INTERGRÁLNÍ POČET. PRIMITIVNÍ FUNKCE (neurčitý integrál)

Transkript

1 INTERGRÁLNÍ POČET Motivac: Užití intgrálního počtu spočívá mj. v výpočtu obsahu rovinného obrazc ohraničného různými funkcmi příp. čarami či v výpočtu objmu rotačního tělsa, vzniklého rotací daného obrazc ohraničného grafy funkcí kolm osy. Nž s k takovýmto úlohám dostanm, j třba si objasnit základní pojmy a pravidla souvisjící s prací s intgrály. Tori: PRIMITIVNÍ FUNKCE (nurčitý intgrál) Při řšní řady matmatických úloh s stkávám s problémy, v nichž znám drivaci f() určité funkc F() a mám tuto funkci F() najít. F () = f() F() =? Obrácný postup k drivování označujm intgrování. Řšné úlohy: Příklad. Najdět rovnici křivky, jjíž tčna má v každém bodě R směrnici y Řšní: Připomnm si, co již znám z učiva difrnciálního počtu, zvláště z učiva gomtrického významu drivac funkc. Vím, ž první drivac funkc nám pomáhá určit směrnici tčny dané funkc v libovolném bodě. (Pokud chcm najít rovnici tčny v daném bodě dotyku T ; y 0 0, pak první drivac funkc v bodě 0 nám určí hodnotu směrnic tčny dané funkc právě v tomto bodě.) F ( ) Drivací ktrých lmntárních funkcí dostanm funkci f(): y??? J to například: y, protož ( ) F ( ) y, protož ( ) F ( ) y, protož ( ) F ( ) apod. získávám tak nkončně mnoho funkcí F (), přičmž všchny s liší o určitou konstantu tzv. intgrační konstantu.

2 Gomtrická intrprtac (pro lpší přdstavu): y = + y = y = y = Např.: (y = 0) Každá tčna sstrojná k grafu příslušné funkc v bodě (tj. dotykový bod tčny k křivc má = ) má směrnici k =. = (viz obrázk) všchny takovéto tčny jsou rovnoběžné s přímkou o rovnici y = ; Každá tčna sstrojná k grafu příslušné funkc v bodě 0 (tj. dotykový bod tčny k křivc má = 0) má směrnici k =.0 = 0 všchny takovéto tčny jsou rovnoběžné s osou (přímka o rovnici y = 0); atd. Dostávám s tak k dfinici primitivní funkc, tdy nurčitého intgrálu. Tori: Dfinic: J dána funkc f(), ktrá j dfinována v intrvalu (a;b). Funkci F() nazvm primitivní funkc k funkci f() v intrvalu (a;b) nbo také nurčitým intgrálm funkc f() v intrvalu (a;b), jstliž pro všchna (a;b) platí: F () = f(). Tnto nurčitý intgrál zapisujm: f ( ) d F( ) c intgrační konstanta znak intgrálu primitivní funkc intgrovaná funkc (intgrand)

3 Výrazm d připomínám, ž písmno vyjadřuj argumnt, jmuž v tomto případě říkám intgrační proměnná. Z kapitoly o difrnciálním počtu vím, ž j-li c libovolná konstanta, pak drivac (c) = 0 a také F( ) c F ( ) 0 F ( ) Závěrm: F( ) c j primitivní funkc k funkci f(). Jak už jsm ukázali u příkladu. platnost věty: K každé funkci f(), ktrá j v intrvalu (a;b) spojitá istuj nkončně mnoho primitivních funkcí lišících s o konstantu. Řšné úlohy: Příklad. Řšní: (a) Ověřt správnost uvdných intgrálů drivováním pravé strany rovností: ( ) a) d ln c b) tg d tg c (6 ) c) d c ( ) Pravou stranu rovnosti drivujm čln po člnu, přičmž přirozný logaritmus dané funkc drivujm jako funkci složnou! ln c ln.( ) (b) ( c) což bylo dokázat (cbd).(. ) 0.( ) Pravou stranu rovnosti drivujm podl pravidl pro drivování základních funkcí čln po člnu! tg c tg ( ) ( c) 0 tg cos cos cos cos (cbd) (c) Zlomk na pravé straně původní rovnosti drivujm podl vzorc pro drivaci podílu funkcí!

