I. Kmity. 4. Kmity v 3dm prostoru 4.1. Stojaté vlny v dutině 4.2. Počet stojatých vln

Transkript

1 I. Kit. Hroicý oscilátor jede stupeň volosti.. Kieti volého, hroicého etlueého itu.. Di.3. Eergie hroicého oscilátoru.4. Záldí tp oscilátorů.5. Dlší tp oscilátorů.6. Podélé příčé it.7. Pricip superpoice. Volé it dv stupě volosti.. Oecé řešeí.. Sféricé vdlo.3. Podélé it dvou váých těles..4. Příčé it dvou váých těles.5. Sládáí dvou rovoěžých itů.6. Sládáí itů see olých. 3. Volé it oho stupňů volosti. 3.. Příčé ód spojité stru. 3.. Stojté vl 3.3. Disperí vth Kit sstéu s N stupi volosti. 4. Kit v 3d prostoru 4.. Stojté vl v dutiě 4.. Počet stojtých vl 5. Reálý oscilátor 5.. Tlueý oscilátor, vuceé it 5.. Eergie slě tlueého oscilátoru 5.3. Slě tlueý oscilátor s vější silou 5.4 Výo tlueého oscilátoru 5.5. Reoce 5.6. Tlueý ssté se dvě stupi volosti Ahroicé it 5.8. Počátečí podí, chos

2 I. Kit Do této pitol o itech řdíe ovle periodicý poh odu eo těles, přípdě soustv odů těles, ole rovovážé poloh. Sledujee předevší čsovou ávislost výchl této rovovážé poloh. Kit jsou ted rodíl od vl prostorově ohričeé. Aplice vdlo, itjící těleso pružiě, stru, hudeí ástroje, hodi, srdce td. Chrteristi itů hroicé, tlueé, volé, vuceé, složeé, elieárí td.. Hroicý oscilátor jede stupeň volosti.. Kieti volého, hroicého etlueého itu Volé it, respetive vlstí it po uvedeí soustv do itvého pohu epůsoí i žádé vější síl, sořejě io t, teré půsoují itvý poh (grvitce, tuhost pruži ). Uvžujee jede stupeň volosti, stčí ted popisu jed souřdice. Pro hroicý, etlueý (edáe třeí) použijee ápis ( t) A cos( t ) (..).5 A t Or... Hroicý it. Kde je výchl (prvidl echicá), t je čs, A je plitud (iálí výchl), je úhlová frevece je fáové posuutí vi or... Dále pltí T T (..)

3 Kde T je čsová period ν je frevece. Sdo dostee rchlost v rchleí, vi or.. d v A si( t ) (..3) dt d A cos( t ) (..4) dt Pro úplý popis potřeujee át počátečí podí, př. pro t= je ψ,v pltí v v A cos A si tg, A v (..5).5 v t Or... Výchl, její rchlost rchleí hroicého itu... Di Vužijee druhý Newtoův áo, le usíe át oretí příčiu, respetive sílu tv. vrtou sílu, terá itvý poh půsoí. Předpoládáe těleso o hotosti vodorové podložce (e třeí) spojeé pružiou (tuhost pruži očíe K) s pevou stěou, vi. or... F F= - K Or.... Kitjící těleso vodorové podložce e třeí. Pro lé výchl ve sěru ( ) pltí Hooův áo F K (..) Zéo vstihuje sutečost, že síl vrcí těleso do rovovážé poloh, půsoí ted v opčé sěru ež ěříe výchlu. Pohová rovice á tvr K (..) 3

4 U,K,E Řešeí předpoládáe ve tvru hroicého pohu (..), po doseí dostee důležitý vth pro vlstí freveci K (..3) Vlstí frevece je urče je volou hotosti tuhosti pruži. Pohovou rovici ůžee pst ve tvru (..4).3. Eergie hroicého oscilátoru Pro poteciálí eergii E p v přípdě síl (..) dostee E Fd K d K p (.3.) po doseí (..) E KA cos ( p t ) (.3.) Pro ieticou eergii E pltí E v A si ( t ) (.3.3) Vth (.3.,.3.3) přepíšee do tvru E E cos ( t ) E E si ( p p t ) (.3.4) pro vlstí freveci (..) E KA A E A p (.3.5) Ted iálí hodot eergií jsou stejé E E (.3.6) P celová eergie E p E E E E si ( t ) E cos ( t ) E ost p (.3.7) p Podle očeáváí jse potvrdili, že celová eergie oscilátoru je osttí. Z grfu.3.. je řejé j se v čse přelévá jed for eergie do druhé...8 U K E t Or..3.. Eegie (v rel. jedotách) hroicého oscilátoru v ávislosti čse. Užitečé je rověž sledovt ávislost eergií výchlce vi or..3.. Pro poteciálí eergii áe (.3.) pro ieticou eergii 4

5 A podoě pro poteciálí eergii. E E E K (A ) (.3.8) p.5 E p E E E p,e,e.5 Or..3.. Závislost eergií hroicého oscilátoru výchlce..4. Záldí tp oscilátorů Těleso pružiě -A +A ψ Těleso o hotosti je věšeo pružiě s tuhostí K, vi or Původě etížeá pruži se protáhe o l. V rovováe je celová síl, terá se sládá tíhové F g pružé F, ulová F F g Kl (.4.) g Odtud ůžee určit protžeí pruži, teré určí rověž rovovážou polohu těles (=) P při výchlce těles rovovážé poloh o půsoí ěj síl g l (.4.) K g F F g K ( ) g K (.4.3) K Ted výsledá vrtá síl á stejý tvr jo v předcháející přípdě rověž stejé je řešeí. 5

6 l = Or..4. Těleso pružiě Mteticé vdlo Mteticý vdle rouíe hotý od (hotost ) věšeý ehoté ávěsu o délce l - vi or..4.. Hotý od se pohuje po ruhové dráe l, s rchlostí l rchleí l. Vrtá síl F je výsledicí grvitčí síl síl vlá F v F g si( ) (.4.) Po doseí do. Newtoov áo l g si( ) (.4.) Pro řešeí této pohové rovice je velou epříjeostí fuce si, pro terou pltí 3 si 3! 5! (.4.3) Pro lé výchl, si do 5 o pltí si( ) (.4.4) A ted pohová rovice doste jedoduchý tvr g l (.4.5) Předpoládáe-li hroicé řešeí A cos( t ) (.4.6) Dostee pro vlstí freveci teticého vdl g l (.4.7) Neo pro dou itu l T 4 g (.4.8) 5 6

7 l F v gsiψ g Or..4.. Mteticé vdlo Fiálí vdlo Fiálí vdle se rouí věšeé reálé těleso liovolého tvru. Závěs je d těžiště. Vdáleost ávěsu od těžiště T očíe L vi or Vrtý oet síl M je M gl si( ) (.4.9) A e stejých důvodů jo u teticého vdl se oeí e výchl do 5 o, p pltí M gl (.4.) Pohová rovice á tvr gl I (.4.) Kde I je oet setrvčosti těles vhlede ose, terá procháí ávěse. P při předpoládé řešeí ve tvru (.4.6) dostee stejý postupe pro vlstí freveci gl Připoeee, že pro teticé vdlo pltí A po doseí do dostee vth (.4.7). I (.4.) I L (.4.3) 7

