Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006"

Transkript

1 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad s komentáem Je dána funkce f : y 6 9. Vyšetete její prbh a nakreslete pkn její graf. i ešení zadané úlohy budeme postupovat podle doporueného postupu a pitom využívat poznatky diferenciálního potu. Je vhodné postupovat v uvedeném poadí a postupn urit:. defininí obor funkce. sudost, lichost, periodinost funkce - má-li totiž funkce jednu z uvedených vlastností, zjednoduší to vyšetování jejího prbhu. prseíky s osami kartézského systému souadnic. limity v krajních bodech defininího oboru 5. první derivaci funkce, stacionární body a body, v nichž není první derivace definována 6. intervaly monotónnosti a lokální etrémy 7. druhou derivaci funkce, nulové body druhé derivace a body, v nichž není druhá derivace funkce definována. intervaly konvenosti a konkávnosti a inflení body 9. asymptoty funkce.obor hodnot.graf funkce.. Defininí obor Zadaná funkce je polynomická, a proto je jejím defininím oborem množina všech reálných ísel, tj. D f... Sudost nebo lichost funkce Defininí obor je symetrický vzhledem k nule, a proto zadaná funkce mže být jak lichá, tak i sudá (a nebo nemusí mít žádnou z uvedených vlastností). Je nutné ješt ovit, jaká je funkní hodnota funkce f v bod pitom patí do defininího oboru zadané funkce. ro funkní hodnotu v bod f ve srovnání s funkní hodnotou v bod. Bod i dostáváme:. Tento výraz pitom není shodný ani se zadaným pedpisem funkce f, ani k nmu není opaný. ro zadaná funkce f není ani sudá ani lichá. okud by nastala jedna z možností, další ešení úlohy by se zjednodušilo. Bylo by možné vyšetit prbh funkce nap. na podmnožin kladných ísel a potom získané výsledky zobrazit i na podmnožinu záporných ísel:. u sudé funkce pomocí osové soumrnosti, jejíž osa soumrnosti je osa y. u liché funkce pomocí stedové soumrnosti, jejíž sted soumrnosti je bod ;.. rseíky s osami kartézského systému souadnic Znalost prseík s osami kartézského systému je jednou z pomcek pro snadnjší sestrojení grafu zadané funkce. Nicmén jejich znalost není nezbytná. V pípad, že rovnice, jejíž sestavení je nutné pro hledání prseík s osou, není jednoduše ešitelná (tj. jedná-li se nap. o polynomickou funkci stupn vyššího než ti, složitou logaritmickou rovnici, ), prseíky s osou neurujeme. Na správné vyešení úlohy nebude mít absence prseík významný vliv.

2 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 -ovou souadnici prseík s osou získáme ešením rovnice ; f, což v pípad zadané funkce vede na kubickou rovnici 6 9. ešení této rovnice není možné snadno urit, proto prseíky s osou urovat nebudeme. ; y s osou y je výrazn jednodušší. latí: y Urit y-ovou souadnici prseíku y f. V pípad zadané funkce dostáváme y f Limity v krajních bodech defininího oboru Limity v krajních bodech defininího oboru pomáhají urit chování funkce v blízkosti bod, v nichž není možné zjistit funkní hodnotu pímým dosazením. itom je pro správné vykreslení grafu funkce dležité vdt, jak v okolí tchto bod vyšetovaná funkce vypadá. V pípad zadané funkce jsou krajními body defininího oboru dva body: a. 6 9 lim 6 9 lim 6 9 lim 6 9 lim.5. rvní derivace funkce rvní derivace f zadané funkce f je mocným nástrojem pro urení:. stacionárních bod - body podezelé z etrému ; stacionární body jsou koeny rovnice f, z nichž lze urit ty, které jsou lokálními etrémy, pomocí druhé derivace funkce (viz odstavec.7) nebo pomocí interval monotónnosti (viz odstavec.6). bod, v nichž není derivace definovaná - tyto body uríme na základ defininího oboru funkce f (tj. funkce, která je první derivací zadané funkce f) Stacionární body hledáme tak, že ešíme rovnici f, tj. hledáme body, v nichž je tena ke grafu funkce rovnobžná s osou. Derivace funkce totiž udává smrnici teny v daném bod. Je-li tena sestrojená v daném bod rovnobžná s osou, má nulovou smrnici. V T A K O V É M B O D A L E N E M U S Í B Ý T E X T R É M!!! (Viz graf funkce y v bod : první derivace je v nm nulová, ale pitom v nm není etrém!!!) Urit ale platí, že smrnice teny sestrojená v bod etrému je nulová! ro zadanou funkci je: f 9 Stacionární body uríme ešením rovnice: f 9, Body, v nichž by mohl být etrém jsou tedy body,. Vzhledem k tomu, že defininí obor derivace je množina všech reálných ísel, je derivace funkce definovaná ve všech bodech defininího oboru funkce..6. Intervaly monotónnosti a lokální etrémy Urení interval, na nichž je funkce rostoucí nebo klesající, lze provést na základ první derivace funkce. latí totiž:. je-li f pro všechna z uritého intervalu, je funkce f na tomto intervalu rostoucí. je-li f pro všechna z uritého intervalu, je funkce f na tomto intervalu klesající

