4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout.

Transkript

1 Etrém funkc 4. PRŮBĚH FUNKCE Průvodc studim V matmatic, al i v fzic a tchnických oborch s často vsktn požadavk na sstrojní grafu funkc K nakrslní grafu funkc lz dns většinou použít vhodný matmatický softwar. Můž s však stát, ž při zadání funkčního přdpisu udělám chbu, ž zvolím nvhodný intrval pro zobrazní grafu, nbo ž si zvolný softwar s vkrslním grafu dokonal nporadí. pro tto případ j nutné naučit s hldat význačné vlastnosti funkc. V této kapitol budou tto význačné vlastnosti uvdn a v závěru kapitol j shrnm a naučím s graf funkc = f(). = f() načrtnout. 4.. Etrém funkc Přdpokládané znalosti V této a dalších částch budm hovořit o monotónnosti funkcí, viz dfinic.4. a budm používat větu..6. Výklad Dfinic 4... Říkám, ž funkc f ( ) má v bodě 0 D f absolutní maimum Df : f( ) f( 0), absolutní minimum : ( ) ( 0), Df f f lokální maimum O ( 0): O ( 0) f( ) f( 0),, jstliž lokální minimum O ( 0): O ( 0) f( ) f( 0), ostré lokální maimum O( 0): O( 0)\{ 0} f( ) < f( ), 0 ostré lokální minimum O( 0): O( 0)\{ 0} f( ) > f( 0 ). Jstliž nastan něktrá z přdchozích možností říkám, ž funkc f ( ) má v bodě 0 trém (absolutní, lokální, ostrý lokální). 0

2 Etrém funkc Řšné úloh Příklad Funkc (0) + = = má v bodě + 0 = 0 absolutní maimum. Nrovnic platí pro všchna R. Po úpravě totiž dostanm ( + ), dál pak 0. Přdchozí úvaha platí pro každé O ( 0) a td funkc má v bodě 0 = 0 také lokální maimum, ktré j ostré, protož 0 < pro všchna R { } \ 0. Příklad Funkc = + má v bodě 0 = 0 ostré lokální minimum, protož nrovnic + > (0) = 0 j splněna v okolí (,) bodu 0 s výjimkou bodu 0, nboť po úpravě dostanm ( + ) > 0. ( ) = 4 < (0). Toto lokální minimum nní absolutní, protož například Výklad Věta 4... Nchť j 0 vnitřní bod D a nchť istuj f ( 0) 0. Pak funkc f ( ) nmá f v bodě 0 lokální ani absolutní trém. Bz důkazu. 0

3 Etrém funkc =f() f( ) f( ) 0 f( ) 0 0 O( ) 0 Obr. 46 Všimněm si na obr. 46, ž tčna k grafu funkc f ( ) v bodě rovnoběžná s osou. Eistuj td pro vhodně zvolné bod, Df O( 0). 0 nní pro f ( 0 ) 0 O ( 0) takové, ž platí f ( ) > f( 0), f( ) < f( 0 ) Poznámka Z vět 4.. vplývá, ž lokální i absolutní trém mohou istovat pouz v bodch 0 D f, v nichž f ( 0 ) = 0, nbo v nichž f ( 0 ) nistuj. Bod 0, v nichž f ( 0 ) = 0 budm nazývat stacionární. Mzi bod, v nichž f ( 0 ) nistuj, patří také krajní bod dfiničního oboru. Výklad Věta 4... Spojitá funkc, jjíž drivac mění v bodě 0 znaménko, má v bodě 0 ostrý lokální trém. 04

4 Etrém funkc Bz důkazu. Uvědomím si, ž podl vět..6 j pro f ( ) > 0 funkc f ( ) rostoucí a pro f ( ) < 0 j funkc f ( ) klsající. Podl vět 4.. můž drivac spojité funkc f ( ) změnit znaménko pouz v bodch 0 D f, v nichž f ( 0 ) = 0, nbo v nichž f ( 0 ) nistuj. Řšné úloh Příklad Určt lokální trém funkc =. Řšní: Funkc j spojitá na množině rálných čísl R. Zjistím nulové bod a bod nspojitosti funkc + a podl vět 4.. rozhodnm, zda v nich bud lokální trém: ( ) = +. =. Bodm nspojitosti funkc j bod = 0. Jjí nulový bod získám řšním rovnic ( + ) = 0, tj. + = 0 a odtud =. Tto bod rozdělí R na tři intrval, viz obr. 47. : R Obr

