GYMNÁZIUM CHEB. SEMINÁRNÍ PRÁCE Grafy funkcí sbírka ešených úloh. Radek HÁJEK, 8.A Radka JIROUŠKOVÁ, 8.A Cheb, 2006 Petr NEJTEK, 8.

Transkript

1 GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Grafy funkcí sbírka ešených úloh Radek HÁJEK, 8.A Radka JIROUŠKOVÁ, 8.A Cheb, 006 Petr NEJTEK, 8.A

2 Prohlášení Prohlašujeme, že jsme seminární práci na téma: Grafy funkcí sbírka ešených úloh vypracovali zcela sami za použití pramen uvedených v piložené bibliografii na poítai v programech Microsoft Word XP, Texas Instruments Derive v6.10 a Malování. V Chebu dne 3. ledna 007 Podpis ešitele Podpis ešitele Podpis ešitele 1

3 Obsah Prohlášení... 1 Obsah Úvod... 4 Metodika Definice Definice funkce Vlastnosti funkce Obor hodnot funkce Prostá funkce Rostoucí funkce Klesající funkce Sudá funkce Lichá funkce Omezenost funkce Extrémy funkce Definice jednotlivých funkcí Funkce s absolutní hodnotou Složená funkce Iverzní funkce Kvadratická funkce Exponenciální funkce Logaritmická funkce Vybrané goniometrické funkce COS x TG x Funkce signum Binární relace Definice kartézského souinu Definice binární relace ešení píklad Funkce s absolutními hodnotami... 1

4 4. Kvadratické funkce Exponenciální funkce Logaritmické funkce Funkce pirozeného logaritmu Cos x Tg x Funkce signum Binární relace Závr Resumé Bibliografie

5 1. Úvod Opakování je matka moudrosti. A už vás tímto píslovím nkdo pouoval nebo se jím sami ídíte, zajisté se shodneme, že stejn jako ve vín i v této vt je skrytá pravda. S námi si te mžete pipomenout znalosti o funkcích. Náš tílenný tým budoucích maturant pro vás totiž sestavil sbírku ešených píklad zamenou na tuto ást matematického uiva. Naleznete zde nejen píklady spolu s jejich grafy a vlastnostmi, ale i praktické pouky a definice. 4

6 Metodika Jak již bylo zmínno v úvodu, zámrem této seminární práce je vytvoit sbírku ešených píklad, které budou k dispozici všem, kteí mají zájem zopakovat si a rozšíit své vdomosti o funkcích. Tento smlý nápad dostal pan Hazi již v loni, kdy každému ze tídy seminarist zadal funkci spolu s nevyešenými píklady. Vzniklo tak nkolik seminárních prací, kdy každá ešila problematiku jedné funkci. My jsme se letos jeho plán snažili dovést do cíle, kdy jsem vybrali nkteré z tchto prací a sjednotili je do jedné sbírky. Mimo tyto práce jsme využili ješt nkteré vrohodnjší prameny jako je uebnice matematiky zamená na funkce a goniometrii. Nápomocné nám byly také programy Derive, který nám umožnil jednodušeji vytvoit grafy a dále program Microsoft Word, ve kterém byla tato práce dovedena do konené podoby. 5

7 3 Definice 3.1 Definice funkce Funkce je zobrazení, podle kterého každému reálnému íslu x (nezávisle promnná) z daného intervalu piazujeme práv jedno reálné íslo y (závisle promnná). Tuto skutenost zapisujeme obecn y = f(x) Již z dívjška bychom ale mli znát pojem zobrazení, který nám íká: Zobrazení množina A do množiny B je pedpis, který každému prvku z a A jednoznan piadí njaký prvek b B. Podle definice funkce uvedené výše mžeme íci, že funkce je speciálním pípadem zobrazení. Jedná se o zobrazení z množiny R do R ( A R a B = R). Poznámka: Nezávisle promnná (x) je nkdy nazývána argument funkce a závisle promnná (y) se nkdy nazývá funkní hodnota x. 3. Vlastnosti funkce 3..1 Obor hodnot funkce Obor hodnot funkce f je množina všech y R, ke kterým existuje aspo jedno x z D f tak, že y = f(x). znaka: H(f) 3.. Prostá funkce Funkce f se nazývá prostá, práv když pro všechna x 1, x D f platí: Je-li x 1 x D f, pak f(x 1 ) f(x ) Rostoucí funkce Funkce f se nazývá rostoucí v intervalu J D f, práv když pro všechna x 1, x J platí: Je-li x 1 < x, pak f(x 1 ) < f(x ). 6

8 3..4 Klesající funkce Funkce f se nazývá klesající v intervalu J D f, práv když pro všechna x 1, x J platí: Je-li x 1 < x, pak f(x 1 ) > f(x ). Je-li funkce rostoucí na celém def. oboru, pak je prostá Je-li funkce klesající na celém def. oboru, pak je prostá 3..5 Sudá funkce Funkce f se nazývá sudá, práv když zárove platí: 1. pro každé x D f je také x D f. pro každé x D f je f(-x) = f(x) graf je soumrný podle osy y 3..6 Lichá funkce Funkce f se nazývá lichá, práv když zárove platí: 1. pro každé x D f je také x D f. pro každé x D f je f(-x) = -f(x) graf je soumrný podle poátku souadnic 3..7 Omezenost funkce 1. Funkce f je omezená zdola, práv když existuje íslo d takové, že pro všechna x D f je f(x) d.. Funkce f je omezená shora, práv když existuje íslo h takové, že pro všechna x D f je f(x) h. Funkce f je omezená, když je omezená zdola a zárove shora Extrémy funkce Funkce f má v bod a D f maximum, když pro všechna x D(f) je f(x) f(a). Funkce f má v bod b D f minimum, když pro všechna x D(f) je f(x) f(b). 3.3 Definice jednotlivých funkcí Funkce s absolutní hodnotou Definice absolutní hodnoty nám íká: Absolutní hodnota reálného ísla a je íslo a, pro které platí: 1) je-li a > 0 pak a = a ) je-li a < 0 pak a = -a 7

9 Pi ešení graf, pokud je funkce v absolutní hodnot si potebujeme zapamatovat jen dv dležité vci: 1) ásti grafu, které jsou pod osou x osov pevrátíme podle x. ) ásti grafu, které jsou nad osou x necháme být Složená funkce Funkce h je složená z funkcí g a f, práv když platí: D h = {x D f, f(x) D g } a pro každé x D h je h(x) = g(f (x) ) Znaka h = g f Inverzní funkce Inverzní funkce k prosté funkci f je funkce f -1, pro kterou platí: je piazeno práv to x D(f), pro které platí f(x) = y. 1) D(f -1 ) = H(f) ) y D(f -1 ) Poznámka: Je dobré vdt, že graf inverzní funkce je osov soumrný podle osy 1. a 3. kvadrantu Kvadratická funkce Kvadratická funkce je každá funkce na množin R ( tj. o defininím oboru R) daná ve tvaru : kde a R - { 0}, b,c R. y = ax + bx + c, Grafem kvadratické funkce je parabola s vrcholem V Exponenciální funkce Exponenciální funkce o základu a je funkce na množin R vyjádená ve tvaru y = a x kde a R + {1} Grafem exponenciální funkce je tzv. exponenciální kivka neboli exponenciála. Protože a 0 =1 pro všechna a 0, prochází graf každé exponenciální funkce bodem [0;1] 8

10 3.3.6 Logaritmická funkce Logaritmická funkce o základu a je funkce, která je inverzní k exponenciální funkci a je dána pedpisem kde a R + y = log a x Abychom pochopili tuto definici, musíme znát definici inverzní funkce a definici exponenciální funkce. (viz. výše) Eulerovo íslo iracionální íslo o pibližné hodnot,7188. Pokud je základ logaritmu (íslo a) roven e, jedná se o tzv. pirozený logaritmus. Pirozená logaritmická funkce je dána pedpisem y = ln x Vybrané goniometrické funkce COS x Funkcí kosinus se nazývá funkce na množin R, kterou je každému x R piazeno íslo Funkce kosinus je funkce periodická a má obecný pedpis f ( x) = a.cos( b. x + c) + d Velikost koeficientu a má vliv na obor hodnot funkce (amplitudu) tak, že H ( f ) = a; a Velikost koeficientu b má vliv na periodu tak, že π p = b 9

