Okruhy ot zek k Algeb e I. P.H. & J.W. 2 II. Klasikace cyklick ch grup d prvku: Nech (G ) je grupa, a 2 G. d prvku a denujeme jako nejmen slo n takov,

Transkript

1 Okruhy ot zek k Algeb e I. P.H. & J.W. 1 I. Cayleyova v ta pro grupy Izomorfn zobrazen : Bu G 1 G 2 grupy, f : G 1! G 2. ekneme, e f je izomorfn zobrazen, jestli e: 1. f je bijekce (injekce, surjekce) 2. f(a) f(b) =f(a b), pro 8a b 2 G (homomorsmus) Caleyova v ta Libovoln grupa G je izomorfn s jistou podgrupou grupy S(A) v ech permutac mno iny A, pro vhodn A. Za A lze vz t i G. Nech (G ) jelib. grupa. Pro pevn a 2 G ozna me a : G! G zobrazen denovan vztahem: a (x)=a:x, 8x 2 G Zobrazen a je : 1. injektivn : a (x)= a (y) ) ax = ay ) x = y 2. surjektivn : y 2 G, hled me x 2 G, a (x) =y ) y = a:x ) x = a ;1 :y ) x 2 G Zkonstruhujeme injektivn homomorsmus z G do S(G). Denujeme: f : G! S(G) p edpisem f(a) = a pro 8a 2 G Zobrazen f je: 1. injektivn : nebo a b 2 G, f(a) =f(b) ) a = b pro libovoln x 2 G je pak a (x) = b (x), neboli a:x = b:x ) a = b 2. homomorsmus: nebo pro a b 2 G, x 2 G: (f(a) f(b))(x) =( a b )(x) = a ( b (x)) = a (b:x) =a:b:x () f(a:b)(x) = ab (x) =a:b:x Pak dost v me, e f je vno en G do S(G), a tedy G je izomorfn s podgrupou f(g) grupy S(G). D sledek: Ka d kone n grupa du n je izomorfn s jistou podgrupou grupy permutac S n.

2 Okruhy ot zek k Algeb e I. P.H. & J.W. 2 II. Klasikace cyklick ch grup d prvku: Nech (G ) je grupa, a 2 G. d prvku a denujeme jako nejmen slo n takov, e a n =1. Pokud takov slo neexistuje, ekneme, e d prvku je 0. <M>, gener tory grupy: Bu M podmno ina grupy G. Symbolem <M> ozna me pr nik v ech podgrup grupy G obsahuj c ch mno inu M. <M>se naz v podgrupa generovan mno inou M. Mno inu M naz v me mno inou gener tor grupy <M>. Pokud M = fa 1 ::: a n g, pak hovo me o podgrup generovan prvky a 1 ::: a n a ozna ujeme ji <a 1 ::: a n >. V ta: Bu M 6= podmno ina grupy G. Pak <M>= fa "1 1 ::: a"n n jn 2 N 0 a i ::: a n 2 M " 1 ::: " n 2f1 ;1g g. 1. (Y :) podgrupa grupy (G :). (a) a 0 =1) 1 2 Y (b) a b 2 Y ) a:b 2 Y (c) a 2 Y ) a ;1 2 Y, proto e (a " M Y : a 2 M, n =1,a 1 = a, " 1 =1 3. M Z, Z je podgrupa (G :) ) Y Z. ::: a"n n );1 = a ;"n n ::: a ;"1 1 a "1 1 ::: a"n 2 Y n a 1 ::: a n 2 M Z je podgrupa a "1 a "1 1 1 ::: a"n n 2 Z je podgrupa ::: a"n 2 Z n Cyklick grupa: Grupa (G ) se naz v cyklick, existuje-li a 2 G takov, e <a>= G. V ta: 1. Libovoln nekone n cyklick grupa je isomorfn s (Z +). 2. Libovoln n-prvkov cyklick grupa (n 2 N) je isomorfn se (Z n +). Nech (G :) cyklick grupa, a je jej gener tor, tj. fa k jk 2 Zg = G 1. 0, pak d a je 0 : G! Z a k 7! k je korektn (a k = a l, k = l) (a) je homomorsmus : (a k a l )=(a k+l )=k + l, (b) je prost : k = l ) a k = a l (a k )+(a l )=k + l