3 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Je-li zadaná funkce spojitá, lze urit pouze interval, na kterém je funkce rostoucí. Interval, na kterém je funkce klesající, je doplkem vypoteného intervalu v defininím oboru funkce. oznámka: edchozí vta není formulována zcela pesn, protože z interval jsou vynechány jejich krajní body, v nichž funkce pechází z klesající na rostoucí i naopak. Interval, na kterém je zadaná funkce rostoucí uríme (s využitím výpot v odstavci.5) takto: f Nejrychleji lze tuto nerovnici vyešit graficky s využitím obr.. Z nj je patrné, že funkce f je rostoucí na intervalu ; a na intervalu ;. Vzhledem k tomu, že funkce f je spojitá ve svém defininím oboru, plyne z pedchozího, že:. f je klesající na intervalu ;. f má v bod ; 6 lokální maimum a v bod ; lokální minimum obr..7. Druhá derivace funkce omocí druhé derivace f funkce f lze urit:. body, v nichž je druhá derivace nulová - body, které by mohly být infleními, tj. body, které by mohly vymezovat intervaly, na kterých je funkce konvení resp. konkávní (viz odstavec.). body, v nichž není druhá derivace funkce definovaná - tyto body uríme na základ defininího oboru funkce f, tj. funkce, která je druhou derivací zadané funkce f Body, které by mohly být infleními body, najdeme ešením rovnice f. I zde (stejn jako v odstavci.5) je nutné postupovat opatrn. B O D, V NM Ž J E D R U H Á D E R I V A C E F U N K C E N U L O V Á, N E M U S Í B Ý T I N F L E X N Í M B O D E M!!! (Viz nap. funkce y v bod : druhá derivace je v tomto bod nulová, ale tento bod není rozhodn inflením - jedná se pouze o lokální minimum!) Urit ale platí, že druhá derivace v inflením bod je nulová! Druhá derivace zadané funkce (tj. první derivace první derivace funkce) je: f 6. Defininím oborem druhé derivace jsou všechna reálná ísla, a proto druhá derivace zadané funkce eistuje ve všech bodech svého defininího oboru. Nulové body druhé derivace uríme ešením rovnice: f 6 V bod by tedy mohl být inflení bod. Jestli tam skuten je nebo není, zjistíme v odstavci.... Konvenost a konkávnost funkce, inflení body Urit intervaly, na kterých je funkce konkávní resp. konvení, lze pomocí druhé derivace funkce. latí totiž:

