Kvantování elektromagnetického pole Šárka Gregorová, 2013

Transkript

1 Kvtováí eletrogeticého pole Šár Gregorová, 3 Vycházíe z Mxwellových rovic Ze čtvrté rovice plye existece vetorového poteciálu A () () Doszeí do druhé rovice zistíe, že eletricé pole E se ůže od čsové derivce A lišit pouze o pole s ulovou rotcí (eboť ). Pole s ulovou rotcí lze vyádřit o grdiet ěého slárího poteciálu Φ, tedy Poteciály A Φ esou určey edozčě. My volíe tzv. Coulobovu librčí podíu, že divergece A e ulová A (4) protože p á vydou rovice, teré se hezy řeší. Dosdíe-li (3) do třetí Mxwellovy rovice uvážíe-li (4), vyde á pro slárí poteciál rovice (3) eíž řešeí e záý vzth (5) Z rovice (5) vidíe, že slárí poteciál závisí pouze ožité rozložeí áboe, eá žádý vlstí čsový vývo. Eletricá itezit E se tedy v Coulobově librci rozdělí dv usy stticou část Φ, část, terá popisue dyiu pole t A, viz rovici (3). Část t A á ulovou divergeci ozčue se o trsverzálí pole. Iterce eletroů der v toech oleulách popisuee zedodušeě právě ožitou itercí, což ůžee v Coulobově librci udělt pouze poocí poteciálu Φ (ezedodušeě to prý ede). V Hiltoiáu p áe (roě čleů odpovídících ieticé eergii) čley odpovídící iterci der eletroů ezi sebou, ěco o (6)

2 r q q i i r, le POZOR! teto tvr í právě ediě v Coulobově librci. Dyicé chováí eletrogeticého pole popisuee poocí vetorového poteciálu A. Dosdíe (), (3) (4) do prví Mxwellovy rovice dostee pro vetorový poteciál vlovou rovici Budee teď řešit volé pole bez zdroů, ve teré e prvá str rovice (7) ulová. Vlová rovice se dobře řeší ve Fourierově obrze, rovici víc budee řešit v rbici, tedy v 3D rychli o strě dély (levý dolí roh á v bodě (,,)) uvžuee periodicé orové podíy, t. A(,y,z) = A(,y,z), steě t pro osttí sěry. Fourierov trsforce:, t A t T r, de T λ sou čley báze, do teré rozvííe, A λ sou čsově závislé oeficiety. Volíe tovou bázi, že T T (9) protože p budou výpočty edoduché. Podíu (9) splňue báze siů cosiů, t. (7) (8) T c s cos r, T si r 3 3 () de e orlizčí ostt 3 e edotový vetor ve sěru T λ. Z Coulobovy librčí podíy (4) vyplývá, že e olé T λ. Vetor tedy ůže pro ždé bývt dvou hodot (by edotlivé čley báze byly lieárě ezávislé) zývá se polrizce. Z šich periodicých orových podíe pro rbici plyou podíy vetor, teré ho vtuí. Vetor eůže bývt libovolých hodot, pouze tové, že de prvy vetoru sou přirozeá čísl, splňue še orové podíy. Touhle se říá prví vtováí. Dosdíe bázi do rovice (8) celově t pro vetorový poteciál dostee div A = => div T =, doszeí z T výpočte uážee T =

3 c s, t A cos r A r 3 si 3 () POZOR! Pořdí su elze prohodit e ždéu existuí dvě, e op! Z prvího vtováí se t dostli ódy eletrogeticého pole, teré sou určey veliostí, eho sěre, polrizcí tí, zd se edá o sius ebo osius. Zvádíe též freveci c, de c e rychlost světl ve vuu, c. S uvážeí (9) dostee z rovice (7) s ulovou prvou strou vzth A t A t T r () de tečy zčí prciálí derivce podle čsu. To pltí, poud pro všech λ e sčítec v suě ulový. Vidíe (ebo evidíe, le steě e to t), že se dostli rovici (resp. eoečo rovic) pro lieárí hroicý oscilátor (HO). HO e popsá Hiltoiáe (3) de q p sou oicy sdružeá souřdice ipuls. V še přípdě e q λ = A λ, oicy sdružeý ipuls e A. Teď vstoupíe do vtové echiy vzpoeee si ihilčí rečí operátory pro HO 3, poocí ichž lze Hiltoiá zpst ve tvru (4) Celový Hiltoiá pro všechy ódy (siové cosiové, ozčui s ebo c) e tedy H s ebo c s ebo c (5) Záldí vlstí stv Hiltoiáu, tedy vuu, budee ozčovt, pltí pro ě s ebo c pro všech, λ pro siy i osiy. Stv e orlizový ediču, tedy. Z rovice (5) p dostee, že eergie vu e de odvodit z grgiáu, viz lsicou teoreticou echiu 3 Aihilčí operátor p iq, rečí operátor p iq i 3, využívá se postulát QM q i, p i, z ěhož plyou outátory pro růzé ódy,,,. Pozor, zde ozčuí celý ód, tedy troici, λ si ebo cos.,,