4 ( c ( c) ).( ) ( ).( ) 0.( ) ( ).( ) ( ) ( ) (6 ) ( ) (cbd) Příklad. Najdět primitivní funkci k funkci: a) y b) y c) d) ) y y n y Řšní: (a) Protož ( c) 0, j primitivní funkcí k funkci y funkc y c (b) Protož ( c). 0, j primitivní funkcí k funkci y funkc y c (c) Protož ( c). 0, j primitivní funkcí k funkci y funkc y c (d) Protož ( c). 0, j primitivní funkcí k funkci y funkc y c n n n n () Protož ( c).( n ). 0, j primitivní funkcí k funkci y n n n funkc y c n Příklad. Řšní: Dokažt, ž funkc y a cos y jsou primitivní funkc k funkci y. cos Dokážm, ž platí: a).cos cos b).cos

5 a).( )...cos.cos Zlomk drivujm podl vzorc konstanta krát drivac funkc, ktrou však drivujm jako funkci složnou Konstantu opíšm a násobím ji drivací složné funkc Drivac složné funkc cos b).(cos ).( )..(..cos )..cos Zlomk drivujm podl vzorc konstanta krát drivac funkc cos, ktrou však drivujm jako funkci složnou Drivac složné funkc cos Konstantu opíšm a násobím ji drivací složné funkc cos Užití vzorc Dokázali jsm, ž obě funkc jsou primitivními funkcmi k dané funkci. To znamná, ž obě funkc s liší o určitou konstantu. O jakou konstantu s tyto funkc liší? Řšní: Vybrm si jdnu funkci (výraz) a snažím s ji upravit tak, až s dopočtm k přdpisu druhé funkc plus (mínus) nějaká rálná konstanta. Využívám přitom znalostí goniomtrických vzorců: cos = cos a jdnotkové rovnic + cos =. Úpravami pak dostávám toto řšní: cos cos ( ) cos Ukázali jsm, ž obě funkc s od sb liší o rálnou konstantu ( ). Úlohy k procvičování: cos Ukažt, ž funkc F(): y a G(): y jsou primitivní funkc k funkci f(): y.cos a najdět konstantu, o ktrou s tyto funkc liší. Návod: Funkc F() a G() drivujm tak dlouho, až s dopočtm funkc f(). Násldně funkci F() upravujm tak, abychom ji zapsali jako F() = G() + c; c =

6 VZORCE PRO INTEGROVÁNÍ V všch níž uváděných vzorcích j c rálná konstanta () 0 d c ( ; ) () d d 0 d c ( ; ) n n () d c n ( 0; ); n R; n () d cos c ( ; ) () cos d c ( ; ) cos d cos (6) d tg c R k. kz d (7) d cot g c R k. kz (8) d ln c f ( ) (9) d ln f ( ) c f ( ) 0 f ( ) 0 (0) d c R () a a d c ln a a ( 0;) (; ); R INTEGRAČNÍ PRAVIDLA ) Intgrál konstanty násobné drivací funkc řším tak, ž konstantu opíšm a násobím ji intgrací dané funkc, ktrou provádím pomocí vzorců pro intgrování! Tj. k. f ( ) d k. f ( ) d k R ) Funkční mnohočln intgrujm čln po člnu! Tj. ( ) g( ) d f ( ) d f g( ) d

7 Řšné úlohy: Příklad. Intgrujt! d c použijm vzorc pro intgrování mocninné funkc () a výsldnou funkci upravím d c 0; použijm vzorc pro intgrování mocninné funkc () a výsldnou funkci upravím d d c 0; odstraním zlomk tím, ž intgrovanou funkci upravím pomocí pravidl pro počítání s mocninami; pak k intgraci použijm vzorc pro intgrování mocninné funkc () a výsldnou funkci upravím d.. c 0; ); použijm vzorc pro intgrování mocninné funkc () a výsldnou funkci upravím d d d c ( 0; ); odmocninu přvdm na mocninu a odstraním zlomk pomocí pravidl pro počítání s mocninami; násldně použijm k intgraci vzorc pro intgrování mocninné funkc () a výsldnou funkci upravím

