R - koeficienty polynomu, a n. =b i. ; i=0,1... n
|
|
- Nikola Bartošová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Elementární funkce Základními elementárními funkcemi nazýváme funkce mocninné, exponenciální, logaritmické, goniometrické a cyklometrické. Elementární funkcí nazveme každou funkci, která je vytvořena ze základních elementárních funkcí pomocí konečného počtu základních algebraických operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení), nebo pomocí skládání funkcí. Dělení elementárních funkcí: Elementární funkce Racionální Algebraické (mocninné) Iracionální Nealgebraické (exponenciální, logaritmické, obecná mocnina goniometrické (sin, cos, tg, cotg), cyklometrické (arcsin, arccos, arctg, arcctg)) Polynomické Racionální lomené 1. Algebraické funkce Racionální funkce zahrnují funkce polynomické (celé racionální funkce) a racionální lomené funkce. Iracionální funkce funkce n-tá odmocnina pro n 2 přirozené. a) Polynomické funkce Def.: Polynomem n-tého stupně nazveme funkci P n, pro kterou platí: a) D(P n ) = R b) P n x =a n x n a n 1 x n 1... a 1 x 1 a 0, kde a 0,a 1, a 2... a n R - koeficienty polynomu, a n 0 Věta.: c je nulový bod polynomu <=> je c kořen polynomu (platí tedy P n (c) = 0; kde c R ). Věta: Polynom n-tého stupně P n má nejvýše n nulových bodů. Věta: Nechť P n je polynom n-tého stupně a Q m je polynom m-tého stupně, tedy: P n x =a n x n a n 1 x n 1... a 1 x 1 a 0 a Q m x =b m x m b m 1 x m 1... b 1 x 1 b 0. Potom (P n (x) = Q m (x)) <=> n=m a i =b i ; i=0,1... n Lineární funkce polynom prvního stupně: P n (x) = a*x + b Nulová funkce nulovou funkcí nazveme funkci tvaru f(x) = a*x + b, kde a = 0, b = 0 jedná se o nulový polynom P n (x) = 0 vlastnosti: D(f) = R, H(f) = {0}, omezená, nerostoucí, neklesající, není prostá, v každém x R má maximum a minimum, sudá, spojitá, periodická s libovolnou periodou p, p R, grafem je přímka o rovnici f(x) = 0, tedy osa x kartézské soustavy. 1/11
2 Konstantní funkce konstantní funkcí nazveme funkci tvaru f(x) = a*x + b, a = 0, b R jedná se o polynom nultého stupně P n (x) = b vlastnosti: D(f) = R, H(f) = {b}, omezená, nerostoucí, neklesající, není prostá, v každém x R má maximum a minimum, sudá, spojitá, periodická s libovolnou periodou p, p R, grafem je přímka o rovnici f(x) = b, tedy rovnoběžka s osou x kartézské soustavy. Obrázek viz dále. Identická funkce identickou funkcí nazveme funkci tvaru id(x) = a*x + b, kde a = 1, b = 0 vlastnosti: D(f) = R, H(f) = R, není omezená shora ani zdola, je rostoucí, prostá, spojitá, nemá maximum ani minimum, lichá, neperiodická, grafem je přímka o rovnici id(x) = x, prochází bodem [0,0]. Obr. viz dále. Přímá úměrnost přímou úměrností nazveme funkci tvaru f(x) = a*x + b, kde a R {0}, b = 0 vlastnosti: D(f) = R, H(f) = R, není omezená shora ani zdola, je rostoucí (pro a Z ) nebo klesající (pro a Z ), prostá, spojitá, nemá maximum ani minimum, neperiodická, ani lichá ani sudá, grafem je přímka f(x) = a*x, prochází bodem [0,0]. Lineární funkce - lineární funkcí nazveme funkci tvaru f(x) = a*x + b; a R {0} b R {0} vlastnosti: D(f) = R, H(f) = R, není omezená shora ani zdola, je rostoucí (pro a R {0} ) nebo klesající (pro a R {0} ), prostá, spojitá, nemá maximum ani