4 E s ebo c s ebo c Tohoto ehezého eoeč se zbvíe tzv. reorlizcí, dy eergii vu defiitoricy položíe rovou ule tí, že od Hiltoiáu odečtee tu část, terá e z eoečo zodpovědá. Tedy dostee H s ebo c (6) s ebo c ebo c Krečí operátor s zvýší eergii eletrogeticého pole o, viz HO. Eergie eletrogeticého pole se tedy zvyšue v edotlivých ódech pouze po ásobcích, tto vt eergie se zýví fotoy touto vtováí pole se říá druhé vtováí. Stv s fotoy v ódu,, s ebo c vzie -ásobý působeí rečího operátoru dého ódu vuu, tedy de ftor, s ebo c, s ebo c (7)! e orlizčí ostt. Obecý stv s ostrý počte fotoů e p!,, s ebo c,, s ebo c! s ebo c (8) Operátory eletrogeticých veliči Pro ihilčí rečí operátor ódu (teto idex zčí celý ód, t. troici, λ si ebo cos) pltí A ia, A ia (9) Zpětě ůžee vypočítt A poocí + doszeí do (8) zísáe výrz pro operátor vetorového poteciálu c c c s s T T s Npíšu to o suu přes všechy ódy (dé troicí, λ si ebo cos), by to bylo přehleděší Ar T () ódy 4

5 Trsverzálí eletricou itezitu zísáe z rovic (9) z výrzu pro A, viz (3) E trs r i ódy T Jiá báze Kroě báze siů osiů se používá též oplexí báze expi r 3 () T e poto e opět vtové (prví vtováí, ), le eleety vetoru sou tetorát celá čísl, tedy i záporá. Mód eletrogeticého pole e v toto přípdě urče vetore polrizcí. Vzthy ezi ihilčíi rečíi operátory v této bázi v siové+osiové bázi se určí doszeí do () využití vzthu exp(ix) = si(x) + i cos(x). Kždopádě ihilčí rečí operátory v této bázi opět přidáví/odebírí ede foto dého ódu, steě o v bázi siů osiů. V této bázi í eletrogeticé veličiy tvr ir ir e e 3 () E trs ir ir r i e e 3 Pro geticou iduci zísáe z rovice () B ir ir r i e e 3 Neoečá rbice Když pošlee do eoeč (zvětšíe rbici t, že e eoečá), předou suy itegrály 4, tedy Alogicy pro dlší veličiy. 4 Poud se vá to elíbí, p vězte, že tetiů se tto operce prý té elíbí 5

6 Čs Závislost veliči čse se vyádří t, že přidáe ftor exp(-iωt) e ždéu ihilčíu exp(iωt) e rečíu operátoru 5, tedy příld rovice (): ir it ir it e e 3 Shrutí Vydee z Mxwellových rovic. Poocí Coulobovy librce cpee vešerou eletrosttiu do slárího vešerou eletrodyiu do vetorového poteciálu. Z Mxwellových rovic Coulobovy librce á pro vetorový poteciál vyde vlová rovice, terá á pro volé pole ulovou prvou stru. Rozhodee se i řešit poocí Fourierovy trsforce. Vhodě si zvolíe bázi Fourierov prostoru. Svět zvřee do rbice, což á dá vtovcí podíy vlový vetor (prví vtováí), z Coulobovy librce vyde olost vlového vetoru polrizce. Z vlové rovice se ve Fourierově obrze ste souči rovic pro HO, teré řešíe poocí ihilčích rečích operátorů (tdy do toho teprve vstupue vtov). Krečí operátor vyrobí foto v dé ódu, ihilčí operátor ho zičí (druhé vtováí). Je potřeb si uvědoit, co všecho v ší zvoleé bázi defiue ede ód (též edu bázovou fuci). Hiltoiá pole e třeb reorlizovt, by á evycházel eergie vu eoečá. Operátory vetorového poteciálu, eletricé itezity, geticé iduce dlších EM veliči (př. Poytigov vetoru) určíe poocí ihilčích rečích operátorů (druhé vtováí). Zdroe: předáš Poročilá vtová teorie (F. Šd), us sript předášce (Čápe), předáš Syteticé probléy vtové teorie (vede V. Proft, předášel J. Dostál), zprcováí Kuby Dostál Pozá: Asi se e d všei vetory uděll šipy d operátory se eděll stříšy, sd proiete... Ty se orlizčí ostty z růzých zdroů írě liší. 5 Proč, to eví 6