1. Limita funkce - výpočty, užití

Transkript

1 Difrnciální a intgrální počt. Limita funkc - výpočt, užití Vpočtět násldující it: +.8..cos sin sin.7 ( cos.9 + sin cos. + 5cos. + log( sin sin5 5sin cos sin 7sin tg sin + cos. cos...cotg cos.5.sin tg. sin sin.7 cos.8.sin cos.9.sin.. sin cos tg sin + cos sin. + tg sin. cos+ tg..sin.5 cos. ( +.7 ( +.8 ( +.9 ( Určt a určt, pro ktrá s budou funkční hodnot zadané funkc lišit od vpočtné it o + méně nž,..55 Určt a určt, pro ktrá s budou funkční hodnot zadané funkc lišit od vpočtné it + o méně nž,. Určt asmptot grafu funkc f:.5 = +.57 =.58 =.59 =. = =. = +. Napišt rovnici tčn grafu funkc.7 Napišt rovnici tčn grafu funkc f :. f = +. = v bodě [ ;] :.8 Napišt rovnici tčn grafu funkc f : sin T =. = + v bodě T [ ; ] = v bodě T [ ; ] =. =..5 = + = + +.

2 Difrnciální a intgrální počt. Drivac - výpočt, tčna grafu funkc Na základě dfinic drivac určt drivaci násldujících funkcí:. f : =. h: =.5 j: =. l: = +. g: = 5+. k: = + + V násldujících příkladch určt dfiniční obor funkc a jjí drivaci v libovolném bodě dfiničního oboru:.7 = +.8 =.9 =. = 5. = =. ( + =.. = sin+ 5. = cos+ sin+. = sin.7 =.sin + + =..8 =. + = + sin =.cos sin = cos. = (. = sin( +.5 = cos ( + 5. = sin ( +.7 ln( 5 = +.8 = ln ( +.9 = log ( + 5. = log (. = ln( ln( sin.5 + =..9 =.cos.. = lntg + +. =.7 = cos.tg. Vpočtět první a druhou drivaci násldujících funkcí:. =. = ( Napišt rovnici tčn grafu funkc f : = +.5 = + +. =.ln + = tg.8 = 5 cotg ( + cos + sin.cotg = tg+. = ( + 7 = + 5 v bodě T [ ; ] =..8 Napišt rovnici tčn a normál grafu funkc g: = sin+ v bodě T = ;..9 Napišt rovnici tčn a normál grafu funkc h:.ln.5 Napišt rovnici tčn grafu funkc f : log = v bodě T [ ; ] = v bodě T [ ; ] =..5 Napišt rovnici tčn grafu funkc f : = sin v bodě T = ;..5 V ktrém bodě má graf funkc normál..5 Napišt rovnic tčn k grafu funkc.5 Určt vzdálnost vrcholu parabol f : =.. = sin.cos = tčnu s směrnicí? Napišt v tomto bodě rovnici tčn i f :.55 Pod jakým úhlm protíná graf funkc = sin osu?. Průběh funkc Určt intrval monotónnosti násldujících funkcí:. =..5 = +.9. =. = v jjích průsčících s osou a. = + 5 od jjí tčn sstrojné v průsčíku parabol s osou. = = +.7 = + =. = + sin Určt intrval monotónnosti a lokální trém funkc:. =. ( ( = = 5 5. = ln = 5 = = + ln =