3 Okruhy ot zek k Algeb e I. P.H. & J.W. 3 (c) je surjektivn : vzorem ke k je a k 2. jgj = n, n 2 N, paka je du n : G! Z n, a k 7! [k] n je korektn (a k = a l, [k] n =[l] n ) (a) je homomorsmus : (a k a l )=(a k+l )=[k +l] n, (b) je prost : [k] n =[l] n ) a k = a l (c) je surjektivn : [k] n m vzor a k (a k )+(a l )=[k] n +[l] n =[k +l] n

4 Okruhy ot zek k Algeb e I. P.H. & J.W. 4 III. Faktorov grupy Lev t dy: Bu G grupa, H jej podgrupa, a 2 G: Mno inu ah = fa h jh 2 Hg naz v me lev t da grupy G podle podgrupy H (ur en prvkem a). lev rozklad: G=H = fah ja 2 Gg prav rozklad: HnG = fha ja 2 Gg Lemma I. Bu G je grupa, H je jej podgrupa. a b 2 G pak plat : a:h = b:h () a 2 b:h () b ;1 :a 2 H Norm ln podgrupa: Nech G je grupa. Podgrupa H se naz v norm ln, jestli e pro 8h 2 H, 8g 2 G plat g ;1 h g 2 H. Lemma II. Podgrupa H grupy G je norm ln, pr v kdy prolibovoln prvky a 2 G, h 2 H existuje prvek h 2 H, takov e h:a = a: h. h:a = a: h ) a ;1 :h:a = a ;1 :a: h. V ta o Faktorov grup (G=H :) Bu G grupa, H jej norm ln podgrupa. Denujeme sou in dvou lev ch t d a H, b H grupy G podle H vztahem: (a H) (b H) =(a b) H Pak je operace na mno in G=H a(g=h ) je grupa. 1. Korektnost operace na mno in G=H. a:h = a 0 :H, b:h = b 0 :H =)? (a:b):h =(a 0 :b 0 ):H Nech a a 0 b b 0 2 G, a:h = a 0 :H, b:h = b 0 :H. Z Lemmatu I. plyne existence prvk h 1 h 2 2 H takov, e a = a 0 :h 1, b = b 0 :h 2. Z Lemmatu II. plyne: h 2 H, h 1 :b 0 = b 0 : h Plat a:b = a 0 :h 1 :b 0 :h 2 = a 0 :b 0 : h:h 2 2 (a 0 :b 0 ):H =) (a:b):h =(a 0 :b 0 ):H. 2. (G=H) je grupa. (a) Asociativita: Nech a b c 2 G: Pak [(a:h):(b:h)] (c:h) = ((a:b):h):(c:h) = ((a:b):c):h =(a:(b:c)):h =(ah):[(b:h):(c:h)]: Tedy (G=H) je pologrupa. (b) Jednotkov prvek: Lev t da H =1 H je jednotkov prvek,nebo pro libovoln.a 2 G plat (1 H) (a H) =(1 a) H = a H =(a H) (1 H): (c) Inverzn prvek: inverzn m prvkem k lev t d a H je lev t da a ;1 H, nebo (a H) (a ;1 H) =(a a ;1 ) H =1 H =(a ;1 H) (a H):

