Iteračníalgoritmy: Goldschmidtůvpro dělení a CORDIC pro výpočet sin, cos. Demonstrační cvičení 9 INP

Transkript

1 Iteračníalgoritmy: Goldschmidtůvpro dělení a CORDIC pro výpočet sin, cos Demonstrační cvičení 9 INP

2 Goldschmidtůviteračníalgoritmuspro dělení Pro výpočeta/bposunemea,bnaa', b'tak, žeb' <1, 2). Položímex 0 =a', y 0 =b'a rozšiřujemezlomekx i /y i, zlomkemr i /r i ponkrokůdokudneníy n 1. Vyjádříme-lijmenovatelvetvaruy 0 =1-δ, kde δ <1, pak v prvním iteračním kroku provedeme rozšíření: x 1 /y 1 = (x 0 /y 0 )*(r 0 /r 0 )= [x 0 / (1-δ)]*[(1+δ) / (1+δ)]=x 0 (1+δ)/(1-δ 2 ) V dalších iteracích obecně: x i+1 /y i+1 = (x i /y i ) * (r i /r i )= (x i /y i ) * [(1+δ 2i )/(1+δ 2i )] Můžemetéžpsát: y i = 1-δ i a y i+1 = 1-δ i 2 Protožey i =1-δ i a r i =1+δ i, lze odvodit: r i = 2-y i

3 Goldschmidt: příkladdělení16 / 5 = 3.2 A = 16 (10) = (2) b = 5 (10) = 101 (2) a' = 100 (2) = 4 (10) b' = 1.01 (2) = 1.25 (10) = 1+δ= ; δ=0.01 (2) =0.25 (10) x 0 = a ' y 0 = b' r 0 = 2-y 0 = = 0.75 x 1 = x 0 r 0 = 4 * 0.75 = 3 y 1 = y 0 r 0 = 1.25 * 0.75 = r 1 = 2-y 1 = = x 2 = x 1 r 1 = 3 * = y 2 = y 1 r 1 = * = r 2 = 2-y 2 = = x 3 = x 2 r 2 = * = y 3 = y 2 r 2 = * = r 3 = 2-y 3 = = x 4 = x 3 r 3 = * = y 4 = y 3 r 3 = * = r 4 = 2-y 4 = =

4 CORDIC (Coordinate Rotational Digital Computer J. E. Volder, 1959) Základní myšlenka: Umět vypočítat většinu matematických funkcí vyčíslováním funkce ve tvaru a±b.2 -i tj. pomocísoučtů, rozdílů, posunů, případně vyhledávání v look-up tabulce.

5 CORDIC v úlozevýpočtusin(φ) a cos(φ) [x B, y B ] S využitím vztahůpro výpočet sin(ϕ+α) a cos(ϕ+α) lze odvodit vzorce pro výpočet [x B, y B ]ze známých souřadnic [x A, y A ]: x B = x A * cos(α) -y A * sin(α) y B = x A * sin(α) + y A * cos(α) ValgoritmuCORDIC je důležitýúhel Φ jehosinus a kosinus chceme vypočítat. Počáteční úhel ϕ je nastaven na nějakou konvenčníhodnotu, např. 0. Přechodod ϕk Φse provádí vkrocích. Pokudvhodnězvolímetytokroky(tj. velikosti úhlu αv každém kroku), stačí k výpočtu pouze sčítání a rotace. Předchozí vztahymohoubýtpřepsánynásledovně: [x A, y A ] x B = cos(α) * [ x A -y A * tan(α) ] y B = cos(α) * [ y A + x A * tan(α) ]

6 ,57 1,789 0,895 0,4476 CORDIC (2) x B = cos(α) * [ x A -y A * tan(α) ] y B = cos(α) * [ y A + x A * tan(α) ] Hodnotypro αse volítak, žetan(α) nabýváhodnot1/(mocina čísla 2): i α tg α cos α 45 26,56 14,04 7, , , , ,707 0,894 0,970 0,997 0,998 0,999 0,9998 0,9999 To nám dovoluje nahradit násobení tan(α) rychlou operací posun vpravo.

7 Je však ještě třeba vypořádat se s cos(α). Ukažme si několik po sobě jdoucích iterací: Prvníiterace(z [X 0, Y 0 ] do [X 1, Y 1 ]) znamenáotočenío úhel α 0 X 1 = cos(α 0 )*( X 0 Y 0 * tan(α 0 )) x Y 1 = cos(α 0 )*( Y 0 + X 0 * tan(α 0 )) i+1 = cos(α) *[ x i (y i >> i) ] y i+1 = cos(α) *[ y i + (x i >> i) ] Druháiterace(z [X 1, Y 1 ] do [X 2, Y 2 ]) znamenáotočenío úhel α 1 X 2 = cos(α 1 ) * ( X 1 Y 1 * tan(α 1 ) ) Y 2 = cos(α 1 ) * ( Y 1 + X 1 * tan(α 1 ) ) CORDIC (3) Dosazenímzískáme: X 2 = cos(α 1 ) * { cos(α 0 ) * [ X 0 Y 0 * tan(α 0 ) ] -cos(α 0 ) * [ Y 0 + X 0 * tan(α 0 )] * tan(α 1 ) } = cos(α 1 ) * cos(α 0 )* { [ X 0 Y 0 * tan(α 0 ) ] -[ Y 0 + X 0 * tan(α 0 )] * tan(α 1 ) } Je patrné, žekosinyse předzávorkaminásobí, tj. cos(α 0 )*cos(α 1 )*cos(α 2 )*...*cos(α n ) Vyjádřením hodnot α jako inverzních hodnot tangenty dostaneme řadu, ze které potom hodnotu: Tato hodnota se nazývá agregační konstanta. Po vynásobení agregační konstantou získáme požadovaný sinus a kosinus:

