Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a"

Transkript

1 Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých součtů. Existuje-li vlstí limit lim s = s, řekeme, že řd koverguje má součet s. Neexistuje-li vlstí limit lim s, řekeme, že řd diverguje. Divergetí řdy dále dělíme tři přípdy: Je-li lim s =, řekeme, že řd diverguje k + píšeme = +, je-li lim s =, řekeme, že řd diverguje k píšeme =, jestliže lim s eexistuje, řekeme, že řd osciluje. Příkld. Určete, kdy koverguje geometrická řd q, kde, q R\{0} zjistěte její součet. Řešeí:. Nechť q =, pk s = tedy lim s = + pro > 0 lim s = pro < 0. Řd je tedy divergetí diverguje k + ( ) pro > 0( < 0).

2 2. Nechť q =, pk s = 0 pro sudé s = pro liché, tedy lim s eexistuje. Řd osciluje. 3. Nechť q =. Pro q < je s = + q + q q s q = q + q q s s q = s ( q) = q = ( q ) řd koverguje má součet Pro q > je řd diverguje k ±. s = q q. lim s q q = q,. q lim s q q = q ±, Pro q < limit lim s eexistuje, řd tedy osciluje. Defiice.2 Řd se zývá omezeá, je-li posloupost {s } omezeá. Vět. Kovergetí řd je omezeá. Důkz Viz. vět z prvího semestru, má-li posloupost vlstí limitu, pk je omezeá. Pozámk. Obráceé tvrzeí epltí. Npř. řd ( ) je divergetí (osciluje), le je omezeá. Vět.2 Nechť jsou řdy b kovergetí. Pk je kovergetí i řd (λ + γb ) pltí, (λ + γb ) = λ + γ b. 2

3 Důkz Důsledek věty o ritmetice limit. Pozámk.2 Kovergetí řdy tvoří vektorový prostor. Vět.3 (utá podmík kovergece) Je-li kovergetí, pk lim = 0. Důkz Sporem. Je-li lim 0, pk pro kždé ε > 0 kždé 0 N existuje m > 0 tkové, že m > ε, tedy s m s m > ε proto ei posloupost {s } Cuchyovská, tedy ei i kovergetí. Pozámk.3 Obráceě vět epltí. Příkld.2 Vyšetřete kovergeci hrmoické řdy. Řešeí: 2 i= i = = = +. 2 i = i i i ( ) 2 Posloupost částečých součtů této řdy je rostoucí, jelikož = > 0, tedy limit lim s existuje. Jelikož je s 2 +, je tto limit rov +. Tedy 2 hrmoická řd diverguje k +. Vět.4 Nechť p N, pk řdy, =p+ součsě buď kovergují ebo divergují. Důkz Ozčme s = i= i ŝ = i=p+ i, pk s = p i= i+ŝ jelikož p i= i R, tk lim s R lim ŝ R lim s = ± lim ŝ ±. Pozámk.4 Z předcházející věty plye, že kovergeci, resp. divergeci řdy emá vliv chováí koečého počtu jejích čleů. 3

4 . Řdy s ezáporými čley Je-li 0 pro všech N, pk řdu zveme řdou s ezáporými čley. Vět.5 Buď řd, 0 N, pk součet této řdy existuje. Je-li eomezeá, je = +. Je-li omezeá, je = sup{s }. Důkz Přímý dusledek věty z prvího semestru rostoucí posloupost má limitu, která je vlstí (rov sup{ }), je-li tto posloupost omezeá je rov +, je-li posloupost { } eomezeá... Kritéri kovergece Vět.6 (srovávcí kritérium) Nechť N, 0 b, pk pltí: Jestliže koverguje řd b, tk koverguje i řd. Jestliže diverguje řd, tk diverguje i řd b. Důkz Ozčme s = i= i ŝ = i= b, pk s ŝ. Jelikož jsou poslouposti {s } {ŝ } eklesjící, tk mjí limitu. Nvíc pltí lim s lim ŝ. Pozámk.5 Předpokld b emusí pltit pro všech, le stčí, by pltil > 0 pro ějké 0 N. Příkld.3 Rozhoděte o kovergeci řdy Řešeí: Jelikož 2 < ( ) < ( ) 2, tk i= i = + 2 i=2 i < + 2 i=2 vět o erovostech limitách v prvím semestru. 2 i(i ) < + i=2 (i ) = + 2 i= i 2 4