11 Velikost koeficient b, c a d uruje posunutí poátku souadnicového systému vi grafu obecnému, a to tak, že posunutý poátek O má souadnice c O = ; d b TG x Funkce tangens je dána vztahem pro každé x R Υ ( k + 1) π k Z tg x = sin x cos x Na jednotkové kružnici si ukážeme odvození funkce y = tg x Funkce signum Funkce signum je dána vztahem y = sgn x Funkce signum nepatí mezi elementární funkce. Je to ale jedna z nejjednodušších funkcí jak na vykreslení grafu, tak na urení D f a H f. ídí se totiž temi stále stejnými pravidly. Pro x > 0 y = sgn x = 1 Pro x = 0 y = sgn x = 0 Pro x < 0 y = sgn x = -1 10

12 3.4 Binární relace Ze všeho nejdíve je nutno si stanovit, co binární relace (asto pouze relace) vbec je. Na to je ale poteba vdt, co je kartézský souin Definice kartézského souinu Kartézský souin množin A, B (psáno A B ) je množina všech uspoádaných dvojic [ a; b ], kde a A b B Definice binární relace Dáno: množiny A, B Binární relací R mezi množinami A, B se rozumí libovolná podmnožina kartézského souinu množin A, B (viz 3.1.) Pokud x A y B tvaru xry. R A B, potom uspoádaná dvojice [ x; y] Rozlišujeme relaci v množin A - defininí obor je podmnožinou A relaci na množin A - defininí obor je celá množina A R, což je možno též zapsat ve 11

13 4 ešení píklad 4.1 Funkce s absolutními hodnotami Píklad. 1 y = x 3 Pro každé x ( ; 0 jex = -x; pro každé x ( 0; ) je x = x. D f = R H f = 3; ) Není prostá Roste pro x ( 0; ) Klesá pro x ( ; 0 ) Je sudá - napíklad pro x = je i (-x) v D f a zárove pokud je x =, tak f (-) = f () Omezená zdola Existuje d = 3, že pro všechna x D f je f(x) d. Ostré globální minimum v bod x = 0 f (0) = -3 P x P x P y 3 ;0 3 ; 0 0; 3 [ ] 1

14 Píklad. y = x 3 Pro x ( ; 3 x-3 = -x+3 Pro ( 3; ) x x-3 = x-3. D f = R H f ( 0 ) = ; není prostá není sudá ani lichá Ostré globální minimum v bod x = 3 f (3) = 0 klesá pro x ( ;3) roste pro x ( 3; ) Omezená zdola Existuje d = 0, že pro všechna x D f je f(x) d. Px [ 3,0] Py [ 6,0] 13

15 Píklad. 3 y = x 3 Pro x (-;3/ x-3 = -x+3 Pro x (3/;) x-3 = x-3. Df = R Hf = <0;) není prostá není sudá ani lichá klesá pro x (, 3 ) roste pro x ( 3, ) omezená zdola existuje d = 3, že pro všechna x Df je f(x) d 3 3 ostré globální minimum v bod x = f( ) = 0 Px[3/;0] Py[0;3] 14

16 Píklad. 4 Úprava výrazu y = 5 30x + 9x y = x + ( 3 5) + 3 y = 3x pro x ; 3x-5 = -3x pro x ; 3x-5 = 3x D f = R H f = 3; ) není prostá klesá pro x ( ;5/ 3) roste pro x ( 5/ 3; ) omezená zdola Existuje d = 3 5, že pro všechna x Df je f(x) d 5 5 ostré globální minimum v bod x = f( ) = Px = Ø Py [ 0;13 ] 15

17 Píklad. 5 y = x x pro x ( ; 0 x = -x pro každé ( 0; ) x x = x. graf. 5 D f = R H f = 0; ) není prostá klesá pro x ( ;0) není omezená nemá extrémy není sudá ani lichá P x 0; P y [ 0;0] ) 16

18 Píklad. 6 y = x + x + 1 x x+1 ( ; y = -x-x-1y= -x-1 ( 1; y = -x+x+1y= 1 ( 0 ; ) + + y = x+x+1y= x+1 pro x ( ; 1 x = -x, x+1 = -x-1 pro x ( 1; 0 x = -x, x+1 = x+1 pro ( 0; ) x x = x, x+1 = x+1. D f = R H f = 1; není prostá klesá pro x ( ; 1) roste pro x ( 0; ) ) omezená zdola - existuje d =1, že pro všechna x D f je f(x) d nemá extrémy není sudá ani lichá Px = Ø P y [ 0;1 ] 17

19 Píklad. 7 y = x 3 5 x x x 3;5 ) y = x-3 - -(x-5) +3 -(x-1) y = x-3 + x-5-3 x-1 x-3 5-x 1-x ( ; y = -x+1 5 y = 4x-5 1 ; y = 5 ; ; y = x-1 ( ) pro x ( ; 1 x-3 = -x+3, 5-x = 5-x, 1-x = 1-x 5 pro x 1; x-3 = -x+3, 5-x = 5-x, 1-x = 1-x 5 pro x ; 3x-3 = -x+3, 5-x = x-5, 1-x = x-1 x 3; x-3 = x-3, 5-x = x-5, 1-x = x-1 pro ( ) D f H f = 3;5 = 1; ) ) 18

20 není prostá klesá pro x ( 3;1 ) roste pro x ( 1;5/ ) x ( 3;5) omezená shora i zdola ostré globální minimum v bod x = 1 f(1) = -1 ostré lokální maximum v bodech x = 5 f(5) = 9, x = -3 19

21 4. Kvadratické funkce Píklad. 1 f : y = x D f R H f R + Není prostá Klesá pro x (,0 Roste pro x 0, + ) Omezená zdola Globální ostré minimum v bod x = 0 Je sudá V [ 0,0] P x [0,0] P y [0,0] 0 = x y = 0 0

22 Píklad. 1 g : y = x Hodnota koeficientu a = 1 zmnila pouze tvar paraboly D f R H f R + Není prostá Klesá pro x (,0 Roste pro x 0, + ) Omezená zdola Globální ostré minimum v bod x = 0 Je sudá V [ 0,0] P x [ 0,0] P y [,0] 1 0 = x x = y = 0 y = 0 1

23 Píklad. 3 1 h : y = x Hodnota koeficientu c = znamená posun celého grafu po ose y o dv jednotky níže. V [ 0, ] D h R H h, + ) Je sudá Není prostá Klesá pro x (, - Roste pro x, + ) Omezená zdola Globální ostré minimum v bod x = 0 1 P x1[,0] 0 P x[,0] = x P y[,0] 1 x 1 y = 0 = y = x = ± x = ± 4

24 Píklad. 4 1 l : y = x + ( 3) len + 3 znamená posun po ose x do = 3 x V [ 3,0] D l R H l R + Není prostá Klesá pro x (, 3 Roste pro x 3, + ) Omezená zdola Globální ostré minimum v bod x = -3 Ani sudá ani lichá P x [ 3,0] 0 ( + 3) 1 = x P y 0 = ( x + 3) x = 3 9, 1 0 y = ( 0 + 3) 9 y = 3

25 Píklad. 5 f : y = x Hodnota koeficientu a = -1 ped kvadratickým lenem zpsobí zmnu funkních hodnot, které budou záporné, proto je parabola pod osou x V [ 0,0] D f R H f R 0 Není prostá Roste pro x (,0 Klesá pro x 0, + ) Omezená shora Globální ostré maximum v bod x = 0 Je sudá Px [ 0,0] = Py [ 0,0] 0 x y = 0 x = 0 y = 0 4

26 Píklad. 6 1 g : y = x + Hodnota koeficientu a = 1 ped kvadratickým lenem zpsobí zmnu funkních hodnot, které budou záporné, proto je parabola pod osou x. len c = znamená posun po ose y V [ 0,] D g R H g, ) Není prostá Roste pro x (,0 Klesá pro x 0, + ) Omezená shora Globální ostré maximum v bod x = Je sudá P x1 [,0] P x [,0] = x Py [,] 1 = x x = ± 1 0 y = 0 + y = 5

27 Píklad. 7 1 h : y = x ( 3) Koeficient 1 ped kvadratickým lenem zpsobí zmnu funkních hodnot, které budou záporné, proto je parabola pod osou x. len 3 zpsobí posun po ose x do [ 3,0] x = 3 V. D h R H h R - Není prostá Roste pro x (, 0 Klesá pro x 0,+ ) Omezená shora Globální ostré maximum v bod x = 3 Ani sudá ani lichá P x [ 3,0] 0 ( 3) 1 y = 1 = x P y ( 0 3) 0 = ( x 3) x = 3 9 0, 9 y = 6

28 Píklad. 8 1 l : y = x + 3x + 5 Rovnici doplnním na tverec upravíme na tvar y = a ( x b) + c 1 y = x + 3 x y = x y = 1 [ x ( x ) ( ) ] y = 1 x + V [ 3, ] D l R ( 3) H l, + ) Není prostá Roste pro x 3, + ) Klesá pro x (, 3 Omezená zdola 7

