1 GRUPY 2 Prav neutr ln prvek e 2 A spl uje 8a 2 A : a e = a. Neutr ln prvek je lev neutr ln a prav neutr ln. Monoid je pologrupa s neutr ln m prvkem.
|
|
- Martina Slavíková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 RNDr. Libor Pol k. Algebra I Z pisky z p edn ky zpracoval: Ji Dobe 20. dubna 1995 Obsah 1 Grupy Grupy zbytkov ch t d : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Z kladn vlastnosti grup : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Podgrupy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Morsmy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Cayleho v ty : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Klasikace cyklick ch grup : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Sou iny grup : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Klasikace kone n ch komutativn ch grup : : : : : : : : : : : : : : : Lagrangeova v ta : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Faktorov grupy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 2 Okruhy a polynomy Zaveden pojmu okruh : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Z kladn vlastnosti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : V tan vlastnost okruh : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Podokruhy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Homomorsmy okruh, pod lov t leso : : : : : : : : : : : : : : : : : Polynomy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Ko eny polynom : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Polynomy nad C, R, Q : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 1 Grupy Nejd ve uvedeme n kter z kladn pojmy: Bin rn operace na mno in A je zobrazen : A A! A.M sto(a b) p eme a b. (A ) Mno ina A s operac se naz v grupoid. Operace je komutativn, plat -li 8a b 2 A : a b = b a. Operace je asociativn, plat -li 8a b c 2 A :(a b) c = a (b c). Pologrupa je grupoid s asociativn operac. Lev neutr ln prvek e 2 A spl uje 8a 2 A : e a = a. 1
2 1 GRUPY 2 Prav neutr ln prvek e 2 A spl uje 8a 2 A : a e = a. Neutr ln prvek je lev neutr ln a prav neutr ln. Monoid je pologrupa s neutr ln m prvkem. V ta 1.1 Nech e je lev neutr ln prvek a f prav neutr ln prvek grupoidu (A ). Pak e = f. D kaz: e = e f = f grupoid m e m t v ce nap. lev ch neutr ln ch prvk, m -li i n jak prav neutr ln prvek, pak m jedin neutr ln prvek, tedy i jedin lev neutr ln prvek. 2 Denice 1.2 Nech (A ) je grupoid s neutr ln m prvkem e, a 2 A. b 2 A se naz v lev (resp. prav ) inverzn prvek k a, plat -li b a = e (a b = e). Prvek b se naz v inverzn, spl uje-li a b = b a = e. V ta 1.3 Nech (A e) je monoid, a 2 A, nech b je lev inverzn k a, c je prav inverzn ka.pak b = c. D kaz: c = e c =(b a) c = b (a c) =b e = b 2 Denice 1.4 Permutace na mno in X je bijekce f : X! X. S(X) ozna me jako mno inu v ech permutac na mno in X. Z ejm plat f g 2 S(X), pakg f 2 S(X). Denice 1.5 Grupa je pologrupa s neutr ln m prvkem takov, e ke ka d mu prvku existuje prvek inverzn. Pozn mka 1.6 Grupa (S(X) ) se naz v symetrick grupa na mno in X. Jde o grupu v ech permutac na mno in X. Je komutativn pr v, kdy jxj 2. ProXkone nou lze p edpokl dat, e X = f1 2 ::: ng, p eme S n. js n j = n! Denice 1.7 Nech (i 1 i 2 ::: i k ), k 2 jsou po dvou r zn prvky z f1 ::: ng. Permutaci danou p edpisem: f (i j ) = i j+1 pro j =1 ::: k; 1 f (i k ) = i 1 f (i) = i pro i 2f1 2 ::: ng;fi 1 i 2 ::: i k g naz v me cyklem. Cyklus d lky 2 naz v me transpozic. Cykly (i 1 ::: i k ) a (j 1 ::: j l ) naz v me nez visl, plat -li fi 1 ::: i k g\fj 1 ::: j l g = V ta 1.8 Libovolnou neidentickou permutaci f mno iny X = f1 2 ::: ng lze ps t jako sou in po 2 nez visl ch cykl. Tento rozklad je jednozna n a na po ad initel.
3 1 GRUPY 3 V ta 1.9 Ka d f 2 S n je sou inem transpozic. Denice 1.10 Nech f 2 S n, 1 i<j n. Dvojice (i j) je inverz v f, plat -li f (i) >f(j). Permutace se sud m (lich m) po tem inverz se naz v sud (lich ). V ta 1.11 Permutace je sud pr v, kdy je sou inem sud ho po tu transpozic. D kaz: Identick permutace je sud a je sou inem nula transpozic. Sta uk zat, e n soben transpozic m n paritu Grupy zbytkov ch t d Denice 1.12 Nech a b 2 Z, ajb (a d l b) pr v,kdy 9c 2 Z : c a = b. Pozn mka 1.13 Jen na okraj: aj0 pro 8a 2 Z 0ja pr v proa =0. V ta 1.14 Nech a 2 N b2 Z. Pak existuje q 2 Z, r 2f0 1 ::: a; 1g tak, e b = q a + r. P itom q i r jsou ur eny jednozna n. D kaz: 1. b 0 indukc vzhledem k b (a) b<asta ps t b =0 a + b, kde q =0 r = b: (b) b a podle induk n ho p edpokladu b ; a = q a + r q 2 Z r 2f0 ::: a; 1g b =(q +1)a + r 2. b<0 podle prvn ho bodu ;b = q a + r b = (;q) a ; r pro r =0 b = (;q ; 1) a +(a ; r) pro r>0 Jednozna nost: b = q a + r = q 0 a + r 0 q q 0 2 Z r r 0 2f0 ::: a; 1g Lze p edpokl dat, e r r 0. r ; r 0 =(q 0 ; q) a r ; r 0 2f0 1 ::: a; 1g jedin cel n sobek a v mno in na p edch zej c m dku je 0, tedy r = r 0 q = q 0 2
4 1 GRUPY 4 Denice 1.15 Nech a b 2 Z. d nazveme spole n m d litelem sel a,b, plat -li dja ^ djb. dnazveme nejv t m spole n m d litelem sel a,b, je-li mezi spole n mi d liteli nejv t. Ozna ujeme (a b). V ta 1.16 Euklid v algoritmus Nech a b 2 N. a = q 1 b + r 1 b = q 2 r 1 + r 2 r 1 = q 3 r 2 + r 3 ::: r n;2 = q n r n;1 + r n r n;1 = q n+1 r n Plat r 1 2h0 b),r 2 2h0 r 1 ),r 3 2h0 r 2 ), atd. Pak r n =(a b). D kaz: 1. dok eme, e r n je spole n d litel a,b z posledn rovnosti r n jr n;1 z p edposledn r n jr n; r n jr 1 2. r n jb 1. r n ja 2. a er n je nejv t m spole n m d litelem: Nech dja az rove djb, z1.rovnosti djr 1 r n 2 N, d r n z2. djr 2.. z p edp. djr n 2 V ta 1.17 Bezoutova rovnost Nech a b 2 N. Pak existuje u v 2 Z tak, e ua+vb =(a b). D kaz: Vypl v z Euklidova algoritmu. 2 Denice 1.18 sla a b 2 Z naz v me nesoud ln, plat -li, e (a b) =1 D sledek 1.19 sla a b 2 Z jsou nesoud ln pr v, kdy 9u v 2 Z takov, e u a + b v =1. D sledek 1.20 Nech a b c 2 N, ajb c, (a b) =1.Pak ajc.