8 O L gsiψ F v T l g Or Fiálí vdlo Torí it Zejé pro plice je jívá vrit oscilátoru vi or..4.4., d vrtý půsoeí je rouceí (tore), drátu. Pro lé výchl á vrtý oet tvr M (.4.4) Kde je torí tuhost. P pohová rovice á tvr I (.4.5) Kde I je oet setrvčosti vhlede ose otáčeí. Předpoládáe hroicé řešeí ve tvru (.4.6) ovlý postupe dostee vth pro vlstí freveci torích itů Vhlede ožosti vol veli teého drátu s lou torí tuhostí le toto eperietálí říeí vužít pro ěřeí veli slých sil. I (.4.6) ψ Or Torí vdlo 8

9 .5. Dlší tp oscilátorů Eistuje celá řd itjících soustv, příld se jdou v ustice, eletřiě, toové oleulárí fice td. Postup řešeí je veli čsto podoý uvedeý jedoduchý příldů. Kit dvoutoové oleul Jo ástupce oscilátoru irosvět uvedee it oleul tpu AB s iotovou vou, př. HCl. Průěh poteciálí eergie je or E p -. R r(.) Or..5.. Průěh poteciálí eergie(e p v rel. jedotách) oleul HCl vdáleostí toů. P ole rovovážé poloh á poteciálí eergie tvr E (r) p e 9 4 r r (.5.) Prví čle je výslede přithováí dvou růě itých iotů s áoje e, druhý čle vjdřuje odpuováí oou iotů při přervu jejich eletroových olů (sutečý tvr je složitější, le tto proice je vhovující). Kosttu vpočítáe podí rovovážé poloh pro r=r de p (.5.) dr 36 Tuhost v K určíe druhé derivce U e vthu pro tuhost (.3.) e R 8 (.5.3) d E p e E Kr K K (.5.4) p 3 dr R Tuhost ávisí poue rovovážé poloe R (pro HCl R=.3), po doseí stdrdích ostt dostee K 84 N (což odpovídá pružiě, terá se protáhe o se ávží g). Vhlede tou, že Cl á si 35 rát větší hotost proti H, ůžee si 9

10 oleulu předstvit jo itjící to H ole pevého cetr Cl ( H =.67-7 g). Vlstí frevece oscilátoru K H (.5.5) Je po doseí 4 7. s, respetive. 4 s, ve sutečosti le ěřit opticých vlstostí dorý souhls. Kit etlueého eletricého ovodu s což je vhlede priitivosti šeho odelu veli Pro jedoduchý ovod složeý odeátoru s pcitou C cív s idučostí L pltí podle. Kirchhoffov áo U U (.5.6) L C Kde U L je pětí cívce U C odeátoru. Pltí dj d q q U L L U (.5.7) L C dt dt C Kde j je hustot proudu q áoj. Po doseí do (.5.6) ted ovod ude itt s vlstí frevecí ω Kit pltu q q (.5.8) LC LC (.5.9) Plou se rouí souor itých částic, př. silě ioiový pl, de předpoládáe stejý počet + - áojů. Ovle se jedá o souor eletroů ldých iotů. Ve shodě s or..5..si předstvíe eutrálí pl v ádoě. Po osvětleí uv ářeí(př. poocí válcové čoč) vie ioiová, poěrě ohričeá vrstv pltu. Po přiložeí rátého pěťovéhu pulu se eletro posuou o lou výchlu odě, ldé iot, protože jsou čě hotější, ůstou prtic ístě. Tí vie eopeový plošý áoj jedotu ploch e (.5.) Kde je hustot áoje. Iteit eletricého pole E (používáe, ohužel, le ve shodě se vlostí stejé píseo jo pro celovou eergii) podle Gussov vět ude vrtá síl P pohová rovice á tvr E (.5.) F ee (.5.) e (.5.3) de je hotost eletrou. Řešeí jsou etlueé it pltu s vlstí frevecí e (.5.4) Po doseí stdrdích hodot ostt pro Cu, de = ísáe ω 6 s -.

11 uv + eletro pl + iot - pl Or..5.. Nádo s ple, uv ioice vi pltu.6. Podélé příčé it Uvžuje těleso ei dvěi stejýi pružii (edáváe tíži) vi or..6.., teré jí tuhost K délu. P vrtá síl ve sěru, respetive ve sěru pruži, vvolá podélé it je rov F K ( ) K ( ) K (.6.) Síl ted eáleží délce, postup řešeí je stdrdí pro vlstí freveci podélých itů dostee K pod (.6.) Roitáe-li soustvu ve sěru, tv. příčé it, je ve shodě s or..6.. vrtá síl F Kl si( ) (.6.3) Kde Pohová rovice Dává vlstí freveci příčých itů si( ) F K (.6.4) l K (.6.5) V toto přípdě jsou frevece podélých příčých itů stejé. K př (.6.6)

12 l φ l l + - -K(+) K(-) φ -Kl -Kl -Klsiφ Or..6.. Podélé příčé it V přípdě, že pruži á v etžeé stvu délu p pro podélé it hrdíe výr výre (- ) Pltí F K ( ) K ( ) K (.6.7) Řešeí je stejé jo v předešlé přípdě opět pltí V přípdě příčých itů l hrdíe (l- ) K pod (.6.8) F K (l ) si( ) K (l ) K ( ) K ( ) (.6.9) l l l Kde vužíváe ožosti Pro poěr oou frevecí př pod. P pro freveci příčých itů dostee K ( ) (.6.) př ( ) (.6.) př pod Příčá frevece je eší ež podélá v ávislosti délce pruži v lidu.

