STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ"

Transkript

1 STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece. To je smozřejmě zákldí pojem kovergece, le v moh přípdech je příliš obecý estčí dokzováí ěkterých užitečých tvrzeí. POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ Před uvedeím růzých kovergecí posloupostí ebo řd fukcí je vhodé rozvést ěkteré zákldí pojmy defiové dříve. Neí uté se soustředit je fukce jedé proměé i reálé fukce. Ale i eí uté probírt tém v úplě obecosti. Zobrzeí f z Euklidovského prostoru do Euklidovského prostoru dimeze m je m-tice (f 1,..., f m ) fukcí více proměých s hodotmi v R. Protože zákldí vlstosti fukce f jsou určey vlstostmi fukcí f i kovergece v R m je kovergece po souřdicích, stčí probírt přípdy reálých fukcí více proměých R R omezit se 2. Nicméě, vzhledem k zjedodušeí zápisu budou ěkteré pojmy zvedey ebo probíráy obecěji. DEFINICE. Necht M je moži pro N je f zobrzeí M R. Posloupost {f } koverguje bodově M k zobrzeí f : M R, jestliže lim f (x) = f(x) pro kždé x M, tj. Obvyklé zčeí je lim f = f ebo f f. ε x M k N k ( f (x) f(x) < ε ). Bodový součet řdy zobrzeí se může defiovt jko bodová limit poslouposti částečých součtů řdy, ebo rovostí ( f ) (x) = f (x) (ukžte, že se doste tetýž pojem). Jk je obvyklé z teorie řd čísel, i řdy fukcí ebo jejich součet se zčí f. VĚTA. Pro bodovou kovergeci možiě M pltí: 1. lim (f + g ) = lim f + lim g, má-li prvá str smysl. 2. lim (f g ) = lim f lim g, má-li prvá str smysl. 3. lim (f /g ) = lim f / lim g, má-li prvá str smysl. DŮSLEDEK. (f + bg ) = f + b g, má-li prvá str smysl, kde, b jsou reálá čísl. Pozámky 1 Příkldy 1 Otázky 1 STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Bodová limit poslouposti spojitých fukcí emusí být spojitá (příkld x ) jsou i dlší vlstosti, které bodová kovergece emá. Je proto vhodé přidt ějkou dlší podmíku kovergeci, by se vyloučily oy špté situce. Tkovou jedoduchou podmíkou je stejoměrost kovergece: 1

2 DEFINICE. Necht M je moži pro N je f zobrzeí M R. Posloupost {f } koverguje stejoměrě M k zobrzeí f : M R, jestliže ε k N x M k f (x) f(x) < ε. Obvyklé zčeí je f f. DEFINICE. Řd fukcí f koverguje M stejoměrě k fukci f, jestliže posloupost částečých součtů { f i } koverguje M stejoměrě k f. i=1 POZOROVÁNÍ. 1. Koverguje-li posloupost {f } k f stejoměrě M, koverguje M k f i bodově. 2. (Bolzov Cuchyov podmík) Posloupost {f } koverguje M stejoměrě k ějké fukci právě když pltí: ε k N x M m, k f (x) f m (x) < ε. 3. Řd f koverguje M stejoměrě právě když pltí: ε k N x M f (x) < ε. =k Posledí podmík pro stejoměrou kovergeci řd lze též přepst pomocí Bolzovy Cuchyovy podmíky: ( ) m ε k N x M m > l > k f (x) < ε. =l VĚTA. 1. Posloupost {f } koverguje M stejoměrě k fukci f právě když pltí lim sup f (x) f(x) = 0. x M 2. Jestliže f má M mjortí stejoměrě kovergetí řdu (tj., existuje stejoměrě kovergetí řd g M tková, že f (x) g (x) pro kždé kždé x M), pk f koverguje M stejoměrě. 3. Necht f (x) c pro kždé x M c koverguje. Pk f koverguje M stejoměrě. Posledí podmík pro stejoměrou kovergeci se čsto zývá Weierstrssovo kritérium. V kpitole o číselých řdách byly, kromě kritérií pro bsolutí kovergeci, dvě dlší kritéri pro kovergeci, to Dirichletovo Abelovo (Leibizovo kritérium je speciálí přípd Dirichletov kritéri). VĚTA. Necht {f }, {g } jsou dvě poslouposti fukcí itervlu I. Řd f g koverguje I stejoměrě, jestliže {f } je mootóí bud () f koverguje stejoměrě k 0, {g } má stejě omezeé částečé součty (Dirichlet) ebo 2