8 Příklad 6. Intgrujt funkční mnohočlny! ( ) d d d d c funkci intgrujm čln po člnu (pravidlo ) jdnotlivé člny podl vzorc pro intgrování mocninné funkc () a podl vzorc () (. ) d (. ) d c d. d. 0; ); intgrovanou funkci njprv upravím přvdním odmocniny na mocninu a při intgrování použijm pravidl a a vzorc (). Po intgraci výsldnou funkci upravím. ( ) d d d ( ) ( ) ( c ) d. ( 0; ); njprv si ujasním, ktré konstanty s nachází přd jdnotlivými člny intgrované funkc; konstanty přdsunm přd jdnotlivé člny mnohočlnu; odmocniny přvdm na mocniny a odstraním u nich zlomky přvdním na záporný ponnt; k intgraci použijm pravidl a a vzorc (); výsldnou funkci upravím. ( ) d ( ) d ( ) c konstantu přdsunm přd intgrál (pravidlo ) a zbylou funkci intgrujm pomocí základních vzorců (0), () jako čln po člnu (pravidlo )

9 d.( ) d ( ) d c funkci njprv upravím vytknutím přd závorku a násldným krácním; dál použijm k intgraci základních vzorců pro intgrování (0), () Příklad 7. Intgrujt! d ( )... d ( ) d c ( 6 ) d ( 6 ) d ( 0; ); intgrovanou funkci njprv upravím zbavním s výrazů s odmocninami jjich přvdním na mocniny a odstraněním zlomku; vzniklou závorku roznásobím a opět použijm pravidla pro počítání s mocninami; vzniklý výraz zjdnoduším a dál intgrujm užitím pravidl, a vzorc (). Výsldnou funkci upravím. ( ) d d (. ) ( ln ln c ) d d d d 0; intgrovanou funkci upravím umocněním podl vzorc ( a b) a vzniklý mnohočln intgrujm čln po člnu s použitím pravidl a

10 Příklad 8. Intgrujt! ( ) ( ) d ln ln ln c ln.ln při intgraci použijm vzorc () a znalosti logaritmů získaných při studiu učiva matmatiky. ročníku (věty o logaritmch a přirozný logaritmus; ln = 0) ( ) d d c ln ; v přdpisu intgrované funkc si všimnm, ž s v čitatli nachází drivac jmnovatl a proto k výpočtu intgrálu můžm použít vzorc (9) ( ) d....ln ; d d d c Pokud s v výrazu intgrované funkc nachází v čitatli mnohočln o jdn stupň nižšího řádu nž v jmnovatli, pak lz často k výpočtu použít vzorc (9): f ( ) d ln f ( ) c f ( ) nbo lz takovýto výraz na použití výš uvdného vzorc vhodnou úpravou přvést. Protož (+) = a v našm výrazu s v jho čitatli nachází konstanta, rozšířím čitatl i jmnovatl původního zlomku vhodnou konstantou (v našm případě j vynásobím konstantou ). Touto úpravou do čitatl zlomku dostanm výraz, ktrý j rovn drivaci jmnovatl a dál pak můžm k výpočtu použít vzorc (9): f ( ) d ln f ( ) c f ( ) Uvědomím si, co v upravném výrazu tvoří konstantu a ktrá část výrazu rprzntuj zmíněný vzorc (9); výraz vhodně zapíšm. Konstantu přdsunm přd intgrál (pravidlo ) a násobím ji intgrálm upravné funkc, ktrá přdstavuj vzorc (9). Vypočtm. cos ( ) d d c ln ( ) k. ; kz postupujm obdobně jako v přdcházjících dvou příkladch