minimum, neperiodická, ani lichá ani sudá, grafem je přímka. y y b id(x) = x f(x) = b [0,0] x Konstantní funkce [0,0] x Identická funkce Kvadratické funkce polynom druhého stupně: P n (x) = a*x 2 + b*x + c Ryze kvadratická funkce ryze kvadratickou funkcí nazveme funkci tvaru f(x) = a*x 2 +b*x+c, kde a R {0}, b = 0, c = 0 vlastnosti: pro a>0: D(f) = R, H(f) = <0, ), zdola omezená nulou, shora neomezená, není prostá, klesající na (-,0>, rostoucí na <0, ), minimum v bodě [0,0], nemá maximum, sudá, spojitá, neperiodická, grafem je parabola. pro a<0: D(f) = R, H(f) = (-,0>, zdola neomezená, shora omezená nulou, není prostá, rostoucí na (-,0>, klesající na <0, ), maximum v bodě [0,0], nemá minimum, sudá, spojitá, neperiodická, grafem je parabola. Kvadratická funkce kvadratickou funkcí nazveme funkci ve tvaru f(x) = a*x 2 +b*x+c, kde a,b, c R, a 0 vlastnosti: pro a>0: D(f) = R, H(f) = < c b2, ), zdola omezená, shora 4 a neomezená, není prostá, klesající na (-,-b/2*a>, rostoucí na <-b/2*a, ), v bodě x 0 má minimum, x 0 = -b/2*, y 0 = c b2 4 a 2/11, nemá maximum, není sudá ani lichá,
3 neperiodická, grafem je parabola s vrcholem[-b/2*a, c b2 4 a ]. pro a<0: D(f) = R, H(f) = <,c b2 ), shora omezená, zdola 4 a neomezená, není prostá, rostoucí na (-,-b/2*a>, klesající na <-b/2*a, ), v bodě x 0 má maximum, x 0 = -b/2*a, y 0 = c b2 4 a neperiodická, grafem je parabola s vrcholem [-b/2*a, c b2 4 a ]., nemá minimum, není sudá ani lichá, Funkce k-tá mocnina pro k-přirozené - k-tou mocninou pro k-přirozené nazveme funkci tvaru f x =x k kde k N {0 } vlastnosti: pro k = 1 je grafem přímka (viz identická funkce), pro k>1 je grafem parabola k- tého stupně, graf vždy prochází body [0,0] a [1,1]; další vlastnosti viz obrázek b) Racionální funkce Def.: Racionální funkcí nazýváme podíl polynomů P n Q m ; kde P n je polynom n-tého stupně a Q m je polynom m-tého stupně: P n =a n x n a n 1 x n 1... a 1 x 1 a 0 Q m =b m x m b m 1 x m 1... b 1 x 1 b 0. Pro racionální funkci P n Q m platí: a) D P n Q m =R {x R ;Q m x =0} - c 1, c 2,...c k kořeny racionální funkce, pro k platí: 0 k m - nechť c 1 <c 2 <c 3 <...<c k, potom: D P n Q m =...=,c 1 c 1,c 2 c 2,c 3... c k, b) D P n Q m = a n x n a n 1 x n 1... a 1 x 1 a 0 b m x m b m 1 x m 1... b 1 x 1 b 0 Nepřímá úměrnost nepřímou úměrností nazveme funkci ve tvaru f(x) = k/x, kde k R {0} vlastnosti: pro k>0: D(f) = R-{0}, H(f) = R-{0}, není omezená shora ani zdola, je klesající na (-,0) a na (0,- ), prostá, nemá maximum ani minimum, lichá, neperiodická, grafem je rovnoosá hyperbola se středem [0,0]. pro k<0: D(f) = R-{0}, H(f) = R-{0}, není omezená shora ani zdola, je rostoucí na (-,0) a na (0,- ), prostá, nemá maximum ani minimum, lichá, neperiodická, grafem je rovnoosá hyperbola se středem [0,0]. Lineárně lomená funkce lineárně lomenou funkcí nazveme funkci ve tvaru f x = a x b, kde a,b, c, d R, c 0, a d b c 0 c x d vlastnosti: D(f) = R-{-d/c}, H(f) = R-{a/c}, není omezená ani shora ani zdola, klesající na (-,-d/c) a na int. (-d/c, ), je prostá, nemá maximum ani minimum, není sudá ani lichá, neperiodická, grafem je rovnoosá hyperbola se středem v bodě [-d/c,a/c]. 3/11