5 1 GRUPY 5 Denice 1.21 a 2 a2 N se naz v prvo slo, plat -li: a = b c, b c 2 N ) b =1nebo c =1. Lemma 1.22 Nech a 2 N a 2. Pak lze vyj d it a jako sou inprvo sel. Tento rozklad je jednozna n a na po ad initel. D kaz: existence indukc vzhledem k a, jednozna nost indukc 2 Denice 1.23 Nech a b 2 Z n 2 N. a b (mod n), nj(a ; b) je kongruentn modulo ("a je kongruentn s b modulo n"). Ozna me [a] n := fk n + ajk 2 Zg. Lemma 1.24 Je ekvivalentn : 1. a b (mod n) 2. a,b d vaj p i d len n stejn zbytek. 3. [a] n =[b] n Denice 1.25 Denujeme n sleduj c mno inu: Zn := f[a] n ja 2 Zg = f[0] n [1] n ::: [n ; 1] n g v prvn mno in vypo t v me i prvky, kter jsou shodn, zato druh u je p esn m v tem (vz jemn r zn t dy tvo c rozklad Zn), obsahuje jen zbytky po d len. Na Zn denujeme operaci + p edpisem: [a] n +[b] n := [a + b] n, a d le operaci takto: [a] n [b] n := [a b] n. V ta 1.26 Pro libovoln n 2 N je (Zn +) komutativn grupa. V ta 1.27 Pro libovoln n 2 N je (Zn ) komutativn monoid. [a] n m inverzi, (a n) =1. D sledek 1.28 (Z n = f[1] n [2] n ::: [n ; 1] n g ) je pro prvo seln n grupou. Pozn mka 1.29 znamen, e jde o mno inubeznulov t dy.pouze je-li n prvo slo, je p slu n Z n uzav en na operaci a je tedy grupou. Denice 1.30 Pro n 2 N denujeme tzv. Eulerovu funkci '(n) jako po et sel z mno iny f1 2 ::: n; 1g, kter jsou nesoud ln s n. V ta 1.31 Pro prvo seln p plat '(p n )=p n;1 :(p;1). Pro a,b nesoud ln plat '(ab) = '(a) '(b) P klad 1.1 '(1000) = '(2 3 :5 3 )=2 2 :1:5 2 :4
6 1 GRUPY Z kladn vlastnosti grup V ta 1.32 Nech (s ) je pologrupa, n 2 N, a 1 a 2 ::: a n 2 S.Pak sou in prvk a 1 a 2 ::: a n v dan m po ad nez vis na uz vorkov n. D kaz: indukc vzhledem k n 1. pro n =1 2 nen co dokazovat 2. pro n 3 a tvrzen plat pro men n: nech a 1 a 2 ::: a n 2 S, uva ujme sou in (a 1 :::a k ) (a k+1 a n )= podle induk n ho p edpokladu nez vis obsah 1. z vorky na uz vorkov n ( ani2.z vorky), =(a 1 (a 2 :::a k )) (a k+1 :::a n )=a 1 (a 2 :::a k ) (a k+1 :::a n ) pro k 2 nemus me pou vat z vorek a pro k =1u m me po adovan tvar. 2 V ta 1.33 Je-li (S ) komutativn pologrupa, n 2 N a 1 a 2 ::: a n sou inu prvk a 1 a 2 ::: a n nez vis na jejich po ad. 2 S. Pak v sledek Denice 1.34 Bu (s ) pologrupa a 2 S, n 2 N. Denujeme a n := a a{z a}. Pokud m n initel pologrupa neutr ln prvek 1, klademe t a 0 := 1. Lemma 1.35 Z ejm 8n m 2 N0 plat a m a n = a m+n (a m ) n = a mn Lemma 1.36 Maj -li a,b inverzi, ekn me a ;1 b ;1, plat, e b ;1 a ;1 je inverze a b. Denice 1.37 Pro n 2 N klademe a ;n := (a ; 1) n. Co je samoz ejm rovno (a n ) ;1. Lemma 1.38 Op t se snadno vid, e 8m n 2 Z a m a n = a m+n (a m ) n = a mn Denice 1.39 d prvku agrupy (G ) je nejmen p irozen slo n takov, e a n =1.Pokud takov n neexistuje, prav me, e a m d 0. P klad 1.2 V (Z +) m a =2 d 0. V (Z 6 +) je to takto:
7 1 GRUPY 7 [0] 6 m d 1. [1] 6 m d 6. [2] 6 m d 3. [3] 6 m d 2. [4] 6 m d 1. [5] 6 m d 6. Lemma 1.40 Nech (G ) je grupa, a 2 G. 1. Nech a je du n, k 2 Z, k = qn + r q 2 Z 0 r<n,pak 1 a a 2 ::: a n;1 jsou po 2 r zn. a k = a r 2. Nech a je du 0, pak pro libovoln k l 2 Z k 6= l je a k 6= a l 1.3 Podgrupy Denice 1.41 Nech (G ) je grupa a H G. Hnaz v me nosi em podgrupy grupy (G ), je-li 1 2 H a 2 H ) a ;1 2 H a b 2 H ) a b 2 H Denice 1.42 Grupu (H ) nazveme podgrupou grupy (G ) plat -li: H G a b 2 H ) a b = a b. Pak 1 G =1 H :1 H 1 G =1 H =1 H 1 H =1 H 1 H.Prolibovoln a 2 H je inverze a ;1 v (H ) rovna inverzi a ;1 v (G ). Odvozen je analogick. V ta 1.43 V dal m nebudeme mezi t mito pojmy rozli ovat. Lemma 1.44 Nech (G ) je grupa. (H i ) i2i je syst m podgrup, I 6=. Pak H = T i2i H i je op t podgrupa. V ta 1.45 Nech (G ) je grupa, M G. Pak existuje (vzhledem k inkluzi) nejmen podgrupa grupy obsahuj c mno inu M. Je rovna T i2i H i, kde (H i ) i2i je syst m v ech podgrup, kter obsahuj mno inu M. D kaz: I 6=, nebo samo G je takovou podgrupou. H = T i2i H i je podgrupa podle p edchoz ho lemmatu. Z ejm M H. Chci dok zat, e H je nejmen takov. Nech H' je podgrupa obsahuj c M. A z ejm 9i 0 2 I : H 0 = H i0, ale plat, e T i2i H i H i0. 2
8 1 GRUPY 8 Denice 1.46 Podgrupu z p edch zej c v ty naz v me podgrupou generovanou mno inou M, ozna ujeme hmi. P klad 1.3 (Z +) je generov na nap klad mno inou f;1g nebo f2 3g. Nesta mno ina f2g. Ta generuje jen podgrupu sud ch sel. Denice 1.47 Grupa generovan jednoprvkovou mno inou se naz v cyklick. V ta 1.48 Nech (G ) je grupa, M G. Pak hmi = fa "1 1 a"2 2 :::a"n n jn 2 N0 a 1 :::a n 2 M " 1 ::: " n 2f1 ;1gg Sou in d lky 0 interpretujeme jako jedni ku 1. D sledek 1.49 hai = fa k jk 2 Zg. M sto hfagi p eme hai. 1.4 Morsmy Denice 1.50 Nech (G ), (H ) jsou grupy. Zobrazen : G! H se naz v homomorsmem grupy (G ) do grupy (H ), plat -li 8a b 2 G : (a b) = (a) (b). P eme :(G )! (H ) D le ozna ujeme vno en jako prost homomorsmus, izomorsmus jako bijektivn homomorsmus. k me, e (G ) je izomorfn s (H ), existuje-li izomorsmus (G ) na (H ), p eme (G ) = (H ). Lemma 1.51 P irozen logaritmus ln : (R + )! (R +) je izomorsmus. Plat tak (Z6 ) = (Z 7 ) V ta 1.52 Nech :(G )! (H ) je homomorsmem grup. Pak (1 G )=1 H,prolib. a 2 G(a ;1 )=((a)) ;1 Pozn mka 1.53 Slo en homomorsm je op t homomorsmus. Zobrazen inverzn k izomorsmu je izomorsmus. Je-li H podgrupa grupy (G ), pak inkluze je vno en m (a 7! a). 1.5 Cayleho v ty Budeme pracovat s touto strukturou: nech A je mno ina. (A A ) je pologrupa. V ta 1.54 Libovoln pologrupa je izomorfn podpologrup pologrupy (A A ) pro vhodnou mno inu A.