3 (b) {f } je omezeá řd g koverguje stejoměrě I (Abel), DŮSLEDEK. (Leibiz) Necht {f }, {g } je posloupost ezáporých fukcí itervlu I. Řd ( 1) f koverguje I stejoměrě, pokud {f } je mootóí f koverguje stejoměrě k 0 I. Pozámky 2 Příkldy 2 Otázky 2 VLASTNOSTI STEJNOMĚRNÉ KONVERGENCE Přestože lze ásledující tvrzeí o spojitosti limitách dokázt i pro fukce více proměých, pro jedoduchost budou v této části uvžováy fukce jedé proměé, tj. defiičí obor M bude podmožiou reálých čísel. Spojitost VĚTA. Necht {f } je posloupost (stejoměrě) spojitých fukcí M, která M koverguje stejoměrě k fukci f. Potom je f (stejoměrě) spojitá fukce M. DŮSLEDEK. Necht řd f (stejoměrě) spojitých fukcí M koverguje stejoměrě k fukci f. Potom je f (stejoměrě) spojitá M. Existuje situce, kdy lze předchozí větu obrátit. Mootóí posloupost fukcí f je bud erostoucí ebo eklesjící posloupost, tj, př. v prvím přípdě, pro kždé x z defiičího oboru fukcí f je f (x) f +1 (x). VĚTA. (Dii) Necht posloupost spojitých fukcí koverguje mootóě ke spojité fukci kompktí možiě. Pk je tto kovergece stejoměrá. Pozámky 3 Příkldy 3 Otázky 3 Stejoměrá kovergece limity Pokud f f lim x f (x) = p, stává otázk, zd lim p = lim x f(x), tj., zd lze přehodit limity lim lim f (x) = lim lim f (x). x x Jk ukzuje příkld f (x) = x [0, 1] = 1, pro bodovou kovergeci tto zámě limit pltit emusí. VĚTA. Necht {f } je posloupost fukcí M, která M koverguje stejoměrě k fukci f. Pro libovolý hromdý bod možiy M pltí lim lim f (x) = lim lim f (x), x x existuje-li prvá str. 3

4 DŮSLEDEK. Necht řd f spojitých fukcí M koverguje stejoměrě. Potom pro libovolý bod I je lim x f (x) = lim f (x), x existuje-li jed str. Pozámky 4 Příkldy 4 Otázky 4 Stejoměrá kovergece itegrál Opět se djí jít jedoduché příkldy, že elze přehodit limitu itegrci u bodové kovergece. VĚTA. Necht {f } je posloupost fukcí omezeém itervlu I v R, která I koverguje stejoměrě k fukci f. Je-li {F } posloupost primitivích fukcí k f I, která koverguje lespoň v jedom bodě z I, pk {F } koverguje stejoměrě k primitiví fukci k f I. DŮSLEDEK. Necht f je řd fukcí omezeém itervlu I v R, která I koverguje stejoměrě k fukci f. Jsou-li F primitiví fukce k f I tkové, že řd F (x) koverguje lespoň v jedom bodě x z I, pk F koverguje stejoměrě k primitiví fukci k f I. Předchozí větu její důsledek lze použít pro určité itegrály: VĚTA. Necht {f } je posloupost spojitých fukcí omezeém itervlu I. 1. Jestliže {f } koverguje I stejoměrě k fukci f. Pk pro libovolý itervl [, b] I pltí f(x) dx = lim f (x) dx. 2. Jestliže f koverguje I stejoměrě k fukci f. Pk pro libovolý itervl [, b] I pltí f(x) dx = f (x) dx. Stejoměrá kovergece derivce VĚTA. Necht {f } je posloupost spojitých fukcí omezeém itervlu I, která koverguje lespoň v jedom bodě z I {f } koverguje I stejoměrě k fukci g. Potom {f } koverguje I stejoměrě k ějké fukci f f = g. Pozámky 5 Příkldy 5 Otázky 5 MOCNINNÉ ŘADY Speciálí přípd řd fukcí, tzv. mocié řdy, se probírl v kpitole o Tylorových řdách fukcí. 4