4 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6. je-li f pro všechna z uritého intervalu, je funkce f na tomto intervalu konvení. je-li f pro všechna z uritého intervalu, je funkce f na tomto intervalu konkávní Je-li funkce f spojitá ve svém defininím oboru, lze urit pouze interval, na nmž je funkce konvení. Interval, na nmž je funkce konkávní, tvoí doplnk vypoteného intervalu v množin reálných ísel. oznámka: edchozí vta není formulována zcela pesn, protože z interval jsou vynechány jejich krajní body, v nichž funkce pechází z konvení na konkávní i naopak. Interval, na kterém je zadaná funkce konvení, lze urit (s využitím výpotu z odstavce.7) takto: f 6 Funkce f je tedy konvení na intervalu ;. Vzhledem k tomu, že funkce f je spojitá na svém defininím oboru, je na intervalu ; konkávní. roto je v bod inflení bod a funkce v nm pechází z konkávní na konvení..9. Asymptoty grafu funkce Asymptoty funkce jsou pímky, k nimž se funkce pimyká nebo které ji v okolí daného bodu nejlépe nahrazují. Eistují dva typy asymptot:. asymptoty se smrnicí - jsou pímky, které mají rovnici y a b ( a \, b ); jedná se o asymptoty funkce v nevlastních bodech (tj. pro a ). asymptoty bez smrnice - jsou pímky ve tvaru c ( c ); jde o asymptoty funkce v takových vlastních bodech c, v nichž není funkce definována (nap. body, v nichž je jmenovatel zlomku z definice funkce nulový, ); pi hledání rovnic tchto asymptot je nutné vyšetit jednostranné limity v bodech, v nichž není daná funkce definována A S Y M T O T Y S E S MRN I C Í N E S U L U J Í V Ý OET L I M I T V K R A J N Í C H B O D E C H D E F I N I N Í H O O B O R U!!! Limita v krajních bodech defininího oboru urí, K J A K É hodnot se blíží funkní hodnoty v tchto bodech, zatímco asymptota uruje J A K se k této hodnot funkce blíží. Koeficienty a a b v rovnici asymptoty se smrnicí se urí pomocí vlastních limit takto: f a lim a b lim f a. Náznak odvození lze provést pomocí intuitivní pedstavy, že asymptota má nahradit v blízkosti nevlastních bod graf funkce f. roto musí platit limf a b. okud platí tento vztah, tím spíše pak platí f a b lim. Tento vztah lze dále upravit: f a b f b f lim lim a lim a a odtud

5 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 f a lim. odobnými úpravami lze získat ze vztahu limf a b vztah pro výpoet koeficientu b: b f a. lim Analogicky lze postupovat v pípad asymptoty pro. ro koeficient a asymptoty zadané funkce f v bod lze tedy psát: a lim lim lim. Asymptota funkce f pro neeistuje. Stejný výsledek získáme pro druhý nevlastní bod, tj. pro... Obor hodnot Obor hodnot získáme na základ znalostí:. limit v krajních bodech defininího oboru. lokálních etrém funkce. asymptot funkce ro zadanou funkci je H f... Graf funkce Na základ postupných výpot v odstavcích. až. lze nakreslit graf funkce. i jeho sestrojování je nutné vzít v úvahu tyto vlastnosti funkce:. intervaly, na nichž je funkce rostoucí resp. klesající. intervaly, na nichž je funkce konvení resp. konkávní. prseíky grafu funkce s osami kartézského systému souadnic. body, v nichž má funkce lokální etrémy a jejich funkní hodnoty 5. asymptoty grafu funkce Graf zadané funkce je na obr.. obr. 5

6 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6. ešené píklady bez komentáe.. g : y ln Je dána funkce g : y ln. Vyšetete její prbh a nakreslete pkn její graf. i ešení budeme vycházet z postupu uvedeného v odstavci., ale už omezíme komentá k jednotlivým krokm ešení. ed samotným ešením zadanou funkci upravíme na tvar, který bude pro následné výpoty pijatelnjší: Defininí obor a zárove D g; ; Sudost nebo lichost y ln ln ln ; výsledná podmínka proto je., z níž vyplývá g ln ln ln ln ln g - funkce g je tedy lichá (defininí obor je symetrický podle bodu ); staí tedy vyšetovat funkci jen na intervalu ; rseíky s osami s osou : ln rseík s osou tedy není. s osou y: neeistuje, protože za nelze dosadit - nepatí do defininího oboru funkce g Limity v krajních bodech defininího oboru lim ln lim ln lim ln ln rvní derivace a stacionární body g derivace není definovaná v bodech - a, které ale stejn nepatí do defininího oboru stacionární body neeistují ( g nemže být nikdy rovna nule) - neeistují tedy ani lokální etrémy funkce Intervaly monotónnosti 6

