Kinematická metoda výpočtu reakcí staticky určitých soustav

Transkript

1 Kinematická metoda výpočtu reakcí staticky určitých soustav 1) Uvolnění jednoho stupně volnosti odpovídající reakci, kterou chceme určit (vytvoření kinematického mechanismu o jednom stupni volnosti). Zavedení neznámé reakce. 2) Zavedeme virtuální přemístění v závislosti na jediném virtuálním parametru (posun, natočení). Přitom nesmíme porušit kinematické vazby. 3) Vyjádříme virtuální práci sil a momentů, včetně neznámé reakce. 4) Z podmínky nulové virtuální práce určíme neznámou velikost reakce. Copyright (c) Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front- Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at F F B W = F w 1 B w 2 = F x 1 B L = F x 1 B L =0 W =0 F x 1 B L=0 B=F x 1 L x 1 L w 1 =x 1 w 1 w 2 w 2 =L 1

2 Ad 1) Uvolnění vazeb a zavedení reakcí Vnější vazby v rovině R R x R z M r R x R z 2

3 Ad 1) Uvolnění vazeb a zavedení reakcí Vnitřní vazby v rovině R R z R x R x R z R x M r R x R z R z 3

4 Ad 2) Popis kinematicky přípustného virtuálního přemístění z Středy otáčení desek x u z,o O u x,o O O' Pro dané virtuální přemístění závisí virtuální posuny u x,o, u z,o a natočení na volbě bodu O z k uz,k x k k u x,k Pro bod O k u x,k = u z,k =0 k' O k Pro každou desku lze však nalézt absolutní střed otáčení desky O k, pro který lze veškeré virtuální přemístění popsat pouze rotací okolo O k u x,k = u x,0 z k =0 u z, k = u z,0 x k =0 z Ok = u x, 0 x Ok = u z, 0 4

5 Poloha středu otáčení O k závisí na vnitřních a vnějších vazbách desky O k O k u x O k Vnitřní i vnější kloub O k leží na průsečíku kolmic k vodícím přímkám vazeb u x O k leží v nekonečnu 5

6 Vzájemný střed otáčení dvou desek bod, kolem kterého se desky vzájemně otáčejí I II 2 2 I II První třípólová věta : Středy otáčení desky I ( ) a desky II ( ) leží na jedné přímce s vzájemným středem 2 I r r II u 12 = 1 r 1 u 12 = 2 r 2 2 = r 1 r u 12 6

7 Druhá třípólová věta : Tři vzájemné středy otáčení tří desek leží na jedné přímce I II 2 3 O 3 III 3 7

8 Příklady možných poloh středů otáčení desek a) 2 leží mezi a I r r II u 12 = 1 r 1 u 12 = 2 r 2 2 = r 1 r u 12 b) 2 leží vně a u 12 = 1 r 1 u 12 = 2 r 2 2 = r 1 r 2 1 I II u r 1 r 2 2 8

9 c) 2 leží v nevlastním bodě 2 I II 2 = 1 1 d) = 2, deska II je nepohyblivá, bod lze volit libovolně na desce II =2 1 I II O2 9

10 e) další příklady složených soustav a středů otáčení 2 I II I 2 II s = 2x3 o 5 o = +1 o s = 2x3 o 5 o = +1 o 10

11 Ad 3) Výpočet virtuální práce x F i F i u i = u ix ; u iy u ix =r kiz z A i u i A i '' u iz = r kix r kiz Virtuální práce W = F i u i =F ix r kiz F iz r kix W =M ki u z = u x =0 M ki O k Síla F i způsobuje moment M ki k bodu O k r kix 11

12 F 2 F 2 Virtuální práci soustavy sil F i lze vypočítat superpozicí jako virtuální práci momentů M ki od sil F i ke středu otáčení desky O k F 1 F 1 A 1 u 1 A 1 '' W = i M ki = i M ki M ki O k 12

13 10 kn Vyřešte reakce v kloubu a kinematickou metodou 5 kn 10 kn 2 5 kn 4 m I II Uvolnění svislé vazby 1 = 2 2 a b = 3 m 2 m 1 A z 1 4 m 1 r 1 =5 m Uvolnění vodorovné vazby 5 kn W = 6A z = 6 A z =0 A z =5.833 kn 2 10 kn A x 1 = 2 u 12 r2 =5 m 2 W = 8 A x = 8 A x =0 A x = kn 13