3 .7 = ln..8 = cos. = ln.5 Najdět maimum a minimum funkc sin cos = +. Difrnciální a intgrální počt.9 = ln. = sin+ f : = 7 9 v intrvalu ;. = tg. = tg cotg Určt intrval, v nichž j daná funkc konvní a konkávní a určt jjich inflní bod:.. = = +. Vštřt průběh funkcí: f : 9 = +.5 f : = +.9 f :. 5 =.8 = ( + 5 f : = + 7 f :.. = +. =. f : =.. =.9 5 = +. f : =.7 f : = +. f : = ln f : =.7 f : =.8 f : = ln ln f : ln =.5 f : ln(.5 f : = sin+ cos.55. Vužití difrnciálního počtu = +.5 f : ln( f : = sin.5 = + 8 = + ( 5 f : = f : = +.5 f : = f : = ln = +.5 f : =.ln sin.57 f : = + cos f : = + cos. Číslo 8 rozložt na dva sčítanc tak, ab jjich součin bl maimální.. Najdět pravoúhlník, ktrý má: a při daném obvodu maimální obsah, b při daném obsahu minimální obvod.. Najdět rovnoramnný trojúhlník, ktrý má při daném obvodu maimální obsah.. Do rovnoramnného trojúhlníku vpišt pravoúhlník maimálního obsahu. Určt rozměr tohoto pravoúhlníku..5 Ramna a mnší základna lichoběžníka mají délku po cm. Určt jho větší základnu tak, ab obsah lichoběžníka bl njvětší.. Drátěným pltivm délk m j třba ohradit obdélníkový pozmk z tří stran (na čtvrté straně j dům tak, ab měl njvětší obsah. Určt rozměr tohoto pozmku..7 lková délka všch stěn u domu znázorněného na obr. má být 9 m. Při jaké šířc chodb bud obsah podlah ostatních tří místností njvětší?.8 Najdět pravidlný čtřboký hranol, ktrý má při daném povrchu maimální objm. obr..9 Do kužl o poloměru podstav dm a výšc dm j vpsán válc njvětšího objmu. Zjistět rozměr válc a jho objm.. Kolikrát větší j objm koul nž objm njvětšího válc vpsaného této kouli?. Na parabol 9= najdět bod, jhož vzdálnost od počátku soustav souřadnic j minimální.. Tvrdý papír tvaru obdélníku má rozměr cm a 8 cm. V rozích s odstřihnou stjné čtvrc a zbtk s ohn do tvaru otvřné krabic. Jak dlouhá musí být strana odstřižných čtvrců, ab objm krabic bl njvětší?. Jaké rozměr b musla mít podstava krabic na mléko, kdb s mléko vrábělo v dvoulitrových krabicích, ab spotřba papíru na výrobu krabic bla minimální? Krabici považujt za pravidlný čtřboký hranol, odpad papíru na lpní, nuvažujt.. Zjistět rozměr otvřného bazénu s čtvrcovým dnm o objmu m tak, ab na vzdění jho stěn a dna blo potřba co njmnší množství matriálu..5 Tunl má průřz v tvaru obdélníka s přilhlým půlkruhm. Obvod průřzu j 8 m. Při jakém poloměru půlkruhu bud obsah průřzu njvětší?