5 tedy se stčí změřit kovergeci řdy =2 i= Řd i(i + ) ( i(i + ) i= i= ( ) i i + i= i= = ( ) ( i ) i +. (+) ) + ( ) =. + koverguje tedy koverguje i řd (+) Vět.7 (limití srovávcí kritérium) Nechť 0 b > 0 N. Jestliže lim b (0, ), pk obě řdy buď kovergují, ebo obě divergují. Důkz Ozčme lim b = A > 0, pk existuje 0 N tkové, že A 2 b 2A, > 0. Tedy A b 2 2A, > 0 dál je využijeme věty Příkld.4 Rozhoděte o kovergeci řd: ) 2+3, 2 b) c) si π. Řešeí: 2+3 ) lim 2 +cos, l = 3 (0, ). Jelikož hrmoická řd příkld.2), tk diverguje i řd diverguje (viz b) lim +cos l 2 příkld.3), tk koverguje i řd = (0, ). Jelikož řd +cos l 2 koverguje (viz 5

6 c) lim si π = π (0, ), tk řd si π diverguje. Vět.8 (Odmociové kritérium - Cuchyovo) Nechť N je 0. ) i) Jestliže existuje q < N : q, pk řd koerguje. ii) Je-li pro ekoečě moho čleů poslouposti { }, tk řd diverguje. b) Existuje-li limit lim = q R, pk: Důkz i) Je-li q <, tk řd koverguje. ii) Je-li q >, tk řd diverguje. ) i) Je-li q < N : q, pk q pro všech N jelikož geometrická řd q koverguje (viz. příkld.), tk koverguje i řd dle věty.6. ii) Je-li pro ekoečě moho čleů poslouposti { }, tk lim 0 tedy řd diverguje (viz. vět.3). b) Existuje-li limit lim = q R, pk: i) Je-li q <, zvolme ε > 0 tk, by pltilo q + ε <. Pk existuje 0 N tkové, že < q + ε pro všech > 0. Dále postupujeme stejě jko v části ) i). ii) Je-li q >, tk existuje 0 N tkové, že > > 0. Dále viz. ) ii). Příkld.5 Rozhoděte o kovergeci řd: ), (3+ ) b) ( 2 π rccos ) 2. Řešeí: 6

7 ) lim proto řd koverguje. (3 + ) 3 + = 3 <, b) lim tedy řd koverguje. ( 2 π rccos ) 2 e l( 2 π rccos ) = e lim L H = e lim 2 π rccos 2 π / ( 2 π rccos l( 2 π rccos ) = e 2 π <, Vět.9 (Podílové kritérium - d Alembertovo) Nechť 0. i) Jeli + q < pro všech N, pk řd koverguje. Pltí-li pro všech N erovost +, tk řd diverguje. ii) Existuje-li limit lim + Důkz = q, pk: je-li q <, tk řd koverguje, je-li q >, tk řd diverguje. i) Jelikož + q <, tk + q, tedy idukcí dokážeme, že q. Jelikož q je kovergetí geometrická řd ( q < ), tk řd koverguje dle věty.6. Je-li +, tk + jelikož řd diverguje 2, tk diverguje i řd. ii) Je-li lim + = q <, tk existuje ε > 0 0 N tkové, že + < q+ε < pro všech > 0. Ozčme ˆq = q+ε postupujme dále jko v prví části důkzu, tedy dosteme + ˆq pro všech > 0 proto 0 +k 0 ˆq k k N. Jelikož je k=0 0 +k ˆq k kovergetí geometrická řd, tk je i = 0 kovergetí dle věty.6 tedy je kovergetí i řd dle věty.4. 2 > 0, jelikož výrz 2 má smysl z předpokldu věty, že + 7 )