11 ( ) (cos ) tgd d d d d c. ln cos cos cos ( ) cos cos (cos 0) k kz Uvědomím si, ž do čitatl zlomku lz opět vhodnou úpravou dostat drivaci jmnovatl a použít tak vzorc (9): f ( ) d ln f ( ) c f ( ) Protož (cos) = -, rozšířím čitatl i jmnovatl vhodnou konstantou tj. vynásobním konstantou (-). Ujasním si, ktré číslo v výrazu přdstavuj novou konstantu a ktrý výraz přdstavuj drivaci jmnovatl. Konstantu přdsunm přd intgrál. postupujm obdobně jako v přdchozích třch příkladch K intgraci už můžm použít vzorc (9): f ( ) d ln f ( ) c f ( ) ( ) ( 9 ) ( 9 ) ( ) d... ( ) d d d d ln c ; Pokud s v výrazu intgrované funkc nachází v čitatli mnohočln o jdn stupň nižšího řádu nž v jmnovatli, pak lz často k výpočtu použít vzorc (9): f ( ) d ln f ( ) c f ( ) nbo lz daný výraz na použití výš uvdného vzorc vhodnou úpravou přvést. Protož (- ) = -9 a v zadaném výrazu s v čitatli nachází výraz, rozšířím čitatl i jmnovatl původního zlomku vhodnou konstantou (v našm případě jj vynásobím konstantou (-)). Touto úpravou do čitatl zlomku dostanm výraz, ktrý j rovn drivaci jmnovatl a dál pak můžm k výpočtu použít vzorc (9): f ( ) d ln f ( ) c f ( ) Uvědomím si, co v upravném výrazu tvoří konstantu a ktrá část výrazu rprzntuj vzorc (9); výraz vhodně zapíšm. Konstantu přdsunm přd intgrál (pravidlo ) a násobím ji intgrálm upravné funkc, ktrá přdstavuj vzorc (9). Intgrál vypočtm.

12 Příklad 9: Intgrujt! cos cos cos d d ( ) d d d ( ) cos cos cos cos cos tg c d Nlz-li při řšní intgrálu ihnd použít vzorců pro intgraci základních funkcí, upravujm daný výraz tak dlouho, až lz vzniklý výraz pomocí těchto základních vzorců intgrovat. V našm případě nahradím výraz v jmnovatli zlomku výrazm cos, protož platí vztah + co = (jdnotková rovnic), tj. cos = Abychom mohli použít základní vzorc pro intgrování, rozdělím zlomk na dva zlomky, z nichž vznikl. Intgrál součtu funkcí j rovn součtu intgrálů jdnotlivých funkcí (pravidlo ). Dál už lz intgrovat pomocí základních vzorců pro intgrování (6), (). Podmínka : (cos 0) k kz cot g d d cos d d cot g c d ( ) d ( ) d ( 0) k ; funkci upravím cos nahrazním cotg poměrm ;dál postupuj obdobně jako v přdchozím příkladě vzorc (7). () kz

13 .cos tg cot g c d d d d cos ( ).cos cos cos d ( 0 cos 0) k. ; kz njprv funkci upravím nahradím v čitatli výrazm odpovídajícím jdnotkové rovnici + cos = ; násldně rozdělím vzniklý zlomk na dva (stjně jako v přdcházjících řšných příkladch) a na základě tohoto rozdělní můžm použít (pravidlo ) a vzorců pro intgraci základních funkcí (6), (7) Příklad 0: Intgrujt! d d d d ( )..ln c ; Nachází-li s v čitatli zlomku mnohočln stjného nbo vyššího řádu jako s nachází v jmnovatli daného zlomku, pak postupujm tak, ž čitatl dělím jmnovatlm tj. ( + ) : ( - ) = + a nahradím původní zlomk tímto novým výrazm. Nyní můžm intgrovat jdnotlivé člny mnohočlnu (pravidlo ) a použít k intgraci mtod a vzorců, o nichž jsm hovořili již v přdchozích řšných příkladch zjména pravidla a vzorc (9). Ukažm si jště druhou mtodu řšní tohoto příkladu! d d ( ) d ( ) d d. d ;.ln c Čitatl původního zlomku vhodně doplním konstantami tak, abychom v čitatli získali výraz nacházjící s v jmnovatli zlomku nějaká konstanta. Násldně vzniklý zlomk rozložím vhodně na dva zlomky. Pak můžm k intgraci použít mj. pravidl a a vzorc (9).

