Řešení soustav lineárních rovnic

Transkript

1 Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí eomogeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sm se zývá omogeí jesliže plí Je-li pro lespoň jedo i m zývá se sousv eomogeí i m r Řešeím sousvy Sm rozumíme kždý vekor kerý vyovuje všem rovicím sousvy Mici zveme micí sousvy mici M M m m m zveme rozšířeou micí sousvy R M m m M m M m Řešielos sousvy lieáríc rovic Vě o řešielosi sousvy lieáríc rovic Froeiov vě : Sousv lieáríc rovic Sm má řešeí právě edy když mice sousvy rozšířeá mice sousvy mjí sejou odos Poče řešeí sousvy lieáríc rovic Necť sousv lieáríc rovic Sm má řešeí je odos mice sousvy poče ezámýc Pk jesliže má sousv právě jedo řešeí jesliže < má sousv ekoečě moo řešeí závislýc prmerec Pozámk : V přípdě že sousv Sm má ekoečě moo řešeí závislýc prmerec můžeme z ěco ezámýc voli liovolá reálá čísl Hodoy osíc ezámýc ázickýc jsou pk určey jedozčě pomocí prmerů

2 Vz vyjdřující pomocí prmerů všec řešeí sousvy se zývá oecé řešeí sousvy Dosdíme-li z prmery kokréí reálá čísl doseme jedo řešeí keré zýváme prikulárí řešeí sousvy Uvedeé výsledky lze srou do ásledujícío scému : Poče řešeí omogeí sousvy lieáríc rovic Homogeí sousv lieáríc rovic má vždy řešeí Je-li odos mice sousvy poče ezámýc pk : jesliže má omogeí sousv jedié řešeí Too řešeí zýváme riviálí řešeí jesliže < má sousv ekoečě moo řešeí závislýc prmerec Meody řešeí sousv lieáríc rovic Dvě sousvy lieáríc rovic se sejým počem ezámýc keré mjí možiy všec řešeí soě rové se zývjí ekvivleí Úprvy jimiž se eměí moži řešeí sousvy zýváme ekvivleí úprvy sousvy lieáríc rovic Nejdůležiější z ic jsou : výmě pořdí rovic ásoeí liovolé rovice eulovým reálým číslem k přičeí k-ásoku ěkeré rovice k jié rovici Dvě sousvy lieáríc rovic S m S m z icž jed vzike z drué použiím uvedeýc ekvivleíc úprv sousv jsou ekvivleí právě edy když jejic odpovídjící rozšířeé mice jsou ekvivleí Gussov elimičí meod Ekvivleím úprvám sousvy odpovídjí příslušé úprvy její rozšířeé mice Sousvu proo můžeme řeši k že její rozšířeou mici převedeme supňový vr Téo mici

3 odpovídá sousv ekvivleí s dou sousvou kerá má vr ze keréo zpěým doszováím určíme řešeí zdé sousvy Uvedeý posup se zývá Gussov elimičí meod Pomocí získé supňové mice můžeme víc rozodou o řešielosi sousvy zákldě Froeiovy věy Příkld: Řeše sousvu lieáríc rovic : Řešeí : Z koeficieů sousvy vyvoříme rozšířeou mici sousvy pomocí ekvivleíc úprv ji převedeme supňový vr : / / Vzledem k omu že R má podle Froeiovy věy sousv řešeí Nvíc plí edy sousv má právě jedo řešeí Získáme o zpěým doszováím ze sousvy odpovídjící supňové mici : Posupujeme k že ejprve z posledí rovice vyjádříme ezámou poom pomocí í z předposledí rovice vyjádříme ezámou d Tedy Řešeí udeme zpisov ve vru vekoru r

4 Příkld: Řeše sousvu lieáríc rovic : Řešeí : Vypíšeme rozšířeou mici sousvy pro zjedodušeí výpoču přičeme druý řádek k prvímu ím získáme klíčovém mísě jedokový prvek Poom převedeme mici supňovou pomocí ekvivleíc úprv : / / / Proože R má sousv podle Froeiovy věy řešeí Vzledem k omu že má sousv ekoečě moo řešeí závislýc prmeru Jedu ezámou volíme z prmer osí ezámé vyjádříme pomocí ooo prmeru zpěým doszováím ze sousvy odpovídjící supňové mici Zvolme z prmer ezámou V ší úloze máme možos zvoli z prmer i ezámou ývá le zvykem je-li o možé voli z prmer ezámou s ejvyšším ideem edy Je Řešeí zpíšeme ve vru r kde R Jde o zv oecé řešeí sousvy Zvolíme-li z prmer určié reálé číslo př doseme prikulárí řešeí

5 Jordov meod úplé elimice To meod spočívá v úprvě mice sousvy jedokovou mici Sejé úprvy provádíme se sloupcovým vekorem r proože prcujeme s micí rozšířeou V omo sloupci pk dosáváme přímo odoy ezámýc Příkld: Jordovou meodou úplé elimice řeše sousvu lieáríc rovic: Řešeí : Při úprvě rozšířeé mice sousvy posupujeme k že ejprve z klíčový prvek volíme ve druém kroku ve řeím Pomocí ěco čísel pk ulujeme osí prvky v příslušém sloupci / / Podle Froeiovy věy má sousv řešeí eoť R Nvíc plí edy sousv má právě jedo řešeí Získáme o přímo z výsledé rozšířeé mice sousvy : Tedy oecé řešeí dé sousvy má vr r Příkld: Jordovou meodou úplé elimice řeše sousvu lieáríc rovic: Řešeí : / / : : : Podle Froeiovy věy má sousv řešeí eoť R

6 Plí edy sousv má ekoečě moo řešeí závislýc prmeru Zvolíme-li z prmer ezámou doseme osí ezámé přímo ze supňové mice: r Tedy oecé řešeí dá sousvy je Crmerovy vzorce Jde o meodu zložeou použií deermiů Její výzm spočívá v možosi epliciě vyjádři vzorcem řešeí sousvy pomocí prvků rozšířeé mice sousvy ude využio př u meody ejmešíc čverců eo při řešeí difereciálíc rovic vyššíc řádů Omezeím všk je prcos výpoču deermiů vyššíc řádů ké podmík rovosi poču rovic poču ezámýc Vě o řešeí sousvy pomocí Crmerovýc vzorců Mějme sousvu lieáríc rovic o ezámýc ozčme D M M deermi mice éo sousvy Necť D Pk sousv má právě jedo řešeí dé Crmerovými D vzorci : k k D kde D k pro k jsou deermiy řádu keré doseme z deermiu D rzeím jeo k-éo sloupce sloupcem soluíc čleů Příkld: Pomocí Crmerovýc vzorců řeše sousvu lieáríc rovic y z yz y z Řešeí : Deermi D edy sousv má právě jedo řešeí Dále je D D D Jedolivé ezámé určíme pomocí Crmerovýc vzorců D D D y z D D D Tedy oecé řešeí zdé sousvy má vr r

7 Pozámk : Crmerovými vzorci je možé řeši i sousvy Sm keré mjí ekoečě moo řešeí závislýc prmerec Posupujeme k že z deermiu D vyereme eulový sudeermi řádu Touo volou deermiu sousvy součsě volíme ázickýc ezámýc výpoče sejé vzorce prmerů Po úprvě sousvy rovic poom použijeme pro