M - Posloupnosti VARIACE

Transkript

1 M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře, sestve vytiště v progrmu dosystem - EduBse Více iformcí o progrmu lezete wwwdoslicz

2 M - Poslouposti ± Poslouposti Poslouposti Posloupost je fukce, jejímž defiičím oborem je moži všech přirozeých čísel Fukčí hodot této fukce přiřzeá kždému kldému číslu se zývá -tý čle poslouposti Nejčstěji se zčí, b,pod čle poslouposti čle poslouposti 3 3 čle poslouposti 7 7 čle poslouposti 8 8 čle poslouposti -tý čle poslouposti Posloupost { } se zpisuje: Ohričeá (omezeá) posloupost Nechť je dá posloupost { } číslo C > :6:7 Vytištěo v progrmu dosystem - EduBse (wwwdoslicz) z 0

3 M - Poslouposti Pltí-li obecě pk, pk je posloupost { } ohričeá ebo též omezeá Rostoucí posloupost Nechť je dá posloupost { } =,, 3,,, +, Pltí-li: pk je posloupost rostoucí Kždý ásledující čle je tedy vždy větší ež čle předcházející :6:7 Vytištěo v progrmu dosystem - EduBse (wwwdoslicz) z 0

4 M - Poslouposti Klesjící posloupost Nechť je dá posloupost { } =,, 3,,, +, Pltí-li: pk je posloupost klesjící Kždý ásledující čle je tedy vždy meší ež čle předcházející Poz: Pokud posloupost bývá stále stejé hodoty, říkáme, že se jedá o posloupost kosttí Poz: Podobě jko fukce, tk i posloupost může být erostoucí ebo eklesjící :6:7 Vytištěo v progrmu dosystem - EduBse (wwwdoslicz) 3 z 0

5 M - Poslouposti Koečá posloupost Posloupost se zývá koečá (tj má koečý počet čleů), jestliže jejím defiičím oborem je koečá moži D Ì N, tz, že její defiičí obor je moži prvích k přirozeých čísel Npříkld předpis pro -tý čle bude { - }, číslo k = 6 Nekoečá posloupost Posloupost se zývá ekoečá (tj má ekoečý počet čleů), jestliže jejím defiičím oborem je celá moži N :6:7 Vytištěo v progrmu dosystem - EduBse (wwwdoslicz) 4 z 0

6 M - Poslouposti Zdáí poslouposti rekuretě Je-li u poslouposti zdá její prví čle dále + čle vyjádřeý pomocí -tého čleu, říkáme, že je posloupost zdá rekuretě ± Poslouposti - procvičovcí příkldy Stovte -tý čle poslouposti: 94 = + Stovte -tý čle poslouposti: 935 = ( + ) 3 Stovte -tý čle poslouposti: 938 = - 4 Určete íže zdou posloupost rekuretím vzorcem { ( ) } = + = + = + ( + ) :6:7 Vytištěo v progrmu dosystem - EduBse (wwwdoslicz) 5 z 0

7 M - Poslouposti 5 Zjistěte, které z čísel 0, 35, 50 je čleem poslouposti { 3} = Je dá posloupost Rozhoděte, zd je rostoucí, klesjící, omezeá ì í î ü ý - 3 þ= Posloupost je rostoucí omezeá hodotou 0 7 Posloupost je dá rekuretím vzorcem += -, přičemž = 0 Sledujte jedotlivé čley poslouposti určete její -tý čle jko fukci idexu = + (-) Je dá posloupost Rozhoděte, zd je rostoucí, klesjící, omezeá ì í î( ü ý + ) þ= Posloupost je klesjící omezeá hodotou ul 9 Stovte -tý čle poslouposti: Mějme posloupost zdou rekuretě Vyjádřete ji vzorcem pro -tý čle = = + + = 959 Vyjádřete ásledující posloupost rekuretím vzorcem { d} = d Î R = d + = + d :6:7 Vytištěo v progrmu dosystem - EduBse (wwwdoslicz) 6 z 0

8 M - Poslouposti Je dá posloupost Rozhoděte, zd je rostoucí, klesjící, omezeá ì + ü í ý î + þ = Posloupost je rostoucí omezeá hodotou 3 Vyjádřete ásledující posloupost rekuretím vzorcem ì (-) í + ý ü î( -) þ = = - + = Je dá posloupost Rozhoděte, zd je rostoucí, klesjící, omezeá ì + ü í ý î þ = Posloupost je klesjící omezeá hodotou 5 Vyjádřete ásledující posloupost rekuretím vzorcem { } = - = 0 = Posloupost je dá rekuretím vzorcem = přičemž hodotu čleu udává přirozeé číslo, které je řešeím erovice 3x - 4 5x - + x < < 6 - x 3 Npište prví čtyři čley této poslouposti ; ; /; /6 7 Je dá posloupost Rozhoděte, zd je rostoucí, klesjící, omezeá ì í î ü ý + þ = Posloupost je rostoucí omezeá hodotou :6:7 Vytištěo v progrmu dosystem - EduBse (wwwdoslicz) 7 z 0