7 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 g, tj. pro všechna z defininího obou je vždy záporná (jmenovatel zlomku je vždy kladný) - funkce g je tedy na celém svém defininím oboru klesající roto neeistují ani lokální etrémy funkce. Druhá derivace nejdíve si upravíme první derivaci: g g... g pro, ale tento bod nepatí do defininího oboru funkce; inflení body tedy neeistují Intervaly konvenosti a konkávnosti g pro ; vzhledem k defininímu oboru funkce g je funkce g konvení na intervalu ; Asymptoty funkce asymptota bez smrnice eistuje v bod - a : a ln ln a lim lim asymptota se smrnicí: b lim ln. lim ln pro získáme tutéž asymptotu Obor hodnot H g \ Graf funkce Vyšetení vlastností funkce bylo provedeno pouze na intervalu ;, na celý defininí obor rozšííme vlastnosti funkce tak, že ást grafu z intervalu ; zobrazíme soumrn podle poátku kartézské soustavy souadnic (funkce g je lichá). Graf je zobrazen na obr.. y obr. 7

8 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6.. h : y Je dána funkce h : y. Vyšetete její prbh a nakreslete pkn její graf. i ešení budeme vycházet z postupu uvedeného v odstavci., ale už omezíme komentá k jednotlivým krokm ešení. Defininí obor Dh \ Sudost nebo lichost h rseíky s osami s osou : - funkce h není ani sudá ani lichá s osou y: neeistuje, protože za nelze dosadit - nepatí do defininího oboru funkce h Limity v krajních bodech defininího oboru lim lim lim lim lim lim rvní derivace a stacionární body.. 6 h derivace není definovaná v bod, který nepatí do defininího oboru funkce h stacionární body: V bod Intervaly monotónnosti funkce je rostoucí: h by tedy mohl být lokální etrém. h! " # "

9 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Funkce h je tedy rostoucí pro všechna z intervalu ; a pro všechna z intervalu ;. Klesající je na intervalu ; (protože je na svém defininím oboru spojitá). V bod Druhá derivace je podle výše uvedeného lokální minimum; ;.. 6 h Druhá derivace funkce je definovaná pro všechna z defininího oboru funkce h a je pro n kladná. Inflení body proto neeistují. Intervaly konvenosti a konkávnosti Vzhledem k tomu, že je pro všechna z defininího oboru, je funkce h na h celém defininím oboru konvení. Asymptoty funkce asymptota bez smrnice eistuje v bod : asymptota se smrnicí: pro získáme tutéž asymptotu Obor hodnot Hh Graf funkce Graf funkce je zobrazen na obr.. lim a lim lim b lim. lim lim y obr. 9

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat? Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná.

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná. Matmatika I část II Graf funkc.. Graf funkc Výklad Chcm-li určit graf funkc můžm vužít přdchozích znalostí a určit vlastnosti funkc ktré shrnm do níž uvdných bodů. Můž s stát ž funkc něktrou z vlastností

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

GYMNÁZIUM CHEB. SEMINÁRNÍ PRÁCE Grafy funkcí sbírka ešených úloh. Radek HÁJEK, 8.A Radka JIROUŠKOVÁ, 8.A Cheb, 2006 Petr NEJTEK, 8.