4 Funkce k-tá mocnina pro k celé záporné - k-tou mocninou pro k-celé záporné nazveme funkci ve tvaru f x =x k = 1 x k, kde k N vlastnosti: D(f) = R-{0}, grafem je hyperbola k stupně, další vlastnosti viz obrázek c) Iracionální funkce Funkce n-tá odmocnina pro n 2 přirozené n-tou odmocninou pro n 2 přirozené 1 nazveme funkci ve tvaru f(x) = n n x= x, kde n N, n 2 vlastnosti: n-sudé: D(f) = <0, ), H(f) = <0, ), zdola omezená nulou, shora neomezená, rostoucí, prostá, minimum v bodě [0,0], maximum nemá, není sudá ani lichá, neperiodická, grafem je je část paraboly n-tého stupně se sklopenou osou, procházející vždy body [0,0] a [1,1].Obrázek viz dále. n-liché: D(f) = R, H(f) = R, zdola i shora neomezená, rostoucí, prostá, nemá minimum ani maximum, je lichá, neperiodická, grafem je je část paraboly n-tého stupně se sklopenou osou, procházející vždy body [0,0] a [1,1]. Obrázek viz dále. 4/11
5 2. Nealgebraické funkce Věta o inverzní funkci: Nechť f je spojitá a ryze monotónní funkce v intervalu I, který zobrazuje na interval J. Potom k ní na intervalu I existuje inverzní funkce f -1, která má - D(f -1 ) = J, H(f -1 ) = I - funkce f -1 je ryze monotónní v J, je-li f rostoucí (klesající) v I, je-li f -1 rostoucí (klesající) v J - f -1 je spojitá v J; inverzní funkcí k f -1 je v intervalu J funkce f. Funkce přirozený logaritmus existuje právě jedna funkce kterou nazveme přirozený logaritmus (značíme ji f(x) = ln(x) (v učebnicích log) tak, že má 1) D(ln) = (0, ) 2) pro každé x, y 0, je ln x y =ln x ln y ln 1 x ln 1 x ln 1 3) lim =lim =1 ; existuje derivace v 1 a platí ln (1) x 0 x x 0 x = 1 Další vlastnosti funkce ln kde a,b 0, k Z : 1) ln(1) = 0 2) ln(1/a) = -ln(a) 3) ln(a/b) = ln(a) ln(b) 4) ln(a k ) = k*ln(a) 5) pro každé a 0, existuje ln (a) = 1/a 6) spojitá na (0, ) 7) rostoucí na (0, ) 8) ln(x)<0 <=> x 0,1, ln(x)>0 <=> x 1, 9) lim ln(x) = pro x->, lim ln(x) = - pro x->0 + 10) H(ln) = R Pozn.: ln je prostá na (0, ), existuje tedy jediné číslo x 0, pro které je ln(x 0 ) = 1. Toto číslo nazýváme Eulerovo číslo, e=lim 1 1 n= n n. 2,718 Funkce exponenciála funkce ln(x) je v (0, ) rostoucí, spojitá a zobrazuje ho na (-, ). V intervalu (0, ) k ní existuje funkce inverzní, kterou nazýváme exponenciála f(x) = exp(x) s vlastnostmi: 1) D(exp) = R, H(exp) = (0, ) 2) spojitá a rostoucí v R 3) inverzní funkcí k exp(x) je funkce ln(x), exp(x) = y <=> x = ln(y), x R, y 0, 4) pro každé c R existuje vlastní derivace exp (c) = exp(c) 5) exp(0) = 1, exp(1) = e 6) pro každé x, y R platí: exp(x+y) = exp(x)*exp(y) 7) pro každé x R, k Z platí: (exp(x)) k = exp(k*x) 8) pro každé x R platí: exp(-x) = 1/exp(x) 9) lim exp(x) = pro x->, lim exp(x) = 0 pro x->- 5/11
6 Def.: Nechť u 0,, v R. Definujeme u v vztahem u v = exp(v*ln(u)). Pozn.: volím-li ve vztahu v-pevně, lze definovat obecnou mocninu x b = exp(b*ln(x)) s exponentem b. Volím-li ve vztahu u-pevně, lze definovat obecnou exponenciálu a x = exp(x*ln(a)). Funkce obecná mocnina (pro reálný exponent) obecnou mocninou s exponentem b nazveme funkci ve tvaru f(x) = x b = exp(b*ln(x)), kde b R vlastnosti: 1) D(f) = (0, ); H(f) = (0, ) pro b 0, H(f) = {1} pro b = 0 2) pro b = 0 je konstantní na (0, ), pro b>0 je rostoucí na (0, ), pro b<0 je klesající na (0, ) 3) spojitá na (0, ) 4) v každém a 0, existuje vlastní f (a) = b*a b-1 5) pro b>0 je lim x b = pro x->, lim x b = 0 pro x->0 + ; pro pro b<0 je lim x b = 0 pro x->, lim x b = pro x->0 + Obecná exponenciální funkce obecnou exponenciální funkcí (obecnou exponenciálou) o základu a nazveme funkci ve tvaru f(x) = a x = exp(x*ln(a)), kde a 0, a 1 vlastnosti: 1) D(f) = R, H(f) = (0, ) 2) pro každé c R existuje vlastní derivace f (c) = a c *ln(a) 3) spojitá v R 4) pro a>1 je rostoucí na R; pro 0<a<1 je funkce klesající v R. 5) pro a>1 je lim a x = pro x->, lim a x = 0 pro x->- ; pro pro 0<a<1 je lim a x = 0 pro x->, lim a x = pro x->- Pozn.: Volíme-li jako základ e, platí: f(x) = e x = exp(x*ln(e)) = exp(x) Dále viz obrázek. 6/11
7 Funkce obecný logaritmus Nechť a 0,, a 1. Funkce f(x) = a x je spojitá a ryze monotónní v R a zobrazuje R na (0, ). Existuje k ní v R inverzní funkce, kterou nazýváme obecný logaritmus (logaritmus o základu a), f(x) = log a (x) a má 1) D(f) = (0, ), H(f) = R 2) pro každé x 0, je log a x = ln x ln a 3) v každém c 0, existuje vlastní derivace f (c) = 1/(c*ln(a)) 4) je spojitá v (0, ) 5) pro a>1 je rostoucí v (0, ); pro 0<a<1 je klesající v (0, ). 6) pro a>1 je lim log a (x) = pro x->, lim log a (x) = - pro x->0 + ; pro 0<a<1 je lim log a (x) = - pro x->, lim log a (x) = pro x->0 + 7) pro každé x, y 0, je log a (x*y) = log a (x)+log a (y) Pozn.: bod 2) nám umožňuje pracovat s jedinou logaritmickou funkcí s přirozeným logaritmem. 7/11
8 Funkce sinus Existuje právě jedna funkce, kterou nazveme sinus a kladné číslo, které označíme znakem π takové, že funkce sinus(x) = sin(x) a má 1) D(sin) = R 2) fce sinus je rostoucí v intervalu <0,π/2>, sin(0) = 0 3) pro každé x, y R je sin(x+y)+sin(x-y) = 2*sin(x)*sin(π/2-y) 4) lim x 0 sin x =1 x Funkce kosinus definována vztahem kosinus(x) = cos(x) = sin( π/2 -x) Další vlastnosti funkce sinus: 1) je lichá 2) rostoucí v intervalu <-π/2,π/2> 3) sin(π/2) = 1, sin(-π/2) = -1 4) je periodická funkce s periodou 2*π 5) pro každé x, y R je sin(x±y) = sin(x)*cos(y)±cos(x)*sin(y) 6) pro každé x R platí sin 2 x+cos 2 x = 1 7) pro každé x, y R je sin(x)+sin(y) = 2*sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) 8) pro každé x, y R je sin(x)-sin(y) = 2*cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) 9) spojitá v R 10) v každém x R existuje vlastní (sin(x)) = cos(x) 11) H(sin) = <-1,1> Vlastnosti funkce kosinus: 1) D(cos) = R, H(cos) = <-1,1> 2) rostoucí v intervalu <-π,0> 3) cos(0) = 1, cos(π) = -1 4) je sudá, periodická s periodou 2*π 5) pro každé x, y R je cos(x+y) = cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y) 6) pro každé x, y R je cos(x-y) = cos(x)*cos(y)+sin(x)*sin(y) 7) pro každé x, y R je cos(x)+cos(y) = 2*cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) 8) pro každé x, y R je cos(x)-cos(y) = -2*sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2) 9) spojitá v R 10) v každém x R existuje vlastní (cos(x)) = -sin(x) 8/11