4 Difrnciální a intgrální počt. K batrii o lktromotorickém napětí V a vnitřním odporm Ω j připojn spotřbič. Při jakém odporu spotřbič bud jho výkon maimální?.7 Dva světlné zdroj jsou umístěn cm od sb a poměr jjich svítivosti j 8: 7. Jak dalko od prvního zdroj lží na jjich spojnici bod, ktrý j njméně osvětln? Přdpokládjt, ž světlné zdroj jsou stjného druhu a ž paprsk dopadají na uvažované místo kolmo..8 Silnic, ktrá má šířku b, j osvětlována lampou, ktrá j nad osou silnic. V jaké výšc nad silnicí musí být lampa, ab okraj silnic bl co njvíc osvětln?.9 Určt, kd jsou si njblíž přdmět a skutčný obraz vtvořný spojnou čočkou o dané ohniskové vzdálnosti f.. Průřz odpadového kanálu má tvar rovnoramnného lichoběžníku. Jho hloubka j h, obsah průřzu S. Jaký má být sklon bočních stěn, má-li být spotřba matriálu na vzdění kanálu minimální?. Základna nakloněné rovin má délku d. Určt (při konstantním d výšku nakloněné rovin tak, ab kulička o hmotnosti m sjla z vrcholu nakloněné rovin v njkratším čas. Třní a odpor vzduchu zandbjt.. Drát délk mm rozdělt na dvě části. Jdnu potom ohnm do tvaru kruhu, druhou do tvaru čtvrc. Rozdělní drátu provďt tak, ab součt obsahů obou vtvořných ploch bl co njmnší. 5. Nurčitý intgrál K dané funkci f určt v jjím dfiničním oboru primitivní funkci F tak, ab graf funkc F procházl daným bodm: + 5. f : = sin ; A = ; 5. f : = ; B = [ ; ] 5. f : 5sin = + ; = [ ;5] Vpočtět: d 5. ( + ( d 5.5 ( d 5. ( + cos cos 5.7 d sin d f : = + ; D = [ ; ] d a + b 5. d d 5. sin 5. d sin 5.5 d 5. 5sin cos 5.8 tg d 5.9 ( 5sin + 5cos sin 5. d 5. d sin + cos 5. sin cos d 5. d 5 d + a d a sin d 5. d sin.cos cotg d cos 5.5 sin d 5. cos d 5.7.sin d 5.8 d ln d 5..ln d 5..ln d cos d 5..sin d 5.7.cos d 5. d 5..ln( d 5.5 ( d sin ln d ln 5.8 d cos( ln d 5. d 5. ( + d 5.7 d 5.8 d d d d 5.5 sin cos + d 5. cos( 5.57 ( d 5.5 d 5.5 sin d 5.58 d tg d 5. d 5. ( + cos d. d ln 5. d ln d 5. d d ( a b d d 5.59 sin( + d 5 d 5. ( + + d

5 Difrnciální a intgrální počt d ( + sin.cos d ( + cos d 5.7 ( + cos d 5.7. d ( sin cos sin 5.8 d d ln d. Určitý intgrál Vpočtět: d. ( + d. ( + 5.,5 ( sin+ cos. Vpočtět intgrál f ( d, j-li f ( ;5..7 Vpočtět intgrál f ( d, j-li ( sin Vpočtět:.8. 7 d.9 cos.sin d. d. = pro ; f = pro ;, f ( d.5 = + pro ; a f ( cos d. ( ( + sin.cos d. = + pro 5 d. sin + d cos 9 d d. d ln.9 5 d a f (.5 ;. cos d sin + + d d = pro. ln d. ( + sin d..cos d..ln d. ln d 7. Užití intgrálního počtu 7. Vpočtět obsah útvaru, ktrý j ohraničn křivkami = +, 7. Vpočtět obsah útvaru, ktrý j ohraničn křivkami ( 7. Vpočtět obsah útvaru, ktrý j ohraničn křivkami =, = a =. = +, = a =. =, 7. Vpočtět obsah ploch pod jdním obloukm funkc = sin. 7.5 Vpočtět obsah útvaru, ktrý j ohraničn křivkami 7. Vpočtět obsah útvaru, ktrý j ohraničn křivkami 7.7 Vpočtět obsah útvaru, ktrý j ohraničn křivkami 7.8 Vpočtět obsah útvaru, ktrý j ohraničn křivkami 7.9 Vpočtět obsah útvaru, ktrý j ohraničn křivkami 7. Vpočtět obsah útvaru, ktrý j ohraničn křivkami 7. Vpočtět obsah útvaru, ktrý j ohraničn křivkami 7. Vpočtět obsah útvaru, ktrý j ohraničn křivkami 7. Vpočtět obsah útvaru, ktrý j ohraničn křivkami =, = a =. = a =. = a =. = a = a =. =. + = a =. =, = a =. = +, 9 = + a =, + = a osami a. = a =. = +. 5