13 l- l- -K(- +) K(- -) φ -K(l- ) -K(l- ) -K(l- )siφ Or..6.. Podélé příčé it (oečá dél etžeé pruži)..7. Pricip superpoice Dosud všech pohové rovice itjících soustv, s výjiou (.4.), l lieárí hoogeí difereciálí rovice. Lieárí ve sslu, že oshují poue prví oci výchl jejich derivcí (, / t, / t...) hoogeí ve sslu, že eoshují čle eávislý ψ. Tové rovice jí důležitou vlstost, že její řešeí je i fuce ψ, terá je součte jejich řešeí ψ ψ, respetive jejich lieárí oicí. Pltí ( t) (t) (t) (.7.) Títo rouíe pricip superpoice. Teto pricip udee upltňovt v celé ásledující předášce. V přípdě elieárích rovic teto pricip epltí. Dů jsou sdé. 3

14 . Volé it dv stupě volosti.. Oecé řešeí Počet eávislých souřdic, teré potřeujee pro popis itjící soustv určuje počet stupňů volosti. Příld pro dv stupě volosti jsou or.... Oecé řešeí ude v toto přípdě superpoice dvou eávislých (=) hroicých pohů. Tto ejjedodušší hroicé poh ýváe ód. Záldí vlstosti tového ódu je, že oě itjící části jí stejou freveci fái. Vjděe posledího příldu soustv or..., de áe těles, spojeé spirálou. P pro B. ód: ( t) A cos( t ) (t) B cos( t ) (t) (..) A. ód: ( t) A cos( t ) (t) B cos( t ) B A (t) (..). ód si ůžee předstvit jo schroí poh oou těles plitudi ve stejé sěru. ód jo odoý, le s plitudi s opčýi é (proti soě). Oecé řešeí pro jedotlivá těles á tvr ( t) (t) (t) A cos( t ) A cos( t ) (..3) ( t) (t) (t) B cos( t ) B cos( t ) (..4) Or... Příld soustv se dvě stupi volosti... Sféricé vdlo Předpoládáe teticé vdlo, teré se ůže pohovt ve sěru. P. ód: (t) cos( t ) (..). ód: (t) cos( t ) (..) V toto přípdě, protože áe poue jedo těleso stejou vrtou grvitčí sílu, pltí g l (..3) Oě frevece jsou stejé, tv. degeerový přípd, výsledý it je superpoice oou ódů. Těleso se pohuje oecě po elipse. 4

15 .3. Podélé it dvou váých těles. Předpoládáe uspořádáí (or..3..) dvou stejých těles, o hotosti ei třei stejýi pružii. Pohové rovice pro těleso s výchlou ψ pro těleso s výchlou ψ K ( ) K ( ) K K (.3.) K ( ) K ( ) K K (.3.) Oě rovice sečtee odečtee ( ) K ( ) (.3.3) ( ) 3K ( ) (.3.4) To jsou dvě pohové rovice pro jedoduchý oscilátor, respetive pro dv ód s výchli ψ ψ, tto výchl se ývjí rověž souřdice ódů eo orálí souřdice K A cos( t ) (.3.5) V. ódu pltí A = ted 3K A cos( t ) (.3.6), těles itjí jedu stru jo cele s frevecí. Ve. ódu pltí A = ted, těles itjí opčé str s frevecí. Sečteí, respetive odečteí rovic (.3.5,.3.6) dostee řešeí pro jedotlivá těles, A cos( t ) A cos( t ) (.3.7) A cos( t ) A cos( t ) (.3.8) Vlstí frevece ůžee odvodit rověž touto úvhou. V prví ódu pltí, soustv itá jo t prostředí pruži el, p je to přípd jedoho těles o hotosti, teré je vrceo poue jedou pružiou ted K (.3.9) Ve. ódu pltí, jedé str půsoí těleso síl druhé str (středí pruži je dvojásoě pjtá eo stlčeá) ted 3K (.3.) 5

16 ψ ψ.ód ψ ψ ψ ψ.ód Or..3.. Podélé it, dv stupě volosti. Pro uvedeí soustv do stvu, d celá itá v. ódu volíe počátečí podí pro t= ve tvru ( ) A () A () () (.3.) Po doseí do (.3.7) (.3.8) jejich derivcí podle čsu dostee pro ód ( ) A A () () () (.3.) Doseí do (.3.5) dostee pro teto ód A cos( t) A cos( t) (.3.3) Součsě (.3.7) (.3.8) pro jedotlivá těles A cos( t) A cos( t) (.3.4) To je přípd, d oě těles itjí ve stejé sěru se stejýi výchli, se stejýi fáei. Středí pruži eí deforová eá vliv itvý poh. Alogic pro uvedeí soustv do itů ve. ódu volíe počátečí podí v t= tto ( ) A () A () () (.3.5) Stejý postupe dostee ( ) () A () () (.3.6) Pro ód pltí A cos( t ) A cos( t) (.3.7) To odpovídá itů jedotlivých těles A cos( t) A cos( t ) A cos( t) (.3.8) Ted oě těles itjí se stejou plitudou v opčých sěrech. Středí pruži je dvojásoě deforová proti rjí..4. Příčé it dvou váých těles Uspořádáí tvr itů v oou ódech je or

17 V prví ódu pltí i pro příčé výchl vliv podoě jo pro podélé it Kde T je tv. pětí. Ve. ódu pltí Pro K ( ) T, ted středí pruži eá itáí (.4.), středí pruži je dvojásoě pjtá ted T T 3T (.4.) jsou frevece pro podélé příčé ód stejé. ψ ψ ψ ψ ψ.ód ψ.ód Or..4.. Příčé it dv stupě volosti..5. Sládáí dvou rovoěžých itů Veli čsto ůžee poorovt sládáí (iterfereci) dvou itů s růýi frevecei. Pro rovoěžé it pltí (pro jedoduchost volíe stejé plitud edáváe fái) A cos( t) A cos( t) A cos t cos t (.5.) 7

18 psi t(s) Or..5.. Sládáí itů o stejých plitudách růých frevecích postupě 3 s,5s,s. s, Což le pst ve tvru Kde A cos( t) cos( t) A (t) cos( t) (.5.) od st od st A (t) A cos( t) (.5.3) od st od od V přípdě dvou veli líých frevecí se jedá o it s téěř původí frevecí ( st ) s polu se ěící plitudou s frevecí /. Touto jevu říáe rá vi od or..5.. S títo jeve se setáe v ustice. 8

19 psi t(s) Or..5.. Rá - sládáí itů s líýi frevecei ( s,.s ), v horí oě jsou plitud A = A =.5, v dolí oě A =A, oál je vče eleě. Pro uspořádáí dvou stejých teticých vdel spojeých slou pružiou, vi druhý příld or..., pltí pro prví ód (pruži eá vliv poh těles). ód: g l (.5.4) pro druhý ód (io půsoeí tíh je poh těles o hotosti ovlivě dvojásoou deforcí pruži). ód: g K l (.5.5) Pro it jedotlivých těles pltí A cos( t ) A cos( t ) (.5.6) A cos( t ) A cos( t ) (.5.7) Pro jedoduchost edáe fáe předpoládáe stejé plitud A cos( t) A cos( t) (.5.8) A cos( t) A cos( t) (.5.9) eo A cos( t) cos( t) A (t) cos( t) od st od st (.5.) A si( t) si( t) B (t) si( t) od st od st (.5.) Poud se jedá o slou vu ( g l ) p oě frevece jsou si líé ůžee poorovt rá. Rchlé it se od see liší fáový posue o podoě je tou pro odulčí plitud. 9