5 Okruhy ot zek k Algeb e I. P.H. & J.W. 5 V ta: Jestli e (G ) je grupa, H je jej norm ln podgrupa. Pak (G=H ) jeop tgrupa a zobrazen nath : G! G=H, nath : a 7! ah je surjektivn homomorsmus. (G=H ) je grupa - viz.p edchoz v ta. nath(a b) = abh nath(a) nath(b) =ah bh = abh -homomorsmus surjektivn m vzorem ah je a - surjektivita V ta D LO: Nech (G ) (K ) jsou grupy, :(G )! (K ) je surjektivn homomorsmus. Pak: 1. J() =fa 2 G j(a) =1g je norm ln podgrupou v (G ) 2. : G=J()! K, : aj() 7! (a) je isomorsmus. 3. natj() = 1. J() je norm ln podgrupa: (1) = 1 Nech a b 2 J(), (a) =(b) = 1, pak (ab) =(a) (b) =1 1= 1=) a:b 2 J() (a ;1 )=((a 1 )) ;1 =1 ;1 =12 J() norm lnost: g 2 G, (g ;1 a g) =((g)) ;1 1 (g) =12 J() 2. Zobrazen je : korektn denov no: aj() =bj() =)? (a) =(b) aj() =bj() () ab ;1 2 J() () 1=(ab ;1 )=(a)(b) ;1 ) (a) =(b) homomorsmus: (aj() bj()) = (abj()) = (ab) =(a):(b) (aj()) (bj()) = (a) (b) = (ab) surjektivn : b 2 K, exist.a 2 G tak, e (a) =b, (aj()) = (a) =b prost : a b 2 G, (aj()) = (bj()), pak (a) =(b), (a)(((b)) ;1 =1,(ab ;1 )=1,ab ;1 2 J(), aj() =bj() 3. Kone n : a 2 G (natj())(a) =(nat J()(a)) = (aj()) = (a)

6 Okruhy ot zek k Algeb e I. P.H. & J.W. 6 IV. Okruhy Z n Kongruentnost: Bu n 2 N, a b 2 Z. a b se naz vaj kongruentn modle modulu n, jestli e plat nja ; b. P eme a b(mod n): Zbytkov t dy: Bu n 2 N a 2 Z. Mno ina [a] n = fk:n + a n k 2 Zg se naz v zbytkov t da podle modulu n. Mno ina v ech zbytkov ch t d: Z n = f[a] n n a 2 Zg Lemma: [a] n =[b] n $ a b(mod n) $ nja ; b Operace a + na mno in Z n [a] n +[b] n =[a + b] n D kaz korektnosti: [a] n =[a 0 ] n [b] n =[b 0 ] n =)? [a + b] n =[a 0 + b 0 ] n nj(a ; a 0 ) nj(b ; b 0 )=)? nj((a + b) ; (a 0 + b 0 )) [a] n =[a 0 ] n =) a ; a 0 = :n [b] n =[b 0 ] n =) b ; b 0 = :n (a + b) ; (a 0 + b 0 )=( + )n =) nj((a + b) ; (a 0 + b 0 )) [a] n [b] n =[a b] n D kaz korektnosti: [a] n =[a 0 ] n [b] n =[b 0 ] n =)? [a b] n =[a 0 b 0 ] n nj(a ; a 0 ) nj(b ; b 0 )=)? nj((a b) ; (a 0 b 0 )) [a] n =[a 0 ] n =) a ; a 0 = :n [b] n =[b 0 ] n =) b ; b 0 = :n a b ; a 0 b 0 =(a 0 + :n)(b 0 + :n) ; a 0 :b 0 = a 0 :b 0 + a 0 ::n + :n:b 0 + :n::n ; a 0 :b 0 = n(a 0 : + b 0 : + ::n) =) nj((a:b) ; (a 0 :b 0 )) Grupa (Z n +) (Z n +) je komutativn grupa pro libovoln n 2 N. 1. Z n je uzav en vzhledem k [0] n je jednotkov prvek [0] n +[a] n =[a] n =[a] n +[0] n 3. inverzn prvek k [a] n je [;a] n : [a] n +[;a] n = [a +(;a)] n = [0] n = [;a] n +[a] n 4. asociativita: ([a] n +[b] n )+[c] n =[a + b] n +[c] n =[a + b + c] n =[a] n + [b + c] n =[a] n +([b] n +[c] n ) 5. komutativita: [a] n +[b] n =[a + b] n =[b + a] n =[b] n +[a] n