GYMNÁZIUM CHEB. SEMINÁRNÍ PRÁCE Grafy funkcí sbírka ešených úloh. Radek HÁJEK, 8.A Radka JIROUŠKOVÁ, 8.A Cheb, 2006 Petr NEJTEK, 8. GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Grafy funkcí sbírka ešených úloh Radek HÁJEK, 8.A Radka JIROUŠKOVÁ, 8.A Cheb, 006 Petr NEJTEK, 8.A Prohlášení Prohlašujeme, že jsme seminární práci na téma: Grafy funkcí

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Metodický materiál Ma

Metodický materiál Ma Metodický materiál Ma Metodický materiál Ma... 1 Úvod... 2 Možnosti použití v hodin... 2 Podmínky... 2 Vhodná témata... 3 Nevhodná témata... 3 Vybrané téma: Funkce... 3 Úvod... 3 Použití v tématu funkce...

Více

R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)

R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY) R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)? Co to vlastn rovnobžník je? Na obrázku je dopravní znaka, která íká, že vzdálenost k železninímu pejezdu je 1 m (dva pruhy, jeden pruh pedstavuje vzdálenost 80 m): Pozorn

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Pednáška mikro 04: Poptávková a nabídková funkce, cenová elasticita poptávky

Pednáška mikro 04: Poptávková a nabídková funkce, cenová elasticita poptávky Pednáška mikro 04: Potávková a nabídková funkce, cenová elasticita otávk 1. Matematické minimum (dolnit na cviení v íad otávk od student) funkce = edis(druhá odmocnina, dvojnásobek snížený o jednu : =

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

ZMĚNY VE VÝUCE MATEMATIKY JAKO DŮSLEDEK POČÍTAČEM PODPOROVANÉ VÝUKY

ZMĚNY VE VÝUCE MATEMATIKY JAKO DŮSLEDEK POČÍTAČEM PODPOROVANÉ VÝUKY ZMĚNY VE VÝUCE MATEMATIKY JAKO DŮSLEDEK POČÍTAČEM PODPOROVANÉ VÝUKY Marie Polcerová Fakulta chemická, Vysoké učení technické v Brně Abstrakt: Zavedení nového samostatného povinného předmětu Počítačová

Více

IMPORT DAT Z TABULEK MICROSOFT EXCEL

IMPORT DAT Z TABULEK MICROSOFT EXCEL IMPORT DAT Z TABULEK MICROSOFT EXCEL V PRODUKTECH YAMACO SOFTWARE PÍRUKA A NÁVODY PRO ÚELY: - IMPORTU DAT DO PÍSLUŠNÉ EVIDENCE YAMACO SOFTWARE 2005 1. ÚVODEM Všechny produkty spolenosti YAMACO Software

Více

Prùbìh funkce. d) f(x) = x sin x [rostoucí v R] d) f(x) =ln 1+x [nemá lokální extrém] x = 1 inexní body

Prùbìh funkce. d) f(x) = x sin x [rostoucí v R] d) f(x) =ln 1+x [nemá lokální extrém] x = 1 inexní body Urèete, kde je unkce rostoucí a kde klesající: Prùbìh unkce a) () =ln 0; e klesající ; e ; + rostoucí b) () =+ [( ; 0) [ (0; ) klesající ; ( ; ) [ (; +) rostoucí] c) () =e jj [ ( ; 0) rostoucí ; (0; +)

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Tematický plán uiva z matematiky pro 6. roník na školní rok 2009-2010

Tematický plán uiva z matematiky pro 6. roník na školní rok 2009-2010 Tematický plán uiva z matematiky pro 6. roník na školní rok 2009-2010 Msíc: Záí Uivo: Shrnutí a opakování uiva z 5.roníku Pirozená ísla íselná osa, porovnávání, zaokrouhlování, operace s nimi, pevody,

Více

5. Kvadratická funkce

5. Kvadratická funkce @063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY

KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY platný od školního roku 2015/2016 Zpracoval: Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání Schválil: Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout.

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout. Etrém funkc 4. PRŮBĚH FUNKCE Průvodc studim V matmatic, al i v fzic a tchnických oborch s často vsktn požadavk na sstrojní grafu funkc K nakrslní grafu funkc lz dns většinou použít vhodný matmatický softwar.