20 Podoě je tou s eergií jedotlivých těles. Předpoládeje že, ěhe jedoho rchlého itu se plitud prtic eěí, p pro ieticou eergii le psát Po sečteí odečteí E A A cos ( t) st od st od (.5.) E B A si ( t) st od st od (.5.) E E E A (.5.3) st E E K (cos ( t) si ( t)) K cos( t) K cos( )t od od od (.5.4) Rověž sečteí odečteí dostee ieticou eergii jedotlivých vdel E K cos(( )t) (.5.5) E K cos(( )t) (.5.6) Viditelě se ieticá eergie přelévá jedoho vdl do druhého s frevecí..6. Sládáí itů see olých. Opět čstý přípde je sládáí itů olých váje, př. sféricé vdlo. V tové přípdě jsou frevece ve sěrech, stejé pltí cos( t ) (.6.) cos( t ) (.6.) Ustáleou výsledou řivu, po teré se ude vdlo pohovt, dostee vloučeí čsu t oou rovic, př. pro fáový rodíl pltí cos( t ) (.6.3) cos( t ) cos( t ) (.6.4) V podílu (pro áorost používáe i ěžé očeí os,) ost (.6.5) Což je rovice pří. Podoě pro ( ) / dostee pro stejé plitud cos( t ) (.6.6) si( t ) (.6.7) Po uocěí sečteí (.6.8) Což je rovice ružice. Pro růé plitud dostee stejý postupe Což je rovice elips s poloosi ve sěrech,. V oecé přípdě vjdee rovic (.6.,.6. ) poěud dlouhvější, le jedoduchý postupe dostee (.6.9)

21 cos cos( ) si ( ) (.6.) Or..6.. Sládáí see olých itů postupě pro ), ), /, 3),, /, 4),, / 3. Při sládáí itů see olých s růýi frevecei cos( t ) cos( t ) (.6.) dostee ohe složitější řiv. Ve speciálí přípdě, d poěr frevecí je rcioálí číslo jsou řiv uvřeé (v odélíu, ) tv. Lissjousov řiv, vi or..6..

22 Or..6.. Sládáí olých itů o růých frevecí, stejých plitudách fáích, postupě ),, ), 3, 3) 3, 4, 4) 6, 7.

23 3. Volé it oho stupňů volosti. Pro větší počet stupňů volosti ůžee postupovt logic. Zjívé výsled dostee ejé pro velý počet, respetive pro eoečý počet, což je spojité prostředí. Předpoládeje N počet stupňů volosti, součsě áe N ódů, N frevecí N fáí plitud v poěru A : A : A 3 :. V přípdě N se jedá o spojitý ssté, terý popisujee fucí (,,, t) ísto itů ůžee luvit o stojtých vlách. I v toto přípdě áe eoečý počet ódů, frevecí fáí. (V reálé prostředí je tv. eoečo oeeo disrétí povhou lát (př. počet toů v pevé látce je si 3 c -3 ). Je ovlé číslovt ód od ejižší frevece. V oecé přípdě se jedá vžd o superpoici ódů, terá je urče počátečíi podíi. Přípd rostoucího počtu ódů v jedoduché řetěci itjících tělíse je or.3... o o 3 o o o o o o o o o o o o o o o o o o N ód Or.3... Mód oho stupňů volosti. 3.. Příčé ód spojité stru. Koečý, le velý počet stupňů volosti proeree poději. Předost dáe příldu spojitého prostředí struě. To je itjící drát upevěý oou ocích. Pro oecé 3d těleso le psát,,, t) i (,,, t) j (,,, t) (,,, t) (3..) ( Protože se jedá o d struu tžeou ve sěru os, t) i (, t) j (, t) (, t) (3..) ( Fuce (, t) popisuje podélé it, teré eudee studovt. P pro příčé it pltí, t) i (, t) j (, t) (3..3) ( 3

24 Roechvějee-li struu poue ve sěru, p stčí (, t) i (, t) (3..4) Zvolíe hotost eleetu stru ve tvru (3..5) de, resp. pětí stru je je osttí (stru je hoogeí) lieárí ěrá hotost, tžeí, T ( )K (3..6) ψ T siθ T Θ Θ T siθ T Or Eleet stru. Ve shodě s or je vrtá síl půsoící eleet ve sěru F (t) T si( ) T si( ) (3..7) Pro lé úhl le psát cos( ) T cos( ) T (3..8) P vth (3..7) á tvr F (t) T cos( )tg( ) T cos( )tg( ) T tg( ) T tg( ) (3..9) Respetive F (t) T (, t) T T (3..) Z. Newtoov áo Po úprvě (, t) (, t) T (3..) (, t) t To je veli důležitá vlová rovice příčých itů stru, respetive stojtých vl. Poeeje, že čle T á roěr s -, ted vdrátu rchlosti. 3.. Stojté vl T (, t) (3..) 4

25 Hledáe ód, ted stv d všech části stru itjí se stejou frevecí fáí. Oecý tvr tového ódu, stojté vl je (, t) A () cos( t ) (3..) Druhé derivce podle čsu (rchleí) souřdice (, t) A () cos( t (, t) Po doseí do vlové rovice (3..) A () cos( t t ) ) (3..) (3..3) A () A () T (3..4) Tto rovice, terá á stejý tvr jo hroicý oscilátor, určuje geoetricý tvr ódu A(). Souřdice t je ěě ísto čsové frevece / T dostee prostorovou freveci (eo vlové číslo) /, de je vlová dél. Oecé řešeí pro plitudu á tvr A () A si( ) B cos( ) (3..5) Po druhé derivci Srováe s (3..4) dostee Což je důležitý, tv. disperí vth ( f ( ) A () A () T T ). Jiou úprvou dostee v (3..6) (3..7) (3..8) Kde v á forálí vý fáové rchlosti. Oecé řešeí dostee doseí (3..5) do (3..) (, t) (A si( ) B cos( )) cos( t ) (3..9) Orjové podí jsou urče tí, že stru je upevě v odech = =L, de : (, t) ( B) cos( t ) B (3..) P (, t) A si( ) cos( t ) (3..) Pro L pro A si L (3..) Ted L (3..3) Neo lépe ( je celé číslo) L (3..4) Neo Neo s vužití (3..8) L, L (3..5) v v, (3..6) 5

26 Důležitý ávěr je, že důslede orjových podíe docháí tou, že určující pretr jí disrétí hodot (v vtové fice je logií vtováí). Npř. frevece ódů jsou ásoe áldí frevece (hroicé frevece), vlová dél je loe áldí vlové dél, vi. or.3...v přípdě ehoogeích stru ( ost ) je situce ohe složitější hroicé frevece jsou jié. ód Or Mód stru Disperí vth. Títo vthe rouíe vth ei frevecí vlový čísle eo očejou frevecí vlovou délou. Pro struu jse odvodili T eo T (3.3.) To je jedoduchý lieárí tvr (or. 3.3.), veli čsto je to ohe složitější fuce, př. u částečě ehoogeí stru T 4 (3.3.) Proto hroicé frevece ejsou ásoe áldí. ω T Or Disperí vth pro ideálí struu. 6