29 Globální ostré minimum v bod x = 3 Ani sudá ani lichá P x1 [ 5,0] P x [ 1,0] x 1, x 1, x = = x + 3x + P y D = b 4ac b ± D = a 3 ± = 1 1 D = 3 4 x 1 = 5 x = 1 5 D = 4 D = ± 5 0, y = y = 5 8

30 4.3 Exponenciální funkce Píklad. 1 y = x D(f)=R H(f)=(0,+ ) Není sudá; není lichá Omezená zdola Rostoucí na celém defininím oboru Prostá Prseíky s osou x: Graf se s osou x neprotíná Prseíky s osou y: U tohoto grafu funkce nedochází k žádným posunm po osách, tudíž ze základní definice exponenciální funkce mžeme urit, že graf funkce má prseík s osou y v bod [0;1]. 9

31 Píklad. y = 3 x + V exponentu se nachází len x+3 a ne samotné x, to má za následek posunutí grafu ve smru osy x o -3. D(f)=R H(f)=(0,+ ) Není sudá ani lichá Omezená zdola Rostoucí Prostá Prseíky s osou x: Prseíky s osou y: Graf osu x neprotíná Jestliže máme hledat prseík s osou y, potom souadnice x prseíku musí být 0. Nyní jednoduše vypoítáme rovnici: y= 0+3 y=8 Prseíkem s osou y je bod [ 0;8 ] 30

32 Píklad. 3 x y = V toto pípad k základní elementární funkci pibyl len +. Z toho vyplývá, že dojde k posunutí grafu ve smru osy y o +. D(f)=R H(f)=(-;+ ) Není sudá, ani lichá Omezená zdola Rostoucí na celém defininím oboru Prostá Prseíky s osou x: Do rovnice y = x - dosadíme za promnnou y íslo 0 a rovnici vyešíme. Prseíkem je bod [ 1;0 ] Prseíky s osou y: Do rovnice y = x - dosadíme za exponent x íslo 0 a rovnici vyešíme. Prseíkem je bod [ 0; 1] 31

33 Píklad. 4 y = x D(f)=R H(f)=(- ; 0), kvli tomu, že je ped základem znaménko mínus, budou všechny funkní hodnoty budou záporné a graf funkce bude symetrický s grafem funkce y = x podle osy x. Není sudá ani lichá Omezená shora Klesající na celém defininím oboru Prostá Prseíky s osou x: Graf osu x neprotíná Prseíky s osou y: U tohoto grafu funkce nedochází k žádným posunm po osách, stejn jako u grafu funkce y = x, protože tyto dva grafy jsou symetrické podle osy x, mžeme snadno urit, že graf funkce y = - x má prseík s osou y v bod [0;-1]. 3

34 Píklad. 5 y = V tomto pípad budeme vycházet ze vztahu x a =, tedy pro naší funkci a 1 1 x 1 y =. Podle definice exponenciální funkce platí, že pokud je základ mocniny vtší než jedna, funkce je rostoucí. Pokud je ale základ mocniny z intervalu (0;1), výsledná funkce x bude klesající a osov soumrná podle osy y s funkcí y =. D(f)=R H(f)=(0,+ ) Není sudá ani lichá Omezení zdola Klesající na celém defininím oboru Prostá Prseíky s osou x: Graf osu x neprotíná x Prseíky s osou y: Graf protíná osu y ve stejném bud jako graf funkce y =. Prseíkem s osou y je tedy bod [ 0;1 ] 33

35 4.4 Logaritmické funkce Píklad. 1 y = log 1 x Pokud je a < 1 (a (0,1)) pak je funkce y = log a x klesající. 34

36 Pokud je a > 1 (a (1,)) pak je funkce y = log a x rostoucí. Jako píklad si uvedeme funkci y = log x Jak vidíme, graf vždy prochází bodem [ 1,0 ]. To platí u základních, neposunutých funkcí. Je dležité si to zapamatovat pro rýsování složitjších graf. Obecn ješt o všech logaritmických funkcích mžeme íci, že nejsou ani sudé, ani liché. Další vlastností všech logaritmických funkcích je, že nemají žádné extrémy (Globální, i lokální maxima a minima) a tudíž nejsou nijak omezeny (shora i zdola). O všech logaritmických funkcích mžeme dále íci, že jsou prosté (viz definice prosté funkce na stran 5) 35

37 Píklad. y = - log x Jak vidíme, tento obrázek je nápadn podobný grafu íslo 1 (y = log 1 x). Jsou naprosto totožné. Je to zpsobeno zmnou argumentu v zápisu funkce. Ta nám zpsobí, že každá funkní hodnota bude opaná proti bžné funkci. Z toho nám vyplývá, že graf této funkce (y = - log x) bude osov soumrný podle osy x oproti (y = log x). 36

38 Píklad. 3 y = log (-x) Jak vidíme, tento graf je ve druhém a tetím kvadrantu. To není pro logaritmické funkce zcela bžné. Je to zpsobeno zmnou argumentu ped x. Znamená to, že funkní hodnoty grafu se budou zobrazovat z opaných hodnot vzoru x. V praxi to znamená, že graf je osov soumrný vi pvodnímu grafu podle osy y. Mžeme to vidt na píkladu prniku grafu s osou x, který je u neposunutých logaritmických funkcí vždy [ 1,0 ]. V našem pípad má hodnotu [ 1,0]. Pvodní kladná souadnice x se podle zápisu funkce zmnila na hodnotu opanou. D f (- ;0) H f = R Funkce je klesající na celém def. oboru 37

39 Píklad. 4 y = log x Jak vidíme u této funkce, graf má vtší rozsah. Je to zpsobeno dvojkou ped logaritmem v zápisu dané funkce. Znamená to, že každá funkní hodnota bude dvakrát vtší. Tam kde díve byl funkní hodnota 3, tam u tohoto grafu bude funkní hodnota 6. Poznámka: Graf opt prochází bodem [ 1,0 ]. Z toho nám vyplývá, že násobení základní funkce jakýmkoliv reálným íslem nemá vliv na prchod grafu tímto bodem. Graf této funkce je rostoucí na celém defininím oboru. Další vlastnosti: D f (- ;0) H f = R Výpotem si ovíme, že souadnice prseíku grafu s osou x jsou [ 1,0 ]. Z definice logaritmu víme: r = log a s a r = s 0 = log x 0 = x x = 1 P 1[ 1,0] 38

40 Píklad. 5 y = log (x+3) Jak vidíme, graf se nám posunul. Konkrétn se posunul po ose x o 3 jednotky vlevo. Posunutí grafu mžeme velmi snadno vyíst již ze zápisu funkce (y = log (x+3)). Pokud by byl zápis funkce y = log (x-3), posunul by se graf po ose x o 3 jednotky vpravo. D f (-3; ) H f = R Prseíky s x: 0 = log (x+3) 0 = x+3 1 = x+3 x = - P 1[ ;0] Prseíky s y: y = log 3 P [ 0;log 3 ] Funkce je rostoucí na celém def. oboru (y = 1.58)...pibližná hodnota 39

41 Píklad. 6 y = log (x)- Podle pedpisu funkce narýsujeme nejdíve graf fce y = log (x) (modrý), který následn posuneme o jednotky dol po ose y. Výsledný graf je vyznaen erven. Pvodní bod [ 1,0 ] se zmní na [ 1, ]. Poznámka: Pro názornost jsem do grafu vložil posunutou osu x. D f (0; ) H f = R Funkce je rostoucí na celém def. oboru Pro ovení si mžeme opt spoítat prseík s osou x dosazením za y = 0. 0 = log x- = log x = x 4 = x P 1[ 0;4 ] 40

42 Píklad. 7 y = log (x+3)- Jak vidíme, tento graf se posunul jak po ose x, tak po ose y. Konkrétn to je o 3 jednotky smrem vlevo po ose x a o jednotky smrem dol po ose y. Pro zjednodušení si nejdíve mžeme narýsovat graf funkce y = log (x+3), který následn posuneme o jednotky dol po ose y. D f (-3; ) H f = R Funkce je rostoucí na celém def. oboru Prseíky s osou x: Prseík s osou y: 0 = log (x+3)- 4 = x+3 x = 1 P 1[ 1;0 ] y = log (3)- y = -0.4 P [ 0;log (3) ] 41