5 Etrém funkc = 0 Obr. 48 Vužijm poznatků o řšní nrovnic z kapitol.4 a dostanm: ( ) > 0, ( ) < 0, () > 0. Drivac funkc mění v bodch = 0 a = znaménko, tj. v těchto bodch istují lokální trém. Bod = j stacionárním bodm. Monotónnost funkc na obr. 48. s v bodch = 0 a = mění, viz obr. 47. Graf funkc j Výklad Věta 4... Přdpokládjm, ž f ( 0) = 0 a f ( 0) < 0, rsp. f ( 0) > 0. Pak má funkc f ( ) v bodě 0 ostré lokální maimum, rsp. ostré lokální minimum. Bz důkazu. Pro maimum v bodě 0 platí, ž f ( ) > 0, pro ( 0 δ, 0) a f ( ) < 0 pro ( 0, 0+ δ ) a vhodné δ > 0, viz obr. 49, 50. Funkc f ( ) j zřjmě v intrvalu ( 0 δ, 0+ δ ) klsající a td f ( 0) < 0. 06

6 Etrém funkc =f() 0 + δ 0 0 δ δ δ = f () Obr. 49 Obr. 50 Podobnou úvahu můžm provést pro minimum v bodě 0 a dostanm f ( 0) > 0. Řšné úloh Příklad Určt trém funkc =, jjíž dfiniční obor j D f =<, >. Řšní: Z řšní přdchozího příkladu vím, ž daná funkc má v bodě = ostré lokální maimum a v bodě = 0 má ostré lokální minimum. Z poznámk za větou 4.. vplývá, ž zbývá určit funkční hodnot funkc v krajních bodch dfiničního oboru, tj. v bodch Dostanm: 0 ( ) = 0,6788, 4 ( ) =. 0,98, 9 (0) =.0 = 0, ( ) =., = a =. 4 07

7 Etrém funkc Z přdchozích vztahů vplývá, ž funkc má v lokálním minimu = 0 absolutní minimum a v krajním bodě dfiničního oboru 4 = má absolutní maimum. Výklad Bz důkazu přdchozí větu zobcním. Věta Nchť má funkc f ( ) v bodě spojitou n-tou drivaci pro n a nchť ( n ) ( n) f ( 0) = f ( 0) = = f ( 0) = 0 a f ( 0) 0. ( n) ( n) f ( 0) 0, rsp. f ( 0) > 0, 0 J-li n číslo sudé a < pak má funkc f ( ) v bodě 0 ostré lokální maimum, rsp. ostré lokální minimum. J-li n liché číslo, pak v 0 trém nistuj. Řšné úloh Příklad Určt lokální trém funkc = Řšní: Funkc j polnom, tj. jjí dfiniční obor a dfiniční obor jjích drivací j R = + = ( ) stacionární bod jsou = 0, =. 4. = 8 + 5, (0) = 0, () = 0 budm dál drivovat.. = , (0) = 0, () = 0 v = nistuj trém. (4) (4) 4. = , (0) = 6> 0 v = 0 j ostré lokální minimum. 08

8 Poznámka Etrém funkc Většina praktických úloh vd na hldání absolutního maima nbo minima funkc, ktrá úlohu popisuj. Tnto trém můž, al nmusí být lokální. Řšné úloh Příklad Z bodu O do bodu A vd přímá žlznic, viz obr. 5. Navrhnět umístění přkladového nádraží v bodu B na této trati tak, ab při silniční dopravě z bodu C do bodu B po přímé silnici a násldné dopravě z bodu B do bodu A po žlznici bla cna za přpravu jdnotk zboží njnižší. Cna za dopravu jdnotk zboží po žlznici j 0, Kč/km a po silnici 0,5 Kč/km. Cna přkládk za jdnotku j Kč. Vzdálnost OA j 00 km, vzdálnost OC j 0 km. C=(0,0) 0 B=(,0) A=(00,0) Obr. 5 Řšní: Označm souřadnic bodu B= (,0), kd j hldaná vzdálnost bodu B od bodu O. Délka cst po žlznici pak bud (00 ) km a délka přprav po silnici +0 km. Cna přprav jdnotk zboží j pak dána funkcí = (00 ).0, ,5 +, D =< 0,00 >. Určím absolutní minimum této funkc: 09