27 3.4. Kit sstéu s N stupi volosti. Koečý řetěec - jedočásticový- příčé it Předstvíe si N tělíse spojeých stejýi pružii (struu hrdíe disretíi prv), vi. or ψ - ψ ψ N- N Or Příčé it N stupňů volosti. Pro lé příčé it pro -tý eleet pltí pohová rovice T T T (t) ( ) (3.4.) V příslušé ódu ude ždé tělíso itt se stejou frevecí fáí, le růou plitudou řešeí předpoládáe ve tvru ( t) A cos( t ) (3.4.) Druhou derivci podle čsu ( t) (t) (3.4.3) dosdíe do (3.4.) T A (A A A ) (3.4.4) eo A A A ( ) T (3.4.5) Tj. rovice, terá dává ávislost plitud (tvru ódu) freveci. Pro spojité prostředí, stejých orjových podíe, jse ěli (3..) A () A si( ) (3.4.6) Předpoládeje, že pro velé N se soustv ude chovt odoě polože =, p ůžee očeávt A A si( ) (3.4.7) Podoě A A si( ( )) A si( ) cos( ) A cos( ) si( ) (3.4.8) A A si( ( )) A si( ) cos( ) A cos( ) si( ) (3.4.9) A A A si( ) cos( ) A cos( ) (3.4.) Dosdíe do (3.4.5) řešíe rovici 7

28 Pro A A cos( ) A ( ) (3.4.) T dostee důležitý disperí vth T 4T ( cos( )) si Poeeje, že pro lé respetive / s poocí le psát (3.4.) 4T 4T T si (3.4.3) Dostli jse podle očeáváí vth pro spojitou struu. Rověž vužijee hričí podí pro = (=) =L (=N+). Pro oecé řešeí ve tvru A A si( ) B cos( ) (3.4.4) A B (3.4.5) L A A si( (N )) A si( L ) (3.4.6) N P pro A dostee podoá výěrová prvidl L (3.4.7) Disperí vth (3.4.3) á tvr 4T si (3.4.8) Te dovolí vpočítt příslušé frevece. Je or Poeeje, že ejvětší ( N ) (3.4.9) N L Tvr ódů je or. 3..., pro struu or stru N= L L L L L Or Disperí vth (3.4.8) pro soustvu s N=5 8

29 Koečý řetěec dvoučásticový příčé it. Zjívé výsled dostee v logicé přípdě, d se řetěec sládá e střídjících se částic o růých hotostech M vi or (M>). Pro jedodušeí přečíslujee jedotlivé prv dvojásoe, celový počet prvů je N. ψ - ψ ψ + O O O - + N- N M Or Koečý řetěec s částicei o hotosti M. Dostee dvě pohové rovice T (t) ( ) (3.4.) M T (t) ( ) (3.4.) Řešeí předpoládáe ve shodě s předcháející přípde ve tvru (vol A M pltí pro hotější částici, pro éě hotou B ) ( t) A cos( t ) A si( ) cos( t ) (3.4.) ( t) B cos( t ) B si( ( )) cos( t ) (3.4.) stejý postupe dostee rovice (M ( T T )A )B T B T A Tto soustv rovic usí ít deterit rový ule, p Dostáváe dvě řešeí pro ω + ω - or T M T M cos( ) cos( ) 4 si M ( ) (3.4.3) (3.4.4) (3.4.5) Větev pro ω + () je tv. opticá pro ω - () je tv. usticá. Důvode touto očeí je veliost frevecí. Meer ei oěi větvei je olst áých frevecí (ěd tv. áý pás), terá roste s poěre hotostí M/. Je rověž jívé vpočítt poěr plitud A/B, respetive B/A. Frevece e vthu (3.4.5) dosdíe do (3.4.3), výslede je or Pro usticou větev jsou oě plitud ldé (částice itjí stejou stru) pltí A B (těžší částice itjí více ež t lehčí). Pro opticou větev jí 9

30 plitud růá é (částice itjí v opčé sěru) pltí A B (lehé částice itjí více ež těžé). Výěrové prvidlo pro je stejé jo v přípdě jedočásticového řetěce (3.4.7) L (3.4.6) s tí, že =,,.N+ součsě pltí L=(N+). Grf or ohl ýt v itervlu (,π/), le je řejé, že je setricý ole hodot rjí hodot π/ ted všech iforce je už v grfu v itervlu (, π/). Něd je ve teto grf uvádět v itervlu (-π/, π/) opticá usticá B/A usticá A/B opticá.4. / / Or Závislost frevece pro dvoučásticový řetěec (=,M=) jejich poěr plitud. Je vhodé eplicitě uvést výpočet dovoleých frevecí pro = =π/, p pro =: T (3.4.7) M =π/: T T T (3.4.8) M M de Δω je šíř áého itervlu (pásu) frevecí. Koečý řetěec - jedočásticový- podélé it V toto přípdě studujee podélé it řetěce, vi or , přípdě v detilu or..6.. Zčeí ůstává stejé, je ψ je podélá výchl písee K očíe tuhost pruži. Alogic (3.4.) pltí pohová rovice ve tvru (t) K K K ( ) (3.4.9) 3

31 Je to prtic stejá rovice, je veliči T / je ěě K. Postup je cel podoý proto ůžee hed psát výsledé vth. Disperí vth ude ít tvr Pro výěrové prvidlo je disperí vth 4 K si (3.4.3) L (3.4.3) K si 4 Jed ožých plicí jsou př. usticé vl. Koečý řetěec dvoučásticový podélé it. (3.4.3) Celý proces logicého postupu je ožé opovt i v toto opliovější přípdě. Výsled jsou prtic stejé, je je uté opět výr T / hrdit tuhostí pruži K. Řetěec váých vdel. Studuje přípd řetěce teticých vdel (dél ávěsu l), teré jsou váje sváá slýi pružii. Pohová rovice ude ít tvr g g (t) K K K ( ) l l (3.4.33) Odvoováí je odoé jo v předešlých přípdech. Disperí vth dostee ve tvru Pro orjovou podíu ísáe Disperí vth je or g l g l 4K si (3.4.34) L (3.4.35) 4K si (3.4.36) 3

32 / Or Disperí vth () (3.4.34) pro řetěec vdel, () vth (3.4.3) pro podélé it jedočásticového řetěce. Připoeňe si vth (.4.7), d pro vlstí freveci teticého vdl pltí pro itjící těleso pružiě (..3) P pro << g (3.4.37) l K (3.4.38) 4 si (3.4.39) (3.4.4) což je čstý tvr disperí vthu (logii le př. vidět v eergii eletroů v vtové echice). Uvedeé příld řetěců jsou tpicé le dále podoou cestou studovt opliovější přípd, jo je střídáí spirál s růou tuhostí, střídáí hotostí u vdel td. 3

