SMA2 Přednáška 09 Desky

Transkript

1 SMA Přednáška 09 Desk Měrné moment na deskách Diferenciální rovnice tenké izotropní desk Metod řešení diferenciální rovnice desk Přibližné řešení obdélníkových desek Příklad Copright (c) 01 Vít Šmilauer Czech Technical Universit in Prague, Facult of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to cop, distribute and/or modif this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1. or an later version published b the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Tets, and no Back-Cover Tets. A cop of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at 1

2 Horní pohled Statická analýza desek motivace Železobetonová deska pnutá ve dvou směrech, zatížení vlastní tíhou. Deformace zvětšen Vkreslen hlavní napětí 1. Pro dimenzování výztuže desk musíme určit ohbové a kroutící moment. Dále je nutné posoudit protlačení desk v okolí sloupů, dotvarování desk atd. Dolní pohled Třípodlažní železobetonový skelet v modulu 66 metrů, tloušťka desk 00 mm, sloup mm, poděkování za model M. Hlavačkovi, ČVUT, 01

3 Statická analýza desek měrné moment a napětí z m [knm/m] z m [knm/m] z m m [knm/m] m... ohb kolem os (výztuž ve směru os ) h / m = σ z dz h/ m... ohb kolem os (výztuž ve směru os ) h / m = z dz h/ m... kroutící moment h/ m = h / z dz Dále vznikají smková napětí z a z od měrných posouvajících sil. Důležité u protlačení desek v okolí sloupů, v ostatních případech se běžně zanedbávají. 3

4 Ohbová tuhost desk Zatížení pouze ohbem m κ 0, κ =0 z dz ε = 1 E (σ νσ ) ε = 1 E (σ ν σ )=0 σ =ν σ ε = 1 E (σ ν σ )= (1 ν )σ E σ = E ε 1 ν ε = w z=κ z h / m = h/ h / σ z dz= h / E h3 m = 1(1 ν ) D= E h3 1(1 ν ) E z 1 ν w dz w = D w

5 Diferenciální rovnice tenké izotropní desk Odvození ze svislé podmínk rovnováh diferenciálního elementu, vliv smku zanedbán, neznámá funkce průhbu w(,) q q p=0, m = D ( w ν w ) m = D( w ν w ) m = (1 ν)d w q = m m, = D(κ ν κ ) =D (κ ν κ ) q = m m p z (,)... plošné zatížení Změna sklonu úsečk na střednicové rovině desk, která je rovnoběžná s osou v závislosti na vzdálenosti od os w w w = p z,, D= Eh3 desková tuhost D 1 1 Diferenciální rovnice tenké desk Sophie Germain

6 Řešení diferenciální rovnice desk Analtické řešení eistuje pouze pro speciální případ. Například prostě podepřená deska po obvodě, rozměrů a,b, konstatní zatížení p w= pa π 5 D α m = m π b a m=1,3,5 1 ( m 1 α m tanh α m cosh α m 5 cosh α m b α m sinh α m ) bcosh α m b sin m π a Řešení pro základní geometrie, podepření desek a zatížení jsou tabelován, např. R. Bareš: Tabulk pro výpočet desek a stěn, SNTL, 1989, 6 str. Složitější desk, liniové a bodové zatížení, desk s otvor a žebr se dříve řešil také metodou sítí. Dnes se řeší metodou konečných prvků: funkce w(,) se aproimuje polnom a hledá se přibližné řešení, které minimalizuje funkcionál potenciální energie. 6

7 Transformace momentů na deskách Při určité rotaci diferenciálního elementu desk eistují pouze hlavní moment m 1, m a m =0. Vzorce mají stejnou strukturu jako pro transformaci napětí, z, z v rovinné napjatosti (Mohrova kružnice). m m ' Obecná rotace ' m' ' ' Hlavní moment m 1 m m' m' m m m' m, =m cos m sin m sin m, =m sin m cos m sin, m = m m sin m sin 1, = 1 arctan m 1, = m m m m m, 1 ± m m m 7

8 Moment m, m, m a vztužení desk Kroutící moment m nelze zanedbat při návrhu výztuže. Předpokládejme ortogonální výztuž ve směrech,. Návrhové moment m u, m u lze vpočítat konzervativně například pomocí rovnice Wood Armer: m u =m m m u =m m m u 0 m u =0 m u =m m m m u 0 m u =0 m u =m m m Dolní výztuž desk z m - m u - m u - m u =m m m u =m m - 0 m u - 0 m u Horní výztuž desk z - - =0 m u - =0 m u =m m m =m m m m m m Většina programů pro výpočet desek na bázi MKP již obsahuje výpočet návrhových momentů, ev. přímo dimenzování nutné ploch výztuže. 8

9 Přibližné řešení desek pnutých jedním směrem Při konstantním plošném zatížení lze desku zredukovat na nosník šíře a zanedbat Poissonův efekt. Vzniká tak pouze ohbový moment, zde m z q [kn/m ] z q [kn/m ] z q [kn/m ] z q [kn/m ] volný okraj volný okraj volný okraj volný okraj l l l l 1 q l m m 1 8 ql m 1 8 ql 9 18 ql m 1 1 ql 1 ql 1 1 q l Desk uložené po obvodě a s větším poměrem stran než 1: lze opět přibližně uvažovat jako pnuté pouze v kratším směru a řešit je jako výše uvedené případ. 3 8 l 9