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Prezentaní program PowerPoint

Prezentaní program PowerPoint Prezentaní program PowerPoint PowerPoint 1 SIPVZ-modul-P0 OBSAH OBSAH...2 ZÁKLADNÍ POJMY...3 K EMU JE PREZENTACE... 3 PRACOVNÍ PROSTEDÍ POWERPOINTU... 4 OPERACE S PREZENTACÍ...5 VYTVOENÍ NOVÉ PREZENTACE...

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

2.5.1 Kvadratická funkce

2.5.1 Kvadratická funkce .5.1 Kvadratická funkce Předpoklad: 1 Pedagogická poznámka: Velká většina studentů zvládne hodinu zcela samostatně. Snažím se nezapomenout je pochválit. Slovo kvadratická už známe, začínali jsme s kvadratickou

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

Podpora výroby energie v zaízeních na energetické využití odpad

Podpora výroby energie v zaízeních na energetické využití odpad Podpora výroby energie v zaízeních na energetické využití odpad Tomáš Ferdan, Martin Pavlas Vysoké uení technické v Brn, Fakulta strojního inženýrství, Ústav procesního a ekologického inženýrství, Technická

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 Urči definiční obor funkce 7 46 0 7 46 = 0 46 ± 5, = = 7; = 4 7 D ( f ) = ( ; 7 ; ) 7 f : y = 7 46 Funkce odmocnina je definována pro kladná reálná čísla a pro nulu Problematické

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

1 Zdroj napětí náhradní obvod

1 Zdroj napětí náhradní obvod 1 Zdroj napětí náhradní obvod Příklad 1. Zdroj napětí má na svorkách naprázdno napětí 6 V. Při zatížení odporem 30 Ω klesne napětí na 5,7 V. Co vše můžete o tomto zdroji říci za předpokladu, že je v celém

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

6.2.8 Vlnová funkce. ψ nemá (zatím?) žádný fyzikální smysl, fyzikální smysl má funkce. Předpoklady: 060207

6.2.8 Vlnová funkce. ψ nemá (zatím?) žádný fyzikální smysl, fyzikální smysl má funkce. Předpoklady: 060207 6..8 Vlnová funkce ředpoklady: 06007 edagogická poznámka: Tato hodina není příliš středoškolská. Zařadil jsem ji kvůli tomu, aby žáci měli alespoň přibližnou představu o tom, jak se v kvantové fyzice pracuje.

Více

PÍRUKA A NÁVODY PRO ÚELY: - RUTINNÍ PRÁCE S DATY

PÍRUKA A NÁVODY PRO ÚELY: - RUTINNÍ PRÁCE S DATY PÍRUKA A NÁVODY PRO ÚELY: - RUTINNÍ PRÁCE S DATY YAMACO SOFTWARE 2006 1. ÚVODEM Nové verze produkt spolenosti YAMACO Software pinášejí mimo jiné ujednocený pístup k použití urité množiny funkcí, která

Více

Pedpisy upravující oblast hospodaení

Pedpisy upravující oblast hospodaení Pedpisy upravující oblast hospodaení Pedmtem tohoto metodického je poskytnout tenái pehled základních právních a vnitních skautských pedpis upravujících oblast hospodaení, vetn úetnictví. Všechny pedpisy

Více

Statistický popis dat. Tvorba kontingenních tabulek. Grafická prezentace dat.

Statistický popis dat. Tvorba kontingenních tabulek. Grafická prezentace dat. Statistický popis dat. Tvorba kontingenních tabulek. Grafická prezentace dat. Po pihlášení se do sít (viz login name + password v okn Login) budete mít pistupný síový disk F:\, na kterém jsou uložena data

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 9. srpna 05 Materiál je v aktuální

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

dq T dq ds = definice entropie T Entropie Pi pohledu na Clausiv integrál pro vratné cykly :

dq T dq ds = definice entropie T Entropie Pi pohledu na Clausiv integrál pro vratné cykly : Entropie Pi pohledu na Clausiv integrál pro vratné cykly : si díve i pozdji jist uvdomíme, že nulová hodnota integrálu njaké veliiny pi kruhovém termodynamickém procesu je základním znakem toho, že se