33 4. Kit v 3d prostoru 4.. Stojté vl v dutiě Zoecíe dosvdí úvh 3d prostor. Zvolíe příld chováí vl v dutiě tvru vádru s hri,,c ve speciálí přípdě rchle o hrě L. Pro d pltí vlová rovice ( 3.. ) (, t) T (, t) t Kterou ve třech dieích pro (,,, t) píšee ve tvru (4..) K t (4..) Kde K vstihuje ojeové vlstosti duti (součsě K=v -, de v je rchlost vlěí) Hledáe řešeí ve tvru (,,, t) A (,, ) cos( t ) (4..3) Po doseí druhých derivcí dostee A K A (4..4) Řešeí hledáe poocí seprcí proěých předpoládáe A (,, ) A ()A ()A () (4..5) Doseí druhých derivcí dostee eo A A A A A A A A A K A A A (4..6) A A A K A A A ost Kždý čle levo je fucí poue jedé souřdice, prvo je ostt, proto ždý čle levo je rověž rove osttě, teré jsou oecě růé. Kde A A A A A A (4..7) (4..8) K (4..9) Rovice ( 4..8 ) jsou podoé rovici oscilátoru, řešeí hledáe ve tvru A A si( ) B cos( ) A A si( ) cos( A A si( ) B cos( ) Orjové podí jsou odoé jo dříve. Po řdě pro,,=,,=l usí ýt A,A,A =, p B, B, B = oečě L eo L eo B ) (4..) (4..) L eo c P A(,, ) A ()A ()A () A A A si( ) si( ) si( ) (4..) Kde ždé,, á svoje výěrové prvidlo (4.. ). 33

34 Pro fiálí veliči ávislé celové hodotě, respetive Npř. eergie eletrou v vtové jáě dutiě je dá vthe E h L ( ) (4..3) (4..4) Jedotlivé hodot eo eergie E dostee volou oice celých čísel,, vi t deg. i T Počet stojtých vl Uvedeá výěrová prvidl uožňují výpočet řd disrétích veliči, teré určují příslušé ód, respetive stojté vl. Zjívý důležitý prolée je určeí celového počtu vl v ějé itervlu eo lépe výpočet hustot vl. +Δ V V Or prostor, /8 prostoru. Předpoládáe opět rchli o hrě L. V prostoru vi or.4..., de hodot jsou sořejě disrétí, ždý od uje prostor V (eješí ožý, = = =) 34

35 V (4..) L P počet odů (stvů) v ouli o poloěru (poue pro ldá,, ted v osiě oule) je L 3 V 3 N ( ) (4..) 8 3 V 6 6 Kde V je oje voleé rchle. Pro počet odů (stvů) v itervlu (, +d) dostee dn V g( )d d d (4..3) d Kde g() je tv. hustot stvů. Stejý vth dostee áou úvhou, že je to počet odů (stvů) ei dvěi oulei o poloěrech +d V g( )d 4 d d (4..4) 8 V Pro orétí výpočt je uté át ávislost hledé veliči, př. disperí vth tpu (3..7), (3..8) eo již íěou ávislost eergie eletrou ( 4..4 ) P E h h 3 (4..5) V 3 N (E ) E (4..6) 6 h 3 V 3 N ( ) (4..7) 6 h 3 3 V g(e )de E de (4..8) 6 h 3 3 V g( )d d (4..9) 6 h To jsou epochě důležité vth udávjící počet stvů v itervlu d eo de. Doplňe áš příld o chováí eletroů v rstlu. T všech eletro při teplotě solutí ul osdí t ejižší stv, te posledí se jeuje Feriho e E F. Nvíc podle Puliho pricipu je ždý stv ose dvě eletro (s růýi spi). P pro počet eletroů N el v itervlu de eergiových hldiách, respetive hustotu eletroů g el, dostee g (E )de el Fuce jsou or.4... g el (E )de V 4 h el 3 E de E E E E F F (4..) 35

36 g(e) g el (E) E E F E Or ) hustot stvů v oecé přípdě, )hustot stvů v přípdě ovů. 5. Reálý oscilátor 5.. Tlueý oscilátor, vuceé it Dosud jse popisovli oscilátor e vitřího třeí e půsoeí dlších vějších sil, ovše s výjiou vrté síl. V reálých přípdech třeí ele edt, výslede jsou tlueé it eo dooce epřítoost itvého pohu. Rověž půsoeí vějších sil ted vi vuceých itů je veli čsté. Předpoládáe pro jedoduchost těleso o hotosti, věšeé spirále s tuhostí K itjící ve sěru. Pohová rovice pro etlueý oscilátor s vlstí frevecí K eo (5..) Pohová rovice v oecější přípdě á tvr F(t) (5..) Kde ový čle je síl třeí, uuje se v pri, že je doře úěrá rchlosti, je oeficiet třeí, F(t) je oecá vější síl. Pro jedoduchost vole přípd e vější síl, p (5..3) Předpoládeje řešeí ve tvru (t) Ae t / cos( t ) (5..4) Náorě ůžee rovici řešit sustitucí e t / (5..5) Po doseí úprvě dostee ( ) eo 4 Což je rovice podoá etlueéu oscilátoru s frevecí (t) Ae cos( t ) t / Máe ted it s tlueou plitudou Ae s frevecí t / (5..6). Po doseí (5..7) (5..8) 4 Místo veliči se ěd používá, což je do terou plitud lese e rát. 36

37 Roliše tři ožé přípd:. Slě tlueý oscilátor :,p (t) Ae t / cos( t ) (5..9) Jedá se o it se slě lesjící plitudou s čse itjící s frevecí etlueého oscilátoru, vi or Kritic tlueý oscilátor :, p (t) Ae cos( ) Ae cos( ) t / t (5..) P oscilátor přestává itt plitud lesá ule, jedá se o tv. riticý it, vi or.. Tto podí jí dorý ssl pro stveí itjící soustv. 3.Silě tlueý oscilátor :. Řešeí je v ooru opleích čísel, řejě se jedá o eitjící přípd se silě tlueou plitudou. Z pohledu studi itů je to e příliš jívý přípd t(s) Or Oscilátor: etlueý s,, slě tlueý.s, ritic tlueý s. Kit tlueého eletricého ovodu Pro jedoduchý sériový ovod složeý odeátoru s pcitou C cív, idučostí L odpore R pltí podle. Kirchhoffov áo Alogic e vthu (.5.7) dostee dj q U U U L Rj L R C (5..) dt C R q q q (5...) L LC ted ovod ude itt s vlstí frevecí ω podle (5..8), de 37