14 Určete velikosti reakcí B x a B z kinematickou metodou 10 kn 4 kn u x 1 a B x x 1 2 m 2 m B z z Dvě nezávislá virtuální přemístění u x a W = 4 B x u x B z =0 Podmínka nulové virtuální práce se rozpadne na dvě nezávislé rovnice 4 B x =0, B x = 4 kn a B z =0, B z = 6 kn 14

15 Určete všechny reakce kinematickou metodou 3 m 2 A B 10 kn 5 kn Výpočet reakce C W = C cos 45 o 1 =0 C= 21,213 kn u z u x 3 m 2 45 o C Výpočet reakce A W = 2 A =0 A=10 kn Kontrola W = A 5 C cos 45 o u x =0, OK W = B 10 Csin 45 o u z =0, OK Výpočet reakce B W = 2 B =0 B= 5 kn O 3 15

16 Určete moment ve vetknutí Gerberova nosníku pomocí PVp 6 kn/m' 10 kn a b c 5 kn d e 8 knm 4 m 2 m 2 m 2 m 2 m 4 m 2 m 2 3 O 3 M a w 12 = 4 Volba nezávislého natočení kn 24 kn 10 w 23 = kn W = M a =0, M a = 292 knm Pozn. Virtuální práci od osamělých sil lze počítat buď jako součin síly a virtuálního posunu či jako součin momentu od síly a virtuálního natočení 16

17 Určete reakci v podpoře c pomocí PVp 6 kn/m' 10 kn a b c d e 4 m 2 m 2 m 2 m 2 m 4 m 2 m 8 knm 5 kn 3 O 3 R c kn 24 kn 7 w 23 = kn 2 4 Volba nezávislého natočení W = 2 R c =0, R c =106 kn Pozn. Místo virtuálního natočení v kloubu b lze zvolit virtuální posun pod reakcí R c. Konzola je nesoucí část, zatížení na konzole tedy nemá vliv na reakci R c. 17

18 Určete svislé síly v kloubu b a moment nad podporou c pomocí PVp 6 kn/m' 10 kn a b c 5 kn d e 8 knm 4 m 2 m 2 m 2 m 2 m 4 m 2 m w 10 kn 12 kn 24 kn B z B z 2 0,75 w 0,75 w 12 kn W = 1 B z ,5 12 1,5 24 0, ,75 8 w=0, B z =73 kn a M b 2,5 w 1,5 w w 12 kn 10 kn 5 2 O12 3 w 24 kn kn 1,5 1,5 W = 1 M b ,5 12 1,5 8 =0, M b = 146 kn 8 knm 8 knm 18

19 2 m 2 m Určete reakce R ax a R az pomocí PVp 4 knm 8 kn II. I. R ax 2 m r 1 =2 5 m 2 r 2 =2 5 m 2 5 R ax R az 4 m 4 m r 2 =2 5 m Volba nezávislého natočení r 1 =4 5 m W =M O1 M O2 = 4 6 R ax 2 8 =0 R ax = 2 kn Pozn. v klasickém výpočtu reakcí je nutné řešit soustavu dvou rovnic R az W =M O1 M O2 2= 12 R az =0 R az =3 kn 19

20 Určete sílu v táhle pomocí PVp 10 knm 2 m 2 m 2 m I táhlo 4 m II 8 kn 2 S S Volba nezávislého natočení u=4 u Virtuální přemístění na desce II vyjádříme kvůli nevlastnímu absolutnímu středu otáčení pomocí posunu u W =M O1 F x u= 2 S 10 8 S u=0 W =[ 2 4 S ]=0 2S 42=0, S=21 kn 4 20

21 Otázky Lze na každé uvolněné tuhé desce vždy nalézt absolutní střed otáčení při libovolně zadaných virtuálních posunech a natočení? Kde je vzájemný střed otáčení dvou desek? Jak se pohlíží na kyvný prut, který spojuje dvě tuhé desky? Kdy je vzájemný střed otáčení třech desek v nekonečnu? Kolik vazeb můžeme nanejvýše uvolnit ve vetknutí prutu? Lze poznat z kinematického mechanismu, které síly přispívají k určité reakci na Gerberově nosníku? Kolik lineárně nezávislých podmínek z PVp lze sestavit na staticky určité soustavě tvořené ze třech tuhých desek? Konají reakce ve vazbách virtuální práci? 21

22 Přednášky z předmětu SM1, Stavební fakulta ČVUT v Praze Autor Vít Šmilauer Náměty, připomínky, úpravy, vylepšení zasílejte prosím na vit.smilauer@fsv.cvut.cz Created 12/2007 in OpenOffice 2.3, ubuntu linux 6.06 Last update Feb 21,