7 Okruhy ot zek k Algeb e I. P.H. & J.W. 7 Monoid (Z n :) (Z n :)jekomutativn monoid pro libovoln n 2 N. 1. Z n je uzav en vzhledem k operaci. 2. [1] n je jednotkov prvek: [1] n :[a] n =[a] n =[a] n [1] n 3. asociativita: ([a] n [b] n ) [c] n = [a:b] n [c] n = [a:b:c] n = [a] n [b:c] n = [a] n ([b] n [c] n ) 4. komutativita: [a] n [b] n =[a:b] n =[b:a] n =[b] n [a] n Grupa (Z n :) Bu n prvo slo, Z =[1] n n ::: [n ; 1] n v ech nenulov chzbytkov cht dpodle modulu n. Pak (Zn :) je grupa. Nech [a] n [b] n 2 Z. n n 6 ja n 6 jb =) n 6 ja:b Tedy [a:b] n 2 Z. (a n) =1prolibovoln a 2 n Z. (Z :) je grupa pokud libovoln [a] n n 2 (Z :)m inverzn prvek. P edpokl dejme existenci takov ho inverzn ho prvku [b] n. Plat [a] n [b] n = [1] n =) n a:b = q:n +1=) a:b + n:(;q) =1. Existence sel b q plyne z Bezoutovy v ty: f a.u + b.v = 1, (a,b)=1 g nebo (a n) =1. Okruh (Z n + :) Bu n 2 N pak (Z n + :) je okruh. 1. (Z n +) je komutativn grupa. 2. (Z n :)jemonoid. 3. Distributivita: [a] [b] [c] 2 Z n [a] ([b]+[c])=[a] [b + c] =[a (b + c)] = [a:b + a:c] =[a] [b]+[a] [c] ([b]+[c]) a =[b + c] [a] =[(b + c) a] =[b:a + c:a] =[b] [a]+[c] [a] Lemma o t lese: Netrivi ln komutativn okruh (R + :) je t leso, pr v kdy (R :) je grupa. Obor integrity (Z n + :) (Z n + :) je obor integrity, pr v kdy n je prvo slo. V tomto p pad je Z n dokonce t leso. Je-li n prvo slo, pak (Z n + :) je t leso, nebo (Z :) je grupa, d le z lemmatu o t lese. n Pokud n nen prvo slo, pak n = k:m, kde 1 k m n. Ze vztahu [k]:[m] =[k:m] = [0] plyne, e [k] [m] jsou d litel nuly v (Z n :). Tedy (Z n + ) nen obor integrity.