8 Je-li lim + = q >, tk existuje ε > 0 0 N tkové, že < q ε < + pro všech > 0, tedy > 0 > 0. Dále postupujeme jko v předchozích částech důkzu. Příkld.6 Rozhoděte o kovergeci řd: ) (2 7)2,! b).! Řešeí: ) + lim tedy řd koverguje. (2 5)2 + (+)! (2 7)2! (2 5)2 (2 7) = 0 <, b) + lim tedy řd diverguje. (+) + (+)!! ( + ) ( + = e >, ) Pozámk.6 V situci, kdy lim + =, kritérium mlčí. Tto situce může stt jk pro kovergetí řdu (viz. příkld.3), tk pro divergetí řdu (viz. příkld.2). Vět.0 (Rbeovo kritérium) Nechť 0 N. i) Je-li lim + >, tk řd koverguje. ii) Je-li lim + <, tk řd diverguje. Důkz 8

9 i) Nechť lim + >, pk existuje ε > 0 0 tkové, že + > + ε pro všech > 0. Dosteme tedy: > + ε, + Tedy s = ( + ) > + + ε +, ( + ) + > ε +, ε ( ( + ) + ) > +. i = + i= i < + i=2 i=2 ε ((i ) i i i ) = + ε ( ( ) ) = + ε ( ) + ε. Jelikož posloupost {s } je eklesjící omezeá, je tké kovergetí. Proto řd koverguje. ii) Je-li lim + <, tk existuje 0 N tkové, že + < pro všech > 0. Pk < + i= 0 + i= < + < ( + ) +. Dostáváme ( 0 +) 0 + < ( 0 +2) 0 +2 <... < tedy > ( 0+) 0 +. Proto i > i ( 0 + ) 0 + = ( 0 + ) 0 + i. i= 0 + Z divergece hrmoické řdy (viz. příkld.2) věty.6 plye divergece řdy = 0 + tedy i divergece řdy (dle věty.4). 9

10 Pozámk.7 Někdy se Rbeovo kritérium uvádí ve tvru 3 lim + >... řd koverguje, lim + <... řd diverguje. Příkld.7 Rozhoděte o kovergeci řdy: kde > 0. Řešeí: + lim +! ( + )( + 2)...( + ), (! (+)(+2)...(+) (+)! (+)(+2)...(+)(++) ) + =. Je-li tedy >, tk řd koverguje, pro (0, ) řd diverguje. Pro = dosteme řdu, což je hrmoická řd bez prvího čleu + tedy řd divergetí. Pozmeejme, že v této úloze by ám epomohlo d Alembertovo kritérium, jelikož lim + =. Vět. (Itegrálí kritérium) Nechť je fukce f erostoucí, ezáporá defiová itervlu [, ). Pokud = f() N, pk řd koverguje právě tehdy, když f(x)dx <. Důkz 3 zde uvedeo bez předpokldů, které jsou le stejé, jko ve výše uvedeé verzi tohoto kritéri 0

11 f je erostoucí, tedy f( ) f(x) f() x [, ]. Dále dosteme f( ) = f( )dx k f( ) =2 lim k = k f() k =2 k f(x)dx f(x)dx f(x)dx k k f() lim f(x)dx k f() f(x)dx k f() =2 k f() =2 =2 f()dx = f() k lim f() k =2 f() =. =2 Z prví erovosti dosteme: < (kovergetí) f(x)dx <. Z druhé erovosti dosteme: f(x)dx < =2 < tedy koverguje i řd. Příkld.8 Rozhoděte o kovergeci řdy: + α, kde α. Řešeí: Zvedeme fukci f(x) =, pk fukce f splňuje pro α > 0 podmíky x α věty.. Dosteme [ ] x f(x)dx = x α α x α dx = α x α α tedy f(x)dx = pro α > f(x)dx = pro α (0, ). α Jelikož řd diverguje pro α = (jde o hrmoickou řdu viz. příkld x α.2) pro α 0 je lim 0 4, tk dostáváme, že řd x α koverguje pro x α α > diverguje pro α. 4 ei splě utá podmík kovergece viz. vět.3