9 1 GRUPY 9 D kaz: Nech (S ) je pologrupa. Denujeme pro a 2 S zobrazen a : S! S vztahem f a (x) =a x pro libovoln x 2 S. je vno en (S ) do (S S ). Chceme dok zat, e je homomorsmus: Pro a b 2 S, x 2 S, pak ab (x) =a:b:x. Plat a b (x) = a ( b (x)) = a (b:x) = a:b:x. Tedy jde skute n o homomorsmus. Chceme nav c, e je prost : a b 2 S, a = b. Lze p edpokl dat, e na e pologrupa S je monoid, nen -li, pak p id me 1. Plat a (1) = b (1), z toho a:1 = b:1, a tedy a = b. A m me izomorsmus. 2 V ta 1.55 Libovoln grupa (G ) je izomorfn s podgrupou (=lze vno it do) grupy (PermA ) pro vhodnou mno inu A. Za A lze vz t G. 1.6 Klasikace cyklick ch grup V ta 1.56 Libovoln nekone n cyklick grupa je izomorfn grup (Z +). Libovoln n-prvkov (n 2 N) cyklick grupa je izomorfn grup (Zn +). 1.7 Sou iny grup Denice 1.57 Nech (G ), (H ) jsou grupy. Na mno in G H denujeme operaci takto: (a b) (a 0 b 0 ):=(a a 0 b b 0 ). (n soben po slo k ch) Lemma 1.58 (G H ) je grupa. Zobrazen : G H! G (a b) 7! a, : G H! H (a b) 7! b jsou surjektivn homomorsmy grupy (G H ) na (G ) respektive (H ). V ta 1.59 Nech (G ) je komutativn grupa, H a K jej podgrupy. Nech H \ K = f1g G H K (= fh kjh 2 H k 2 Kg) Pak (G ) = (H ) (K ). 1.8 Klasikace kone n ch komutativn ch grup V ta 1.60 Nech (G ) je kone n komutativn grupa, jgj 2. Pak (G ) = (Z k p 1 +) ::: (Z 1 p km m +) kde m k 1 ::: k m 2 N p 1 ::: p m jsou prvo sla. Tento rozklad je jednozna n a na po ad initel. 1.9 Lagrangeova v ta Denice 1.61 Nech (G ) je grupa, H jej podgrupa, denujme ah := fa hjh 2 Hg, G=H := fahja 2 Gg. Lemma 1.62 Pro a b 2 G je ekvivalentn : 1. ah = bh
10 1 GRUPY a 2 bh 3. b ;1 a 2 H V ta 1.63 G=H je rozklad na mno in G. Libovoln dv t dy jsou stejn mohutn. D kaz: S a2g ah G, nebo a2ah. nech c 2 ah \ bh, pak9h k 2 H tak, e c = ah = b k jh ;1 zprava a = b k h ;1 2 bh k h ;1 2 H Tedy ah = bh a jde o rozklad. Nech a 2 G, : H! ah h 7! ah. je surjektivn a injektivn. Tedy bijekce a mezi lib. dv ma t dami. Proto jsou lib. dv t dy stejn velk. D sledek 1.64 Nech (G ) je komutativn grupa, jgj = n. Pak 1. jgj = jg=hj jhj, pro libovolnou podgrupu H. 2. (Lagrangeova v ta) jhj d l jgj, pro libovolnou podgrupu H. 3. a 2 G du m, pak mjn. 4. je-li n prvo slo, je (G ) cyklick. 5. (Fermatova v ta) a 2 G, pak a n =1. 2 D sledek 1.65 (Euler) Nech a n 2 N, (a n) =1.Pak a '(n) 1 (mod n). D kaz: uva ujme grupu invertibiln ch prvk v (Z n ). Tato grupa m '(n) prvk ( [a] n m inverzi, (a n) =1) [a] '(n) n =[1] n Faktorov grupy Denice 1.66 Podgrupa H grupy (G ) se naz v norm ln, plat -li 8a 2 G : 8h 2 H : a ;1 ha 2 H. G=H := fahja 2 Gg - lev rozklad HnG := fhaja 2 Gg -prav rozklad Lemma 1.67 Je ekvivalentn : 1. H je norm ln grupa. 2. 8a 2 G : ah = Ha(, G=H = HnG) 3. Na G/H denujeme takto operaci: ah bh := (a b)h.
11 2 OKRUHY A POLYNOMY 11 V ta 1.68 Je-li (G ) grupa, H jej norm ln podgrupa, pak G=H s operac denovanou v e je grupa. Zobrazen nath : G! G=H a 7! ah je surjektivn homomorsmus grupy (G ) na grupu (G=H ). Denice 1.69 Nech : (G )! (H ) je homomorsmus grup, klademe J() := fa 2 Gj(a) =1g. Lemma 1.70 Nech (G ) je grupa. Norm ln podgrupy v(g ) jsou pr v j dra homomor- sm vedouc ch z(g ). D kaz: nech H je norm ln podgrupa v (G ). nath :(G )! (G=H ) J(natH) = fa 2 Gj(natH)(a) =Hg = fa 2 GjaH = Hg = H Naopak, bu : (G )! (H ) homomorsmus, dok eme, e J() je norm ln podgrupa v (G ) :12 J() a b 2 J() ) (a) =(b) =1) (ab) =(a) (b) =1 (a ;1 )=((a)) ;1 =1 ;1 =1a m me podgrupu. Norm lnost: a 2 G, b 2 J(). Chceme a ;1 ba 2 J(). (a ;1 b a) =((a)) ;1 (b) (a) =1. 2 Lemma 1.71 J() =f1g, je prost. V ta 1.72 Nech : (g )! (H ) je homomorsmus grup. G' je norm ln podgrupa (G ), nech G 0 J(). Pak existuje jedin homomorsmus :(G=G 0 )! (H ) takov, e natg 0 =. D sledek 1.73 Nech : (G )! (H ) je surjektivn homomorsmus. Pak (G )=J() = (H ). 2 Okruhy a polynomy 2.1 Zaveden pojmu okruh Denice 2.1 Uspo danou trojici R = (R + ) naz v me okruh, je-li (R +) komutativn grupa, (R ) monoid a jsou-li spln ny tzv. distributivn z kony: 8a b c 2 R : a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc: R se naz v komutativn okruh, je-li (R ) komutativn. Ozna en : 0... je neutr ln prvek vzhledem k +, ;a...inverzi prvku a vzhledem k + naz v me opa n prvek,
12 2 OKRUHY A POLYNOMY je neutr ln prvek vzhledem k, R se naz v trivi ln, je-lijrj =1, a ; b := a +(;b). Lemma 2.2 Nech R =(R + ) je okruh. Pak 1. 0a = a0 =0 2. (;a)b = a(;b) =;(ab) 3. a(b ; c) =ab ; ac 4. R je trivi ln, 0=1 Denice 2.3 Okruh R se naz v obor integrity, je-li netrivi ln, komutativn a plat 8a b 2 R :(ab =0) a =0_ b =0). Tedy v oboru integrity se nevyskytuj d litel nulynebotak, analogicky, nenulov prvky jsou uzav eny vzhledem k n soben. Lemma 2.4 (Zn + ) je obor integrity, njeprvo slo. Denice 2.5 Okruh R se naz v t leso, je-li (R ) komutativn grupa. Q R C jsou t lesa. Naprosto z ejm je, e je-li R t leso, pak R jeioboremintegrity. 2.2 Z kladn vlastnosti Denice 2.6 Charakteristika okruhu R je d 1 v (R +). Zna me charr. P klad 2.1 charzn = n, seln okruhy maj charakteristiku 0. Lemma 2.7 Nech charr = n, a 2 R, pak plat n a =0.(n a znamen Lemma 2.8 Charakteristika oboruintegrity je 0 nebo prvo slo. n z } { a + a + a). Denice 2.9 Bu R komutativn okruh, a b 2 R. a d l b, jestli e 9c 2 R : a c = b. P eme ajb. Prvky a,b naz v me asociovan, je-li ajb bja. P eme a b. Prvek e 2 R naz v me jednotkou (v libovoln m okruhu),m -liv(r ) inverzi. V R jsou jednotky v echna sla mimo 0 a asociovan prvky jsou v echny dvojice nenulov ch sel. Lemma 2.10 Plat : 1. je relace ekvivalence na R.