8 Př. S využitímcordic vypočtětesin( ) a cos( ). Položíme: ϕ= β 0 =0 cos(ϕ) = 1 X 0 = 1 sin(ϕ) = 0 Y 0 = 0 x i+1 = x i (y i >> i) y i+1 = y i + (x i >> i) Přičtiúhel α 0 = 45 β 1 = β 0 + α 0 = = 45 X 1 = X 0 Y 0 / 1 = 1-0 / 1 = 1 Y 1 = Y 0 + X 0 / 1 = / 1 = 1 Odečtiúhel α 1 = β 2 = β 1 - α 1 = = Protože se jedná o záporný úhel a protože je tangens funkce lichá, změníme znaménkou posouvaných čísel: X 2 = X 1 + Y 1 / 2 = / 2 = 1.5 Y 2 = Y 1 X 1 / 2 = 1-1/ 2 = 0.5 Přičtiúhel α 2 = β 3 = β 2 + α 2 = = X 3 = X 2 Y 2 / 4 = / 4 = Y 3 = Y 2 + X 2 / 4 = / 4 = Odečtiúhel α 3 = β 4 = β 3 - α 3 = = X 4 = X 3 + Y 3 / 8 = / 8 = Y 4 = Y 3 X 3 / 8 = / 8 =

9 Přičtiúhel α 4 = β 5 = β 4 + α 4 = = X 5 = X 4 Y 4 / 16 = / 16 = Y 5 = Y 4 + X 4 / 16 = / 16 = Odečtiúhel α 5 = β 6 = β 5 - α 5 = = X 6 = X 5 + Y 5 / 32 = / 32 = Y 6 = Y 5 X 5 / 32 = / 32 = Přičtiúhelz α 6 = β 7 = β 6 + α 6 = = X 7 = X 6 Y 6 / 64 = / 64 = Y 7 = Y 6 + X 6 / 64 = / 64 = Předpokládejme, ženámpřesnostvýsledkujižpostačujea výpočet ukončíme. Následujenásobeníagregačníkonstantoua získánípožadovanýchhodnot: sin( ) = * Y = cos( ) = * X = Abychom se vyhnuli tomuto násobení, můžeme počáteční hodnotu X nastavit na místo1. Znamenáto vlastně, žebudemeotáčetvektor(meziosamix a Y) o délce místoo délce1. Přikaždéiteracije třebarozhodnout, zdapřičíst neboodečístnásledujícíhodnotu α. To se provedeporovnáním β n scílovou hodnotou.

10 const int iterations = 22; float alpha; // angle in Radians float arctantable[iterations]; // in Radians float K = ; float v_x = 1.0, v_y = 0.0; // Vector v; x and y components int i; for (i=0; i < iterations; i++) arctantable[i] = atan(pow(2, -i)); float vnew_x; // To store the new value of x for (i = 0; i < iterations; i++) { // If alpha is negative => do a counter-clockwise rotation if ( alpha < 0) { vnew_x = v_x + v_y * pow(2, -i); v_y = v_y - v_x * pow(2, -i); alpha = alpha + arctantable[i]; } // If alpha is positive, we need to do a clockwise rotation else { vnew_x = v_x - v_y * pow(2, -i); v_y = v_y + v_x * pow(2, -i); alpha = alpha - arctantable[i]; } v_x = vnew_x; } v_x = v_x * K; v_y = v_y * K; CORDICv C

11 CORDIC příklad výpočtu programu alpha = deg. = rad. Iter. 0, alpha = , x = , y = Iter. 1, alpha = , x = , y = Iter. 2, alpha = , x = , y = Iter. 3, alpha = , x = , y = Iter. 4, alpha = , x = , y = Iter. 5, alpha = , x = , y = Iter. 6, alpha = , x = , y = Iter. 7, alpha = , x = , y = Iter. 8, alpha = , x = , y = Iter. 9, alpha = , x = , y = Iter. 10, alpha = , x = , y = Iter. 11, alpha = , x = , y = Iter. 12, alpha = , x = , y = Iter. 13, alpha = , x = , y = Iter. 14, alpha = , x = , y = Iter. 15, alpha = , x = , y = Iter. 16, alpha = , x = , y = Iter. 17, alpha = , x = , y = Iter. 18, alpha = , x = , y = Iter. 19, alpha = , x = , y = Iter. 20, alpha = , x = , y = Iter. 21, alpha = , x = , y = sin( ) = , cos( ) =

12 CORDIC v HW x i+1 =x i +y i.d i.2 -i y i+1 =y i -x i.d i.2 -i z i+1 =z i -d i.arctantab[i] d i =-1ifz i <0, +1otherwise