9 Funkce tangens je definována předpisem f(x) = tg(x) = sin(x)/cos(x) a má 1) D(tg) = R- { x R, x= 2 k 1 2,k Z } 2) je lichá, tg(0) = 0 3) je periodická s periodou π 4) spojitá v D(tg) 5) lim tg(x) = pro x->π/2 zleva, lim tg(x) = - pro x->π/2 zprava 6) H(tg) = R 7) pro každé a D tg existuje vlastní derivace (tg(x)) = (sin(x)/cos(x)) = ((cos(x)*cos(x)-sin(x)*(-sin(x))/cos 2 (x)) = 1/cos 2 (x) 8) v každém intervalu I, I D tg je tangens rostoucí Funkce cotangens je definována předpisem f(x) = cotg(x) = cos(x)/sin(x) a má 1) D(cotg) = R- {x R, x=k,k Z } 1) je lichá, cotg(π/2) = 0 1) je periodická s periodou π 2) spojitá v D(cotg) 3) lim cotg(x) = pro x->0 +, lim cotg(x) = - pro x->0-4) H(cotg) = R 5) pro každé a D cotg existuje vlastní derivace (cotg(x)) = (cos(x)/sin(x)) = ((-sin(x)*sin(x)-cos(x)*(cos(x))/sin 2 (x)) = -1/sin 2 (x) 6) v každém intervalu I, I D cotg je cotangens klesající 9/11
10 Funkce arkussinus Funkce sinus je v intervalu <-π/2,π/2> spojitá, rostoucí a zobrazuje tento interval na interval <-1,1>. Existuje tedy v intervalu <-π/2,π/2> inverzní funkce k funkci sinus, kterou nazveme arkussinus, f(x) = arcsin(x) a má 1) D(arcsin) = <-1,1>, H(arcsin) = <-π/2,π/2> 2) je rostoucí a spojitá v <-1,1> 3) funkcí inverzní k funkci arkussinus v intervalu <-1,1> je funkce sinus v intervalu <-π/2,π/2>, (arcsin(a) = b <=> a = sin(b), kde a 1,1, b 2, 2 ) 4) je lichá 5) pro každé a 1,1 existuje vlastní derivace (arcsin(a)) = 6) arcsin zprava (-1) = arcsin zleva (1) = 1 1 a 2 Funkce arkuskosinus Funkce kosinus je v <0,π> spojitá, klesající a zobrazuje tento interval na interval <-1,1>. Existuje tedy v intervalu <0,π> inverzní funkce k funkci kosinus, kterou nazveme arkuskosinus, f(x) = arccos(x) a má 1) D(arccos) = <-1,1>, H(arccos) = <0,π> 2) je klesající a spojitá v <-1,1> 3) funkcí inverzní k funkci arkuskosinus v intervalu <-1,1> je funkce cosinus v intervalu <0,π> 4) pro každé x 1,1 je arcsin(x)+arccos(x) = π/2 5) pro každé a 1,1 existuje vlastní derivace (arccos(a)) = 1 1 a 2 6) arccos zprava (-1) = arccos zleva (1) = - Funkce arkustangens Funkce tangens je v intervalu (-π/2,π/2) spojitá, rostoucí a zobrazuje tento interval na R. Existuje tedy v intervalu (-π/2,π/2) inverzní funkce k funkci tangens, kterou nazveme arkustangens, f(x) = arctg(x) a má 1) D(arctg) = R, H(arctg) = (-π/2,π/2) 2) je rostoucí a spojitá v R 3) funkcí inverzní k funkci arkustangens v R je funkce tangens v intervalu (-π /2,π/2) 4) je lichá 5) lim arctg(x) = π/2 pro x->, lim arctg(x) = -π/2 pro x->- 1 6) pro každé a R existuje vlastní derivace (arctg(a)) = 1 a 2 Funkce arkuscotangens Funkce cotangens je v intervalu (0,π) spojitá, klesající a zobrazuje tento interval na R. Existuje tedy v intervalu (0,π) inverzní funkce k funkci cotangens, kterou nazveme arkuscotangens, f(x) = arccotg(x) a má vlastnosti: 1) D(arccotg) = R, H(arccotg) = (0,π) 10/11
11 2) je klesající a spojitá v R 3) funkcí inverzní k funkci arkuscotangens v R je funkce cotangens v intervalu (0,π) 4) pro každé x R je arccotg(x)+arctg(x) = π/2 5) lim arccotg(x) = 0 pro x->, lim arccotg(x) = π pro x->- 6) pro každé a R existuje vlastní derivace (arccotg(a)) = 1 1 a 2 Zpracováno z přednášek MANS1,2 a z knihy Matematická analýza pro učitelské studium, 1. semestr, Jiřina Frolíková, SPN Praha, /11
Matematika 1. Matematika 1
5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)
VíceFunkce Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková
Funkce Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů OP
VíceKapitola1. Lineární lomená funkce Kvadratická funkce Mocninná funkce s obecným reálným exponentem Funkce n-tá odmocnina...