5 Některé podrobosti o mociých řdách budou yí uvedey, dlší budou probráy v kpitolách o komplexích fukcích. N rozdíl od probírých Tylorových řd se obecé mocié řdy budou defiovt v roviě (tj., pro komplexí čísl). DEFINICE. Mociá řd je řd (z z 0 ), kde, z 0, z R 2. Bod z 0 se zývá střed kovergece mocié řdy. VĚTA. Pro kždou mociou řdu (z z 0 ) existuje číslo ρ [0, + ] tkové, že řd koverguje možiě {z; z z 0 < ρ} diverguje možiě {z; z z 0 > ρ}. Pltí ρ = (lim sup ) 1. Číslo ρ z předchozí věty se zývá poloměr kovergece dé mocié řdy. Z důkzu věty vyplývá ásledující tvrzeí: DŮSLEDEK. Je-li q (0, ρ), kde ρ je poloměr kovergece řdy (z z 0 ), pk tto řd koverguje stejoměrě bsolutě možiě {z; z z 0 q}. DŮSLEDEK. Součtem mocié řdy je fukce spojitá možiě {z; z z 0 < ρ}, kde ρ je poloměr kovergece řdy. Protože mociá řd koverguje stejoměrě uzvřeých kruzích uvitř kruhu kovergece, lze použít předchozí věty o itegrci derivci řd. VĚTA. Necht mociá řd (x x 0 ) má součet f(x) itervlu (x 0 ρ, x 0 + ρ), kde ρ je poloměr kovergece řdy. Potom itervlu (x 0 ρ, x 0 + ρ) pltí 1. f (x) = (x x 0 ) 1 poloměr kovergece této řdy je ρ (x x 0) +1 je primitiví fukce k f poloměr kovergece této řdy je ρ. Z druhého tvrzeí vyplývá, že pro (, b) (x 0 ρ, x 0 + ρ) je f(x) dx = + 1 ((b x 0) +1 ( x 0 ) +1 ). DŮSLEDEK. Necht fukce f je otevřeém itervlu I součtem mocié řdy. Pk f má derivce všech řádů I. DŮSLEDEK. Necht fukce f je otevřeém itervlu I součtem mocié řdy (x x 0 ). Potom jsou Tylorovy koeficiety fukce f v bodě x 0. = f () (x 0 )! 5