12 .2 Řdy s obecými čley Vět.2 (Bolzo-Cuchyov podmík) Řd koverguje právě tehdy, když ε > 0 0 N > 0 p N : s +p s = p i= +i < ε. Důkz Jde o přímý důsledek defiice Bolzo-Cuchyovi věty pro poslouposti. Vět.3 Je-li řd kovergetí, tk je kovergetí i řd. Důkz Je-li řd, tk dle předchozí věty.2 pltí: ε > 0 0 N > 0 p N : p i= +i p i= +i < ε. Tedy i řd splňuje BC podmíku je tké kovergetí. Defiice.3 Řekeme, že řd koverguje bsolutě, jestliže koverguje řd. Jestliže řd koverguje, le řd diverguje, říkáme, že řd koverguje reltivě. Příkld.9 Rozhoděte o kovergeci řd: ) ( ) +, 2 b) ( ) +. Řešeí: ) Jelikož řd i řd ( ) + 2 b) ( )+ 2 = = ( )+ 2 koverguje (příkld.3), tk koverguje (dle věty.3) tedy řd koverguje bsolutě. je hrmoická řd, o které víme, že je divergetí. Musíme tedy zkoumt kovergeci přímo řdy ( ) +. s 2 = 2 i= ( ) + = = ( ) < i(i + ). i= 2

13 je kovergetí (viz. příkld.3) tedy je limit lim 2 (+) i= Řd koečá proto je koečá i limit lim s 2. Ozčme lim s 2 = A R, pk lim s 2+ s 2 +lim = A tedy je lim 2+ s = A je kovergetí, tj. řd koverguje reltivě. ( ) + ( ) + Vět.4 (Leibizovo kritérium) Nechť pro všech N pltí: I. 0, II. +, III. lim = 0. Pk řd ( )+ koverguje. Důkz s 2+2 = s 2 + ( ) s 2, tedy je posloupost {s 2 } eklesjící. Jelikož i(i+) s 2 = = ( 2 3 ) ( 4 5 )... ( ) 2, je víc posloupost {s 2 } omezeá tedy kovergetí. Ozčme lim s 2 = A R, pk lim s 2+ s 2 + lim 2+ = A, tedy je posloupost {s } kovergetí proto řd ( )+ koverguje. Příkld.0 Vrťme se k řdě ( ) + I. > 0, II. > + III. lim = 0, tedy řd. Využijeme-li Leibizovo kritérium, tk ( ) + koverguje. Lemm.5 Mějme poslouposti { } {b } čísl, p N, < p. Ozčme β k = k i= b i. Pk k=+ k b k = k=+ β k ( k k+ ) + β p p+ β +. (.) 3

14 Důkz k b k = k (β k β k ) = k β k k β k k=+ = = k=+ k=+ k=+ k=+ p k β k k+ β k = k=+ ( k β k + β p+ β p + k= k=+ k=+ β k ( k k+ ) + p+ β p + β. ) k+ β k Vět.6 (Abelovo-Dirichletovo kritérium) Nechť { } je mootoí posloupost pltí jed z ásledujících podmíek:. (Dirichlet) lim = 0 řd b má omezeé částečé součty. 2. (Abel) Řd b je kovergetí posloupost { } je omezeá. Pk je řd b kovergetí. Důkz. Použijeme B-C podmíku (vět.2) předchozí lemm. Stejě jko v přechozím lemmtu používáme zčeí β k = k i= b i. Jelikož má řd b omezeé částečé součty, tk existuje M R tkové, že β k < M pro všech k N. BÚNO předpokládáme, že { } je erostoucí. k b k = β k ( k k+ ) + p+ β p + β k=+ k=+ β k ( k k+ ) + p+ β p + β = k=+ k=+ k=+ k=+ β k ( k k+ ) + p+ β p + β M( k k+ ) + p+ β p + + β M( k k+ ) + p+ M + + M = M( + p+ + p+ + + ) = 2M +. 4