Kapitola1 Základní soubor funkcí v R Lineární funkce.......................................................... 1-1 Kvadratická funkce...................................................... 1-2 Mocninná
Vícesoubor FUNKCÍ příručka pro studenty
soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá
VíceZákladní elementární funkce
Základní elementární funkce Základní elementární funkce Za základní elementární funkce považujeme funkce: a) eponenciální a logaritmické; b) obecné mocninné; c) goniometrické a cklometrické; d) hperbolické
VíceCyklometrické funkce
Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),
VíceMatematika I Reálná funkce jedné promìnné
Matematika I Reálná funkce jedné promìnné RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Reálná funkce Def. Zobrazení f nazveme
Více2.1. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x je taková
.. Funkce a jejich graf.. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné je taková binární relace z množin R do množin R, že pro každé R eistuje nejvýše jedno R, pro které [, ] f.
VíceUčební dokument FUNKCE. Vyšetřování průběhu funkce. Mgr. Petra MIHULOVÁ. 4.roč.
Učební dokument FUNKCE Vyšetřování průběhu funkce Mgr. Petra MIHULOVÁ.roč. Evropský sociální fond Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti Vyš etř ová ní přů be hů fůnkce á šeštřojení její ho gřáfů Určování
Vícex (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.
1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,
VíceKapitola 7: Integrál. 1/14
Kapitola 7: Integrál. 1/14 Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní funkcí k
VíceMATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY
MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
Více1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) pro x, y R;
3. Elementární funkce. Věta C. Existují funkce sin(x) a cos(x) z R do R a číslo π (0, ) tak, že platí: 1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y)
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
Vícefunkce konstantní (y = c); funkce mocninné (y = x r pro libovolné r R, patří sem tedy i
Přednáška č. 6 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 6 29. října 2007 1 / 64 Přehled elementárních funkcí Jde o pojem spíše historický než matematický. Vymezuje se několik (základních)
Více6 kapitola Z 0 7akladn funkce v C
1 3Z kladn funkce v C kapitola6 1 32 HERB 0 9 0 9 Line rn funkce f : w = az + b, a, b й C, a ы 0, D(f) = C 6с5. i) H(f) = C 6с5 ; ii) ч f 6х6 6с1 З ч; iii) f je jednozna 0 0n, prost a spojit funkce na
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - Úvod Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - úvod V přírodě se neustále dějí změny. Naší snahou je nalézt příčiny
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceZáklady matematiky kombinované studium 714 0365/06
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
VícePřehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.
Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceŘešení: ( x = (1 + 2t, 2 5t, 2 + 3t, t); X = [1, 2, 2, 0] + t(2, 5, 3, 1), přímka v E 4 ; (1, 2, 2, 0), 0, 9 )
. Vyjádřete koeficienty vektoru (, 8, 9) vzhledem k následující bázi vektorového prostoru V : (,, 5), (,, ), (5,, ). [,, ].. Určete všechny hodnoty parametru u, pro které vektor a patří do vektorového
Více4. Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]}
1/27 FUNKCE Základní pojmy: Funkce, definiční obor, obor hodnot funkce Kartézská soustava souřadnic, graf funkce Opakování: Číselné množiny, úpravy výrazů, zobrazení čísel na reálné ose Funkce: Zápis:
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
VíceMatematická analýza I pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz
Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza I pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 1. Elementární funkce 1.2. Přehled elementárních funkcí 2 Lineární funkce - je každá funkce na množině R, která je dána ve tvaru y = a.x + b, kde a,b R. Pokud
VíceFunkce. Vlastnosti funkcí
FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční
VíceMaturitní okruhy z matematiky školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky školní rok 2007/2008 1. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY 2 2 2 3 3 3 a ± b ; a b ; a ± b ; a ± b 1.1. rozklad výrazů na součin: vytýkání, užití vzorců: ( ) ( ) 1.2. určování definičního
Více8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.