6 VĚTA. (Abel) Necht mociá řd (x x 0 ) má součet f(x) itervlu (x 0 ρ, x 0 + ρ), kde ρ je poloměr kovergece řdy. Tto mociá řd koverguje v bodě x 0 + ρ (ebo x 0 ρ) právě když tto mociá řd koverguje [x 0, x 0 + ρ) (resp. (x 0 ρ, x 0 ]) stejoměrě. To ste právě když koverguje ρ ; teto součet se pk rová lim (x x 0 ). (Obdobě x x 0 +ρ pro ρ.) Pozámky 6 Příkldy 6 Otázky 6 Cvičeí 6 STANDARDY z kpitoly STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ Zobrzeí f z Euklidovského prostoru do Euklidovského prostoru dimeze m je m-tice (f 1,..., f m ) fukcí více proměých s hodotmi v R. Protože zákldí vlstosti fukce f jsou určey vlstostmi fukcí f i kovergece v R m je kovergece po souřdicích, stčí probírt přípdy reálých fukcí více proměých R R omezit se 2. DEFINICE. Necht M je moži pro N je f zobrzeí M R. Posloupost {f } koverguje bodově M k zobrzeí f : M R, jestliže lim f (x) = f(x) pro kždé x M, tj. Obvyklé zčeí je lim f = f ebo f f. ε x M k N k ( f (x) f(x) < ε ). Bodový součet řdy zobrzeí se může defiovt jko bodová limit poslouposti částečých součtů řdy, ebo rovostí ( f ) (x) = f (x) (ukžte, že se doste tetýž pojem). Jk je obvyklé z teorie řd čísel, i řdy fukcí ebo jejich součet se zčí f. Bodová limit spojitých fukcí f (x) = x itervlu [0, 1] eí spojitá. Bodovým limitám spojitých fukcí se říká fukce 1. Bireovy třídy. Fukce spojité jsou formálě 0.třídy. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE DEFINICE. Necht M je moži pro N je f zobrzeí M R. Posloupost {f } koverguje stejoměrě M k zobrzeí f : M R, jestliže Obvyklé zčeí je f f. ε k N x M k f (x) f(x) < ε. DEFINICE. Řd fukcí f koverguje M stejoměrě k fukci f, jestliže posloupost částečých součtů { f i } koverguje M stejoměrě k f. i=1 POZOROVÁNÍ. 6

7 1. Koverguje-li posloupost {f } k f stejoměrě M, koverguje M k f i bodově. 2. (Bolzov Cuchyov podmík) Posloupost {f } koverguje M stejoměrě k ějké fukci právě když pltí: ε k N x M m, k f (x) f m (x) < ε. 3. Řd f koverguje M stejoměrě právě když pltí: ε k N x M f (x) < ε. =k Posledí podmík pro stejoměrou kovergeci řd lze též přepst pomocí Bolzovy Cuchyovy podmíky: ( ) m ε k N x M m > l > k f (x) < ε. =l VĚTA. 1. (σ podmík.) Ozčme σ = sup f (x) f(x). x M Posloupost {f } koverguje M stejoměrě k fukci f právě když pltí lim σ = (Mjort.) Jestliže f má M mjortí stejoměrě kovergetí řdu (tj., existuje stejoměrě kovergetí řd g M tková, že f (x) g (x) pro kždé kždé x M), pk f koverguje M stejoměrě. 3. (Weierstrss. M-test.) Necht f (x) c pro kždé x M c koverguje. Pk f koverguje M stejoměrě. VĚTA. Necht {f }, {g } jsou dvě poslouposti fukcí itervlu I. Řd f g koverguje I stejoměrě, jestliže {f } je mootóí bud () f koverguje stejoměrě k 0, {g } má stejě omezeé částečé součty (Dirichlet) ebo (b) {f } je omezeá řd g koverguje stejoměrě I (Abel), DŮSLEDEK. (Leibiz) Necht {f }, {g } je posloupost ezáporých fukcí itervlu I. Řd ( 1) f koverguje I stejoměrě, pokud {f } je mootóí f koverguje stejoměrě k 0 I. VLASTNOSTI STEJNOMĚRNÉ KONVERGENCE Spojitost VĚTA. Necht {f } je posloupost (stejoměrě) spojitých fukcí M, která M koverguje stejoměrě k fukci f. Potom je f (stejoměrě) spojitá fukce M. 7