43 Píklad. 8 y = log (x+3)- Na první pohled se tento graf mže zdát složitý, ale opak je pravdou. Nejprve si narýsujeme graf funkce y = log (x+3)- (zelený) Nyní využijeme znalosti absolutní hodnoty (viz. definice) Potebné ásti grafu funkce y = log (x+3)- osov zobrazíme podle osy x. Výsledný graf je vyznaen modrou barvou. D f (-3; ) H f = R + Roste pro x (-3;1) Klesá pro x (1; ) Globální ostré minimum v bod [ 1;0 ], který je zárove bodem dotyku s osou x Omezená zdola osou x 4

44 Píklad. 9 y = log (x+3) - Narýsování grafu této funkce je tém shodné s pedchozím píkladem. Jediný rozdíl je v mínus dvojce, která není v absolutní hodnot. Proto si nejdíve narýsujeme graf funkce y = log (x+3) - nyní vyznaený zelenou barvou. Následn ásti grafu pod osou x osov zobrazíme podle osy x (vyznaen ervenou barvou) a nakonec celý graf posuneme o jednotky dol po ose y. (vyznaen modrou barvou). D f (-3; ) H f (-; ) Roste pro x (-;) Klesá pro x (-3;-) Globální ostré minimum v bod x = -. 43

45 Píklad. 10 y = sgn ( log 1 x) Nejdíve si narýsujeme graf funkce y = log 1 x (zelený), aby bylo vidt, kdy: y > 0 y < 0 y = 0 Následn podle definice funkce signum narýsujeme graf funkce y = sgn ( log 1 x) (vyznaený ernou barvou) x (0,1); log 1 f(x) < 0 sgn f(x) = -1 log f(x) = 0 sgn f(x) = 0 x = 1; 1 x > 1; 1 log f(x) > 0 sgn f(x) > 1 44

46 4.5 Funkce pirozeného logaritmu Píklad. 1 f: y = ln x Výsledkem funkce pirozeného logaritmu je graf, který prochází bodem [1;0]. D f = + R H f = R Ani sudá ani lichá Je prostá Roste na celém def. oboru P(x) = [1;0] P(y) = 45

47 Píklad. f: y = ln x Pokud je hodnota x v absolutní hodnot, znamená to, že mžeme dosadit i záporná ísla a neporušíme tím podmínky funkce. Mžeme tedy funkci rozdlit na dv funkce s rzným defininím oborem: f ' : y = ln x x (0; ) f '': y = ln x x (- ; 0) Graf výsledné funkce má potom dv vtve: D f = R - {0} H f = R P(x) = [1;0] ; [-1;0] P(y) = Je sudá Není prostá Klesá pro x (- ; 0) Roste pro x (0 ; ) 46

48 Píklad. 3 f: y = ln x Pokud je v absolutní hodnot celý pedpis strana rovnice, chová se graf tak, že ta ást, která je pod osou x, je osov zobrazena podle osy x osov zobrazena. To vychází z definice absolutní hodnoty. Nezáporné hodnoty zstávají v absolutní hodnot nemnné a ze záporných hodnot se v absolutní hodnot stávají hodnoty opané. D f = + R + H f = R P(x) = [1;0] P(y) = Ani sudá ani lichá Není prostá Klesá pro x ( 0 ; 1 Roste pro x 1 ; ) Globální ostré minimum v bod [1;0] 47

49 Píklad. 4 f: y = ln (x+3)- V této funkci dochází k posunutí o -3 na ose x a k posunutí o na ose y. D = ( 3 ; ) f H f = R P(x) - 0 = ln (x + 3) x = λ 3 ; y = 0 P(y) - y = (ln 3) ; x = 0 Ani sudá ani lichá Je prostá Rostoucí na celém def. oboru 48

50 Píklad. 5 f: y = ln (x+3)- Tato funkce má tém stejný pedpis jako funkce pedchozí, ale obsahuje absolutní hodnotu. Ta zpsobí pevrácení ásti grafu, která je pod osou x, osovou soumrností podle osy x. D f = ( 3 ; ) H f = 0 ; ) P(x) - 0 = ln (x+3)- x = λ 3 ; y = 0 P(y) - y = (ln 3)- ; x = 0 Ani sudá ani lichá Není prostá Klesá pro x ( 3; λ 3 Roste pro x x λ 3; ) Globální ostré minimum v bod [ λ ] 3;0 49

51 4.6 Cos x Píklad. 1 f ( x) : y = cos x Jedná se o základní goniometrickou funkci. Všechny koeficienty mají hodnotu 1. Nedochází k posunutí grafu. D(f): R H(f): 1; 1 + k ; + k ; k Z Rostoucí: v každém intervalu od: ( π π π π ) 0 + k ; + k ; k Z Klesající: v každém intervalu od : ( π π π ) Omezení shora i zdola Maximum: globální neostré pro Minimum: globální neostré pro x = π + kπ ; f ( π ) = 1; k Z x = π + kπ ; f ( π ) = 1; k Z Sudá (soumrná podle osy y),platí cos( x) = cos( x) ; není lichá Periodická s periodou π π Prseíky s osou x: f ( x) = 0 0 = cos graf protíná osu x v nekonen mnoha π bodech o souadnicích + kπ ;0 ; k Z Prseíky s osou y: x = 0 y = cos 0 y = 1 graf protíná osu y v bod [ 0;1 ] 50

52 Píklad. f ( x) : y = cos x Základem grafu této funkce je graf v píkladu pedcházejícím, avšak cos x se nachází v absolutní hodnot. Obor hodnot tedy nikdy nebude dosahovat záporných hodnot. Absolutní hodnota má totiž za následek to, že ásti grafu, které byly pod osou x se podle této osy osov pevrátily. Tato zmna má mimo jiné za následek i zmnu periody. D(f): R H(f): 0;1 π rostoucí: v každém intervalu od + kπ, π + kπ; k Z π klesající: v každém intervalu od 0, + kπ; k Z Omezená shora i zdola Maximum: neostré globální pro x = π + kπ f ( π ) = π + kπ; k Z Minimum: neostré globální pro x = π + kπ ; k Z Sudá; platí cos( x) = cos( x) Periodická s periodou k π π Prseíky s osou x: f ( x) = 0 0 = cos graf protíná osu x v nekonen mnoha π bodech o souadnicích + kπ ;0 ; k Z Prseíky s osou y: x = 0 y = cos 0 y = 1 graf protíná osu y v bod [ 0;1 ] 51

53 Píklad. 3 f ( x) : y = 3 cos V tomto píkladu dochází ke zmn oboru hodnot funkce. To je zapíinno tím, že hodnota koeficientu a je rzná od 1. x D(f): R H(f): 3, 3 + k, + k ; k Z Rostoucí: v každém intervalu : ( π π π π ) 0, + k ; k Z Klesající: v každém intervalu: ( π π ) Shora i zdola omezená Maximum: lokální pro Minimum: lokální pro x = π + kπ f ( π ) = 1 x = π + kπ f ( π ) = 1 Sudá, platí cos( x) = cos( x) Periodická s periodou Prseíky s osou x: Prseíky s osou y: πk 3 f ( x) = 0 0 = cosπ graf protíná osu x v nekonen mnoha π bodech o souadnicích + kπ ;0 ; k Z 3 x 0 y cos 0 y 1 = = = graf protíná osu y v bod [ 0 ;1] 5

54 Píklad. 4 3 f ( x) : y = cos x Tento píklad je vhodné srovnat s píkladem pedcházejícím. Opt se zde objevuje íslo 3, avšak te to není hodnota koeficientu a, nýbrž hodnota koeficientu b. Nedojde tedy ke zmn oboru hodnot, ale ke zmn periody. D(f): R H(f): 1; 1 Rostoucí: v každém intervalu od Klesající: v každém intervalu od Omezená shora i zdola Maximum: neostré globální pro Minimum: neostré globální pro π + kπ; π + kπ; k Z , ; 3 π 3 kπ + k Z 3 4 x = π + kπ; k Z x = π + kπ; k Z

55 Sudá(soumrná podle osy y), platí cos( x) = cos( x) Periodická s periodou 4 π Prseíky s osou x: 0 = cos( x) 0 = cos( π ) ; v bod 3 Prseíky s osou y: = cos( 0) y v bod [ 0 ;1] 4 π + π ;

56 Píklad π f ( x) : y = cos x + Tento píklad je komplexní. Všechny koeficienty nabývají nenulových hodnot. Ješt k tomu se nachází celý pedpis funkce v absolutní hodnot, což bude mít za následek osové pevrácení grafu pod osou x a = H ( f ) = ; 3 π 4π b = p = = 3 3 π c = 3 d = 4 π 3 O ; 4 D(f): R 55