6 7. Vpočtět obsah útvaru, ktrý j ohraničn křivkami = cos a protnou v bodě P = ;. 7.5 Vpočtět obsah útvaru, ktrý j ohraničn parabolou T = [ ; ] a [ ;] T =. Difrnciální a intgrální počt =. (Nápověda: křivk s = + a jjími tčnami v bodch 7. Vpočtět objm tělsa, ktré vznikn rotací útvaru ohraničného křivkami =, = a = kolm os. 7.7 Vpočtět objm tělsa, ktré vznikn rotací útvaru ohraničného křivkami = ln, = a = kolm os. 7.8 Vpočtět objm tělsa, ktré vznikn rotací útvaru ohraničného křivkami os. 7.9 Vpočtět objm tělsa, ktré vznikn rotací útvaru ohraničného křivkami = kolm os. =, = a = kolm + =, = a 7. Vpočtět obsah útvaru, ktrý j ohraničn křivkami = +, + 5=, = 5, = a osou. Vpočtět též objm tělsa, ktré vznikn rotací právě popsaného útvaru kolm os. 7. Vpočtět objm tělsa, ktré vznikn rotací útvaru ohraničného křivkami =, = a = kolm os. 7. Vpočtět objm kulové úsč, ktrá j částí koul o poloměru r a jjíž výška j v. 7. Odvoďt vztah pro výpočt objmu koul o poloměru r. 7. Určt práci potřbnou k vnsní družic o hmotnosti 5 kg do výšk km nad povrch Změ. Hmotnost Změ j 5,98. kg, poloměr Změ 78 km a gravitační konstanta,7. Nm.. kg. Při řšní nuvažujt kintickou nrgii družic. 7.5 Vpočtět vlikost tlakové síl, ktrou působí voda na svislá obdélníková vrata propusti s základnou 8 m a výškou m. Vpočtět také tlakovou sílu působící jn na dolní polovinu vrat. 7. Vpočtět vlikost tlakové síl, ktrou působí voda na svislou dsku v tvaru rovnoramnného trojúhlníka ponořnou v vodě, jjíž základna délk l j v úrovni vodní hladin a výška j rovna h. 7.7 Vpočtět vlikost tlakové síl, ktrou působí voda na svislý polokruh, jhož průměr r j v úrovni vodní hladin. 7.8 Člo přhrad má průřz rovnoramnného lichoběžníka s horní základnou m, dolní základnou m a výškou m. Vpočítjt vlikost tlakové síl, ktrou působí voda na přhradu. 7.9 Určt vlikost tlakové síl, ktrá působí na svislou dsku tvaru rovnoramnného trojúhlníku, jjíž základna délk a, rovnoběžná s vodní hladinou, j v hloubc h a protilhlý vrchol lží v úrovni vodní hladin. 7. Na obr. j znázorněn graf závislosti vlikosti zrchlní na čas pro pohb hmotného bodu, ktrý začínal svůj pohb z klidu. Popišt pohb hmotného bodu, určt vlikost rchlosti na konci sldovaného úsku a clkovou uražnou dráhu. obr.

7 Difrnciální a intgrální počt ŘEŠENÍ. Limita funkc - výpočt, užití nistuj nistuj nistuj ;.55 > ; 999 > 99.5 = ; =.57 =.58 = ;.59 =. = =. = ; =,5,5. =. =. = ; =.5 asmptot njsou. + =.7 =.8 =. Drivac - výpočt, tčna grafu funkc ( +.7 D( f = ;.8 D( f = { }.9 D( f = ; ;. D( f = ( ; ;. D( f = ( ; ;. ( = + ; = 5 = (pro ( ; = = D f = ; = cos D f = ; = sin+ cos. (. ( D f = ; = + cos.5 ( ; D f = ; = (pro ( ; D f = ; = sin. (.7 ( D f = ; = sin+ cos.8 D( f = { }.9 D( f = { } sin cos ; + = ; + =. D( f = { k; k }. ( ; = cos D f = ; = ( ( 8 D f = ; = ( +.cos ( + D f = ; = ( +.sin ( ( + 5. (.5 ( D f = ; = ( +.sin ( +. (.7 D( f = ( 5; ;.8 ( ( ; = D f = ; = +.9 D( f = ( 5; ( ; ; = ( + 5.log( + 5 ( + 5.ln. D( f = ( ; ( ; ;. D( f = ; drivac nistuj. ( ( ( D f = k ; k+ ; k ; ( ( (.ln.log = = sin 7