Více

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. @213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech

Více

IV. CVIENÍ ZE STATISTIKY

IV. CVIENÍ ZE STATISTIKY IV. CVIENÍ ZE STATISTIKY Vážení studenti, úkolem dnešního cviení je nauit se analyzovat data kvantitativní povahy. K tomuto budeme opt používat program Excel 2007 MS Office. 1. Jak mžeme analyzovat kvantitativní

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7. Najděte rovnici tečny ke křivce y x v bodě a. x Tečna je přímka. Přímka se zapisuje jako lineární

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Ing. Jaroslav Halva. UDS Fakturace

Ing. Jaroslav Halva. UDS Fakturace UDS Fakturace Modul fakturace výrazn posiluje funknost informaního systému UDS a umožuje bilancování jednotlivých zakázek s ohledem na hodnotu skutených náklad. Navíc optimalizuje vlastní proces fakturace

Více

... 4 ... ... ÚVOD... ... ... ... ... ... ... ... 1. FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ... 7 ... ÍMKY... ... 20 3. LIMITA FUNKCE... ...

... 4 ... ... ÚVOD... ... ... ... ... ... ... ... 1. FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ... 7 ... ÍMKY... ... 20 3. LIMITA FUNKCE... ... Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy TŘETÍ ROZŠÍŘENÉ VYDÁNÍ Vladimír Mach České vzdělávací projekty www.vzdelavaci-projekty.cz Brno 4-5 Obsah ÚVOD............ 4 Poděkování... 5. FUNKCE

Více

MATEMATIKA ZIMNÍ SEMESTR 2008/2009 Autor: Mati neučitel.

MATEMATIKA ZIMNÍ SEMESTR 2008/2009 Autor: Mati neučitel. MATEMATIKA ZIMNÍ SEMESTR 008/009 Autor: Mati neučitel. Kdo se matiku pilně učil, a jen si není jistý zadanými příklady, tomu stačí ty kousky podbarvené oranžově. Kdo najde nějakou mou chybu, o které ještě

Více

Služba Zvýšená servisní podpora

Služba Zvýšená servisní podpora PÍLOHA 1d Služba Zvýšená servisní podpora SMLOUVY o pístupu k infrastruktue sít spolenosti Telefónica O2 Czech Republic využívající technologie Carrier IP Stream mezi spolenostmi Telefónica O2 Czech Republic,a.s.

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Datový typ POLE. Jednorozmrné pole - vektor

Datový typ POLE. Jednorozmrné pole - vektor Datový typ POLE Vodítkem pro tento kurz Delphi zabývající se pedevším konzolovými aplikacemi a základy programování pro mne byl semestr na vysoké škole. Studenti nyní pipravují semestrální práce pedevším

Více

WWW poštovní klient s úložištm v MySQL databázi

WWW poštovní klient s úložištm v MySQL databázi eské vysoké uení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Bakaláské práce WWW poštovní klient s úložištm v MySQL databázi Jií Švadlenka Vedoucí práce: Ing. Ivan Halaška Studijní program: Elektrotechnika

Více

MATEMATIKA MAHZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA MAHZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAHZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

EVROPSKÁ ÚMLUVA O DOBROVOLNÉM KODEXU O POSKYTOVÁNÍ PEDSMLUVNÍCH INFORMACÍCH SOUVISEJÍCÍCH S ÚVRY NA BYDLENÍ (dále jen ÚMLUVA )

EVROPSKÁ ÚMLUVA O DOBROVOLNÉM KODEXU O POSKYTOVÁNÍ PEDSMLUVNÍCH INFORMACÍCH SOUVISEJÍCÍCH S ÚVRY NA BYDLENÍ (dále jen ÚMLUVA ) PRACOVNÍ PEKLAD PRO POTEBY BA 01/08/2005 EVROPSKÁ ÚMLUVA O DOBROVOLNÉM KODEXU O POSKYTOVÁNÍ PEDSMLUVNÍCH INFORMACÍCH SOUVISEJÍCÍCH S ÚVRY NA BYDLENÍ (dále jen ÚMLUVA ) Tato Úmluva byla sjednána mezi Evropskými