38 R R (5..3) LC L LC L Pro slě tlueý ovod usí pltit R<<L pro ritic tlueý R=/C. Tlueé it pltu sráž V reálé přípdě viu pltu docháí e srážá předevší eletroů s iot. Při tové srážce trtí eletro část své rchlosti. Dou ei dvěi sráži očíe τ c. P reltiví rchlost polesu tivích eletroů ude d (5..4) dt c Výsledá pohová rovice je (5..5) 5.. Eergie slě tlueého oscilátoru Předpoládáe, že čle eergie oscilátoru t / e je téěř osttí ěhe jedoho clu p celová t E (t) E (t) E (t) A e p (5..) Eergie oscilátoru lesá s čse, te eergie se prvidl ěí třeí v tepelou eergii. P pro reltiví rchlost eergeticých trát dostee E de dt (5..) Pro chrterici tlueého pohu se vádí čiitel josti Q ( ásoe poěru celové eergie e trátá jedu periodu T) Q (5..3 ) T de dt terý je epřío úěrý oeficietu třeí přío úěrý freveci. Je výhodý v techicé pri Slě tlueý oscilátor s vější silou V dosti oecé přípdě uvžujee F(t) ve tvru Fourierov řd F(t) N f ( E ) cos( t ) (5.3.) V še přípdě se spoojíe s řešeí pro jedoduchou hroic se ěící sílu F(t) F cos( t) (5.3.) P pohová rovice á tvr F cos( t) (5.3.3) Hledáe řešeí ustáleé po doě t. Vcháíe e ušeosti, že soustv ude itt s frevecí vější síl hledáe řešeí ve tvru (t) A si( t) B cos( t) (5.3.4) Po doseí do (5.3.3) podí, že řešeí usí pltit v liovolé čse (př. t=, t ) dostee 38

39 F A A (5.3.5) s ( ) F B A (5.3.6) disp ( ) Ssl očeí A=A s (sorpce), B=A disp (dispere) se uáže poději při studiu opticých vlstostí láte. Rověž le předpoládt řešeí v evivletí tvru P pltí Po doseí dostee A (t) A cos( t ) (5.3.7) F A B tg( ) A B / (5.3.8) A (5.3.9) ( ) A tg ( ) (5.3.) B Odtud sdo dostee vth pro rchlost rchleí v(t) v si( t ) A si( t ) A cos( t) B si( t) (5.3.) (t) cos( t ) A cos( t ) A si( t) B cos( t) (5.3.) Tvr ávislostí A, B respetive A s, A disp v ávislosti freveci je or Šíř řiv A s je urče předevší hodotou oeficietu. V přípdě luvíe o reoci. Závislosti plitud A, v,, φ freveci jsou or V přípdě veli lých frevecí, d ω<< ω pltí A F F F cos( t) (5.3.3) de je ve shodě s (..) tuhost pruži, ted poh při íých frevecích určuje tuhost pruži ioliv priárě hotost těles. Zrchleí těles je veli lé větší část síl se vužije píáí pruži, ioliv přeoáváí setrvčosti těles. V opčé přípdě pro vsoé frevece ω>> ω pltí A F F cos( t) (5.3.4) Je výchl ásdě ovlivě hotostí síl se spotřeuje přeoáváí setrvčosti těles, tou odpovídá i posuv fáe o π. Poá: Pohová rovice tlueého oscilátoru s vější silou (5.3.) je přílde lieárí ehoogeí difereciálí rovice. V toto přípdě pltí pricip superpoice v odifiové 39

40 podoě. Poud ψ (t) je řešeí tové rovice s vější silou F (t) podoě ψ (t) s vější silou F (t), p tto rovice pro celovou sílu F (t) F(t) F(t (5.3.5) ) á řešeí ( t) (t) (t) (5.3.6) 5.4 Výo tlueého oscilátoru Výchl rchlost výchl á tvr (t) A si( t) A cos( s disp t) (5.4.) (t) A cos( t) A si( t) (5.4.) s Výo oscilátoru při půsoeí vější síl (sorový výo) P(t) F(t) (t) (5.4.3) Jeho středí hodot Protože Pltí T disp P P(t) P(t)dt (5.4.4) T cos ( t) cos( t) si( t) (5.4.5) F A s P (5.4.6) Ted sorový výo je urče veličiou, terou jse očili A s. V ustáleé stvu usí ýt sorový výo rove roptýleéu výou vlive třeí P t. Protože síl třeí je (t) dostee středí hodot P (t) (t) (5.4.7) t P (t) (A A ) t s disp (5.4.8) Příý doseí e vthů ( 5.3.5, 5.3.6) se přesvědčíe, že pltí P P t (5.4.9) Podoě jo pro slě tlueý oscilátor e vější síl (5..) ůžee pro středí eergii v še přípdě psát Pro přípd E 5.5. Reoce (t) (t) ( )( A A ) s disp (5.4.) srováí se vthe (5.4.8) dostee P t E eo E P (5.4.) t V toto přípdě se frevece vější síl rová vlstí freveci etlueého oscilátoru. Aplitud A s á iálí hodotu. Pro výo oecě pltí (5.4.6) 4

41 A,B,P F P P (5.5.) ( ) ( ) Kde P je výo v reoci F P (5.5.) Závislost výou freveci je or V toto přípdě jdee sdo souvislost ei šířou řiv v poloviě iálí hodot pretre. V toto přípdě pltí (5.5.3) Vpočítáe oře,, pro šířu řiv dostee (5.5.4) V přípdě reoce je fáe φ=-π/, ted výchl je poždě proti síle o tuto hodotu, op rchlost je ve fái s udící silou, rchleí je rověž posuuto proti síle o φ=-π/..8 A=As B=Adisp P Or Závislost A s, A disp, výou P freveci pro ω =4s - Г=.5s (F /=) 4

42 A v / / Or Aplitud A, v /ω, /ω v ávislosti freveci, pretr jo or Or Fáe φ v ávislosti freveci, pretr jo or Poá: V přípdě součsého půsoeí více sil eo půsoeí ehroicé síl vjdee e vthu (5.3.) F(t) N f ( ) cos( t ) F (t) (5.5.5) P pro ždou sílu F půsoící sosttě hledáe řešeí ve tvru (t) A cos( t ) (5.5.6) Podle pricipu superpoice ude výsledé řešeí (t) (t) (5.5.7) N N 4

43 Eletricý ovod se droje střídvého pětí Jo v předcháející přípdě předpoládáe sériový RLC ovod, víc se střídvý droje pětí V cos(ωt), teré se eěí při ěě átěže. P logic (.5.-3) pltí pro pětí jedotlivých částech ovodu V (t) V (t) V (t) Lq Rq C q V cos( t) L R C Rovici uprvíe stdrdí půsoe R V q q q q q q cos( t) L LC L Řešeí této předcháející rovice dovoluje podroou disusi chováí tového ovodu hledis ěřeí pětí fáí jedotlivých prvcích ovodu v řdě plicí. Opticé vlstosti prostředí I dž tto proleti spdá do olsti vtové fi uuje se, že v celé řdě přípdů je ožé s dosttečou přesostí řešit úlohu lsic hrdit prostředí itjícíi dipól v dopdjící eletricé poli E cos(ωt) s frevecí ω 5 s -. Podroě se touto tétu udee věovt v pitole IV Tlueý ssté se dvě stupi volosti. Podoě postupujee ve složitějších přípdech. Zvole tlueou soustvu dvou teticých vdel spojeých slou pružiou, vi. or Můžee předpoládt, že v ždé ódu se soustv podoá tlueéu hroicéu oscilátoru s příslušý tlueí. Pro jedotlivá tělese, pltí g K ( ) F cos( t) (5.6.) l g K ( ) (5.6.) l Připoeee dřívější výsled pro F =, g. ód ( ) (5.6.3) l g K. ód ( ) (5.6.4) Rovice pro výchl ódů dostee sečteí, respetive odečteí rovic (5.6., 5.6.) l g F cos( t) (5.6.5) l g K F cos( t) (5.6.6) l 43