8 . D( f = ( ; ;. D( f = { } ;.5 D( f = ; = = + + =. D( f = ; = ( + ( ( ( D f = ; = (. D( f D f k = + ; k ; = tg + cos.8 ( ( D f = k ; k.9 D( f = ( ; ; Difrnciální a intgrální počt = ; ; ; ( (. ( ( cos = + sin D f k = + ; k ; = ; ( + ( + =.5.cotg +.cotg +.ln5 sin (pro ( ; =.cos cos sin. D( f = { k; k }; ( D f = k+ ; k. ( (. = ; = = + cos sin.cotg sin ; tg ( + = cos. ( ( = ; = ( + + ( + 5( +.5 = ; = ( ( 7. = cos.sin sin ; = 9sin.sin + 8cos.cos sin.7 + =.9 t: =, n: + =.5 + =.5 ln ln =.8 t: =, n: =.5 = : t: =, n: + = ;.5 [ ] ; : = ; [ ] ; : + = = : t: + =, n: + = Průběh funkc V výsldcích úloh. až. j uvdna spolu s dfiničním oborm pouz množina, v níž j zadaná funkc rostoucí. Množina, v níž j funkc klsající, tvoří doplněk do dfiničního oboru dané funkc.. D( f = ; ( ; ( ;.7 D( f = { ;} ; D( f. D( f = ; ( ; ( ;. D( f = ; ( ; ( ;. D( f = ;.5 D( f = ; ( ; 5 5 ; ; 5 5. D( f = { } ; ( ; ( ;. D( f = ; ( ; ( ; ; ma =, min =.55.8 D( f = { } ; D( f.9 D( f = ; ( ; ±. D( f = ; ( ;. D( f = ; {( k+ ; k }. ( ( ; D f = ; ( ; 8

9 . D( f = ; D( f.5 D( f = ; D( f. ( ( ; D f = ; ( ; ; trém nistují ; trém nistují ;.7 D( f = ( ; ; D( f.8 D( f = ( ; ; ( ;.9 D( f = ( ; ; ( ; ma =, minimum nní ; trém nistují ; min =, maimum nní ; min =, maimum nní k ; k+ ; k. D( f = ; ( ( k+ ; k+ ; k. D( f = ; ( ( ma k+ ; k ; ( Difrnciální a intgrální počt min k ; k, ( ; { k k }, ( ma ; min k+ ; k 8k+ ; k+ k+ ; k+ k+ ; 8k+ 5 ; k ; ma ( k+ ; ( 8k+ 5; k; k, ( ( ( min 8k+ ; k+ ; k+ ; k. D( f = ; ( ( ( ( ( (. D( f = ( k+ ; k ; (. D( f = ; D( f ; trém nistují k ; k+ ; k ; { k k } min ;, maima njsou.5 D( f = ; ma =, min = V výsldcích úloh. až. j uvdna spolu s dfiničním oborm pouz množina, v níž j zadaná funkc konvní. Množina, v níž j funkc konkávní, tvoří doplněk do dfiničního oboru dané funkc.. D( f = ; D( f ; inflní bod nní.7 D( f = ; 5 5 ; ; ; inf.8 D( f = ; ( ; ( ; ; { }.9 D( f = ; ( ; ; inf =. D( f = { } ; ( ;. D( f 5 = ; D( f. D( f = { } ; ( ;. D( f = { } ; ( ; inf ; ; inflní bod nní ; inflní bod nní ; inflní bod nní ; inflní bod nní 5 5 ;;. D( f =.5 D( f = 9