9 M - Poslouposti 8 Stovte -tý čle poslouposti: 940 (-) = 9 Stovte - tý čle poslouposti: 934 = ( + ) 0 Npište prvích pět čleů poslouposti dé rekuretě + = = 0 = 0; ; ; ; -4 Vyjádřete ásledující posloupost rekuretím vzorcem - { q } q Î R = = + + = q Stovte -tý čle poslouposti: = - 3 Vyjádřete ásledující posloupost rekuretím vzorcem { (-) } = + = 0 + = :6:7 Vytištěo v progrmu dosystem - EduBse (wwwdoslicz) 8 z 0

10 M - Poslouposti 4 Je dá posloupost Rozhoděte, zd je rostoucí, klesjící, omezeá ì í î ü ý + þ= Posloupost je rostoucí omezeá hodotou 5 Vyjádřete ásledující posloupost rekuretím vzorcem { } = = + = Určete íže uvedeou posloupost rekuretím vzorcem ì í î( ü ý + ) þ= = 0,5 + = + 7 Je dá posloupost Rozhoděte, zd je rostoucí, klesjící, omezeá ì ü í3 + ý î þ= Posloupost je klesjící omezeá hodotou 3 8 Npište prvích šest čleů poslouposti dé rekuretě + = + = = + - ; ; ; ; 0; - 9 Posloupost je dá rekuretím vzorcem + = ( + ) přičemž hodoty čleů, udávjí kořey íže psé kvdrtické rovice pltí < Určete prvích pět čleů této poslouposti x + 4 x = x - 4 x ; 0; 34; 8; :6:7 Vytištěo v progrmu dosystem - EduBse (wwwdoslicz) 9 z 0

11 M - Poslouposti 30 Je dá posloupost Rozhoděte, zd je rostoucí, klesjící, omezeá ì + ü í + ý î + 3 þ= Posloupost je rostoucí omezeá hodotou 7/3 3 Je dá posloupost Rozhoděte, zd je rostoucí, klesjící, omezeá ì í î ü ý þ= Posloupost je erostoucí omezeá hodotou 0 3 Je dá posloupost Rozhoděte, zd je rostoucí, klesjící, omezeá ì( -) í î ü ý þ = Posloupost eí rostoucí i klesjící, omezeá je zdol hodotou -/ shor hodotou /4 33 Jsou dáy poslouposti Rozhoděte, které z ich jsou omezeé { 3 5} = { - 3} = ì í î + ü ý - 3 þ= Pouze posledí posloupost je omezeá 34 Mějme posloupost zdou rekuretě Vyjádřete ji vzorcem pro -tý čle = = + + = ( + ) Mějme posloupost zdou rekuretě Vyjádřete ji vzorcem pro -tý čle = = + = (3 + = - - ) :6:7 Vytištěo v progrmu dosystem - EduBse (wwwdoslicz) 0 z 0

12 M - Poslouposti 36 Stovte -tý čle poslouposti: 937 = (-) + 37 Stovte -tý čle poslouposti: 939 = (-) + ± Aritmetická posloupost Aritmetická posloupost,, 3, 4, 5, 6,, -,, + V tomto přípdě pltí, že ( - -) =, 4, 6, 8, 0,, -,, + V tomto přípdě pltí, že ( - -) =, 3, 5, 7, 9,, -,, + V tomto přípdě pltí, že ( - -) =, 3/,, 5/,, -,, + V tomto přípdě pltí, že ( - -) = / Ve všech uvedeých přípdech pltí, že += + d Jde o ritmetické poslouposti Číslu d říkáme diferece ritmetické poslouposti Defiice: Jestliže v poslouposti { } pltí rekuretí vzorec += + d, kde d je dé číslo (tedy kosttí) ezávislé, zývá se tková posloupost ritmetickou posloupostí Číslo d zýváme diferecí Mějme obecě ritmetickou posloupost = + d 3 = + d = + d 4 = 3 + d = + 3d = + ( - )d Vět : Pro výpočet -tého čleu ritmetické poslouposti pomocí prvího čleu diferece pltí vzorec = + ( - )d, kde je přirozeé číslo Vět : Pro dv libovolé čley r, s ritmetické poslouposti pltí rovost: s = r + (s - r)d :6:7 Vytištěo v progrmu dosystem - EduBse (wwwdoslicz) z 0

13 M - Poslouposti Příkld : Prví dv čley ritmetické poslouposti jsou Určete dváctý čle Řešeí: 40, 37, 34, 3, 8, 5,, 9, 6, 3, 0, 7, = + ( - )d = 40 + d Protože d = -3, pk = 40 + (-3) = 7 Příkld : V ritmetické poslouposti záme 0 0 čle Jsou 5, -5 (po sobě) Určete d,, 50 Řešeí: 0= + 9d = 5 0= + 9d = Získli jsme soustvu dvou rovic o dvou ezámých Pokud ji vyřešíme, dosteme = 6, d = -4 Pk stčí dopočítt 50= (-4) = -35 Příkld 3: Mezi čísl 3,7 6,8 máme vložit 9 čísel tk, by s dými čísly tvořil ritmetickou posloupost Poz: Říkáme, že provádíme tzv iterpolci devíti čleů mezi dá dvě čísl Řešeí: = 3,7 = 6,8 = 3,7 + 0d d = 0,3 3,7; 4,0; 4,3; 4,63; 4,94; 5,5; 5,56; 5,87; 6,8; 6,49; 6,80 Vět 3: V ritmetické poslouposti { } pltí pro součet s jejích prvích čleů ásledující vzorec: s + ( ) = Příkld 4: Vypočtěte součet prvích lichých čísel Řešeí: = = + ( - ) = - s ( + ) = ( + - ) = = :6:7 Vytištěo v progrmu dosystem - EduBse (wwwdoslicz) z 0