57 H(f): 9 0, 4 Rostoucí: v každém intervalu od 5 π k ; π k π + π + π + kπ; kπ; k Z Klesající: v každém intervalu od k, π k π k, π π + π + π + π + kπ; k Z Omezená shora i zdola 4 Maximum: neostré globální pro x = π + kπ; k Z 3 7π 4 4 Minimum: neostré globální pro x 1 = + kπ a x = π + kπ ; k Z Ani sudá ani lichá Periodická s periodou Prseíky s osou x. Prseíky s osou y. 4 π π 3 0 = x + graf protíná osu x v nekonen mnoha 4 7π 4 bodech ;0 9 3 k + π a π 4 ;0 ; 9 3 k + π pro k Z 3 3 π 3 3 y = 0 + graf protíná osu y v bod 0;

58 4.7 Tg x Píklad. 1 y = tg x D H = R k Z = ; + ( k + 1) π Υ f f ( ) Funkce je lichá. Funkcí je periodická: Funkce f se nazývá periodická fce., práv když existuje takové reálné íslo p 0, že pro každé x D f je též x ± p D f a platí f ( x p) = f ( x) ±. íslo p se nazývá perioda fce. f, a tedy p = π. Není omezená a nemá žádné extrémy. Funkce y = tg x je rostoucí pro Prnik s osou x: y = 0 pro x = { } π π x + kπ, + kπ kπ k Z k Z 57

59 Píklad. y = tg (x 1) D H π = R Υ + k Z = ; + f 1 f ( ) + kπ Není sudá ani lichá. Jedná se o periodickou funkci, kde nejmenší perioda je p = π. Funkce není omezená. Nemá extrémy. π π Funkce y = tg (x 1) je rostoucí pro x + 1+ kπ, + 1+ kπ k Z. Prnik s osou x: y = 0 pro x { 1+ kπ} 0 = tg x 1 x 1 = 0 x = P 1;0, proto se je posunutý po ose x. x [ ] = nebo ( ) 1 58

60 Píklad. 3 y = - tg x D H f f π = R Υ + kπ k Z = ; + ( ) Je lichá. Jedná se o periodickou funkci, kde p = π je nejmenší periodou. Funkce není omezená. Nemá extrémy. π π Funkce y = - tg x je klesající pro x + kπ, + kπ k Z. x kπ k Z Prnik s osou x: y = 0 pro { } 59

61 Píklad. 4 y = tg x 1 D H f f π = R Υ + kπ k Z = ; + ( ) Není sudá ani lichá. Jedná se o periodickou funkci, kde p = π je nejmenší perioda. Funkce není omezená. Nemá extrémy. π π Funkce y = tg x 1 je rostoucí pro x + kπ, + kπ k Z. π Prnik s osou x: y = 0 pro x + kπ nebo 0 = tg x 1 tg x = 1 4 sin x π = 1 sin x = cos x x =. cos x 4 60

62 Píklad. 5 y = tg x

63 D H = R k Z = 0;+ ) ( k + 1) π Υ f f Funkce je sudá. Jedná se o periodickou funkci, kde Funkce je omezená zdola a má minimum pro p = π je nejmenší perioda. π π π π Funkce je rostoucí pro x + k ; + k k Z 4 π 3π π Klesající pro x k ; + k k Z 4 π π Prnik s osou x: y = 0 pro x = + k k Z 4 π π x + k k Z 4 6

64 Píklad. 6 y = tgx D H = R k Z = ; + ( k + 1) π Υ f f ( ) Funkce je sudá. Funkce není periodická, nebo neexistuje takové íslo p 0, že pro každé x D( f ) je též x ± p D( f ) a platí f ( x ± p) = f ( x). Funkce je omezená zdola. Má lokální minimum pro x = 0 π π π Funkce je rostoucí pro x kπ + π + π + π, 3 k k, k k Z 3π π π Funkce je klesající pro x + kπ, + kπ + kπ, kπ k Z x = kπ k Z Prnik s osou x: y = 0 pro { } 63

65 Píklad. 7 y = sgn (tg x) D f = R H f = { 1;0;1 } Funkce je lichá. Jedná se o periodickou funkci, kde p = π je nejmenší perioda. Je to zpsobeno tím, že prbh funkce je ovlivnn funkcí y = tg x. Funkce neroste ani neklesá. Funkce je omezená shora i zdola. Má extrémy: 1. min sgn x = 1. max sgn x = 1 x = kπ k Z Prnik s osou x: y = 0 pro tg x = 0 { } y = tg x cotg x 1 tg x tg x cotg x = tg x = tg x tg x tg x 0 x kπ k Z π 1. x + kπ ; kπ tg x π 0 y = 1 π. x kπ ; + kπ tg x φ 0 y = 1 64

66 D = R Υ f H f = { 1;1 } π π + k k Z Funkce je lichá. Funkce je periodická, kde p = π je nejmenší perioda, což je zapíinno tím, že prbh funkce je ovlivnn funkcí y = tg x. Funkce je omezená zdola i shora. Má extrémy: 1. min tg x cotg x = -1. max tg x cotg x = 1 π π Funkce je nerostoucí i neklesající pro x kπ + k + kπ kπ k Z, π,. Prnik s osou x na základ H ( f ) neexistuje. 65

67 Píklad. 8 y = 1 tg x tg x 1-tg x tg x 1 tg x = tg x tg x tg x 0 x kπ k Z = cotg x-1 x π + kπ k Z π D( f ) = R Υ kπ, + kπ k Z H ( f ) = 0;+ ) Funkce není sudá ani lichá. Funkce má nejmenší periodu p = π, stejn jako funkce y = cotg x. Funkce je omezená zdola a má minimum rovno 0 pro π x = + kπ 4 π π Funkce je rostoucí pro x + kπ ; π + k 4 π Klesající pro x kπ ; + kπ. 4 Prnik s osou x: y = 0 = cotg x 1 cotg x = 1 x = + kπ 4 66

68 Píklad. 9 y = tg x ( tg x) tg x tg x = = D H f f π = R Υ + kπ k Z = 0;+ ) Funkce je sudá. Jedná se o periodickou funkci, kde p = π. Funkce je omezená zdola a má minimum pro x = { kπ} π Funkce je rostoucí pro x kπ ; + kπ k Z klesající pro π x + kπ ; π + kπ k Z. Prnik s osou x: y = = tg x tg x = 0 x = { kπ } 0 k Z 67

69 4.8 Funkce signum Píklad. 1 f 1 : y = sgn x pokud x > 0 y = sgn x = 1 pokud x = 0 y = sgn x = 0 pokud x < 0 y = sgn x = -1 D f = R H f = {-1, 0, 1} Funkce není prostá napíklad pro x 1 = 1 a pro x = neplatí, že f(x 1 ) f(x ). Funkce neroste ani neklesá. 68

70 Funkce je lichá napíklad pro x = 1 je i (-x) v D f a zárove pokud je x = 1, tak f (-1) = - f (1). Pro x (, 0) má funkce sgnx maximum i minimum v každém bod tohoto intervalu a to v bod x = 1. Pro x (0, ) má funkce sgnx maximum i minimum v každém bod tohoto intervalu a to v bod x = 1. 69

71 Píklad. f : y = sgn(-x) pokud -x > 0 / (-1) x < 0 y = sgn(-x) = 1 pokud -x = 0 / (-1) x = 0 y = sgn(-x) = 0 pokud -x < 0 / (-1) x > 0 y = sgn(-x) =-1 D f = R H f = {-1, 0, 1} Funkce není prostá napíklad pro x 1 = 1 a pro x = neplatí, že f(x 1 ) f(x ). Funkce neroste ani neklesá. Funkce je lichá napíklad pro x = 1 je i (-x) v D f a zárove pokud je x = 1, tak f (-1) = - f (1). Pro x (, 0) má funkce sgnx maximum i minimum v každém bod tohoto intervalu a to v bod x = 1. Pro x (0, ) má funkce sgnx maximum i minimum v každém bod tohoto intervalu a to v bod x = 1. 70

72 Píklad. 3 f 3 : y = sgn(x + 3) pokud x + 3 > 0 /-3 x > -3 y = sgn(x + 3) = 1 pokud x + 3 = 0 /-3 x = -3 y = sgn(x + 3) = 0 pokud x + 3 < 0 /-3 x < -3 y = sgn(x + 3) =-1 D f = R H f = {-1, 0, 1} Funkce není prostá - napíklad pro x 1 = 1 a pro x = neplatí, že f(x 1 ) f(x ). Funkce neroste ani neklesá. Funkce není sudá ani lichá neplatí, že pro každé x D f je f(-x) = f(x) ani, že pro každé x D f je f(-x) = -f(x). Pro x (, 3) má funkce sgnx maximum i minimum v každém bod tohoto intervalu a to v bod x = 1. Pro x ( 3, ) má funkce sgnx maximum i minimum v každém bod tohoto intervalu a to v bod x = 1. 71