14 d 6 6.ln 6 c 6 6 d 6 6 ( ) d ( ) d 6 d 6. d 6 6; k výpočtu intgrálu použijm druhou mtodu řšní, jž jsm použili při výpočtu přdcházjícího intgrálu; čitatl vhodně doplním konstantami; násldně vzniklý zlomk rozložím na dva a k další intgraci použijm pravidl a a vzorc (9) d d d d ( ) ln c ; Nachází-li s v čitatli zlomku mnohočln stjného nbo vyššího řádu jako s nachází v jmnovatli daného zlomku, pak postupujm tak, ž čitatl dělím jmnovatlm tj. ( + + ) : ( + ) = + a nahradím původní zlomk tímto novým výrazm. Nyní můžm intgrovat jdnotlivé člny mnohočlnu (pravidlo ) a použít k intgraci mtod a vzorců, o nichž jsm hovořili již v přdcházjících řšných příkladch zjména pravidla a vzorc (9). Příklad : Určt rovnici křivky, ktrá prochází bodm ; Řšní: A a jjíž tčna v libovolném bodě má směrnici! ) směrnic tčny F ( ) f ( ) tzn. znám výsldk první drivac k t hldané primitivní funkc ) f ( ) d F( ) c ( ) d c ) Z všch primitivních funkcí tvaru F : y c určím tu z nich, jjíž graf prochází A do nalzného přdpisu funkc F a vypočtm c. c c ) Hldaná funkc má přdpis: y bodm A ; Dosadím souřadnic bodu ;

15 Úlohy k procvičování: Intgrujt (podmínky ponchávám na čtnáři)! ) ( 6 ) d c ) ( 6 ) d c ) ( ) d ln c ) ( ) d 9. c ) d c 6) d.. 7) d c 7 c 8) tgd ln cos c

16 9) ( 0) d 0 c 0) ( ) d cos c ) ( cos ) d cos c ) ( ) d c ln ln ) d 9 6 c 8 ) d c cos ) d cos c 6) d cos cos 7) d cos c cot g c

17 cos 8) d tg c 9) ( ) d.. c 0) ( ).( ) d c ) (. ) d. ln cos c ) d ln 6 c ) cot gd ) d ln c ln c ) d ln c

18 6) d ln c cos 7) d cos cos c 8) cos d 9) tg d cos c tg c 0) ( ) d c ln ) d.ln c ) d ln c ) d 8 c ) d ln c

19 ) d 6) d c.ln c 7) d ln c 8) d ln c 9) Určt rovnici křivky, ktrá prochází bodm ;! f : y A a jjíž tčna v libovolném bodě má směrnici 0) K dané funkci f : y určt primitivní funkci F tak, aby graf funkc F procházl bodm A ; f : y ) K dané funkci A ; f : y určt primitivní funkci F tak, aby graf funkc F procházl bodm f : y.ln

20 INTEGRAČNÍ METODY ) Substituční mtoda intgrac Tato mtoda s používá při intgrování složných funkcí f : y f ( z); z g( ) f ( z) dz F( z) c Pro intgrál složné funkc f : y f ( z); z g( ) pak platí:. f ( z) dz f g( ) g ( ) d za přdpokladu, ž istuj drivac funkc g () Postup řšní nurčitého intgrálu substituční mtodou njlép pochopít na řšných příkladch. Volit vhodnou substituci nní snadné a vyžaduj určitou zkušnost. Řšné úlohy: Příklad : Intgrujt! dt 7 t 7 ( ) ( ) d t t dt. 7 c zavdm substituci: t substituci drivujm: ( t ) ( ) dt d vyjádřím d : dt d nové proměnné dosadím do původního intgrálu (viz šipky) Násldně intgrál řším pomocí základních pravidl pro intgrování konstantu přdsunm přd intgrál (pravidlo ) a t 6 dt intgrujm jako mocninnou funkci (vzorc ). Na závěr za t dosadím původní výraz.