9 = 0, +.0, Funkc j spojitá, určím td jjí stacionární bod: Etrém funkc 0, +.0,5 = 0 = 5= = = 400, =±. Do patří pouz D 0 =. Přsvědčím s, ž v bodě s jdná o minimum funkc: ( + 00) 50 = = = = ( + 00) 4 ( + 00) ( + 00) 0 J vidět, ž > 0 pro všchna D a td i pro, tj. v bodě = jd o minimum funkc. Nní zjistím funkční hodnot v krajních bodch D a porovnám j s funkční. hodnotou v bodě : 0 (0) = 6, (00) 5, 5, 5,58. Njvýhodnější j postavit nádraží v bodě B, ktrý j od bodu O vzdáln 0 km. Kontrolní otázk. Při vštřování lokálního trému funkc f ( ) v bodě 0 sldujm funkční hodnot této funkc a) v clém jjím dfiničním oboru, b) v okolí bodu 0, c) pouz v bodě 0.. Stacionárním bodm funkc f ( ) nazývám bod 0, v ktrém a) f ( 0) = 0, 0

10 Etrém funkc b) f ( 0) 0, c) f ( 0) nistuj.. Spojitá funkc f ( ) má v bodě v okolí bodu 0 a) nmění znaménko, b) rovná s nul, c) mění znaménko. 4. Pro funkci f ( ) v bodě a) j ostré lokální minimum, b) j ostré lokální maimum, c) nní tam lokální trém. 0 ostrý lokální trém. Pak drivac této funkc f ( ) 0 platí, ž f ( 0) = 0 a f ( 0) > 0. Pak v bodě 0 5. Má-li funkc f ( ) v bodě 0 stacionární bod, pak v bodě 0 lokální trém a) určitě nastan, b) nnastan, c) můž nastat. Odpovědi na kontrolní otázk. b);. a);. c); 4. a), 5. c). Úloh k samostatnému řšní. Najdět intrval, na ktrých j daná funkc rostoucí a na ktrých j klsající: a) 5 =, b) = 5 +, c) =, + 4 d) = + +, ) = +, f) = +.. Najdět intrval, na ktrých j daná funkc rostoucí a na ktrých j klsající: a) =, b) =, c) =,

11 Etrém funkc d) = ln +, ) = ln, f) g) = + cos, h) = sin + cos, i). Ukažt, ž funkc = arctg j pro každé rálné klsající. 4. Nalznět lokální trém daných funkcí: a) = ( 6 ), b) = 6, c) d) = 4 +, ) = 5. Nalznět lokální trém daných funkcí: a) d) = +, b) =, ) = ln( + + ), = arccos + = , +, f) = +. =, c) =, f) =, =. 6. Nalznět lokální trém daných funkcí: + a) = ln, b) = ln, c) = ln, ln d) = ln, ) =, f) = ln + arctg. 7. Nalznět lokální trém daných funkcí: a) = + arctg, b) = 6, c) =, d) = 4 tg, ) = sin, f) = + arccotg( ). 8. Určt absolutní trém funkcí na daném intrvalu: a) = 6+ 0,, 5, b) = ln,,, π c) = tg tg, 0,, d) =, ( 0, ). 9. Číslo 8 rozložt na dva sčítanc tak, ab jjich součin bl njvětší. 0. Najdět takové kladné číslo, ab součt tohoto čísla a jho přvrácné hodnot bl njmnší.. Jaké rozměr musí mít pravoúhlý rovnoběžník daného obvodu s, ab jho úhlopříčka bla njmnší?. Dokažt, ž z všch pravoúhlých rovnoběžníků daného a) obsahu má čtvrc njmnší obvod, b) obvodu má čtvrc njvětší obsah..