44 l l F(t) ψ ψ Or Tlueá soustv s dvě stupi volosti vější silou. Ve shodě s (5.3.3) se chová soustv v. ódu (plitud jí stejé éo) jo tlueý oscilátor s hotostí, pružostí, oeficiete tlueí vější silou cos( t), ve. ódu(plitud jí opčá é, těles itjí proti soě) F logic s pružostí, o ód jí svoje plitud A s A disp (or ). Pro jedotlivá vdl, pltí Pro složitější soustv se postupuje logic. ( ) ( ) (5.6.7).6.4. As Adisp As Adisp

45 Or Aplitud soustv se dvě stupi volosti (or.5.6..) s frevecei ω =4s -, ω =8s -,Г=.5s Ahroicé it Dosud jse se ývli hroicýi it, d vrtá síl l přío úěrá výchlce ( F ), jedlo se o lieárí ssté. V přípdě složitější ávislosti síl výchlce se jedá o tv. hroicé it elieárí ssté. Oecě je to složitý prolé, vláště při půsoeí vějších sil, le oeíe se lé it, ěžé přípd vější síl euvžujee. Setricá vrtá síl Tová vrtá síl á př. tvr F ( )K (5.7.) Předpoládáe, ted slou elieritu, K, jsou ostt. Pro se jedá o tv. tvrdoucí sílu pro o ěoucí sílu, vi. or F F α< ěoucí síl ψ α> tvrdoucí síl ψ Or Setricá vrtá síl (čárově je lieárí ávislost). P pohová rovice á tvr Použijee-li forálě očeí ( )K (5.7.), p 3 (5.7.3) Přede le odhdout, že poh ude periodicý vhlede setrii vrté síl i setricý ole rovovážé poloh. Předpoládáe řešeí ve tvru A cos( t ) (5.7.4) Kde je celé číslo. Protože sudé áso frevece esplňují poždve setrie, udou lichá čísl. Le rověž odhdout, že pro tvrdoucí sílu ude frevece větší pro ěoucí sílu ižší. Jedí příldů ěoucí síl je teticé vdlo pro větší výchl (.4.,.4.3). Možý průěh výchl čse je or Z íu stojí srováí rovice (5.7.3) s rovicí pro přesěý výpočet pohu teticého vdl g g 3 (5.7.3) l l 3! 45

46 A=cos t B=.5cos3 t C=A+B A=cos t B=.5cos t C=A+B t Or Průěh výchl pro přípd setricé setricé vrté síl. Asetricá vrtá síl Tová síl, vi. or , á př. tvr F ( )K K K (5.7.5) F ěoucí síl ψ tvrdoucí síl Or Asetricá vrtá síl. Pohová rovice ude ít tvr ( )K K K (5.7.6) Použijee-li opět očeí, p (5.7.7) 46

47 Předpoládáe řešeí ve tvru A A cos( t ) (5.7.8) Možý průěh výchl čse je or Le odhdout že, řešeí oshuje sudé i liché frevece, posue se rovovážá poloh odchl od frevece ude lá, protože se částečě opeuje vliv tvrdoucí ěoucí síl. Přílde tové setricé síl je půsoeí sil ei to, vi. or..5.., při stlčováí se jedá o tvrdoucí při rothováí o ěoucí sílu. Poá: Nelieárí síl přiášejí v řešeí řdu oplicí ových jevů. Zííe se o dvou to je reoce suhroicých frevecích reoce oičích frevecích.. Suhroicé reočí frevece. Předpoládáe slě elieárí pružiu, de celovou vrtou sílu F v le vjádřit ve forě ocié řd 3 F K K K... K (5.7.9) v Tovéu přípdu odpovídá lieárí pruži, terou půsoí elieárí síl 3 F F F F... F (5.7.) v Kde s rostoucí oeficiet rchle lesjí. Dále předpoládáe hroicý tvr F F cos( t) P F c F cos( t) F O cos( Reočí podíu ω=ω je ožé hrdit t) 3 F cos( 3 4 t) 3 cos( 4 t)... F cos( (5.7.) (5.7.) le ted očeávt slší reoci suhroicých frevecích. t). Reoce oičích frevecích Opět předpoládáe slě elieárí pružiu vější sílu ve tvru F F cos( t) F cos( t) (5.7.3) A celovou sílu ve tvru (5.7.) poue pro = =. Ted F F cos( t) F cos( t) F cos( t) F cos( t) (5.7.4) c Což le přepst ve tvru F c c cos( t) c cos( t) c cos( t) c cos( t) c 3 4 (5.7.5) c cos ( )t c cos ( )t 5 6 Ojeví se ted reoce áldích frevecích, suhroicých víc součtu rodílu oou frevecí Počátečí podí, chos Výsledé chováí itjících soustv silě ávisí počátečích podíách. Npř. jejich vhodou volou ůžee docílit toho, že soustv itá v příslušé ódu. V oecé 47

48 přípdě je to vžd superpoice těchto ódů tvr itů je složitý. Jsou soustv, teré jsou etréě ávislé počátečích podíách to t, že prtic ele předpovědět chováí soustv. P jejich chováí se jeví choticé i dž je v ásdě deteriisticé. Jedoduchý eperiet doře ilustrující tový přípd je or Jedá se o želeé těleso věšeé jo teticé vdlo. N podložce setric od rovovážé poloh jsou dv stejé pevé get ( ). Or Deostrce choticého pohu. Síl ei tělese vdl get je výsledicí oou slože je doře defiová. Vpustíe-li vdlo teréhooliv íst, p po solvováí složité dráh, sočí v líosti jedoho eo druhého getu ( or ). Zouáe-li sstetic vth ei polohou počátečího odu výslede ( eo ) dostee jívou pu schetic áorěou or (Zeleá ploch přísluší getu oržová getu.)te ásdí prolé ste v přípdě, že počátečí od je v líosti rohrí ploch. N této hrici je prtic eožé určit výslede ( eo ). Z tohoto pohledu se vdlo chová epředvídtelě, ted chotic. Aplicí podoého tpu je v přírodě celá řd ouáí jejich vlstostí ptří do studi chosu teoreticého i eperietálího hledis. 48

49 Or Schetic áorěá ožá dráh vdl.. Přiližé oreí ploch s růýi počátečíi podíi. 49