15 Jelikož lim = 0, pk pro kždé ε > 0 0 N tkové, že > 0 pltí < ε. Tedy pro 0 < < p pltí: k b k < 2Mε, k=+ proto je řd b kovergetí (dle věty.2). 2. Řd b je kovergetí, ozčme tedy její součet β = b. Z rovosti p k=+ ( k k+ ) = + p+ dosteme rovost Pk k=+ k b k = = k=+ k=+ 0 = k=+ β( k k+ ) + β p+ β +. β k ( k k+ ) + p+ β p + β (β k β)( k k+ ) + p+ (β p β) + (β β) (β k β) ( k k+ ) + p+(β p β) + (β β) (β k β) ( k k+ ) + p+ β p β + + β β. k=+ k=+ Jelikož je řd b kovergetí, tk pro ε > 0 existuje 0 N tkové, že β β k < ε pro všech k > 0. Jelikož je posloupost { } omezeá, tk existuje M R tkové, že < M. Tedy pro, p > 0 dosteme k b k (β k β) ( k k+ ) + p+ β p β + + β β k=+ k=+ < ε( k k+ ) + ε p+ + ε + k=+ ε( + p+ + p+ + + ) 2ε( p+ + + ) < 4εM. Proto řd b koverguje (dle věty.2). 5

16 Příkld. Nechť > 0, { } je erostoucí lim = 0. Ukžme, že pro x R \ {2πk} k Z řdy si(x) cos(x) kovergují. Nejdříve ukážeme, že řdy si(x) cos(x) mjí pro x 2πk omezeé částečé součty. Mějme geometrickou řdu s kvocietem e ix = cos(x) + i si(x). Pk s = i= eikx ix eix = e, tedy e ix s = eix eix e ix = eix eix 2 e ix e ix = 2 e ix ( e ix )( e ix ) 4 2 e ix e ix ] = 2 eix +e ix = 2 cos(x). 2 2 Je-li x 2kπ, tk s <. Jelikož s cos(x) = k= cos(kx) + k= si(kx), tk k= cos(kx) s k= si(kx) s, tedy řdy si(x) cos(x) mjí pro x 2πl omezeé částečé součty. Dále už je stčí plikovt Dirichletovo kritérium. Speciálě řdy si(x), cos(x) pro x 2πk kovergují, le ejsou bsolutě kovergetí..2. Přerováváí řd Defiice.4 Nechť je řd {k } je permutce možiy N ({k } je prostá posloupost přirozeých čísel, v íž se kždé přirozeé číslo vyskytuje). Pk říkáme, že k vzikl přerováím řdy. Vět.7 Nechť řd koverguje bsolutě. Pk koverguje bsolutě i řd k, která vzikl přerováím této řdy jejich součet je stejý (tj. = k ). Důkz Mějme ε > 0, pk existuje 0 N tkové, že p < ε pro kždé p > 0 (viz. vět.2). Jelikož {k } je permutce možiy N, tk existuje ˆ 0 N tkové, že {, 2,..., 0 } {k, k 2,..., kˆ0 }. Je-li ˆp > ˆ > ˆ 0 ozčme p = mx{kˆ, kˆ+,..., kˆp }, pk kˆ + kˆ kˆp p < ε, tedy je řd k bsolutě kovergetí. Nyí dokážeme, že = k. Nechť > mx{ 0, ˆ 0 } ozčme s = i= i ŝ = i= k i. pk s ŝ = ( k + k k ) q < ε, 6