73 Píklad. 4 f 4 : y = sgn x pokud x > 0 sgn x = 1 y = sgn x = 1 =-1 pokud x = 0 sgn x = 0 y = sgn x = 0 =- pokud x < 0 sgn x =-1 y = sgn x =-1 =-3 D f = R H f = {-1,, -3} Funkce není prostá - napíklad pro x 1 = 1 a pro x = neplatí, že f(x 1 ) f(x ). Funkce neklesá ani neroste. Funkce není sudá ani lichá neplatí, že pro každé x D f je f(-x) = f(x) ani, že pro každé x D f je f(-x) = -f(x). Pro x (, 0) má funkce sgnx maximum i minimum v každém bod tohoto intervalu a to v bod x = 3. Pro x (0, ) má funkce sgnx maximum i minimum v každém bod tohoto intervalu a to v bod x = 1.. 7

74 Píklad. 5 f 5 : y = sgn x pokud x > 0 sgn x = 1 y = sgn x = 1 = pokud x = 0 sgn x = 0 y = sgn x = 0 = 0 pokud x < 0 sgn x =-1 y = sgn x = (-1) = - D f = R H f = {-, 0, } Funkce není prostá - napíklad pro x 1 = 1 a pro x = neplatí, že f(x 1 ) f(x ). Funkce neroste ani neklesá. Funkce je lichá - napíklad pro x = 1 je i (-x) v D f a zárove pokud je x = 1, tak f (-1) = - f (1). Pro x (, 0) má funkce sgnx maximum i minimum v každém bod tohoto intervalu a to v bod x =. Pro x (0, ) má funkce sgnx maximum i minimum v každém bod tohoto intervalu a to v bod x =. 73

75 Píklad. 6 f 6 : y = sgn(x + 3) pokud x + 3 > 0 /-3 x > -3 sgn(x + 3) = 1 y = sgn(x + 3) = 1 = 0 pokud x + 3 = 0 /-3 x = -3 sgn(x + 3) = 0 y = sgn(x + 3) = 0 =- pokud x + 3 < 0 /-3 x < -3 sgn(x + 3) =-1 y = sgn(x + 3) = (-1) =-4 D f = R H f = {0,, -4} Funkce není prostá - napíklad pro x 1 = 1 a pro x = neplatí, že f(x 1 ) f(x ). Funkce neroste ani neklesá. Funkce není sudá ani lichá neplatí, že pro každé x D f je f(-x) = f(x) ani, že pro každé x D f je f(-x) = -f(x). Pro x (, 3) má funkce sgnx maximum i minimum v každém bod tohoto intervalu a to v bod x = 4 pro x ( 3, ) má funkce sgnx maximum i minimum v každém bod tohoto intervalu a to v bod x = 0. 74

76 Píklad. 7 f 7 : y = sgn(x 9) pokud x 9 > 0 /+9 x > 9 x > 3 x (-, -3) ( 3, ) y = sgn(x 9) = 1 pokud x 9 = 0 /+9 x = 9 x = 3 x ={-3, 3} nulové body y = sgn(x 9) = 0 pokud x 9 < 0 x < 9 x < 3 x (-3, 3) y = sgn(x 9) = -1 D f = R H f = {-1, 0, 1} Funkce není prostá - napíklad pro x 1 = 1 a pro x = neplatí, že f(x 1 ) f(x ). Funkce neroste ani neklesá. Funkce je sudá napíklad pro x = 4 je i (-x) v D f a zárove pokud je x = 4, tak f (-4) = f (4). Pro x (, 3) (3, ) má funkce sgnx maximum i minimum v každém bod tohoto intervalu a to v bod x = 1. Pro x ( 3, 3) má funkce sgnx maximum i minimum v každém bod tohoto intervalu a to v bod x = 1. 75

77 Píklad. 8 f 8 : y = sgn(x 3x) pokud x 3x > 0 x (x 3) > 0 x (-, 0) ( 3, ) y = sgn(x 3x) = 1 pokud x 3x = 0 x (x 3) = 0 x ={0, 3} nulové body y = sgn(x 3x) = 0 pokud x 3x < 0 x (x 3) < 0 x (0, 3) y = sgn(x 3x) = -1 D f = R H f = {-1, 0, 1} Funkce není prostá - napíklad pro x 1 = 1 a pro x = neplatí, že f(x 1 ) f(x ). Funkce neroste ani neklesá. Funkce není sudá ani lichá neplatí, že pro každé x D f je f(-x) = f(x) ani, že pro každé x D f je f(-x) = -f(x). Pro x (, 0) (3, ) má funkce sgnx maximum i minimum v každém bod tohoto intervalu a to v bod x = 1. Pro x (0, 3) má funkce sgnx maximum i minimum v každém bod tohoto intervalu a to v bod x = 1. 76

78 Píklad. 9 x + 3 f 9 : y = sgn x x pokud pokud pokud x + 3 > 0 x (-, -3) (, ) y = sgn[(x + 3)/(x )] = 1 x x + 3 = 0 x = -3 nulový bod y = sgn[(x + 3)/(x )] = 0 x x + 3 < 0 x (-3, ) y = sgn[(x + 3)/(x )] = -1 x D f = R -{} H f = {-1, 0, 1} Funkce není prostá - napíklad pro x 1 = 1 a pro x = neplatí, že f(x 1 ) f(x ). Funkce neroste ani neklesá Funkce není sudá ani lichá neplatí, že pro každé x D f je f(-x) = f(x) ani, že pro každé x D f je f(-x) = -f(x). Pro x (, 3) (, ) má funkce sgnx maximum i minimum v každém bod tohoto intervalu a to v bod x = 1. Pro x ( 3, ) má funkce sgnx maximum i minimum v každém bod tohoto intervalu a to v bod x = 1. 77

79 Píklad. 10 f 10 : y = (x 6x +7) sgn(x) pokud x > 0 y = (x 6x +7) sgn(x) = (x 6x +7) 1 = (x 6x +7) nyní uríme vrchol paraboly: (x 6x +7) = x 6x = (x 3) V [3, -] pokud x = 0 y = (x 6x +7) sgn(x) = (x 6x +7) 0 = 0 pokud x < 0 y = (x 6x +7) sgn(x) = (x 6x +7) (-1) = -(x 6x +7) graf se soumrn zobrazí podle osy x D f = R H f = R Funkce není prostá - napíklad pro x 1 = a pro x = 4 neplatí, že f(x 1 ) f(x ). Funkce klesá v intervalu J = (0, 3) D(f), protože pro všechna x 1, x J platí: Je-li x 1 < x, pak f(x 1 ) > f(x ). 78

80 Funkce roste v intervalu J 1 = (-, 0) D f, a J = (3, ) D f, protože pro všechna x 1, x J 1 platí: Je-li x 1 < x, pak f(x 1 ) < f(x ) a pro všechna x 1, x J platí: Je-li x 1 < x, pak f(x 1 ) < f(x ). Funkce není sudá ani lichá - neplatí, že pro každé x D f je f(-x) = f(x) ani, že pro každé x D f je f(-x) = -f(x). V bod x = 3 je lokální maximum, protože pro x (0, ) je f (x) f (3). 79

81 Píklad. 11 f 11 : y = sgn( lnx ) pokud x (-, -1) (1, ) ln x > 0 y = sgn(ln x ) = 1 pokud x = {-1,1} ln x = 0 y = sgn(ln x ) = 0 pokud x (-1, 1) ln x < 0 y = sgn(ln x ) = -1 D f = R - {0} H f = {-1, 0, 1} Funkce není prostá - napíklad pro x 1 = a pro x = 4 neplatí, že f(x 1 ) f(x ). Funkce není rostoucí ani klesající. Funkce je sudá - napíklad pro x = 4 je i (-x) v D f a zárove pokud je x = 4, tak f (-4) = f (4). Pro x (, 1) (1, ) má funkce sgnx maximum i minimum v každém bod tohoto intervalu a to v bod x = 1. Pro x ( 1,0) (0, 1) má funkce sgnx maximum i minimum v každém bod tohoto intervalu a to v bod x =

82 Píklad. 1 f 1 : y = lnx sgn(x) pokud x > 0 x = x y = ln x sgn(x) = ln x 1 = ln x = ln(x) pokud x = 0 logaritmovat mžeme jen kladná ísla pokud x < 0 x = -x y = ln x sgn(x) = ln x (-1)= -( ln x ) = -[ln(-x)] D f = R - {0} H f = R - {0} Funkce není prostá - napíklad pro x 1 = 1 a pro x = -1 neplatí, že f(x 1 ) f(x ). Funkce je lichá - napíklad pro x = je i (-x) v D(f) a zárove pokud je x =, tak f (-) = -f (). Funkce roste v intervalu J 1 = (-, 0) D(f), a v intervalu J = (0, ) D(f), protože pro všechna x 1, x J 1 platí: Je-li x 1 < x, pak f(x 1 ) < f(x ) a pro všechna x 1, x J platí: Je-li x 1 < x. Funkce nemá extrémy. Px 1 [1, 0] a Px [-1, 0]. 81