8 DŮSLEDEK. Necht řd f (stejoměrě) spojitých fukcí M koverguje stejoměrě k fukci f. Potom je f (stejoměrě) spojitá M. Pro mootóí fukce lze větu obrátit. Mootóí posloupost fukcí f je bud erostoucí ebo eklesjící posloupost, tj, př. v prvím přípdě, pro kždé x z defiičího oboru fukcí f je f (x) f +1 (x). VĚTA. (Dii) Necht posloupost spojitých fukcí koverguje mootóě ke spojité fukci kompktí možiě. Pk je tto kovergece stejoměrá. Stejoměrá kovergece limity Pokud f f lim x f (x) = p, stává otázk, zd lim p = lim x f(x), tj., zd lze přehodit limity lim lim f (x) = lim lim f (x). x x Jk ukzuje příkld f (x) = x [0, 1] = 1, pro bodovou kovergeci tto zámě limit pltit emusí. VĚTA. Necht {f } je posloupost fukcí M, která M koverguje stejoměrě k fukci f. Pro libovolý hromdý bod možiy M pltí lim lim f (x) = lim lim f (x), x x existuje-li prvá str. DŮSLEDEK. Necht řd f spojitých fukcí M koverguje stejoměrě. Potom pro libovolý bod I je lim f (x) = lim f (x), x x existuje-li jed str. Stejoměrá kovergece itegrál Opět se djí jít jedoduché příkldy, že elze přehodit limitu itegrci u bodové kovergece. Npříkld f (x) = ( + 1)x [0, 1). VĚTA. Necht {f } je posloupost fukcí omezeém itervlu I v R, která I koverguje stejoměrě k fukci f. Je-li {F } posloupost primitivích fukcí k f I, která koverguje lespoň v jedom bodě z I, pk {F } koverguje stejoměrě k primitiví fukci k f I. DŮSLEDEK. Necht f je řd fukcí omezeém itervlu I v R, která I koverguje stejoměrě k fukci f. Jsou-li F primitiví fukce k f I tkové, že řd F (x) koverguje lespoň v jedom bodě x z I, pk F koverguje stejoměrě k primitiví fukci k f I. VĚTA. Necht {f } je posloupost spojitých fukcí omezeém itervlu I. 1. Jestliže {f } koverguje I stejoměrě k fukci f. Pk pro libovolý itervl [, b] I pltí f(x) dx = lim f (x) dx. 2. Jestliže f koverguje I stejoměrě k fukci f. Pk pro libovolý itervl [, b] I pltí f(x) dx = f (x) dx. 8

9 Stejoměrá kovergece derivce VĚTA. Necht {f } je posloupost spojitých fukcí omezeém itervlu I, která koverguje lespoň v jedom bodě z I {f } koverguje I stejoměrě k fukci g. Potom {f } koverguje I stejoměrě k ějké fukci f f = g. Příkld. Porovejte [0, 1] kovergeci f (x) = x, g (x) = x x +1, h (x) = x x 2. Příkld. (Trik x.) Pro dou fukci g(x) zkoumejte chováí f (x) = g(x). Příkld. (Trik x/.) Pro dou fukci g(x) zkoumejte chováí f (x) = g(x/). Příkld. (Trik x.) Pro dou fukci g(x) zkoumejte chováí f (x) = g(x ). Příkld. (Trik x.) Pro dou fukci g(x) zkoumejte chováí f (x) = g( x). MOCNINNÉ ŘADY DEFINICE. Mociá řd je řd (z z 0 ), kde, z 0, z R 2. Bod z 0 se zývá střed kovergece mocié řdy. VĚTA. Pro kždou mociou řdu (z z 0 ) existuje číslo ρ [0, + ] tkové, že řd koverguje možiě {z; z z 0 < ρ} diverguje možiě {z; z z 0 > ρ}. Pltí ρ = (lim sup ) 1. Číslo ρ z předchozí věty se zývá poloměr kovergece dé mocié řdy. DŮSLEDEK. Je-li q (0, ρ), kde ρ je poloměr kovergece řdy (z z 0 ), pk tto řd koverguje stejoměrě bsolutě možiě {z; z z 0 q}. DŮSLEDEK. Součtem mocié řdy je fukce spojitá možiě {z; z z 0 < ρ}, kde ρ je poloměr kovergece řdy. VĚTA. Necht mociá řd (x x 0 ) má součet f(x) itervlu (x 0 ρ, x 0 + ρ), kde ρ je poloměr kovergece řdy. Potom itervlu (x 0 ρ, x 0 + ρ) pltí 1. f (x) = (x x 0 ) 1 poloměr kovergece této řdy je ρ (x x 0) +1 je primitiví fukce k f poloměr kovergece této řdy je ρ. Z druhého tvrzeí vyplývá, že pro (, b) (x 0 ρ, x 0 + ρ) je f(x) dx = + 1 ((b x 0) +1 ( x 0 ) +1 ). DŮSLEDEK. Necht fukce f je otevřeém itervlu I součtem mocié řdy. Pk f má derivce všech řádů I. 9