13 2 OKRUHY A POLYNOMY R obor integrity. Pak a b pr v, kdy existuje jednotka c tak, e b = a c. Denice 2.11 Bu R komutativn okruh, a b c d 2 R. Prvek c je spole n d litel prvk a,b, plat -li cja cjb. Prvek c je nejv t spole n d litel, je-li spole n d litel a pro libovoln jin spole n d litel d plat djc. Denice 2.12 Libovoln prvek a 2 R je d liteln libovolnou jednotkou a libovoln m prvkem asociovan m s a, tyto d litele naz v me nevlastn d litele. Denice 2.13 Prvek a 2 R se naz v ireducibiln, je-lir zn od 0, nen jednotkou a m jen nevlastn d litele. Lemma 2.14 Nech R je komutativn okruh, pak 1. pokud existuje nejv t spole n d litel prvk a,b je ur en jednozna n a na asociovanost. 2. je-li a ireducibiln, a b, pak je prvek b tak ireducibiln. 2.3 V tan vlastnost okruh Vlastnost, kter je u okruh tak cen n, je jednozna nost rozkladu. Uvedeme si denici, kter tento pojem zav d p esn. Denice 2.15 Libovoln prvek a 2 R, kter nen jednotkou, lze ps t ve tvaru a = p 1 :::p k, kde k 2 N, p 1 ::: p k jsou ireducibiln prvky. Pokud t a = q 1 q l, kde l 2 N, q 1 ::: q l jsou ireducibiln, potom l = k a z rove existuje permutace mno iny f1 kg tak, e q i p (i). P klad 2.2 Okruh (Z + ) je s jednozna n m rozkladem, libovoln t leso je okruhem s jednozna n m rozkladem. 2.4 Podokruhy Denice 2.16 Nech R = (R + ) je okruh, mno ina M se naz v podokruhem okruhu R, plat -li M R, M, a jestli e a b 2 M, pak plat a + b a b ;a 2 M. Pozn mka 2.17 Zejm na (M +) je podgrupa grupy (R +). Z ejm i (M +=M M =M M ) je okruh. Lemma 2.18 Nech S i pro i 2 I I 6= je podokruh okruhu R =(R + ). Pak tak T i2i S i je podokruh. Zavedeme n sleduj c ozna en : Pro libovolnou mno inu M R existuje nejmen podokruh okruhu R obsahuj c M. Nazveme ho podokruh generovan mno inou M, ozna me [M ]. D le nech S je podokruh okruhu R, a 2 R m sto [S [fag] p eme S[a]. Lemma 2.19 S[a] =f a + 2 a 2 + :::+ n a n jn 2 N 0 0 ::: n 2 Sg.
14 2 OKRUHY A POLYNOMY Homomorsmy okruh, pod lov t leso Denice 2.20 Nech R =(R + ), S =(S + ) jsou okruhy. Zobrazen : R! S se naz v homomorsmus okruhu R do okruhu S, plat -li: (a + b) =(a) +(b) (a b) =(a) (b) (1) = 1 R, kde a b 2 R. Zejm na se jedn o homomorsmus grupy (R +) do grupy (S +). D le se naz v izomorsmus, je-li bijektivn. R a S se naz vaj izomorfn, existuje-li izomorsmus R na S. Lemma 2.21 Nech : R!S je homomorsmus okruh. je prost, J() :=fa 2 Rj(a) =0g = f0g Libovoln homomorsmus t les je prost a pro a 2 R plat (a ;1 )=((a)) ;1 Lemma 2.22 Nech R =(R + ) je obor integrity. Na mno in R R denujeme relaci takto: (a b) (c d), a d = b c: Pak je relace ekvivalence. Ozna me t du ekvivalence takto: a b =[(a b)] Denice 2.23 a c ad b + + bc := d bd a b c ac := d bd Q(R) :=f a b j(a b) 2 R R g Mno ina Q(R) se ozna uje tak jako pod lov t leso. V ta jsou korektn denovan operace na Q(R). (Q(R) + ) je t leso. Denice 2.25 Racion ln sla Q := Q((Z + )) V ta 2.26 Nech R =(R + ) je obor integrity, : R! Q(R) a 7! a je prost homomor- 1 smus R do Q(R). Je-li : R!T prost homomorsmus do t lesa T, existuje jedin homomorsmus : Q(R)!T takov, e =. Denice 2.27 zaveden p irozen ch sel N 0 je nejmen mno ina obsahuj c auzav en vzhledem k (un rn ) operaci a 7! a [fag.