21 ( ) d dt t t dt t t.( ) c ; zavdm substituci: t substituci drivujm: ( t ) ( ) dt d vyjádřím d : d dt nové proměnné dosadím do původního intgrálu Násldně intgrand upravím tak, abychom mohli použít intgrační pravidla odstraním zlomk přvdním výrazu v jmnovatli zlomku do jho čitatl a dál intgrál řším užitím vzorc (). Výsldk njprv upravím a na závěr dosadím za proměnnou t zpět původní výraz. dt dt d t t t dt t t ( ) c ; zavdm substituci: t substituci drivujm: ( t ) ( ) dt d vyjádřím d : dt d Násldně intgrand upravím přvdním odmocniny na mocninu a dál intgrál řším užitím pravidla a vzorc (). Výsldk upravím a na závěr dosadím za proměnnou t zpět původní výraz. nové proměnné dosadím do původního intgrálu dt ( ) d t dt t ( ) t t dt t c ; < zavdm substituci: t substituci drivujm: ( t) ( ) dt d vyjádřím d : d dt Násldně intgrand upravím tak, ž přvdm odmocninu na mocninu a dál intgrál řším užitím pravidla a vzorc (). Výsldk upravím a na závěr dosadím za proměnnou t zpět původní výraz. nové proměnné dosadím do původního intgrálu

22 .. 8 t d ( ). d c t dt. ( ) 8 tdt 8 t t dt. 8 ; 0 zavdm substituci: t substituci drivujm: ( t) ( ) dt d vyjádřím d : d dt nové proměnné dosadím do původního intgrálu Intgrovanou funkci vhodně upravím, násldně zavdm substituci a po zpětném dosazní substituc do původního intgrálu vzniklou funkci upravím. Přvdm odmocninu na mocninu a intgrál řším užitím pravidla a vzorc (). Výsldk opět zjdnoduším a na závěr dosadím za proměnnou t zpět původní výraz s původní nznámou. tgd cos d. d cos.( dt) t dt t ln t ln cos c (cos 0) k kz zavdm substituci: t cos substituci drivujm: ( t) (cos ) dt d vyjádřím d : d dt nové proměnné dosadím do původního intgrálu Intgrovanou funkci upravím, zavdm vhodnou substituci a po zpětném dosazní substituc do původního intgrálu vzniklou funkci upravím. Intgrál řším užitím pravidla a vzorc (8). Výsldk zjdnoduším a na závěr dosadím za proměnnou t původní výraz s původní nznámou.

23 cos t cos d cos. d t.( dt) t dt c zavdm substituci: t cos substituci drivujm: ( t) (cos ) dt d vyjádřím d : d dt nové proměnné dosadím do původního intgrálu Intgrovanou funkci upravím, zavdm substituci a po zpětném dosazní substituc do původního intgrálu vzniklý intgrál řším užitím pravidla a vzorc (). Na závěr dosadím za proměnnou t původní výraz s původní nznámou. dt cos( ) d cos t. tdt t c cos ( ) ( ) zavdm substituci: t substituci drivujm: ( t) ( ) vyjádřím d : dt d d dt Intgrovanou funkci upravím zavdním substituc a po zpětném dosazní nové proměnné do původního intgrálu vzniklý intgrál řším užitím pravidla a vzorc (). Na závěr dosadím za proměnnou t původní výraz s původní nznámou. nové proměnné dosadím do původního intgrálu ln t ln d d tdt c ln. ; > 0 zavdm substituci: t ln substituci drivujm: ( t) (ln ) vyjádřím d dt d : dt d Intgrovanou funkci upravím, zavdm substituci, provdm náhradu původních výrazů novými (získanými substitucí) a vzniklý intgrál řším užitím vzorc (). Na závěr dosadím za proměnnou t původní výraz s původní nznámou. nové proměnné dosadím do původního intgrálu

24 ln t ln d d t dt c ln. ; > 0 zavdm substituci: t ln substituci drivujm: ( t) (ln ) vyjádřím d dt d : dt d Intgrovanou funkci upravím, zavdm substituci, provdm náhradu původních výrazů novými (získanými substitucí) a vzniklý intgrál řším užitím vzorc (). Na závěr dosadím za proměnnou t původní výraz s původní nznámou. nové proměnné dosadím do původního intgrálu d. d dt. t t dt. t.. t. 8 ( ) c zavdm substituci: t substituci drivujm: ( t ) ( ) vyjádřím d : dt d dt d nové proměnné dosadím do původního intgrálu Intgrovanou funkci vhodně upravím, zavdm substituci a po zpětném dosazní substituc do původního intgrálu vzniklou funkci upravím. Přvdm odmocninu na mocninu a odstraním zlomk. Intgrál řším užitím pravidla a vzorc (). Výsldk opět zjdnoduším a na závěr dosadím za proměnnou t zpět původní výraz s původní nznámou. d t dt. ( ) t dt t c zavdm substituci: t substituci drivujm: ( t) ( ) dt d vyjádřím d : d dt nové proměnné dosadím do původního intgrálu Zavdm substituci a po zpětném dosazní substituc do původního intgrálu, vzniklý intgrál řším užitím pravidla a vzorc (0). Na závěr dosadím za proměnnou t původní výraz s původní nznámou.