10 DŮSLEDEK. Necht fukce f je otevřeém itervlu I součtem mocié řdy (x x 0 ). Potom jsou Tylorovy koeficiety fukce f v bodě x 0. = f () (x 0 )! VĚTA. (Abel) Necht mociá řd (x x 0 ) má součet f(x) itervlu (x 0 ρ, x 0 + ρ), kde ρ je poloměr kovergece řdy. Tto mociá řd koverguje v bodě x 0 + ρ (ebo x 0 ρ) právě když tto mociá řd koverguje [x 0, x 0 + ρ) (resp. (x 0 ρ, x 0 ]) stejoměrě. To ste právě když koverguje ρ ; teto součet se pk rová lim (x x 0 ). (Obdobě x x 0 +ρ pro ρ.) Příkld. Pomocí mociých řd sečtěte (tm, kde to jde) x. Příkld. Pomocí mociých řd sečtěte (tm, kde to jde) ( + 1)x. Příkld. Njděte Tylorovu řdu rctg x pomocí rozvoje derivce. Příkld. Njděte Tylorovu řdu log(x + 1) pomocí rozvoje derivce. Pomocí Abelovy věty o limitě mociých řd ukžte, že Tylorův rozvoj fukce log(x + 1) je pltý i pro x = 1. Příkld. Sečtěte ásledující řdu + ( 1) Řešeí. Nejprve si uvědomme, že podle Dirichlet-Abelov kriteri z řd koverguje. Budeme uvžovt řdu pro x (0, 1). Derivcí této řdy získáme řdu + ( 1) S(x) = x2+3, kterou již sdo sečteme. + S + (x) = ( 1) x 2+2 = ( 1) (x 2 ), =2 + ( 1) (x 2 ) = 1 + x x 2 =2 Pro primitiví fukce tedy pltí rovost S(x) = x x3 + rct x. Podle Abelovy věty je hledý součet rove limitě lim x 1 S(x) = π 4 = π 4. 10

11 Příkld. Spočtěte s přesostí 10 3 ásledující itegrál 1 e x2 dx. 0 Řešeí. Protože ezáme primitiví fukci k e x2, využijeme teorie mociých řd. Protože příkld dostáváme výsledek e x2 ( 1) x 2 dx = dx. 0 0! 1 + ( 1) x ( 1) x 2 + ( 1) dx = dx = 0! 0! (2 + 1)! (2 + 1)! = 2 10 < 10 3, 1 e x2 dx. 10 ( 1) = 0 (2 + 1)!. 11

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI 6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b.

8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b. KPITOL 8: určitý itegrál Riemův itegrál [M-8:P8.] motivce: výpočet oshu plochy pod grfem fukce 8. Úvod ejdříve je pro < ) řekeme, že moži D, je děleím itervlu,, jestliže je koečá, D. Prvky děleí D {x,

Více

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

1 Nekonečné řady s nezápornými členy

1 Nekonečné řady s nezápornými členy Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY,

POSLOUPNOSTI A ŘADY, POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel................................ Aritmetická geometrická posloupost........................ 4.3 Nekoečé číselé

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

ZS 2018/19 Po 10:40 T5

ZS 2018/19 Po 10:40 T5 Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si

Více

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY MOCNINNÉ ŘADY - ŘEŠENÉ PŘÍKLADY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Kteři Bábíčková Přírodovědá studi, Mtemtická studi Vedoucí

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1 I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

Základní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů.