15 2 OKRUHY A POLYNOMY 15 Denice 2.28 Zavedeme relaci na N 0 N 0 takto: Jde z ejm o relaci ekvivalence. Denice 2.29 (a b) (c d), a + d = b + c Z := (N 0 N 0 )= Prvek t to mno iny vyj d me jako a ; b := [(a b)]. Operace budou zavedeny takto: (a ; b) +(c ; d) :=(a + c) ; (b + d) (a ; b) (c ; d) :=(ac + bd) ; (ad + bc) 2.6 Polynomy Denice 2.30 Nech R =(R + ) je okruh. Polynomem nad R naz v me posloupnost f = (f 0 f 1 :::) prvk z R takovou, e skoro v echny jsourovny 0 (tzn. v echny a na kone n po et nebo od jist ho m sta jsou v echny nulov ). R[x] je mno ina v ech polynom nar. Na R[x] denujeme operace + takto: (f 0 f 1 :::)+(g 0 g 1 :::)=(f 0 + g 0 f 1 + g 1 :::) (f 0 f 1 :::) (g 0 g 1 :::)=(h 0 h 1 :::) kde h i := P i j=0 f jg i;j pro i =0 1 :::. Z ejm je h 0 = f 0 g 0 h 1 = f 0 g 1 + f 1 g 0... Lemma 2.31 R[x] =(R[x] + ) je okruh. Je-li R komutativn, je i R[x] komutativn. Je-li R obor integrity, jeir[x] obor integrity (toto neplat pro t leso!). Denice 2.32 Stupe polynomu f, st(f ) je nejv t n 2 N takov, e f n 6=0, kde f n je vedouc koecient polynomu f. Stupe polynomu (0 0 :::) klademe ;1. Lemma 2.33 Nech f,g jsou polynomy. st(f + g) maxfst(f ) st(g)g st(f:g) st(f )+st(g) Je-li R obor integrity, plat ve 2. p pad rovnost. Lemma 2.34 Nech R je obor integrity,f 2 R[x]. f je jednotka vr[x] pr v tehdy, kdy je konstantn a je jednotkou v R. (jen na okraj: ztoto ujeme prvky z R akonstantn polynomy) P klad 2.3 v okruhu (Z n + ) plat : (2x + 1)(2x +1)=1 tento nekonstantn polynom je jednotkou
16 2 OKRUHY A POLYNOMY 16 Lemma 2.35 Nech R je obor integrity, f g 2 R[x]. Nech vedouc koecient polynomu g je jednotkou vr.pak existuj, a to jednozna n polynomy q r 2 R[x] takov, e f = q q + r, st(r) <st(g). P klad 2.4 Nejsme-li nad oborem integrity, nen jednozna nost: 2x +1=1(2x +1)+0=2x(2x +1)+1 V ta 2.36 Je-li R t leso, f g 2 R[x]. Pak existuje nejv t spole n d litel h t chto polynom a existuj polynomy u,v tak, e u f + v g = h D kaz: viz Euklid v algoritmus a d kaz Bezoutovy rovnosti 2 Lemma 2.37 Nech R je obor integrity. f g 2 R[x] jsou asociov ny pr v tehdy,kdy existuje jednotka c 2 R tak, e g = c f. Denice 2.38 Normovan polynom m vedouc koecient roven 1 (jedn ). V ta 2.39 Nech R je t leso, f g 2 R[x]nf0g.Pak existuje jedin jejich normovan nejv t spole n d litel, ozna ujeme ho (f g). D kaz: plyne z p edchoz v ty a lemmatu o jednozna nosti NSD 2 Denice 2.40 Polynomy f,g se naz vaj nesoud ln, plat -li (f g) =1. V ta 2.41 Nech R je t leso, f g h 2 R[x]. Jestli e fjg h, (f g) =1, pak plat fjh. D kaz: viz Bezoutova rovnost 2 Denice 2.42 Polynom f se naz v ireducibiln, je-li nekonstantn a nen -li sou inem dvou nekonstantn ch polynom. P klad 2.5 V polynomech Z[x]: 2 je ireducibiln prvek (nad Z), nen ireducibiln polynom. 2x je ireducibiln polynom, nen ireducibiln prvek. Lemma 2.43 Nech R je t leso. Pak f 2 R[x] je ireducibiln polynom, je ireducibiln prvek. Pozn mka 2.44 Nad oborem integrity jelibovoln line rn polynom ireducibiln. V ta 2.45 Nech R je t leso. Pak R[x] je okruh s jednozna n m rozkladem. ( f 2 R[x] nekonstantn, f lze ps t ve tvaru f = a p 1 p 2 :::p k a to jedin m zp sobem a na po ad initel a 2 R, p 1 p 2 :::p k jsou normovan ireducibiln polynomy)
17 2 OKRUHY A POLYNOMY 17 D kaz: Existence: f 2 R[x] nekonstantn indukc vzhledem ke n:= st(f) n =1, f se normuje n 2 bu f je ireducibiln, pak se f normuje, nebo f = g h, st(g) st(h) 1 a pou iji induk n p edpoklad. Jednozna nost: f = a p 1 :::p k = b q 1 :::q l Z ejm a = b jako koecienty nejvy mocniny. Kdyby p k 6= q 1 ::: q l bylo by (p k q 1 ) = :::(p k q l )=1, (p k b)=1a NSD je konstantn polynom. (Plat fjgh (f g) =1) fjh) l-kr t aplikovat, dostali bychom p k j1 tedy spor. Proto mus p k = q m (1 m l) p 1 :::p k;1 = q 1 :::q m;1 q m+1 :::q l Pou ijeme d le indukci vzhledem ke k Ko eny polynom Denice 2.46 Nech je R okruh, c 2 R, f 2 R[x], f = f n x n + ::: + f 1 x + f 0. c se naz v ko enem polynomu f, plat -li f (c) :=f n c n + :::+ f 1 c + f 0 =0: Lemma 2.47 Nech R je komutativn okruh, c 2 R, f g 2 R[x]. Pak plat : 1. (f + g)(c) =f (c) +g(c) 2. (fg)(c) =f (c) g(c) V ta 2.48 Nech R je komutativn okruh, c 2 R, f 2 R[x]. Pak c je ko en f pr v tehdy, kdy plat (x ; c)jf. Denice 2.49 Nech R je komutativn okruh, c 2 R, f 2 R[x], k 1. c je k-n sobn ko en f, plat -li (x ; c) k jf, a z rove (x ; c) k+1 6 jf. V ta 2.50 Nech R je t leso, f nenulov polynom nad R, pak f m nejv e n = st(f ) ko en, po t me-li ka d tolikr t, co jeho n sobnost. Pozn mka 2.51 V tu je mo no zobecnit a na okruh integrity. Denice 2.52 Nech R je okruh, f 2 R[x], denujme '(f ):R! R a 7! f (a) V ta 2.53 Nech R je nekone n obor integrity. Pak f = g pr v tehdy, kdy '(f )='(g). Denice 2.54 Nech f = a n x n +:::+a 1 x+a 0 Denujeme f 0 = na n x x;1 +:::+a 1 a naz v me derivace f. Lemma 2.55 Plat (f + g) 0 = f 0 + g 0, (f g) 0 = f 0 g + f g 0.
18 2 OKRUHY A POLYNOMY 18 V ta 2.56 Nech R je t leso charakteristiky 0, f 2 R[x], c 2 R. Jestli e c je k-n sobn ko en f, k 2, pak c je (k-1)-n sobn ko en f 0. Jestli e c je jednoduch ko en (n sobnosti jedna) f, pakc nen ko en f 0. Denice 2.57 T leso R se naz v algebraicky uzav en, m -li ka d nekonstantn polynom nad RvR ko en. V ta 2.58 dn kone n t leso nen algebraicky uzav en. P klad 2.6 pro R = fa 1 :::a n g polynom f =(x ; a 1 ) :::(x ; a n )+1nem v R ko en. V ta 2.59 T leso R je algebraicky uzav en, ireducibiln polynomy jsou pr v line rn polynomy. 2.8 Polynomy nad C, R, Q V ta 2.60 Z kladn v ta algebry T leso C je algebraicky uzav en. Lemma 2.61 Nech c 2 C je ko en f 2 R[x]. Pak x je ko en f. V ta 2.62 Nad R jsou ireducibiln polynomy pr v line rn polynomy akvadratick polynomy se z porn m diskriminantem. V ta 2.63 Nech f = a n x n p + ::: + a 1 x + a 0 2 Z[x]. q je ko en f, p 2 Z, q 2 Z nf0g, (p q) =1.Pak pja 0, qja n. Pro r 2 Z plat (p ; rq)jf (r). V ta 2.64 Polynom f 2 Z[x] je ireducibiln, je ireducibiln nad Q. V ta 2.65 Eisensteinovo kriterium Nech m me polynom f = a n x n + ::: + a 1 x + a 0 2 Z[x]. Jestli e existuje prvo slo p tak, e pja 0 :::pja n;1 pned l a n p 2 ned l a 0 potom f je ireducibiln nad Q. P klad 2.7 x n +2je ireducibiln nad Q (pro prvo slo p=2).
Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sl
Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sly z p edchoz ch kapitol k podrobn j mu zkoum n line
VíceOkruhy ot zek k Algeb e I. P.H. & J.W. 2 II. Klasikace cyklick ch grup d prvku: Nech (G ) je grupa, a 2 G. d prvku a denujeme jako nejmen slo n takov,
Okruhy ot zek k Algeb e I. P.H. & J.W. 1 I. Cayleyova v ta pro grupy Izomorfn zobrazen : Bu G 1 G 2 grupy, f : G 1! G 2. ekneme, e f je izomorfn zobrazen, jestli e: 1. f je bijekce (injekce, surjekce)
Více3. Polynomy Verze 338.
3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci
Více1 1 Ide ly a faktorov okruhy Denice 1.1 Nech R =(R + :) je okruh, 6= I R nazveme ide lem, plat -li a b I =) a + b I a I r R =) ra ar I Ide l je zejm n
i doc. Libor Pol k Algebra II. zpracoval Ale K enek 11. kv tna 1995 Obsah 1 Ide ly a faktorov okruhy 1 Roz en t les 3 Teorie svaz 3 3.1 Dvoj denice : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Více6. Matice. Algebraické vlastnosti
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
Vícep (1) k 0 k 1 je pravd podobnost p echodu ze stavu k i v l ; 1 kroku do stavu k j
Markovovsk n hodn procesy U Markovovsk ho n hodn ho proces nez vis dal v voj na zp sobu, jak se proces dostal do sou asn ho stavu. Plat 8 t
Vícea m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
Více8. pln svazy. Svaz A se naz v distributivn, pokud pro libovoln prvky a; b; c 2 A plat
. 8. pln svazy Svaz A se naz v distributivn, pokud pro libovoln prvky a; b; c 2 A plat a (b ^ c) = (a b) ^ (a c) Lemma 8.1. Bu A distributivn svaz. Pak pro libovoln prvky a; b; c 2 A plat a ^ (b c) = (a
VíceMATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,
VíceNe tak letmý úvod k maticím První pracovní verze
Ne tak letmý úvod k maticím První pracovní verze Tento text na příkladech ukazuje vlastnosti základních algebraických struktur grup, okruhů, polí, vektorových prostorů a algeber. Zvláštní důraz je kladen
Více4 Stromy a les. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 1 FI: MA010: Stromy a les
4 Stromy a les Jedn m ze z kladn ch, a patrn ї nejjednodu 0 8 0 8 m, typem graf 0 1 jsou takzvan і stromy. Jedn se o souvisl і grafy bez kru 0 6nic. P 0 0es svou (zd nlivou) jednoduchost maj stromy bohatou
VíceÚlohy domácího kola kategorie C
50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat
VícePříprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB
Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné
VíceAritmetika s didaktikou II.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou II. KM / 0026 Přednáška 0 Desetinnáčísla O čem budeme hovořit: Budeme definovat desetinnáčísla jako speciální racionálníčísla. Naučíme se poznávat různé
VíceMatematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce
Matematická analýza KMA/MAI 3. p edná²ka Primitivní funkce Denice a základní vlastnosti P íklad Uvaºujme následující úlohu: Najd te funkci F : R R takovou, ºe F () R. Kdo zná vzorce pro výpo et derivací
Více11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty
VíceExponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití
VíceDiskr tn matematika Roman ada Tom Kaiser Zden k Ryj ek Katedra matematiky FAV Z pado esk univerzita v Plzni 2004 ii vodem M te p ed sebou text k p edn ce Diskr tn matematika pro prvn ro n k na Z pado esk
Více1. Mno iny. Pojem mno iny je z kladn m pojmem matematiky. Mno ina je ur ena sv mi
1. Mno iny Pojem mno iny je z kladn m pojmem matematiky. Mno ina je ur ena sv mi prvky, t.j., mno inou rozum me souhrn prvk. Teorii mno in vybudoval n meck matematik G.Cantor v roce 1872. V e uveden vymezen
VíceOperace s maticemi. Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen.
U stav matematiky a deskriptivnı geometrie Operace s maticemi Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2014 RNDr. Rudolf Schwarz,
Více2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů
Klíčová slova: Dopravní problém, Metody k nalezení výchozího ˇrešení, Optimální ˇrešení. Dopravní problém je jednou z podskupin distribuční úlohy (dále ještě problém přiřazovací a obecná distribuční úloha).
VíceLine rn algebra II podle p edn ek prof. Franti ka ika Sazbu v L A TEXu p ipravil Du an Dobe Obsah Diagonalizovatelnost matic 2 Symetrick transformace 4 3 Hermitovsk matice a kongruentnost 5 4 Pozitivn
VíceMatematika IV - 3. přednáška Rozklady grup
Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy Martin Panák, Jan Slovák, Drsná
Více1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204
.2.5 Reálná čísla I Předpoklady: 00204 Značíme R. Reálná čísla jsou čísla, kterými se vyjadřují délky úseček, čísla jim opačná a 0. Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem. Každý
VíceOperace s maticemi. Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen.
Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít 1 Operace s maticemi Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2014 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.
Vícek d K: a!b Hammingova vzd lenost: v ha slova po et jedni ek
ezpe nostn k dy ezpe nostn k dy 2 EZPE NOSTN K DY chyby? pam, - cesta, - a jednotka, d = KN L? d 6= a d = a modely kan l (charakter chyb): kan l symetrick : pravd(!)=pravd(!) nesymetrick : 6= s v mazem
VíceM - Příprava na čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu 1ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
Vícegrupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
VícePolynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
VíceJan Slov k. Algebraick geometrie
Jan Slov k Algebraick geometrie jen 995 { kv ten 996 OBSAH i Obsah P klady a motivace 2 Projektivn roz en ann ho prostoru 3 Polynomy 3 4 Ann variety 24 5 Projektivn variety 36 6 Homogenn polynomy 44 7
VíceMatematika IV - 3. přednáška Rozklady grup
S Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 s Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy s Doporučene zdroje Martin Panák,
VíceVážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího
VíceMatematický model kamery v afinním prostoru
CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002
VíceŘešení: 20. ročník, 2. série
Řešení: 20. ročník, 2. série.úloha Předpokládejme, že hledaná cesta existuje. Pak je možné vyrazit z bodu A do bodu D po žluté cestě (obvodu obdélníka). Abychom splnili všechny podmínky zadání, musíme
Více1. a) Přirozená čísla
jednotky desítky stovky tisíce desetitisíce statisíce miliony 1. a) Přirozená čísla Přirozená čísla jsou nejčastějšími čísly, se kterými se setkáváme v běžném životě. Jejich pomocí zapisujeme počet věcí
Více1 Matematické základy teorie obvodů
Matematické základy teorie obvodů Vypracoval M. Košek Toto cvičení si klade možná přemrštěný, možná jednoduchý, cíl dosáhnout toho, aby všichní studenti znali základy matematiky (a fyziky) nutné pro pochopení
Více[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
VíceVyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio
Aplikační list Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Ref: 15032007 KM Obsah Vyvažování v jedné rovině bez měření fáze signálu...3 Nevýhody vyvažování jednoduchými přístroji...3
Více3.cvičení. k p = {X, Y } u(x, r 1 = XA ), v(y, r 1 = XA ) u v = {A, R} q = AR. 1. Bodem A kolmici: Zvolím bod X p k(a, r 1 = XA ),
3.cvičení 1. Bodem A kolmici: Zvolím bod X p k(a, r 1 = XA ), k p = {X, Y } u(x, r 1 = XA ), v(y, r 1 = XA ) u v = {A, R} q = AR Bodem A rovnoběžku: Ještě jednu kolmici. Tři úhly, které je možno rozdělit
VíceÚlohy k procvičování textu o svazech
Úlohy k procvičování textu o svazech Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky - zadání
Více1.7. Mechanické kmitání
1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického
VíceKatedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 16. ZÁKLADY LOGICKÉHO ŘÍZENÍ
Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 16. ZÁKLADY LOGICKÉHO ŘÍZENÍ Obsah 1. Úvod 2. Kontaktní logické řízení 3. Logické řízení bezkontaktní Leden 2006 Ing.