8 Okruhy ot zek k Algeb e I. P.H. & J.W. 8 V. Pod lov t leso Denice R : Denujme R = R ;f0g. Lemma: Nech R =(R + ) jeoborintegrity. na mno in R R denujeme relaci takto: (a b) (c d), a d = b c: Pro libovoln a c 2 R, b d 2 R je relace ekvivalence. 1. reexivita (a b) (a b), ab = ba 2. symetrie z denice 3. tranzitivita (a b) (c d) ^ (c d) (e f) =)? (a b) (e f) M me ad = bc, cf = de achceme (a b) (e f), af = be. ale acf = bce, adf = bcf = bde =) d(af ; be) =0,(d 6= 0)=) af ; be =0=) af = be P eme: [(a b)] = a b Q(R) =fa b ja 2 R b 2 R g =(R R = + ) Na R R = denujeme operace + takto: a b + c d ad + bc = bd a b c d = ac bd Lemma: Uveden formulky korektn denuj operace na Q(R). Nech a = a0 c = c 0. b b 0 d d 0 ad+bc Chceme: = a 0 d 0 +b 0 c 0, ac = a 0 0 c, bd b 0 d 0 bd b 0 d 0 ab 0 = ba 0, cd 0 = dc 0, ab 0 cd 0 = a 0 bc 0 d, (chceme: (ad + bc)b 0 d 0 = bd(a 0 d 0 + b 0 c 0 ), a 0 c 0 bd = b 0 d 0 ac), ale (ad + bc)b 0 d 0 = ab 0 dd 0 + bb 0 cd 0 = a 0 bdd 0 + bb 0 c 0 d = bd(a 0 d 0 + b 0 c 0 ) ab 0 cd 0 = a 0 bc 0 d V ta: Je-li (R + :)oborintegrity, pakq(r) =(R R )= + ) je t leso. (R R +) komutativn grupa: asociativita: ( a b + c d )+ e f = ad+bc bd + e f a b +(c + e )= a cf +cd adf +bcf +cbf + = d f b df bdf komutativita: a b + c d = c d + a b neutr ln prvek: 0 + a = 0b+1a = a 1 b 1b b = adf +bcf +ebd bdf Inverzn prvek: ;a b + a b = ;ab+ab bb = 0 bb =0 (R R :) grupa: asociativita: ( a: c ): e b d f a :( c : e )= a c:e :( b d f b d:f = a:c b:d : e f )= a:c:e b:d:f komutativita: z ejm = a:c:e b:d:f

9 Okruhy ot zek k Algeb e I. P.H. & J.W. 9 neutr ln prvek: 1 1 inverzn prvek: ( a b );1 = b a Distributivita: a:( c + e )= a c:f +d:e a:c:f +a:d:e : =, b d f b d:f b:d:f a b : c d + a b : e f = a:c + a:e b:d b:f = a:c:b:f +b:d:a:e a:c:f +a:d:e = b:d:b:f b:d:f V ta: Nech R = (R + ) je obor integrity a : R! (R R = ) je denov na p edpisem a 7! a 1.Pak: 1. je prost homomorsmus. 2. Pro libovoln t leso S(S + :) a prost homomorsmus : R!Sexistuje homomorsmus : Q(R)!S tak, e = (Q + :):=Q(Z + :) 1. Zobrazen je: a (a) prost : = b ) a = b 1 1 (b) homomorsmus: i. (1) = 1 1 ii. (a + b) = a+b (a)+(b) = a + b = a+b iii. (a:b) = a:b (a):(b) = a: b = a:b Zobrazen : Q(R)! S spl uj c = mus b t d no t mto p edpisem: ( a b ):=(a):((b));1 Uk eme e: = ) ( a b )=(a):((b));1 (a) =( a 1 )=(a) ) ( a 1 )=(a) (b ;1 )=( 1 b )=(b;1 ) ) ( 1 b )=(b;1 )=(b) ;1 (a:b ;1 )= (a): (b ;1 )=(a):((b)) ;1 3. Zobrazen je homomorsmus: (a) ( 1 1 )=(1) ((1));1 =1 (b) ( a + c ad+bc )=( )=(ad + bc) (bd);1 b d bd ( a )+( c ) = (a) b d (b);1 + (c) (d) ;1 = ((ad) +(bc)) ((bd) ;1 )=(ad + bc):(bd) ;1 (c) ( a b : c d )=( a b : c d ) (d) ()(a) =((a)) = ( c 1 )=(a):((1));1 = (a) Pod lov t leso (Q(R) + ) naz v me pod lov t leso.

