Princip virtuálních posunutí (obecný princip rovnováhy)

Transkript

1 SMA Přednáška 5 Princip virtuálních posunutí Deformační metoda Matice tuhosti prutu pro tahtlak Matice tuhosti prutu pro ohyb Program EduBeam Příklady Copyright (c) Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute andor modify this document under the terms of the GNU Free Documentation icense, Version. or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Tets, and no Back-Cover Tets. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation icense" found at

2 Princip virtuálních posunutí (obecný princip rovnováhy) Skutečný stav E,A N N u N N u E,A Virtuální stav Virtuální práce vnějších posunutí We δu N skutečná síla na prutu u skutečný posun konce prutu u virtuální (myšlený) posun, který nezávisí na skutečných posunutích a má libovolnou velikost (nenarušuje lineární systém) N virtuální síla, která plyne ze zvoleného u O EA u W e N u u Hustota energie deformace Virtuální práce vnitřních posunutí Wi E O W i V d V

3 Princip virtuálních posunutí (obecný princip rovnováhy) Pro prut z lineárně elastického materiálu platí δ W i V σ δ ε d V Eu δ u EA A d u δu d δ W e N δ u ( ) ( EA u δw i δw e δ u u d N δ u EA N δu ( N i N ) ) Z rovnosti vnitřních a vnějších virtuálních prací posunutí plyne obecně podmínka rovnováhy. Pozn. Virtuální posun u prozatím uvažujeme na okraji prutu (uzlu), posun po délce prutu uvažujeme lineární s maimální hodnotou u. ze však obecněji uvažovat, že u() je variace funkce posunutí a tím položit základ pro přibližné řešení úlohy (např. metoda konečných prvků).

4 Srovnání silové a deformační metody Silová metoda (SM) Obecná deformační metoda (ODM) Princip virtuálních posunutí Řídící princip Princip virtuálních sil Neznámé Síly, momenty Posuny a natočení ve styčnících (uzlech) Základní předpoklad Rovnováha sil a momentů Spojitost posunutí a natočení Počet neznámých (rovnic) Stupeň statické Stupeň kinematické neurčitosti konstrukce (přetvárné) neurčitosti SNK konstrukce KNK Podmínečné rovnice Podmínky spojitosti posunů a natočení v odebraných vazbách Poznámky Vhodná pro ruční výpočet Snadná algoritmizovatelnost, speciální případ metody konečných prvků Podmínky rovnováhy sil a momentů ve styčnících 4

5 Statická a kinematická neurčitost Stupeň statické neurčitosti určuje počet přetvárných podmínek v SM neznámé X, X... Stupeň kinematické neurčitosti určuje počet podmínek rovnováhy v ODM neznámé u, w,... u u w w SUK, KNK rovnic SM, rovnice ODM SUK, 9 KNK rovnic SM, 9 rovnic ODM SNK, KNK rovnice SM, rovnice ODM SNK, 6 KNK rovnice SM, 6 rovnic ODM u SNK, KNK rovnice SM, rovnice ODM 7 SNK, KNK 7 rovnic SM, rovnice ODM 5

6 Matice tuhosti prutu pro tahtlak Potřebovali bychom odvodit vztah mezi posunem konce prutu u a výslednou normálovou silou na prutu N, abychom se vyhnuli časté integraci po délce prutu. Eu A EA δw i δw e V σ δε d V N δuδ u d N δ u u N ( ) ( ) Tuhost prutu v tahutlaku. Výsledek integrace hustoty virtuální energie posunutí. Výsledek nezávisí na virtuálním posunu v deformační metodě se u přímo nevyskytuje. () ( ) (4) (5) (6) T Přeznačení dle konvence deformační metody r {u() a, w a, φ a, ub, w b, φ b } () z X Styčník a ab ua ub () 4 X ba (4 ) (5 ) (6) T Styčník b ua { } [ () R{X ab, Z ab, M ab, X ba, Z ba, M ba } ub ]{ } X ab EA u a u b X ba { }[ Matice tuhosti prutu pro tahtlak. Singulární, pozitivně semidefinitní symetrická matice, na diagonále čísla vždy >. ]{ } X ab k k u 4 a X ba k 4 k 44 ub Síla v místě a směru síly 4 od jednotkového posunu v místě a směru síly. 6

7 Matice tuhosti prutu pro ohyb () ( ) (4) (5) (6) T r {u() a, w a, φ a, ub, w b, φ b } z T R{X ab, Z ab, M ab, X ba, Z ba, M ba } 6 Styčník a wa M ba M ab φa Z Styčník b wb 5 Z ba ab φb Získání prvků matice tuhosti. Vynucení jednotkového posunu wa. k 6 k w a z () M ab k 5 k { }[ () Z ab (5) Z ba M (6) ba k k k 5 k 6 k k k 5 k 6 k 5 k 5 k 55 k 65 ]{ } () w a k 6 () k 6 φ a ) k 56 w(5 b k 66 φ (6) b Matice tuhosti prutu pro ohyb. Symetrická pozitivně definitní matice. 7