8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k = k!. Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada ( ) konverguje absolutně
VíceGoniometrické a hyperbolické funkce
Kapitola 5 Goniometrické a hyperbolické funkce V této kapitole budou uvedeny základní poznatky týkající se goniometrických funkcí - sinus, kosinus, tangens, kotangens a hyperbolických funkcí - sinus hyperbolický,
VíceUŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
VícePRACOVNÍ SEŠIT FUNKCE. 4. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.
Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 4. tematický okruh: FUNKCE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger epertka na online přípravu na SMZ z matematiky
Více2. Vlastnosti elementárních funkcí, složené, inverzní a cyklometrické funkce,
. Určete vlastnosti funkcí: (i) f : y = x (ii) f : y = x 4 (iii) f : y = cotgx (iv) f 4 : y = arccosx (v) f 5 : y = 4 x (vi) f 6 : y = ( 4 )x (vii) f 7 : y = lnx (viii) f 8 : y = x. Uveďte příklad: (i)
Více27. června Abstrakt. druhá odmocnina a pod. jsou vynechány. Také je vynechán např. tangensu.) 1 x ln x. e x sin x. arcsin x. cos x.
Základní elementární funkce Robert Mařík 7. června 00 ln e sin arcsin cos arccos tg arctg Abstrakt V tomto dokumentu jsou uvedeny základní vlastnosti nejdůležitějších základních elementárních funkcí. (Triviální
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
Více(k 1)x k + 1. pro k 1 a x = 0 pro k = 1.
. Funkce dvou a více proměnných. Úvod. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R vzhledem k a rozhodněte zda je množina uzavřená či otevřená. Určete a načrtněte vrstevnice grafu funkce
Více2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Funkce 2.. Definice Říkáme, že na množině D reálných čísel je definována funkce f jedné reálné proměnné, je-li dán předpis, podle kterého je ke každému číslu x D přiřazeno právě
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva
VíceMATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
Více1. Úvod Výroková logika Množiny a množinové operace
1. Úvod 1.1. Výroková logika Výrok je tvrzení, o kterém má smysl říci, že platí (je pravdivé) nebo že neplatí (je nepravdivé). Definice. Negací A výroku A rozumíme výrok: Není pravda, že platí A. Konjukcí
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. /8 3. Elementární funkce. 3. Elementární funkce. Matematická analýza ve Vesmíru.
Více6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina
Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení
VíceKvadratické rovnice pro učební obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jkaékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
VíceV této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že
.5. Cíle Uvedeme nní několik unkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední škol. Nazveme je základní elementární unkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování
VícePracovní materiál pro
Pracovní materiál pro Úvodní kurz pro FELÁKY Temešvár u Písku, září 01 Úvodem Tento text má sloužit jako přehled středoškolských znalostí a dovedností, které jsou nezbytné při studiu matematiky na vysoké
Více. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.
Diferenciální počet příklad s výsledky ( Najděte definiční obor funkce f() = ln arcsin + ) D f = (, 0 Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f() = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4 4 y 4 = 0 nebo
VíceI. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet
I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x
VíceFunkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
VíceEdita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY
Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................
Více1. Písemka skupina A...
. Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce
VíceMatematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
VíceNalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceDerivace a průběh funkce příklady z písemných prací
Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±
Více1. Písemka skupina A1..
1. Psemka skupina A1.. Nartněte grafy funkc (v grafu oznate všechny průseky funkce s osami) 3 y y sin( ) y y log ( 1) 1 y 1 y = arccotg - 1) Urete, jestli je funkce y = - + 1 omezená zdola nebo shora?
VíceMatematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
VíceMatematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
Více3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim
3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
Více(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f.
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 5. Lokální extrémy. Budeme uvažovat funkci f = f(x 1, x 2,..., x n ), která je definovaná v otevřené množině G R n. Řekneme, že funkce f = f(x 1, x 2,..., x n
VíceUŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
VíceMATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch
MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. Vážení studenti,
Více4. Funkce Funkce. S pojmem funkce jsme se setkali již v Kapitole 1F Zobrazení. Připomeňme základní pojmy.
. Funkce.. Funkce Verze. prosince 6 S pojmem funkce jsme se setkali již v Kapitole F Zobrazení. Připomeňme základní pojm. Zobrazení z množin X do množin Y je formálně podmnožina F kartézského součinu X
VíceŘešení: a) Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y.
VII. Transformace náhodné veličiny. Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení Ex(; ) a náhodná veličina Y = X. a) Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y. b) Vypočtěte E(Y ) a D(Y ).