10 Okruhy ot zek k Algeb e I. P.H. & J.W. 10 VI. Euklid v algoritmus D litelnost: Bu R komutativn okruh, a b 2 R. ekneme e prvek b d l prvek a, jestli e existuje prvek q 2 R takov, ea = q:b. P eme bja. Spole n d litel: Bu R komutativn okruh, a b 2 R. prvk a b, pokudcja a cjb. Prvek c 2 R se naz v spole n d litel Nejv t spole n d litel: Bu R komutativn okruh, a b 2 R. Prvek c 2 R se naz v jejich nejv t m spole n m d litelem, zkr cen nsd(a b), jestli e je jejich spole n m d litelem a pro libovoln spole n d litel x 2 R prvk a b plat, e xjc. V ta o d litelnosti: Bu R obor integrity, f g 2 R[x] a nech vedouc koecient polynomu g je jednotka okruhu R. Pak existuje pr v jedna dvojice polynom q r 2 R[x] takov, e st(r) <st(g) af = g:q + r. Euklid v algoritmus: Bu R t leso. Pak v R[x] libovoln dva nenulov polynomy maj nejv t spole n d litel k jeho nalezen slou Euklid v algoritmus. Bu te f, g nenulov polynomy zr[x]. Zv ty o d litelnosti plyne, e existuje nez porn cel slo n a polynomy q 1 :::q n+1 r 1 ::: r n 2 R[x] takov, e st(g) > st(r 1 ) >:::>st(r n ) 0aplat : f = g:q 1 + r 1 g = r 1 :q 2 + r 2 r 1 = r 2 :q 3 + r 3. r n;3 = r n;2 :q n;1 + r n;1 r n;2 = r n;1 :q n + r n r n;1 = r n :q n+1 1. Dok eme, e r n je spole n d litel polynom f, g. r n j r n;1 z posledn ho dku r n j r n;2 z p edposledn ho dku. r n j g r n j f 2. Dok eme, e r n je nsd(f g). ((a j f) ^ (a j g) ) a j r n ) a j f ^ a j g ) a j r 1 z1. rovnice a j g ^ a j r 1 ) a j r 2 z2. rovnice. a j r n;2 ^ a j r n;1 ) a j r n z (n+2). rovnice

11 Okruhy ot zek k Algeb e I. P.H. & J.W. 11 VII. N sobnost ko ene, pou it derivace Lemma pro R komutativn okruh 1. (f + g)(c) =f(c) +g(c) 2. (f:g)(c) =f(c) g(c) Ko en polynomu: Nech R je okruh, c 2 R, f 2 R[x] f = a n x n + :::+ a 1 x + a 0. Pokud plat f(c) =a n c n + :::+ a 1 c + a 0 = 0, pak c je ko enem polynomu. V ta o ko enu polynomu: Bu R komutativn okruh. Pak c 2 R je ko en polynomu f 2 R[x], pr v kdy (x ; c)jf. (= q 2 R[x]. (x ; c):q = f, 0=(c ; c):q(c) =f(c), c je ko en f. =) Nech c je ko en pak podle: f=g.q + r existuj q r 2 R[x], takov, e r je konstantn a f = (x ; c):q + r ) r = f ; (x ; c):q ) r = r(c) = f(c) ; (c ; c):q(c) =0: Tedy (x ; c)jf. N sobnost ko ene polynomu: Bu R komutativn okruh, f 2 R[x], c je ko en f. slo k 2 N se naz v n sobnost ko ene c, jestli e (x ; c) k jf a(x ; c) k+1 6 jf. Derivace: Nech R je okruh, f = a n x n + :::+ a 1 x + a 0 2 R[x]. Polynom f 0 = na n x n;1 + :::+2a 2 x + a 1 2 R[x] se naz v derivace polynomu f. V ta o po tu ko en : Bu R obor integrity. Pak nenulov polynom f 2 R[x] m nejv e n = st(f) ko en, po t me-li ka d ko en tolikr t, kolikr t je n sobn. Nech f m ko eny c 1 ::: c l,(podvou r zn ) n sobnost k 1 ::: k l. Pak (x ; c 1 ) k1 ::: (x ; c l ) kl d l f. Chceme uk zat e: f =(x ; c 1 ) k1 ::: (x ; c l ) k l q, kde q 2 R[x], pak st(f) =k 1 +:::+k l +st(q), k 1 ::: k l st(f), tedy k 1 +:::+k l +st(q) st(f). 1. (x ; c 1 ) k1 jf 2. (x ; c 2 ) k2 jf, f =(x ; c 1 ) k1 h 1 f(x ; c) l,(x ; d) k c 6= d, jsou nesoud ln ) jednozna nost rozklad g ) (x ; c 2 ) k2 jh 1 ) :::(x ; c l ) k l jf =(x ; c 1 ) k1 ::: (x ; c l;1 ) k l;1 jh l;1 ) (x ; c l ) k l jh l;2 ) f =(x ; c 1 ) k1 ::: (x ; c l ) k l q Lemma: Bu R okruh, f g 2 R[x]. Pak plat : 1. (f + g) 0 = f 0 + g 0 2. (f:g) 0 = f 0 :g + f:g 0