17 kde q = mx{, k,..., k }. Tedy lim s ŝ = 0 proto s ŝ = k. Ozčme + = mx{0, } = mx{0, }. Pk = + = + +. Je-li ekoečá řd, tk můžeme uvžovt dvě ekoečé řdy s ezáporými čley +. Lemm.8 Nechť řd koverguje reltivě, pk obě řdy divergují k +. + Důkz Jelikož + jsou řdy s ezáporými koeficiety, tk kždá z těchto řd buď koverguje, ebo diverguje k +. Kdyby obě kovergovly, pk by kovergovl i řd = (+ + ) (vět.2) tedy by řd kovergovl bsolutě. Pokud by řd + kovergovl řd divergovl k +, pk by + s + = A R s = +. Tedy pro kždé ε > 0 kždé K R by existovlo 0 N tkové, že A ε < s + < A + ε s > K > 0. Tedy s = s + s < A K + ε, > 0. Proto by s (s + s ) =. Tedy by řd divergovl. Stejě by se ukázlo, že pro kovergetí řdu emůže stt, by řd + divergovl k + řd kovergovl. Proto obě řdy + divergují k +. Vět.9 (Riemov) Nechť řd koverguje reltivě echť s R. Pk existuje tkové přerováí k řdy, že = s tkové přerováí p řdy, že řd p osciluje. Důkz Nechť je s R. Ozčme ejmeší N tkové, že i= + i > s (jelikož + =, tk tkové existuje). Ozčme m ejmeší m N tkové, 7

18 že i= + i m i= i < s. Dále pro k = 2, 3,... ozčme k ejmeší k N tkové, že k mk i= i= + k m k i= > s m k ejmeší m k N tkové, že k < s. Tto kostrukce ám vytvoří řdu i= + k ( m ) ( m ) +..., která vzikl přerováím řdy. Ozčme ŝ součet tkto přerové řdy, pk částečý součet ŝ +m k se od s liší mximálě o + k částečý součet s +m +...+m k se od s liší mximálě o m k. Podobě částečý součet ŝ, kde + m k < < + m m k se od s liší mximálě o mx{ + k, m k } obdobě pro + m m k < < + m k+ je s s mx{ + k+, m k }. Jelikož řd koverguje, tk lim = 0 proto je lim ŝ = s. Ukžme, že lze řdu přerovt tk, by k =. Stčí třeb zvolit ásledující přerováí. N je ejmeší tkové, že >. 2 > je ejmeší 2 tkové, že > 2, 3 > 2 je ejmeší tkové, že > 3 tk dál. Dále postupujeme jko v předchozí části důkzu. Pro přerováváí do oscilující řdy stčí, by bylo ejmeší tkové, že >, m ejmeší tkové, že ( m ) <, 2 > ejmeší tkové, že ( m ) > tk dále. 8

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY,

POSLOUPNOSTI A ŘADY, POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel................................ Aritmetická geometrická posloupost........................ 4.3 Nekoečé číselé

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivrzit Krlov v Prz Pdgogická fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATICKÉ ANALÝZY KONVERGENCE ŘAD. přprcové vydáí / Cifrik, M-ZT Zdáí: Vyštřt kovrgci řdy, jstliž. ( ).!.. l ( ). 7.!. ( ). 8..! 4. 9. cos.. Vyprcováí:

Více

Řady s nezápornými členy

Řady s nezápornými členy Studujeme,kde 0pro N. Prořdysezáporýmičleymohousttpouzedvěmožosti. Rebo =+. Toplyeztoho,žeposloupost {s m } jeeklesjící,tedydlev2.9- lim s m =. VĚTA 2(lierit kovergetích řd): Nechť b kovergují.pk: (i)

Více

{} n n = 1 1. ŘADY Posloupnosti

{} n n = 1 1. ŘADY Posloupnosti ŘADY Poloupoti Kždá fukce, jejímž defiičím oborem je moži přirozeých číel ekoečá poloupot N, e zývá Kždá fukce, jejíž defiičí obor je moži všech přirozeých číel, kde je pevě dé přirozeé čílo, e zývá koečá