25 dt tg d d d dt t c.. t ln ln cos cos cos ( ) t (cos 0) k kz zavdm substituci: t cos substituci drivujm: ( t) (cos ) dt ( ). d vyjádřím d : d dt nové proměnné dosadím do původního intgrálu Intgrovanou funkci vhodně upravím, zavdm substituci a po zpětném dosazní substituc do původního intgrálu vzniklou funkci opět upravím. Takto vzniklý intgrál řším užitím pravidla a vzorc (8). Na závěr dosadím za proměnnou t původní výraz s původní nznámou. d cos d ( cos ) d d cos d d dt cos t. d cos tdt t c njprv nahradím užitím vzorc pro výpočt cos co cos cos cos cos konstantu přdsunm přd intgrál a intgrujm čln po člnu druhý intgrál řším užitím substituční mtody intgrac zavdm substituci: t substituci drivujm: ( t) () dt d vyjádřím d : dt d nové proměnné dosadím do původního intgrálu a intgrál vypočtm

26 Úlohy k procvičování: Intgrujt (podmínky ponchávám na čtnáři)! ) ( ) 7 d ( ) 8 c ) ( ) d ( ) 8 c ) d c ) cos d c ) cos d c 6) cot g d ln 7) d c c

27 8). cos d ( cos ) c cos 9) d 0) d. c. c ) a d a c ln a ) (cos ) d ) d c cos c tg ) d cos tg c ).cos d c

28 6) 0 ( ) d ( 7). d ) c 6 ( ) c 8) ( ) d 6( ) c 9) d ln 6 c 0) 7d cos 7 c 7 ln ) d ) d ln c ) cos d cos cos c c

29 ) d c ) cos d c

30 ) Intgrac mtodou pr parts (Intgrac po částch ) J mtoda, při ktré danou funkci intgrujm postupně, tdy po částch. Používá s při intgraci součinu dvou funkcí. Jsou-li dány dvě funkc u() a v(), ktré mají vlastní drivac u () a v (), pak pro drivaci součinu těchto funkcí platí: u( ). v( ) u ( ). v( ) u( ). v ( ) nbo psáno stručněji: ( u. v) u. v u. v Násldně: u. v ( u. v) u. v Rovnici intgrujm (lvou i pravou stranu) za přdpokladu, ž uvdné intgrály istují: u. v d u. v u. v d u. v d u. v d u v d. u. v d u. v u. v d V rámčku j uvdn vzorc pro intgraci mtodou pr parts Řšné úlohy: Příklad : Intgrujt! volím : u cos.cos d : vypočtm : u cos d : v. v d. cos c volím u a v (mtoda pr parts vyžaduj znalosti drivací funkcí pro správnou počátční volbu funkcí u a v) vypočtm u a v v směru šipk použijm vzorc mtody pr parts (stjně tak postupujm v násldujících řšných příkladch)

31 c d v d u v u d d v d u v u d cos.cos ) cos (.cos ) (.cos cos cos..cos.cos.cos ) cos (.cos cos : :. c d v d u v u d d v d u v u d ) ( ) ( : :... : :. volím : vypočtm : viz přdchozí příklad: volím : vypočtm : volím : vypočtm :

32 volím : u ln d : vypočtm : u d : v ln.ln v. d ln d ln c ; >0 Úlohy k procvičování: Intgrujt (podmínky ponchávám na čtnáři)! ) d c ). d cos c ) cos d cos c ) ( ) d c ). ln d ln c 6) ln d ln c 6

33 7) d ( 8) ln d ) c (ln ln ) c ln 9) d (ln ) c 0) d ( cos ) c