12 Okruhy ot zek k Algeb e I. P.H. & J.W. 12 V ta I. Je-li prvek c komutativn ho okruhu R k-n sobn m ko enem polynomu f 2 R[x], pak c je i ko enem polynom f 0 f 00 ::: f 0 (k;1) Pokud a je k-n sobn m ko enem pak f =(x ; c) k :q, q 2 R[x]. D le (q:(x ; c) k ) 0 = k(x ; c) k;1 :q +(x ; c) k :q 0 =(x ; c) k;1 (k:q +(x ; c):q 0 )Odsud plyne tvrzen v ty. D sledek v ty o po tu ko en, pou it derivace. Bu (R + ) t leso charakteristiky 0, f 2 R[x], f 6= 0,a 2 R ko en f, pak pro libovoln k 2 plat : a je k n sobn ko en f () a je (k ; 1) n sobn ko en (f f 0 ) =) Je-li akn sobn ko en, pak a je podle v ty I.(k ; 1) n sobn ko en f 0, tak e (x ; a) k jf, (x ; a) k;1 jf 0 =) (x ; a) k;1 j(f f 0 ) (x ; a) k 6 jf 0 tak e ur it (x ; a) k;1 6 j(f 0 f), tedy a je (k ; 1) n sobn ko en (f f 0 ). (= Je-li (k;1) n sobn ko en (f f 0 ) pak zejm na a je ko en f s n sobnost l. Podle p edpokladu p edchoz sti d kazu je a (l;1)n sobn ko en (f f 0 )odtud lze (k ; 1)=(l ; 1) =) k = l V ta II. Bu R t leso charakteristiky 0, f 2 R[x], a 2 R a k 2 2 N. Pak plat : Je-li ak-n sobn ko en f pak a je (k-1) n sobn ko en f 0, d le je-li a jednoduch ko en f pak a nen ko enem f 0. Bu ak-n sobn ko en f. Pak (x ; a) k jf, (x ; a) k+1 6 jf, d lef =(x ; a) k :g, g 2 R[x] Pak f 0 =((x;a) k ) 0 :g+(x;a) k :g 0 = k(x;a) k;1 :g+(x;a) k :g 0 =(x;a) k;1 [kg+ (x ; a)g 0 ] tedy (x ; a) k;1 jf 0. Kdyby (x ; a) k jf 0 potom vzhledem k jednozna nosti rozkladu v R[x] (x ; a)j[kg +(x ; a)g 0 ] odtud (x ; a)jkg. Pon vad k 6= 0((R + :)jecharakteristiky 0) potom (x ; a)jq platilo by (x ; a) k+1 jf...spor. Tedy (x ; a) k 6 jf 0 ili a je (k ; 1) n sobn ko en f 0.