Základní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů. Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Výpočet vlstosti určitého itegrálu Cíle Zákldí vět itegrálího počtu (Newto Leiizov) ám umoží výpočet určitých itegrálů Pozáte zákldí vlstosti určitých itegrálů

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) = Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Verze z 17. května 2018.

Verze z 17. května 2018. Verze z 7. květ 8. Úvodí pozámk Tto sbírk byl sepsá se záměrem vytvořit sezm výpočetích postupů triků pro řešeí úloh, které se probírjí ve druhém semestru kurzu mtemtické lýzy. Sezm, v ěmž s devdesátiprocetí

Více

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci ... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové

Více

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě

Více

Základní elementární funkce.

Základní elementární funkce. 6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou

Více

6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů

6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů 6 Stbilit lieárích diskrétích regulčích obvodů Pro diskrétí systémy pltí stejá defiice stbility jko pro systémy spojité. Systém je stbilí, když se po odezěí vstupího sigálu vrátí zpět do rovovážého stvu.

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

8.3.1 Pojem limita posloupnosti

8.3.1 Pojem limita posloupnosti .3. Pojem limit poslouposti Předpokldy: 30, 0 Pedgogická pozámk: Limit poslouposti eí pro studety sdo strvitelým pojmem. Hlvím problémem je podle mých zkušeostí edorozuměí s tím, zd mezi posloupostí její

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti

1 Základní pojmy a vlastnosti Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).

Více

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivrzit Krlov v Prz Pdgogická fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATICKÉ ANALÝZY KONVERGENCE ŘAD. přprcové vydáí / Cifrik, M-ZT Zdáí: Vyštřt kovrgci řdy, jstliž. ( ).!.. l ( ). 7.!. ( ). 8..! 4. 9. cos.. Vyprcováí:

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie 7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1 3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

p = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků:

p = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků: ATA P Determity otivčí příkld: Řešte soustvu rovic o dvou ezámých: x + x = b x + x = b Permutce z prvků: Je dá moži = {,,, }, kde N Kždá uspořádá -tice [ k, k, k ] vytvořeá z všech prvků možiy se zývá

Více

Matematická analýza II

Matematická analýza II Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory Mtemtická lýz II látk z II semestru iformtiky MFF UK podle předášek Roert Šáml Zprcovli: J Ztr Štěti,

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) = NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

{} n n = 1 1. ŘADY Posloupnosti

{} n n = 1 1. ŘADY Posloupnosti ŘADY Poloupoti Kždá fukce, jejímž defiičím oborem je moži přirozeých číel ekoečá poloupot N, e zývá Kždá fukce, jejíž defiičí obor je moži všech přirozeých číel, kde je pevě dé přirozeé čílo, e zývá koečá

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM / CIFRIK Zdáí: Vyšetřete všem probrým prostředky polyom Vyprcováí: Rcoálí kořey Podle věty: Nechť p Q je koře polyomu q

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

9. Číselné posloupnosti a řady

9. Číselné posloupnosti a řady 9 548 5: Josef Herdl Číselé poslouposti řdy 9 Číselé poslouposti řdy Defiice 9 (číselá posloupost Fuce se zývá číselá posloupost : (9 Jestliže pro obor hodot R ( poslouposti pltí R ( budeme řít že posloupost

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme že jste

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

Řady s nezápornými členy

Řady s nezápornými členy Studujeme,kde 0pro N. Prořdysezáporýmičleymohousttpouzedvěmožosti. Rebo =+. Toplyeztoho,žeposloupost {s m } jeeklesjící,tedydlev2.9- lim s m =. VĚTA 2(lierit kovergetích řd): Nechť b kovergují.pk: (i)

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Nevšiml jsem si. Jedinou větší výjimkou byly Taylorovy

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 09 D : 30. břez 09 M. možé skóre: 30 Počet řešitelů testu: 85 M. dosžeé skóre: 30 Počet úloh: 30 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost: 9, % Mi. dosžeé skóre: -,8 Správé

Více