Vícec sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.
9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte
VíceČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ
ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)
Více4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)
4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2
Více10 je 0,1; nebo taky, že 256
LIMITY POSLOUPNOSTÍ N Á V O D Á V O D : - - Co to je Posloupnost je parta očíslovaných čísel. Trabl je v tom, že aby to byla posloupnost, musí těch čísel být nekonečně mnoho. Očíslovaná čísla, to zavání
VíceHPN. projekt. s.r.o. OBEC STARÉ MĚSTO PASPORT MÍSTNÍCH KOMUNIKACÍ. katastrální území: Staré Město, Petrušov, Radišov
HPN projekt s.r.o. OBEC STARÉ MĚSTO PASPORT MÍSTNÍCH KOMUNIKACÍ katastrální území: Staré Město, Petrušov, Radišov Vypracoval: Neckář Pavel Datum: Říjen 2015 1) Úvod k pasportu místních komunikací Pasport
VíceModul Řízení objednávek. www.money.cz
Modul Řízení objednávek www.money.cz 2 Money S5 Řízení objednávek Funkce modulu Obchodní modul Money S5 Řízení objednávek slouží k uskutečnění hromadných akcí s objednávkami, které zajistí dostatečné množství
VíceData v počítači EIS MIS TPS. Informační systémy 2. Spojení: e-mail: jan.skrbek@tul.cz tel.: 48 535 2442 Konzultace: úterý 14 20-15 50
Informační systémy 2 Data v počítači EIS MIS TPS strategické řízení taktické řízení operativní řízení a provozu Spojení: e-mail: jan.skrbek@tul.cz tel.: 48 535 2442 Konzultace: úterý 14 20-15 50 18.3.2014
VíceSpolečné stanovisko GFŘ a MZ ke změně sazeb DPH na zdravotnické prostředky od 1. 1. 2013
Společné stanovisko GFŘ a MZ ke změně sazeb DPH na zdravotnické prostředky od 1. 1. 2013 Od 1. 1. 2013 došlo k novelizaci zákona č. 235/2004 Sb., o dani z přidané hodnoty (dále jen zákon o DPH ), mj. i
VíceZobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.
7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,
Více7. Domy a byty. 7.1. Charakteristika domovního fondu
7. Domy a byty Sčítání lidu, domů a bytů 2011 podléhají všechny domy, které jsou určeny k bydlení (např. rodinné, bytové domy), ubytovací zařízení určená k bydlení (domovy důchodců, penziony pro důchodce,
VíceAlgebra 2 KMI/ALG2. Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. slidy k přednáškám
Algebra 2 slidy k přednáškám KMI/ALG2 Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. Vytvořeno za podpory projektu FRUP_2017_052: Tvorba a inovace výukových opor
VíceAlgoritmizace a programování
Algoritmizace a programování V algoritmizaci a programování je důležitá schopnost analyzovat a myslet. Všeobecně jsou odrazovým můstkem pro řešení neobvyklých, ale i každodenních problémů. Naučí nás rozdělit
VíceŘešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat.
KOMBINATORIKA ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 1 Pan Alois dostal od vedení NP Šumava za úkol vytvořit propagační poster se čtyřmi fotografiemi Šumavského národního parku, každou z jiného ročního období (viz obrázek).
VíceJak správně zaplatit daň celnímu úřadu
Jak správně zaplatit daň celnímu úřadu Dne 1. ledna 2013 nabyl účinnosti zákon č. 17/2012 Sb., o Celní správě ČR, který v rámci modernizace celní správy zavedl dvoustupňové řízení, a také snížení počtu
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 4. Komplexní čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyiky CZ.1.07/..00/07.0018 4. Komplexní čísla Matematickým důvodem pro avedení komplexních čísel ( latinského complexus složený), byla potřeba rošířit množinu (obor)
VíceŽáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí grafickou minimalizaci zápisu logické funkce
Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Název Téma hodiny Předmět Ročník /y/ CZ.1.07/1.5.00/34.0394 VY_32_INOVACE_9_ČT_1.09_ grafická minimalizace Střední odborná škola a Střední odborné učiliště,
VíceVečerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede
Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede 1 Výroková logika výroky:a,b pravdivost výroku: 0 nepravda, 1 pravda logické spojky: A negace A A B konjunkce A B disjunkce A B implikace
VíceOkruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a
Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i
VíceČtyři atesty a přece není pravá
ZNALECKÁ HLÍDKA Čtyři atesty a přece není pravá Jde o jednu z nejvzácnějších známek naší první republiky, 10 K Znak Pošta československá 1919 na žilkovaném papíru - a nadto v úzkém formátu! Zezadu je opatřena
VíceC) Pojem a znaky - nositelem územní samosprávy jsou územní samosprávné celky, kterými jsou v ČR
Správní právo dálkové studium VIII. Územní samospráva A) Historický vývoj na území ČR - po roce 1918 při vzniku ČSR zpočátku převzala předchozí uspořádání rakousko uherské - samosprávu představovaly obce,
VíceJakhrátavyhrát Robert Šámal
Jakhrátavyhrát Robert Šámal V přednášce si ukážeme efektivní způsob, jak analyzovat hry. U jednodušších her objevíme úplnou strategii, tj. postup, jak o každé pozici poznat, kdo vyhraje a jak má správně
Více2 OBSAH Obsah 1 Z kladn pojmy z teorie jazyk 3 2 vod do teorie automat Historie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Automaty a gramatiky Jaso korektury: Milo Teodorovi odborn rady a garance: V clav Koubek 10. listopadu 1996 Tato skripta slou jako pom cka k p edn ce Automaty a gramatiky na MFF UK. Obsahuj tedy pouze
VíceVýukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám
Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3476 Název materiálu: VY_42_INOVACE_145 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací
VíceReálná ísla a posloupnosti Jan Malý
Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý Obsah 1. Reálná ísla 1 2. Posloupnosti 2 3. Hlub²í v ty o itách 4 1. Reálná ísla 1.1. Úmluva (T leso). Pod pojmem t leso budeme v tomto textu rozum t pouze komutativní
VíceV této části manuálu bude popsán postup jak vytvářet a modifikovat stránky v publikačním systému Moris a jak plně využít všech možností systému.