12 Etrém funkc. Z válcového kmn o průměru d s má vtsat trám obdélníkového průřzu tak, ab měl maimální nosnost. Z nauk o pvnosti j známo, ž nosnost trámu j dána vztahm = kab, kd k>0 j součinitl matriálu, a j šířka a b výška trámu. 4. Z čtvrcového plchu o straně a s má vrobit otvřná krabic tak, ž v rozích s odstřihnou čtvrc a zbtk s zahn do krabic. Jak vlká musí být strana odstřižných čtvrců, ab bl objm krabic maimální? 5. Cstovní kanclář pořádá zájzd. J-li počt účastníků zájzdu 00 a méně, j cna pro jdnoho účastníka 600 Kč. Při větším počtu nž 00 s cna sníží za každého účastníka navíc o,50 Kč. Při kolika účastnících bud obrat cstovní kanclář njvětší? Výsldk úloh k samostatnému řšní. a) rostoucí:, a,, klsající:, ; b) rostoucí: (, ) a (, ) ) (,), klsající: (, ; c) rostoucí: d) rostoucí:, a (, (, ), klsající: (, ) ), klsající: ( ) ( klsající: (, ) a (,) a (, ), klsající: (, ) a (, ) ;, v, j konstantní, = ; ) rostoucí:,0 a 0, a,.. a) rostoucí: (,0) b) rostoucí:, klsající: (0, ) (,0) a (, ) ; c) rostoucí: ( ) (,0) a ( 0,) ; d) rostoucí: ( 0, ), klsající: (,0) 0, ; f) rostoucí: (, ) ; g) rostoucí: (, ) ); f) rostoucí: (, ) a (, ), ( ), klsající: 0, ;,, klsající: ; ) rostoucí: ; h) rostoucí: π π 5 π + kπ, + kπ, klsající: + kπ, π + kπ, k Z ,, klsající: 0,, ; i) rostoucí: ( ) klsající: (,0). 4. a) ma = 0 pro = 0, min = pro = 4 ; b) ma = 0 pro =, min = pro = ; c) nmá lokální trém; d) ma = pro = 0 ; ) nmá lokální trém; f) min = pro =,

13 Etrém funkc min = pro =. 5. a) min = pro = 0 ; b) min = pro =, ma = pro = ; c) ma = pro =, ma = pro =, min = 0 pro = 0 ; d) ma = pro = ; ) ma = pro = ; f) ma pro = =, min = 0 pro = a) min = pro = ; b) nmá lokální trém; c) min = pro = ; d) ma pro = =, min = pro = ; ) ma = pro = ; f) min = ln- pro = a) nmá lokální trém; b) ma = 6 pro = 0, min = 0 pro = 4, min = 0 pro = 4 ; c) ma = pro =, min = 0 pro = ; 4π π d) ma = + 4kπ pro = + kπ, k Z, 4π π min = + 4kπ + pro = + kπ, k Z ; ) ( π + kπ ) 4 π ma = pro = + kπ, 4 5π ( + kπ ) 4 5π min pro k 4 π = = + π, k Z ; f) ma = pro =, 4 π min = + pro =. 8. a) ma = 7 pro =, min = pro = ; 4 b) π ma = pro =, min = pro = ; c) ma = pro =, nmá 4 absolutní minimum; d) min 0.69 pro =, nmá absolutní maimum. π 9. [ 4 4] s s =.. a=, b= d d a =, b=. 4. a a =, Vma = n = 70. 4

14 Etrém funkc Kontrolní tst. Najdět intrval, na ktrých j funkc = + rostoucí a na ktrých j klsající. a) rostoucí (, ) a (, ), klsající (,), b) rostoucí (,), klsající (, ) a (, ), c) rostoucí (, ), klsající (, ).. Najdět intrval, na ktrých j funkc a) rostoucí (, ), klsající (,), b) rostoucí (,), klsající (, ), c) rostoucí (, ), klsající (, ). = rz monotónní:. Najdět intrval, na ktrých j funkc = + arccotg rz monotónní. a) rostoucí (,), klsající (, ) a (, ), b) rostoucí (,), klsající (, ), c) rostoucí (, ) a (, ), klsající (,). 4. Najdět všchn lokální trém funkc a) pro =, = 0 pro = 0, ma = 4 min b) = pro = 0, min = 4 pro =, ma 0 9 = =, min = 0 = 0. c) ma pro pro =. 5. Najdět všchn lokální trém funkc = sin + cos. a) ma = pro 5 π = π, min = pro =, 4 4 b) ma = pro = 0, min = pro = π, π c) ma = pro = + kπ, k clé č., min = pro 4 6. Určt absolutní trém funkc = ln na intrvalu <, >. a) ma = pro =, min = ln pro =, b) ma = pro =, min = pro =, 5 = π + kπ, k clé č. 4 5

15 Etrém funkc c) ma = ln pro =, min = pro =. 7. Vpočtět rozměr obdélníku o ploš 5 cm tak, ab měl njkratší úhllopříčku. a) a = 5 cm, b = 5 cm; b) a = 4,75 cm, b = 5,5 cm, c) a = 4,5 cm, b = 5,9 cm. Výsldk tstu. a);. b);. c); 4. b); 5. c); 6. a); 7. a). Průvodc studim Pokud jst správně odpověděli njméně v 5 případch, pokračujt další kapitolou. V opačném případě j třba prostudovat kapitolu 4.. znovu. 6