13 Okruhy ot zek k Algeb e I. P.H. & J.W. 13 VIII. Racion ln ko eny polynom nad Q Primitivn polynom: Nenulov polynom g 2 Z[x] senaz v primitivn, je-li nejv t spole n d litel v ech koecient roven 1. Irreducibiln polynom: Polynom f 2 R[x] se naz v irreducibiln, jestli e je nekonstantn a nelze jej zapsat ve tvaru sou inu dvou nekonstantn ch polynom. V ta o ko enu polynomu Bu R komutativn okruh. Pak c 2 R je ko en polynomu f 2 R[x] () (x;c)jf. (= Jakmile x ; cjf, z ejm f(c) =0. ( f =(x ; c):q ) 0=(c ; c):q(c) = f(c) ) =) Nech c je ko en pak: f = g:q + r existuj q 2 R[x], r 2 R takov, e f =(x ; c):q + r ) r = f ; (x ; c):q ) r = f(c) ; (c ; c):q(c) =0: Tedy x ; cjf. Asociovan polynomy: Bu R t leso. Polynomy f g 2 R[x] naz vejme asociovan pr v kdy existuje 0 6= c 2 R, tak e plat f = c:g Lemma: Ka d polynom f 2 Q[x] je asociovan s n jak m polynomem g 2 Z[x]. Nech ( an bn )xn + :::+( a1 )x +(a0 ), f 2 f[x]. c = b 1 ::: b n. Potom jist b1 b0 g = c:f, g 2 Z[x]. D sledek: P i vy et ov n ko en polynom zq[x] se sta omezit na Z[x]. V ta o racion ln ch ko enech polynomu: Nech f = a n x n + :::+ a 1 x + a 0 a 2 Z[x] a r s takov, e(r s)=1. 1. Pak sja n a rja Pro libovoln c 2 Z je (r ; cs)jf(c) je racion ln ko en polynomu f 1. Polynom a n x n + :::+ a 1 x + a 0 =0. Za x dosad me ko en ( r s ). a n ( r s )n + a n;1 ( r s )n;1 + :::+ a 1 ( r s )+a 0 =0j s n a n :r n + a n;1 r n;1 :s + :::+ a 1 :r:s n;1 + a 0 :s n =0 P n j=0 a n;j:r n;j :s j = P n j=0 a j:r j :s n;j Pak proto e ko en je tvaru ( r s ), rja 0 :s n ) rja 0 nebo (r s)=1: sja 0 :r n ) sja n nebo (r s)=1: 2. D len m polynomu f polynomem (x ; c) nadz se zbytkem dostaneme: f = (x ; c)h + f(c), h 2 Z[x], odtud f(c) = f ; (x ; c)h. Dosazen m ( r s ) za x m me f(c) = f( r s ) ; ( r s ; c):h( r s ) = ;( r s ; c)h( r s ) nebo r s je ko en f. Vyn soben m s n dostaneme f(c)s n = ;(r ; cs):(s n;1 :h( r s )) tak e (r ; cs)jf(c)s n, ale pon vad (r s)=1tak (r ; cs s) =1,odtud (r ; cs)jf(c).

14 Okruhy ot zek k Algeb e I. P.H. & J.W. 14 D sledek: Tato v ta n m umo uje naj t racin ln ko eny polynomu, nebo pokud ( r s ) je ko enem f pak s:x ; rjf podle v ty oko enu polynomu. Einsensteinovo krit rium: Bu a n x n + :::+ a 1 x + a 0 a 2 Z[x], p prvo slo, pja 0 ::: pja n;1 p6 ja n p 2 6 ja 0. Pak f je irreducibiln nad Q[x]. V ta: Polynom f 2 Z[x] je irreducibiln, je irreducibiln nad Q. K vytvo en tohoto textu n s poh n la nouze, ale nakonec se n m ob ma "stra ka alb ka" poda ilo udolat. Aby sev m poda ilo tot V m p ej : Petr Handlar Ji Wotke