V této části manuálu bude popsán postup jak vytvářet a modifikovat stránky v publikačním systému Moris a jak plně využít všech možností systému. MENU Tvorba základního menu Ikona Menu umožňuje vytvořit
Více5.2.1 Matematika povinný předmět
5.2.1 Matematika povinný předmět Učební plán předmětu 1. ročník 2. ročník 3. ročník 6. ročník 7. ročník 8. ročník 9. ročník 4 4+1 4+1 4+1 4+1 4 4 3+1 4+1 Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v
Více2/3.3 Spis. Správní řád v praxi. 2/3.3 str. 1
Správní orgány str. 1 Spis 17 Na rozdíl od dosavadního zákona, který ponechával vedení spisu pouze na interních předpisech, byla nyní v zájmu právní jistoty jeho úprava zařazena přímo do správního řádu.
Vícematematika vás má it naupravidl
VÝZNAM Algebrický výrz se zvádí intuitivn bez p esn ího vmezení v kolizi s názv dvoj len, troj len, mnoho len. Stále se udr uje fle ná p edstv, e ísl ozn ují mno ství, e jsou zobecn ním vnímné skute nosti.
VíceMOBILNÍ KOMUNIKACE STRUKTURA GSM SÍTĚ
MOBILNÍ KOMUNIKACE STRUKTURA GSM SÍTĚ Jiří Čermák Letní semestr 2005/2006 Struktura sítě GSM Mobilní sítě GSM byly původně vyvíjeny za účelem přenosu hlasu. Protože ale fungují na digitálním principu i
VíceAlgebraické struktury s jednou binární operací
16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte
VícePříklad 1.3: Mocnina matice
Řešení stavových modelů, módy, stabilita. Toto cvičení bude věnováno hledání analytického řešení lineárního stavového modelu. V matematickém jazyce je takový model ničím jiným, než sadou lineárních diferenciálních
VíceIntegrita dat, hash, autenticita, šifrovací algoritmus a klíč
Kryptografie Kryptografie Kryptografie je vědeck{ disciplína zabývající se šifrov{ním. Díky počítačům je možné obrovskou rychlostí luštit jednoduché, dříve používané šifry, díky nim je naštěstí také možné
VíceI. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb
I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb 1 VŠEOBECNĚ ČSN EN 1991-1-1 poskytuje pokyny pro stanovení objemové tíhy stavebních a skladovaných materiálů nebo výrobků, pro vlastní
VíceGRUPY SBÍRKA PŘÍKLADŮ
Masarykova Univerzita v Brně Přírodovědecká fakulta GRUPY SBÍRKA PŘÍKLADŮ bakalářská práce Brno 2005 Vít Musil i Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury.
Víceřádově různě rostoucí rostou řádově stejně rychle dvě funkce faktor izomorfismus neorientovaných grafů souvislý graf souvislost komponenta
1) Uveďte alespoň dvě řádově různě rostoucí funkce f(n) takové, že n 2 = O(f(n)) a f(n) = O(n 3 ). 2) Platí-li f(n)=o(g 1 (n)) a f(n)=o(g 2 (n)), znamená to, že g 1 (n) a g 2 (n) rostou řádově stejně rychle
VíceKonzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia
- - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin
Více2.2.2 Zlomky I. Předpoklady: 020201
.. Zlomky I Předpoklady: 0001 Pedagogická poznámka: V hodině je třeba postupovat tak, aby se ještě před jejím koncem začala vyplňovat tabulka u posledního příkladu 9. V loňském roce jsme si zopakovali
Více1.2.7 Druhá odmocnina
..7 Druhá odmocnina Předpoklady: umocňování čísel na druhou Pedagogická poznámka: Probrat obsah této hodiny není možné ve 4 minutách. Já osobně druhou část (usměrňování) probírám v další hodině, jejíž
VíceÚprava tabulek v MS Word. Centrum pro virtuální a moderní metody a formy vzdělávání na Obchodní akademii T. G. Masaryka, Kostelec nad Orlicí
Úprava tabulek v MS Word Centrum pro virtuální a moderní metody a formy vzdělávání na Obchodní akademii T. G. Masaryka, Kostelec nad Orlicí Jestli-že chcete uspořádat informace do pravidelných řádků a
VíceÚvod do Teorie grafů Petr Kovář
Úvod do Teorie grafů Petr Kovář Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická
VíceTECHNICKÉ KRESLENÍ A CAD
Přednáška č. 7 V ELEKTROTECHNICE Kótování Zjednodušené kótování základních geometrických prvků Někdy stačí k zobrazení pouze jeden pohled Tenké součásti kvádr Kótování Kvádr (základna čtverec) jehlan Kvalitativní
VíceMatematický KLOKAN 2009 www.matematickyklokan.net. kategorie Benjamín
Matematický KLOKAN 2009 www.matematickyklokan.net kategorie Benjamín Úlohy za 3 body 1. Hodnota kterého výrazu je sudé číslo? (A) 200 + 9 (B) 200 9 (C) 200 9 (D) 2 + 0 + 0 + 9 (E) 2 0 + 0 + 9 2. Kolik
VíceSkalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu
Skalární sou in Jedním ze zp sob, jak m ºeme dva vektory kombinovat, je skalární sou in. Výsledkem skalárního sou inu dvou vektor, jak jiº název napovídá, je skalár. V tomto letáku se nau íte, jak vypo
VíceCyklické grupy a grupy permutací
Cyklické grupy a grupy permutací Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 1/26 Z minula: grupa je důležitý ADT Dnešní přednáška: hlubší pohled na strukturu konečných grup. Aplikace:
Více4 Počítání modulo polynom
8 4 Počítání modulo polynom Co se vyplatilo jendou, vyplatí se i podruhé. V této kapitole zavedeme polynomy nad Z p a ukážeme, že množina všech polynomů nad Z p tvoří komutativní okruh s jednotkou. Je-li
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,
VíceOblastní stavební bytové družstvo, Jeronýmova 425/15, Děčín IV
Oblastní stavební bytové družstvo, Jeronýmova 425/15, Děčín IV Směrnice pro vyúčtování služeb spojených s bydlením Platnost směrnice: - tato směrnice je platná pro městské byty ve správě OSBD, Děčín IV
Více1 3Statistika I (KMI/PSTAT)
1 3Statistika I (KMI/PSTAT) Cvi 0 0en prvn aneb Suma 0 0n symbolika, vod do popisn statistiky Statistika I (KMI/PSTAT) 1 / 17 1 3Obsah hodiny Po dne 0 8n hodin byste m li b 0 5t schopni: spr vn pou 0 6
Více1. Pologrupy, monoidy a grupy
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2002/2003 Michal Marvan 1. Pologrupy, monoidy a grupy Algebra dvacátého století je nauka o algebraických strukturách.
VíceAlgebra I Cvičení. 4) Množina všech matic s nulou v levém dolním rohu a s jedničkami na diagonále.
Algebra I Cvičení Podle následující sbírky probíhalo cvičení na PřF v semestru Jaro 2003. Příklady jsou rozděleny na ty, které jsme dělali na cvičení (označeno C), úlohy na kterých lze procvičovat probranou
VíceVÝVOZNÍ SUBVENCE PRO MLÉKO A MLÉČNÉ VÝROBKY
VÝVOZNÍ SUBVENCE PRO MLÉKO A MLÉČNÉ VÝROBKY Vývozcům ze Společenství jsou z Evropského zemědělského orientačního a garančního fondu poskytovány subvence při vývozu (vývozní subvence, vývozní náhrady),
VíceVysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy
Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Regulární pologrupy Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Tomáš Masopust Brno, 2006 Obsah Úvod 1 1 Základní definice
Více