10 Difrnciální a intgrální počt. D( f = { }.7 D( f = { }.8 D( f = ( ;.9 D( f =. D( f = { }. D( f =. D( f =. D( f =. D( f =.5 D( f =

11 . D( f = ( ;.7 D( f = ( ; ( ; Difrnciální a intgrální počt.8 D( f = ( ;.9 D( f = ( ;.5 D( f = ( ;.5 D( f = ( ;.5 D( f =.5 D( f = ( ;.5 D( f =.55 D( f =

12 Difrnciální a intgrální počt.5 D( f =.57 D( f =. Vužití difrnciálního počtu. a. a čtvrc, b čtvrc. trojúhlník j rovnostranný z v., kd z j délka základn a v výška trojúhlníka.5 cm. m m.7 m.8.9 P a =, v = P, kd P j povrch hranolu 8 8 r = dm, v= dm, V =. krát. A = ; 5. Nurčitý intgrál 5. F( = cos+ 5. F( = 5. F( = 5cos+ 5. F( = + ln ( 5. ( 5.7 ( dm f d= f d= + 8+ f d= f d= ( 5.9 ( 7.. f d= + 5. ( 5. a b f d= + + ln f d 5 = ( 5. čtvrc o straně cm. a = dm=, dm. a = m 8.5 a = m,5m +. Ω.7 cm b.8 =.9 a = f. α =. h= d. čtvrc: 5.9 ( 5. ( d d mm, kruh: 88 mm + + ln f d= + f d = + f d ln = ( ( ( 5. ( cotg ln sin f d= + + f d= ( ( cos( ln sin( ln 5. ( ( 5.5 ( 5. ( f d= ( f d= + f d= + ( ( ln( 5.8 ( f d= + + f d= + ( 5 f d= ( (

13 Difrnciální a intgrální počt 5. ( 7 f d= a a 7a a 5. ( sin 5. ( 5.5 ( 5. ( f d= + + f d= sin + 5 f d= cos + f d= sin ( = cotg ( = cotg f ( d= ( = tg cotg + 5. ( cotg cos 5. f ( d= + tg + 5. f ( d= + cos + 5. ( tg cotg 5.5 ( cos sin 5. ( sin cos 5.8 f ( d= ( + 5. f ( d= ( ln + f d f d f d f d= + + f d= + + f d= + + f d= ( ( f d= sin+ cos ( ( 5. ( 5. ( f d= + + f d = ln + f d = ln + 5. ( ( ln ln f d= + + f d = + ln + 5. ( ( 5.5 ( f d= + sin + f d= + 5. ( ( sin cos f d= ( ( sin cos 5.8 ( ln f d= + f d= ( ( 5 f d= ( ( ( f d= + f d= ln ( 5.5 ( f d=. + b a b ( 5.55 ( 7ln 5.5 ( 5.57 ( f d= + + cos f d= + sin f d= + f d= tg ( ( f d= cos ( ( f d= sin + 5. ( ( 5. ( ln cos 5. ( 5. ( 5. ( 5.5 ( 5. ( 5.7 ( f d= f d= f d= f d= + f d= + + sin f d= + f d= ( f d = + f d= + ln ( ( 5.7 ( 5.7 ( 5.7 ( f d= + sin + 9 f d= + sin+ sin+ 8 f d= lncos + ln sin +. Určitý intgrál ( ln ln.7 (

14 ln ( ln (. + ln Difrnciální a intgrální počt ln Užití intgrálního počtu ( ( , v 7. V = ( ρ + v 7. V = r κmmz h 7. W = = 7. R + h R ( Z Z ρ gah ρ gah 7.5 F = =. N, F = = 8. 8 ρ glh 7. F = ρgr 7.7 F = ( ρ gh a+ c 7.8 F = =. ρ gah 7.9 F = = ms., m 8 N J N N