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

9. Číselné posloupnosti a řady

9. Číselné posloupnosti a řady 9 548 5: Josef Herdl Číselé poslouposti řdy 9 Číselé poslouposti řdy Defiice 9 (číselá posloupost Fuce se zývá číselá posloupost : (9 Jestliže pro obor hodot R ( poslouposti pltí R ( budeme řít že posloupost

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic. Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic. temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

U N I V E R Z I T A P A L A C K É H O V O L O M O U C I

U N I V E R Z I T A P A L A C K É H O V O L O M O U C I U N I V E R Z I T A P A L A C K É H O V O L O M O U C I PEDAGOGICKÁ FAKULTA, KATEDRA MATEMATIKY N E K O N E Č N É Č Í S E L N É ŘADY V P Ř Í K L A D E C H Diplomová práce Autor: Lucie DVOŘÁKOVÁ Vedoucí

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

Matematická analýza II

Matematická analýza II Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory Mtemtická lýz II látk z II semestru iformtiky MFF UK podle předášek Roert Šáml Zprcovli: J Ztr Štěti,

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

Infinity series collection of solved and unsolved examples

Infinity series collection of solved and unsolved examples Nekoečé řady sbírka řešeých a eřešeých příkladů Ifiity series collectio of solved ad usolved examples Lucie Jaoušková Bakalářská práce 9 ABSTRAKT Cílem práce bylo vytvořit sbírku řešeých příkladů, která

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254 Evropský socálí fod Prh & EU: Ivestuee do vší udoucost eto terál vkl díky Operčíu progru Prh dptlt CZ..7/3..00/3354 Mžerské kvtttví etody II - předášk č. - eore her eore her 96 vo Neu, Morgester kldtelé

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

3. Limity posloupností

3. Limity posloupností 3. Limity posloupostí V této kapitole bude slovo posloupost zameat zobrazeí možiy Nebo obecějimožiy NN):= { Z; N},kde N Z)domožiy Rvšech koečých) reálých čísel. Je-li a posloupost, měli bychomv souladu

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Definice limit I

Definice limit I 08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje

Více

Matematická analýza pro fyziky II. Robert Černý & Milan Pokorný

Matematická analýza pro fyziky II. Robert Černý & Milan Pokorný Mtemtická nlýz pro fyziky II Robert Černý & Miln Pokorný 29. ledn 2017 2 Obsh 8 Číselné řdy 7 8.1 Zákldní pojmy............................. 7 8.2 Řdy s nezápornými členy....................... 12 8.3

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

f dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou

f dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou Přehled probrné látky z MAII, LS 2004/05 1. přednášk 21.2.2005. Opkování látky o primitivních funkcích ze závěru zimního semestru (23.-25. přednášk). Rozkld rcionální funkce n prciální zlomky. Popis hledání

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

a q provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0)

a q provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0) ..9 Úlohy geometickou poloupotí Předpokldy: 0, 0 Pedgogická pozámk: Při řešeí příkldů potupujeme tk, by Ti ejpomlejší počítli lepoň příkldy,,,. Souh vzoců pvidel po geometickou poloupot: + - pozávcí zmeí

Více

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0).

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0). ČÍSELNÉ VEKTORY Defce Uspořádou -tc čísel = (,,, ) zveme číselým vektoem Čísl,,, jsou složky ebol souřdce vektou Přozeé číslo zýváme ozměem ebo tké dmezí vektou Defce Vekto, jehož všechy složky se ovjí

Více

Úlohy domácího kola kategorie A

Úlohy domácího kola kategorie A 5. ročík Mtemtické olympiády Úlohy domácího kol ktegorie. Je-li S obsh trojúhelíku o strách, b, c T obsh trojúhelíku o strách +b, b + c, c +, pk pltí T 4S. Dokžte zjistěte, kdy ste rovost. Řešeí. Vyjádřeí

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více