83 Píklad. 13 f 13 : y = x sgn x pokud x > 0 y = x sgn x = x 1 = x pokud x = 0 y = x sgn x = x 0 = 1 pokud x < 0 y = x sgn x = x (-1) = 1 x D f = R H f = R Funkce je prostá platí, že pro všechna x 1, x D f platí: Je-li x 1 x D f, pak f(x 1 ) f(x ). Funkce roste v intervalu J 1 = (0, ) D(f), protože pro všechna x 1, x J 1 platí: Je-li x 1 < x, pak f(x 1 ) < f(x ). Funkce klesá v intervalu J = (-, 0), protože pro všechna x 1, x J platí: Je-li x 1 < x, pak f(x 1 ) > f(x ). Funkce nemá extrémy 8

84 4.9 Binární relace U píklad, ve kterých máme za úkol sestrojit graf binární relace, postupujeme tak, že se snažíme dopracovat rznými úpravami pedpisu relace k tvaru pedpisu njaké funkce. Relace bývá zpravidla zadána rovnicí nebo nerovnicí o dvou neznámých x, y. Jedna nebo ob se pitom vyskytují v absolutní hodnot, což má za následek rozdlení na nkolik ešení. Podle definice absolutní hodnoty totiž platí: a = ± a a ( ;0) a = a a 0; + ) a = + a Pokud se nachází v absolutní hodnot neznámá x, dojde k rozdlení defininího oboru. Pokud se v absolutní hodnot nachází y = f(x), dojde k rozdlení oboru hodnot. V obou pípadech dojde k rozdlení na dv ešení. Pokud se však v absolutní hodnot nachází souasn x i y, dojde k rozdlení na tyi ešení. Výsledek je tudíž sjednocení všech ešení. Pokud máme za úkol ešit soustavu rovnic i nerovnic, ešíme ji tak, že soustavu rozdlíme na jednotlivé rovnice, piemž každou ešíme oddlen podle principu uvedeného výše. Získáme tak ešení každé rovnice i nerovnice zvláš. Víme ale, že v soustav musí všechny rovnice platit. Z toho vyplývá, že celkovým výsledkem bude prnik výsledných graf jednotlivých rovnic. 83

85 Píklad. 1 x + y = 3 Tento pedpis je možno upravit do pijatelnjšího tvaru: y = 3 x Jak bylo psáno výše, ešení je nutno rozdlit a) x ( ;0) x = x místo absolutní hodnoty x mžeme tedy napsat x. y = 3 ( x) y = x + 3 Pro interval x ( ;0) je tedy grafem relace graf funkce f : y = x f 1 b) x 0; + ) x = + x místo absolutní hodnoty píšeme +x. y = 3 ( + x) y = 3 x Pro interval x 0; + ) je tedy grafem relace graf funkce f : y = x

86 f ešením je tedy sjednocení obou graf. V prseíku grafu s osou y dochází ke spojení dvou graf. Zatímco v ešení a) bod o souadnicích [ 0;3 ] nebyl z dvodu omezení defininího oboru souástí ešení, v pípad b) tento bod souástí ešení je. Z toho vyplývá, že sjednocením ešení a) i b) vzniká spojitý graf, jehož defininím oborem je množina všech reálných ísel. f 1 f Z grafu je možno usoudit, že se jedná o funkci, která má tyto vlastnosti. 85

87 D( f ) = R H ( f ) = ; + 3 ( Rostoucí pro x ( ;0) Klesající pro x (0; + ) Omezená shora Globální ostré maximum v bod [ 0;3 ] Minimum není Sudá 3 x = 3 x x = x 0 = 0 Prseíky s osou x. = 0 = 3 = { 3; + 3} prseíky jsou body [ 3;0] y x P x [ + 3;0] Prseíky s osou y: = 0 = 3 = { + 3} prseík je bod [ 0; + 3] x y P y a 86

88 Píklad. x + y = 3 Zatímco v pedchozím píkladu došlo k rozdlení defininího oboru, v tomto pípad budeme rozdlovat obor hodnot. Je tedy pravdpodobné, že výsledkem již nebude funkce, nýbrž binární relace. a) y = f ( x) ( ;0) y = y b) y = f ( x) 0; + ) y = + y x + ( y) = 3 f : y = x 3 1 x + ( + y) = 3 f : y = x + 3 f f 1 87

89 V tomto pípad z tvaru grafu zcela jasn vyplývá, že se nejedná o funkci. Napíklad pro x = 0 existují dv funkní hodnoty f ( x ) = + 3 a f ( ) 3 1 x =, což odporuje definici funkce, která piazuje každému x práv jednu funkní hodnotu f(x). Jedná se tedy o binární relaci. U binárních relací nemluvíme o defininím oboru a oboru hodnot, nýbrž tyto množiny nazýváme prvým a druhým oborem binární relace, piemž platí: x O 1 y O Jelikož se nejedná o funkci, nemá zde smysl mluvit o vlastnostech funkce. Je jen patrné, že: 1 ( O = ; + 3 O = R Prseíky s osou x: = 0 = 3 = { + 3} prseík je bod [ 3;0 ] y x P x Prseíky s osou y: = 0 = 3 = { 3; + 3} prseíky jsou body [ 0; 3] x y P y [ 0; 3] + a 88

90 Píklad. 3 x + y = 3 Tento píklad je jiný. V absolutní hodnot se nachází jak x, tak y. ešení bude tedy nutno rozdlit na tyi ásti. Výsledný graf vznikne jejich sjednocením. a) { x ( ;0) x = x} { y = f ( x) ( ;0) y = y} x + ( y) = 3 f : y = x 3 1 b) { x 0; + ) x = + x} { y = f ( x) ( ;0) y = y} + x + ( y) = 3 f : y = x 3 c) { x ( ;0) x = x} { y = f ( x) 0; + ) y = + y} x + ( + y) = 3 f : y = x d) { x 0; + ) x = + x} { y = f ( x) 0; + ) y = + y} + x + ( + y) = 3 f : y = 3 x 4 f 3 f 4 f 1 f 89

91 Graf této relace je velmi zvláštní, mžeme si všimnout, že se jedná o tverec o stran a = 3 s vrcholy v prseících s osami. Vlastnosti: O = 3; + 3 O 1 = 3; + 3 Prseíky s osou x: = 0 = 3 = { 3; + 3} prseíky jsou body [ 3;0] y x P x [ + 3;0] a Prseíky s osou y: = 0 = 3 = { 3; + 3} prseíky jsou body [ 0; 3] x y P y [ 0; + 3] a 90

92 Píklad. 4 x + y = 3 Pi ešení postupujeme stejn jako v pedcházejícím píkladu. a) { x ( ;0) x = x} { y = f ( x) ( ;0) y = y} x + ( y) = 3 x 3 f1 : y = b) { x 0; + ) x = + x} { y = f ( x) ( ;0) y = y} + x + ( y) = 3 f : y = x 3 c) { x ( ;0) x = x} { y = f ( x) 0; + ) y = + y} x + ( + y) = 3 f : y = 3 x + 3 d) { x 0; + ) x = + x} { y = f ( x) 0; + ) y = + y} + x + ( + y) = 3 f 4 3 x : y = 91

93 f 3 f 4 f 1 f Zde je výsledným grafem kosotverec. Vlastnosti: O = 3; + 3 O = ; + Prseíky s osou x: = 0 = 3 = { 3; + 3} prseíky jsou body [ 3;0] y x P x [ + 3;0] a Prseíky s osou y: 3 3 x = 0 y = 3 P y = ; + 3 0; a 3 0; + prseíky jsou body Oproti pedcházejícímu píkladu, kde vznikl tverec, je vzájemná vzdálenost prseík grafu s osou y poloviní. Existuje závislost mezi koeficientem u y a vzdáleností obou prseík s osou y. To samé platí i o koeficientu ped x. V obecném tvaru a x + b y = c tedy platí: 9

94 d x c c = d y = a b kde: d x vzájemná vzdálenost prseík s osou x d y vzájemná vzdálenost prseík s osou y 93