VíceA NUMERICKÉ METODY. Matice derivací: ( ) ( ) Volím x 0 = 0, y 0 = -2.
A NUMERICKÉ METODY Fourierova podmínka: f (x) > 0 => rostoucí, f (x) < 0 => klesající, f (x) > 0 => konvexní ᴗ, f (x) < 0 => konkávní ᴖ, f (x) = 0 ᴧ f (x)!= 0 => inflexní bod 1. Řešení nelineárních rovnic:
VíceMATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik
MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,
Více1 ÚVOD. 1.1 Kontaktní informace. 1.2 Předpokládané znalosti ze střední školy. Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. A829,
1 ÚVOD 1.1 Kontaktní informace Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. iveta.cholevova@vsb.cz A829, 597 324 146 Mgr. Arnošt Žídek, Ph. D. arnost.zidek@vsb.cz A832, 597 324 177 1.2 Předpokládané znalosti ze střední
VíceMatematika a 2. března 2011
Přednáška č. 3 Matematika 2 Jiří Fišer 1. a 2. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 3 1. a 2. března 2011 1 / 68 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 3 1.
VíceMODAM Mgr. Zuzana Morávková, Ph.D.
GeoGebra známá i neznámá (začátečníci) MODAM 2015 Mgr. Zuzana Morávková, Ph.D. MODAM 2015 GeoGebra známá i neznámá (začátečníci) Příklad 1: Kružnice opsaná trojúhelníku Zadání: Vytvořte aplikaci na sestrojení
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Reálné funkce 1 / 21 Matematika 1 pro PEF PaE 1. Reálné funkce Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU funkce Reálné funkce Základní pojmy 2 / 21 Zobrazení z množiny A do množiny B je množina f uspořádaných
VíceDerivace funkcí jedné reálné proměnné
Derivace fukcí jedé reálé proměé Pozámka Derivaci fukce v zadaém bodě můžeme počítat přímo pomocí defiice, použitím vět o algebře derivací, použitím vět o derivaci iverzí fukce, použitím vět o derivaci
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VícePřednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4
Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:
VíceDerivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
VícePředpokládané znalosti ze středoškolské matematiky. Pokuste se rozhodnout o pravdivosti následujících výroků a formulujte jejich negace.
Předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky 1. Matematická logika Výroky, složené výroky: konjunkce (, a zároveň ), disjukce (, nebo), negace výroků ( před nebo čárka nad označením výroku), implikace
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceSpojitost funkcí více proměnných
Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
VíceKvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel.
Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax 2 + bx + c Číslo a je různé od nuly, b,c jsou libovolná reálná čísla. Definičním oborem kvadratické funkce je
VíceDoporučená literatura 1. Jako doplněk k přednáškám: V. Hájková, M. Johanis, O. John, O.F.K. Kalenda a M. Zelený: Matematika (kapitoly I IV)
Přednáška Matematika I v prvním semestru 2013-2014 Spojení na přednášejícího a konzultace Petr Holický, Matematicko fyzikální fakulta Katedra matematické analýzy Sokolovská 83, 2. patro e-mail: holicky@karlin.mff.cuni.cz
VíceExponenciální funkce, rovnice a nerovnice
Eonenciální funkce, rovnice a nerovnice Mamut s korovou omáčkou (Eonenciální funkce) a) AN b) NE c) NE d) AN e) NE f) NE g) AN h) NE a), b), c) d) e) f) e+ b - - - D( f )=R H( f )=( ) P neeistuje P [ ]
Více4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE
4.. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE V této kapitole se dozvíte: jak jsou definovány cyklometrické funkce a jaký je jejich vztah k funkcím goniometrickým; základní vlastnosti cyklometrických funkcí; nejdůležitější
Více7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH... 83. 7.1. Definiční oblasti... 83 Úlohy k samostatnému řešení... 83
Sbírka úloh z matematik 7 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH 8 7 Definiční oblasti 8 Úloh k samostatnému řešení 8 7 Parciální derivace 8 Úloh k samostatnému řešení 8 7 Tečná rovina a normála 8
VíceGeoGebra známá i neznámá (pokročilí)
GeoGebra známá i neznámá (pokročilí) MODAM 2017 Mgr. Zuzana Morávková, Ph.D. MODAM 2017 GeoGebra známá i neznámá (pokročilí) Příklad 1: Cykloida Zadání: Kotálením kružnice vytvoříme cykloidu. 3. 2. 1.
Více