÝSTUP 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Ročník: 1 Počet hodin celkem: 3 hod/týden = 99 Rozpis výsledků vzdělávání a učiva Výsledky vzdělávání

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

3.4.1. Tabulace učebního plánu

3.4.1. Tabulace učebního plánu 3.4.1. Tabulace učebního plánu Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět: MATEMATIKA Ročník: Kvinta, 1. ročník Tématická Číselné obory Druhy čísel (N, Z, Q, R, I) - prezentuje přehled číselných oborů Mocniny

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRVNÍ/KVINTA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy Žák určuje číselný obor daného čísla (N, Z, Q, R) a rozlišuje základní vlastnosti číselných oborů pracuje

Více

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů MATEMATIKA Gymnázium PORG Libeň PORG Libeň je reálné gymnázium se všeobecným zaměřením, matematika je tedy na PORGu pilotním předmětem vyučovaným celých osm let. I. Cíle výuky Naši studenti jsou připravováni

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

11.1.1 Přehled středoškolské matematiky

11.1.1 Přehled středoškolské matematiky .. Přehled středoškolské matematiky Předpoklady: Pedagogická poznámka: Opakovací díl učebnice je zamýšlen jako shrnutí středoškolské matematiky a tedy buď příprava na státní maturitu vyšší úrovně, nebo

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta 1. Mnohočleny 2. Rovnice rovné nule 3. Nerovnice různé od nuly 4. Lomený výraz 5. Krácení lomených výrazů 6. Rozšiřování lomených výrazů 7. Sčítání lomených výrazů 8. Odčítání lomených výrazů 9. Násobení

Více

Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292

Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292 Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292 Název předmětu: Vyrovnávací kurz z matematiky Zabezpečující ústav: Ústav

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Základní cvičení z matematiky,

Více

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11 Témata k ústní maturitní zkoušce z předmětu Účetnictví profilové části maturitní zkoušky Školní rok 2012/2013 třída: 4.T 1. Legislativní úprava účetnictví 2. Účetní dokumentace 3. Manažerské účetnictví

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Reálné gymnázium a základní škola města Prostějova 5.5 Učební osnovy: Matematika

Reálné gymnázium a základní škola města Prostějova 5.5 Učební osnovy: Matematika Podle těchto učebních osnov se vyučuje ve třídách 1.N a 2.N šestiletého gymnázia od školního roku 2013/2014. Zpracování osnov předmětu Matematika koordinoval Mgr. Petr Spisar Časová dotace : Nižší gymnázium:

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Rovnice a nerovnice, kruhy a válce, úměrnost, geometrické konstrukce, výrazy 2 Třída: Tercie Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Povinné předměty: Matematika I aritmetika (KMD/MATE1) 2 Matematika 3 aritmetika s didaktikou (KMD/MATE3) 3 Matematika 5 geometrie (KMD/MATE5)

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

6.7 Matematika. 6.7.1 Charakteristika vyučovacího předmětu

6.7 Matematika. 6.7.1 Charakteristika vyučovacího předmětu 6.7 Matematika 6.7.1 Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení předmětu: Vyučovací předmět Matematika je zařazen jako povinný ve všech ročnících čtyřletého studia. Patří do vzdělávací oblasti

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b

Více