95 Píklad. 5 x y = 3 Již na první pohled je tento píklad velmi podobný píkladu pedcházejícímu. I ešení je analogické. Výsledný graf bude osov soumrný podle osy y s grafem pedcházejícího píkladu. a) x y < 0 x < y x y = x + y x + y = 3 f : y = x b) x y 0 x y x y = x y x y = 3 f : y = x 3 f 1 f Souadnicový systém je opt rozdlen perušovanou arou (osou prvního a tetího kvadrantu). Opt se jedná o binární relaci. 94

96 Vlastnosti: O O 1 = R = R Prseíky s osou x: = 0 = 3 = { 3; + 3} prseíky jsou body [ 3;0] y x P x [ + 3;0] a Prseíky s osou y: = 0 = 3 = { 3; + 3} prseíky jsou body [ 0; 3] x y P y [ 0; + 3] a 95

97 Píklad. 6 x + x = y + y V tomto píklad bude opt ešení rozdleno na tyi ásti, ale bude rozdleno souadnicovými osami podle kvadrant (stejn jako v píkladech 3 5). a) { x ( ;0) x = x} { y = f ( x) ( ;0) y = y} x x = y y f : 0 = 0 1 tento výsledek napovídá, že ve tetím kvadrantu je grafem množina všech reálných ísel. Jedná se tedy o kartézský souin množin A, B, kde x ( ;0) = A y ( ;0) = B b) { x 0; + ) x = + x} { y = f ( x) ( ;0) y = y} x + x = y y f : x = 0 Ve tvrtém kvadrantu je ešením polopímka splývající se zápornou poloosou y. c) { x ( ;0) x = x} { y = f ( x) 0; + ) y = + y} x x = y + y f : y = 0 3 Ve druhém kvadrantu je ešením polopímka splývající se zápornou poloosou x. d) { x 0; + ) x = + x} { y = f ( x) 0; + ) y = + y} x + x = y + y f : y = x 4 A konen v kvadrantu prvním je ešením osa soumrnosti prvního kvadrantu. 96

98 f 4 f 3 f 1 f Výsledek není možno popsat jednoduše geometricky jako píklady pedcházející. Prost se jedná o sjednocení ty graf na rzných defininích oborech a oborech hodnot. Vlastnosti: O O 1 = R = R Prseíky s osou x: y = 0 x + x = 0 x = x P x = ( ;0 V daném intervalu graf splývá s osou x. Prseíky s osou y: x = 0 y + y = 0 y = y P y = ( ;0 V daném intervalu graf splývá s osou y. 97

99 Píklad. 7 x + y 3 Pi ešení nerovnic postupujeme obdobn jako u ešení klasické rovnice, jen výsledkem v každé ásti je nerovnice, z toho vyplývá, že grafem nebude jen pímka nebo jiná kivka, ale njaká ást roviny. Pokud je tvar nerovnice lineární, výsledkem je polorovina urená hraniní pímkou, která má pedpis ve stejném tvaru jako je nerovnice, avšak místo znaménka nerovnosti použijeme rovnost. Už ze zadání je vidt uritá podobnost s tvarem píkladu.3. Mžeme tedy íci, že hraniními pímkami polorovin, které budou ešeními jednotlivých ástí ešení budou pímky, na kterých leží strany tverce na obr. 3. Výsledkem bude opt sjednocení všech ty ástí ešení. a) { x ( ;0) x = x} { y = f ( x) ( ;0) y = y} x + ( y) 3 f : y x 3 1 Podmínky íkají, že tato ást ešení se odehrává jen ve tetím kvadrantu. Hraniní pímkou je pímka p : y = x 3. Výsledná polorovina je urena pímkou p a poátkem souadnicového systému, protože nerovnice je ve tvaru y x 3. Kdyby tvarem nerovnice bylo y x 3, byla by ešením polorovina opaná. Ve tetím kvadrantu však z této množiny leží pouze trojúhelník tvoený body [ 3;0 ],[ 0; 3] a[ 0;0]. p 98

100 V dalších ástech ešení budeme postupovat velmi podobn, ve všech budou ešeními shodné rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky. ešením bude sjednocení všech ástí. b) { x 0; + ) x = + x} { y = f ( x) ( ;0) y = y} + x + ( y) 3 f : y x 3 c) { x ( ;0) x = x} { y = f ( x) 0; + ) y = + y} x + ( + y) 3 f : y x d) { x 0; + ) x = + x} { y = f ( x) 0; + ) y = + y} + x + ( + y) 3 f : y x f 3 f 4 f 1 f 99

101 ešením je stejn jako v píkladu. 3 tverec, ovšem z dvodu, že se jednalo o nerovnici je grafem krom obrysu tverce ješt jeho vnitek, tj. ta ást roviny, která je ohraniena obrysem tverce. Vlastnosti: O = 3; + 3 O 1 = 3; + 3 Prseíky s osou x: y = 0 x 3 P x = 3; + 3 V daném intervalu graf protíná osu x. Prseíky s osou y: x = 0 y 3 P y = 3; + 3 V daném intervalu graf protíná osu y. 100

102 Píklad. 8 x + y x + y 3 9 Pi ešení soustav nerovnic postupujeme opt obdobn, avšak s tím rozdílem, že musíme ešit každou rovnici zvláš. Výsledný graf vznikne prnikem obou graf. Nejprve budeme ešit první nerovnici. Je velice podobná nerovnici v píkladu. 10. ešením bude opt tverec jako v píkladu. 3, ale graf bude doplnn o množinu, která vznikne odetením vnitku tverce od množiny všech reálných ísel. Pi ešení postupujeme stejn jako v pedcházejícím píkladu. Sjednocení všech ty ástí ešení vznikne výsledný graf první rovnice. x + y 3 a) { x ( ;0) x = x} { y = f ( x) ( ;0) y = y} x + ( y) 3 f : y x 3 1 b) { x 0; + ) x = + x} { y = f ( x) ( ;0) y = y} + x + ( y) 3 f : y x 3 c) { x ( ;0) x = x} { y = f ( x) 0; + ) y = + y} x + ( + y) 3 f : y x d) { x 0; + ) x = + x} { y = f ( x) 0; + ) y = + y} + x + ( + y) 3 f : y x

103 f 3 f 4 f 1 f Nyní pistoupíme k ešení druhé nerovnice. x + y 9 Zde nemusíme nic dlit nebo vypoítávat. Rovnice x + y = 9 je analytické vyjádení (tzv. stedová rovnice) kružnice, která má obecný tvar pro sted S [ m; n ] a polomr r ( x m) + ( y n) = r Z rovnice je možno vyíst, že daná kružnice má sted v poátku souadnicového systému a má polomr 3 jednotky. Grafem rovnice by tedy byla kružnice se stedem v bod [ 0;0 ] o polomru 3. Jelikož jde o nerovnici, znamená to, že polomr kružnice má být menší nebo roven 3 jednotkám. Z toho vyplývá, že grafem bude kruh o polomru 3 s poátkem v bod [ 0;0 ] 10

104 Sjednocením obou tchto graf tedy vznikne ešení. Výsledný graf je opt velmi atypický. Jedná se o kruh, z kterého je vyíznut jeden jeho ttivový tverec. 103

105 Vlastnosti: O = 3; + 3 O 1 = 3; + 3 Prseíky s osou x: { 3; 3} y = x x P x = + prseíky jsou body [ 3;0] a [ + 3;0] Prseíky s osou y: { 3; 3} x = y y P y = + prseíky jsou body [ 0; 3] a [ 0; + 3] 104

106 5 Závr Sbírka, kterou máte práv ped sebou, byla vytvoena jako pomcka, která má sloužit studentm nižších roník k lepšímu pochopení uiva o funkcích. Snažili jsme se shrnout základní typy funkcí tak, aby byly pochopitelné mladším studentm a zárove nápomocny studentm ped maturitou i pijímacími ízeními. 105

107 6 Resumé esky Tato seminární práce je urena všem studentm, kteí mají problémy se zvládnutím základního uiva o funkcích. Jedná se o sbírku vzorových píklad, které ukazují, jaký má zmna ásti pedpisu efekt na tvar výsledného grafu. Mže být použita i jako uební pomcka. English This seminary work was made for all of students, who have problems with knowledge of mathematic functions. It consists of examples, which show, what efect has change of transcription on the shape of the graph. It can help pupils and students in studying maths. 106

108 7 Bibliografie Doc. RNDr. Oldich Odvárko, DrSc, Matematika pro gymnázia Funkce, Prometheus, Praha, 003 ISBN Doc. RNDr. Oldich Odvárko, DrSc, Matematika pro gymnázia Goniometrie, Prometheus, Praha, 004 ISBN Josef Polák, Pehled stedoškolské matematiky 6. vydání Prometheus, Praha, 1991 ISBN X cs.wikipedia.org 107