14 M - Poslouposti ± Aritmetická posloupost - procvičovcí příkldy Rozměry kvádru tvoří tři po sobě jdoucí čley ritmetické poslouposti Jk jsou velké, měří-li jejich součet 4 cm objem kvádru je 3 cm 3? :6:7 Vytištěo v progrmu dosystem - EduBse (wwwdoslicz) 3 z 0

15 M - Poslouposti řešeí: řešeí: 3 řešeí: :6:7 Vytištěo v progrmu dosystem - EduBse (wwwdoslicz) 4 z 0

16 M - Poslouposti řešeí je 3, druhé řešeí je d = 0,5, += + 0,5, = ( + )/ řešeí je 4, řešeí je (-33) :6:7 Vytištěo v progrmu dosystem - EduBse (wwwdoslicz) 5 z 0

17 M - Poslouposti ± Geometrická posloupost Geometrická posloupost,, 4, 8, 6, 3, Zde pltí: = 3 = td, /3, /9, /7, Zde pltí: = (/3) 3 = (/3) td obecě = (/3) - Následující čle je vždy ějkým ásobkem čleu předcházejícího Defiice: Jestliže v poslouposti { } pltí rekuretí vzorec += q, kde q je dé číslo ezávislé (= kostt), zýváme tkovou posloupost geometrickou posloupostí Číslo q zýváme kvocietem geometrické poslouposti = q 3 = q = q 4 = 3 q = q 3 = q - Vět : :6:7 Vytištěo v progrmu dosystem - EduBse (wwwdoslicz) 6 z 0

18 M - Poslouposti Pro výpočet -tého čleu geometrické poslouposti z prvího čleu z kvocietu pltí vzorec = q -, kde je přirozeé číslo Vět : Pro libovolé dv čley r, s geometrické poslouposti pltí rovost: s = r q s-r Vět 3: Součet prvích čleů geometrické poslouposti { } je urče vzorcem: s q - = q - kde q ¹ Poz: Je-li q <, pk je vhodé použít vzthu s - q = - q Je-li q =, pk dostáváme posloupost,,, pro součet prvích čleů pk pltí: s = Příkld : Je dáo 8 = -40, 9 = -80 Určete příslušou geometrickou posloupost Poz: Určit geometrickou posloupost zmeá zpst její čle kvociet Řešeí: 8 = q 7 = = q 8 = Získli jsme soustvu rovic Při jejím řešeí je vhodé použít postup, že druhou rovici vydělíme rovicí prví Dosteme tk q = doszeím do jedé z rovic pk vypočteme, že = -5/6 Příkld : Njděte 4 čísl, která tvoří část geometrické poslouposti o součtu 360, víte-li, že posledí číslo je 9krát větší ež druhé číslo Určete dou posloupost Řešeí: = 4 s = = 9 q q = q - 9 q = q Z druhé rovice q = +3 q = -3 Po doszeí do rovice prví dostáváme ( ) = 9 ( ) = -8 Hledé poslouposti tedy mohou být dvě, to: 9, 7, 8, 43-8, 54, -6, :6:7 Vytištěo v progrmu dosystem - EduBse (wwwdoslicz) 7 z 0

19 M - Poslouposti ± Geometrická posloupost - procvičovcí příkldy Vložeá čísl: 0, 0, 40, 80, 60, = 6, q = Úloh má tři řešeí: :6:7 Vytištěo v progrmu dosystem - EduBse (wwwdoslicz) 8 z 0

20 M - Poslouposti 8 Doplňte zbývjící čísl v tbulce: řešeí: 6 řešeí: / řešeí:,, 4, 8 řešeí: 8, 4,, s 0= / :6:7 Vytištěo v progrmu dosystem - EduBse (wwwdoslicz) 9 z 0

21 M - Poslouposti = 5, q = = 4 s = cm 3 0 Doplňte zbývjící čísl v tbulce: :6:7 Vytištěo v progrmu dosystem - EduBse (wwwdoslicz) 0 z 0

22 M - Poslouposti Obsh Poslouposti Poslouposti - procvičovcí příkldy 5 Aritmetická posloupost Aritmetická posloupost - procvičovcí příkldy 3 Geometrická posloupost 6 Geometrická posloupost - procvičovcí příkldy :6:7 Vytištěo v progrmu dosystem - EduBse (wwwdoslicz)