8 Alt. : Pomocí diferenciální rovnice ohybové čáry 6 M ba k 6 ab M k Staticky určitá kce w a ab w a Z ab Z k 5 [ 5 Z ba M Z ab M ab Integrace diferenciální rovnice ohybové čáry. w ' 'Z ab +M ab w 'Z ab + M ab +C wz ab +M ab +C +C 6 C w () C w ' ( ) C M ba a 5 ba Z k 6 M ab... čtyři okrajové podmínky, čtyři neznámé. w ( ) + Tzv. Kubická bázová funkce pro posun wa. ] w ' ( ) Z ab +M ab M ab Z ab [ ] [ ] w ( ) Z ab +M ab + Z ab + Z ab, M ab

9 Alt. : Pomocí silové metody 6 () M ba k 6 M ab k M ab X w a 6 a M ba w a ( ) Z ab k Z ab X 5 Z ba k 5 5 Z ba M δ radknm, δ radkn δ mkn δ rad, δ m [ ]{ } { } { } ]{ } { } [ ]{ } [ } M 6 X + 6 X [ { M 6 X 6 X M ab X Z ab X ]{ } { 6 6 } 9

10 Matice tuhosti prutu pro ohyb (bez vlivu smyku) Stav pro wa 6 M ab k M ba k 6 M 6 Stav pro wb M ab k 5 6 M ba k 65 M 6 w a w b + Z ab k w Z ba k5 Stav pro a M ab k 4 Z ab k5 M ba k 6 M M ab k 6 Z ba k55 + Z ba k5 M ba k 66 M w 6 Z ab k6 6 4 b w 6 + Stav pro b φ a Z ab k w + Z ba k56 6

11 Matice tuhosti prutu pro tahtlak a ohyb { }[ X (ab) EA EA ( ) Z ab 6 6 M (ab) EA EA X (4ba) (5 ) 6 6 Z ba (6 ) M ba ]{ } u() a w() a φ () a ) u(4 b w(5b ) φ (6) b 6 Zkráceně pomocí vektorů a matic: {R}[K ]{r } Vnitřní a vnější energie prutu: Ei T σ εd V E {r } [K ]{r } e V X ab M M ba ab 4 X ba {R} Pro ruční výpočet lze výpočet z uzlových přetvořeních přepsat. Přidejme vliv zadaných koncových momentů a koncových sil na prutu: w wa M ab M ab + φ a+φb+ b ( Z ab Z ab ) w w φ + φ +6 ) ( b a b a Z w wa φ a + φ b + b ) w w + φ + φ + 6 ) ( M ba M ba + Z ba Z ba 5 Z ba ab ( b a a b Pozn. Vliv smykové deformace (Timošenkův, Mindlinův prut) by se v matici tuhosti projevil dalšími členy. Ty jsou standardně obsaženy ve většině programů pro analýzu konstrukcí.

12 Pomůcka Vzorce a koncové sílymomenty

13 Příklad Určete průběh M na polorámu pomocí ODM 8 knm φb 8 knm c b 4 m M bc 5 knm M bc Z cb Z bc M ba M cb M ba a 5 m Z ba Podmínka momentové rovnováhy ve styčníku b : M ba Z ab φ b ), M bc ( ( φ b ) M ba +M bc 8, M ab 8 ( φ b )+ ( φ b ) 8 M ba ( φ b ) knm, M ab 5 knm M bc ( φ b )8 knm, M cb4 knm,4,4 8,75 Zpětná substituce: M ba,75,75 φ b ( 5+8)4 φ b8 φ b7,47e-4 rad 4,4 M,75 5 +,4 5 4

14 Program EduBeam Volně šiřitelný software pro D lineární analýzu prutových konstrukcí, ODM Napsán v jazyce Python.7 Běží na většině OS (Win, Mac, Uni), vytvořen ee pro Win Grafické rozhraní pro vstupyvýstupy, pdf manuál 4

15 Řešený rám v EduBeamu Vliv smykového zkosení eliminujeme nastavením >> b, m h, m A,6 m I y 4,5 4 m 4 E GPa Vstup Výstup M Globální neredukovaná matice tuhosti konstrukce dofdof, u, _Y, p, _, p, _z, p, _Y 4, p, _ 5, p, _z 6, p, _Y 7, p, _ 8, p, _z, u, _Y , p, _ , p, _z , p, _Y , p, _ 6-6 5, p, _z , p, _Y , p, _ , p, _z

16 Otázky. Z diferenciální rovnice ohybové čáry odvoďte koncové síly a momenty na prutu s jednotkovým natočením pravého konce.. Jaký je rozdíl mezi statickou a kinematickou neurčitostí? Ukažte na příkladu staticky neurčitého spojitého nosníku. Namalujte konstrukci, která je staticky neurčitá a kinematicky určitá a konstrukci, která je staticky určitá a kinematicky neurčitá.. Jak vypadá průběh momentu na prutu, kde je vynucen posun a bráněno pootočení? Jaký je poměr velikostí momentů na pravé a levé straně? 4. Určete, zda je matice prutu pro tahtlak singulární. Jaká je hodnost matice? Vysvětlete pozadí problému z pohledu mechaniky. 5. Určete, zda je matice prutu pro ohyb 44 singulární. Jaká je hodnost matice? Vysvětlete pozadí problému z pohledu mechaniky a jak prut podepřít, aby matice byla regulární. 6. Z jakých podmínek vypočteme neznámé deformace na konstrukci v obecné deformační metodě? Vytvořeno v OpenOffice., Ubuntu.4, Vít Šmilauer 6