10 Křížem pnuté obdélníkové desk uložené po obvodě U obdélníkových desek s poměrem stran l l a l / l dojde k přibližnému rozložení zatížení q do směrů q=q q l = 3 m z l = m q [kn/m] s q [kn/m] q [kn/m] w s = 38 q l EI s w s = 1 38 Přibližné rozložení zatížení do směrů, získáme z podmínk spojitosti průhbů uprostřed rozpětí desk (tzv. metoda náhradních nosníků) q l EI w s =w s q l 38 EI = 1 q l 38 EI q l =q l =(q q )l q (l l )=q l q = l l l q=0,717 q q =q q =0,83q s s s l/ l/ l/ l/ l/ l/ w s = 5 38 ql EI w s = 38 ql EI w s = 1 38 ql EI 10

11 l = 3 m Příklad Křížem pnutá obdélníková deska l = m q = 1,36 kn/m s ' 1,0 1,0 m 1 q l 0,51 knm/m E=30 GPa, tloušťka desk 0. m Zatížení pouze vlastní tíhou = kn/m 3 q=0, =,8 kn/m q = l l l q=0,717 q=3, kn/m q =q q =0,83 q=1,36 kn/m I= ,3 =6,667e- m q = 3, kn/m s ' Řešení pomocí MKP: z 1 8 q l = 1,7 knm/m m s 9 18 q l =0,97 knm/m w s = 38 q l EI =1,33e-5 m 1,5e 5 m 11

12 Roznášení zatížení u křížem pnutých desek Přibližně lze uvažovat roznášení zatížení do okrajů takto 5 o 5 o 60 o 30 o 5 o 5 o 60 o 30 o 60 o 30 o 5 o 5 o Nepodepřený okraj 1

13 Příklad Určete q, q, m, m, w s a reakce v podporách l = 3 m m w s = 5 38 l = m q = 6,56 kn/m w s s s q l q = 3, kn/m ' EI =6,83e-5 m s ' 1 8 q l =3,8 knm/m 3,65 w s m q l,05 EI =6,83e-5 m 9 18 q l w s = 38 E=30 GPa, tloušťka desk 0, m Zatížení vlastní tíhou = kn/m 3 Užitné zatížení 5 kn/m q=0, 5=9,8 kn/m w s = 5 38 w s = 38 q l EI q l EI w s =w s 5 q l = q l =(q q )l q (5 l l )=ql q =0,669 q=6,56 kn/m q = q q =q q =0,331q=3, kn/m I= ,3 =6,667e- m l 5 l l 13

14 16,97 kn/m 16,97 kn 9,8 kn/m 16,013 kn l = 3 m 30 o 5 o 60 o 5 o 30 o 5 o 1,73 m 0,68 1,0 m 9,8 kn/m 16,013 kn l = m 9,8 kn/m 9,8 kn Kontrola: Celková tíha a zatížení desk *3*9,8=58,8 kn, podpor 9,8*16,01316,97=58,8 kn 1

15 Metoda náhradních rámů Analogie s řešením prutových rámů Řešení na výseku skeletu (obvkle 1/ hloubk desk) Smetrické i antimetrické (šachovnicové) zatížení Přibližná geometrie a tuhost [Ing. Martin Tipka a Ing. Josef Novák: Analýza metod výpočtu železobetonových lokálně podepřených desek, FRVŠ 905/011/G1, 011.] 15

16 Metoda konečných prvků MKP Přibližná metoda řešení diferenciální rovnice desk Obecná geometrie, i nelineární materiál s poškozením Patrový výsek s rovnoměrným zatížením Ohbový moment m [Ing. Martin Tipka a Ing. Josef Novák: Analýza metod výpočtu železobetonových lokálně podepřených desek, FRVŠ 905/011/G1, 011.] 16

17 Otázk 1. Nakreslete souřadný sstém rovin desk a vznačte křivosti při zatížení moment m, m a m.. Co jsou hlavní moment na deskách a jaký mají směr? 3. V kterých případech hraje důležitou roli smkové napětí na desce?. Proč nelze zanedbat kroutící moment m při dimenzování desek? Co řeší rovnice Wood Armer? 5. Jakým způsobem řešíme desku pnutou jedním směrem? 6. Jakým způsobem můžeme přibližně řešit čtvercovou desku prostě podepřenou po všech čtřech okrajích? Jak vpadá průběh ohbových momentů po desce a reakce desk po jejím obvodě? Je zachována spojitost průhbů ve všech bodech desk při tomto přibližném řešení? Můžeme určit velikost ohbově kroutícího momentu? 7. Jakou metodu použijete pro dimenzování desek s otvor, bodovým zatížením či proměnlivou tloušťkou? Lze výsledk z této metod ověřit alespoň přibližně? Vtvořeno 0/01 v OpenOffice 3., Ubuntu 10.0, Vít Šmilauer, ČVUT v Praze. 17