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAIZD15C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Základní pojmy klasického sudoku hlavolamu. Techniky odkrývání bunk. Technika Naked Single. Technika Hidden Single

Základní pojmy klasického sudoku hlavolamu. Techniky odkrývání bunk. Technika Naked Single. Technika Hidden Single Základní pojmy klasického sudoku hlavolamu Sudoku hlavolam (puzzle) obsahuje celkem 81 bunk (cells), devt vodorovných ádk (rows), devt svislých sloupc (columns) a devt skupin po 3 3 bukách nazývaných bloky

Více

III. CVIENÍ ZE STATISTIKY

III. CVIENÍ ZE STATISTIKY III. CVIENÍ ZE STATISTIKY Vážení studenti, úkolem dnešního cviení je nauit se analyzovat data pomocí chí-kvadrát testu, korelaní a regresní analýzy. K tomuto budeme používat program Excel 2007 MS Office,

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ. ING. JIÍ KYTÝR, CSc. ING. PETR FRANTÍK, Ph.D. STATIKA I MODUL BD03-MO1 ROZŠÍENÝ PRVODCE

VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ. ING. JIÍ KYTÝR, CSc. ING. PETR FRANTÍK, Ph.D. STATIKA I MODUL BD03-MO1 ROZŠÍENÝ PRVODCE VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ ING. JIÍ KYTÝR, CSc. ING. PETR FRANTÍK, Ph.D. STATIKA I MODUL BD-MO ROZŠÍENÝ PRVODCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Statika

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

Úvodní studie (pokraov

Úvodní studie (pokraov Úvodní studie (pokraov ování) Model jednání a kontext Model jednání (use case model) slouží pro evidenci aktér a služeb systému. Kontextový diagram slouží pro evidenci aktér a datových tok. Oba modely

Více

Informace pro autory píspvk na konferenci ICTM 2007

Informace pro autory píspvk na konferenci ICTM 2007 Informace pro autory píspvk na konferenci ICTM 2007 Pokyny pro obsahové a grafické zpracování píspvk Strana 1 z 5 Obsah dokumentu: 1. ÚVODNÍ INFORMACE... 3 2. POKYNY PRO ZPRACOVÁNÍ REFERÁTU... 3 2.1. OBSAHOVÉ

Více

Jaromír Kuben. Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016

Jaromír Kuben. Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ Jaromír Kuben Petra Šarmanová Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

PRÁCE S GRAFICKÝMI VÝSTUPY SESTAV

PRÁCE S GRAFICKÝMI VÝSTUPY SESTAV PRÁCE S GRAFICKÝMI VÝSTUPY SESTAV V PRODUKTECH YAMACO SOFTWARE PÍRUKA A NÁVODY PRO ÚELY: - UŽIVATELSKÉ ÚPRAVY GRAFICKÝCH VÝSTUP YAMACO SOFTWARE 2006 1. ÚVODEM Vtšina produkt spolenosti YAMACO Software

Více

Jan Syrový TEL +420 737 641 206 SYROVY.JAN@GMAIL.COM

Jan Syrový TEL +420 737 641 206 SYROVY.JAN@GMAIL.COM P!íklad struktury/obsahu pracovního postupu: - Kde a p!ípad" kdy se daná #innost odehrává - Jaké pom$cky a podmínky jsou pro provád"ní #innosti pot!eba, kdo a jak je zaji%&uje - Kdo danou #innost provádí

Více

Ochrana osobních údaj ve spole nosti Phoenix Contact

Ochrana osobních údaj ve spole nosti Phoenix Contact Ochrana osobních údaj ve spolenosti Phoenix Contact Jsme velice rádi, že se zajímáte o naši spolenost, produkty a služby, a rádi bychom vás informovali o nkolika klíových bodech týkajících se našeho pístupu

Více